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2022 年湖南省张家界市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每个小题的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1. 的倒数是（ ）
A. 2022 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据倒数定义解答．
【详解】解：-2022 的倒数是 ，
故选：D．
【点睛】此题考查了倒数的定义，熟记定义是解题的关键．
2. 我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住1 800 000 000亩耕地红线．将数据1
800 000 000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用科学记数法的表示形式求解即可．
【详解】解：1 800 000 ，
故选： ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及n 的值．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解： ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选： ．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分
折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据同底数幂的乘法运算，合并同类项，积的乘方及完全平方公式进行计算，继而判断即可．
【详解】A． ，因此该选项不符合题意；
B． 与 不是同类项，因此不能合并，所以该选项不符合题意；
C． ，因此该选项符合题意；
D． ，因此该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方及完全平方公式，将每个选项分别进行化简或
计算是正确解答的关键．
5. 把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出不等式组 的解集，即可得
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
不等式组的解集为 ，
在数轴上表示该不等式组的解集只有D选项符合题意；
故选D．
【点晴】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式的步骤，能求出不等式组中各不等式
的公共解集．
6. 某班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选一名最优秀的参加禁毒知识比赛，下表记录了四人3次选拔测
试的相关数据：
甲 乙 丙 丁
平均分 95 93 95 94
方差 3.2 3.2 4.8 5.2
根据表中数据，应该选择（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】从平均数和方差进行判断，即可得
【详解】解：从平均数看，成绩最好的是甲、丙同学，
从方差看，甲、乙方差小，发挥最稳定，所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加禁毒知识比赛，应该选择甲，
故选：A．
【点晴】本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键．
7. 在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分 或 ，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．
【详解】解：当 时，一次函数 经过第一、二、三象限，反比例函数 位于第一、三象
限；
当 时，一次函数 经过第一、二、四象限，反比例函数 位于第二、四象限；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握 ，图像经过第一、三象限，
，图像经过第二、四象限是解题的关键．
8. 如图，点 是等边三角形 内一点， ， ， ，则 与 的面积之
和为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将 绕点B顺时针旋转 得 ，连接 ，得到 是等边三角形，再利用勾股
定理的逆定理可得 ，从而求解．
【详解】解：将 绕点 顺时针旋转 得 ，连接 ，
， ， ，
是等边三角形，
，
∵ ， ，
，
，
与 的面积之和为
．故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将
与 的面积之和转化为 ，是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
9. 因式分解： __．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用平方差公式分解即可得．
【详解】解：原式 ．
故答案为： ．
【点晴】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10. 从 ， ， ，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是__．
【答案】 ##0.4
【解析】
【分析】先确定无理数的个数，再除以总个数．
【详解】解： ， 是无理数，
（恰好是无理数） ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了概率公式及无理数，熟练掌握概率公式及无理数的定义进行计算是解决本题的关
键．
11. 如图，已知直线 ， ， ，则 __．【答案】 ##35度
【解析】
【分析】由平行线的性质可得 ，再由对顶角相等得 ， ，
再由三角形的内角和即可求解．
【详解】解：如图，
， ，
，
，
， ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平
行，同位角相等．12. 分式方程 的解是_______．
【答案】x=-3
【解析】
【分析】方程两边都乘x（x-2）得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：方程两边都乘x（x-2），得
5x=3（x-2），
解得：x=-3，
检验：当x=-3时x（x-2）≠0，
所以x=-3是原方程的解，
故答案为：x=-3．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．解分式方程注意要检验．
13. 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间
的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正
方形 的面积是100，小正方形 的面积是4，那么 __．
【答案】 ##0.75
【解析】
【分析】根据两个正方形的面积可得 ， ，设 ，得到 ，由勾股
定理得 ，解方程可得x的值，从而解决问题．
的
【详解】解：∵大正方形ABCD 面积是100，
∴ ．
∵小正方形EFGH的面积是4，∴小正方形EFGH的边长为2，
∴ ，
设 ，
则 ，
由勾股定理得， ，
解得 或 （负值舍去），
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角函数等知识，利用勾股定理列方程求出AF的长
是解题的关键．
14. 有一组数据： ， ， ， ， ．记
，则 __．
【答案】
【解析】
【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．
【详解】解： ；
；；
，
，
当 时，
原式
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
三、解答题（本大题共9个小题，满分58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的
答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得
【详解】解：原式
．
【点晴】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂，解题的关键是掌握特殊锐
角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质．
16. 先化简 ，再从1，2，3中选一个适当的数代入求值．【答案】 ，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算的法则进行化简后，再根据分式有意义的条件确定 的值，代入计算即可．
【详解】解：原式
；
因为 ， 时分式无意义，所以 ，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简与求值，掌握分式有意义的条件以及分式混合运算的方法是正确解答的关键．
17. 如图所示的方格纸 格长为一个单位长度）中， 的顶点坐标分别为 ， ， ．
（1）将 沿 轴向左平移5个单位，画出平移后的△ （不写作法，但要标出顶点字母）；
（2）将 绕点 顺时针旋转 ，画出旋转后的△ （不写作法，但要标出顶点字母）；
（3）在（2）的条件下，求点 绕点 旋转到点 所经过的路径长（结果保留 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出 ， ， 的对应点 ， ， 即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出 ， ， 的对应点 ， ， 即可；
（3）利用弧长公式求解即可．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求；
【小问2详解】
解：如图， (即△AOB）即为所求；
2 2
【小问3详解】
解：在 中， ，
．
【点睛】本题考查作图 旋转变换，平移变换，勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，
旋转变换的性质．
18. 中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短
至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高
铁的平均速度．【答案】296km/h
【解析】
【分析】设高铁的速度，再表示出普通列车的速度，然后根据高铁行驶的路程+40=普通列车行驶的路程列
出方程，再求出解即可．
【详解】解：设高铁的平均速度为xkm/h，则普通列车的平均速度为(x-200)km/h，
由题意得：x+40=3.5(x-200)，
解得：x=296.
答：高铁的平均速度为296 km/h．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
19. 如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ，点 是 的中点，连接 ，过点 作
交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）试判断四边形 的形状，并写出证明过程．
【答案】（1）见解析 （2）矩形，见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得 ，根据平行线的性质得 ，用ASA即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得 ，即可得四边形 为平行四边形，根据菱形的性质得
，即 ，即可得．
【小问1详解】
证明： 点 是 的中点，
，
又
，
在 和 中，
，
；
【小问2详解】
四边形 为矩形，证明如下：
证明： ，
，
又 ，
四边形 为平行四边形，
又 四边形 为菱形，
，
即 ，
四边形 为矩形．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的
性质．20. 为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据
调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：
频数分布统计表
组别 时间 （分钟） 频数
6
14
4
根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）频数分布统计表中的 ， ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有多少人？
（4）若 组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，
求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）18；8
（2）见解析 （3）240人
（4）【解析】
【分析】（1）由B组的频数除以所占百分比得出抽取的总人数，即可解决问题；
（2）由（1）的结果，补全频数分布直方图即可；
（3）由该校学生总人数乘以书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生所占的比例即可；
（4）列表得出共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公
式求解即可．
【小问1详解】
抽取的总人数为： （人），
∴m=50×36%=18，
∴n=50-6-14-18-4=8，
故答案为：18，8；
【小问2详解】
数分布直方图补全如下：
【小问3详解】
（人 ，
答：估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有240人；
【小问4详解】
列表如下：
男1 男2 女1 女2（男1，男 （男1，女
男1 （男1，女
（男2，女
男2 （男2，男 （男2，女
（女1，男
女1 （女1，男 （女1，女
（女2，男 （女1，女
女2 （女2，男
由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，
抽取的两名同学恰好是一男一女的概率 ．
【点睛】本题考查了用列表法求概率、频数分布直方图、频数分布表和扇形统计图等知识．列表法可以不
重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情
况数之比．
21. 阅读下列材料：
在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，求证： ．
证明：如图1，过点 作 于点 ，则：
在 中， CD=asinB
在 中，
根据上面的材料解决下列问题：（1）如图2，在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，求证： ；
（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域
需美化，已知 ， ， 米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：
，
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；
（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图2，过点 作 于点 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
；
【小问2详解】
解：如图3，过点 作 于点 ，
， ，
，
在 中，
又 ，即 ，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问
题的前提．
22. 如图，四边形 内接于圆 ， 是直径，点 是 的中点，延长 交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）1
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据圆周角推论得 ，根据点 是 的中点得
， ，用ASA证明 ，即可得；
（2）根据题意和全等三角形的性质得 ，根据四边形ABCD内接于圆O和角之间的关系得，即可得 ，根据相似三角形的性质得 ，即可得
【小问1详解】
证明：如图所示，连接 ，
为直径，
，
又 点 是 的中点
， ，
在 和 中，
，
，
；
【小问2详解】
解： ， ，
，
又 四边形 内接于圆 ，
，又 ，
，
又 ，
，
，
即： ，
解得： ，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，
正确添加辅助线是解题关键．
的
23. 如图，已知抛物线 图像与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
点 为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数表达式及点 的坐标；
（2）若四边形 为矩形， ．点 以每秒1个单位的速度从点 沿 向点 运动，同时点
以每秒2个单位的速度从点 沿 向点 运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以 、 、为顶点的三角形与 相似时，求运动时间 的值；
（3）抛物线的对称轴与 轴交于点 ，点 是点 关于点 的对称点，点 是 轴下方抛物线图像上的
动点．若过点 的直线 与抛物线只有一个公共点，且分别与线段 、 相交于
点 、 ，求证： 为定值．
【答案】（1） ；顶点为
（2） 或
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）设二次函数表达式为： ，将 、 代入 ，进行
计算即可得 ，根据二次函数的性质即可得；
（2）依题意， 秒后点 的运动距离为 ，则 ，点 的运动距离为 ，分情况
讨论：①当 时，②当 时，进行解答即可得；
（3）根据对称 的性质得 ，根据直线 与抛物线图像只有一个公共点，即
可得 ，利用待定系数法可得直线 的解析式为： ，直线 的解析式为： ，联立 ，结合已知 ，解得： ，同理可
得： ，运用三角函数求出GH，GK即可得．
【小问1详解】
解：设二次函数表达式为： ，
将 、 代入 得：
，
解得， ，
抛物线的函数表达式为： ，
又 ， ，
顶点为 ；
【小问2详解】
解：依题意， 秒后点 的运动距离为 ，则 ，点 的运动距离为 ．
①当 时，
，解得 ；
②当 时，
，
解得 ；
综上得，当 或 时，以 、 、 为顶点的三角形与 相似；
【小问3详解】
解： 点 关于点 的对称点为点 ，
，
直线 与抛物线图像只有一个公共点，
只有一个实数解，
△ ，
即： ，
解得： ，
利用待定系数法可得直线 的解析式为： ，直线 的解析式为： ，联立 ，结合已知 ，
解得： ，
同理可得： ，
则： ， ，
，
的值为 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，函数
与方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识，联立两函数关系求出点 和 的横坐标是解题的关键．
