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2011 年湖南省张家界市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）计算：﹣（﹣1）2011的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2011 D．﹣2011
2．（3分）下列事件中，不是必然事件的是（ ）
A．对顶角相等 B．内错角相等
C．三角形内角和等于180° D．等腰梯形是轴对称图形
3．（3分）一家鞋店对上一周某品牌女鞋的销量统计如下：
尺码（厘米） 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销量（双） 1 2 5 11 7 3 1
该店决定本周进货时，多进一些尺码为23.5厘米的鞋，影响鞋店决策的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
4．（3分）不等式3x﹣5＜3+x的解集是（ ）
A．x≤4 B．x≥4 C．x＜4 D．x＞4
5．（3分）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
6．（3分）顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
7．（3分）已知两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米，则另一圆的半
径是（ ）
A．16厘米 B．10厘米 C．6厘米 D．4厘米
8．（3分）关于x的一次函数y＝kx+k2+1的图象可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）
第1页（共15页）9．（3分）2011年4月10日4时47分，我国第八颗北斗导航卫星发射成功，标志着北斗区域
卫星导航系统的基本系统建成，打破了欧美对该领域的垄断．据中科院详细估算，该系统
到2020年有望形成价值400000000000元的产业，用科学记数法表示为 元．
10．（3分）我们可以利用计算器求一个正数a的算术平方根，其操作方法是按顺序进行按键
输入： ．小明按键输入 显示结果为 4，则他按键
输入显示结果应为 ．
11．（3分）因式分解：x3y2﹣x5＝ ．
12．（3分）一个物体的三视图如图所示，这个几何体是 ．
13．（3分）如图，点P是反比例函数 图象上的一点，则矩形PEOF的面积是 ．
14．（3分）两个袋子中分别装着写有1、2、3、4的四张卡片，从每一个袋子中各抽取一张，则
两张卡片上的数字之和是6的机会是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，∠BAD＝20°，则∠C＝
．
第2页（共15页）16．（3分）在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC与△DEF相
似，则需添加的一个条件是 （写出一种情况即可）．
三、解答题（本大题共9个小题，满分为72分）
17．（6分）计算： ．
18．（6分）将16个相同的小正方形拼成正方形网格，并将其中的两个小正方形涂成黑色，请
你用两种不同的方法分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称
图形．
19．（8分）先化简，再把x取一个你最喜欢的数代入求值： ．
20．（8分）推行新型农村合作医疗是近几年我国实行的一系列惠农政策之一，村民只要每人
每年自负20元，各级政府负担80元，就可以加入合作医疗，享受农村合作医疗带来的实
惠．小华与同学随机抽样调查了他们乡的部分村民，根据收集的数据，对参加合作医疗的
情况绘制了条形统计图，并对其中参加合作医疗者的药费报销情况绘制了扇形统计图；
根据以上信息，解答以下问题：
（1）本次调查了村民 位，被调查的村民中有 人报销了医药费；
（2）若该乡共有10000村民，请你估算一下已有多少人参加了合作医疗，要使参加合作医
第3页（共15页）疗的村民达到95%，还需多少村民参加．
21．（8分）张家界市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设
120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增
加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？
22．（8分）如图，某船由西向东航行，在点A测得小岛O在北偏东60°，船航行了10海里后到
达点B，这时测得小岛O在北偏东45°，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正
北方，求此时船到小岛的距离．
23．（8分）阅读材料：
如果x 、x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，那么，x +x ＝﹣ ，x x ＝ ．这就
1 2 1 2 1 2
是著名的韦达定理．现在我们利用韦达定理解决问题：
已知m与n是方程2x2﹣6x+3＝0的两根
（1）填空：m+n＝ ，m•n＝ ；
（2）计算 的值．
24．（8分）如图，在 O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，点P在弧AB上运动（不与A、
B重合），过点⊙C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．
（1）试猜想：△PCQ与△ACB具有何种关系？（不要求证明）；
（2）当点P运动到什么位置时，△ABC≌△PCB，并给出证明．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣2，2），连接OB、AB，
第4页（共15页）（1）求该抛物线的解析式．
（2）求证：△OAB是等腰直角三角形．
（3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的
坐标，试判断点P是否在此抛物线上．
（4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形？若存在，请求出点
M坐标及该直角梯形的面积；若不存在，请说明理由．
第5页（共15页）2011 年湖南省张家界市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）
1．【分析】根据有理数的乘方法则，可知（﹣1）2011＝﹣1，所以：﹣（﹣1）2011＝1．
【解答】解：原式＝﹣（﹣1）＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查有理数的乘方法则，关键在于求出：（﹣1）2011＝﹣1．
2．【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．据此判断即可解答．
【解答】解：A、为必然事件，不符合题意；
B、为不确定事件，两直线平行时才成立，符合题意；
C、为必然事件，不符合题意；
D、为必然事件，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的
主要方法．
用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一
组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．
故选：D．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
4．【分析】根据解不等式的步骤，移项，合并同类项，把x的系数化为1，注意解题过程中要注
意符号的变化．
【解答】解：3x﹣5＜3+x，
移项得：3x﹣x＜3+5，
合并同类项得：2x＜8，
把x的系数化为1得：x＜4，
∴不等式的解集为：x＜4．
第6页（共15页）故选：C．
【点评】此题主要考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项
要改变符号这一点而出错，因此同学们要注意符号问题．
5．【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
【解答】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1＝0，
解得：m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．
6．【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形
某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形．
【解答】解：连接BD，
已知任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边中点．
∵在△ABD中，E、H是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH＝ BD．
∵在△BCD中，G、F是DC、BC中点，
∴GF∥BD，GF＝ BD，
∴EH＝GF，EH∥GF，
∴四边形EFGH为平行四边形．
故选：A．
【点评】本题三角形的中位线的性质考查了平行四边形的判定：三角形的中位线平行于第
三边，且等于第三边的一半．
7．【分析】由两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米，根据两圆位置关
系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可求得另一圆的半径．
【解答】解：∵两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米，
∴10﹣6＝4（厘米），
∴另一圆的半径是4厘米．
第7页（共15页）故选：D．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r
的数量关系间的联系是解此题的关键．
8．【分析】根据图象与y轴的交点直接解答即可．
【解答】解：令x＝0，则函数y＝kx+k2+1的图象与y轴交于点（0，k2+1），∵k2+1＞0，∴图象
与y轴的交点在y轴的正半轴上．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）
9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将400 000 000 000用科学记数法表示为：400000000000＝4×1011，
故答案为4×1011．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．【分析】根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，直接解答即可．
【解答】解：∵ ＝4，
∴ ＝ ＝40．
故答案为：40．
【点评】本题主要考查数的开方，根据题意找出规律是解答本题的关键．
11．【分析】先提取公因式x3，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：x3y2﹣x5＝x3（y2﹣x2）＝x3（y﹣x）（y+x）．
故答案为：x3（y﹣x）（y+x）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二
次分解，注意分解要彻底．
12．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥．主视图和左视图为三角形可得此几
何体为圆锥．
故答案为：圆锥．
【点评】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力
第8页（共15页）方面的考查．
13．【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|，
再根据反比例函数的图象所在的象限确定k的值
【解答】解：∵点P是反比例函数 图象上的一点，
∴S＝|k|＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、
y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做
此类题一定要正确理解k的几何意义．
14．【分析】列举出所有情况，看两张卡片上的数字之和是6的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：
共16种情况，和等于6的情况数有3种，所以所求的概率为 ，故答案为 ．
【点评】考查概率的求法；得到两张卡片上的数字之和是6的情况数的解决本题的关键；用
到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．【分析】由已知条件，利用等边三角形三线合一的性质进行求解．
【解答】解：∵AB＝CA，
∴△ABC是等腰三角形，
∵D是BC边上的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵∠BAD＝20°．
∴∠C＝90°﹣20°＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；利用三线合一是正确解答本题的关键．
16．【分析】因为两三角形三边对应成比例，那么这两个三角形就相似，从题目知道有两组个
对应边的比为2：1，所以第三组也满足这个比例即可．
第9页（共15页）【解答】解：则需添加的一个条件是：BC＝2EF，且2＜BC＜14，1＜EF＜7．
∵在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，
∴AB：DE＝2：1，AC：DF＝2：1，
∵BC：EF＝2：1．
∴△ABC∽△DEF．
则添加的条件可以为： ∠A＝∠D或 BC：EF＝2：1．
故答案为： ∠A＝∠D①或 BC：EF＝②2：1．
【点评】本题①考查相似三角形②的判定定理，关键知道两三角形三边对应成比例的话，两三
角形相似．
三、解答题（本大题共9个小题，满分为72分）
17．【分析】分别根据0指数幂、数的立方及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混
合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝1﹣2+1，
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查的是实数混合运算的法则，熟知0指数幂、数的立方及特殊角的三角函数
值是解答此题的关键．
18．【分析】根据轴对称图形的性质得出，分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，
使它成为轴对称图形即可．
【解答】解：如图所示：
【点评】此题主要考查了轴对称图形的画法以及轴对称图形的性质，轴对称图形的考查是
重点题型同学们应熟练掌握．
19．【分析】将括号里通分，除法化为乘法，约分化简，再代值计算，代值时，x的取值不能使原
式的分母、除式为0．
第10页（共15页）【解答】解：原式＝[ ﹣ ]•
＝ •
＝ •
＝ ，
∵原式中，x＝2或x＝﹣2时，分母为0，分式无意义，故x≠2且x≠﹣2，
同时，x＝0时， 无意义．
当x＝6时，原式＝1．
【点评】本题考查了分式的化简求值．解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
20．【分析】（1）用参加合作医疗的人数与没有参加合作医疗的人数相加可得调查总人数，报
销了医药费的人数＝参加合作医疗的人数×7.5%；
（2）利用全村参加合作医疗人数＝10000×参加合作医疗的百分率求出数据，前后两个数
据相减即可解答．
【解答】解：（1）调查的村民数＝240+60＝300人，
参加合作医疗报销了医药费的人数＝240×7.5%＝18人；
（2）∵参加医疗合作的百分率为 ＝80%，
∴估计该乡参加合作医疗的村民有10000×80%＝8000人，
9500﹣8000＝1500人，即要使参加合作医疗的村民达到95%，还需1500名村民参加．
故答案为：300，18．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．
21．【分析】设原计划每天铺设管道x米，根据需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，
铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计
划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，根据等量关系：铺设120米管道的时间
+铺设（300﹣120）米管道的时间＝27天，可列方程求解．
【解答】解：设原计划每天铺设管道x米，
第11页（共15页）依题意得： ，
解得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天铺设管道10米．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出原计划每天铺设管道x米，以天数做为等量
关系列方程求解．
22．【分析】设OC＝x海里，依题意得，BC＝OC＝x，AC＝ ，再根据AC﹣BC＝10即可得
到关于x的一元一次方程，求出x的值即可．
【解答】解：设OC＝x海里，依题意得，BC＝OC＝x，AC＝ ．（3分）
∴AC﹣BC＝10，即（ ）x＝10，
∴x＝ ＝5（ +1），
答：船与小岛的距离是5（ +1）海里．（8分）
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意得出关于x的一元一
次方程是解答此题的关键．
23．【分析】（1）直接根据韦达定理计算即可得到m+n和mn；
（2）先把 变形，用m+n和mn表示，然后把（1）的值整体代入进行计算即可．
【解答】（1）答案为3， ．
（2） ＝ ＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根
分别为x ，x ，则x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ．
1 2 1 2 1 2
24．【分析】（1）由CP⊥CQ，AB是 O的直径，易得∠PCQ＝∠ACB＝90°，又由同弧所对的
圆周角相等，即可得∠A＝∠⊙P，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得
△PCQ∽△ACB；
（2）由△PCQ∽△ACB，只要AB＝PC即可，又由AB是直径，则可得当PC过圆心时，
△ABC≌△PCB．
【解答】解：（1）△PCQ∽△ACB；
第12页（共15页）理由：∵CP⊥CQ，AB是 O的直径，
∴∠PCQ＝∠ACB＝90°，⊙
∵∠A＝∠P，
∴△PCQ∽△ACB；
（2）当PC过圆心时，△ABC≌△PCB．（4分）
证明：∵PC和AB都是 O的直径，
∴∠ACB＝∠PBC＝90°⊙，（5分）
且AB＝PC，（6分）
又∠A＝∠P．（7分）
∴△ABC≌△PCB．（8分）
【点评】此题考查了圆的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定的知识．此题难度不
大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
25．【分析】（1）将A（﹣4，0）、B（﹣2，2）代入抛物线解析式y＝ax2+bx，列方程组求a、b的值
即可；
（2）根据所求抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，判断三角形的形状；
（3）根据△OAB的形状，旋转方向，旋转角，画出图形，可求A′、B′的坐标，根据中点坐
标公式求P的坐标，代入抛物线解析式进行判断；
（4）存在．过点O，作OM∥AB交抛物线于点M，根据△OAB为等腰直角三角形，可求直线
OM的解析式，与抛物线解析式联立，可求M点坐标，同理，过点A，作AM′∥OB交抛物
线于点M′，联立方程组可求M′的坐标，由图形的特殊性可知，两种情况下，梯形面积
相等，根据梯形面积公式求解．
【解答】（1）解：由A（﹣4，0）、B（﹣2，2）在抛物线y＝ax2+bx图象上，
得： （2分）
解之得：a＝﹣ ，b＝﹣2，
∴该函数解析式为：y＝﹣ x2﹣2x．（4分）
（2）证明：过点B作BC垂直于X轴，垂足是点C．（6分）
第13页（共15页）∵y＝﹣ x2﹣2x＝﹣ （x+2）2+2，
∴线段CO、CA、CB的长度均为2，
∴ △ ABC 和 △ OBC 为 全 等 的 等 腰 直 角 三 角 形 ，
∴AB＝OB
且∠ABO＝∠ABC+∠OBC＝90°
∴△OAB是等腰直角三角形（8分）
（3）解：如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′
其中点B′正好落在y轴上且B′A′∥x轴．
又∵OB′和A′B′的长度为2 ，
A′B′中点P的坐标为（ ，﹣2 ），显然不满足抛物线方程，
∴点P不在此抛物线上（10分）
（4）解：存在（11分）
过点O，作OM∥AB交抛物线于点M
易求出直线OM的解析式为：y＝x
第14页（共15页）联立抛物线解析式得：
解之得点M（﹣6，﹣6），
显然，点M（﹣6，﹣6）关于对称轴x＝﹣2的对称点M′（2，﹣6）也满足要求，
故满足条件的点M共有两个，坐标分别为（﹣6，﹣6）和（2，﹣6）
∴s
ABOM
＝S△ABO +s△AOM ＝ ×4×2+ ×4×6＝16．（12分）
（注：此题方法较多，只要合理均可给分）
【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意求抛物线解析式，根据解析式
确定图形的特殊性．
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日期：2020/9/17 11:15:42；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第15页（共15页）
