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湖南省张家界市 2021 年普通初中学业水平考试试卷
数学
考生注意：本学科试卷共三道大题，23道小题，满分100分，考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每个小题的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. -2021的绝对值等于（ ）
A. 2021 B. -2021 C. D.
2. 我国是世界上免费为国民接种新冠疫苗最多 的国家，截至2021年6月5日，免费接种数量已超过
700000000剂次，将700000000用科学计数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示 的几何体，其俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）A. B.
C. D.
5. 某校有4000名学生，随机抽取了400名学生进行体重调查，下列说法错误的是（ ）
A. 总体是该校4000名学生 的体重 B. 个体是每一个学生
C. 样本是抽取的400名学生的体重 D. 样本容量是400
6. 如图，正方形 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正
方形的中心成中心对称，设正方形 的面积为 ，黑色部分面积为 ，则 的比值为（ ）
A. B. C. D.
7. 对于实数 定义运算“☆”如下： ，例如 ，则方程
的根的情况为（ ）
A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根
8. 若二次函数 的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同
一个坐标系内的大致图象为（ ）A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
9. 已知方程 ，则 ______．
10. 如图是张家界市某周每天最高气温的折线统计图，则这7天的最高气温的中位数是______ ．
11. 如图，已知 ， 是 的平分线，若 ，则 ________．12. 不等式 的正整数解为______．
13. 如图， 内接于 ， ，点 是 的中点，连接 ， ， ，则
_________．
14. 如图，在正方形 外取一点 ，连接 ， ， ，过点 作 的垂线交 于点 ，若
， ．下列结论：① ；② ；③点 到直线 的距离
为 ；④ ，其中正确结论的序号为______．
三、解答题（本大题共9个小题，满分58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的
答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．）
15. 计算：
16. 先化简 ，然后从0，1，2，3中选一个合适的 值代入求解．
17. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活
动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数
10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
18. 如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ， ，对角线 所在的直线绕
点 顺时针旋转角 ，所得的直线 分别交 ， 于点 ．
（1）求证： ；
（2）当旋转角 为多少度时，四边形 为菱形？试说明理由．
19. 为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的
调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们家庭用餐使用公筷情况进行统计，统计分类为以下四种：A
（完全使用）、B（多数时间使用）、C（偶尔使用）、D（完全不使用），将数据进行整理后，绘制了两
幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生总人数共有_________．
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中A对应的扇形的圆心角度数是__________．
（4）为了了解少数学生完全不使用公筷的原因，学校决定从D组的学生中随机抽取两位进行回访，若D
组中有3名男生，其余均为女生，请用列表法或画树状图的方法，求抽取的两位学生恰好是一男一女的概
率．20. 如图，在 中， ， ，以点 为圆心， 为半径的圆交 的延
长线于点 ，过点 作 的平行线，交 于点 ，连接 ．
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ，求弧 的长．
21. 张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小
组设计以下方案测量桥的高度．如图，在桥面正下方的谷底选一观测点 ，观测到桥面 ， 的仰角分别
为 ，测得 长为320米，求观测点 到桥面 的距离．（结果保留整数，参考数据：
）
22. 阅读下面的材料：
如果函数 满足：对于自变量 取值范围内的任意 ， ，
（1）若 ，都有 ，则称 是增函数；
（2）若 ，都有 ，则称 是减函数．例题：证明函数 是增函数．
证明：任取 ，且 ，
则
∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴函数 是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数 ， ， ， _______， _______；
（2）猜想 是函数_________（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
23. 如图，已知二次函数 的图象经过点 且与 轴交于原点及点 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点 的坐标及直线 的表达式；（3）判断 的形状，试说明理由；
（4）若点 为 上的动点，且 的半径为 ，一动点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度
沿线段 匀速运动到点 ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段 匀速运动到点 后停止运动，求点
的运动时间 的最小值．
