长春市2025届高三质量监测（二）
数 学
本试卷共4页.考M束后，将答题卡交回•
注意小项：I.答卷侑，考生先将自己的姓名、准考证号码填写潘姬，将条形码池输粘贴
在考生信息条形码粘贴区.
2答黑时请按要求用笔.
3 .请按照磨号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的
答案无效；在草稿纸、试卷上答JS无效。
4 .作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字透的签字第描黑。
5 .保持卡面清油，不要折会，不要弄破、弄破，不准使用涂改液、修正带、
刮纸刀.
一、选择暧：本题共8小题，集小题5分，共40分.在每小超蛤出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1 .已知集合4 = （xU<x<7}, ^ = {x|x2-4x-5<0）,则NflB口
、（-LD B. （-bOU（5»7） C.[-L7） D. （1,5]
2 .复数2=二的共匏更数为
i+l
A l-i B. 1+i C. 2-2i D. 2+2i
3 .已知函数/（工）=（工+。-2）（寸+。-1）为奇函数，则。的值是
A3 B.1 或3 C.2 D. 1 或2
4 .已知应}为正项等比数列，若IgqJg娱 是函数/（工）=3/-12^+9的两个零点，
则4％925 =
A10 B. 104 C.I08 D. 1012
5 .过双曲线的左售点片作一条渐近线的垂线，垂足为H,线段跖的中点在另外一条
渐近线上，男双自线的离心率为
A. V2 B. 6 C. 2 D. 20
6 .已知等差数列&}的前〃:S和为S。，若号=与=6,则年的值为
A.0 B.3 C.6 D. 12
数学试题第1页（共4页）7 .在△血中，石配，点£在8。上，若"“而+g打，则”
2 。 4 5 6
N ~ B・-j
6 7
8 .如图，过硼倭P。的轴的饯面是边长为4的正三角形，过尸。的中
点。，作平行于底面的鼓面，以截面为底面挖去一个［01柱，则余下
几何体的浓面积为
A- 11冗+& B.1比+2区
C. I2n+^r D. 12兀+2＞/5）r
二、选择题】本速共3小！E,每小题6分，共18分,在每小JE给出的选项中，弟多项符
合题目要求.全箭选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 .为筹缶亚洲冬季运动会短道速滑男子500米预地爽，运动员甲和乙的5次训练成绩（单
位,秒）记录如下1
甲：41,43,45,46,49
乙：40,42,45,48,50
对训练成绩的统计，下列结论中正确的有
A甲的成绩的¥均数小于乙的成货的平均数
B.甲的成绫的中位数等于乙的成绩的中位效
Q甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差
D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
10 .函我/（x）-sin次+8Sar （。＞0）的最小正周期为兀，则
A- ©的值为2
B.工=-9是函数/（x）图致的一条对称轴
Q函数上）在Q,单调递减
D.当工日（0$时，方程/（力一。=0存在两个根，Mae（1,72）
11 .若数列｛4｝满足,＜叫「则下列说法正确的是
人存在数列（4）,使得对任意正整数P，9,都满足3口%+%
B.存在数列MJ,使得对任选正整数"闯，都消足% up%+qap
C.存在数列（qj,使得对任意正整数P，9,都满足 %=〃%+夕昨
D.存在数列（4）,使得对任意正整数PN,都满足，
（长春二模）数学试题第2页（共4页）三、填空S：本JS共3小题，每小题5分，共15分・
12 .(x+y-iy的展开式中，Fy'的系数为___________-
13 .正整敷4b满足3<a<bv9,则绊的最大值为__________ .
ab
14 .已知P为抛物线V=4x上一点，过点P作倾斜角互补的两条直线，分别与抛辘交
于4B两点，若直我的斜率为则点尸的坐标为_____________.
四、解答题：本题共5小JS,共77分.解答应写出文字说朗、证朗过程或演算步露
15 . (13 分)
在△丝C中，a, b, c分别为角4, B.。所对的边，且gc=b-acosC,角力的
平分线交BC于。，且8D=2£>C.
(1)求角4:
(2)若NC=3,求3的长
16 . (15 分)
已知函数 /(x) = ar+--Inx.
x
(1)斜率为3的直线与/(工)的图象相切，且与x捎交点的横坐标为T,求。的值;
(2)若/(0是比日上的单遢虫数，求。的取但范围.
17 . (15 分)
多面体XBCDEF中，四边形段C。为梯形，AB//CD, ZBCD=90\
BC=CD=EA = ED、AB 二氏且四边形BDEF为矩形.
2
(I)求证：£F_L平面。鹿： 七
(2)若乔=g乔，求平面8CF与平面尸/如所
成角的余弦值. /
数学试建第3页(共4页)区⑴分）
如图，矩形/BCD中，4B=8, BC=4石，E,F,G,H分别是矩形四条边的中点，
设砒祝，& =发，其中0。＜1,直线EP和G。的交点K在椭圆加 介看印
（。乂、0）上
（1）求施图上的方程；
C2）覆R07奇,过点R的动直线与捕陋工交于M,N两点，直线G",g分别交
国% 一面=3于&T两点，设直线GM,5的斜率分别为匕,％.
①求证：々,也为定值：
②直线ST是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由.
19. （17 分）
某企业举办企业年会，并在年会中设计了抽奖环节和游戏环节.
（D抽奖环毛£该企业每位员工在年会上都会得到相应的奖金X （单位：千元），
其奖金的平均值为5=30,标准差为$=5.经分析，X近似服从正态分布NJ，），用
奖金的平均值又作为"的近似值，用奖金的标准差s作为o•的近似值，现任意抽取一位
员工，求他所获得奖金在［35,40）的概率：
（2）海戏环节：从员工中随机抽取40名参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，
并制定游麒则如下：参与者想一枚骰子，初始分数为0,每次所得点数大于4,得2分,
否则，得1分.连续投掷累计得分达到9或10时，游戏结束.
①设员工在游戏过程中累计得〃分的概率为与，求巴；
②得9分的员工，获得二等奖，奖金1000元，得10分的员工，获得一等奖，奖金
2000元，估计该企业作为游蜂油的颈算资金（精确到1元）.
（参考数据：PQ-aWxW，+o）=0.6827, P（/z-2aWxW，+2G=0.9545,
』=
神-力龙1："+笫）=0.9973, L524x1（）t, !=5.08收炉，1 = L694xM）
（长春二模） 数学试展 第4页（共4页）长春市2025届高三质量监测（二）
数学参考答案与评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C B A A C D
题号 9 10 11
答案 ABD AD ABD
9
12, -30 13. — 14. （4,-4）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13 分）
【详解答案】
（1） —sin C = sin - sin - cos C........ （2 分）
2
—sin C = sin（^ + C） - sin - cos C........ （1 分）
—sin C = sin - cosC + sin C - cos A-sin A ' cosC........ （1 分）
2
—sinC = sin C - cos A
2
sinC W 0 ,则 cos A =—,则/=三.........（2 分）
2 3
（2）由角平分线定理可知48 = 6 .............. （1分）
SWBC ~ SmbD + S^CD........ 2 分）
-^C sin60° = - 245 ^£> sin30° + --^C ^Z） sin30°.............. （2分）
2 2 2
3x6x —= 6-JZ） - + 3 -
2 2 2
3>5 = AD + -AD
2
AD = 2yf3 . ........ （2 分）
16. （15 分）
【详解答案】
（1）设切点为％
、 1 1 ax： 。 —x。—1 1 八、
/'（%） = 〃[——= 2 — = 3, ........ （2 分）
% % /
数学试题第1页（共4页）则公0=3/+L+1①....... (1分)
工0
y-axQ- - + ]nxQ =3(x-x0)....... (2分)
-ax0--+lnx0 =3(-l-x0)@....... (1 分)
xo
联立①和②可得%=1,则a = 5........ (2分)
(2) /'(%) =。一3-工20或/'ao) = a—e - -^〈O..... (2 分=1 分+1 分)
% X。 x0 x0
或....... (1分)只写出一个，此处也给1分
令' 1], 或〃4»+，，
/ e
(d+£)max 或。<(*+/)min，.........(2 分=1 分+1 分)
即〃 22或+ ....... (2分=1分+1分)
e e
17. (15 分)
【详解答案】
(1)
BDLAD
=J_ 平面。ZE
每条定理给3分，共6分.
BDA.ED > = M_L 平面
EFU BD
(2)取4。中点40中点N
以以为原点，以九勿方向为x轴，以方向为y轴，
以ME方向为z轴，建立如图所示的坐标系....... (1分，独立给分)
。(一 1,0,0), £(0,0,1), 5(-1,2,0), C(-2,l,0), 4(1,0,0)
又而=丽=(0,2,0),则尸(0,2,1)
1 ― ? 2
“=#=(0,不0),则尸(0,1,1)
AD = (-2,0,0), BC = (-1,-1,0)
方二(一1,|,1), 丽= (1,0,1)
过程必不可少，没过程不能给分.
1二(0,3,-2), ............. (3 分) ^ = (1-1-1) (3分)
COS^ = E£|= =
\n}\\n2\ V13-V3 39
即平面BCb与平面P/D所成角的余弦值为叵........ (3分)
39
数学试题第2页(共4页)18. （17分）老师们请注意
【详解答案】
（1）由题可知 £（0,-2月），G（0,2百），尸（44,0）, 2（4,273（1-/1））
直线PE的方程为:蚱鼻-2百,可化为y + 2百=0, ........ （2分）
直线G。的方程为：y = 一警x + 20 可化为^一2百二一季x, ........ （2分）
则/- 12 = 一：/,所以椭圆方程为看+4=1. ........ a分）
4 16 12
利用求交点的方式，如果正确，此题也给满分！
（2）①设直线MN的方程为：y = kx-6 点”（再,必），点阳巧,为），
联立直线MN的方程为：y = kx-y/3
与椭圆E的方程：W += = l联立消去V可得：
16 12
百, xx = __.....
（3 + 4k2）x2 — 8A/3Ax - 36 = 0 ,则M 々=8 （2 分）
1 2 3 + 4/ 3 + 4 左 2
此=三友.上毡=吐追吐迪=（"鸣仆鸣
百 A 否 必 再 工2
= A:2-3a/3A:（—+ —） + —= A;2-3^-^^- + —. ........ （2 分）
X, x2 x1x2 xxx2 x,x2
代入国+夫=3嚼2，再“2 = 3+：；2 ,可得左.........（2：
②设直线ST的方程为：y = mx + nf点S（%3，%）,点「（必，乂），
联立直线ST与圆名的方程，
消去 y 可得（1 + 加2）工2 + ^2mn -2y/3m）x + n2 -2y[3n = 0
rn” 2Gm-2加〃 n2 — 2y/3n /c 八、
则为+/=1----1—，x3x4=-----丹一，........ （2 分）
\ + m \ + m
,t % -2G y4 -2a/3 /wx3 +n-2y/3 mx^ +n-2^3 / 〃-2百、/ n-z6、
勺,& = ------- -------= -----------------------= {m +------ ） •（加 +-------）
~ 巧 Z 与 X4 X3 X4
（〃― 百 （〃- 百 口
二m2+加Q _ 2百）（' + '） + 2 ）2 ;小 2+6（〃_2 百）-X3+X4 + 2 =_2
x3 x4 x3x4 为乙 X3X4 4
_ ........（2 分）
/n x 2y/3m -2mn n2 -2^3/1 _r/曰 8G
代入 " +X4 4 =--- \ - + -- m ;—— 2 ,X^ 3 X a 4 =----- l - - + -- - w -z 2 - , Rl 得〃=-- 1 - 3 -.
综上：直线ST恒过定点（0,哈）.........（2分）
数学试题第3页（共4页）19. （17 分）
【详解答案】
（1）由题意x~N（30,25）, .............. （1 分）
~°"』’
尸（35<x<40） = P（u + a<x<u + 2（t） = =0.1359 .............. （2分）
2 1
（2）①由题意........ （2 分）
P"-叱7吟通+"一2,
则/- = ?,解得上=1或左二一!，........ （2分）
2T 1 3
3 3
选先=1,2「"-如「月—2）..............（1分）
2 12 2 7
由........ （1 分）B=- + --- = - （1分）
1 3 2 3 3 3 9
则5―九二"（一；）"-2.................（1 分）
2_1-匕-2=2
9 n
八9）………•（2分）
当" = io时，/j0 = —=1.（—（-1）8）=-I.--.（-1）9..............（1 分）
3 3 4 4 3 4 4 3
综上一『鸿"2
卜鸿Id。）
©5 = 1000x40x7^+ 2OOOx4Ox/]o.............. （1 分）
4 1 1 1
=40000 x[- + -（-5.081xl 0-5）] + 80000 x 匚一上（一5.081 x 10.5）]。50001 元.
4 4 4 4
即估计游戏奖励的预算资金为50001元......... （2分）
数学试题第4页（共4页）
