文档内容
2019年湖南省湘潭市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在
答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
1．（3分）下列各数中是负数的是（ ）
A．|﹣3| B．﹣3 C．﹣（﹣3） D．
2．（3分）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000人，24000用科学记
数法表示为（ ）
A．0.24×105 B．2.4×104 C．2.4×103 D．24×103
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．（a2）3＝a5 C．2a+3a＝6a D．2a•3a＝6a2
5．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣4
6．（3分）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的
“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地
又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调
查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是
（ ）
A．平均数是8 B．众数是11 C．中位数是2 D．极差是10
7．（3分）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD
第1页（共28页）＝（ ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
8．（3分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型
快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与
小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江
每小时分拣x个物件，则可列方程为（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
9．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
10．（3分）若a+b＝5，a﹣b＝3，则a2﹣b2＝ ．
11．（3分）为庆祝新中国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”
活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的
机会均等，则选出的恰为女生的概率是 ．
12．（3分）计算：（ ）﹣1＝ ．
13．（3分）将一次函数y＝3x的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为 ．
14．（3分）四边形的内角和是 ．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，若AB＝CD，则添加一个条件 ，能得到平行四边
形ABCD．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）
16．（3分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用
第2页（共28页）的经验公式是：弧田面积＝ （弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的
阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，
运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦AB＝8米，半径等
于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 平方米．
三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写
在答题卡相应位置上，满分72分）
17．（6分）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．（6分）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还
可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）
立方差公式：x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2）
根据材料和已学知识，先化简，再求值： ﹣ ，其中x＝3．
第3页（共28页）19．（6分）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术
达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达
点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续
直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在
点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据： ≈1.41，
≈1.73）
20．（6分）每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的心
理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体2000名师生进行了心理测评，随机
抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析：
数据收集：抽取的20名师生测评分数如下
①85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，
73，54，83，76，70，85，83，63，92，90．
数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第：
② 分数x 90≤x＜100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60
人数 5 a 5 2 1
等第 A B C D E
数据分析：绘制成不完整的扇形统计图：
③依据统计信息回答问题
④（1）统计表中的a＝ ．
（2）心理测评等第C等的师生人数所占扇形的圆心角度数为 ．
（3）学校决定对E等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生
第4页（共28页）需要参加团队心理辅导？
21．（6分）如图，将△ABC沿着AC边翻折，得到△ADC，且AB∥CD．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若AC＝16，BC＝10，求四边形ABCD的面积．
22．（6分）2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“3+1+2”的高考选考方
案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选
考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考
（1）“1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例
如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）
（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．
他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列
表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中， M与x轴的正半轴交于A、B两点，与y轴的正半轴
⊙
第5页（共28页）相切于点C，连接MA、MC，已知 M半径为2，∠AMC＝60°，双曲线y＝ （x＞0）经过圆
⊙
心M．
（1）求双曲线y＝ 的解析式；
（2）求直线BC的解析式．
24．（8分）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色
农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲
礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘
莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．
（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销
量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大
是多少元？
25．（10分）如图一，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）B（3.0）、C（0， ）三点
第6页（共28页）（1）求该抛物线的解析式；
（2）P（x ，y ）、Q（4，y ）两点均在该抛物线上，若y ≤y ，求P点横坐标x 的取值范围；
1 1 2 1 2 1
（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，
连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN
周长的最小值．
26．（10分）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，AD＝5 ，CD＝5，点
M是线段AC上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点
N，连接BN．
第7页（共28页）（1）求∠CAD的大小；
（2）问题探究：动点M在运动的过程中，
是否能使△AMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由．
①∠MBN的大小是否改变？若不改变，请求出∠MBN的大小；若改变，请说明理由．
②（3）问题解决：
如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段
FH的长度．
第8页（共28页）2019 年湖南省湘潭市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在
答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
1．（3分）下列各数中是负数的是（ ）
A．|﹣3| B．﹣3 C．﹣（﹣3） D．
【分析】根据负数的定义可得B为答案．
【解答】解：﹣3的绝对值＝3＞0；
﹣3＜0；
﹣（﹣3）＝3＞0；
＞0．
故选：B．
【点评】本题运用了负数的定义来解决问题，关键是要有数感．
2．（3分）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．
【解答】解：A、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误；
B、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误；
C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确；
D、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误；
故选：C．
第9页（共28页）【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现
在三视图中．
3．（3分）今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000人，24000用科学记
数法表示为（ ）
A．0.24×105 B．2.4×104 C．2.4×103 D．24×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将24000用科学记数法表示为：2.4×104，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．（a2）3＝a5 C．2a+3a＝6a D．2a•3a＝6a2
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则和单项式乘以单项式分别求每
个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、结果是a3，故本选项不符合题意；
B、结果是a6，故本选项不符合题意；
C、结果是5a，故本选项不符合题意；
D、结果是6a2，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则和单项式乘以单项式等
知识点，能够正确求出每个式子的值是解此题的关键．
5．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣4
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c的一元一次方程，
解方程即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c＝0，
解得：c＝4．
故选：A．
第10页（共28页）【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根
的判别式得出关于c的一元一次方程是解题的关键．
6．（3分）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的
“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地
又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调
查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是
（ ）
A．平均数是8 B．众数是11 C．中位数是2 D．极差是10
【分析】从条形统计图中可以知道，选择公交7人，火车2人，地铁13人，轻轨11人，其它
7人，
极差为13﹣2＝11，故D不正确；出现次数最多的是7，即众数是7，故B不正确，从小到大
排列，第3个数都是7，即中位数是7，故C是不正确的；
（7+2+13+11+7）÷5＝8，即平均数是8，故A事正确的．
【解答】解：（7+2+13+11+7）÷5＝8，即平均数是8，故A事正确的．
出现次数最多的是7，即众数是7，故B不正确，
从小到大排列，第3个数都是7，即中位数是7，故C是不正确的；
极差为13﹣2＝11，故D不正确；
故选：A．
【点评】考查平均数、众数、中位数、极差的意义和求法，正确掌握这几个统计量的意义是
解决问题的前提．
7．（3分）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD
＝（ ）
第11页（共28页）A．45° B．40° C．35° D．30°
【分析】首先根据旋转角定义可以知道∠BOD＝70°，而∠AOB＝40°，然后根据图形即可求
出∠AOD．
【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，
∴∠BOD＝70°，
而∠AOB＝40°，
∴∠AOD＝70°﹣40°＝30°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对
应角相等等知识．
8．（3分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型
快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与
小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江
每小时分拣x个物件，则可列方程为（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的
分式方程．
二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
9．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 x ≠ 6 ．
第12页（共28页）【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣6≠0，
解得x≠6．
故答案为：x≠6．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10．（3分）若a+b＝5，a﹣b＝3，则a2﹣b2＝ 1 5 ．
【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．
【解答】解：∵a+b＝5，a﹣b＝3，
∴a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝5×3
＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键．
11．（3分）为庆祝新中国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”
活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的
机会均等，则选出的恰为女生的概率是 ．
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【解答】解：选出的恰为女生的概率为 ，
故答案为 ．
【点评】本题考查了概率，熟练运用概率公式计算是解题的关键．
12．（3分）计算：（ ）﹣1＝ 4 ．
【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．
【解答】解：（ ）﹣1＝ ＝4，
第13页（共28页）故答案为：4．
【点评】本题考查了负整数指数幂，利用了负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．
13．（3分）将一次函数y＝3x的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为 y ＝ 3 x + 2
．
【分析】根据“上加下减”的平移规律进行解答即可．
【解答】解：将正比例函数y＝3x的图象向上平移2个单位后所得函数的解析式为y＝
3x+2，
故答案为：y＝3x+2．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题
的关键．
14．（3分）四边形的内角和是 360 ° ．
【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．
【解答】解：（4﹣2）×180°＝360°．
故四边形的内角和为360°．
故答案为：360°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容，比较简单．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，若AB＝CD，则添加一个条件 AD ＝ BC ，能得到平行
四边形ABCD．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）
【分析】可再添加一个条件AD＝BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边
形ABCD是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD＝BC．
故答案为：AD＝BC（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是
解题的关键．
16．（3分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用
的经验公式是：弧田面积＝ （弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的
第14页（共28页）阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，
运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦AB＝8米，半径等
于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 1 0 平方米．
【分析】根据垂径定理得到AD＝4，由勾股定理得到OD＝ ＝3，求得OA﹣OD
＝2，根据弧田面积＝ （弦×矢+矢2）即可得到结论．
【解答】解：∵弦AB＝8米，半径OC⊥弦AB，
∴AD＝4，
∴OD＝ ＝3，
∴OA﹣OD＝2，
∴弧田面积＝ （弦×矢+矢2）＝ ×（8×2+22）＝10，
故答案为：10．
【点评】此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答．
三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写
在答题卡相应位置上，满分72分）
17．（6分）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解： ，
解不等式 得，x≤3，
①
第15页（共28页）解不等式 ，x＞﹣1，
所以，原②不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
在数轴上表示如下：
．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求
不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
18．（6分）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还
可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）
立方差公式：x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2）
根据材料和已学知识，先化简，再求值： ﹣ ，其中x＝3．
【分析】根据题目中的公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可
解答本题．
【解答】解： ﹣
＝
＝
＝ ，
当x＝3时，原式＝ ＝2．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．（6分）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术
达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达
点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续
直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在
第16页（共28页）点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据： ≈1.41，
≈1.73）
【分析】利用已知结合锐角三角函数关系得出BM的长．
【解答】解：如图所示：连接MN，由题意可得：∠AMN＝90°，∠ANM＝30°，∠BNM＝45°，
AN＝8km，
在直角△AMN中，MN＝AN•cos30°＝8× ＝4 （km）．
在直角△BMN中，BM＝MN•tan45°＝4 km≈6.9km．
答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9km．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三
角形并解直角三角形．
20．（6分）每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的心
理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体2000名师生进行了心理测评，随机
抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析：
数据收集：抽取的20名师生测评分数如下
①85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，
73，54，83，76，70，85，83，63，92，90．
数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第：
②
第17页（共28页）分数x 90≤x＜100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60
人数 5 a 5 2 1
等第 A B C D E
数据分析：绘制成不完整的扇形统计图：
③依据统计信息回答问题
④（1）统计表中的a＝ 7 ．
（2）心理测评等第C等的师生人数所占扇形的圆心角度数为 90 ° ．
（3）学校决定对E等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生
需要参加团队心理辅导？
【分析】（1）根据D组人数以及百分比求出总人数，再求出a即可．
（2）根据圆心角＝360°×百分比计算即可．
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）总人数＝2÷10%＝20（人），a＝20×35%＝7，
故答案为7．
（2）C所占的圆心角＝360°× ＝90°，
故答案为90°．
（3）2000× ＝100（人），
答：估计有100名师生需要参加团队心理辅导．
【点评】本题考查扇形统计图，样本估计总体的思想，频数分布表等知识，解题的关键是熟
练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（6分）如图，将△ABC沿着AC边翻折，得到△ADC，且AB∥CD．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
第18页（共28页）（2）若AC＝16，BC＝10，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）由折叠的性质得出AB＝AD，BC＝CD，∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，由
平行线的性质得出∠BAC＝∠DAC，得出∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，证出
AD∥BC，AB＝AD＝BC＝CD，即可得出结论；
（2）连接BD交AC于O，由菱形的性质得出AC⊥BD，OA＝OB＝ AC＝8，OB＝OD，由勾
股定理求出OB＝ ＝6，得出BD＝2OB＝12，由菱形面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形；理由如下：
∵△ABC沿着AC边翻折，得到△ADC，
∴AB＝AD，BC＝CD，∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，
∴AD∥BC，AB＝AD＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝ AC＝8，OB＝OD，
∴OB＝ ＝ ＝6，
∴BD＝2OB＝12，
∴四边形ABCD的面积＝ AC×BD＝ ×16×12＝96．
第19页（共28页）【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识；
熟练掌握翻折变换的性质，证明四边形ABCD是菱形是解题的关键．
22．（6分）2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“3+1+2”的高考选考方
案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选
考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考
（1）“1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例
如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）
（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．
他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列
表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．
【分析】（1）利用树状图可得所有等可能结果；
（2）画树状图展示所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可
得．
【解答】解：（1）画树状图如下，
由树状图知，共有12种等可能结果；
（2）画树状图如下
由树状图知，共有9种等可能结果，其中他们恰好都选中政治的只有1种结果，
所以他们恰好都选中政治的概率为 ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出
第20页（共28页）n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中， M与x轴的正半轴交于A、B两点，与y轴的正半轴
⊙
相切于点C，连接MA、MC，已知 M半径为2，∠AMC＝60°，双曲线y＝ （x＞0）经过圆
⊙
心M．
（1）求双曲线y＝ 的解析式；
（2）求直线BC的解析式．
【分析】（1）先求出CM＝2，再判断出四边形OCMN是矩形，得出MN，进而求出点M的
坐标，即可得出结论；
（2）先求出点C的坐标，再用三角函数求出AN，进而求出点B的坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，过点M作MN⊥x轴于N，
∴∠MNO＝90°，
∵ M切y轴于C，
∴⊙∠OCM＝90°，
∵∠CON＝90°，
∴∠CON＝∠OCM＝∠ONM＝90°，
∴四边形OCMN是矩形，
∴AM＝CM＝2，∠CMN＝90°，
∵∠AMC＝60°，
∴∠AMN＝30°，
在Rt△ANM中，MN＝AM•cos∠AMN＝2× ＝ ，
∴M（2， ），
∵双曲线y＝ （x＞0）经过圆心M，
∴k＝2× ＝2 ，
第21页（共28页）∴双曲线的解析式为y＝ （x＞0）；
（2）如图，过点B，C作直线，
由（1）知，四边形OCMN是矩形，
∴CM＝ON＝2，OC＝MN＝ ，
∴C（0， ），
在Rt△ANM中，∠AMN＝30°，AM＝2，
∴AN＝1，
∵MN⊥AB，
∴BN＝AN＝1，OB＝ON+BN＝3，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝k'x+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣ x+ ．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的判定和性质，锐角三角函数，待定系
数法，求出点M的坐标是解本题的关键．
24．（8分）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色
农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲
礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘
莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．
（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销
第22页（共28页）量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大
是多少元？
【分析】（1）根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，列二元一次方程
组即可解题
（2）根据题意，可设A种礼盒降价m元/盒，则A种礼盒的销售量为：（10+ ）盒，再列出关
系式即可．
【解答】解：（1）根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，
则有 ，解得
故该店平均每天销售A礼盒10盒，B种礼盒为20盒．
（2）设A种湘莲礼盒降价m元/盒，利润为W元，依题意
总利润W＝（120﹣m﹣72）（10+ ）+800
化简得W＝ m2+6m+1280＝﹣ （m﹣9）2+1307
∵a＝ ＜0
∴当m＝9时，取得最大值为1307，
故当A种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307
元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数
的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最
优方案．
25．（10分）如图一，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）B（3.0）、C（0， ）三点
（1）求该抛物线的解析式；
第23页（共28页）（2）P（x ，y ）、Q（4，y ）两点均在该抛物线上，若y ≤y ，求P点横坐标x 的取值范围；
1 1 2 1 2 1
（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，
连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN
周长的最小值．
【分析】（1）将三个点的坐标代入，求出a、b、c，即可求出关系式；
（2）可以求出点Q（4，y ）关于对称轴的对称点的横坐标为：x＝﹣2，根据函数的增减性，
2
可以求出当y ≤y 时P点横坐标x 的取值范围；
1 2 1
（3）由于点F是BC的中点，可求出点F的坐标，根据对称找出F关于直线CD、CE的对称
点，连接两个对称点的直线与CD、CE的交点M、N，此时三角形的周长最小，周长就等于
这两个对称点之间的线段的长，根据坐标，和勾股定理可求．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）B（3.0）、C（0， ）三点
∴ 解得：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
∴抛物线的解析式为：y＝ x2+ x+ ．
（2）抛物线的对称轴为x＝1，抛物线上与Q（4，y ）相对称的点Q′（﹣2，y ）
2 2
P（x ，y 在该抛物线上，y ≤y ，根据抛物线的增减性得：
1 1 1 2
∴x ≤﹣2或x ≥4
1 1
答：P点横坐标x 的取值范围：x ≤﹣2或x ≥4．
1 1 1
（3）∵C（0， ），B，（3，0），D（1，0）
∴OC＝ ，OB＝3，OD，＝1
∵F是BC的中点，
∴F（ ， ）
当点F关于直线CE的对称点为F′，关于直线CD的对称点为F″，直线F′F″与CD、
CE交点为M、N，此时△FMN的周长最小，周长为F′F″的长，由对称可得到：F′（ ，
），F″（0，0）即点O，
第24页（共28页）F′F″＝F′O＝ ＝3，
即：△FMN的周长最小值为3，
【点评】考查待定系数法求函数的关系式、二次函数的性质、对称性，勾股定理以及最小值
的求法等知识，函数的对称性，点关于直线的对称点的求法是解决问题的基础和关键．
26．（10分）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，AD＝5 ，CD＝5，点
M是线段AC上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点
N，连接BN．
（1）求∠CAD的大小；
（2）问题探究：动点M在运动的过程中，
是否能使△AMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由．
①∠MBN的大小是否改变？若不改变，请求出∠MBN的大小；若改变，请说明理由．
②（3）问题解决：
如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段
FH的长度．
【分析】（1）在Rt△ADC中，求出∠DAC的正切值即可解决问题．
（2） 分两种情形：当NA＝NM时，当AN＝AM时，分别求解即可．
第25页（共28页）
①∠MBN＝30°．利用四点共圆解决问题即可．
（②3）首先证明△ABM是等边三角形，再证明BN垂直平分线段AM，解直角三角形即可解
决问题．
【解答】解：（1）如图一（1）中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∵tan∠DAC＝ ＝ ＝ ，
∴∠DAC＝30°．
（2） 如图一（1）中，当AN＝NM时，
∵∠B①AN＝∠BMN＝90°，BN＝BN，AN＝NM，
∴Rt△BNA≌Rt△BNM（HL），
∴BA＝BM，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝∠DAC＝30°，AB＝CD＝5，
∴AC＝2AB＝10，
∵∠BAM＝60°，BA＝BM，
∴△ABM是等边三角形，
∴AM＝AB＝5，
∴CM＝AC﹣AM＝5．
如图一（2）中，当AN＝AM时，易证∠AMN＝∠ANM＝15°，
第26页（共28页）∵∠BMN＝90°，
∴∠CMB＝75°，∵∠MCB＝30°，
∴∠CBM＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴∠CMB＝∠CBM，
∴CM＝CB＝5 ，
综上所述，满足条件的CM的值为5或5 ．
结论：∠MBN＝30°大小不变．
②理由：如图一（1）中，∵∠BAN+∠BMN＝180°，
∴A，B，M，N四点共圆，
∴∠MBN＝∠MAN＝30°．
如图一（2）中，∵∠BMN＝∠BAN＝90°，
∴A，N，B，M四点共圆，
∴∠MBN+∠MAN＝180°，
∵∠DAC+∠MAN＝180°，
∴∠MBN＝∠DAC＝30°，
综上所述，∠MBN＝30°．
（3）如图二中，
第27页（共28页）∵AM＝MC，
∴BM＝AM＝CM，
∴AC＝2AB，
∴AB＝BM＝AM，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠BAM＝∠BMA＝60°，
∵∠BAN＝∠BMN＝90°，
∴∠NAM＝∠NMA＝30°，
∴NA＝NM，
∵BA＝BM，
∴BN垂直平分线段AM，
∴FM＝ ，
∴NM＝ ＝ ，
∵∠NFM＝90°，NH＝HM，
∴FH＝ MN＝ ．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三
角形，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
第28页（共28页）
