文档内容
2014 年湖南省怀化市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的
代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．（3分）（2014•怀化）我国南海海域面积为3500000km2，用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.5×105cm2 B．3.5×106cm2 C．3.5×107cm2 D．3.5×108cm2
2．（3分）（2014•怀化）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠1=30°，则∠2的
度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
3．（3分）（2014•怀化）多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（ ）
A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12） D．a（x+6）（x﹣2）
4．（3分）（2014•怀化）下列物体的主视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2014•怀化）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点
O，则下列判断不正确的是（ ）
A．△ABC≌△DCB B．△AOD≌△COB C．△ABO≌△DCO D．△ADB≌△DAC
6．（3分）（2014•怀化）不等式组 的解集是（ ）
A．﹣1≤x＜2 B．x≥﹣1 C．x＜2 D．﹣1＜x≤2
7．（3分）（2014•怀化）某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼时间，
列表如下：
锻炼时间（小时） 5 6 7 8
人数 2 6 5 2则这15名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别是（ ）
A．6，7 B．7，7 C．7，6 D．6，6
8．（3分）（2014•怀化）已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数y=kx和反比例函
数y= 在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
9．（3分）（2014•怀化）计算：（﹣1）2014= ．
10．（3分）（2014•怀化）分解因式：2x2﹣8= ．
11．（3分）（2014•怀化）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S ：S =
△ADE △ABC
．
12．（3分）（2014•怀化）分式方程 = 的解为 ．
13．（3分）（2014•怀化）如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，
此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角∠A= °．14．（3分）（2014•怀化）已知点A（﹣2，4）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，则k的值为
．
15．（3分）（2014•怀化）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延长BC到D，则∠ACD=
°．
16．（3分）（2014•怀化）某校九年级有560名学生参加了市教育局举行的读书活动，现随机调
查了70名学生读书的数量，根据所得数据绘制了如图的条形统计图，请估计该校九年级学
生在此次读书活动中共读书 本．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（6分）（2014•怀化）计算：|﹣3|﹣ ﹣（ ）0+4sin45°．
18．（6分）（2014•怀化）设一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（1，3）、B（0，﹣2）两点，试求
k，b的值．19．（10分）（2014•怀化）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=∠AFE，EA是∠BEF的角平分
线．求证：
（1）△ABE≌△AFE；
（2）∠FAD=∠CDE．
20．（10分）（2014•怀化）甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形
状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．
（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；
（2）从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶
数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请
说明理由．
21．（10分）（2014•怀化）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西
方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距
离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部
（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作
法，只保留作图痕迹）
（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（ +1）km，在M处测得点C位于点M的
北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．22．（10分）（2014•怀化）如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EF⊥DE交BC于点F
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）设H是ED上一点，以EH为直径作⊙O，DF与⊙O相切于点G，若DH=OH=3，求图中阴
影部分的面积（结果保留到小数点后面第一位， ≈1.73，π≈3.14）．
23．（10分）（2014•怀化）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣
3m+3=0有两个不相等的实数根 ，x ．
1 2
（1）若 + =1，求 的值；
（2）求 + ﹣m2的最大值．
24．（10分）（2014•怀化）如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，
射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平
行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y．（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的
抛物线的解析式；
（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB的面
积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．2014 年湖南省怀化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的
代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．（3分）（2014•怀化）我国南海海域面积为3500000km2，用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.5×105cm2 B．3.5×106cm2 C．3.5×107cm2 D．3.5×108cm2
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将3500000用科学记数法表示为：3.5×106．
故选：B．
点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|
a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3分）（2014•怀化）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠1=30°，则∠2的
度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
考点：平行线的性质．
专题：计算题．
分析：根据平行线的性质得∠2=∠3，再根据互余得到∠1=60°，所以∠2=60°．
解答：解：∵a∥b，
∴∠2=∠3，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=90°﹣30°=60°，
∴∠2=60°．
故选D．
点评：本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直
线平行，内错角相等．
3．（3分）（2014•怀化）多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（ ）
A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12） D．a（x+6）（x﹣2）
考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法
分析：首先提取公因式a，进而利用十字相乘法分解因式得出即可．
解答：解：ax2﹣4ax﹣12a=a（x2﹣4x﹣12）
=a（x﹣6）（x+2）．
点评：此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确利用十字相乘法分解因
式是解题关键．
4．（3分）（2014•怀化）下列物体的主视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图
分析：根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解答：解：A、只是图是矩形，故A不符合题意；
B、主视图是三角形，故B不符合题意；
C、主视图是圆，故C符合题意；
D、主视图是正方形，故D不符合题意；
故选：C．
点评：本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5．（3分）（2014•怀化）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点
O，则下列判断不正确的是（ ）
A．△ABC≌△DCB B．△AOD≌△COB C．△ABO≌△DCO D．△ADB≌△DAC
考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定．
分析：由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，可得∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，易证得
△ABC≌△DCB，△ADB≌△DAC；继而可证得∠ABO=∠DCO，则可证得
△ABO≌△DCO．
解答：解：A、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）；故正确；
B、∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∵BC＞AD，
∴△AOD不全等于△COB；故错误；
C、∵△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ABO=∠DCO，
在△ABO和△DCO中，，
∴△ABO≌△DCO（AAS）；故正确；
D、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠BAD=∠CDA，
在△ADB和△DAC中，
，
∴△ADB≌△DAC（SAS），故正确．
故选B．
点评：此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌
握数形结合思想的应用．
6．（3分）（2014•怀化）不等式组 的解集是（ ）
A．﹣1≤x＜2 B．x≥﹣1 C．x＜2 D．﹣1＜x≤2
考点：解一元一次不等式组．
分析：分别求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范围即可．
解答：
解： ，
由①得，4x＜8，x＜2，
由②得，x≥﹣1，
故不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故选A．
点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大
大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．（3分）（2014•怀化）某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼时间，
列表如下：
锻炼时间（小时）5 6 7 8
人数 2 6 5 2
则这15名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别是（ ）
A．6，7 B．7，7 C．7，6 D．6，6
考点：众数；中位数．
分析：根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
解答：解：∵共有15个数，最中间的数是8个数，
∴这15名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数是6；
6出现的次数最多，出现了6次，则众数是6；
故选D．
点评：此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，
最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据
中出现次数最多的数．8．（3分）（2014•怀化）已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数y=kx和反比例函
数y= 在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象；一次函数图象与系数的关系．
分析：根据一次函数图象可以确定k、b的符号，根据k、b的符号来判定正比例函数y=kx和
反比例函数y= 图象所在的象限．
解答：解：如图所示，∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0．
∴正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，
反比例函数y= 的图象经过第二、四象限．
综上所述，符合条件的图象是C选项．
故选：C．
点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才
能灵活解题．
二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
9．（3分）（2014•怀化）计算：（﹣1）2014= 1 ．
考点：有理数的乘方
分析：根据（﹣1）的偶数次幂等于1解答．
解答：解：（﹣1）2014=1．
故答案为：1．
点评：本题考查了有理数的乘方，﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1．
10．（3分）（2014•怀化）分解因式：2x2﹣8= 2 （ x+ 2 ）（ x﹣ 2 ） ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．
专题：常规题型．
分析：先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：解：2x2﹣8
=2（x2﹣4）
=2（x+2）（x﹣2）．
故答案为：2（x+2）（x﹣2）．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因
式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11．（3分）（2014•怀化）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S ：S =
△ADE △ABC
1 ： 4 ．
考点：三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质
分析：
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE= BC，
再求出△ADE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
解答：解：∵D、E是边AB、AC上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC且DE= BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S ：S =（1：2）2=1：4．
△ADE △ABC
故答案为：1：4．
点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定
与性质，熟记定理与性质是解题的关键．
12．（3分）（2014•怀化）分式方程 = 的解为 x= 1 ．
考点：解分式方程
专题：计算题．
分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
式方程的解．
解答：解：去分母得：3x﹣6=﹣x﹣2，
移项合并得：4x=4，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解．
故答案为：x=1．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
13．（3分）（2014•怀化）如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，
此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角∠A= 3 0 °．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析：直接利用正弦函数的定义求解即可．
解答：解：由题意得：AB=4米，BC=2米，
在Rt△ABC中，sinA= = = ，
故∠A=30°，
故答案为：30．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，牢记正弦函数的定义是解答本题的关键．
14．（3分）（2014•怀化）已知点A（﹣2，4）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，则k的值为
﹣ 8 ．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：
直接把点A（﹣2，4）代入反比例函数y= （k≠0），求出k的值即可．
解答：
解：∵点A（﹣2，4）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，
∴4= ，解得k=﹣8．
故答案为：﹣8．
点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一
定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
15．（3分）（2014•怀化）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延长BC到D，则∠ACD=
80 °．
考点：三角形的外角性质．
分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答：解：∵∠A=30°，∠B=50°，
∴∠ACD=∠A+∠B=30°+50°=80°．
故答案为：80．点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质是解题的关
键．
16．（3分）（2014•怀化）某校九年级有560名学生参加了市教育局举行的读书活动，现随机调
查了70名学生读书的数量，根据所得数据绘制了如图的条形统计图，请估计该校九年级学
生在此次读书活动中共读书 204 0 本．
考点：用样本估计总体；条形统计图．
分析：利用条形统计图得出70名同学一共借书的本数，进而得出该校九年级学生在此次读
书活动中共读书本数．
解答：解：由题意得出：70名同学一共借书：2×5+30×3+20×4+5×15=255（本），
故该校九年级学生在此次读书活动中共读书： ×255=2040（本）．
故答案为：2040．
点评：此题主要考查了用样本估计总体以及条形统计图等知识，得出70名同学一共借书的
本数是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（6分）（2014•怀化）计算：|﹣3|﹣ ﹣（ ）0+4sin45°．
考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
专题：计算题．
分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用零指
数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
解答：
解：原式=3﹣2 ﹣1+4× =3﹣2 ﹣1+2 =2．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）（2014•怀化）设一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（1，3）、B（0，﹣2）两点，试求
k，b的值．
考点：待定系数法求一次函数解析式
专题：计算题．
分析：直接把A点和B点坐标代入y=kx+b，得到关于k和b的方程组，然后解方程组即可．
解答：
解：把A（1，3）、B（0，﹣2）代入y=kx+b得 ，解得 ，
即k，b的值分别为5，﹣2．
点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函
数的解析式时，先设y=kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所
设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数
的值，进而写出函数解析式．
19．（10分）（2014•怀化）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=∠AFE，EA是∠BEF的角平分
线．求证：
（1）△ABE≌△AFE；
（2）∠FAD=∠CDE．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：（1）根据角平分线的性质可得∠1=∠2，再加上条件∠B=∠AFE，公共边AE，可利用
AAS证明△ABE≌△AFE；
（2）首先证明AF=CD，再证明∠B=∠AFE，∠AFD=∠C可证明△AFD≌△DCE进而得到
∠FAD=∠CDE．
解答：证明：（1）∵EA是∠BEF的角平分线，
∴∠1=∠2，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（AAS）；
（2）∵△ABE≌△AFE，
∴AB=AF，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB=CD，AD∥CB，AB∥CD，
∴AF=CD，∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠AFE，∠AFE+∠AFD=180°，
∴∠AFD=∠C，
在△AFD和△DCE中，
，
∴△AFD≌△DCE（AAS），
∴∠FAD=∠CDE．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确证明
△AFD≌△DCE．
20．（10分）（2014•怀化）甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形
状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．
（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；
（2）从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶
数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请
说明理由．
考点：游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．
分析：（1）由把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋
中，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜，乙胜的
情况，即可求得求概率，比较大小，即可知这个游戏是否公平．
解答：解：（1）∵三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋
中，
∴从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为： ；
（2）这个游戏不公平．
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出
的球的标号之和为奇数的有4种情况，
∴P（甲胜）= ，P（乙胜）= ．
∴P（甲胜）≠P（乙胜），
∴这个游戏不公平．
点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相
等就公平，否则就不公平．
21．（10分）（2014•怀化）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西
方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距
离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部
（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作
法，只保留作图痕迹）
（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（ +1）km，在M处测得点C位于点M的
北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．考点：解直角三角形的应用-方向角问题；作图—应用与设计作图
分析：（1）到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点
在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为
所求作的点C．
（2）作CD⊥MN于点D，由题意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，分别在Rt△CMD中和
Rt△CND中，用CD表示出MD和ND的长，从而求得CD的长即可．
解答：解：（1）答图如图：
（2）作CD⊥MN于点D，
由题意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，
∵在Rt△CMD中， =tan∠CMN，
∴MD= = ；
∵在Rt△CND中， =tan∠CNM，
∴ND= =CD；
∵MN=2（ +1）km，
∴MN=MD+DN=CD+ CD=2（ +1）km，
解得：CD=2km．
∴点C到公路ME的距离为2km．
点评：本题考查了解直角三角形的应用及尺规作图，正确的作出图形是解答本题的关键，难
度不大．
22．（10分）（2014•怀化）如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EF⊥DE交BC于点F
（1）求证：△ADE∽△ BEF；（2）设H是ED上一点，以EH为直径作⊙O，DF与⊙O相切于点G，若DH=OH=3，求图中阴
影部分的面积（结果保留到小数点后面第一位， ≈1.73，π≈3.14）．
考点：切线的性质；矩形的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定；特殊角的三角函数
值．
专题：综合题．
分析：（1）由条件可证∠AED=∠EFB，从而可证△ADE∽△BEF．
（2）由DF与⊙O相切，DH=OH=OG=3可得∠ODG=30°，从而有∠GOE=120°，并可求
出DG、EF长，从而可以求出△DGO、△DEF、扇形OEG的面积，进而可以求出图中阴
影部分的面积．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°．
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°．
∴∠AED=90°﹣∠BEF=∠EFB．
∵∠A=∠B，∠AED=∠EFB，
∴△ADE∽△BEF．
（2）解：∵DF与⊙O相切于点G，
∴OG⊥DG．
∴∠DGO=90°．
∵DH=OH=OG，
∴sin∠ODG= = ．
∴∠ODG=30°．
∴∠GOE=120°．
∴S扇形OEG = =3π．
在Rt△DGO中，
cos∠ODG= = = ．
∴DG=3 ．
在Rt△DEF中，
tan∠EDF= = = ．
∴EF=3 ．
∴S = DE•EF= ×9×3 = ，
△DEF
S = DG•GO= ×3 ×3= ．
△DGO
∴S阴影=S
△DEF
﹣S
△DGO
﹣S扇形OEG
= ﹣ ﹣3π=.9 ﹣3π
≈9×1.73﹣3×3.14
=6.15
≈6.2
∴图中阴影部分的面积约为6.2．
点评：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定、切线的性质、特殊角的三角函数值、扇形
的面积等知识，考查了用割补法求不规则图形的面积．
23．（10分）（2014•怀化）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣
3m+3=0有两个不相等的实数根 ，x ．
1 2
（1）若 + =1，求 的值；
（2）求 + ﹣m2的最大值．
考点：根与系数的关系；根的判别式；二次函数的最值．
分析：（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的
m的值；
（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围
求出代数式的最大值．
解答：解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，
∴m＜1，
结合题意知：﹣1≤m＜1．
（1）∵x +x =﹣2（m﹣2），x x =m2﹣3m+3
1 2 1 2
∴ + = = =1
解得：m = ，m = （不合题意，舍去）
1 2
∴ = ﹣2．
（2） + ﹣m2
= ﹣m2
=﹣2（m﹣1）﹣m2
=﹣（m+1）2+3．当m=﹣1时，最大值为3．
点评：此题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac来求出m的取值范
围；解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x +x =﹣ ，x x = ．
1 2 1 2
24．（10分）（2014•怀化）如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，
射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平
行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的
抛物线的解析式；
（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB的面
积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：压轴题．
分析：（1）判断出△ABO是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠AOB=45°，
然后求出AO⊥CO，再根据平移的性质可得AO⊥C′O′，从而判断出△OO′G是等腰直角
三角形，然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解；
（2）求出OO′，再根据等腰直角三角形的性质求出点G的坐标，然后设抛物线解析式
为y=ax2+bx，再把点B、G的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（3）设点P到x轴的距离为h，利用三角形的面积公式求出h，再分点P在x轴上方和
下方两种情况，利用抛物线解析式求解即可．
解答：解：（1）∵AB=OB，∠ABO=90°，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵∠yOC=45°，
∴∠AOC=（90°﹣45°）+45°=90°，
∴AO⊥CO，
∵C′O′是CO平移得到，
∴AO⊥C′O′，
∴△OO′G是等腰直角三角形，
∵射线OC的速度是每秒2个单位长度，
∴OO′=2x，
∴y= ×（2x）2=2x2；
（2）当x=3秒时，OO′=2×3=6，
∵ ×6=3，
∴点G的坐标为（3，3），设抛物线解析式为y=ax2+bx，
则 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x；
（3）设点P到x轴的距离为h，
则S = ×8h=8，
△POB
解得h=2，
当点P在x轴上方时，﹣ x2+ x=2，
整理得，x2﹣8x+10=0，
解得x =4﹣ ，x =4+ ，
1 2
此时，点P的坐标为（4﹣ ，2）或（4+ ，2）；
当点P在x轴下方时，﹣ x2+ x=﹣2，
整理得，x2﹣8x﹣10=0，
解得x =4﹣ ，x =4+ ，
1 2
此时，点P的坐标为（4﹣ ，﹣2）或（4+ ，﹣2），
综上所述，点P的坐标为（4﹣ ，2）或（4+ ，2）或（4﹣ ，﹣2）或（4+ ，﹣2）
时，△POB的面积S=8．
点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，待定系数法求
二次函数解析式，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，（3）要注意分情况讨
论．
