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2011 年湖南省怀化市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的
代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．（3分）49的平方根为（ ）
A．7 B．﹣7 C．±7 D．±
2．（3分）如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是（ ）
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a•a3＝a3 B．（ab）3＝ab3 C．a3+a3＝a6 D．（a3）2＝a6
4．（3分）如图，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°．则∠3等于（ ）
A．100° B．60° C．40° D．20°
5．（3分）函数y＝2x与函数y＝﹣ 在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
第1页（共16页）C． D．
6．（3分）如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．则CE的值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．4
7．（3分）在平面直角坐标系中，把直线y＝x向左平移一个单位长度后，其直线解析式为（
）
A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝x D．y＝x﹣2
8．（3分）如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（﹣1，﹣2）．“馬”位于点
（2，﹣2），则“兵”位于点（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣3，1） D．（1，﹣2）
二、填空题（每小题3分，共24分：请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
9．（3分）因式分解：a2﹣9＝ ．
10．（3分）如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC 与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B＝
．
11．（3分）定义新运算：对任意实数a、b，都有a b＝a2﹣b．例如3 2＝32﹣2＝7，那么2 1
第2页（共 ⊗16页） ⊗ ⊗＝ ．
12．（3分）一次函数y＝﹣2x+3中，y的值随x值增大而 ．（填“增大”或“减小”）
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB＝5，BC＝6，
则AD＝ ．
14．（3分）在一次爱心捐款中，某班有40名学生拿出自己的零花钱，有捐5元、10元、20元、
50元 的．右图反映了不同捐款的人数比例，那么这个班的学生平均每人捐款 元．
15．（3分）方程 的解是 ．
16．（3分）出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8﹣x）个，则当x＝ 元，
一天出售该种手工艺品的总利润y最大．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（6分）计算：|﹣2|+ ﹣（﹣5）﹣ ．
18．（6分）解方程组： ．
19．（10分）已知不等式组： ．
（1）求满足此不等式组的所有整数解；
（2）从此不等式的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是多少？
20．（10分）某中学为庆祝建党90周年举行唱“红歌”比赛，已知10位评委给某班的打分是：
8，9，6，8，9，10，6，8，9，7．
（1）求这组数据的极差：
（2）求这组数据的众数；
第3页（共16页）（3）比赛规定：去掉一个最髙分和一个最低分，剩下分数的平均数作为该班的最后得分．
求该班的最后得分．
21．（10分）如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝
30cm．从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC
上，顶点G，H分别在AC，AB上．AD与HG的交点为M．
（1）求证： ；
（2）求这个矩形EFGH的周长．
22．（10分）已知：关于x的方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1＝0．
（1）当a取何值时，二次函数y＝ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1的对称轴是x＝﹣2；
（2）求证：a取任何实数时，方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1＝0总有实数根．
23．（10分）如图，已知AB为 O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE＝OF．
（1）求证：OF∥BC； ⊙
（2）求证：△AFO≌△CEB；
（3）若EB＝5cm，CD＝10 cm，设OE＝x，求x值及阴影部分的面积．
24．（10分）在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4，分別以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如
图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数
y＝ （k＞0）的图象与AC边交于点E．
第4页（共16页）（1）求证：AE•AO＝BF•BO；
（2）若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；
（3）是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求
出此时的OF的长；若不存在，请说明理由．
第5页（共16页）2011 年湖南省怀化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的
代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．【分析】首先根据平方根的定义，根据平方根的定义得出±7的平方等于49，然后就可以解
决问题．
【解答】解：∵±7的平方等于49，
∴49的平方根为±7．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平方根的定义和性质，根据平方的方法求这个数的平方根．注意
一个正数的平方根有两个．
2．【分析】先根据∠1是△ACD的外角，故∠1＞∠A，再根据∠2是△CDE的外角，故∠2＞
∠1，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠1是△ACD的外角，
∴∠1＞∠A；
∵∠2是△CDE的外角，
∴∠2＞∠1，
∴∠2＞∠1＞∠A．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的
和．
3．【分析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法
则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为a•a3＝a1+3＝a4，故本选项错误；
B、应为（ab）3＝a3b3，故本选项错误；
C、应为a3+a3＝2a3，故本选项错误；
D、（a3）2＝a6，故本选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的
第6页（共16页）变化是解题的关键．
4．【分析】首先过点C作CD∥a，由a∥b，即可得CD∥a∥b，根据两直线平行，内错角相等，
即可求得∠3的度数．
【解答】解：过点C作CD∥a，
∵a∥b，
∴CD∥a∥b，
∴∠ACD＝∠1＝40°，∠BCD＝∠2＝60°，
∴∠3＝∠ACD+∠BCD＝100°．
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的性质．解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的
应用．
5．【分析】根据函数y＝2x与函数y＝﹣ 分别确定图象即可得出答案．
【解答】解：∵y＝2x，2＞0，
∴图象经过一、三象限，
∵函数y＝﹣ 中系数小于0，
∴图象在二、四象限．
故选：B．
【点评】此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确确定图象位置，正确记忆一次函
数与反比例函数的区别是解决问题的关键．
6．【分析】由DE∥BC，用平行线分线段成比例定理即可得到 ，又由AD＝5，BD＝10，
AE＝3，代入即可求得答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，
第7页（共16页）∴ ，
∴CE＝6．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是数形结合思想的应用．
7．【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，在平面直角坐标系中，把直线y＝x向左平移一个
单位长度后，
其直线解析式为y＝x+1．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题
的关键．
8．【分析】根据“帅”位于点（﹣1，﹣2）．“馬”位于点（2，﹣2），得出原点的位置即可得出
答案．
【解答】解：∵在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（﹣1，﹣2）．“馬”位于点
（2，﹣2），
∴可得出原点位置在棋子炮的位置，
∴“兵”位于点：（﹣3，1），
故选：C．
【点评】此题主要考查了直角坐标系的建立以及点的坐标确定，此类题型是个重点也是难
点，需要掌握确定原点的方法是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分：请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
9．【分析】a2﹣9可以写成a2﹣32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
10．【分析】先根据轴对称的性质得出△ABC≌△A′B′C′，由全等三角形的性质可知∠C
＝∠C′，再由三角形内角和定理可得出∠B的度数．
【解答】解：∵△ABC 与△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝60°，
∵∠A＝30°，
第8页（共16页）∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°．
故答案为：90°．
【点评】本题考查的是轴对称的性质及三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关
键．
11．【分析】根据公式a b＝a2﹣b求2 1的值，也相当于a＝2，b＝1时，代入a2﹣b求值．
【解答】解：根据公⊗式a b＝a2﹣b⊗得：
2 1＝22﹣1＝4﹣1＝3．⊗
故⊗答案为：3．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是看懂a b＝a2﹣b的运算方法．
12．【分析】先判断出一次函数y＝﹣2x+3中k的符号，再根据一⊗次函数的增减性进行解答即
可．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+3中k＝﹣2＜0，
∴y的值随x值增大而减小．
故答案为：减小．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x
的增大而增大．当k＜0时，y随x的增大而减小．
13．【分析】首先根据等腰三角形的性质：等腰三角形的三线合一，求出DB＝DC＝ CB，
AD⊥BC，再利用勾股定理求出AD的长．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴DB＝DC＝ CB＝3，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，
∵AD2+BD2＝AB2，
∴AD＝ ＝4，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质与勾股定理的应用，做题的关键是根据等腰三
角形的性质证出△ADB是直角三角形．
14．【分析】根据扇形统计图中，各种情况所占的比例，利用加权平均数公式即可求解．
【解答】解：5×60%+10×10%+20×10%+50×20%＝16元．
故答案是：16．
第9页（共16页）【点评】本题主要考查了加权平均数的计算，正确理解权的含义，理解公式是解题的关键．
15．【分析】观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程
转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘（x+1）（x﹣1），得
2（x﹣1）﹣（x+1）＝0，
解得x＝3．
检验：当x＝3时，（x+1）（x﹣1）＝8≠0．
∴原方程的解为：x＝3．
故答案为：x＝3．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
16．【分析】先根据题意得出总利润y与x的函数关系式，再根据二次函数的最值问题进行解
答．
【解答】解：∵出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8﹣x）个，
∴y＝（8﹣x）x，即y＝﹣x2+8x，
∴当x＝﹣ ＝﹣ ＝4时，y取得最大值．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是二次函数的最值问题，能根据题意得出y与x的关系式是解答此题
的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．【分析】首先计算绝对值，0次幂，负指数次幂，然后进行有理数的加减运算即可．
【解答】解：原式＝2+1+5﹣3＝5．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18．【分析】两方程相加即可求得x的值，然后代入第一个方程即可求得y的值．
【解答】解： ，
+ 得：6x＝12，
①∴x＝②2，
把x＝2 得：2+3y＝8，
解得：y①＝2，
第10页（共16页）∴方程组的解集是： ．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解方程组时一定要理解基本思想是消元．
19．【分析】（1）首先解每个不等式，确定两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，
然后在解集中确定整数解即可；
（2）根据概率公式即可求解．
【解答】解：（1）解第一个不等式得：x≥2；
解第二个不等式得：x≤4．
则不等式组的解集是：2≤x≤4
∴不等式组的整数解是：2，3，4；
（2）2，3，4中共有偶数2个．因而P（从此不等式的所有整数解中任取一个数，它是偶数）
＝ ．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，以及概率公式，正确解不等式组是
解题的关键．
20．【分析】（1）根据极差就是最大值与最小值的差，即可求解；
（2）众数就是出现次数最多的数，据此即可求解；
（3）去掉一个最大值10和最小值6，利用平方差公式即可求解．
【解答】解：（1）最大值是：10，最小值是：6，
则极差是：10﹣6＝4；
（2）出现次数最多的是：8和9都是3次，6出现2次，7和10出现1次，
因而众数是8和9；
（3）平均分是： ×（8+9+8+9+6+8+9+7）＝8．
【点评】本题主要考查了极差，众数，以及平均数的计算，极差反映了一组数据变化范围的
大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，极差的单位与原数据单位一致．
21．【分析】（1）根据矩形性质得出∠AHG＝∠ABC，再证明△AHG∽△ABC，即可证出；
（2）根据（1）中比例式即可求出HE的长度，以及矩形的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，
第11页（共16页）∴EF∥GH，
∴∠AHG＝∠ABC，
又∵∠HAG＝∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，
∴ ；
（2）解：由（1） 得：设HE＝xcm，MD＝HE＝xcm，
∵AD＝30cm，
∴AM＝（30﹣x）cm，
∵HG＝2HE，
∴HG＝（2x）cm，
可得 ，
解得，x＝12，
故HG＝2x＝24
所以矩形EFGH的周长为：2×（12+24）＝72（cm）．
答：矩形EFGH的周长为72cm．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据矩形性质得出△AHG∽△ABC是
解决问题的关键．
22．【分析】（1）根据二次函数对称轴求法得出x＝﹣ ＝ ＝﹣2，即可求出；
（2）利用一元二次方程根的判别式，证明其大于等于0即可．
【解答】解：（1）当对称轴是x＝﹣2，
∴x＝﹣ ＝ ＝﹣2，
解得：a＝﹣1；
（2） 当a＝0时，方程为一元一次方程，方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1＝0有一个实数根．
∵①当a≠0时，方程为一元二次方程，∴△＝[﹣（1﹣3a）]2﹣4a（2a﹣1）＝a2﹣2a+1＝（a
②﹣1）2≥0，
∴方程有实数根，
第12页（共16页）∴a取任何实数时，方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1＝0总有实数根．
【点评】此题主要考查了二次函数对称轴求法以及根的判别式，熟练应用此性质是解决问
题的关键．
23．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，以及垂直于同一直线的两直线平行即可证得；
（2）根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，即可证得：△AFO和△CEB的两个角相等，
从而证得两个三角形全等；
（3）根据勾股定理求得x的值，然后根据阴影部分的面积＝扇形COD的面积﹣△COD的
面积即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB为 O的直径，
∴AC⊥BC ⊙
又∵OF⊥AC
∴OF∥BC
（2）证明：∵AB⊥CD
∴ ＝
∴∠CAB＝∠BCD
又∵∠AFO＝∠CEB＝90°，OF＝BE，
∴△AFO≌△CEB
（3）解：连接DO．设OE＝x，
∵AB⊥CD
∴CE＝ CD＝5 cm．
在△OCB中，OC＝OB＝x+5（cm），
根据勾股定理可得：（x+5）2＝（5 ）2+x2
解得：x＝5，即OE＝5cm，
∴tan∠COE＝ ＝ ＝ ，
∴∠COE＝60°
∴∠COD＝120°，
∴扇形COD的面积是： ＝ cm2
第13页（共16页）△COD的面积是： CD•OE＝ ×10 ×5＝25 cm2
∴阴影部分的面积是：（ ﹣25 ）cm2．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，以及扇形的面积的计算，正确求得∠COE的
度数是解决本题的关键．
24．【分析】（1）根据反比例函数的性质得出，xy＝k，即可得出AE•AO＝BF•BO；
（2）利用E点坐标首先求出BF＝ ，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（3）设折叠之后C点在OB上的对称点为C'，连接C'E、C'F，过E作EG垂直于OB于点
G，则根据折叠性质、相似三角形、勾股定理得出即可．
【解答】（1）证明：∵E，F点都在反比例函数图象上，
∴根据反比例函数的性质得出，xy＝k，
∴AE•AO＝BF•BO；
（2）解：∵点E的坐标为（2，4），
∴AE•AO＝BF•BO＝8，
∵BO＝6，∴BF＝ ，
∴F（6， ），
分别代入二次函数解析式得： ，
第14页（共16页）把c＝0代入 得： ，
解得： ，
可得原方程组的解为： ，
∴y＝﹣ x2+ x；
（3）解：设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的C'点，
过点E作EG⊥OB，垂足为G．
由题意得：EG＝AO＝4，
把y＝4代入y＝ 得：x＝ k，把x＝6代入y＝ 得：y＝ k，
∴EC'＝EC＝6﹣ k，C′F＝CF＝4﹣ k，
∵∠EC'G+∠FC'B＝∠FC'B+∠C'FB＝90°，
∴∠EC'G＝∠C'FB．
又∵∠EGC'＝∠C'BF＝90°，
∴△EC'G∽△C'FB．
∴EG：C'B＝EC'：C'F，
∴4：C'B＝（6﹣ k）：（4﹣ k）＝[3（2﹣ k）]：[2（2﹣ k）]，
∴C'B＝ ，
∵C'B2+BF2＝C'F2，
∴（ ）2+（ k）2＝（4﹣ k）2，
第15页（共16页）解得k＝ ，
∴BF＝ ＝ ，
∴存在符合条件的点F，它的坐标为（6， ）．
∴FO＝ ＝ ．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质以及待定系数法求二次函数解析式以及相似三
角形的判定与性质，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合
以及利用相似三角形的性质是这部分考查的重点也是难点．
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日期：2020/9/16 12:38:21；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第16页（共16页）
