文档内容
2016 年江苏省常州市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）
1．（2分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．2C．﹣ D．
2．（2分）计算3﹣（﹣1）的结果是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2D．4
3．（2分）如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（ ）
A．圆柱体 B．三棱锥 C．球体D．圆锥体
4．（2分）如图，数轴上点P对应的数为p，则数轴上与数﹣ 对应的点是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
5．（2分）如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边
与圆弧分别交于点 M、N，量得 OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是
（ ）
A． cm B．5cmC．6cmD．10cm
6．（2分）若x＞y，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A．x+1＞y+1B．2x＞2y C． ＞ D．x2＞y2
第1页（共33页）7．（2分）已知△ABC中，BC=6，AC=3，CP⊥AB，垂足为P，则CP的长可能是（ ）
A．2B．4C．5D．7
8．（2分）已知一次函数y =kx+m（k≠0）和二次函数y =ax2+bx+c（a≠0）的自变量
1 2
和对应函数值如表：
x … ﹣ 0 2 4 …
1
y … 0 1 3 5 …
1
x … ﹣ 1 3 4 …
1
y … 0 ﹣4 0 5 …
2
当y ＞y 时，自变量x的取值范围是（ ）
2 1
A．x＜﹣1 B．x＞4C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4
二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
9．（2分）化简： ﹣ = ．
10．（2分）若分式 有意义，则x的取值范围是 ．
11．（2分）分解因式：x3﹣2x2+x= ．
12．（2分）一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为 ．
13．（2分）若代数式x﹣5与2x﹣1的值相等，则x的值是 ．
14．（2分）在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际
长度是 km．
15．（2分）已知正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y= （k≠0）图象的一个交
点坐标为（﹣1，﹣1），则另一个交点坐标是 ．
16．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°，则∠ODC=
．
第2页（共33页）17．（2分）已知x、y满足2x•4y=8，当0≤x≤1时，y的取值范围是 ．
18．（2分）如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE
和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是 ．
三、解答题（共10小题，满分84分）
19．（6分）先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x= ．
20．（8分）解方程和不等式组：
（1） + =1
（2） ．
21．（8分）为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式，调查小组设计了“阅
读”、“锻炼”、“看电视”和“其它”四个选项，用随机抽样的方法调查了该
市部分市民，并根据调查结果绘制成如下统计图．
根据统计图所提供的信息，解答下列问题：
第3页（共33页）（1）本次共调查了 名市民；
（2）补全条形统计图；
（3）该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数．
22．（8分）一只不透明的袋子中装有1个红球、1个黄球和1个白球，这些球除颜
色外都相同
（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，求摸到红球的概率；
（2）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1
个球，求两次都摸到红球的概率．
23．（8分）如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．
24．（8分）某超市销售甲、乙两种糖果，购买3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共
需44元，购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元．
（1）求甲、乙两种糖果的价格；
（2）若购买甲、乙两种糖果共20千克，且总价不超过240元，问甲种糖果最少购
买多少千克？
25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣ x+1的图象与x轴、
y轴分别交于点A、B，把Rt△AOB绕点A顺时针旋转角α（30°＜α＜180°），得到
△AO′B′．
（1）当α=60°时，判断点B是否在直线O′B′上，并说明理由；
（2）连接OO′，设OO′与AB交于点D，当α为何值时，四边形ADO′B′是平行四边形？
请说明理由．
第4页（共33页）26．（10分）（1）阅读材料：
教材中的问题，如图1，把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪
成的若干块能够拼成一个大正方形，小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等
且5个小正方形的总面积为5，所以拼成的大正方形边长为 ，故沿虚线AB
剪开可拼成大正方形的一边，请在图1中用虚线补全剪拼示意图．
（2）类比解决：
如图2，已知边长为2的正三角形纸板ABC，沿中位线DE剪掉△ADE，请把纸板剩
下的部分DBCE剪开，使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形．
①拼成的正三角形边长为 ；
②在图2中用虚线画出一种剪拼示意图．
（3）灵活运用：
如图3，把一边长为60cm的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的
风筝，其中∠BCD=90°，延长DC、BC分别与AB、AD交于点E、F，点E、F分别为AB、
AD的中点，在线段AC和EF处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨，在图3的正方形
中画出一种剪拼示意图，并求出相应轻质钢丝的总长度．（说明：题中的拼接都是
不重叠无缝隙无剩余）
27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x与二次函数y=x2+bx的
第5页（共33页）图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）长度为2 的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q作x轴
的垂线交抛物线于点P 、Q ，求四边形PQQ P 面积的最大值；
1 1 1 1
（3）直线 OA 上是否存在点 E，使得点 E 关于直线 MA 的对称点 F 满足
S =S ？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
△AOF △AOM
28．（10分）如图，正方形ABCD的边长为1，点P在射线BC上（异于点B、C），直线
AP与对角线BD及射线DC分别交于点F、Q
（1）若BP= ，求∠BAP的度数；
（2）若点P在线段BC上，过点F作FG⊥CD，垂足为G，当△FGC≌△QCP时，求PC
的长；
（3）以PQ为直径作⊙M．
①判断FC和⊙M的位置关系，并说明理由；
②当直线BD与⊙M相切时，直接写出PC的长．
第6页（共33页）2016 年江苏省常州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）
1．（2分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．2C．﹣ D．
【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．
【解答】解：|﹣2|=2．
故选B．
【点评】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．
2．（2分）计算3﹣（﹣1）的结果是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2D．4
【分析】减去一个数等于加上这个数的相反数，所以3﹣（﹣1）=3+1=4．
【解答】解：3﹣（﹣1）=4，
故答案为：D．
【点评】本题考查了有理数的减法，属于基础题，比较简单；熟练掌握减法法则是
做好本题的关键．
3．（2分）如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（ ）
A．圆柱体 B．三棱锥 C．球体D．圆锥体
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形
【解答】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，
第7页（共33页）由俯视图为圆可得为圆柱体．
故选A．
【点评】本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵
活运用能力，同时也体现了对空间想象能力．
4．（2分）如图，数轴上点P对应的数为p，则数轴上与数﹣ 对应的点是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【分析】根据图示得到点P所表示的数，然后求得﹣ 的值即可．
【解答】解：如图所示，1＜p＜2，则 ＜ ＜1，所以﹣1＜﹣ ＜﹣ ．则数轴上与
数﹣ 对应的点是C．
故选：C．
【点评】本题考查了数轴，根据图示得到点P所表示的数是解题的关键．
5．（2分）如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边
与圆弧分别交于点 M、N，量得 OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是
（ ）
A． cm B．5cmC．6cmD．10cm
【分析】如图，连接MN，根据圆周角定理可以判定MN是直径，所以根据勾股定理
求得直径，然后再来求半径即可．
【解答】解：如图，连接MN，
第8页（共33页）∵∠O=90°，
∴MN是直径，
又OM=8cm，ON=6cm，
∴MN= = =10（cm）．
∴该圆玻璃镜的半径是： MN=5cm．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径．
6．（2分）若x＞y，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A．x+1＞y+1B．2x＞2y C． ＞ D．x2＞y2
【分析】根据不等式的基本性质进行判断，不等式的两边加上同一个数，不等号的
方向不变；不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
【解答】解：（A）在不等式x＞y两边都加上1，不等号的方向不变，故（A）正确；
（B）在不等式x＞y两边都乘上2，不等号的方向不变，故（B）正确；
（C）在不等式x＞y两边都除以2，不等号的方向不变，故（C）正确；
（D）当x=1，y=﹣2时，x＞y，但x2＜y2，故（D）错误．
故选（D）
【点评】本题主要考查了不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等
式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向．
7．（2分）已知△ABC中，BC=6，AC=3，CP⊥AB，垂足为P，则CP的长可能是（ ）
A．2B．4C．5D．7
【分析】根据垂线段最短得出结论．
第9页（共33页）【解答】解：如图，根据垂线段最短可知：PC≤3，
∴CP的长可能是2，
故选A．
【点评】本题考查了垂线段最短的性质，正确理解此性质，垂线段最短，指的是从
直线外一点到这条直线所作的垂线段最短；本题是指点C到直线AB连接的所有
线段中，CP是垂线段，所以最短；在实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据
应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
8．（2分）已知一次函数y =kx+m（k≠0）和二次函数y =ax2+bx+c（a≠0）的自变量
1 2
和对应函数值如表：
x … ﹣ 0 2 4 …
1
y … 0 1 3 5 …
1
x … ﹣ 1 3 4 …
1
y … 0 ﹣4 0 5 …
2
当y ＞y 时，自变量x的取值范围是（ ）
2 1
A．x＜﹣1 B．x＞4C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4
【分析】方法一：先在表格中找出点，用待定系数法求出直线和抛物线的解析式，
用y ＞y 建立不等式，求解不等式即可．
2 1
方法二：直接由表得出两函数图象的交点坐标（﹣1，0），（4，5），再结合变化规律
得出结论．
【解答】解法一：由表可知，（﹣1，0），（0，1）在一次函数y =kx+m的图象上，
1
∴ ，
第10页（共33页）∴
∴一次函数y =x+1，
1
由表可知，（﹣1，0），（1，﹣4），（3，0）在二次函数y =ax2+bx+c（a≠0）的图象上，
2
∴ ，
∴
∴二次函数y =x2﹣2x﹣3
2
当y ＞y 时，
2 1
∴x2﹣2x﹣3＞x+1，
∴（x﹣4）（x+1）＞0，
∴x＞4或x＜﹣1，
故选D，
解法二：如图，
由表得出两函数图象的交点坐标（﹣1，0），（4，5），
∴x＞4或x＜﹣1，
故选D．
【点评】此题是二次函数和不等式题目，主要考查了待定系数法，解不等式，解本
题的关键是求出直线和抛物线的解析式．
二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
9．（2分）化简： ﹣ = ．
第11页（共33页）【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．
【解答】解：原式=2 ﹣
= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根
式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数
相加减，根式不变是解答此题的关键．
10．（2分）若分式 有意义，则x的取值范围是 x ≠ ﹣ 1 ．
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵分式 有意义，
∴x+1≠0，即x≠﹣﹣1
故答案为：x≠﹣1．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于
零是解答此题的关键．
11．（2分）分解因式：x3﹣2x2+x= x （ x﹣1 ） 2 ．
【分析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x3﹣2x2+x=x（x2﹣2x+1）=x（x﹣1）2．
故答案为：x（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方
公式是解题关键．
12．（2分）一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为 6 ．
【分析】利用外角和除以外角的度数即可得到边数．
【解答】解：360÷60=6．
故这个多边形边数为6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都
第12页（共33页）360°．
13．（2分）若代数式x﹣5与2x﹣1的值相等，则x的值是 ﹣ 4 ．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：x﹣5=2x﹣1，
解得：x=﹣4，
故答案为：﹣4
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（2分）在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际
长度是 2. 8 km．
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
【解答】解：设这条道路的实际长度为x，则：
，
解得x=280000cm=2.8km．
∴这条道路的实际长度为2.8km．
故答案为：2.8
【点评】此题考查比例线段问题，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
15．（2分）已知正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y= （k≠0）图象的一个交
点坐标为（﹣1，﹣1），则另一个交点坐标是 （ 1 ， 1 ） ．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定
关于原点对称．
【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对
称，
∴另一个交点的坐标与点（﹣1，﹣1）关于原点对称，
∴该点的坐标为（1，1）．
故答案为：（1，1）．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握
第13页（共33页）关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数．
16．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°，则∠ODC=
50° ．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠C的度数，利用圆周角定理求出
∠BOD的度数，再根据四边形内角和为360度即可求出∠ODC的度数．
【解答】解：∵∠A=70°
∴∠C=180°﹣∠A=110°，
∴∠BOD=2∠A=140°，
∵∠OBC=60°，
∴∠ODC=360°﹣110°﹣140°﹣60°=50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补以及
圆周角定理是解答此题的关键．
17．（2分）已知x、y满足2x•4y=8，当0≤x≤1时，y的取值范围是 1 ≤ y ≤ ．
【分析】首先把已知得到式子的两边化成以2为底数的幂的形式，然后得到x和y
的关系，根据x的范围求得y的范围．
【解答】解：∵2x•4y=8，
∴2x•22y=23，即2 x+2y=23，
∴x+2y=3．
∴x=3﹣2y，
∵0≤x≤1，
∴0≤3﹣2y≤1，
第14页（共33页）∴1≤y≤ ．
故答案是：1≤y≤ ．
【点评】本题考查了幂的乘方和同底数的幂的乘法法则，理解幂的运算法则得到x
和y的关系是关键．
18．（2分）如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE
和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是 1 ．
【分析】先延长EP交BC于点F，得出PF⊥BC，再判定四边形CDEP为平行四边形，
根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积=EP×CF=a× b= ab，最后根
据a2+b2=4，判断 ab的最大值即可．
【解答】解：延长EP交BC于点F，
∵∠APB=90°，∠APE=∠BPC=60°，
∴∠EPC=150°，
∴∠CPF=180°﹣150°=30°，
∴PF平分∠BPC，
又∵PB=PC，
∴PF⊥BC，
设Rt△ABP中，AP=a，BP=b，则
CF= CP= b，a2+b2=22=4，
∵△APE和△ABD都是等边三角形，
∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，
第15页（共33页）∴∠EAD=∠PAB，
∴△EAD≌△PAB（SAS），
∴ED=PB=CP，
同理可得：△APB≌△DCB（SAS），
∴EP=AP=CD，
∴四边形CDEP是平行四边形，
∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a× b= ab，
又∵（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2≥0，
∴2ab≤a2+b2=4，
∴ ab≤1，
即四边形PCDE面积的最大值为1．
故答案为：1
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等
三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．
三、解答题（共10小题，满分84分）
19．（6分）先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x= ．
【分析】根据多项式乘以多项式先化简，再代入求值，即可解答．
【解答】解：（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，
=x2﹣2x﹣x+2﹣x2﹣2x﹣1
=﹣5x+1
当x= 时，
第16页（共33页）原式=﹣5× +1
=﹣ ．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是熟记多项式乘以多项
式．
20．（8分）解方程和不等式组：
（1） + =1
（2） ．
【分析】（1）先把分式方程化为整式方程求出x的值，再代入最简公分母进行检验
即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：（1）原方程可化为x﹣5=2x﹣5，解得x=0，
把x=0代入2x﹣5得，2x﹣5=﹣5≠0，
故x=0是原分式方程的解；
（2） ，由①得，x≤2，由②得，x＞﹣1，
故不等式组的解为：﹣1＜x≤2．
【点评】本题考查的是解分式方程，在解答此类题目时要注意验根．
21．（8分）为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式，调查小组设计了“阅
读”、“锻炼”、“看电视”和“其它”四个选项，用随机抽样的方法调查了该
市部分市民，并根据调查结果绘制成如下统计图．
第17页（共33页）根据统计图所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 2000 名市民；
（2）补全条形统计图；
（3）该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数．
【分析】（1）根据“总人数=看电视人数÷看电视人数所占比例”即可算出本次
共调查了多少名市民；
（2）根据“其它人数=总人数×其它人数所占比例”即可算出晚饭后选择其它的
市民数，再用“锻炼人数=总人数﹣看电视人数﹣阅读人数﹣其它人数”即可算
出晚饭后选择锻炼的人数，依此补充完整条形统计图即可；
（3）根据“本市选择锻炼人数=本市总人数×锻炼人数所占比例”即可得出结论．
【解答】解：（1）本次共调查的人数为：800÷40%=2000，
故答案为：2000．
（2）晚饭后选择其它的人数为：2000×28%=560，
晚饭后选择锻炼的人数为：2000﹣800﹣240﹣560=400．
将条形统计图补充完整，如图所示．
（3）晚饭后选择锻炼的人数所占的比例为：400÷2000=20%，
该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为：480×20%=96（万）．
答：该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为96万．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，解题的关键是：
（1）根据数量关系算出样本容量；（2）求出选择其它和锻炼的人数；（3）根据比例
关系估算出本市晚饭后1小时内锻炼的人数．本题属于中档题，难度不大，解决
该题型题目时，熟练掌握各统计图的有关知识是关键．
22．（8分）一只不透明的袋子中装有1个红球、1个黄球和1个白球，这些球除颜
色外都相同
第18页（共33页）（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，求摸到红球的概率；
（2）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1
个球，求两次都摸到红球的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）先利用画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结
果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）摸到红球的概率= ；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为1，
所以两次都摸到红球的概率= ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能
的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求
出事件A或B的概率．
23．（8分）如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．
【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，然后利用高线的定义
得到∠ECB=∠DBC，从而得证；
（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
第19页（共33页）∴∠BEC=∠BDC=90°
∴△BEC≌△CDB
∴∠DBC=∠ECB，BE=CD
在△BOE和△COD中
∵∠BOE=∠COD，BE=CD，∠BEC=∠BDE=90°
∴△BOE≌△COD，
∴OB=OC；
（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，
∴∠A=180°﹣2×50°=80°，
∴∠DOE+∠A=180°
∴∠BOC=∠DOE=180°﹣80°=100°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；关键是掌握等腰
三角形等角对等边．
24．（8分）某超市销售甲、乙两种糖果，购买3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共
需44元，购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元．
（1）求甲、乙两种糖果的价格；
（2）若购买甲、乙两种糖果共20千克，且总价不超过240元，问甲种糖果最少购
买多少千克？
【分析】（1）设超市甲种糖果每千克需x元，乙种糖果每千克需y元．根据“3千
克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元，购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖
果共需38元”列出方程组并解答；
（2）设购买甲种糖果a千克，则购买乙种糖果（20﹣a）千克，结合“总价不超过
240元”列出不等式，并解答．
【解答】解：（1）设超市甲种糖果每千克需x元，乙种糖果每千克需y元，
依题意得： ，
解得 ．
答：超市甲种糖果每千克需10元，乙种糖果每千克需14元；
第20页（共33页）（2）设购买甲种糖果a千克，则购买乙种糖果（20﹣a）千克，
依题意得：10a+14（20﹣a）≤240，
解得a≥10，
即a =10．
最小值
答：该顾客混合的糖果中甲种糖果最少10千克．
【点评】本题考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用．解决问题的关键
是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣ x+1的图象与x轴、
y轴分别交于点A、B，把Rt△AOB绕点A顺时针旋转角α（30°＜α＜180°），得到
△AO′B′．
（1）当α=60°时，判断点B是否在直线O′B′上，并说明理由；
（2）连接OO′，设OO′与AB交于点D，当α为何值时，四边形ADO′B′是平行四边形？
请说明理由．
【分析】（1）首先证明∠BAO=30°，再求出直线O′B′的解析式即可解决问题．
（2）如图 2 中，当 α=120°时，四边形 ADO′B′是平行四边形．只要证明
∠DAO′=∠AO′B′=90°，∠O′AO=∠O′AB′=30°，即可解决问题．
【解答】解；（1）如图1中，
第21页（共33页）∵一次函数y=﹣ x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（ ，0），B（0，1），
∴tan∠BAO= ，
∴∠BAO=30°，AB=2OB=2，
∵旋转角为60°，
∴B′（ ，2），O′（ ， ），
设直线O′B′解析式为y=kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线O′B′的解析式为y= x+1，
∵x=0时，y=1，
∴点B（0，1）在直线O′B′上．
（2）如图2中，当α=120°时，四边形ADO′B′是平行四边形．
理由：∵AO=AO′，∠OAO′=120°，∠BAO=30°，
∴∠DAO′=∠AO′B′=90°，∠O′AO=∠O′AB′=30°，
∴AD∥O′B′，DO′∥AB′，
∴四边形ADO′B′是平行四边形．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、平行四边形的性质和判定、旋转变
换等知识，解题的关键是利用性质不变性解决问题，属于中考常考题型．
第22页（共33页）26．（10分）（1）阅读材料：
教材中的问题，如图1，把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪
成的若干块能够拼成一个大正方形，小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等
且5个小正方形的总面积为5，所以拼成的大正方形边长为 ，故沿虚线AB
剪开可拼成大正方形的一边，请在图1中用虚线补全剪拼示意图．
（2）类比解决：
如图2，已知边长为2的正三角形纸板ABC，沿中位线DE剪掉△ADE，请把纸板剩
下的部分DBCE剪开，使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形．
①拼成的正三角形边长为 ；
②在图2中用虚线画出一种剪拼示意图．
（3）灵活运用：
如图3，把一边长为60cm的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的
风筝，其中∠BCD=90°，延长DC、BC分别与AB、AD交于点E、F，点E、F分别为AB、
AD的中点，在线段AC和EF处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨，在图3的正方形
中画出一种剪拼示意图，并求出相应轻质钢丝的总长度．（说明：题中的拼接都是
不重叠无缝隙无剩余）
【分析】（1）依题意补全图形如图1，利用剪拼前后的图形面积相等，得出大正方
形的面积即可；
（2）①先求出梯形EDBC的面积，利用剪拼前后的图形面积相等，结合等边三角形
的面积公式即可；
②依题意补全图形如图3所示；
（3）依题意补全图形如图4，根据剪拼的特点，得出AC是正方形的对角线，点E，F
第23页（共33页）是正方形两邻边的中点，构成等腰直角三角形，即可．
【解答】解：（1）补全图形如图1所示，
由剪拼可知，5个小正方形的面积之和等于拼成的一个大正方形的面积，
∵5个小正方形的总面积为5
∴大正方形的面积为5，
∴大正方形的边长为 ，
故答案为： ；
（2）①如图2，
∵边长为2的正三角形纸板ABC，沿中位线DE剪掉△ADE，
∴DE= BC=1，BD=CE=1
过点D作DM⊥BC，
∵∠DBM=60°
∴DM= ，
∴S = （DE+BC）×DM= （1+2）× = ，
梯形EDBC
由剪拼可知，梯形EDBC的面积等于新拼成的等边三角形的面积，
设新等边三角形的边长为a，
∴ a2= ，
∴a= 或a=﹣ （舍），
∴新等边三角形的边长为 ，
第24页（共33页）故答案为： ；
②剪拼示意图如图3所示，
（3）剪拼示意图如图4所示，
∵正方形的边长为60cm，
由剪拼可知，AC是正方形的对角线，
∴AC=60 cm，
由剪拼可知，点E，F分别是正方形的两邻边的中点，
∴CE=CF=30cm，
∵∠ECF=90°，
根据勾股定理得，EF=30 cm；
∴轻质钢丝的总长度为AC+EF=60 +30 =90 cm．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，勾
股定理，剪拼的特点，解本题的关键是根据题意补全图形，难点是剪拼新正三角
形和筝形．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x与二次函数y=x2+bx的
图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）长度为2 的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q作x轴
的垂线交抛物线于点P 、Q ，求四边形PQQ P 面积的最大值；
1 1 1 1
（3）直线 OA 上是否存在点 E，使得点 E 关于直线 MA 的对称点 F 满足
S =S ？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
△AOF △AOM
第25页（共33页）【分析】（1）把点A（3，3）代入y=x2+bx中，即可解决问题．
（2）设点P在点Q的左下方，过点P作PE⊥QQ 于点E，如图1所示．设点P（m，
1
m）（0＜m＜1），则Q（m+2，m+2），P（m，m2﹣2m），Q（m+2，m2+2m），构建二次
1 1
函数，利用二次函数性质即可解决问题．
（3）存在，首先证明EF是线段AM的中垂线，利用方程组求交点E坐标，再根据对
称性E关于点A的对称点E′也符合条件，求出E、E′坐标即可．
【解答】解：（1）把点A（3，3）代入y=x2+bx中，
得：3=9+3b，解得：b=﹣2，
∴二次函数的表达式为y=x2﹣2x．
（2）设点P在点Q的左下方，过点P作PE⊥QQ 于点E，如图1所示．
1
∵PE⊥QQ ，QQ ⊥x轴，
1 1
∴PE∥x轴，
∵直线OA的解析式为y=x，
∴∠QPE=45°，
∴PE= PQ=2．
设点P（m，m）（0＜m＜1），则Q（m+2，m+2），P（m，m2﹣2m），Q（m+2，
1 1
m2+2m），
∴PP =3m﹣m2，QQ =2﹣m2﹣m，
1 1
∴ = （PP +QQ ）•PE=﹣2m2+2m+2=﹣2 + ，
1 1
第26页（共33页）∴当m= 时， 取最大值，最大值为 ．
（3）存在．
如图2中，①点E的对称点为F，EF与AM交于点G，连接OM、MF、AF、OF．
∵S =S ，
△AOF △AOM
∴MF∥OA，
∵EG=GF， = ，
∴AG=GM，
∵M（1，﹣1），A（3，3），
∴点G（2，1），
∵直线AM解析式为y=2x﹣3，
∴线段AM的中垂线EF的解析式为y=﹣ x+2，
由 解得 ，
∴点E坐标为（ ， ）．
②设E关于点A的对称点E′，E′关于AM的对称点F′，根据对称性可知，△OAF′与
△AOF的面积相等，
此时E′（ ， ），
第27页（共33页）综上所述满足条件的点E坐标（ ， ）或（ ， ）．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平行线的性质、一次函数、面积问
题等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函
数，利用二次函数性质解决最值问题，学会利用方程组求两个函数的交点，属于
中考压轴题．
28．（10分）如图，正方形ABCD的边长为1，点P在射线BC上（异于点B、C），直线
AP与对角线BD及射线DC分别交于点F、Q
（1）若BP= ，求∠BAP的度数；
（2）若点P在线段BC上，过点F作FG⊥CD，垂足为G，当△FGC≌△QCP时，求PC
的长；
（3）以PQ为直径作⊙M．
①判断FC和⊙M的位置关系，并说明理由；
②当直线BD与⊙M相切时，直接写出PC的长．
【分析】（1）在直角△ABP中，利用特殊角的三角函数值求∠BAP的度数；
（2）设PC=x，根据全等和正方形性质得：QC=1﹣x，BP=1﹣x，由AB∥DQ得 ，
代入列方程求出x的值，因为点P在线段BC上，所以x＜1，写出符合条件的PC的
长；
（3）①如图2，当点P在线段BC上时，FC与⊙M相切，只要证明FC⊥CM即可，先
根据直角三角形斜边上的中线得 CM=PM，则∠MCP=∠MPC，从而可以得出
∠MCP+∠BAP=90°，再证明△ADF≌△CDF，
得∠FAD=∠FCD，则∠BAP=∠BCF，所以得出∠MCP+∠BCF=90°，FC⊥CM；
第28页（共33页）如图 3，当点 P 在线段 BC 的延长线上时，FC 与⊙M 相切，同理可得
∠MCD+∠FCD=90°，则FC⊥CM，FC与⊙M相切；
②当点P在线段AB上时，如图4，设⊙M切BD于E，连接EM、MC，设∠Q=x，根据
平角BFD列方程求出x的值，作AP的中垂线HN，得∠BHP=30°，在Rt△BHP中求
出BP的长，则得出PC= ﹣1；当点P在点C的右侧时（即在线段BC的延长线上）
如图5，同理可得：PC= +1．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP=90°，
∴tan∠BAP= = = ，
∵tan30°= ，
∴∠BAP=30°；
（2）如图1，设PC=x，则BP=1﹣x，
∵△FGC≌△QCP，
∴GC=PC=x，DG=1﹣x，
∵∠BDC=45°，∠FGD=90°，
∴△FGD是等腰直角三角形，
∴FG=DG=CQ=1﹣x，
∵AB∥DQ，
∴ ，
∴ ，
∴x=（1﹣x）2，
解得：x = ＞1（舍去），x = ，
1 2
∴PC= ；
（3）①如图2，当点P在线段BC上时，FC与⊙M相切，理由是：
取PQ的中点M，以M为圆心，以PQ为直径画圆，连接CM，
第29页（共33页）∵∠PCQ=90°，PQ为直径，
∴点C是圆M上，
∵△PCQ为直角三角形，
∴MC=PM，
∴∠MCP=∠MPC，
∵∠APB=∠MPC，
∴∠MCP=∠APB，
∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠MCP+∠BAP=90°，
∵AD=DC，∠ADB=∠CDB，FD=FD，
∴△ADF≌△CDF，
∴∠FAD=∠FCD，
∵∠BAP+∠FAD=∠BCF+∠FCD，
∴∠BAP=∠BCF，
∴∠MCP+∠BCF=90°，
∴FC⊥CM，
∴FC与⊙M相切；
如图3，当点P在线段BC的延长线上时，FC与⊙M也相切，理由是：
取PQ的中点M，以M为圆心，以PQ为直径画圆，连接CM，
同理得∠AQD=∠MCQ，点C是圆M上，
∵AD=DC，∠BDA=∠CDB=45°，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF，
∴∠FAD=∠FCD，
∵∠AQD+∠FAD=90°，
∴∠MCD+∠FCD=90°，
∴FC⊥MC，
∴FC与⊙M相切；
：②当点P在线段BC上时，如图4，
设⊙M切BD于E，连接EM、MC，
∴∠MEF=∠MCF=90°，
第30页（共33页）∵ME=MC，MF=MF，
∴△MEF≌△MCF，
∴∠QFC=∠QFE，
∵∠BAP=∠Q=∠BCF，
设∠Q=x，则∠BAP=∠BCF=x，∠QFE=∠QFC=45°+x，∠DFC=45°+x，
∵∠QFE+∠QFC+∠DFC=180°，
∴3（45+x）=180，
x=15，
∴∠Q=15°，
∴∠BAP=15°，
作AP的中垂线HN，交AB于H，交AP于N，
∴AH=AP，
∴∠BHP=30°，
设BP=x，则HP=2x，HB= x，
∴2x+ x=1，
x=2﹣ ，
∴PC=BC﹣BP=1﹣（2﹣ ）= ﹣1；
当点P在点C的右侧时（即在线段BC的延长线上），如图5，
同理可得：PC= +1；
综上所述：PC= ﹣1或 +1．
第31页（共33页）【点评】本题是圆的综合题，综合考查了正方形、圆及切线、全等三角形的性质及
判定；同时利用特殊的三角函数值求角的度数，本题还是动点问题，难度较大，尤
第32页（共33页）其是第（3）问，因为不确定点P是在线段BC上还是在延长线上，有此情况存在，
所以都要分情况进行讨论，从而分别证出结论或求出PC的长．
第33页（共33页）
