文档内容
2000 年全国硕士研究生入学统一考试
理工数学一试题
一、 填空题
1
(1)∫ 2x−x2dx= .
0
（2）曲面x2 +2y2 +3z2 =21在点(1,−2,2)的法线方程为 .
（3）微分方程xy'' +3y' =0的通解为 .
⎡1 2 1 ⎤⎡x ⎤ ⎡1⎤
1
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
（4）已知方程组 2 3 a+2 x = 3 无解，则a = .
⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥
⎢1 a −2 ⎥⎢x ⎥ ⎢0⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3
1
(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为 , A发生B不发生的概率与B发生A不
9
发 生的概率相等，则P A = .
二、选择题
（1）设 f (x),g(x)是恒大于零得可导函数，且 f '(x)g(x)− f (x)g'(x)<0，则当a< x f (b)g(x) （B） f (x)g(a)> f (a)g(x)
（C） f (x)g(x)> f (b)g(b) （D） f (x)g(x)> f (a)g(a)
【 】
（2）设S:x2 + y2 +z2 =a2(z ≥0),S 为S在第一卦限中的部分，则有
1
（A）∫∫xdS =4∫∫xdS （B）∫∫ ydS =4∫∫xdS
S S S S
1 1
（C）∫∫zdS =4∫∫xdS （D）∫∫xyzdS =4∫∫xyzdS
S S S S
1 1
【 】
∞
（3）设级数∑u 收敛，则必收敛的级数为
n
n=1
∞ u ∞
（A）∑(−1)n n. （B）∑u2
n n
n=1 n=1
∞ ∞
（C）∑(u −u ). (D) ∑(u +u ).
2n−1 2n n n+1
n=1 n=1
【 】（4）设n维列向量组α,(cid:34),α (m1)，
L 4x2 + y2
取逆时针方向.
六、设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有
(cid:119)∫∫ xf (x)dydz−xyf (x)dzdx−e2xzdxdy =0,
S
其中函数 f (x)在(0,+∞)内具有连续的一阶导数，且lim f (x)=1,求 f (x) .
x→0+
∞ 1 xn
七、求幂级数∑ 的收敛区域，并讨论该区间断电处的收敛性.
3n +(−2)n n
n=1
八、设有一半径为R的球体，P 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P
0 0
距离的平方成正比（比例常数k >0），求球体的重心位置.九、设函数 f (x)在[0,π]上连续，且∫ π f (x)dx=0,∫ π f (x)cosxdx=0,试证：在(0,π)内
0 0
至少存在两个不同的点ξ,ξ ，使 f (ξ)= f (ξ)=0.
1 2 1 2
十、（本题满分6分）
⎡1 0 0 0⎤
⎢ ⎥
0 1 0 0
设矩阵A的伴随矩阵A* =⎢ ⎥,且ABA−1 = BA−1+3E,其中E为4阶单位矩阵，
⎢1 0 1 0⎥
⎢ ⎥
⎣0 −3 0 8⎦
求矩阵B.
1
十一、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工得人数统计，然后将 熟练工支援
6
其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及之间实践至年
2
终考核有 成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为x 和y ，
5 n n
⎛x ⎞
记为向量⎜ n ⎟.
y
⎝ ⎠
n
⎛x ⎞ ⎛x ⎞ ⎛x ⎞ ⎛x ⎞
（1） 求⎜ n+1 ⎟与⎜ n ⎟的关系式并写成矩阵形式：⎜ n+1 ⎟= A⎜ n+1 ⎟;
y y y y
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
n+1 n n+1 n+1
⎛4⎞ ⎛−1⎞
（2） 验证η = ⎜ ⎟ ,η = ⎜ ⎟是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；
1 ⎝1⎠ 2 ⎝ 1 ⎠
⎡1⎤
⎛x ⎞ ⎢ 2 ⎥ ⎛x ⎞
（3） 当⎜ 1 ⎟ =⎢ ⎥时，求⎜ n+1 ⎟.
y 1 y
⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠
1 n+1
⎢⎣2⎥⎦
十二、某流水生产线上每一个产品不合格的概率为 p(0< p<1) ,各产品合格与否相互独立，
当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为X,求X
的数学期望E(X)和方差D(X)
.
十三、设某种元件的使用寿命X 的概率密度为
⎧⎪2e−2(x−θ)
,x>θ
f (x,θ)=⎨
⎪⎩0, x≤θ
其中θ>0为未知参数，又设x ,x ,(cid:34),x 是X 的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计
1 2 n
值.2000 年全国硕士研究生入学统一考试
理工数学一试题详解及评析
一、 填空题
1
(1)∫ 2x−x2dx= .
0
π
【答】 .
4
【详解】
∫ 1 2x−x2dx=∫ 1 1−(x−1)2 dxx−1=sint∫ π 2cos2tdt = π
0 0 0 4
（2）曲面x2 +2y2 +3z2 =21在点(1,−2,2)的法线方程为 .
x−1 y+2 z−2
【答】 = = .
1 −4 6
【详解】 令 F(x,y,z)= x2 +2y2 +3z2 −21，
则有
F' (1,−2,2)=2x| =2,
x (1,−2,2)
F' (1,−2,2)=4y| =−8,
y (1,−2,2)
F' (1,−2,2)=6z| =12.
z (1,−2,2)
因此所求法线方程为：
x−1 y+2 z−2
= =
1 −4 6
（3）微分方程xy'' +3y' =0的通解为 .
C
【答】 y =C + 2 .
1 x2
【详解】 令 p= y'，则原方程化为
3
p' + p=0,
x
其通解为 p=Cx−3.
因此，
C C ⎛ C⎞
y =∫Cx−3dx=C − x−2 =C + 2 ,
⎜
C =−
⎟
1 2 1 x2 ⎝ 2 2 ⎠⎡1 2 1 ⎤⎡x ⎤ ⎡1⎤
1
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
（4）已知方程组 2 3 a+2 x = 3 无解，则a = .
⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥
⎢1 a −2 ⎥⎢x ⎥ ⎢0⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3
【答】 -1.
【详解】 化增广矩阵为阶梯形，有
⎡1 2 1 (cid:35) 1⎤ ⎡1 2 1 (cid:35) 1 ⎤ ⎡1 2 1 (cid:35) 1 ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 3 a+2 (cid:35) 3 → 0 −1 a (cid:35) 1 → 0 −1 a (cid:35) 1
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢1 a −2 (cid:35) 0⎥ ⎢0 a−2 −3 (cid:35) −1⎥ ⎢0 0 (a−3)(a+1) (cid:35) a−3⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
可见。当a =−1时，系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3，因此方程组无解.
注意，当a =3时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为2，方程组有无穷多解.
1
(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为 , A发生B不发生的概率与B发生A不
9
发生的概率相等，则P(A)=
.
2
【答】 .
3
【详解】 由题设。有
( ) 1 ( ) ( )
P AB = ,P AB = P AB
9
( ) ( )
因为A和B相互独立，所以A与B，A与B也相互独立。于是由P AB = P AB ，
有 P(A)P ( B ) = P ( A ) P(B)
即有 P(A)⎡
⎣
1−P(B)⎤
⎦
= ⎡
⎣
1−P(A)⎤
⎦
P(B),
可得 P(A)= P(B)
从而 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) =⎡
⎣
1−P(A)⎤
⎦
2 = 1 ,
9
2
解得 P(A)= .
3
二、选择题
（1）设 f (x),g(x)是恒大于零得可导函数，且 f '(x)g(x)− f (x)g'(x)<0，则当a< x f (b)g(x) （B） f (x)g(a)> f (a)g(x)
（C） f (x)g(x)> f (b)g(b) （D） f (x)g(x)> f (a)g(a)
【 】【答】 应选（A）.
【详解】 由题设知
⎛ f (x)⎞ ' f '(x)g(x)− f (x)g'(x)
⎜ ⎟ = <0,
⎜ g(x)⎟ g2(x)
⎝ ⎠
因此当a< x
g(x) g(b)
即 f (x)g(b)> f (b)g(x)，
可见（A）为正确选项.
（2）设S:x2 + y2 +z2 =a2(z ≥0),S 为S在第一卦限中的部分，则有
1
（A）∫∫xdS =4∫∫xdS （B）∫∫ ydS =4∫∫xdS
S S S S
1 1
（C）∫∫zdS =4∫∫xdS （D）∫∫xyzdS =4∫∫xyzdS
S S S S
1 1
【 】
【答】 应选（C）.
【详解】 显然，待选答案的四个右端均大于零，而S 关于平面x=0和y =0对称，因此（A）、
（B）、（D）三项中的左端项均能为零，可见（C）一定为正确选项.事实上,有
∫∫zdS =4∫∫zdS =4∫∫xdS
S S S
1 1
∞
（3）设级数∑u 收敛，则必收敛的级数为
n
n=1
∞ u ∞
（A）∑(−1)n n. （B）∑u2
n n
n=1 n=1
∞ ∞
（C）∑(u −u ). (D) ∑(u +u ).
2n−1 2n n n+1
n=1 n=1
【 】
【答】 应选（D）.
【详解】 利用级数的性质即知，（D）为正确选项，事实上，（A）、（B）、（C）三个选项可举
反例说明是不正确的.例如：
∞ 1 ∞ u ∞ 1
∑(−1)n 收敛，但∑(−1)n n =∑ 发散，可排除（A）；
lnn n nlnn
n=2 n=2 n=2
∞ 1 ∞ ∞ 1
∑(−1)n 收敛，但∑u2 =∑ 发散，可排除（B）；
n n n
n=1 n=1 n=1∞ 1 ∞ ∞ ⎛ 1 1 ⎞ ∞ 1
∑(−1)n−1 收敛，但∑(u −u )=∑ ⎜ + ⎟ ≥∑ 发散，可排除（c）.
n 2n−1 2n ⎝2n−1 2n⎠ n
n=1 n=1 n=1 n=1
（4）设n维列向量组α,(cid:34),α (m1)，
L 4x2 + y2
取逆时针方向.
−y x
【详解】 P= ,Q= ,
4x2 + y2 4x2 + y2
∂P y2 −4x2 ∂Q
则有 = = ,(x,y)≠(0,0)
∂x ( 4x2 + y2)2 ∂y
⎧ ε
⎪x= cost
作足够小的椭圆：C:⎨ 2 （t∈[0,2π],C 取逆时针方向），于是由格林公式有
⎪ ⎩y =εsint
xdy− ydx
(cid:118)∫ =0.
L+C 4x2 + y2
从而有
1
ε2
xdy− ydx xdy− ydx 2π2
I =(cid:118)∫ = I = (cid:118)∫ =∫ dt =π
L 4x2 + y2 C 4x2 + y2 0 ε2
六、设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有
(cid:119)∫∫ xf (x)dydz−xyf (x)dzdx−e2xzdxdy =0,
S
其中函数 f (x)在(0,+∞)内具有连续的一阶导数，且lim f (x)=1,求 f (x) .
x→0+
【详解】 由题设和高斯公式得
0=(cid:119)∫∫ xf (x)dydz−xyf (x)dzdx−e2xzdxdy
S
=±∫∫∫⎡xf '(x)+ f (x)−xf (x)−e2x⎤dV,
⎣ ⎦
Ω
其中Ω为S 围成的有界闭区域，±号对应曲面取外侧或内侧，由S 的任意性，知
xf '(x)+ f (x)−xf (x)−e2x =0,(x>0)⎛1 ⎞ 1
即 f '(x)+ ⎜ −1 ⎟ f (x)= e2x,(x>0)
⎝ x ⎠ x
这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为
ex
f (x)= ( ex +C )
x
⎛e2x +Cex ⎞
由于lim f (x)= lim⎜ ⎟=1,
x→0+ x→0+⎝ x ⎠
故必有 lim ( e2x +Cex) =0,
x→0+
即 C+1=0，从而C =−1
ex
因此 f (x)= ( ex −1 ) .
x
∞ 1 xn
七、求幂级数∑ 的收敛区域，并讨论该区间断电处的收敛性.
3n +(−2)n n
n=1
【详解】 因为
⎡ ⎛ 2⎞ n⎤
a ⎡ ⎣ 3n +(−2)n⎤ ⎦ n ⎣ ⎢ ⎢ 1+⎜ ⎝ − 3 ⎟ ⎠ ⎦ ⎥ ⎥ n 1
lim n+1 =lim =lim =
n→∞ a n→∞ ⎡3n+1+(−2)n+1⎤(n+1) n→∞ ⎡ ⎛ 2⎞ n+1⎤ 3
n ⎣ ⎦ 3⎢1+ ⎜ − ⎟ ⎥ (n+1)
⎢⎣ ⎝ 3⎠ ⎥⎦
所以收敛半径为R =3，相应的收敛区间为(−3,3)
(3)n
1 1 ∞ 1
当x=3时，因为 ⋅ > ，且∑ 发散，所以原级数在点x=3处发散；
3n +(−2)n n 2n n
n=1
(−3)n
1 1
(2)n
1 ∞
(−1)n
当 x=−3 时 ， 由 于 ⋅ =(−1)n − ⋅ ， 且 ∑ 与
3n +(−2)n n n 3n +(−2)n n n
n=1
∞
(2)n
1
∑ ⋅ 都收敛.
3n +(−2)n n
n=1
所以原级数在点x=−3处收敛 .
八、设有一半径为R的球体，P 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P
0 0
距离的平方成正比（比例常数k >0），求球体的重心位置.
【分析】本题为一物理应用题，由于重心坐标是相对某一些坐标系而言的，因此本题的关键是建立适当的坐标系，一般来说，可考虑选取球心或固定点P 作为坐标原点，相应的有两种
0
求解方法.
【详解1】
用Ω表示球体，以Ω的球心为原点O,射线OP 为正x轴建立直角坐标系，则点P 的坐标为
0 0
(R,0,0)球面的方程为
x2 + y2 +z2 = R2
( )
设Ω的重心位置为 x,y,z ，由对称性，得
y =0,z =0,
∫∫∫x⋅k⎡(x−R)2 + y2 +z2⎤dV
⎣ ⎦
x= Ω
∫∫∫k⎡(x−R)2 + y2 +z2⎤dV
⎣ ⎦
Ω
而
∫∫∫⎡(x−R)2 + y2 +z2⎤dV
⎣ ⎦
Ω
= ∫∫∫ ( x2 + y2 +z3) dV +∫∫∫R2dV =8∫ π 2dθ∫ π 2dϕ∫ R r2⋅r2sinϕdr+ 4 πR5
0 0 0 3
Ω Ω
32
= πR5
15
∫∫∫x⎡(x−R)2 + y2 +z2⎤dV =−2R∫∫∫x2dV
⎣ ⎦
Ω Ω
2R 8
=− ∫∫∫ ( x2 + y2 +z3) dV =− πR6
3 15
Ω
R
故 x=− .
4⎛ R ⎞
因此， 球体Ω的重心位置为⎜ − ,0,0 ⎟ .
⎝ 4 ⎠
【详解2】
~ ~
用Ω表示所考虑的球体，O表示球心，以点P 选为原点，射线P O为正z轴建立直角坐标系，
0 0
则球面的方程为
x2 + y2 +z2 =2Rz
( )
设Ω的重心位置为 x,y,z ，由对称性，得
x=0,y =0,
∫∫∫kz ( x2 + y2 +z3) dV
z = Ω
∫∫∫k ( x2 + y2 +z3) dV
Ω
因为
π π
∫∫∫ ( x2 + y2 +z2) dV =4∫2dθ∫2dϕ∫ 2Rcosϕ r4sinϕdr
0 0 0
Ω
32
= πR5
15
π π
∫∫∫z ( x2 + y2 +z2) dV =4∫2dθ∫2dϕ∫ 2Rcosϕ r5sinϕcosϕdr
0 0 0
Ω
64 π
= πR6∫2cos7ϕsinϕdϕ
3 0
8
= πR6
35
故 z = R.
4
⎛ 5 ⎞
因此，球体Ω的重心位置为⎜ 0,0, R ⎟.
⎝ 4 ⎠
九、设函数 f (x)在[0,π]上连续，且∫ π f (x)dx=0,∫ π f (x)cosxdx=0,试证：在(0,π)内
0 0
至少存在两个不同的点ξ,ξ ，使 f (ξ)= f (ξ)=0.
1 2 1 2
π
【详解】 令F(x)=∫ f (t)dt,则有F(0)= F(π)=0,又因为
0
π π
0=∫ f (x)cosxdx=∫ cosxdF(x)
0 0
= F(x)cosx|π +∫ π F(x)sinxdx
0 0
π
=∫ F(x)sinxdx
0
π
令G(x)=∫ F(x)sintdt，则G(0)=G(π)=0,
0
于是存在ξ∈(0,π)，使F(ξ)sinξ=0,因为当ξ∈(0,π)，这样就证明了.
F(0)= F(ξ)= F(π)=0
再对F(x)在区间[0,ξ]，[ξ,π]上分别用罗尔定理知，至少存在ξ∈(0,ξ)，ξ ∈(ξ,π)
1 2
使
F (ξ)= F'(ξ)=0
1 2
即 f (ξ)= f (ξ)=0
1 2
十、（本题满分6分）
⎡1 0 0 0⎤
⎢ ⎥
0 1 0 0
设矩阵A的伴随矩阵A* =⎢ ⎥,且ABA−1 = BA−1+3E,其中E为4阶单位矩阵，
⎢1 0 1 0⎥
⎢ ⎥
⎣0 −3 0 8⎦
求矩阵B.
【分析】本题为解矩阵方程问题，相当于是未知矩阵，其一般原则是先简化，再计算，根据
题设等式，可先右乘A，再左乘A*，尽量不去计算A−1.
【详解1】
由AA* = A*A= A E,知 A* = A n−1 ，因此有8= A* = A 3 ，
于是 A =2
在等式ABA−1 = BA−1+3E,两边先右乘A，再左乘A*，得
2B= A*B+3A*A= A*B,
( 2E−A*)
B=6E,
于是
−1
⎡ 1 0 0 0 ⎤ ⎡6 0 0 0 ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 1 0 0 0 6 0 0
B=6 ( 2E−A*)−1 =6⎢ ⎥ =⎢ ⎥
⎢−1 0 1 0 ⎥ ⎢6 0 6 0 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 0 3 0 −6⎦ ⎣0 3 0 −1⎦
【详解2】
A =2（同解1），由AA* = A*A= A E,，得
⎡ 1 0 0 0⎤
⎢ ⎥
0 1 0 0
⎢ ⎥
A= A
( A*)−1
=2
( A*)−1
=2⎢−1 0 1 0⎥
⎢ ⎥
−3 1
⎢ ⎥
0 0
⎢⎣ 8 8⎥⎦
⎡ 2 0 0 0⎤
⎢ ⎥
0 2 0 0
⎢ ⎥
=⎢−2 0 2 0⎥,
⎢ ⎥
−3 1
⎢ ⎥
0 0
⎢⎣ 4 4⎥⎦
可见A−E为逆矩阵.
于是由(A−E)BA−1 =3E,有B=3(A−E)−1 A，而
−1
⎡ 1 0 0 0 ⎤ ⎡1 0 0 0 ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 1 0 0 0 1 0 0
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
(A−E)−1
= ⎢−2 0 1 0 ⎥ = ⎢2 0 1 0 ⎥,
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
3 3 4
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 0 − 0 1 0 −
⎢⎣ 4 4⎥⎦ ⎢⎣ 3⎥⎦
因此⎡1 0 0 0 ⎤⎡ 2 0 0 0⎤
⎡6 0 0 0 ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥
0 1 0 0 0 2 0 0 ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ 0 6 0 0
B=3⎢2 0 1 0 ⎥⎢−2 0 2 0⎥ =⎢ ⎥
⎢6 0 6 0 ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
4 3 1 ⎢ ⎥
⎢ 0 1 0 − ⎥⎢ 0 0 ⎥ ⎣0 3 0 −1⎦
⎢⎣ 3⎥⎦⎢⎣ 4 4⎥⎦
1
十一、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工得人数统计，然后将 熟练工支援
6
其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及之间实践至年
2
终考核有 成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为x 和y ，
5 n n
⎛x ⎞
记为向量⎜ n ⎟.
y
⎝ ⎠
n
⎛x ⎞ ⎛x ⎞ ⎛x ⎞ ⎛x ⎞
（1） 求⎜ n+1 ⎟与⎜ n ⎟的关系式并写成矩阵形式：⎜ n+1 ⎟= A⎜ n+1 ⎟;
y y y y
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
n+1 n n+1 n+1
⎛4⎞ ⎛−1⎞
（2） 验证η = ⎜ ⎟ ,η = ⎜ ⎟是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；
1 ⎝1⎠ 2 ⎝ 1 ⎠
⎡1⎤
⎛x ⎞ ⎢ 2 ⎥ ⎛x ⎞
（3） 当⎜ 1 ⎟ =⎢ ⎥时，求⎜ n+1 ⎟.
y 1 y
⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠
1 n+1
⎢⎣2⎥⎦
【详解】（1）由题意，得
⎧ 5 2⎛1 ⎞
x = x + x + y
⎪ ⎜ ⎟
⎪ n+1 6 n 5⎝6 n n ⎠
⎨
⎪ 3⎛1 ⎞
y = x + y
⎜ ⎟
⎪ ⎩ n+1 5⎝6 n n ⎠
⎧ 9 2
x = x + y
⎪ ⎪ n+1 10 n 5 n
化简 ⎨
1 3
⎪
y = x + y
⎪⎩ n+1 10 n 5 n
⎡ 9 2⎤
⎛x ⎞ ⎢ 10 5 ⎥⎛x ⎞
即 ⎜ n+1 ⎟=⎢ ⎥⎜ n ⎟
y 1 3 y
⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠
n+1 n
⎢⎣10 5⎥⎦⎡ 9 2⎤
⎢ ⎥
10 5
可见 A= ⎢ ⎥.
1 3
⎢ ⎥
⎢⎣10 5⎥⎦
（2）因为行列式
4 −1
(η,η) = =5≠0
1 2 1 1
可见 η,η线性无关.
1 2
⎛4⎞
又 Aη = ⎜ ⎟ =η,故η为A的特征向量，且相应的特征值λ=1.
1 ⎝1⎠ 1 1 1
⎛ 1⎞
−
⎜ ⎟
2 1 1
Aη =⎜ ⎟= η,为A的特征向量，且相应的特征值λ = .
2 ⎜ 1 ⎟ 2 2 2 2
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
（3）因为
⎛1⎞
⎛x ⎞ ⎛x ⎞ ⎛x ⎞ ⎛x ⎞ ⎜ 2 ⎟
⎜ n+1 ⎟= A⎜ n ⎟= A2 ⎜ n−1 ⎟ (cid:34)= An ⎜ 1 ⎟ = An⎜ ⎟
⎝
y
⎠ ⎝
y
⎠ ⎝
y
⎠ ⎝
y
⎠
⎜1⎟
n+1 n n−1 1 ⎜ ⎟
⎝2⎠
因此只要计算An即可.
⎛4 −1⎞
令 P=η,η = ⎜ ⎟ ,
1 2 ⎝1 1 ⎠
⎛λ ⎞ ⎛λ ⎞
则由P1AP=⎜ 1 ⎟,有 A= P⎜ 1 ⎟P−1,
λ λ
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
于是
⎡1 ⎤
n −1
⎛λ ⎞ ⎛4 −1⎞⎢ ⎥⎛4 −1⎞
An = P⎜ 1 ⎟ P−1 = ⎜ ⎟⎢ ⎛1⎞ n ⎥⎜ ⎟
⎝ λ 2 ⎠ ⎝1 1 ⎠ ⎢ ⎣ ⎜ ⎝2 ⎟ ⎠ ⎥ ⎦ ⎝1 1 ⎠
⎡ ⎛1⎞ n ⎛1⎞ n ⎤
⎢4+ ⎜ ⎟ 4− ⎜ ⎟ ⎥
1⎢ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎥
=
5⎢ n n⎥
⎛1⎞ ⎛1⎞
⎢1− 1+4 ⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢⎣ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎥⎦
因此⎛1⎞ ⎡ ⎛1⎞ n⎤
⎢8−3 ⎜ ⎟ ⎥
⎛ ⎜ x n+1 ⎞ ⎟= An ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟= 1 ⎢ ⎝2⎠ ⎥
⎝ y
n+1
⎠ ⎜
⎜
1⎟
⎟
10⎢
⎢2+3
⎛1⎞ n⎥
⎥
⎝2⎠ ⎜ ⎟
⎢⎣ ⎝2⎠ ⎥⎦
十二、某流水生产线上每一个产品不合格的概率为 p(0< p<1) ,各产品合格与否相互独立，
当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为X,求X
的数学期望E(X)和方差D(X)
.
【详解】 记q=1− p, X 的概率分布为
P{X =k}=qk−1p,(k =1,2,(cid:34))
X 的数学期望为
∞ ∞ ∞
E(X)=∑kP{X =k}=∑kqk−1p= p∑( qk)'
k=1 k=1 k=1
' '
⎛ ∞ ⎞ ⎛ q ⎞
= p
⎜
∑qk
⎟
= p
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝1−q⎠
k=1
1
=
p
因为
'
∞ ∞ ⎡ ⎛ ∞ ⎞ '⎤
E ( X2) =∑k2P{X =k}=∑k2qk−1p = p⎢q ⎜ ∑qk ⎟ ⎥
k=1 k=1 ⎢⎣ ⎝ k=1 ⎠ ⎥⎦
'
⎡ ⎤
q 2− p
= p⎢ ⎥ =
⎢
(1−q)2
⎥
p2
⎣ ⎦
故 X 的方差为
2− p 1
D(X)= E ( X2) −⎡E(X)⎤ 2 = −
⎣ ⎦
p2 P2
1− p
=
p2
十三、设某种元件的使用寿命X 的概率密度为
⎧⎪2e−2(x−θ)
,x>θ
f (x,θ)=⎨
⎪⎩0, x≤θ
其中θ>0为未知参数，又设x ,x ,(cid:34),x 是X 的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计
1 2 n
值.【详解】 似然函数为
⎧ n
L(θ)= L(x ,x ,(cid:34),x ,θ)= ⎪ ⎨ 2ne
−2∑
i=1
(x
i
−θ)
,x ≥θ(i =1,2,(cid:34),n)
1 2 n i
⎪ ⎩ 0, 其他
当x ≥θ(i =1,2,(cid:34),n)时，L(θ)>0，取对数，得
i
n
lnL(θ)=nln2−2∑(x −θ).
i
i=1
dlnL(θ)
因为 =2n>0,所以L(θ)单调增加.
dθ
由于θ必须满足x ≥θ(i =1,2,(cid:34),n)，因此当θ取x ,x ,(cid:34),x ,中的最小值时，L(θ)取最大
i 1 2 n
值，所以ϑ的最大似然估计值为
^
θ=min(x ,x ,(cid:34),x )
1 2 n
