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2006年考研数学（三）真题
一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
（1）
（2）设函数 在 的某邻域内可导,且 ， ，则
（3）设函数 可微,且 ,则 在点(1,2)处的全微分
（4）设矩阵 ， 为2阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 .
（5）设随机变量 相互独立，且均服从区间 上的均匀分布，则 _______.
（6）设总体 的概率密度为 为总体 的简单随机样本，其样
本方差为 ，则
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项
前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在点 处的增量， 分
别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，则
(A) . (B) .
(C) . (D) . [ ]
（8）设函数 在 处连续，且 ，则
(A) 存在 (B) 存在
(C) 存在 (D) 存在 [ ]
（9）若级数 收敛，则级数
(A) 收敛 . （B） 收敛.
1(C) 收敛. (D) 收敛. [ ]
（10）设非齐次线性微分方程 有两个不同的解 为任意常数，则该方程的通
解是
（Ａ） . （Ｂ） .
（Ｃ） . （Ｄ） [ ]
（11）设 均为可微函数，且 ，已知 是 在约束条件
下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若 ，则 .
(B) 若 ，则 .
(C) 若 ，则 .
(D) 若 ，则 . [ ]
（12）设 均为 维列向量， 为 矩阵，下列选项正确的是
(A) 若 线性相关，则 线性相关.
(B) 若 线性相关，则 线性无关.
(C) 若 线性无关，则 线性相关.
(D) 若 线性无关，则 线性无关. [ ]
（13）设 为3阶矩阵，将 的第2行加到第1行得 ，再将 的第1列的 倍加到第2列得 ，记
，则
（Ａ） . （Ｂ） .
（Ｃ） . （Ｄ） . ［ ］
（14）设随机变量 服从正态分布 ， 服从正态分布 ，且
2则必有
(A) (B)
(C) (D) [ ]
三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分7分）
设 ,求
(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
（16）（本题满分7分）
计算二重积分 ，其中 是由直线 所围成的平面区域.
（17）（本题满分10分）
证明：当 时，
.
（18）（本题满分8分）
在 坐标平面上，连续曲线 过点 ，其上任意点 处的切线斜率与直线
的斜率之差等于 （常数 ）.
(Ⅰ) 求 的方程；
(Ⅱ) 当 与直线 所围成平面图形的面积为 时，确定 的值.
（19）（本题满分10分）
求幂级数 的收敛域及和函数 .
（20）（本题满分13分）
设4维向量组 ，
问 为何值时 线性相关?当 线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量
用该极大线性无关组线性表出.
（21）（本题满分13分）
设 3 阶实对称矩阵 的各行元素之和均为 3,向量 是线性方程组
的两个解.
(Ⅰ)求 的特征值与特征向量；
3(Ⅱ)求正交矩阵 和对角矩阵 ,使得 ；
（Ⅲ）求 及 ，其中 为3阶单位矩阵.
（22）（本题满分13分）
设随机变量 的概率密度为
，
令 为二维随机变量 的分布函数.
(Ⅰ)求 的概率密度 ；
(Ⅱ) ；
(Ⅲ) .
（23）（本题满分13分）
设总体 的概率密度为
其中 是未知参数 ， 为来自总体 的简单随机样本，记 为样本值 中
小于1的个数.
（Ⅰ）求 的矩估计；
（Ⅱ）求 的最大似然估计
42006年考研数学（三）真题解析
二、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
（1）
【分析】将其对数恒等化 求解.
，
【详解】
而数列 有界， ，所以 .
.
故
（2）设函数 在 的某邻域内可导,且 ， ，则
【分析】利用复合函数求导即可.
【详解】由题设知， ，两边对 求导得
，
两边再对 求导得 ，又 ，
故 .
（3）设函数 可微,且 ,则 在点(1,2)处的全微分
【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.
【详解】方法一：因为 ，
，
所以 .
方法二：对 微分得
5，
故 .
（4）设矩阵 ， 为2阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 2 .
【分析】 将矩阵方程改写为 的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计
算即可.
【详解】 由题设，有
于是有 ，而 ，所以 .
（5）设随机变量 相互独立，且均服从区间 上的均匀分布，则
.
【分析】 利用 的独立性及分布计算.
【详解】 由题设知， 具有相同的概率密度
.
则
.
【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：
6则 .
（6）设总体 的概率密度为 为总体 的简单随机样本，其样
本方差为 ，则
【分析】利用样本方差的性质 即可.
【详解】因为
，
，
所以 ，又因 是 的无偏估计量，
所以 .
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项
前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在点 处的增量， 分
别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，则
(A) . (B) .
(C) . (D) .
[ Ａ ]
【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.
【详解】 由 知，函数 单调增加，曲线
凹向，作函数 的图形如右图所示，显然当 时，
，故应选(Ａ).
（8）设函数 在 处连续，且 ，则
(A) 存在 (B) 存在
7(C) 存在 (D) 存在 [ C ]
【分析】从 入手计算 ，利用导数的左右导数定义判定 的存在性.
【详解】由 知， .又因为 在 处连续，则
.
令 ，则 .
所以 存在，故本题选（C）.
（9）若级数 收敛，则级数
(A) 收敛 . （B） 收敛.
(C) 收敛. (D) 收敛. [ Ｄ ]
【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定.
【详解】 由 收敛知 收敛，所以级数 收敛，故应选(Ｄ).
或利用排除法：
取 ，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；
取 ，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确.
（10）设非齐次线性微分方程 有两个不同的解 为任意常数，则该方程的通
解是
（Ａ） . （Ｂ） .
（Ｃ） . （Ｄ） [ Ｂ ]
【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.
8【详解】由于 是对应齐次线性微分方程 的非零解，所以它的通解是
，故原方程的通解为
，故应选(Ｂ).
【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：
.
其中 是所给一阶线性微分方程的特解， 是对应齐次微分方程的通解.
（11）设 均为可微函数，且 ，已知 是 在约束条件
下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若 ，则 .
(B) 若 ，则 .
(C) 若 ，则 .
(D) 若 ，则 . [ Ｄ ]
【分析】 利用拉格朗日函数 在 （ 是对应 的参数
的值）取到极值的必要条件即可.
【详解】 作拉格朗日函数 ，并记对应 的参数 的值为 ，则
， 即 .
消去 ，得
,
整理得 .（因为 ），
若 ，则 .故选（Ｄ）.
（12）设 均为 维列向量， 为 矩阵，下列选项正确的是
(A) 若 线性相关，则 线性相关.
9(B) 若 线性相关，则 线性无关.
(C) 若 线性无关，则 线性相关.
(D) 若 线性无关，则 线性无关. [ A ]
【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.
【详解】 记 ，则 .
所以，若向量组 线性相关，则 ，从而 ，向量组 也
线性相关，故应选(Ａ).
（13）设 为3阶矩阵，将 的第2行加到第1行得 ，再将 的第1列的 倍加到第2列得 ，记
，则
（Ａ） . （Ｂ） .
（Ｃ） . （Ｄ） . ［ Ｂ ］
【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.
【详解】由题设可得
，
而 ，则有 .故应选（Ｂ）.
（14）设随机变量 服从正态分布 ， 服从正态分布 ，且
则必有
(A) (B)
(C) (D) [ A ]
【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.
【详解】 由题设可得
10，
则 ，即 .
其中 是标准正态分布的分布函数.
又 是单调不减函数，则 ，即 .
故选(A).
三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分7分）
设 ,求
(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将 作为常量求解，此问中含 型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用第
(Ⅰ)问的结果，含 未定式极限.
【详解】(Ⅰ)
.
(Ⅱ) （通分）
11（16）（本题满分7分）
计算二重积分 ，其中 是由直线 所围成的平面区域.
【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.
【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于 的一次函数，“先
后 ”积分较容易，所以
（17）（本题满分10分）
证明：当 时，
.
【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.
【详解】 令 ，
则 ，且 .
又 ，（ ），
故当 时， 单调减少，即 ，则 单调增加，于是
，即
.
（18）（本题满分8分）
在 坐标平面上，连续曲线 过点 ，其上任意点 处的切线斜率与直线
的斜率之差等于 （常数 ）.
(Ⅰ) 求 的方程；
(Ⅱ) 当 与直线 所围成平面图形的面积为 时，确定 的值.
【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数.
【详解】(Ⅰ) 设曲线 的方程为 ，则由题设可得
，这是一阶线性微分方程，其中 ，代入通解公式得
12，
又 ，所以 .
故曲线 的方程为 .
(Ⅱ) 与直线 （ ）所围成平面图形如右图所示. 所以
，
故 .
（19）（本题满分10分）
求幂级数 的收敛域及和函数 .
【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级
数展开式计算和函数.
【详解】记 ，则
.
所以当 时，所给幂级数收敛；当 时，所给幂级数发散；
当 时，所给幂级数为 ，均收敛，
故所给幂级数的收敛域为
在 内， ，
而 ，
所以 ，又 ，
13于是 .同理
，
又 ，所以 .
故 . .
由于所给幂级数在 处都收敛，且 在 处都连续，
所以 在 成立，即
， .
（20）（本题满分13分）
设4维向量组 ，
问 为何值时 线性相关?当 线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量
用该极大线性无关组线性表出.
【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参
数 ；用初等变换求极大线性无关组.
【详解】记以 为列向量的矩阵为 ，则
.
于是当 时， 线性相关.
当 时，显然 是一个极大线性无关组，且 ；
当 时，
，
14由于此时 有三阶非零行列式 ，所以 为极大线性无关组，且
.
（21）（本题满分13分）
设 3 阶实对称矩阵 的各行元素之和均为 3,向量 是线性方程组
的两个解.
(Ⅰ) 求 的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求正交矩阵 和对角矩阵 ,使得 ；
（Ⅲ）求 及 ，其中 为3阶单位矩阵.
【分析】 由矩阵 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵 的一个特征值和对应的特征向量；由
齐次线性方程组 有非零解可知 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将 的线
性无关的特征向量正交化可得正交矩阵 ；由 可得到 和 .
【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵 的各行元素之和均为3，所以
，
则由特征值和特征向量的定义知， 是矩阵 的特征值， 是对应的特征向量.对应
的全部特征向量为 ，其中 为不为零的常数.
又由题设知 ，即 ，而且 线性无关，所以 是
矩阵 的二重特征值， 是其对应的特征向量，对应 的全部特征向量为 ，其中
为不全为零的常数.
(Ⅱ) 因为 是实对称矩阵，所以 与 正交，所以只需将 正交.
取 ，
15.
再将 单位化，得
，
令 ，则 ，由 是实对称矩阵必可相似对角化，得
.
（Ⅲ）由(Ⅱ)知 ，所以
.
，
16则 .
（22）（本题满分13分）
设随机变量 的概率密度为
，
令 为二维随机变量 的分布函数.
(Ⅰ) 求 的概率密度 ；
(Ⅱ) ；
(Ⅲ) .
【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.
【详解】 （I） 设 的分布函数为 ，即 ，则
1) 当 时， ；
2) 当 时，
.
3) 当 时，
.
4) 当 ， .
所以
.
17（II） ，
而 ， ，
，
所以 .
(Ⅲ)
.
（23）（本题满分13分）
设总体 的概率密度为
其中 是未知参数 ， 为来自总体 的简单随机样本，记 为样本值 中
小于1的个数.
（Ⅰ）求 的矩估计；
（Ⅱ）求 的最大似然估计
【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算.
【详解】（Ⅰ）因为 ，
令 ，可得 的矩估计为 .
（Ⅱ）记似然函数为 ，则
.
两边取对数得
，
18令 ，解得 为 的最大似然估计.
19
