2007考研数学一真题及答案解析公众号：小乖考研免费分享_04.数学一历年真题_普通版本数学一_1987-2016考研数学（一）真题答案与解析

中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析 一、选择题：(本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 当x0时，与 x 等价的无穷小量是 1x (A) 1e x. (B) ln . (C) 1 x 1. (D) 1cos x . [ B ] 1 x 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小 量，再进行比较分析找出正确答案. 1 【详解】 当x0时，有1e x (e x 1)~ x； 1 x 1~ x ； 2 1 1 1cos x ~ ( x)2  x. 利用排除法知应选(B). 2 2 1 (2) 曲线y ln(1ex)，渐近线的条数为 x (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ] 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 1 【详解】 因为lim[ ln(1ex)]，所以x0为垂直渐近线； x0 x 1 又 lim[ ln(1ex)]0，所以y=0为水平渐近线； x x y 1 ln(1ex) ln(1ex) ex 进一步， lim  lim[  ] lim = lim 1， x x x x2 x x x x1ex 1 lim[y1x] lim[ ln(1ex)x]= lim[ln(1ex)x] x x x x = lim[lnex(1ex)x] lim ln(1ex)0， x x 于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D). (3) 如图，连续函数 y=f(x)在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为 1 的上、下半 x 圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x) f(t)dt. 0 则下列结论正确的是 3 5 (A) F(3) F(2). (B) F(3) F(2). 4 4 3 5 (C) F(3) F(2). (D) F(3)  F(2). [ C ] 4 4 【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意 f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清 楚相应积分与面积的关系。 1 【详解】 根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：F(2) ， 2 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 1 1 3 3 F(3)是两个半圆面积之差：F(3) [12 ( )2] = F(2)， 2 2 8 4 3 0 3 F(3)  f(x)dx  f(x)dx   f(x)dx F(3) 0 3 0 因此应选(C). (4) 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是 f(x) f(x) f(x) (A) 若lim 存在，则f(0)=0. (B) 若lim 存在，则f(0)=0. x0 x x0 x f(x) f(x) f(x) (C) 若lim 存在，则 f(0)存在. (D) 若lim 存在，则 f(0)存在 x0 x x0 x [ D ] 【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算 等进行分析讨论。 【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0. f(x) f(x) f(0) f(x) 若lim 存在，则 f(0)0, f(0)lim lim 0，可见(C)也正确， x0 x x0 x0 x0 x 故应选(D). 事实上，可举反例： f(x) x 在x=0处连续，且 f(x) f(x) x  x lim =lim 0存在，但 f(x) x 在x=0处不可导。 x0 x x0 x (5) 设函数f (x)在(0,)上具有二阶导数，且 f(x)0. 令u  f(n)(n1,2,,), n 则下列结论正确的是 (A) 若u u ，则{u }必收敛. (B) 若u u ，则{u }必发散. 1 2 n 1 2 n (C) 若u u ，则{u }必收敛. (D) 若u u ，则{u }必发散. [ D ] 1 2 n 1 2 n 【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。 【详解】 设 f(x)=x2, 则 f (x)在(0,)上具有二阶导数，且 f(x)0,u u ，但 1 2 1 {u }{n2} 发散，排除(C); 设 f(x)= , 则 f(x)在 (0,) 上具有二阶导数，且 n x 1 f(x)0,u u ，但{u }{ }收敛，排除(B); 又若设 f(x)lnx，则f(x)在(0,)上 1 2 n n 具有二阶导数，且 f(x)0,u u ，但{u }{lnn}发散，排除(A). 故应选(D). 1 2 n (6) 设曲线L: f(x,y)1(f(x,y)具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点M和第IV 象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是 (A)  f(x,y)dx. (B)  f(x,y)dy. T T (C)  f(x,y)ds. (D)  f(x,y)dx f(x,y)dy. [ B ] x y T T 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。 【详解】 设M 、N点的坐标分别为M(x,y ),N(x ,y ),x x ,y  y . 先将曲线方 1 1 2 2 1 2 1 2 程代入积分表达式，再计算有：  f(x,y)dx dx x x 0;  f(x,y)dy dy y y 0; 2 1 2 1 T T T T  f(x,y)ds dss0;  f(x,y)dx f(x,y)dy df(x,y)0. x y T T T T 故正确选项为(B). (7) 设向量组,,线性无关，则下列向量组线性相关的是 1 2 3 (A)  , , . (B)  , , . 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 (C)  2, 2, 2. (D)  2, 2, 2. [ A ] 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 【详解】用定义进行判定:令 x ( ) x ( ) x ( )0， 1 1 2 2 2 3 3 3 1 得 (x x ) (x  x ) (x  x ) 0. 1 3 1 1 2 2 2 3 3 x x 0, 1 3  因,,线性无关，所以 x x 0, 1 2 3 1 2  x x 0.  2 3 1 0 1 又 1 1 0  0， 0 1 1 故上述齐次线性方程组有非零解, 即 , , 线性相关. 类似可得(B), (C), 1 2 2 3 3 1 (D)中的向量组都是线性无关的.  2 1 1 1 0 0     (8) 设矩阵A1 2 1, B 0 1 0, 则A与B     1 1 2  0 0 0 (A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 . (C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ B ] 【详解】 由|E A|0 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1,从而A与B 不相似. 又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同. 故选(B) . (9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0