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2008年考研数学（三）真题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所
选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设函数 在区间 上连续，则 是函数 的（ ）
跳跃间断点. 可去间断点.
无穷间断点. 振荡间断点.
（2）曲线段方程为 ，函数 在区间 上有连续的导数，则定积分 等于（ ）
曲边梯形 面积. 梯形 面积.
曲边三角形 面积. 三角形 面积.
（3）已知 ，则
（A） ， 都存在 （B） 不存在， 存在
（C） 不存在， 不存在 （D） ， 都不存在
（4）设函数 连续，若 ，其中 为图中阴影部分，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（5）设 为阶非0矩阵 为阶单位矩阵若 ，则（ ）
不可逆， 不可逆. 不可逆， 可逆.
可逆， 可逆. 可逆， 不可逆.
（6）设 则在实数域上域与 合同矩阵为（ ）
. .
. .
（7）随机变量 独立同分布且 分布函数为 ，则 分布函数为（ ）
1. .
. .
（8）随机变量 ， 且相关系数 ，则（ ）
. .
. .
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设函数 在 内连续，则 .
（10）设 ，则 .
（11）设 ，则 .
（12）微分方程 满足条件 的解 .
（13）设3阶矩阵 的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则 .
（14）设随机变量 服从参数为1的泊松分布，则 .
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
(15) （本题满分10分）
求极限 .
(16) （本题满分10分）
设 是由方程 所确定的函数，其中 具有2阶导数且 时.
（1）求
（2）记 ，求 .
(17) （本题满分11分）
计算 其中 .
(18) （本题满分10分）
设 是周期为2的连续函数，
2（1）证明对任意实数 ，有 ；
（2）证明 是周期为2的周期函数．
(19) （本题满分10分）
设银行存款的年利率为 ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19
万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万
元？
(20) （本题满分12分）
设 矩 阵 ， 现 矩 阵 满 足 方 程 ， 其 中 ，
，
（1）求证 ;
（2） 为何值，方程组有唯一解;
（3） 为何值，方程组有无穷多解.
（21）（本题满分10分）
设 为3阶矩阵， 为 的分别属于特征值 特征向量，向量 满足 ，
证明（1） 线性无关；
（2）令 ，求 .
（22）（本题满分11分）
设随机变量 与 相互独立， 的概率分布为 ， 的概率密度为
，记
（1）求 ；
（2）求 的概率密度．
（23） （本题满分11分）
是总体为 的简单随机样本.记 ， ，
.
3（1）证 是 的无偏估计量.
（2）当 时 ，求 .
42008年考研数学（三）真题解析
一、选择题
(1)【答案】
【详解】 ，
所以 是函数 的可去间断点．
(2)【答案】
【详解】
其中 是矩形ABOC面积， 为曲边梯形ABOD的面积，所以 为曲边三角形的面
积．
(3)【答案】
【详解】
，
故 不存在．
所以 存在．故选 .
(4)【答案】
【详解】用极坐标得
所以 .
(5)【答案】
【详解】 ， .
故 均可逆．
(6)【答案】
【详解】记 ，则 ，
5又 ，
所以 和 有相同的特征多项式，所以 和 有相同的特征值.
又 和 为同阶实对称矩阵，所以 和 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故 正确.
(7)【答案】
【详解】 .
(8)【答案】
【详解】 用排除法. 设 ，由 ，知道 正相关，得 ，排除 、
由 ，得
所以 所以 . 排除 . 故选择 .
二、填空题
(9)【答案】1
【详解】由题设知 ，所以
因为 ，
又因为 在 内连续， 必在 处连续
所以 ，即 .
(10)【答案】
【详解】 ，令 ，得
所以 .
(11)【答案】
【详解】
.
6(12)【答案】
【详解】由 ，两端积分得 ，所以 ，又 ，所以 .
(13)【答案】3
【详解】 的特征值为 ，所以 的特征值为 ，
所以 的特征值为 ， ，
所以 .
(14)【答案】
【详解】由 ，得 ，又因为 服从参数为 1的泊松分布，所以
，所以 ，所以 .
三、解答题
(15) 【详解】
方法一：
方法二：
(16) 【详解】(I)
(II) 由上一问可知 ，
所以
7所以 .
(17) 【详解】 曲线 将区域分成两
个区域 和 ，为了便于计算继续对
区域分割，最后为
D
1
D D
3 2
O 0.5 2 x
(18) 【详解】
方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数 ，
令 ，则
所以
(II) 由(1)知，对任意的 有 ，记 ，则
. 所以，对任意的 ，
所以 是周期为2的周期函数.
方法二：(I) 设 ，由于 ，所以 为常数，从而有
. 而 ，所以 ，即 .
(II) 由(I)知，对任意的 有 ，记 ，则
8，
由于对任意 ， ，
所以 ，从而 是常数
即有
所以 是周期为2的周期函数.
(19) 【详解】
方法一：设 为用于第 年提取 万元的贴现值，则
故
设
因为
所以 (万元)
故 (万元)，即至少应存入3980万元.
方法二：设第 年取款后的余款是 ，由题意知 满足方程
， 即 (1)
(1)对应的齐次方程 的通解为
设(1)的通解为 ，代入(1)解得 ，
所以(1)的通解为
由 ， 得
故 至少为3980万元．
(20) 【详解】(I)
证法一：
9证法二：记 ，下面用数学归纳法证明 ．
当 时， ，结论成立．
当 时， ，结论成立．
假设结论对小于 的情况成立．将 按第1行展开得
故
证法三：记 ，将其按第一列展开得 ，
所以
10即
(II) 因为方程组有唯一解，所以由 知 ，又 ，故 ．
由克莱姆法则，将 的第1列换成 ，得行列式为
所以
(III) 方程组有无穷多解，由 ，有 ，则方程组为
此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 ，所以方程组有无穷多解，其通解为
为任意常数．
(21)【详解】(I)
证法一：假设 线性相关．因为 分别属于不同特征值的特征向量，故 线性无关，则 可
由 线性表出，不妨设 ，其中 不全为零(若 同时为0，则 为0，由
可知 ，而特征向量都是非0向量，矛盾)
，又
11，整理得：
则 线性相关，矛盾. 所以， 线性无关.
证法二：设存在数 ，使得 (1)
用 左乘(1)的两边并由 得
(2)
(1)—(2)得 (3)
因为 是 的属于不同特征值的特征向量，所以 线性无关，从而 ，代入(1)得
，又由于 ，所以 ，故 线性无关.
(II) 记 ，则 可逆，
所以 .
(22)【详解】
(I)
(II)
12所以
(23) 【详解】(I) 因为 ，所以 ，从而 ．
因为
所以， 是 的无偏估计
(II)
方法一： ， ，
所以
因为 ，所以 ，
有 ，
所以
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ,所以
所以 .
13方法二：当 时
(注意 和 独立)
14
