2009考研数学一真题及答案解析公众号：小乖考研免费分享_04.数学一历年真题_普通版本数学一_1987-2016考研数学（一）真题答案与解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四 个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括 号内.) (1)当 时, 与 等价无穷小,则 x0 f x xsinax gx x2ln1bx 1 1 (A)a1,b (B)a 1,b 6 6 1 1 (C)a 1,b (D)a1,b 6 6 (2)如图,正方形 x,y x 1, y 1  被其对角线划分为四 个区域D k k 1,2,3,4, I k  D  ycosxdxdy ,则m 1k a  x 4 I k  k (A)I (B)I 1 2 (C)I (D)I 3 4 (3)设函数 在区间 上的图形为 y  f x 1,3 f (x) O 0 x -2 1 2 3 -1 则函数 x 的图形为 Fx f tdt 0(A) (B) f (x) 1 0 x -2 1 2 3 -1 f (x) 1 0 x -2 1 2 3 -1 (C) (D) f (x) 1 0 x -1 1 2 3 f (x) 1 0 x -2 1 2 3 -1 (4)设有两个数列a ,b ,若lima 0,则 n n n n(A)当  收敛时,  收敛. b a b n n n n1 n1 (B)当  发散时,  发散. b a b n n n n1 n1 (C)当  收敛时,  收敛.  b a2b2 n n n n1 n1 (D)当  发散时,  发散.  b a2b2 n n n n1 n1 1 1 (5)设α ,α ,α 是 3 维向量空间R3的一组基,则由基α , α , α 到基 1 2 3 1 2 2 3 3 的过渡矩阵为 α α ,α α ,α α 1 2 2 3 3 1 1 0 1 1 2 0     (A) 2 2 0 (B) 0 2 3         0 3 3 1 0 3      1 1 1  1 1 1        2 4 6 2 2 2     (C) 1 1 1  (D) 1 1 1    2 4 6   4 4 4     1 1 1 1 1 1           2 4 6   6 6 6  (6)设 均为 2 阶矩阵, 分别为 的伴随矩阵,若 A, B A*,B* A, B ,则分块矩阵O A的伴随矩阵为 A 2, B 3   B O  O 3B*  O 2B* (A) (B)     2A* O  3A* O   O 3A*  O 2A* (C) (D)     2B* O  3B* O  (7)设随机变量 的分布函数为  x1,其中 X Fx0.3x0.7    2  为标准正态分布函数,则 x EX (A)0 (B)0.3 (C)0.7 (D)1 (8)设随机变量 与 相互独立,且 服从标准正态分布 , X Y X N0,1 Y 1 的概率分布为PY 0 PY 1 ,记F z为随机变量Z  XY 的分布 2 Z 函数,则函数 的间断点个数为 F z Z (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸 指定位置上.) (9)设函数 具有二阶连续偏导数, ,则 2z f u,v z  f x,xy  xy . (10)若二阶常系数线性齐次微分方程 yayby 0的通解为 ,则非齐次方程 满足条件 的 y C C xex yayby  x y02,y00 1 2 解为y  . (11)已知曲线 L: y  x2  0 x 2 ,则 xds . L (12)设 x,y,z x2  y2 z2 1  ,则z2dxdydz  .  (13)若 3 维列向量 满足 ,其中 为 的转置,则矩阵 α,β αTβ2 αT α βαT 的非零特征值为 . (14)设 为来自二项分布总体 的简单随机样本, X ,X , ,X Bn,p 1 2  m和 分别为样本均值和样本方差.若 为 的无偏估计量,则 X S2 X kS2 np2 . k  三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位 置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分9分) 求二元函数 f(x,y) x2 2 y2  yln y 的极值. (16)(本题满分9分) 设 为曲线 与 所围成区域的面积 ,记 a y  xn y  xn1n1,2,..... n  ,求 与 的值. S a ,S a S S 1 n 2 2n1 1 2 n1 n1 (17)(本题满分11分) 椭球面 是椭圆 x2 y2 绕 轴旋转而成,圆锥面 是过点 S  1 x S 4,0 1 2 4 3且与椭圆 x2 y2 相切的直线绕 轴旋转而成.  1 x 4 3 (1)求 及 的方程. (2)求 与 之间的立体体积. S S S S 1 2 1 2(18)(本题满分11分) (1)证明拉格朗日中值定理:若函数 f x在a,b上连续,在 (a,b) 可 导,则存在 ,使得 . a,b f b f a fba (2)证明:若函数 f x在 x0 处连续,在 0,0 内可导,且 lim fx A,则 f0存在,且 f0 A x0  (19)(本题满分10分) xdydz ydzdxzdxdy I   计 算 曲 面 积 分  3 , 其 中  是 曲 面   x2  y2 z2 2 的外侧. 2x2 2y2 z2 4(20)(本题满分11分)  1 1 1 1     设A 1 1 1 ,ξ  1   1       0 4 2 2     (1)求满足 的 . 的所有向量 , . (2)对(1)中的 Aξ ξ ξ A2ξ ξ ξ ξ 2 1 2 3 1 2 3 任意向量 , 证明 无关. ξ ξ ξ ,ξ ,ξ 2 3 1 2 3 (21)(本题满分11分) 设二次型 . f x ,x ,x ax2 ax2 a1x2 2x x 2x x 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 (1)求二次型 f 的矩阵的所有特征值; (2)若二次型 f 的规范形 为 ,求 的值. y2  y2 a 1 2(22)(本题满分11分) 袋中有 1 个红色球,2 个黑色球与 3 个白球,现有回放地从袋中取 两次,每次取一球,以X,Y,Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与 白球的个数. (1) 求 p  X 1Z 0 . (2)求二维随机变量X,Y概率分布(23)(本题满分11 分) 2xex,x0 设总体 的概率密度为 ,其中参数 未知, X f(x) (0) 0,其他 , ,… 是来自总体 的简单随机样本. X X X X 1 2 n (1)求参数的矩估计量. (2)求参数的最大似然估计量.