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2024 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
考试时间：180分钟，满分：150分
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
1+ x
（1）已知函数 f (x) =lim ，则（ ）
n→∞1+nx2n
【答案】D
a+kπ
（2）积分∫ sinx dx（ ）
a
【答案】B
π
1
（3）交换积分次序∫2dx∫ f (x,y)dy则（ ）
π
sinx
6
【答案】A
∞ ∞
（4）已知ln(2+ x) =∑a xn ,则 ∑na =（ ）
n 2n
n=0 n=0
1 1 1 1
（A）− （B）− （C） （D）
6 3 6 3
【答案】A
（5）设二次型在正交变换下的标准型为 f (x ,x ,x ) = y2 −2y2 +3y2，则（ ）
1 2 3 1 2 3
【答案】C（行列式为-6，迹为2）
（6）【答案】C
3
（7）【答案】C(a =0,a = )
2
（8）E[(X −Ex)3]=( )
【答案】0
1
（9）【答案】B ( p > p > )
2 1 2
（10）设随机变量X,Y 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z = X −Y ,则下列随机变量与Z
同分布的是（ ）
X +Y
（A）X +Y （B） （C）2X （D）X
2
【答案】D
二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上．
（11）【答案】3
+∞ 5
（12）∫ =________
2 x4 +3x2 −4
1 π
【答案】 ln3−
2 8（13）函数 f(x,y)=2x3 −9x2 −6y4 +12x+24y的极值点是________
【答案】(1,1)
（14）【答案】50
（15）【答案】16
2
（16）【答案】
3
三、解答题：17～22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
（17）（本题满分10分）
1 1
已知区域D是第一象限内的有界区域，它由xy = , xy =3, y = x, y =3x围成，
3 3
∫∫(1+x− y)dxdy
计算
D
8
【答案】 ln3
3
（18）（本题满分12分）
∂2z ∂2z
已知z = z(x,y)由方程z+ex + yln(1+z2)=0确定，求 +
∂2x ∂2y
(0,0)
【答案】−1−2ln2
（19）（本题满分12分）
已知t >0，曲线y = xe−2x与x=t,x=2t及x轴所围的面积为S(t)，求S(t)的最大值
ln2 3
【答案】 +
16 64
（20）（本题满分12分）
设函数 f(x)有2阶导数， f′(0)= f′(1)， f′′(x) ≤1
x(1−x)
（1）当x∈(0,1)时， f(x)− f(0)(1−x)− f(1)x ≤
2
1 f(0)+ f(1) 1
（2） ∫ f(x)dx− ≤
0 2 12
【答案】（1）泰勒公式展开（2）分部积分或泰勒公式
（21）（本题满分12分）
【答案】（1）Ax=α是Bx=β的解 （2）a =1
（22）（本题满分12分）
设总体X 服从[0,θ]上的均匀分布，X ,X ,,X 为总体的简单随机样本，记
1 2 nX =max{X ,X ,,X }，T =cX
(n) 1 2 n c (n)
（1）求c，使得E(T )=θ
c
（2）记h(c)= E(T −θ)2 =θ，求c，使得h(c)最小
c
n+1 n+2
【答案】（1）c= （2）c=
n n+1
