文档内容
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li版权专有侵权必究
图书在版编目 数据
（CIP）
张宇考研数学真题大全解.解析分册.数学三/张
宇，高昆轮主编.一北京：北京理工大学出版社，
2022. 5（2023. 6 重印）
ISBN 978- 7- 5763 - 1323 - 9
I.①张…H.①张… ②高… 皿.①高等数学-研
究生-入学考试-题解IV.①013 - 44
中国版本图书馆CIP数据核字（2022）第079264号
出版发行/北京理工大学出版社有限责任公司
社 址/北京市海淀区中关村南大街5号
邮 编 / 100081
电 话 / （010）68914775（总编室）
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经 销/全国各地新华书店
印 刷/三河市良远印务有限公司
开 本/ 787毫米X1092毫米 1/16
印 张 / 15.75 责任编辑/多海鹏
字 数/ 393千字 文案编辑/多海鹏
版 次/ 2022年5月第1版2023年6月第2次印刷 责任校对/周瑞红
定 价/ 199. 90元（共3册） 责任印制/李志强
图书出现印装质量问题，请拨打售后服务热线,本社负责调换2024版《张宇考研数学真题大全解》如期与读者见面了，本书完整地收集了 1987-2023年考研数学真
题及其详细解析,是对考研数学的一个完整见证！
真题是最好的指挥棒，特别是新大纲下的试题(2021-2023年)更是研究当下考试规律的宝贵材料.
关于真题的使用给出如下两点建议.
一、 使用时间上，从9月份开始练习真题即可，因为在做真题前，考生需要经过一轮或两轮的完整知识
点复习与题型训练,所以建议考生在完成《张宇高等数学18讲》《张宇线性代数9讲》《张宇概率论与数理
统计9讲》和《张宇考研数学题源探析经典1000题》之后再使用真题，这样效果会更佳.
二、 使用方式上，建议考生一套一套地去做，一套一套地去练(尤其是近些年的试卷)，希望考生通过
反复地练习能积累经验、把握重点、突破计算.
值得一提的是，我们对近10年(2014-2023年)的真题录制了完整的视频讲解，书中配有二维码，考生
可以扫码观看.另外，本书还专门配备了专题分册，此分册完整地汇总了考研数学每个专题的重要定理、性
质与公式等，方便考生做模考后的总结使用.
希望大家能够通过真题的练习完善自己的知识结构与解题方法，更期待和大家在冲刺阶段的《考研数
学命题人终极预测8套卷》《张宇考研数学最后4套卷》相见！
2023年5月于北京目录
1987年全国硕士研究生入学统一考试数学解析....................••••• 1
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学解析........................ 6
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学解析........................ 12
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学解析........................ 19
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学解析........................ 26
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学解析........................ 34
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学解析........................ 41
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学解析........................ 48
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学解析........................ 56
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学解析........................ 64
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析...................... 73
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析...................... 79
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析.................. 84
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析...................... 90
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析...................... 95
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析.................... 10。
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析.................... 105
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析.................... 112
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析.................... 119
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析.................... 125
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析.................... 131
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析.................... 138
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析 .................... 145
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析.................... 152
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析.................... 159
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析 .................... 166
• 1 •花罗考研数学_________________ （
真题大全解（数学三）＞»
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析.................... 174
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析.................... 182
2015年全国硕士研究生招生考试数学三解析........................ 188
2016年全国硕士研究生招生考试数学三解析............. 194
2017年全国硕士研究生招生考试数学三解析..................... 200
2018年全国硕士研究生招生考试数学三解析........................ 207
2019年全国硕士研究生招生考试数学三解析........................ 215
2020年全国硕士研究生招生考试数学三解析........................ 221
2021年全国硕士研究生招生考试数学三解析........................ 227
2022年全国硕士研究生招生考试数学三解析................... 233
2023年全国硕士研究生招生考试数学三解析........................ 239
• 2 •1987年全国硕士研究生入学统一考试数学解析
(试卷IV)
V
一、 判断题(本题共5小题,每小题2分，满分10分)
(1) 答应填X.
解 linje+ = +8,但 lin}e+ =0,故错误.
x-H)+ x-*0
(2) 答应填
解 因为〃sin工为［一",日上的奇函数，故正确.
(3) 答应填X.
解 若 a„ = n,b„ =—n,则吏(a“+6,) = 0,故错误.
n=l
(4) 答应填
解 设矩阵A= (ai ,a2,•••,ar,ar+I,,,, ,a„)，令D位于前r列中，则a> ,a2, — ,ar线性无关，又由题设
知，含D的一切r+1阶子式都等于0,因此a~,“，a”都可由ai皿,…,a,线性表示，故r(A)=r,则A的
一切r + 1阶子式都等于0.
(5) 答应填
解由于连续型随机变量的概率密度在某一点的积分为。，故正确.
注 对连续型随机变量X,设 为其概率密度，心为X的分布函数，则
P{a
y x2 = —8+2x3,
、Z4 = 6.
令x3=k(k为任意常数)，可将方程组的通解表示为
九、(本题满分7分)
解 因 AB=A+2B，故 AB~2B=A,即(A—2E)B=A, 0—2E|尹0,故 B=(A — 2E)-“.
2 2 3 4 2 3 q 0 0 3 -8 一6'
(A-2E ； A)= 1 -1 0 1 1 0 0 1 0 2 -9 -6
T 2 1 -1 2 3, o 0 1 -2 12 9 ,
，3 -8 —6
故8= 2 -9 -6
-2 12 9 ,
十、(本题满分6分)
解令|AE—A|=0,即。一 1)3+以+5)=0,可见矩阵A只有一个实特征值;1 = 1.易见，线性方程组
(AE-A)x=。的基础解系为(0,2,1)丁,故4对应于实特征值；1 = 1的特征向量为奴0,2,1尸。为任意非零
常数).
十一、(本题共2小题,每小题4分，满分8分)
0, zVl,
0.2, KV2,
⑴解 X的分布函数为F&)=〈
0.5, 2QV3,
1, •r>3.
(2)解 EZ=E($) = [ 二土 • f(y')dy= J。如
辱匚 ] -乂」_
—■=- e 2a ay-- §—.
2q
[J] je与心，也可利用泊松积分=夺)来完成.
注上面是凑正态分布来处理
・3 -玄考研数学_________________ o
7
真题大全解(数学三)＞〉
十二、(本题满分8分)
解弓I进下列事件:H, = ｛被挑出的是第，箱｝,£= 1,2；A, = ｛第顶次取出的零件是一等品｝, j = 1,2.那
么，由题设知
1 1 Q
P(Hi)=P(Hz)=—；P(Ai|Hi)=普,P(Ai|Hz)=W.
乙 0 D
1112 2
(1) 由全概率公式得 /)=P(Ai)=P(Hi)F(A] |H】)+P(H2)P(Ai |打2)=2乂亏+万乂亏=亏.
(2) 由条件概率的定义和全概率公式得
q=P(A2|A1) = ^^=-sA-x[P(HI)P(A1A2|H1)+P(H2)P(A1A2|H2)]
Jr V/ii ) )
_ 5 v / 1 、, 10X9 , 1 V18X17\_ 1 9 , 51\ .
2X (2X5OX49+ 2 X3OX29)- 4 X \49 + 29)~0, 49'
(试卷V)
一、 判断题(本题共5小题,每小题2分，满分10分)
(1) 【同试卷IV第一、(1)题】
(2) 【同试卷IV第一、(2)题】
(3) 答应填X.
解取/(工)=史，其为严格单调增函数，但/ (0)=0,故错误.
(4) 答应填X.
解 A为n阶方阵，限|=&”|A|,故错误.
注 姐是用&乘方阵4的每一行(列)，而行列式是某一行(列)有公因子4则可提出
(5) 【同试卷IV第一、(5)题】
二、 选择题(本题共5小题,每小题2分，满分10分)
(1) 【同试卷IV 第二、(1)题】
(2) 【同试卷IV 第二、(2)题】
(3) 【同试卷IV 第二、(3)题】
(4) 【同试卷IV 第二、⑷题】
(5) 答应选(C).
解 P(A-B)=P(A 百)=F(A-AB)=P(A)—P(AB).故应选(C).
三、(本题共5小题,每小题4分，满分20分)
ln(l+—)
P ln(l+x) — In x_ .. 1+x2
(1)解由洛必达法则知...l.i.m.. °,； lim - — lim -/, | _r — 1,
l+8 arccot x l+8 arccot x 一+8](1 十z)
(2) 【同试卷W第三、(2)题】
(3) 【同试卷W第三、(3)题】
(4) 解 令J2z — 1 = 2,有]舟"1& = J e7dz = Zez | —| ezck = e — er | = 1.
(5) 解 由 ^4+2x2 + 5=(x2 + l)2+4,令 i=x2 + l,有 dz=2idr，于是
J f 八 x 2 d 那 jc +5 = T I J f 4 d + i ? = T 1 , 万 1 aza. n y：+_|C_厂 =f 1 r cta . n x — 2 + l
其中C为任意常数.
四、(本题满分10分)
解 S[ = t3 — f x2dr = -|-Z3,
J 0 o
・4 -1987年
°〈<<全国硕士研究生入学统一考试数学解析
S2 = f x2dr — （1 — Q/ = — f2 + -1-,
J t o o
S=S（£）= S+Sz =*3_/+g,o0,则/'(了)在(一8,+8)内单调增加.
③ 因为 /(-x)=「' ef'd£ 栏二二「eT''d(一“) = 一「厂*'血=一六了)测 是奇函数.
J o J J
0 0
④ 因为了〃愆)=一亦一耗，，(0)=0,且在1=0两侧，〃(1)变号测(0,0)为拐点.
⑤ 因为当x<0时,/z(x)>0,曲线y=f(x)±是凹的;当z>0时，r(x)<0,曲线jz=/(x)±是凸的.
⑥ 由于 lim /(x)= J。e* dt=y^, lim/(x)= e* dt=—
(2)答应填一3.
解 把行列式的各行都加到第1行，得
3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1
0111 0111 -1 0 0 0
注 各行(列)元素之和均为。，是一种常见的行列式.
『0 0 0 1)
0 0
(3)答应填
0 0 0
1 0 0
解法1利用初等行变换法.
0 0 0 1 1 0 0 0 rl 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
―►
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0
.1 0 0 0 0 0 0 1. .0 0 0 1 1 0 0 0,
解法2利用分块求逆法.
/0 1\ /O B\T / O B-1\ (O B\
记矩阵"=(] °)，则 B-'=B，于是有妃=(b °)o) = (b 0>^
解法3可以看出矩阵4满足A，=E，故由逆矩阵的定义即知A~'=A.
• 6 •1988年
° n 全国硕士研究生入学统一考试数学解析
(4)答 应填 0.3；0, 5.
解 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB).
① 若A,B互不相容，则AB=0,所以P(AB)=O,代入上式得0. 7=0. 4+F(B)-0,故F(B)=0. 3；
② 若 A,B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B)，代入得 0. 7=0. 4+P(B)—0. 4XP(B),故 P(B)=0. 5.
二、判断题(本题共5小题,每小题2分，满分10分)
(1)答应填X.
解 取 /(j：) = ,g(X)= sin —, JBlJlim/(jc) = 0, limfCx)g(x) = 0,但是limgCr)不存在，故错误.
JC x~*Q x-*0
注如果条件改为存在且不为0,则结论正确.
空 (2)答应填X.
解 缺少六工)在血处可导的条件，取fdx)=\x\,可知工=0为极值点，但是f(0)不存在，故错误.
(3)答应填X.
解对于令i = q —L则
J o
a CO
/(j?)dr = /(a — ^)(— dz)= f(a — t)dt = /(a —
0 J a o o
故原命题错误.
(4) 答应填
解由于 AB=O =>r(A) +r(B)且 B尹O =>r(B)>1,故 r(A) V如,正确.
(5) 答应填X.
解 取C=H,则AUC=BUC=O,但A,B未必相等，故错误.
三、(本题共4小题,每小题4分，满分16分)
x1 — 1 v eJ,nx —1 卜 x\n x 1
⑴解 lim =lim—； = hm = 1.
li zln x li x\n x uln x
du_ y du = z
(2)解
dx 1+e"'内 1+e"'
d 邳=2( , \ =•为=(l+e“)2—zye"巧 =e ] _______
d&x内dy ~ddyy \一l+eu)~ (l + eu)2 ~~ (l+eM)3 l+e" (l+eu)3,
(3)解法1由于竺=2d在,于是原式= 3
―
2d
, —
&
=2
9
arctan J
/
工
— 13
=
2k
』工 o 1十] I o 3
解法2 令在=tyx = i2 ,dz = 2/市；当x = 0时,£ = 0；当z = 3时”=g于是
'尝= 2a5 2k
原式=
0 1+t2 o — 3*
(4)解 在原式中交换积分次序，得
原式=「&「
丁COS X心 A = cos idr=sin x
君_J_
—云
J 0 J 0 o o
注由于 COS X ,故需要交换积分次序进行求解.
w
四、(本题共2小题,每小题3分，满分6分)
1+—
(1)解 由外乜=(〃+2)!一 . _____-___ n 1
⑴解由 Wn (〃+1)”+2 S+1)! 待，有
Y)
1+—
n
1+—
n
L8 u„ = n li -* m oo - 1+【 ~2 — T =— e <1.
n
• 7 •。
成 ,
真题大全解(数学三)〉七>
因此由比值审敛法知，级数s(TN),收敛•
n=l
(2)证 由于吏国和吏廿都收敛，可见级数玄*3+牛)收敛.
n= n=
1 1 n= 1
由不等式|",|<身(出+核)及比较审敛法知级数吏|#,|收敛,即绝对收敛.
乙
n=l n=l
五、(本题满分8分)
1
解(1)当需求量等于供给量时，有ji=bp',即伊=音，因此均衡价格为上=(导)'.
(2) 由条件知辛=他>3)—S(p)]2(哉一奶)=第(导一"\因此有
果=斜1)，即舞=-娅，
在该式两边同时积分，得伊=田+。广泌.
由条件/>(0) = 1,可得C=1F.于是价格函数为/>(,) =[祈+ (l—p?)e-g".
(3) lim/>(<)= lim质+ (1—勺+ =/>,.
1 + 8 t-»4-OO
六、 (本题满分8分)
解 设切点A的坐标为(a*),则过点A的切线的斜率为寸| =2a,切线方程为、一次= 2a&—a),
I x=a
即 y=2ax—a2,
切线与X轴的交点为(f ,0),曲线,工轴及切线所围图形面积为
s= ¥=§_§=&.
Jo 4 3 4 12
由题设S = *，因此a = 1.
于是可得(1)切点A的坐标为(1,1);
(2)过切点A(1,1)的切线方程为)=2工一1；
⑶旋转体的体积为V = f\(x2)2dx-f\(2x-l)2dLr =芸.
J J
0 2 oU
七、 (本题满分8分)
解对其增广矩阵作初等行变换，得
1 1 2 3:1 1 1 2 3 : 1、
1 3 6 1 : 3 0 2 4 -2 2
B =(A ■ b)=
3 —1 —ki 15 ； 3 0 ~4 ——6 6 0
1 —5 —10 12 ：处 .0 —6 —12 9 ： k2 — 1,
1 1 2 3:1 0 0 4:0
0 1 2 -1 1 0 1 2 -1； 1
―A
—►
0 -4 —kx —6 6 0 0 0 —k\ +2 2 4
0 -6 —12 9 ： k2 — 1 、0 0 0 3 :处+5,
当刈力2时,r(A) = r(B)=4(未知量的个数)，方程组有唯一解.
当k,=2时，有
rl 0 0 4 0 ■ 0 0 4 0 ] <1 0 0 0 -8
0 1 2 -1 1 0 1 2 -1 1 0 1 2 0 3
—►
0 0 0 2 4 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2
、0 0 0 3 A2+5, 、0 0 0 3 妫+ 5, <0 0 0 0 奴―L
, 8 •1988年
°〈〈全国硕士研究生入学统一考试数学解析
若为2共1,则r（A）=3/r（B） = 4,原方程组无解；
若知=1,则r（A）=r（B） = 3V4（未知量个数），原方程组有无穷多解,相应的同解方程组为
v 工 2 = 3—2无，
=2.
取了3=c（c为任意常数），则方程组的一般解可表示为与=一8,血= 3-2c,M3=c,q=2.也可写成向
量形式，有
-M
其中c为任意常数.
综上,①知尹2时,方程组有唯一解;②刈=2且处尹1时,方程组无解;③也=2且妫=1时，方程组有
无穷多解，其解如上.
八、（本题满分8分）
解设有数灼也，…仇，满足
刈…+九皿=0, (*)
则有 （知 +史）。1 + （知 +42）。2 + ・"+（旬-1+丸）亿=0.
由于。102,…，亿线性无关，故有
%1+幻=0,
=。，
、包-1+叫=0.
此方程组的系数行列式为S阶行列式:
10 0- 0 1
110- 0 0
2, s为奇数,
以= 0 1 1 • 0 0 = 1 + ( —1)*1 =
0, s为偶数.
:::
• , ,
0 0 0- 1 1
① 若s为奇数，则D, = 2^0,故方程组只有零解，即必有力1=妫=・・・=左=0,故向量组四,。2,线
性无关；
② 若s为偶数，则2=0,故方程组有非零解，即存在不全为零的数加,处,…总,使（*）式成立，故向量
组怯，彪，・・・，以线性相关.
九、（本题满分7分）
解因为（3A）t=§4t,A，= |A|4t=^at,故'
1（3A）-」2." | =| yA--A- | = | —号"|=（-f ）3|A- | =—券.击=一牒.
注对于\A+B\形式的行列式，一般如果4,B有关系，则利用相应的恒等变形,转化为乘积形式的行
列式（如本题）；另一种则是利用单位矩阵E作恒等变形，转化为乘积形式的行列式，特别注意一般情况下
|4+B| 尹 |A| + |B|.
十、（本题满分7分）
解弓I进下列事件：A=｛顾客买下所察看的一箱｝,B； = ｛箱中恰好有，件残次品《=0,1,2）.由题设知
• 9 •。
花孑考研数学_________
P5
真题大全解(数学三)〉〉
P(Bo)=O.8,P(BD=O.1,P(B2)=O.1；F(A|Bo)=1,P(A|BD=%=*,P(A|B2)=%=||.
⑴由全概率公式得a = P(A)=史P(B,)P(A | B,) = 0.8X 1 + 0.1 Xy+0.1 x||^0. 94.
i=0
(2)由贝叶斯公式得阡P(B° IA)=竺峰捋业=书喘Q0. 85.
+—、（本题满分6分）
解（DX服从二项分布，参数〃=100,p=Q 2,其概率分布为
P{X=i}=C?oo • 0.2* • 0. 8lo°-*（^=O,l,-,lOO）.
②由X〜B（n,p）知,EX=Q=2O,DX=Q（l-p） = 16,故根据棣莫弗-拉普拉斯定理，有
P{530} =P{）=P（-1. 5〈与％2. 5}
e中（2. 5）—中（一1. 5）2（2. 5）—[1一5（1. 5）]=0. 993 8—（1 一0. 933 2）=0. 927.
十二、（本题满分6分）
（]]<工<2 ]
解法1 X的概率密度为：廿业 ，v=e2x在（1,2）上的反函数为1=从少=专12,故
八少=六3（少]•忻'（少1=< 2/ e <7(x)=Cie_2x4-C2e-31.
设所给非齐次微分方程的特解为 v*(z)=Ae-，，
将V &)代入原方程，可得A=l,故所给非齐次微分方程的特解为< &)=e-，.
从而,所给微分方程的通解为y(z)=Gef+Ge~+广,其中G，G为任意常数.
四、(本题满分9分)
解(1)收益函数为R(z)=pz=10ze-*,0Vz<6；边际收益函数为MR=^=5(2—z)eW
(2)由R' = 5(2—工)厂专=0,得驻点x0=2.由于R'| =身(工一4)厂奇| =-56-'<0,故知当产量
I h=2 乙 I x=2
为2时,收益取最大值为R(2) = 10zeF I =20eT,相应的价格为lOe^.
I x=2
• 13 -花垢考研数学
Q
真题大全解(数学三)〉
(3)
X [0,2) 2 (2,4) 4 (4,6]
R' + 0 — — —
¥ — — — 0 +
极大值 拐点
R 1
20e-r (4,40e-2)
收益函数的图形如图所示.
五、(本题满分9分)
解 (l)So = [* xe~x(kc + f (2 — x)e-xdx
(2) 令 t = x — 29则 Si = — 2)e-xdr = j /(^)e-<~2di = Soe-2 = e-2(1 — e-1)2.
(3) 令 t = z- 2〃,则 Sn =『/XQe-iw =斗注”=e^d 一 e"1)2.
J 0
(4) S = »S, = £s°ef = S疙(e-z)” =滂==沼.
六、(本题满分6分)
证由于，Gr)在也,6]上连续，在(a,3)内可导，因此
FS = ^/a)-a^i7(t)ck = 土 [心 一土 J/。"]
由积分中值定理知，存在e(a w 1),使y(f)= 出因此
Fz(x) = —-—[/*&) —/(?)].
x — a
又由于/&) < 0,知六工)在(a,3)内为单调不增函数,因此当时,/(工)< /(Q,因一L— >0,
x — a
故在内 F'(z) W0.
注一个函数值和一个积分值比较大小时，要么将积分值化为函数值(积分中值定理)比较，要么将函
数值改写为同一区间形式的一个积分,再比较，这一点读者务必熟悉.
七、(本题满分5分)
解 以E表示3阶单位矩阵.由X=AX+B,有(E—4)X=B, |E-4学0,故
X=(E-A)~1B. (*)
• 14 •1989年
° ＜〈〈全国硕士研究生入学统一考试数学解析
f n 2 1
0 y y
ri -i oi ‘s
9 1
由 E-A= 1 0 -1 ,（E-A）T= -1 -y -y ,
O 0
11 0 2 J 11
0 ----- ---
3 3
代入（*）式,得
‘1 -11 p -r
2 1
X=(E-Ar1B= -1 -7 v 2 0 = 2 0 .
o 0
、5 -3J 11 -1.
八、（本题满分6分）
解设有数kx,k2,k3,使-ai+玉a?+知％=0,即虹（1,1,1）+处（1,2,3）+知（1，3,£） = （0,0,0）.由此
得方程组
'知+龙 z+&3=。，
｛知+2奶+3知=0, （ * ）
表 l+34z+保 3=。，
其系数行列式
1 1 1
D= 1 2 3 =t-5.
1 3 t
（1） 当£尹5时,D^0,故方程组（* ）只有零解，属=奶=妫=0.此时,向量组ai，az，a3线性无关・
（2） 当c=5时,D=0,方程组（*）有非零解，即存在不全为零的常数知知知使知a】+妫姓+知a3=0.
此时,向童组时地,皿线性相关.
lkl—k3=0,
1&z+2&3 =0,
令如=1,得知=1,处=—2,即 ai—2a2+a3=O,从而 a3 — —ai+2a2.
九、（本题满分5分）
解（1）矩阵4的特征方程为
A+1 —2 —2
|AE-A|= -2 A+1 2 =（A-1）2（A+5）=O.
-2 2 A+1
由此得矩阵4的特征值为bl,-5.
（2）由（1）知A的特征值为1,1,-5,则AT的特征值为1,1,-y,E此E+A-i的特征值为2,2,*
十、(本题满分7分)
解(1)P{XVY}= J f(.x,y)dxdy= 心 j： e-)dx= e^(l-e->)d3z=y.
0
• 15 •。
律寸考研数学_________
真题大全解（数学三）»
r-K» r+oo r-K® r-H=° f-K» 「+<«
（2）E（XY）=J J ■zy/'&,y）drdv = L J。可广3>丑心=J° xe-xdrye-，dy=l.
注 本题的X和丫独立同服从于参数为1的指数分布.
+—、（本题满分8分）
解以A表示事件“对X的观测值大于3”,即A={X>3},由条件知,X的概率密度为
耳’心 <5，p（A）=p{x>3}= 『§&=音.
/(x)=
0,其他，' 3
以U3表示三次观测中观测值大于3的次数（即在三次独立观测中事件A出现的次数）.显然,CA服从
参数为。=3以=号的二项分布，因此，所求概率为
期习}=如音只+ （号 遛
0| ）3
（试卷V）
一、填空题（本题共5小题,每小题3分，满分15分）
（1） 1同试卷IV第一、（1）题】
（2） 答应填h
解因为瓠=汕尸-‘，则需求量对价格的弹性为
dQ/Q_dQF g
Ep =
dP/P~dPQ
（3）答应填I,
1 -1 1 X-l
0 0 x —x
解第一行的一1倍分别加到第二、三、四行，得A A 第一列、第二列和第三列依次
0 x 0 —x
x 0 0 —x
1 -1 1 x
0 0 x 0
加到第四列上，得
0 x 0 0
x 0 0 0
（4）答应填46.
^^ = 3. X?〜N(0,22),则有 DX2 = 4. X3〜P(3),
解 由已知条件知，K〜U（0,6）,则有DX】
则有DX3 = 3.由题意有
DY= D（ X] — 2X2+3X3） = DX】+ 4DX2+9DX3=46.
（5）t同试卷IV第一、（4）题】
二、选择题（本题共5小题,每小题3分，满分15分）
（1） 【同试卷W 第二、（1）题】
（2） 1同试卷W第二、（2）题】
（3） 1同试卷W第二、（3）题】
（4） 答应选（B）.
解 当系数矩阵的秩厂小于未知数的个数〃时，方程组有非零解，即AX=0有非零解的充分必要条件
为rVn.故应选（B）.
• 16 •1989年
°〈＜〈全国硕士研究生入学统一考试数学解析
（5）【同试卷N第二、（5）题】
三、（本题共4小题,每小题5分，共20分）
（1）解 原式=e?（p（ lim 坦3.士『）），而Km 顷工+寸）=］血 ］血故 临（工+寸井二仁
【
OC ） x-^+°o JC "I er 1 I-C jr*+oo
dz i Jc xz\n a
(2)解 V~=qV y • In a • —. ■ =— ,
3工 Vx2—y2 vCr2—y2
孕=aE .卜 a •
oy y/jc2—y2 \/x2—y2
位嘴&+ xzln a j | —vzln a』 z\n a z , 」、
az~\—----- av=― (xqjc—vdv).
v(z2—y2 y/x2—y2 Vjc2—y2
原式=j 手&_Jm(i—z)W)= InMlTnd—z)—J■京与 &
⑶解
=In | x |— ln(l —x)— [(— +■； I )dz = In | z |—1 …ln(l —x). —. I.n | x |+ln(l—«r)+C
=(1 一手)ln(l-z)+C,其中C为任意常数.
（4）解利用极坐标.
原式=£ 虹 iT?rdr=f £ （岳-1）屈=却2+/）-土习|；=专（比2-3）.
四、（本题满分6分）
解利润函数为L=R—C=18z—3h2—4h3.
边际成本函数为MC=#=8+2z.
由令= 18—6了一 12/=0 得 x=l,x=—■（舍去）.又| = （~6 —24x） | = —30V0,可知当
了=1时,L取极大值为L I =（18^-3x2-4x3）| =11.因为z〉0时,LCz）只有一个极大值，故此极大
I X=1 I X=1
值就是最大值.所以，当产量为1时利润最大，最大利润为11.
五、（本题满分12分）
解、'=/1如、3,令y=0,得x=0.令/=0,得x=—.列表如下:
V1—X） （JL —X） 乙
X (8, 2) 2 1 （T，。） 0 (0,1) (1,4-00)
y / — — — 0 + -
〃 +
y — 0 + + _____ ±
y . 拐点 极小值 不存在 1
可知函数的单增区间为（0,1）,单减区间为（一8,0）和（1,+8）;函数 刃
在点*=0处取得极小值，极小值为0;函数的图形在（一8,—号）内 _____________2
是凸的，在（一*,1）和（1,+8）内是凹的,（一土，音）是曲线的拐点.
由limj/=2,知y=2为图形的水平渐近线.由lim;y=+8知x=\
x-*oo
为图形的铅直渐近线.
函数的图形如图所示.
• 17 •h
。考研数学__________________o
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六、 （本题满分5分）【同试卷IV第七题】
七、 （本题满分6分）
解 设有数知，妁，如使40+妫％+知a3=0.由此得方程组
— +■+543=0,
〈知+ 3佐2+3^3 = 0, （ * ）
、一灼+公 3=0,
其系数行列式为
1 1 5
D= 1 3 3 =2（i-l）.
0 -1 t
① 当时,DU0,方程组（* ）只有零解也=妫=奶=0.此时，向量组。】皿 血 线性无关.
② 当1=1时,D = 0,方程组（*）有非零解，即存在不全为零的常数知也以3,使刈妫口2+么。3=0,
即向量组。”。2，。3线性相关.
八、 （本题满分5分）【同试卷IV第九题】
九、（本题满分8分）
解（1）X的概率分布为
X 0 1 2
P{X=x} 0. 25 0. 45 0. 30
（2）X+Y的概率分布为
S 0 1 2 3
P{X+Y=s) 0. 10 0. 40 0. 35 0.15
（3）EZ=E[sin”（X；V）]
=0.10Xsin 0+0. 4Xsin号+0. 35Xsin jt+0.15Xsin
=0. 4-0.15=0. 25.
十、（本题满分8分）
解 以X；G=1,2,3）表示“第i只元件的寿命"，以A,G=1,2,3）表示事件“在仪器使用最初200小时
内，第，只元件损坏”，则P（瓦）=P{X〉200}=广冬e「斋&=eT.
J 200 OUU
所求概率为a=P（A】UA2UA3）= l—F（瓦瓦瓦）= 1—P（瓦）P（瓦）P（瓦）=1一（厂+）3 = 1 —厂】.A
・18・1990年全国硕士研究生入学统一考试数学解析
(试卷IV)
一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
(1)答应填2.
解原式= Iim尸3匝f
==2,
丘8vn+3插+ V n—Jn 1 一会
(2)答应填a+b.
解 由于 FG)在 x=0 处连续，则 A=F(0) = limF(工)=lin/危)+asm 丁=/ 怎),a8s .J+九
(3) 答应填弟.
解 令x2= * x+2,解得z=~l和z=2,则所求面积为S= G+2T)&=芸
(4) 答 应填口1+(12+仁3+角=0.
解 对方程组的增广矩阵天=(AM)作初等行变换，得
110 0: 一G]' 1 1 0 0 : —G1 110 0: —G1
0110：% 0 1 1 0 : a2 0 110 a2
0 0 11： — a3 0 0 1 1 : —G3 0 0 11： —a3
,1 0 0 1 ： a4 . 0 - 10 1： ai+a4 、0 0 1 1 ：仁1+知+仁4,
110 0: —a
0 110 a2
♦
0 0 11 —a
.0 0 0 0 ：㈤+也+必+弓妇
可见r(A) = 3,由原方程组有解，有r(A)=r(A)=3,故灼+约+化+久二。.
(5)答应填奇.
解 设该射手的命中率为力，则4次射击(独立重复)中命中k次的概率为C*(l一/»)4=由题意得
誓=P｛至少命中一次｝ = 1-P｛命中。次｝ = l-CJp°(l-/>)4-° = l-(l-/>)4,
O1
解得p=号.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
(1) 答应选(B).
解 由于liniztan衣细，=+8，故，(了)无界.
(2) 答应选(D).
解 在 /(l+x)=a/(x)中，令 1=0 得 /(l)=a/(0).故
• 19 •。
存亨考研数学_________
P5
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’⑴=lim』q + 工口业=lim#G)_#(°)=a lim心二皿=af (0) =ab,
x-*0 JC x-*0 JC X r~*0 —
所以应选(D).
(3) 答应选(C).
解因为a】 ,％,•••,%线性相关0该向量组中至少存在一个向量,它可以由该组中其余5-1个向量
线性表示.而“存在一个向量…”的反面是“任意一个向量都不…”，故a】,az，…,a,线性无关0该组中任意一
个向量都不能由其余s-1个向量线性表示，故知(C)正确.注意选项(A),(B)及(D)都是向量组a】
a,线性无关的必要条件而非充分条件.例如，向量组* = (1,1),% = (2,2)中不含零向量，但却线性相关,
故(A)不正确；向量组a】 = (l,2,3),az = (4,5,6),a3 = (3,3,3)中任意两个向量的分量不成比例，而且有一
部分向量a.和a2线性无关，但ai,血,a3线性相关,这说明(B),(D)都不正确.
(4) 答应选(A).
解 因为BUA,所以A+B=A,故选(A).
(5) 答应选(C).
解 p{x=y}=p{x=-i,y=-i}+F{x=i,y=i}
=p{x=-i}p(y=-i)+p{x=i}p{y=i}
2 2 2 2 2 -
三、(本题共4小题,每小题5分，满分20分)
(1)解 由I'(z) =成鸟七=小冬>0,工可知1(工)在[e,e叮上单调增加，故
X —LX~V 1 —U
77^也=_j」n‘d(土)=—吕|：+£ 上
I(x) = • —dz
I______+】4「 1 Mn^+1
e-1 e」l 十 t L e+1 e
(2)解 积分区域D如图所示.
原式=『次对*
住、—志V)eT心
蓦『史亳尸击.
⑶解％ =如心=排讦,凹|剖=胴| n-
=1,
(n + 1)2
因此当一1 0时，在［0,a］和［5,a+初上分别应用拉格朗日中值定理，有
/()=地等=四思£(0"
a—U a
/(&)顼宣京碧顼。廿尸⑴焙如+饥
显然0V&Va<«&Va+i0,所以有 /(a+6X/(a)+/(M.
六、(本题满分8分)
解 对方程组(*)的增广矩阵作初等行变换
1 1 1 1 1 a] 1 1 1 1 1 a 0 -1 -1 -5 —2a '
3 2 1 1 ~3 0 0 1 2 2 6 3a 0 1 2 2 6 3a
B=(A : b)=
0 1 2 2 6 b 0 0 0 0 0 b—3a 0 0 0 0 0 b~3a
、5 4 3 3 -1 2. .0 0 0 0 0 2—2a- .0 0 0 0 0 2—2q，
(1) 当 6-3a=0 且 2-2a=O 时,r(A)=r(B) = 2,方程组有解.此时 a=l,5=3.
(2) 当a=l且6=3时，原方程组的同解方程组为
J 了1 =工3 +工4 + 5了5 一 2 ,
(* *)
1血=—2工 3—2z< —6工s+3.
由 T ‘0、 O'
»
依次令 等于 0 1 0 ，可得(* *)的导出组的基础解系为
了4
.0. o
.^5.
，1 ' -1 ' 5 '
-2 -2 _6
Vi = 1 ，此= 0 ，巧= 0
0 1 0
、0 . 、0 、1 -
• 21 •。
存孑考研数学_________
真题大全解（数学三）〉〉•
（3）在方程组（* * ）中，令五二工广办二。，得（*）的一个特解"=（—2,3,0,0,0）T.于是原方程组的全
部解为
-2 '1、 1 5、
3 -2 -2 —6
工=，+ 处此+为 0 +心 1 +k2 0 +么 0
4/1+ 3% =
0 0 1 0
、0 、0 . .0 .1 >
其中妇而而为任意常数.
七、 （本题满分5分）
证由A*=O,有（E—A）（E+A+・“+A*t）=E-*=E,即E-A可逆.根据逆矩阵的定义，有
（E-A）T=E 十 A------ A*-1.
八、 （本题满分6分）
证 由于 Ax】 =AiXj ,Ax2 =A2x2,且；h尹义 z ,故 A（X] +力）=Axi +Ax2 =AiXj +A2x2.
（反证）如果Xx+x2是A的特征向量测应存在数入，使A（x1+x2）=A（x1+x2）.综上，有
AiXi +A2x2 =A（Xj +x2）,即以i—人）为 +（义2—a）Xz=0. （ * ）
由于Xi，x2线性无关，在（* ）式中应有Ai—A=A2—A=0,即Ai=A2,与已知矛盾，故Xi+x2不是4的
特征向量.
九、 （本题满分4分）
«s pz4）=坚=-7- p（A）— 2U —C； = 14 pz» '一U —C；_ 7 就 p,.）= C| _ 7
解 P（A）c?0 15'P（Az） a。 15,F（As） C；。一30或「（人
3）
一院—30，
+、（本题满分5分）
解（1）X和Y的分布函数分别为
厂 ,、 、
Fx（Z）=F w G , _ + 1 8 _）= / < l-e-m, ^>0,
【0, x<0）
H-e-o.5^ v>0,
Fy（V）=F（+8 ,少=
10, 、V0.
由于F（z,、）=Fx（h） •&（、）,知X和丫相互独立.
（2） a =P{X>Q. l,Y>0.1}=P{X>O. 1} • P{Y>0.1}
= [1—Fx（O. 1）] • [1—Fy（0. l）] = e-0 05 •厂°，8 =
十一、（本题满分7分）
解 设X为考生的外语成绩，由题设X〜NS，）,其中“=72,现在求此由条件知
0. O23=P{X>96}=P（^^>^^）=l-0（^）,
从而 中（号）=0. 977.
由的数值表,可见竺=2,因此。=12,X〜N（72,12。）.故
P{ 60WXW84} =P （}=P（-1<^<1）
I 1Z a 1Z ） I a }
=^（l）-0（-l） = 20（l）-l = 2XO. 841-1=0. 682.
（试卷V）
一、填空题（本题共5小题,每小题3分，满分15分）
（1）【同试卷IV第一、（1）题】
• 22 •1990年
O<«全国硕士研究生入学统一考试数学解析
(2) 【同试卷IV 第一、(2)题】
(3) 【同试卷IV 第一、(3)题】
(4) 【同试卷W 第一、(4)题】
(5)答应填 N(0,5).
解 Z服从正态分布，且
EZ=E(X—2Y+7)=EX-2EY+7=-3-4+7=0,
DZ=D(X-2Y+7)=DX+22DY=l+4=5,
故 Z〜N(0,5).
二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
(1) 【同试卷IV 第二、(1)题】
(2) 【同试卷IV 第二、(2)题】
(3) 【同试卷m 第二、(3)题】
(4)答应选(A).
解 AA'=A'A=\A\E,故
| = ||A|E|,
Iaa-
即\A\\A'\ = \AW因A可逆，故|A|尹0,所以
⑷ | = |A|i.
(5)答应选(B).
解 由 EX=np,DX=npCi.—p~)得方程组 */>=2. 4,再>(1—p) = l. 44.
解方程组即得n=6,p=0. 4,故选(B).
三、(本题共4小题,每小题5分，满分20分)
(1)解因「(l + F)e，J'dz = e-?T '(i+w&,所以
J 0 J 0
：(1+刃曷 (i+h牌 1
原式=lim--------------7------=性1 + 2不=云
—8 xe
4 X
「
__工
r J7COS -z- 1 XCOS -z-
；-- & = vl .
⑵解 原式=----
8 sin3cos3-z- sin3-y
z z 乙
=_lpd(sin-2l)
=-—zsirr 专+甘
smT
=----xcsc2 音一-|cot音+ C,其中C为任意常数.
o Z 4 Z
⑶解 设 F(x9y9z)=j：2+z2—y(p^-^-^,则
玲=一P(子)+子妒(子)'E=2l#(子)
dz 或方(子)-珂'(亨)
故 矿—宜=
(4)【同试卷N第三、(2)题】
四、(本题满分9分)【同试卷IV第四题】
・23・。
存玄考研数学_________
真题大全解(数学三)〉
五、(本题满分6分)
证法 1 设(x) = 1 +xln(x+ /1+我)—,则
1+
f (x)=ln(x+ Jl+z') +x----/ ------ =ln(x+ a/1+x^),
Z + v 1 +xZ v 1 ~T-XZ
令f 3>=0得驻点为Z=O.由于=l==>0,知x=0为唯一的极小值点，即最小值点./■(*)的最
v l+xz
小值为/(0)=0,于是对一切了6(—8,+8),有/'(*)三0,即有
l+xln(x+ 一 80,故 1—A2=0,即 |A| =1.
注本题实际上说明了正交矩阵(AAT=E)的实特征值要么是1,要么是一 1.
八、 (本题满分8分)［同试卷IV第六题】
九、 (本题满分5分)【同试卷IV第九题】
十、(本题满分6分)
解 X和Y都服从二项分布，参数相应为(2,0. 2)和(2,0. 5),因此X和Y的概率分布分别为
/ 0 1 2 \ / 0 1 2 \
X 〜 ,Y~ ,
、0. 64 0. 32 0. 04/ 、0. 25 0. 5 0. 25/
故由独立性，知X和丫的联合概率分布为O_____________________
«＜全国硕士研究生入学统一考试数学解析
0 1 2
0 0. 16 0. 08 0.01
1 0. 32 0. 16 0. 02
2 0.16 0. 08 0. 01
注由联合分布可以确定边缘分布,但一般由边缘分布是确定不了联合分布的，不过若附加其他条
件，如独立性（本题）、某事件概率，则可以确定联合分布.
工 十一、（本题满分7分）【同试卷IV第十一题】
• 25 •1991年全国硕士研究生入学统一考试数学解析
(试卷IV)
一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
(1)答 应填 e^^cos 工ylyiz+zdv).
dz
解 —= e»>n^cos Xy . jz, —= e8inj：ycos xy ・ x,
位=祭&+孚dv=e，mcos xyCydr+xdy).
ox dy
(2)答应填
解 由于曲线和g(z)都通过点(一1，0)测0 = — l—Q,O=b+c,又曲线/Lr)和g(z)在点(一1,0)
有公共切线，则/(-l) = (3x2+a) = 3+Q=g'( —1) = 2M = ~~%b,即3+a=~2b,因此可得
X= — 1
(3)答应填一(n+1);—土■.
解 由高阶导数的莱布尼茨公式(必"=S C*抄)Ji)可知，
*=0
(z) = (n+Qb (x) = (n+l+Gb ,尸”+2>(Z)= (n+2+x)e\
令 /<”+i>Cr)=0,解得 /■>(/> 的驻点工=一6+1).又产sT—S+DlHef+i〉〉。,则•r= — ("+l)
为产>(工)的极小值点，极小值为产>[一(”+1)] =—土.
注也可以通过求一阶、二阶导数，再简单归纳得到产0&).
/ O B~l\
⑷答应填J (J
解 设A,B分别为m阶,”阶可逆方阵，设XT=(：“ :")，其中Xh，Xiz分别为m阶、耸阶方阵，则
有xxf,此独如t ；).
由分块矩阵的乘法，得 AX2I=Em ,AX22=O,BXn =O,BX12=E”.
因为4,B均为可逆矩阵，所以解得X21 =A 1 ,X22 =O,Xn =O,Xi2 =B \于是得
注一般地，利用分块矩阵乘法可以验证(设A ,A2,-,Am均为可逆方阵)
• 26 •1991 年
° 全国硕士研究生入学统一考试数学解析
X 一1 1 3
(5)答应填 y
0.4 0.4 0.2
解 F(z)为阶梯状函数，则X可能取的值为FG)的跳跃点：一1,1,3.
P{X= — l}=F( — l)—F(-「)=0.4,
P{X=1}=F⑴一F(「)=0. 8-0. 4=0.4,
P{X=3}=F(3)-F(3-) = 1—0. 8=0. 2.
注离散型随机变量X的分布函数FG)呈“阶梯状”(如本题)，反之，呈“阶梯状”的分布函数F(z)所
对应的随机变量就是离散型随机变量,且其取值为对应的分布函数F(z)的“跳跃点而”,且相应概率
：P{X=z,.}就是对应的分布函数的“跳跃度”(如本题).
二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
⑴答应选(A).
解因炽(1—*)'=瓯［(1+当广「=ee —e,所以不能选(C).
又lim(l+^)^ = e-Ve,所以也不能选(D).
由于 lim (1+— V — lim (1+«) ^ = lim , limln(1+t) = lim rj-=0,
则1峰(1+手)'=£。= 1我应选(A),不能选(B).
(2)答应选(D).
解 由-知0^廿<4・又S 4■收敛，则 S(一1)”&绝对收敛,因此选(D).
n n »=i n l n=l
儿为奇数，
1
注本题很容易错选(B).事实上(B)是不正确的,
21
-
n 则0 0,P(B)>0,所以 P(A)P(B)>O,(C)显然应排除故选(D).
(5) 答应选(B).
解 因为 D(X+Y)=DX+DY+2［E(Xy)-EXEY］，可见(B)与 E(XY)=EXEY是等价的.
由于相关系数为0,并不能推出X和Y的独立性，选项(C), (D)不正确.
三、(本题满分5分)
解这是T”型，由于瓯("乞…+勺七蛆•(山IP =5,其中
• 27 •花寸考研教学 O
柠3真题大全解(数学三)〉〉>
A v 1+。2工 + ・・・+—一〃 1 r ex —l+e11 —1 + ,••+ertr —1_ 1 ri . ? i , . x_n+l
A=hm-------------------------=—hm-----------------------------------------(］十 Z 十…十渺——^―»
d 心〃 I x n 乙
f・*
故囤（ ）+=此
四、（本题满分5分）
解积分区域D如图所示，由
*(i - 7?)，
T&f 3京：(1-7?)'&，
因此
令有x=a(l—t)z ,clr= —2a(l—£)dz,则
I=ab2 f (A—^)曲=祟.
J 0 oU
五、（本题满分5分）
解原方程可以化为
d.y_x2+y 11++ (^~)
dr xy 必
X
由此可见原方程是齐次微分方程.
设 y=uxy 有若=“+%等，将其代入上式,得
u~\~x 半=I*" nz 4^=—=>udu=—=>-yu2 = In|x|,+Ci =>u2 = In x2+C.
az u gjc u x L
将“=于代入上式,得通解
3/2=x2(ln j;2+C).
由初始条件J =2e,解得C=2.于是，所求特解为
I x=e
y=x2(ln x2+2).
六、(本题满分5分)
(y= 1—X2 •
1
a .
解 由 2 (0i9i+/>2Q2 = 24p1 — 0. 2# + 10/>2—。・ 05/»
总利润函数为
・28 •1991 年
° «<全国硕士研究生入学统一考试数学解析
L=R-C=32p1-0. 2p? + 12/>2-0. 05说一1 395.
由极值的必要条件，得方程组
or
法=32—0.4仑=0,
or
成=12-0眼=。，
解此方程组得/>1=80,/>2 = 120.
由问题的实际意义可知，当仑=80,幼= 120时，厂家所获得的总利润最大，其最大总利润为
L =605.
I 8=80.0 = 120
八、 (本题满分6分)
证由 /a)= exp(Tln(l+|)),有 f(*)=(l++j［ln(l++)—土］
记g(z) = ln(l+*)—y^d，对于任意次(0,+8),有g，(工)=-工(］［工注V0,故函数g(z)在
(0, +8)内单调减少.由于麒［ln( 1+手)一土］ =0,可见对任意妊(0, +8),有g(z) = ln( 1+土)—
亩 >o,从而/a)>o,^e (0, +8).于是函数六工)在(0, +8)内单调增加.
九、 (本题满分7分)
解 设有+x2a2 +j3a3 =P，由已知，得方程组
1+A 1 1、 'll 0、
1 i+a 1 = A
、1 1 i+a,
^3.
1+A 1 1
其系数行列式 |4|= 1 1+A 1 =A2(A+3).
1 1 1+A
(1) 若A^O且A^-3,则|A|关0,方程组(* )有唯一解，即0可由a】,陞,a3唯一线性表示.
(2) 若A=o,则(* )是齐次线性方程组，且r(A) = 1<3(未知量的个数),方程组有无穷多解,。可由a“
a2 ,a3线性表示,但表达式不唯一.
(3) 若A=-3,则对方程组(* )的增广矩阵作初等行变换，得
'一2 1 1 0 ' 「0 3 -3 18 ‘0 0 0 6、
1 -2 1 -3 —>• 0 一3 3 -12 ——► 0 1 -1 4
、1 1 -2 9 . 1 1 -2 9 . <1 1 -2 9,
由r(A)=2尹r(B) = 3,故方程组(* )无解，即0不能由a„a2,a3线性表示.
十、(本题满分6分)
解 二次型/•的矩阵为
"1 A -1
A= A 4 2
•
-1 2 4 .
二次型/正定的充分必要条件: 的各阶顺序主子式全为正.事实上 的顺序主子式分别为
A ,4
L)1 = 1>O,D2 = A 4 =47，
1 A -1
。 A 4 2 =—4Q—1)(义+2),
3 =
-1 2 4
• 29 •存争考研数学
Q
真题大全解（数学三）〉〉>
则
ID2 =4-A2>O=>-2O=>-2/ r—y
lo, 其他
故 EX= x • -72 =0,EY=
—r Ttr
Cov(X,Y)=E(XY)
于是,x和y的相关系数p=o.
（2）由于/（x，5，）^/x（x） •有（少,可见x与丫不独立.
十四、（本题满分5分）
解 似然函数为匕（工1，互，…，工”；人）=（/）%-辱立工尸，由对数的似然方程，有
d（ln L） n V' a n
F- = L》=o・
由此可解得人的最大似然估计量R =
Sx；
i=l
（试卷V）
一、填空题（本题共5小题,每小题3分，满分15分）
（1）【同试卷W第一、（1）题】1991 年
c
w <<< 全E11硕士研究生入学统--考试数学解析
②【同试卷 IV第一、(2)题】
⑶【同试卷 IV第一、(3)题】
(4)答应t Ma"+(-l)"+16".
解按第一列展开，得
a b 0 0 0
Q a b ••• Q Q
以=
0 0 0 a b
b 0 Q ••• 0 a
二^■
a b 0 ••• 0 0 b 0 0 0
0 a b ••• Q Q a b ••• 0 0
=a +(-1)"+场
0 0 0 ••• a b 0 0 b 0
0 0 0 ,,, 0 a 0 0 a b
(n-l)X (n—l)X(n—1)
—a "+ (-1)”+成・
注这种结构的行列式在2012年数学一、数学二、数学三的米t卷中考查过.
(5)答应填0.6.
解 由 P(A-B) = P(A-AB) = P(A)-P(AB)=O. 3,得 P(AB)=P(A)-0. 3=0. 7-0, 3=0. 4,故
P(AB)=0. 6.
二、选择题(本题共 小题,每小题 分，满分 分)
5 3 15
(1) 【同试卷IV第二、⑴题】
(2) 答应选(D).
⑵+1)。+葬布
解 =lim-
18 2^+1
=fe(^+1+7im)=oo^^=^=0.
因此，当”-8时，石是无界变量.选(D).
注要正确区分“无界”与“无穷大”的关系.
(3) 答应选(C).
解 因为A与B为n阶方阵,AB=O等价于B的列向量为AX=0的解.当B尹O时,方程组AX=0有非
零解，即 |A|=0;当 B=O 时，得 |B|=0.或由 AB=O 得 |AB| =0, |A| |B| =0,则 |A|=0 或 |B|=0,故选(C).
(4) 答应选(D).
解 Ax=0仅有零解，则r(A)=n,此时r(A)可能是n,也可能是«+1»故(A)错误；
Ax=O有非零解，则r(A)240} = 1 -0. 212-0. 576=0. 212.
由题设知 P(B|Ai)=0. l,P(B|AQ=0. 001,P(B|A3)=0. 2.
3
(1) 由全概率公式得 a=P(B)=S P(A,)P(B|A,)M).O64.
»=1
(2) 由贝叶斯公式得/?=P(A21 B) = P(A2卷? 施5 009.
-33・1992年全国硕士研究生入学统一考试数学解析
（试卷IV）
一、填空题（本题共5小题,每小题3分，满分15分）
（1） 答应填（10,20].
解 由Q=100—5力,得Q'3）= —5,需求弹性为 f •黑果=一宥点当节
p） J. w □ p
令Id = I荀%I >1，得力>10.又由Q3）= 100—5》>0,得p<20.所以商品价格的取值范围是
I 1UU op |
（10,201
（2） 答应填（0,4）.
解 因为lim 土 = 1血也¥^ = 4,所以R=VI=2.贝!J原籍级数当一2<工一2<2时收敛，即当
L8 n—oo
"4
0»)cLr= dz f(.x,y')dy+ dr f(x9y)dy.
JO J/y JO JO J 1 J 0
(4) 答应填(-D™a6.
解从（O 4）的第巾行开始，依次将（O A）的每一行向下作”次相邻两行的交换，把它移到（B O）
的下边去，则经mn次相邻两行的交换，就将（O A）移到了（B O）的下边，因此有
O A B O
C|= =(-1)™ =(-1)叫8| 0|=(-1严沥.
B O O A
（5）答应填禹•
解 这7个字母排一行共有7!种排法（第1个位置有7种放法，第2个位置有6种放法，其余类推，用
乘法原则），这是总样本点个数.而在有利场合下，第1个位置有1种放法（1个S）,第2个位置有2种放法
（2个C中选1个），同理，第3个位置有1种放法（1个I）,第4个位置有2种放法（2个E中选1个），后面
都是1种放法（C或E只剩1个了），故有1X2X1X2X1X1X1 = 4（种）放法，这是有利样本点个数.
故所求概率为,=]
I! 1 ZoU
二、选择题（本题共4小题,每小题3分，满分12分）
（1）答应选（B）.
• 34 •1992年
°〈〈〈全国硕士研究生入学统一考试数学解析
x2p/(t)df f(、
解法 1 limF(z) = lim-------------=a2 lim ---------=a2 limr-z^-=a2y(a)«
x-*a r-a X — G La X — U r—a 1
x2[XfMdt \XfMdt
解法 2 limF&) = lim --------=a2 lim ---------
x-*a JC CL i-*a OC Cl
=a2 lim—~~ =a2 其中 S介于Q 与]之间).
jr-*a OC Cl x-^a
解法3排除法.取/(x)=2,/(x)符合原题条件，而limF&)=limW- P 2dt=lim2x2=2a2,所以
r-*a x-*a X Q J a x-»a
土(A), (C), (D)均不正确,故应选(B).
(2)答应选(D).
解 由于当 Z—0 时,1 —COS X~4-XZ , yi—x2—1~一~ j?,则 J?,l—cos z, Jl—j? —]是同阶无穷
u 乙
小，对于(D)选项，则有x—tan x----工故应选(D).
(3) 答应选(A).
解AX=0仅有零解Or(A)=“0A的n个列向量线性无关，选(A).
(4) 答应选(B).
解由已知得 ABUC,而 P(A)+P(B) — P(AB)=P(AUB)<1,故
P(C)2F(AB)>P(A)+P(B) — 1.
三、(本题满分5分)
解 因为limf(Q = —g尹，⑴，所以函数在z=l处不连续.若修改函数在工=1处的定义，令
—I 7C
/(1) = —*，则函数在了= 1处连续.
7C
注本题只研究函数六Q在Z=1处的连续性，所以限制在使了(Z)有定义的工=1的某邻域内进行
讨论.
四、(本题满分5分)
解 I =— J arccot exd(e-x) =— e-x arccot ex — Je-Z 】卓
=-疣arccot e' — J (1 - ) &
=—e~x arccot ex —
=—e-xarccot ex — x + -^-ln(l + e2x) +C,其中 C 为任意常数.
五、(本题满分5分)
赛=ycos巧+并+甲：・+
解记则有
d2Z • X // ( X. \
^=cos xy-xy^ Xy-^0;当时,S'VO.故当a=l时，面积S有极大值,即为最大值.
故所求切点为（1,广1）,最大面积为S=^X2ZeT = 2eT.
九、 （本题满分7分）
解 ⑴因为A〜B,故其特征多项式相同，即|AE-A| = |AE-B|,
（义+2）［义 2 —（z+i）义+（%—2）］=（人+1）（义一2）（人一少，
令 A=0,得;y=z—2；令人=1,得 3=1—丁,故 y=—29从而 x=0.
（2）因为A〜B,故其特征值全相同，且由B知，其特征值为石=一1,义2 = 2,义3 = —2.易求得A的对应于
它们的特征向量依次为& = （0,2, — 1）t,& = （0,1,1）t,& =（1，0，— 1）t.把它们组成可逆矩阵
‘0 0 1 '
P=（&，&档 3）= 2 10,
-1 1 T,
-2 0 0、 -1 0 0、
则满足 pTAP=B,即pT 2 0 2 P= 0 2 0
、3 1 1. 、0 0 -2.
注第一问中求也可以利用矩阵相似的必要条件：|A| = |B| , = »缶建立方程.
i=l t=l
十、（本题满分6分）
（1） 解 把齐次线性方程组记为Ax=0,并记B=（A，彪,JU，应有A驼=06=1,2,3）.
由于B铲O,故仇,02，氏不全为零向量，即如=0有非零解，其系数行列式为零，则有
1 2 -2
\A\ = 2 —1 A =5（A—1）=0,
3 1 -1
解得人=1.
（2） 证 O= （A01 ,A02 ,A03）=A（°i，02 邢3）=AB,即 AB=O.
1 2 -2'
（反证法）设|B|^0,则B可逆，把AB=O的两端右乘8一】，得A=O,这与A= 2 ~1 1 夬O矛
、3 1 一1,
• 36 •1992年
°〈〈〈全国硕士研究生入学统一考试数学解析
盾，可见必有|B| — 0.
注记齐次线性方程组的系数矩阵为A,用秩则更简单:AB=gr(A)+r(B)(3,又B/O,则r(B)2
l=>r(A)〈2V3n|A|=0,另一方面,A^O=>r(A»l^r(B)<2<3^>|B| =0.
+—、(本题满分6分)
解 设工，7分另IJ为m维、〃维列向量，则z=(；)为维列向量.若z尹。，则x与y不同时为零向
量.不妨设x^0,j任意.由于A,8都是正定的，应有xTAx>09yTBy^Q.因此
zTCz=(xT，T)(g ； =xTAxJf~yTBy >0,
即C是正定矩阵.
十二、(本题满分8分)
解 每次测量误差的绝对值大于19.6的概率
>1. 96 =2[1—中(1. 96)]=0. 05.
设Y为100次独立重复测量中事件{|X|>19.6}出现的次数,Y服从参数为” =100/=0. 05的二项
分布，所求概率 a =P(y^3} = l-P{y<3} = l-P{y=0}-P{Y=l)-P(Y=2}
= 1-0. 951(X> —100X0. 05X0. 95"-^|^X0. 052X0. 9598.
由泊松定理,Y近似服从参数为义=Q= 100 X 0. 05=5的泊松分布,从而
a^l-e^-Ae^-ye-^l-e-^l+A+y )=1-0. 007X(1+5+12.5)20. 87.
十三、(本题满分6分)
解 设4= {部件，需要调整}(i=l,2,3),则 P(Ai)=0.10,P(A2)=0. 20,P(A3)=0. 30.
X可能取值为0,1,2,3.由于A，A2,A3相互独立，
P{X=0}=P(—)=0. 9X0. 8X0. 7=0. 504,
P {X= 1} = P( Ai 瓦瓦)+P(A1A2A3) +P (瓦瓦 A3)
=0.1X0. 8X0. 7+0. 9X0. 2X0. 7+0. 9X0. 8X0. 3=0. 398,
P{X=2} = P(Ai A,瓦)+P(&瓦 A3) +P(A1A2A3)
=0.1X0. 2X0. 7+0.1X0. 8X0. 3+0. 9X0. 2X0. 3 = 0. 092,
P(X=3}=P(A1A2A3)=0.1X0. 2X0. 3=0. 006.
0 1 2 3 \
于是 X〜
0.504 0. 398 0.092 0.006
EX=1XO. 398+2X0. 092+3X0. 006=0. 6,
DX=E(X2) — (EX)2 = 1XO. 398+4X0. 092+9X0. 006-0. 62=0. 46.
注(1)求离散型随机变量X的概率分布，首先是确定X的全部取值z”工”其次是计算出相应取
值的概率P{X=xJ ,这一般要结合求随机事件(如古典概型)概率的各种方法和基本公式.
(2)本题求EX和DX时也可用如下解法:考虑随机变量
1, A；出现，
K= 0=1,2,3),
0, A：不出现
易见 EXi=P(A1),DXi=P(A)[l-P(A,)],X=X1+X2+X3，
由于 X,,X2,X3 相互独立，从而 EX=0.1+0. 2+0. 3=0. 6,DX=0.1X0. 9+0. 2X0. 8+0. 3X0. 7=0. 46.
十四、(本题满分5分)
e->dv=ef, z>0,
解(l)/x(z)
其他.
• 37・。
存罗考研数学
P5真题大全解(数学三)>>〉
(2)P{X+Y<1} = gy(z,;y)0.由 lim f(x) = ~oo9知存在
x~*
X * )- 00 — oo
a,使/(a)<0.故由零点定理知，在(a,。)内至少存在一点c,使/(c) =0,即方程/(x)= 0在(a0)内至少有
一个实根.又因为f(z) = l—gsin z>0,故/&)在(一8,+8)内单调增加，所以/(z) = 0在(一8,+8)
内至多有一个实根.
综上所述，方程z+p+qcos z=0恰有一个实根.
九、 (本题满分7分)
解(1)曲线上横坐标为血的点是(血，土)，曲线在该点切线的斜率为丁| _ = 一攵，过此点的切线
1 9
的方程为y
(z—zo).
«3?0 «2?o
(2)在以上切线方程中,分别令工=0和尸0,得切线在了轴与工轴上的截距分别为丫=亲和X=3■工。，
由此可得切线被坐标轴所截线段长度Z的平方为 俘+土).
令z=l2,则由z' = 9 (夸一土 ) =0可得驻点血=土眨.又z"=9 (号+骡)>0,知/在& = ±7?取极
• 39 •。
存罗考研数学
真题大全解(数学三)〉
小值，亦即最小值.因此所求长度为
十、(本题满分5分)
解由题设有 CA-E)X=A2 -E,即(A-E)X= (A-E) (A+E).
r
0 0 ］、 2 0
因 A—E= 0 1 0 可逆，故 x= G4-E)T (A-E) (A+E) =A+E= 0 3 0
-1 0 0. -1 0 2.
十一、(本题满分5分)
解法1设B= (0邮,用)，其中&，低，人是3维列向量.由于B尹O,故至少存在一个非零的列向量,
不妨设$尹0.由AB=A($,阻遇)=0,知Aft=0.因此线性方程组有非零解，i，所以
1 2 -2
|A| = 2 —1 A =5('—1)=0,
3 1 -1
从而解得;1 = 1.
解法 2 AB=O^r(A) +r(B)<3,又 B夭O,则 r(B)三1,于是 r(A)<2<3,故 | A | =0。义=1.
注对A„x„Bx= O要有两个思路：(1)B的列向量都是Ax=0的解;(2)r(A)+r(B)-H(dz-d3/-dr)=0,整理后得
(1+衣厂>~' ) dz = (1+了甘一>一'一)dr+(l +xez~y~x ) dy,
〜,、. ,1 + (了一1)广-，,,,
所以 dz------1+孑；7—dx+dy.
四、(本题满分7分)
C4-OO I 4-00 r-f-oo
解 右边=—2 J72d(e-2i) =—2j?2e-2x +4 j?e-2xdz
J a I a J a
I +8
=2a2e-2a - ( 2xe-21+e-Zl) = 2a2 e-2a + 2ae-2a + e-2a,
左边=炽(1 一岛)'=四[(1一占)"]^ = ef
于是有 e-2a = 2a2 e-2a+2ae-2°+e-20,解得 a=0 或 a = — 1.
五、(本题满分9分)
解 (1)利润函数为 L = pq — C={d — b')q—{e + a')) —2(e+a)q = 0,得^ =
寿当).又因L"=-2(e+a)V0,所以当吁凭新时，利润最大,最大值L=笏春一c.
(2)因为矿=一土,所以需求对价格的弹性为 广齐'= ^(—+)=仔・
⑶由3l=i,得吁务.
六、(本题满分8分)
解由题设可得示意图如图所示.
由图可知［y(z)dz=ej —1—y(x),两边对I求导，得
J
0
f(工)=._f (］),即 f (j;)+/(x) = ex.
记P&) = 1,Q&) = 1,由一阶线性微分方程求解公式,得
/(x) = e "腿［Jq (Geg&dz + c］ =e~x(j e1 • e^dz+c) =Ce-x+-^-ex,
由了(0)=0,得C=—夫 因此，所求函数为《c)=^(e，一ef
七、(本题满分7分)
证法1因为/(工)在［0,3上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在& 6 (0,c)，使
/(c) 一六0)
/(&)=
c-0
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• 42 -1993年
° <<全国硕士研究生入学统一考试数学解析
由于点C在弦AB上，故有川二,(。)=八1以(0)=六1)_/(())，从而有
同理，存在&£(c,D,使/(GhAD-A。)，得/(务)=f怎).于是知/&)在［&,&］上满足罗尔
定理的条件，所以存在(&，&)u(o,i)，使，(q=o.
证法2按题意，过点A与B的直线方程为)= 3(1)—/(0)］工+/(0).
令 FU)=/(^)-3<=/(x)-E/(1)-/(0)>-/(0),则 F(z)在［O,c］与［c,l］上满足罗尔定理的
条件.
土 所以得尸(&)=尸(&)=0,&6(0,8,&€(“1).再由罗尔定理得 F'(Q=/(Q=O,长(&,&)U(O,1).
八、(本题满分10分)
解对方程组的增广矩阵作初等行变换
1 1 品4 1 1 k \ ^ '
B =(A M)= -1 k 1 : k2 —► 0 互+1 ^+1 • ^2+4
1 -1 2 : -4. .0 —2 2~k : —8 ,
1 1 k 4
1 k \ 4
0 2 k—2 8
—► 0 2 k—2 : 8 ―► (* *)
以+1)(4—4)
<0 4+1 ^+1 : "+4, 0 0 碓一4)
2
①当k^~l且&尹4时，有r(A)=r(B) = 3,故方程组(* )有唯一解，按如下方法求出:
1 1 k : 4 A 1 c 0 " °i k2 + +2k 'I
。1宇4
c , c ：妒+2&+4
2 - —► 0 1 °i +
1° ° 1 :—2k
0 0 1!
_k2+2k _仃+2&+4 _~2k
即 -T+T,X2 ，而_&+1・
②当互=一1时,r(A) = 2尹r(B)=3,方程组无解.
1 1 4 0 1 1 4 : 4' 0 3 : 0'
③当互=4时，由(* *)式，有E— 0 2 2 : 8 ——► 0 1 1 ： 4 —► 0 1 1 : 4，知 r(A)=r(B) =
.0 0 0 i 0. 、0 0 0 : 0. <0 0 0 0
2V3(未知量个数)，故方程组(* )有无穷多解.此时，得同解方程组
了1 = — 3"
互=—及+4,
令a=C,得方程组(* )的全部解为
九、(本题满分9分)
解变换前后二次型的矩阵分别为
a » r
0 0 O'
A= a 1 B ,B= 0 1 0
a P i. .0 0 2,
由于P为正交矩阵，故P*=P曲电氧网貌嘉侦2book.Com惬—B I '即
・43 •化争考研数学_________________ o
真题大全解(数学三)〉〉＞
A-1 ~a —1 I IA 0 0
—a A-1 = ° 人一]O ，
-1 -B A-l| |o 0 A-2
A3-3A2 + (2—a2 —j?)A+(a—/?)2=A3—3A2+2A»
比较两端A的同次矗的系数，得a=0=O.
十、(本题满分9分)
解(1)由条件知 P(A)=P(B),P(AB)=P(A)P(B),所以
■2
P(AUB) =P(A) +P(B) -P(AB) = 2P(A) - [P(A)]2 =乎,
由此得P(A)=y,并且知0q}=「°/&)&= j -|-J：2dr=y | =1— a3,
从而有1—晶3=夺，于是得a=皿.
o 乙
(2)E(*)=匚 ^/(x)dx= £ § •粉位=言 J： &=*
+—、(本题满分8分)
解 ⑴当«0时，由于T是非负随机变量，所以FQ)=P{7、<£}=0.
当会0时，由于事件{T>}与{N«)=0}等价，所以
F(r)=P{Ti} = l-P(N(i)=O} = l-e-i,.
于是,T服从参数为义的指数分布.
(玲 16,T28}_P{7^16}_ef &
⑵Q—P{T216|TN8}— p{T^8} ~~ P{T^8) ~ e-8A -
注求第二问中的概率Q也可以直接利用指数分布的“无记忆性"，
Q=P{7^16|T^8}=P{T28} = ef.
(试卷V)
一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
⑴答应填孝.
U
解分子有理化，有
]im[ J1+2-----n- J1+2------- 3—1)]
= lim ----n -----—
L8 /1+2-----〃+ J1+2------- (〃一 1)
= lim ■― =
J
-yn(n—1)
=].1=也
(2)答应填萼.
解 学=，(芸蚤)•渚莎=尽弟?arcsin(芸蚤)',因此*|,=°=萼.
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・44・1993年
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(3) 答应填一2arctan JIT+C,其中C为任意常数.
解 令£=/17,则*=1—/,所以
[--------& , - I" -■—=— 21" ■，甲 2 =— 2arctan i + C =— 2arctan -/I — x + C,
J (2-x) J (1+小 J 1 + t2
其中C为任意常数.
(4) 【同试卷IV第一、(4)题】
(5) 答应填普.
F 解 用A,B分别代表取出的第1件和第2件为合格品,则所求概率为
P(AB|AUB)=P(AB)/P(AUB)=^^g)
,Aj /( Aj\ _4X3 1(. 6X5 \ 1
一&/(】 A?；/~10><9/ I1 10X9)—5 •
二、 选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
(1) 【同试卷IV第二、(1)题】
(2) 【同试卷W第二、(2)题】
(3) 答应选(C).
解依据行列式的性质，有
I 。 3+& I = |a3 ,。 2I + 1 。 39p2 I
=—|。
1 02 ,%，0i I + Idi
，。
2
加
，031
=n—m.
(4) 答 应选(B).
解*42有一特征值奇(因为¥=*),则(广有一特征值
(5) 答应选(A).
解用切&)代表标准正态分布N(0,l)的分布函数，有
A=p{^^1}=1—P{导 V1}=12(1),
由于 虱一1) = 1 一@(1),所以pi=p2.故应选(A).
三、 (本题满分5分)【同试卷IV第三题】
四、 (本题满分7分)【同试卷N第四题】
五、 (本题满分7分)
解(1)设平均成本为'，则、=警2 + 200 +淑由/ = 一罕2+会=0,得五=1 0005 =
-1 000(舍去).因为M =5 • 10-5>0,所以当x=l 000时以取得极小值，即最小值.因此，要使平
I x=l 000
均成本最小,应生产1 000件产品.
(2)利润函数为
L=500x-(25 000+200*+希)=300z-%-25 000.
由L' = 300—杀=0,得工=6 000.因L"| =-*V0,所以当z=6 000时,L取得极大值，即最大
I
工=
6 000
乙U
值，因此，要使利润最大,应生产6 000件产品.
六、 (本题满分6分)
证令 y(x)=^-x/,+——x,则
p q
• 45 ,存孕考研敏学__________________
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令，(z)=0,得唯一驻点£=1.由//(1) = />-1>0,知当工=1时,/Cr)取极小值，即最小值,从而当
了>0时，有/U) >/(1)=0,即
~XP~\--—
P q
注 更一般的不等式:设x>0, y>0, p>0, q>0,且*•+十=1,则
七、(本题满分13分)
' 1 1
解 定义域为(一8,0)U(0,+8),lin}&+6)eH =0, lim(x+6)ex =+oo,
z-^)~ x-*0+
/ x2—-x—6 工 // 13x+6 】
令y=0,得ii = —2,五=3.令jy"=0,得五=—g・列表如下：
(-oo,-2) -2 (-2，-g) __6_ (_g,。) 0 (0,3) 3 (3,+8)
X 13
/
y + 0 — — — 0 +
〃
y — — — 0 + + + +
y 极大值 拐点 不存在 极小值
极大值为4 一广圭'极小值为了| 3 = 9疝拐点(—§，*-*)•
由目JV=+8,知x = o为图形的铅直渐近线.
因 limJimE^ = l,
x-*oo JC jr»°o JC
lim(y—x) = lim[(x-|-6)e^ —]] = 7,
X-*oo O-*OO
所以y=x+7为图形的斜渐近线.
函数的图形如图所示.
八、(本题满分8分) X
解由 AA-=A'A=\A\E,\A\^0,知
(A-)-1=^| = |A-I|A.
(*)
'1 1 1 1 0 0 1 1 1: 1 0 0、
由 (A-1 ； E)= '1 2 1 0 1 0 ——► 0 1 0 : —1 1 0
<1 1 3 0 0 1. 10 0 2 : -1 0 1,
_5_
4 0 1 2 -1 0 1 0 0 ~2 ~2
0 1 0 -1 1 0
—A 0 1 0 -1 1 0 =(£ : A),
1
0 0 1 — 0 矿 __1_
0 0 1 0
~2 2 .
5 __1_
-1 -r
1 1 1 y ，5 ~2
|A-'| = 1 2 1 =2,将其代入(* )，得or )T=2 —i 1 0 = -2 2 0
1 1 3 i 1 、一 1 0 i ,
0
y
注 GT )T = (4T)・，也可以精化为求A-】的伴随矩阵.
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九、（本题满分8分）
解法1设A=（ai 其中ai,a2, — ,a„为m维列向量.又设存在常数知，用，…，知,使
'奴
k2
O=^ai+^2a2+,,,+^«a„=(ai ,a2, — ,a„)
.k„
即
'知
一--十 kz
A
kn
等式两端左乘B,由BA=E,得
k2
-.
因此矩阵4的列向量组线性无关.
解法2由于r（A„xn»r（AB）=r（E）="，且于是r（&x,）= ”，故A的列向量组线性
无关.
注 解法1是利用定义法，解法2是利用秩，比解法1简单.秩是线性代数的核心，一定要灵活使用•
十、（本题满分8分）
解（1）设 p=P（A）.由 X 与 Y 同分布，知 P（E）=：UVa}=P{X.
7 1 2
由？3典）=?（人）+户（8）—？（人）「（8）=/>+（1-力）一力（1一/>）=#一力+1=亏,得力=专或专.
由 P（A）=P（X' = 4和y'=4.由于两曲线在点6，丸)处有公共切
线，可见—=2x~,得工。=卜将工。=j分别代入两曲线方程，有yo~a 拦，解得a = j,
x0=^2=e2 9yQ=ay/x^=-^ • J?=l,从而切点为(e2,l).
(2)旋转体(见图)体积为
Vx = | 文(土在)穴(In在)
2 dr
= 口 ——2 ____7t_ —2 j In xdx )
2e2 0 ~T
=-^-Tte2 —夺(4e2 — 2x\n x |+气&
=3点—号工l:=
~2,
八、(本题满分6分)
证 只需证明F'(z)>0O>a).由题意知F'(z)=±[f /g)-/(a)n
x~a J,
由拉格朗日中值定理知存在£(aVKQ，使儒工卜匚性)，所以F/a)=^E/(x)-/,(f)l
由/z(x)>0可知fXx)在(a,+8)内单调增加，因此对任意Z和E(aVEVz),有f (z)>/(Q,从而
F'Cr)>0.所以FGc)在(a,+°o)内单调增加.
九、(本题满分11分)
(1)证 方程组(*)的增广矩阵的行列式为
1
1
|B| = |A \ b\ = (范德蒙德行列式)
1
1 。
4
=(a4 ~~a3) (a4 ~a2) (a4 ~~@D S3 一约)(角 ~«i)(仁2 一Qi ).
由a19a29a39a4两两不相等，知|8|尹0,即r(B)=4；而系数矩阵A的秩r(A)<3,故厂(8)尹广(A),即方程
组(*)无解.
(2)解 当 a1=a3=k9a2=a, = -k(k^O)时方程组(* )为
~\~kx2 =k3 ,
'll +^2^3
Xi —kxz +^2x3 = _妒，w
< 即
X\ ~\~kx2 ~\~k2x3 =k3,
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. 51 .。
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1 k
因为， ，=-2k^0,故r（B） = rG4） = 2,方程组（*）有解，且其对应的齐次线性方程组的基础解
1 —k
系应含有3-2=1个解向量，且可求得
'] 'T 2、
1 —— = 0 尹0.
-1. 1 、一2,
-r
2 ]
于是方程组（* ）的通解为X=$ +Q = 1 +c ° （C为任意常数）.
1一2」
注解方程（不论是具体型还是抽象型）首先定出系数矩阵的秩为多少，知道了秩，才能知道导出组的
1 k
基础解系中有几个线性无关的解.第二问中用到二阶子式 = -2^0（没有三阶子式），定出秩为2,
1 ~k
在解具体型方程组中由于系数矩阵已知，这样就有具体的子式的信息,这一点读者要注意.
十、（本题满分8分）
解矩阵的特征方程为
A 0 -1
|AE-A|= -z A-l 一》=（A-1）（A21 -1） = （A-1）2（A+1）=O,
-1 0 A
其特征值为；h=兀=1,义3 = — 1，故对应于特征值1（二重）应有两个特征向量，矩阵
-r
1 0 -1 J 0
E~A= ~x 0 ~y —► X 0 y
<-1 0 1 . <0 0 o ,
1 —1
的秩为1,故必有 =工+、=0.
x y
因此，矩阵A要有三个线性无关的特征向量,必须满足条件z+v=0.
十一、(本题满分8分)
解 记Yt=X1Xi,Y2=X2X3,^\ 乂=匕一丫2,且匕和¥独立同分布.
p(y1=i}=p{y2=i}=p(x2=i,x3=i}=o.i6,
P(Y1=0}=P{y2=0} = l-0.16=0. 84.
随机变量X=Y|—*可能取值为一1,0,1.
P{X=-l}=P{Y1=0,y2 = l}=0. 84X0. 16=0. 134 4,
P12}
=20[中(12—fji) —®(10—")]—⑦(10—“)一5口一0(12—//)]
=25小(12-^)-210(10-^) 一 5,
-^~ET——25 中(12—“)+21 叩(10—ju),
其中小G)和中怂)分别为标准正态分布函数和标准正态概率密度.令上式为0,得
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• 52・1994年
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-25 -<12^ , 21 -业W 人 Hn -旺江 O1 -竺江
—7=ze z H——e z =0,即 25e a =21e 。.
解此方程得/z=ll-yln H^IO. 9,由此知当#=10. 9毫米时，平均利润最大.
(试卷V)
一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
(1)【同试卷IV 第一、(1)题】
=(2)【同试卷IV 第一、(2)题】
(3) 【同试卷IV 第一、(3)题】
(4) 【同试卷IV 第一、(4)题】
(5) 答应填号.
解 记事件A, = ｛取出的产品为，等品｝,£=1,2,3. A”A,,A,互不相容,则所求概率为
P(A \A I \A ) = —P(A】)_= P(A】) =———— 2
511 八】U街 pg (ja2) P(A】)+P(A2)0. 6+0. 3
二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
(1)【同试卷IV第二、(1)题】
(2)答应选(B).
解令 FCz)=「/(£)业 +£ 焉出,因为/(x)在闭区间如上连续，且/(x) > 0,所以F'&)=
yGr)+*>0,FG)在(a,6)内单调增加.又
JKX)
F(a) =j7(f)dz + £ 点& =-£ 点市 V 0,F⑹=£/(r)dz+£ 点击= f/Wdz >0,
因此尸(工)在(膑 内只有一个零点,Bpj/(t)dz+£y^dz = 0在(a,6)内有一个根.
(3) 答应选(B).
解 AB=O^»r(A)+r(BXn,又 4尹O,B尹O=>rG4)Nl,r(B)21,则 r(A)^>0,知其系数行列式Z\=4（2a2-/32）>0,故方程组有唯一解
工=3a-20 = 4a—3月
0 2a2-^,y° . 2（2a2-/?2）-
P A d2Z o D d2z
记 A=/ = —2a,B=^=—20,C=^ = —4a,
有 B2 -AC=4/3z - 8a2 = - 4 （ 2a2 -/?2） <0,
且A<0,因此z在（工。,轮）处有极大值,也即最大值.
容易验证，工。>0,丸>0且
（3—aXo~jS'5lo）^o==^£>O,
、（4 —但。一2ay0 ） jo = 2 % >0.
综上所述,工°和轮分别为所求甲和乙两种鱼的放养数.
七、（本题满分8分）
解（1）分别对j/=g虹和;y = ln石求导，得和/'=£・
y=e-1 Jx
_________
1
由于两曲线在点6,乂）处有公切线，可见 翕=法，得血=§.
O ,1 X
将^0=~2分别代入两曲线方程,有，0=G "J=3~ln
T& a=Y =-^ =e? ,yQ =av/S7=-|- • 7?=1,从而切，点为（e? ,1）.
（2）
两曲线与*轴围成的平面图形如图阴影部分所示，则
S= [ （e% — e2/）dy =-|>e
勿 | —
1
—斗，
J 0 L Io o Io 。 Z
或 S = j ~ + J " IriA/x^dr
1 2 i I1. 1 2 ||e： 1 < ] Je， 1 2 1
八、 （本题满分7分）【同试卷
w
第六题】
九、 （本题满分8分）
证 由于
a 102，
。
3
都是
Ax=o
的解，故。
1+
血，。
2+
。
3，
口
3+<«1
也都是
Ax=0
的解.再者，若存在数
41，
炳以
3
，使
41
（% +。
2）
+互
2
（。
2
+口 3）+么（。
3 +ai）=0,
则有
（知+知
）ai +
以
1
+灼）血+（兑+么
）a3=0.
由于02 ，。 3 线性无关，故得
&+么=0,
Y 庇+—=0,
互
&2+ 3=0,
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1 o 1
其系数行歹！J式110 =2乂0,故有唯一解加=左2=妫=0,从而ai +a2，a2+a3,o3+ai线性无关.
0 1 1
由题设,Ax=0的基础解系含有三个向量，故ai +a2 ,a2 +a3 ＜a3 +a＞也是Ax=0的一个基础解系.
十、（本题满分8分）【同试卷W第十题】
+—、（本题满分7分）
解 事件“观测值不大于0.1",即事件{XV0.1}的概率为
ro.
1 ro. i
p = P{X W 0. 1} = y（x）dr = 2 xdx = 0. 01.
J —oo J 0
视每次观察所得观测值不大于0. 1为成功，则V,为”次独立重复试验成功的次数，服从参数为
3,0.01）的二项分布，其概率分布为 P{V,=m}=C；0. 01"0. 99”-"3=0,1,2,•••,”）.
十二、（本题满分8分）【同试卷W第十二题】
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-55 -1995年全国硕士研究生入学统一考试数学解析
(试卷IV)
一、填空题(本题共4小题,每小题3分，满分12分)
(1)答应填(T)“(1
解由于六工)=序=-一1 = 2(1+h)t-1,所以
-L A I
I »Xz
/(x)=2 • (-l)(l+x)-2,//(x)=2 • (-1) • (一2)(l+z)T,…，
/-,(x) = 2(-l)nn! (1+£)-<"1> =(一i).五登盘
注几个常用函数的高阶导数公式：
（寸）<*> =e，,［sin（虹+6）］3 =»"sin（虹+）+n .号），［cos（&+5）］<'> =&'cos（fcr+》+” ,专），
\ax+b） — （
A' = lAlA-'^CA*）t=击A）.又⑷=10,所以
1 ）
10 0 0
（占）-'=却=II0-
2_ ±
.16 亏 ~2,
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• 56 •1995年
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二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
(1) 答应选(D).
解由 lim£(L)—#1—*)=普得 f(l)= —2.所以应选(D).
•x~*0 uJL, u x-*0 JC 乙
(2) 答应选(A).
解L志&=。志&+J；志&，而j：志&与J；手&是同敛散，故£志丑发散，于
是匚危&发散，选(A)：
['—= P L. dx+J1 —L=±r,m[° i z&与「& 同敛散，且
Jt 1 — x2 Jt \/1 —jc2 J0 y/l—x2 Jt a/1 — j:2 Jt Jl +z
[收敛，故[ ' dz收敛，又]-7：?;一二与[〉=!=&同敛散，且] ].. . &收敛,
Vi+x 71-x2 J。JiT Jo 71^7 Jo
故L —j==Ax收敛，于是J ] —^==dr收敛；
『/&=亨(泊松积分);『矗=—*「=*
注对于选项(A),被积函数-3—虽然是奇函数，但是并不能判断(A)是收敛的.
sm x
(3) 答应选(C).
解法1由BA=O知A的每个列向量都是齐次线性方程组Bx=O的解，由题设知A的列向量中有m
个是线性无关的，故Bx=0的解集中至少有m个线性无关的解向量，因而Bx=0的基础解系所含向量个
数不小于 m,即 所以 r(B)<0,故 r(B)=0,即 B=O.
解法 2 BA=gr(B)+rG4)|V<7}=pU^^| V]}=p{_lV^^Vl}=牛(1)一中(一1).
故选(C).
三、(本题满分6分)
解 因lim A-(l — cos 工)=1,lim — f cos t2dt = lim 堆 工• = 1,故lim/(x) = 1 = /(0),/(x)在
I- X x-o+ X J Q x-o+ 1 z
z=0处连续.
又 /i(0) = lim-「2(l/osz)i] = ]im2(l—coy)f
x-K) '考研电子版网站： www.pdf2b0ok.com 」
• 57・7 ［考研数学 o
真题大全解（数学三）〉〉>
2sin x~2x_v 2cosz—2_, —sin x_a
=lim ~—9 — lim 7 — lim z 0，
X-^Q~ OX J—O- 况 r-^Q~ O
! , 1 fx \ cos t2di-x
f+（0） = lim — （— cos i2dz — 1） = lim -----------------
X
X \ X J 0 / 2+
1. cos x2 — 1 r — 2xsin x2 n
=lim z lim 0 0»
r*o* Lh i-*o* Z
故，G）在工=0处可导，且Z（0）=0.
四、 （本题满分6分）
解两端同时对*求导,得一阶线性微分方程
f（z） =3/（*）+2e气即 f （x）-3/（x）=2e2i.
记PG） =—3,QGr） = 2e%解此方程，有
f（.x~） = e-fp«3）=»«2>«3,«4）= 3=>«i9a29a3 线性无关且。4 可由。”。2,。3（唯一）线性表示；
厂（。1，。2，口3，口5）=4=>。5不可由口1，。2，口3线性表示;则。5—。4也不可由口1血，口3线性表示，于是汽。1，。2，
。3血5—。4）=4.
十、（本题满分10分）
,0 2 -2'
解 （1）/的矩阵表达式为/（X1,X2,X3） =（X1，工2，互） 2 4 4 Z2
-2 4 -3, 口3,
，0 2 -2
（2）二次型的矩阵为4= 2 4 4 ，则A的特征方程为
-2 4 -3,
A -2 2
\XE~A\ =-2 A—4 —4 =(义一1)(人 2 —36)=0,
2 一4 A+3
21 m 1'
由此得A的特征值为义i = lm = 6以3 =—6,对应的特征向量为ai= 0 ,a2= 5 ,a3= 一1
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• 59 •花,考研数学
o
真题大全解(数学三)〉>
1、 ］、
2
5/6
垢
5 1
化为单位特征向量：&= 0 ,fh = *3 = —席
/30
_ 1
2 _2_
^/30. 、寸b ，
1 1
2
7350 7_16
由此可得正交矩阵p= (0供,怯)= 0 围 V26
2
1 76
〔一垢 /30
对二次型f作正交变换 ，则二次型/可以化为标准形yGi，Z2，z3)=M+6院一 6晚
十一、(本题满分8分)
解引入事件人={仪器需进一步调试},B={仪器可以出厂},则任一台仪器可出厂概率为
P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=O. 3X0. 8+0. 7X1=0. 94.
用X代表所生产的”台仪器中能出厂的台数，则X为”次独立试验中成功(仪器出厂)的次数，服从
参数为3,0. 94)的二项分布，因此
(1) a=P{X="}=0. 94".
(2) R=P{X=〃一2}=C；O. 94"-20. 062.
(3) (9 =P(X1且、>1时，有F(z,y) = l；
当 0<了<1 且 OWyl 时，有 F(z，3/)= f f 4uududv = jc2 ；
J oJ 0
当 x>l 且 OWy^l 时，有 F(x,j>)= f f = y2.
" J oJ 0
故X和Y的联合分布函数为
'0, zVO 或 yVO,
jc2y2,
F（1，V）=y jc2 9 9 /> 1,
(试卷V)
一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
⑴答应填2.
解因为
四(亨)"=四[(1+手)']"=孔
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・60・1995年
°〈<<全国硕士研究生入学统一考试数学解析
f teldi = lim (t— l)ef = (a — l)ea — lim (N— l)eN = (a — l)ea,
J N-^ — OO | N
—OO N—— 8
因此有ea = (a—l)e。,解得a=2.
(2) 【同试卷IV第一、(2)题】
(3) 【同试卷IV第一、(3)题】
(4) 【同试卷IV第一、(4)题】
(5) 答应填*.
解 由 EX = j ]«r(l+z)dr+Led -Qdr = +<1^3)| + (号/— | = 0,
E(X2) =£x2(l+x)dx + £x2(l-x)dx=(杀3+¥)|： + (#-*)|：=土
DX = E(X2)-(EX)2 =4--
0
二、 选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
(1) 【同试卷IV第二、(1)题】
(2) 【同试卷IV第二、(2)题】
(3) 答应选(C).
解 AB= (E-aTc) (E+2aTa)
=E+aTa—2aTaaTa
=E+aTa—2aT(aaT)a,
其中 aaT= (§,o,...,o垮)信,o,...,o，¥) =*，故
AB=E+aTa~2 • -yaTa=E.
(4) 答应选(C).
/I 0 0\
解法1可举反例排除错误选项:取他=2,“=3,人^,=(0 0 ]),容易看出(A),(B),(D)均错误，
故选(C).
解法2由r(A„x”)=m,知A的功个行向量组线性无关，且增广矩阵(A M)可以看作是A的行向量组扩维
得到的，进而增广矩阵(A M)的％个行向量组也线性无关，于是r(A : b)=m,所以
r(A„x,)=r(A : 6)=m<6)及点(4,0),(2,1).点(4,0)及线段m=0(02az ,3a3),即
'] 2 一2] 4 —6、
A 2 -2 -1 = 2 -4 -3 (*)
、2 1 2 . 、2 2 6 ,
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全国硕士研究生入学统一考试数学解析
1 2 一2 1 2 一 2
由于 2 -2 -1 尹o,故 2 -2 -1 可逆，且
2 1 2 <2 1 2 ,
'1 2 -2 -1 1 2 2、
2 一2 -1
=—1
2 一2 1 (* *)
9
、2 1 2 . -2 -1 2,
综合(* ),( * * ),有
_7_ __2_
0 T
1 4 -6 1 2 1 4 -6 1 2 2'
_5_ 2
A 2 -4 2 一2 2 -4 2 -2 1 0 T
3
2 2 2 1 2 2 -2 -1 2,
2 __2_
T 2
3
注 本题是一个基础题.利用相似反求矩阵4,需要知道A的全部特征值以及全部特征向量.
+—、（本题满分8分）【同试卷IV第十一题】
十二、（本题满分7分）
2e-2i, x>0,
证法1 X的概率密度为危（工）=
0, 其他.
V=l—e一盐在］>0时的反函数为x=Ky') = —~ ln(l—少，故
为（少=六以（少］• W（v）l =《'
10,其他，
所以丫〜U（o,l）.
/1 — e~2x z>0
证法2 X的分布函数 F（z）=人 ' '
\ 0, rcWO.
设G。） =P{y〈、}为y的分布函数，由于X>0,有0VY= 1—e-zxVI,易得
当 ><0 时,G（v）=0；当 时,G（v）= l;
当 0V0,
综上有 G（v）=r，0<）Vl,
1, Q.
所以丫在区间（0,1）上服从均匀分布.
注更一般的结论:X的分布函数F（z）严格单调增，则V=F（X）〜U（0,l）.
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・63 •1996年全国硕士研究生入学统一考试数学解析
（试卷W）
一、填空题（本题共4小题,每小题3分，满分12分）
⑴答应填品I顽&.
解 方程x=y两边取对数得In x=y\n y,上式两边求微分得手&= （In、+1）心,则
d3，=x（l+ln
（2）答应填一-|V（l-x2）3+C,其中C为任意常数.
■右
解由 x/（x） = （arcsin x）/=—^===,贝!|y =jVD.故
J ftx'）^LX= f 工/1—工2&=— +C,
其中C为任意常数.
（3）答应填—^0（或a^=c）,5任意.
a
解 y = 2ax+b^y （x0） = 2ax0 +b,
过（io，Vo）的切线方程为 y—丁 0 = （2心o+'）（z—Zo）,即 y— Caxo +6x0 +c） = （2ax0 +6）（x-^x0） > 由于此切
线过原点，把z=/ =。代入上式，得一ar/— bx0—c= — 2axQ —彼。，即= c所以系数应满足的关系是
齐0（或心3 =C）,Z>任意.
⑷答应填（l,0,-,0）T.
解因为a”az，…,a”两两不相等，故范德蒙德行列式I A| = JI （a；—为）夭0,所以方程组ArX=B
1O««
的系数行列式|AT| = |A|^0,故方程组有唯一解，再由观察法或克拉默法则可得唯一解为X=（l,0,“・,0）T.
注利用"=3时的方程组
易观察到方程组的解，由此即可写出所求的解.
二、选择题（本题共5小题,每小题3分，满分15分）
（1）答应选（D）.
rf 「cos。 ri rVx-x
解 ，(厂cos 9,r*sin e)rdr= dr 所以应选(D).
Jo Jo Jo Jo
(2)答应选(A).
解法 1 由于 0W(以 n + q)2=l^+T^ + 2〃R»IW2(/+祐)，
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. 64 .1996年
° «〈全国硕士研究生入学统一考试数学解析
由原题设知 吏记和吏袄都收敛，则S 2(记+廿)收敛，从而 吏(蜘+。,)2收敛.
n=l n=l n=l n=l
解法2排除法.举反例如下：
(B) 的反例，取“,=土必=§，则s i"」=s m收敛,但S出=S 土发散；
』Tl n=l n=l H. yTl n=l n=l
(C) 的反例，取=土，S S寿发散，但“" = &<+；
(D) 的反例，取 u„=^2 9vn=—^9u„>v„9 2 u„ 收敛，但吏 v„= — S g■发散
n n=l n=l n=l 71
注 本题很容易错选(D),(D)的错误在于吏蜘和£ q不一定是正项级数,但比较审敛法只能用
n=l n=l
于正项级数.
(3)答应选(C).
解 由 A' = \A\A~\得(W)* = |4* ICT)*又|A* | = |A|l,故
1
(A* ) * =⑷"T( 00T)T= |A|”T点4= 0|”-0
(4) 答应选(D).
解由题设等式，得 Ai(ai +Pi')+—+xmCa„+flm)+k1(.ai —p1)+—+km(.am—fim')—O,且义i
ki,—,km不全为零，故向量组Oi +pi<-,am+fim,ai 线性相关.
(5) 答应选(B).
解由已知得「'A案扩)=肇鲁+辇辞,化简得(B).
由P(& | B)十P(& | B)=P[ (A】+也)| B],并不能推出P[ (A】+&) IB]=P(A】+ A,),选项(C)不正
确A,并不一定是对立事件，故选项(D)不正确.
对于选项(A),
P(A ■ PfA .r.PCA B) P(A2 B)_P(A1)+P(A2)-P(A1B)-P(A2B)
P(&|B)+P(A|B) 一节互-+节面-— P(B) '
P[(Ai+Az)|可-P(AiE 士 瓦瓦 P(A|+&)—P(AB)-P(AzB)
P(B) P(B)
因为P(A1+A2)不一定等于P(Ai) +P(Az)，故选项(A)不正确.
三、(本题满分6分)
解(1)当工R。时，心=工成愆)+广习二皿卷二=* G) —g"+ (z+1) e-，
g (Q)-i
_ 2
'■rg'(x)—g(z) + (z+l)e—工 ,n
，
2 9
所以/&)= *工 广。
I 2 0, '
⑵在 z=0 处,lim，G) = lim*&)—gSP(N^E = iimg”(z)— e==g：^n=f(o).
x-*0 x-^Q JC x-*O 乙 u
所以f (z)在X = 0处连续.又/&)在Z尹0处连续，故/(x)在(一8,+8)上连续.
四、(本题满分6分)
解由2=/(“),可得 基=♦(遁，3 =如嚎
在方程〃 =0.
由 c>0,得 p<%—b・
当0〈力〈挥(刀一医)时，有R'>0,所以随单价p的增加，相应的销售额也将增加；
当土-b>p>^(和-厢)时，有R'VO,所以随单价p的增加，相应的销售额将减少.
(2)由(1)可知，当p=处皈-低)时,销售额R取得最大值,最大销售额为
J=(7?t)(念一c)=S-而.
八、(本题满分7分)
解 令z=《，则那=好了祭当 Q0时，原方程化为
z~ • rx ~ d r z ~=z zz—] 2 dz dr
— v l~rz 9■―,, =------,
& vT+Z i
其通解为ln(z+ 71+Z) = -ln z+G或z+ 7T+?=~.代回原变量,得通解
X
、+ V x2+y2 = C( □:>* 0 ).
当x<0时,原方程的解与1>0时相同.
因此原方程的通解为v+ vOT7=c,其中c为任意常数.
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• 66 .1996年
° 全国硕士研究生入学统一考试数学解析
九、（本题满分8分）
解（1）因为
A -1 0 0
-1 A 0 0
|AE-A| =
0 0 人r -1
0 0 -1 A-2
=3 — 1）成一3+2）人+（2了一1）］=0,
把A的特征值义=3代入上式，得、=2.
土 （2）由 AT=A,得（ADPAPIPLVp,而矩阵
oioo- 1 0 0 0'
10 0 0 0 10 0
A= ,A2 =
0 0 2 1 0 0 5 4
.0 0 12. .0 0 4 5>
以下用两种方法求出矩阵P.
解法1由对应于出的二次型 xTA2x =xi +xf + 5xf++8^3X4
=薪+隽+5(13+§了4) +~^^4
=#+境+5法+§乂,
(*)
4
其中少=了 1 ，丁 2 =了 2 ，/3 =心 + 亏4 ,即
yi ‘1 0 0 0
y\
yi 0 1 0 0 △ „
yz
x= 4 _4 =Py. (* *)
a 方一矽 0 0 1 yz
T
成 4 to 0 0 1
a
把（* *）代入（*）,则有
'1 0 0 0、
0 1 0 0
xTA2x = (Pj)TA2 (Py) =0,所以f (工。)是广(工)的极小值.
(2) 答应选(D).
解 排除法.(A),(B),(C)选项皆可给出反例，(A)、=z, (B)>=x2,(C)v=工.
对于(D),因为lim fG) = +8,所以存在h°£R+，使得对任意了>孔都有/(x)>l,由于fG)处处
■Z~*+8
可导，则由拉格朗日中值定理，存在 抵(孔，了)，有= 9 二即/(x)>^-xo+/(xo),
所以
■
l
T
i
-
m
*+8
f S)》jr l
-»
im
+oo
[_x—x0+/(x0)] = +oo,
即 lim /(x) = +oo,
x-^+°o
(3) 【同试卷IV第二、(3)题】
(4) 【同试卷IV第二、(4)题】
(5)答应选(B).
解 由于 AUB,因此 AB=A,而(XP(B)<1,所以 P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)WP(A|B),故选(B).
三、 (本题满分6分)【同试卷IV第三题】
四、 (本题满分7分)
df 一！ 3f §
解 j
裳=一2矽3ef 搴=—2护,彩=厂勺’ ,
故 王.包_2丑+卫.立=—2ef
蚁 V 部 x 3y2 Ze .
五、 (本题满分6分)【同试卷W第五题】
六、 (本题满分7分)【同试卷IV第七题】
七、 (本题满分9分)
(1)证设过A,B两点的抛物线方程为了=a&-l)&—3)(a>0时图形
如图所示,aVO的图形同理)，则抛物线与两坐标轴所围图形的面积为
51 = [ | q(z —l)(z — 3) | dr = | a | f (x2 — 4x 4- 3)dz = £ I q I ,
J o
J o o
抛物线与z轴所围图形的面积为
52 = f |q(z—l)(z — 3) | dx = \ a | f (4j; — x2 — 3)dz = ■— \ a \ ,
J1 J1 o
所以s=s.
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-70 •1996年
° *全国硕士研究生入学统一考试数学解析
(2)解 抛物线与两坐标轴所围图形绕工轴旋转所得旋转体体积为
Vi = 7tf1)(x — 3)]2dz = "[* [(z — 1)4 — 4Cr — 1)3 +4(z — l)2]dr =普tt/,
J 0 Jo 10
抛物线与Z轴所围图形绕了轴旋转所得旋转体体积为
V2 — 7tf a2E(x — l)(x — 3)]2& =兀。? I* [(] — 1)4 — 4(x — I)3 + 4(x — l)2]dr = rfwa2，
J1 J i io
所以¥=¥•
V 2 O
八、(本题满分6分)
W 证设FCr)是八z)在［a,5］上的一个原函数，则
f /(^)dr = F(Z>) — F(a) = F'(rj)〈b — a) = f(r/)(b — a) ,a )U(a,3),
使得 /(f)=o.
九、(本题满分9分)
解 对方程组(*)的增广矩阵作初等行变换
<1 1 -2 3 0 <1 0 -4 n 一]〕
2 1 _6 4 -1 0 1 2 2 1
B=(A b)= —►
3 2 P 7 -1 0 0 />+8 0 0
4 -1 -6 —］ t ■ -0 0 0 0 t+2
① 当烂一2时,r(A)尹r(B)，方程组无解.
② 当t=-2时,r(A)=r(B),方程组有解.
若p=-8时测r(A)=r(B) =2<4(未知量个数)，方程组(* )的通解为
,_］、 ■ 4 ' r-n
1 -2 -2
x= +G +c2 ，其中GQ为任意常数.
0 1 0
0 、0 < 1 ,
若力尹一8时，则r(A)=r(B)=3<4(未知量个数)，方程组(* )的通解为
r-b r-r
1 -2
X— +c ，其中C为任意常数.
0 0
、o . .1 ,
十、(本题满分7分)
解 由 0=|3E+A| = |(_1)(_3E_A)|=(_1)，|_3E_A| = |_3E_A|,
即A = -3是A的一个特征值.
由已知,WlAAT| = |2E|=24|E|=16,BP|AAT| = |A|'2 = 16,于是|A|=±4,由 |A|V0,知|A|=-4.
所以,A"存在且有一个特征值一号，故有
A-1a= — * a(a为对应的特征向量)， (*)
再由妒’=粉=—孕把它代入(*)式，并化简得A-a=ya,即A-有一个特征值是号.
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-71・。
。考研数学_________
花
真题大全解（数学三）〉〉：
+—、（本题满分7分）【同试卷IV第十一题】
十二、（本题满分6分）
解 以X,（£=l,2,3）表示第［个元件无故障工作的时间，则XltX2,X3相互独立同分布，其分布函
数为
1—e-ta» z>0,
F(x) =
0, 工 Vo.
设G3)是T的分布函数，当Y0时,G(f)=O,当时，
G(t)=P(T«} = l-P{X1>«,X2>f,X3>f}
= l-P{X1>t}P{X2>«}P(X3>t} = l-[l-F(r)]3 = l-e-3J,
1 一ef 会0,
所以 G(t) =
0, t<0,
即T服从参数为3A的指数分布.
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・72 -1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
一、填空题:1〜5小题,每小题3分，共15分.
(1)答 应填 [手广(In x)+//(x)/(ln
解 d、=d[_f(ln ■r)e/3] = [d_f(ln z)] , + /(In x)de/
注 也可直接先求出y.
(2)答应填己.
4 7C
解 定积分「/(x)dx是一常数，设为A,则
J
0
A 二 J /(x)dr= | ] ・ J /1 —衣&=arctan x :+A』T+奇A,
故A=己.
4—K
注注意到定积分J7&)&是一个数，由此可衍生出有关二重积分的此类问题，即』7(工,少&心也
是一个数.
(3)答应填-=C+(l2»,其中C为任意常数.
解 齐次差分方程、,+1—>,=0的通解为C,其中C为任意常数.设(以+6)2,是差分方程叫+1—乂 =
t2"的一个特解，则a=l,》=-2.
因此，所求通解为网=。+8—2)2\其中C为任意常数.
(4)答应填一也
解若了是正定的，则二次型/■对应的矩阵的各阶顺序主子式大于零，因此易知
2 1 0
11— t2
2 =1—y>0,
。专1
解不等式得一氏8<必.
(5)答应填,;9.
Y 、
解 令 X；=寺,y；= y ?G=l,2,“・,9),则 X；〜N(O,l),y；〜N(0,l),£=l,2,・“,9,
O 0
X'=X； -----X；〜N(0,32),V'=Y? + …+丫孕〜f(9),
因此
r 丁= Xi+・"+X, = X'i -----X； = = X'/3
-^yi+-+yi~ —^¥79 '
由于 X'/3 〜N(O,1)，丫'〜f(9)，故 LT~t(9).
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• 73 •。
花争考研数学_________
真题大全解(数学三)>〉〉
二、选择题：6〜10小题,每小题3分，共15分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的.
(6)答应选(B).
解多次利用洛必达法则，并利用lim岑玉=1,求极限lim祭.
X r-^g\X)
or*0
y. f(z) sin x • sin(l —cos x)2 v sin(l — cos x)
物 fcrt----7+P--------=既 ♦+#
v 2sin x ・'(1 —cos x) • cos(1~cos x)2
=hm------------------
介 2 ----------------------------------
2(1—cos z) 2sin x
= lim =0.
^*0 3je+4j:2 3+&z
(7) 答应选(C).
解法1由/(—x)=/(x)(— oo0且，&)V0知/&)的图形在(一8,0)内单调增加且是凸的；由对称性
知，在(0,+8)内JG)的图形单调减少(/UX0)且是凸的(/(QVO),即(C)为正确选项.
解法2由两边同时对z求导，有一f (工),，(一工)=，(工)・
又由于在(一 8,o)内/a)> o且/ax。知，在(o,+8)内/a)<。且/(x)0时,FG)连续.又
[rfWdt
limF(x) = lim ------------= = 0 = F(0),
x-^)+ x-»O+ 工 x-*0+
故FCr)在Eo,+oo)上连续.对于工e(o,+8),有
f，&)=〜("J：")也 『*)——(弘
x2 X2
_z7Xi)—r/(S)_]”[/&)一六Q]+r(S)&”一 E”)
—— ----------« — ,
X X
其中因此由/(Z)在[0,+8)上单调不减知F'(z)〉0,故FG)在[0,+oo)上单调不减•
(15) 解先根据题意作出草图(见图).
(I)由得J = 2z.对于任意a(0Va aTA*A+ |A|aT —arA'a+b\A \ '0 |A|(6—aTA-1a)>
其中零向量为〃维行向量.
(U)证 由(I)可得 |Pg| = |4|2(&—aTATa),
M|PQI = |P| • IQI，且|P| = |A#0,故|。| = |4|。一<1小-岫).由此可知，|0尹0的充分必要条件为
a^a^b,即矩阵Q可逆的充分必要条件是aTA-'a^b.
注 本题考查分块矩阵的运算，注意看清aTA 'a是一个数.
(18)解(I)设A的属于特征值3的特征向量为a, = (刀，互,mA.因为对于实对称矩阵，属于不同
特征值的特征向量相互正交，所以aIa3=0和aIa3=0,即齐次线性方程组
I 一工］—工2+工3=0，
—2x2—13=0，
解得其基础解系为(l,0,l)T.
因此A的属于特征值3的特征向量为a3=k(l 909 l)T(k为任意非零常数).
(D)令矩阵
，一1 1 ］、
P= -1 -2 0 ,
、1 一1 1,
则有
1 0 0、 1 0 O'
0 2 0 ，即 A=P 0 2 0
0 0 3. 0 0 3,
由于
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・76 •1997年
W全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
1
3 § Y
1 _ 1
T T，
1
2
可见
1 0 0 13 -2 5 '
A=P 0 2 0 10 2
0 0 3 2 13,
1 116
(19)解由条件可知，当 iV—l 时,F&)=0；F( —1)=音;P{ — 1VXV1} = 1—七一土=是・
o o 4 o
易见，在X€(T,1)的条件下，事件{-l0
'甘仙'两台仪器无故障工作时间X,和x2显然相互独立.
‘ 具1也'考研电子版网站：www.pdf2book.com
• 77 •化/考研散学 o
真题大全解(数学三)〉〉〉
利用两个独立随机变量和的卷积公式求T的概率密度.对于£>0,有
/(t)= f+~/1(x)/2(t-x)dz=25e~5,r &=25托-七
J
J —oo 0 J 0
(25^e-5/, i>0,
当Y0时，显然f(t)=O.于是，得f(t)= A 甘小
10, 其他.
由于Xj服从参数为;1=5的指数分布，则EX,=4，DX,=^G=1,2).
因此，有 ET=E(X「+Xz)=EXi+EXz=*.
由于X】和X2独立，可见 DT=D(Xi+X2)=DXi+DXz=的.
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• 78 •1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
一、填空题:1〜5小题,每小题3分，共15分.
(1) 答应填
e
解设/(z)在点(1,1)处的切线为、=心+6,则
l=a+d,
d£(x) I __ „-i I
a j— —nx —n.
、 ax | x=i I x-i
当 >=o 时，& = 一# = 一与 Jl—土 因) = lim(1 - -) =§.
cl n n n-*<» r-*«o \ n / e
(2) 答 应填一宜+C,其中C为任意常数.
X
解 由于d(.),因此
J I" ；~= J (In z-l)d(-手)=-*(ln h-1)+ J 手d(ln x—1)
= -~ln +C=~—+C,
X XX X
其中c为任意常数.
(3)答 应填"=C(一5)，+佥(£一罚,其中C为任意常数.
解这是一道一阶常系数非齐次线性差分方程，可将其写为yl+i+ay. =/(t)的标准形式,>.+1 +5>,=
寿1,即a=5,/•«)=■!•£,则对应的齐次方程的通解为C(-5)\设非齐次方程的特解为y： =b°+b\t,代入
乙 乙
原方程得6。=一券缶=佥・故通解为
yt =C(—5T+佥(,一-)，其中C为任意常数.
2 0 0'
(4)答应填0 —4 0・
0 0 2,
解 对ABA=2BA-8E两端分别左乘A,然后右乘4一】,利用AA・ = |A|E及 得
A〉
注求解这类矩阵方程要尽可能地先化简,再去作具体数字运算.
(5)答应填法;志；2.
解 根据x2分布的定义，若匕,丫2,…，匕■服从标准正态分布且相互独立，则y=y?+yi+-+n服
从自由度为山的寸分布.对于本题，若X服从f分布，则m=2,且
亦(Xi — 2XD〜N(0,l),“(3X3-4X<)〜N (0,1).
于是
DD/^(Xi — 2Xz)] = (a+4a)DXi = 5a • 22 = 1,即。=我.
D[7b(3X3一4X,)] = (96+ 166)DX] =256« 22 = 1,即佥.
二、选择题：6~10小题,每小题3分，共15分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的.
⑹答应选(D).
解由题意，/■(工)在(一8,+8)内可导，且ya)=/a+4),两边对了求导,W!i/(x)=/a+4),故
/(5)=/(1).而由lin/⑴一£止
—=-1知/(1) = -2,故y=f(G在点(5,/(5))处的切线斜率为
x—0 LX
/(5) = -2.
(7)答应选(B).
0, |]|>1,
1+x, 显然工=]为六工)的间断点.
解 由于/(])=四]+〃”=<
1, 1=1,
.0, x= —1,
注中n是极限变量,而工是参变量(视为常数)，且X在不同区间段极限值不同.
(8)答应选(C).
A 1 A2
解 由题设条件AB=O且3夭0,知方程组Ax=0存在非零解，于是|A|=0,即1 A 1 =0,解得
1 1 A
'1 1 1、
人=1 .于是A= 1 1 1 ,由AB=O,知BTAT=O.故方程组BTx=0存在非零解，于是㈤=|BT|=0.故
、1 1 1,
应选(C).
(9)答应选(B).
1 a a … a (n-l)a+l (n—l)a+l (n-l)a+l
a 1 a ••• a a 1 … a
解 |A| = a a 1 ••• a = a a a
a a a ••• 1 a a 1
1 1 1 1 1 … 1
a 1 ... a 0 1—a … 0
= [("—1)(2+□ = [(〃一l)a+l]
a a ・・・ 1 0 0 … 1—a
= (1—q)”t[(〃一 l)a+l]・
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°〈〈〈全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
由r(A)=n-1得|A|=0,即a=£ 或1,显然a=l时,r(A) = l不符合题意，选(B).
(10)答 应选(A).
解 根据分布函数的性质：limFCr) = l,因此,1= limFCz)=a • 1血吕(工)一。・limF2(x)=a-6.
x » f-oo x >4~o° x > 4~oo x »4~°o
只有(A)中的a和6的值满足a-6=1.
三、解答题:11-20小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(11)解
因为寰=2工厂5，一 3+寸)广5十一(一声)
= (2^+3，)e-,M,°x
y_
手=2夬-*•"普 一(z2+、2)e-gn + —. ^- = (2v-z)e-g*"$
为 1+4 *
X
所以 dz=e—arctan$[(2>z+;y)dz+(2;y—Gdy],
。2二 = -arctan $ _ (2]+ V)f ——-—・—=一丑.二F —arctan《
dxdy e 心十力e "十也x x2+y2
。
cos 3 £ I* cos3^d^=^.
(12)解 V rcos 0 rdr= r*2 dr=
D »o 0 J o 10
(13)解 根据连续复利公式，这批酒在窖藏，年末售出总收入火的现值为A(Q=Re-”，而氏=
Re*",所以 A(Q =R°e斯^=Roe^"(金一「)=°，得唯一驻点'。=矗・
又磐=5 Ml则有罪 =R°e志(一12. 5/)V0,于是Zo = 25?是极大值
点亦是最大值点,故窖藏t=志年售出，总收入的现值最大，故当，=0.06时"=普211(年).
(14)证令g&) = e〜则g(z)与六z)在［a,6］上满足柯西中值定理条件,故存在汪(a,6),使得
f(b)-f(a)_f，(y)即f(b)-,f(a).. (eft-e°)e-^ .-()
q ' " bA——ac bA —~a c J /'•
又六了)在［a,6］上满足拉格朗日中值定理条件,故存在ee (a,6)，使得g)=a)=f(&.由题设
知 f (ip尹0,从而冒• e，-
(I )由 y=nx2+-^与 v = («+l)了，+看^得 a” ,,1一— .因图形关于V轴对称，所以
(15)解
vn(wH-l)
=2j：
S” H---—(n+l)x2 出］& dr
n
4
1
S”=4 , 1 4 X__ )
(口)由
an 3 n(n4~l) 3 \ n n+1/'
S d = limj； d = lim*(l—七)=*.
从而
n=j dn a = ] a h n-» 3 \ n~rl/ 3
注 g (4一给)是适于用定义法(前〃项和取极限)求和的常数项级数•
(16)解依题意得 VM = k ['/(工)&=奇|>7«)一六1)],
J o
1
即 3j /(x)dz=«7(Z)-/(D,
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・81・7 4考研数学__________________n
"I真题大全解（数学三）〉＞〉
两边对 £ 求导，得 3/（t）=2r/（t）+t2/（z）.
将上式改写为 工勺'=3/—2工），
即 £=3（f）-2.f, （*）
令《 = "，则有 了若=3"（“一1）.
当WT^O.M^l时，由"（兰]'）=尊^两边积分得气」=Cz：3.
从而（* ）式的通解为y-x=CX3y（C为任意常数）.
由已知条件，求得C=-l,从而所求的解为夕一工=一工3火或、=匚七）•
（17）解（I）由 A=aPT 和 aT/J=O,有
A2 —AA= （a/lT） （a。1"） =a（pTa）/JT=（PTa）«PT=（aTP）aPT=O,
即木为”阶零矩阵.
（口）设入为A的任一特征值,A的属于特征值;I的特征向量为x（x尹0）,则Ax=Ax,于是
A2x=AAx=A2x.
因为木=O,所以 又因为xRO,故A=0,即矩阵A的特征值全为零.
A2x=O.
不妨设向量a,p中分量小关0,缶夭0,对齐次线性方程组（OE—A）x=O的系数矩阵作初等行变换
—G1
缶—(202 …一％如 bi b2 …bn
~a2b1 —a2b2 …^a2b„ 0 0 — 0
—A= —►
: : : :: :
—aj)i —a^z …—aM • 0 0 …0 .
由此可得该方程组的基础解系为
ai =（—令,1,0,.••,（））血=（—令,0,1,•_,（）），…,a”-i=（—字,0,0,•••,】）.
于是,A的属于特征值4=0的全部特征向量为
cidi+cza?+•..+cM-ia”-i（ci ,c” …,c”-i 是不全为零的任意常数）.
（18）解由
A-1 0 -1
|AE-A| = 0 A~~2 0 =A(A-2)2,
-1 0 A-1
可得A的特征值为人1=人=2,人3=0.
2 0 0、
记对角矩阵 D= 0 2 0
i0 0 0,
因为A是实对称矩阵，故存在正交矩阵P,使得PTAP=D,所以A=（PT）1DP1=PDPT.
于是 B （硒 （圈 （硒
=（）feE+A）2 = （gT+pDpT）2 = [p +D）pT][p +D）pT]=p +D）ZpT
，Q+2）2
=P 。+2）2 PT.
k2.
由此可得
U+2）2
A= 。+2）2 .
4
由上面的结果可以得到：当k^-2且 5 时,B的全部特征值均为正数，这时B为正定矩阵.
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-82 •1998年
°〈《全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
注显+A的特征值为&+2以+2以,进而B=(kE+AY的特征值为。+2尸，以+2)七必，于是B正
定0互尹一 2且玲约.
（19）解设Z表示商店每周所得的利润，则
_ a oooy, yX.
由于X与Y的联合概率密度为
1
zv 、 湍，10 z~T 1 a、_ P（A1A2 ） _ 2/9 _ 20
因此,q=P（Ai l&）= p（A〃 = 61/90 =前，
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・83・1999年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
一、填空题:1〜5小题,每小题3分，共15分.
（1）答应填--1.
7C
解y（Q有一个原函数半，则 &）=（擎）'=々°s皆迎毛而
"Cr）dr =打（工）匚一 J； /a）dr=（cos 工一5^） " [ =_1 — 2（0-号）"一I.
注被积函数中出现导数时，往往要使用分部积分法.
（2）答应填4.
解 考虑蓦级数SCr） = S ,因此有
n=l
j：S«）d/ =郭广出=备”=岂一 1 =己，
S（工）=（仓）=怀等=上^.
故
由于S（笠的收敛域为（一1,1）,故S传）=4.
（3） 答 应填（）3X3（即3X3阶零矩阵）.
解由于A2 = 2A,故
A" - 2A"t =A"~2 （A2-2A）=O.
注计算矩阵4的高次慕矩阵，通常要找出规律，从而简化运算.
（4） 答应填16.
解 由于X, = + £x,〜N（a,f ・0.22）,故2=寺责〜N（0,l）,又P{|Z|<1. 96}=0. 95,S而
使 P{氐-a |V0. 1}=P 仰粉J
>0. 95,令96,得 n>15. 366 4,即 n>16.
（5） 答应填0.
解由于Y= S （一1）心5・>^乂疽“乂<，其中r为i应…i*的逆序数，又随机变量X"z,j = l,
2, •••,〃）独立同分布，因此
EY= S （一 1）57EXu,・EX瓦••…EX..
EXn EX、2 …EX 侦 2 2 - 2
EX21 EX22 …EX2n 2 2 — 2
=
EXq EX* …EX. 2 2 — 2
二、选择题：6〜10小题,每小题3分，共15分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的.
（6）答应选（A）.
解直接法.据奇偶性可知（A）正确.
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・84・1999年
° <«全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
排除法.(B)的反例：，(《!)= cos z,FCr) = sin z+1不是奇函数.
(C)的反^：/(x) = cos2x,F(x)=-|-^+ySin 2x+C,不论C取什么常数,FG)都不是周期函数.
(D)的反例：/&) =—*在(0,+8)内是单调增加的，但F&)= — m 在(0,+8)内是单调减少的.
注 连续函数/(x)的原函数F(z)可以表示为FG) = [/•«)&+ C,考查
J 0
F(-x) =「*六。击+ C= [7(-u)d(-u)+C= p-/(- u)du + C.
J 0 J 0 Jo
若六工)是奇函数,则/(u) = -/(-M),进而对任意C有F&) =F(—*)；
若是偶函数，则六必=进而当且仅当C = 0时有FG) =—F(—工).
(7)答应选(C).
解 定积分是一常数，因此，令J7(",u)d“dw=A.则
D
=巧+A,
两边在D上取二重积分，则
A = J>/(x,^)drdj/= Jxjzdrd^+AjJ dzd>= J xdx J ydy+A J
D D D
解得 A=牛.
(8) 答应选(B).
解。可由a 1 ,。2，…,dm线性表示，则。=知口1 +k2a2 H-----b—m，必有km砖。,否则
P=k1ai+k2a2+
这与P不可由向量组(I [血血，…，％-1线性表示矛盾.
于是am=r-(P~^iai~^2a2—»故am可由向量组(U )：。1血，…,。“-】，"线性表示，排
Rm
除(A)和(D).如果a„可由向量组(I)：久皿,•••,如一：线性表示，又，可由a】皿，…,a“线性表示,则此时
。也可由向量组(I )血血,…,a.-】线性表示，这与已知矛盾，故a”不可由向量组(I )：ax，a2, — ,am-i线
性表示，排除(C),正确选项是(B).
(9) 答应选(D).
解(A)项首先被排除，因为它意味着A=B；A与B相似，则A与B有相同的特征值,但不一定有相
同的特征向量，故(B)排除;由题中条件不能推出4,B相似于对角矩阵，更不用说相似于同一个对角矩阵
了，故(C)排除.(D)是正确选项，因为4与B相似，所以存在可逆矩阵P使P AP=B.而
P1(.tE-A)P=tE-PAAP=tE-B,
因而£E-A与函一8相似.
(10) 答应选(A).
解首先，列出二维随机变量(Xi，XQ的分布律及其边缘分布律中的部分数值.
-1 0、 1 P{Xi =xm }
J_
-1 a b c
T
j_
0 d e f ~2
1 g h k 4
J_ _1_ J_
P{X2f } 1
T 2 T
---------考研电了,版网站,: www.udf2buuk.Lum
• 85 •h
争考研数学_________
o
P5真题大全解（数学三）>〉
由于P{XiXz=0} = l,故P（XiX25£0}=0.因此a=0,c=0,g=0,k=0.根据边缘分布的性质
0=+，7i=+，d=+，y=+，e=-|—"/i） = + — =0.
可见 P（X1=X2）=P（X1 = -l,X2 = -l}4-P（X1=0,X2=0}+P{X1 = l,X2 = l}=0.
三、解答题：11〜20小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（11）解 由广会，得J= 一备—则切点F
处的切线方程
为V—~ — （X—a），切线与z轴和:y轴的交点分别为Q（3a,0）和
Va 2va
R（岫）
，如图所示.于是,AORQ的面积
左=号右
s=i ,3a ,
当切点按h轴正方向趋于无穷远时，有lim S=+8.当切点按v轴正方向趋于无穷远时，有limS=0.
a-*+°° a-*0+
（12）解积分区域D和玖如图所示，有
ydxdy ydxdy,
= JJ — jj
D D,
IH-D,
g
ydxdy
= L&J
。了心=4.
D+-D,
在极坐标系下，有D1= {（厂,。）| 0Wr<2sin们号，因此
jjjydrdv = j•昭 rsin 0 ・ rdr =-^- JK sir?。费
l-2cos 2升1+号羿。）也=专,
_n
于是 JJ 】drdv=4—* .
D “
注。是不规则图形，可以利用分块的思想把D看作D+D.（正方形区域，适于直角坐标）减去D （半
圆区域，适于极坐标）.
（13）解 需要在产出量2^玻=12的条件下，求总费用p^+p2x2的最小值.为此作拉格朗日函数
F（j?i ,互"）=》口1+力z*z+A（12—展）.
令
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・86・1999年
°〈〈〈全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
（□p
云~=?i—2而苗一1展=0, ①
〈芸f 一2呢讶1=0, ②
57 = 12-2^4 = 0, ③
I oX
由①和②，得 孕=蚀,即心=尊孔，
Pi ax2 g
将上式代入③，得 二2 = 6（?^），即了1=6（号^）,
因驻点唯一，且实际问题存在最小值，故计算结果说明幻=6（器）'，互=6（畿）.时，投入总费用最小.
（14）解 当工VI时,^y，~2y=2,其通解为
y = （j2广〕2&丑 + G ） = e2x （J2e-2xcLz + G ） = Ge21 — 1.
由y（0）=0,得C1 = 1,所以
^=e2x —l(xl时，有/-23/=0,其通解为
y=C2J2dl = C2^.
由
limC2 e2x = lim (e2x—l) = e2 —1,
〜 jr-*l ar-*l
得 C2e2 = e2-1,即 G = l-e-。所以
y=(l—eT)e&Cz>l).
于是若补充定义函数值T=e2 — L则在(一8,+8)内的连续函数为
(e2j — 1, z1.
显然V(z)满足题中所要求的全部条件.
注本题非齐次项是以分段函数的形式给出的，在求解中需要注意调整不同段的常数C,使之连续,
这也是本题的难点.
(15)解 令 u=2x~t,则 £=2z—“0=—d“，而
[, =— I* (2j?—u)/(u)du=2j： f /(u)du— [ u/(u)du,
2x J x J x
J 0 J
于是
rix ]
f2x
2x J /(u)du~ J u/(u)dw=-2~arctan x2,
两边对z求导，得
2 J f (u)dw+2j：[2/(2j：)—/(j:)] —|^2j:/(2x) • 2—xf{x}»
即 2 [2XfCu)du=r^+xf(j：).令 z=l,得 2「/(u)du=4+l=4-于是「y&)&=斗
j x i十z j i 乙 乙 j i q
(16)证(I)令 &)=U)—M,则 pG)在[0,1]上连续.又 9>(l) = -l<0,?；(y)=y>0,故由闭
区间上连续函数的零点定理知，存在76（y,l）,使得的）=/（" 一『。,即，3）=牛
（II ）设 F（Q —U（.r）F，即考研电¥版网站：gpdf2book.com 吊，且 F（0） =0,F（/= e，，而一0.
• 87 •花玄考研数学_________
o
真题大全解(数学三)〉
即F(Q在［0,也上满足罗尔定理的条件,故存在££(0,/,使得
F'(Q=e-*{f (Q—见/(£)一幻 一 1}=0,
从而/(£)—义［六£)一日=1.
(17)解 根据题设可得 AA* = |A|E=—E和A*a=a<)a.于是 AA'a=A(Aoa) =A0Aa.
又 AA«a=—Ea=—a,所以 A0Aa=—a,即
-r
a -1 c ' r-l
--
Ao 5 b 3 -1 -i
、1—c 0 —a. 1 . .i ,
由此可得
人 o(—q+1+c) = 1, ①
义 o(—5—。+3) = 1, ②
&(― 1+l。)= —1， ③
由①一③得义o = l.
将入0 = 1代入②式和①式，得b= — 3,a=c.由|A|= — l,G=c及b =—3,有
a -1 a
5 -3 3
l~a 0 —a
故 a=c=2.因此 a=2,5=—3,c=2,；U = l.
(18)证因为
Bt=(AE+AtA)t=AE+AtA=B,
所以B为”阶对称矩阵,对于任意的实"维列向量x,有
xTBx
=xt(AE+AtA)x=Axtx+xtAtAx=Axtx+ (Ax)t(Ax).
当x#0时，有 因此当A>0时，对任意的巧3),有
xtx>0,(Ax)t(Ax)>0,
xtBx=Axtx+(Ax)t(Ax)>0,
即B为正定矩阵.
注这是典型的利用定义法判定正定的问题，但由于部分考生对用定义法证明正定及对向量的内积
XTX不够熟悉,导致本题是当年整张试卷得分率最低的一个题.
(19)解由题设作图(见图)，可得
P2Y}=y,P(Y2Y}=0；
P{U= 1 ,V=0} =P{X>Y,X<2Y} =P(y0}+0 ・ P{X=0} — P{XV0}=号一专=专,
E(y2)= l ・ p{X>0}+0 ・ P{X=O} + 1 ・ P{X 处可导.
(8) 答应选(C).
解 由于r(A) = 3,故线性方程组AX=O的解空间的维数为4-r(A) = l.
由于 Aa1=b,Aa2=b,Aa3=b,故
心一曾)=。，
所以2(垢一些并)=(2,3,4,5尸是AX= 0的解.
根据AX=b的解的结构理论，选项(C)为AX=b的通解.
注 设a】,％,…,a,是AX2 的解，则当文>,=0时,k1O1 +k2a2 + -+kffs是AX = O的解；当
1=1
史宙=1时以血+处。2 + ・・・ + E 是AX=b的解.
i=i
(9) 答应选(A).
解 若土是AX=O的解，则显然A^-O.若土是ATAX = 0的解，则xMTAr,=O,即(Ar,)*&,.)=0.若
AXi丰0,不妨设AXi =(缶,但，…，九)丁，缶矣0,则(Ax,)T(Ar,)=拼+> 0与(Ar,)T(Ax,) = 0矛盾.
«-2
因而Ax, = 0.可见线性方程组(I )和(口)是同解的.
注要看清 的结构，这是内积，是平方和的形式.
(Ax)T(Ax)
(10) 答应选(C).
解“电炉断电”这一事件E发生意味着4个温控器至少有两个显示的温度值大于或等于r0，即若将4
个温控器上的值如从小到大排序的话,排在第3的温度值一定大于或等于to.根据顺序统计量的
定义:E={T<3,>i0).故选(C).
三、解答题：11〜19小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(11) 解 齐次方程y-2y'=0的特征方程为/一2r=0.由此求得特征根n=0,r2 = 2,对应齐次方程
的通解为§=G+Ge气设非齐次方程的特解为/ =4re气则
«)' = (A+2AH)e2，，« ),/=4A(l+x)e2i,
代入原方程，解得A=冬从而 <=4女气
于是原方程的通解为 7=§+y=G+(C2+*z)e气
将火0)=1和y(0)=l代入通解，解得G=号,G=§.从而，所求解为
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• 91 •。
存孑考研数学_________
真题大全解(数学三)〉〉〉
j»=-|-+-^-(l+2x)e2i.
(12)解 积分区域D如图所示.在极坐标系下
(r,(9) 一于 Q<0,0iQi+/J2Qz —(2Q+5) = — 2窟一Q + 16Qi + 10Qz — 5.
令
(Lq=-4Q1 + 16=0,
底=-2Qz + 10=0,
解得 Qi=4,Qz = 5,则 0 = 10山=7.
因驻点(4,5)唯一,且实际问题一定存在最大值，故最大值必在驻点处达到.最大利润为
L=-2 X 42 - 52 + 16 X 4+10 X 5 - 5 = 52(万元).
(0 )若实行价格无差别策略，则小=6,于是有约束条件2QlQz=6.
构造拉格朗日函数
F(Q1,Q2,A) = -2Qf-Qi + 16Q1+10Q2-5+A(2Q1-Q2-6),
'^=-4Q1 + 16+2A=0,
令 〈亢= — 2Qz + 10—4=0,
、F： = 2Qi—Qz—6=0,
解得 Qi =5,Qz=4,义=2,则 pi=p2=8.
所以最大利润 L=-2X52-42 + 16X5+lOX4-5=49(万元).
综上，实行价格差别策略可使总利润最大.
(14) 解 §=:上fexp(号+arctan 工}.令 J = 0,得驻点与=—1,血=0.
列表如下：
( — oo, — l) -1 (-1,0) 0 (0,+oo)寻
X
/
y + 0 — 0 +
y —2ei —e"2
由此可见，函数单调递增区间为(一8,— 1),(0,+8);单调递减区间为(一1,0).
极小值为y(0) = -e";极大值为火一 1) = 一2e十.
由于 <2i= limH = e*,S= lim (y~a1x') — — 2e'',
X—+oo OC •F"*+8
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・92・2000年
°«<全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
所以函数图形的渐近线为yx =a1x-Ybx =ew(x—2) 9y2 =a2x+b2 =x~2.
"4 . ] H-l
(15)解由L = sin%d(sin x)=萨闩(sin x)^1 ，有
0
象房修广
令SG) = § 土广测其收敛半径R= 1，在(一 1,1)内有
〃十上
n=0
S“)= Vx" = ^―
七 1一£
点于是
SCr)= di =— In | 1 — x |.
令X (-1,1),则
8 1 ”+i
S = 4 y — 〃+i = ~ln ]-亨，
从而
i，JL
oo oo
、L =、sin"xcos xdx = ln(2 +晅).
」0
n=0 n=0
(16)证令 FCr)= I /(Z)dz,0〉〉
若36-c^l,则r(A)^r(A),方程组无解，。不能由a!，a2,a3线性表示.
(ID)当a=-4且3Z>—c=l时,r(A)=r(A)=2<3,方程组有无穷多解,夕可由5,<»2血 线性表示，但
表示不唯一.
解得知=£,k2 = -2t-b~l,k3=2b+l,其中£为任意常数.
因此，有P=toi — (2t+6+l)a2+ (26+l)a3 >其中t为任意常数•
(18)解由题设条件知，对于任意的n ,他，…工，有了6 ，…，了”)20,其中等号成立当且仅当
了1+"口2=°，
互+。213=0,
①
、了”+"1=0,
方程组①仅有零解的充分必要条件是其系数行列式
1 0 … 0 0
Qi
0 1 a2 … o 0
: • : : = 1 + ( —1)”+1钓。2 ”尹0・
0 0 0 … 1 ^n-1
Q" 0 0 … 0 1
所以当1+( —l)"+'a血…劣尹。时，对于任意的不全为零的xx,xz，— ,xn,有y(工1，工2,…，了”)>0,即
当ag・"a#(-l)”时,二次型/(X!，工2，…口,)为正定二次型.
(19)证记P(A)=0,P(B)=»2，P(AB)=&.由数学期望定义，可见
EX=P(A)-P(A') = 2p1-l,EY=2p2-l.
现在求E(XY).由于XY可能取值只有1和一 1,可见
P{XY=1}=P(AB)+P(彳百)=2 如一仑一物+1,
P{XY=-l} = l~P{XY=l}=p1+p2-2p12,
E(XY)=P(Xy=l}-P{XY=-l}=4/>12-2/>1-2/>2 + 1,
从而
Cov(X,V)=E(XY) — EX • EY=4如一4力1仑.
因此,Cov(X,Y)=0当且仅当 加=/>山，即X和Y不相关当且仅当事件A与B相互独立.
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一、 填空题：1~5小题,每小题3分，共15分.
(1) 答应填一芸.
P
解 根据弹性的定义,K关于L的弹性为。尊.当Q=1时，对Q=AJ?KF两边先取对数，然后对L
1\ CLL,
求导，得芳+#赛=。・因崂整=-祀
(2) 答 应填 W, = 1.2W,_i+2.
解 实际上用W,和将第一句话的意思表达出来即可.W, = (1+0.2)Wli+2=1.2W,_i+2.
(3) 答应填一 3.
解因r(A)=3,故|A|=0.可解得龙=一3或左=1.
1111-
当^=1时,A= : ； : ； ,r(A) = l,不符合题意，故龙=-3.
.1 1 1 1/
(4) 答应填志.
解 由切比雪夫不等式,对于任意e>0,P{ IX—EX12e}〈警.
由于 E(X+y)=EX+EY=-2+2=0,
D(X+Y)=DX+DY+2pWDXDy=l+4-2X0. 5X ^/1><4 = 3,
令 e=6,则 p{ | x+y | >6}=p{ |(x+y)-e(x+y)| 圣}(。(言}丫)=亲=土.
00 00 14
(5) 答应填 F;(10,5).
解由于 X,〜N(O,22),则〜N(0,l),i=l,2,“・，15.故
U=+x： + ...+jx& 〜f (10),V=jx如+..•++xh〜f(5),丫=镜〜F(10,5).
二、 选择题：6〜10小题,每小题3分，共15分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的.
(6) 答应选(B).
解 由条件可知,f(a)=0,且当并在a点附近时,/(工)>0;当工>a并在a点附近时,/(工)<0.由
此可以判断出:存在3>0,当a~S
D
=J ：y[e万)—事]dy = 0,
JJj/Cl +xe'2(x，+y，)]drd3/ = .
于是
D
解法2用直线y=—工口轴与' 轴把积分区域D分成四块，分别记为D,,D2,D3和如图所示.
由于被积函数关于y是奇函数,玖与0关于工轴对称，从而
『、口+衣*&" ]&心=0,
口+口
同理，由于书关于工是奇函数,与U关于'轴对称，从而
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• 96 •2001年
°<«全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
『= 0,
R+Q
由于了关于1是偶函数,。3与。4关于;y轴对称测有jj ydxdy = 2^J ydxdy,
D.+D. 。
把这些结果代入原积分，即得
原式=可；ydzdjy = 2^ ^ydy^dx =—2^ ^y2dy =—y.
d} t 0 t
(14)解 依题意知，抛物线如图所示，求得它与z轴交点的横坐标为
心=0,互=_于.
P
因此面积
s = j°'3+G&=(粉 +穿)『=备.(*)
因直线z+v=5与抛物线y=px2+qx相切，故它们有唯一公共点.
由方程组得热2 + (q+l)*_5 = 0,其判别式必等于零，即
\y=pxL-vqx
△ =(q+l)2 + 20p = 0,p=—会(l+q)\ 将上式代入(* )式得
200g3
S(q)
3(q+l)',
令S'(g)= 峰芸孑=0,得驻点g=3.当0VgV3时,S'(g)>0;当q>3时,S'(g)V0.于是当q=3
O\Q I 1)
时,S(q)取极大值，即最大值，此时p=~4-从而最大值S=籍.
0 ，乙
由此可见,(I)当p=—§,g=3时,S达到最大值;(口)最大值S=警.
(15) 证 由/■(1)="：衣1/'(工)位及积分中值定理，知至少存在一点& €〔0，+ ]u[0,l),使得
1
/(I) = k[k xel~xf(.x)dr = &e1-e, /(ft).
J o
在Ei，l]上,令9>Cr)=zeHV&).由题易得p(z)在[&, 口上连续，在(&,1)内可导，且
由罗尔定理知，至少存在一点£€(&,l)U(0,l),使得湖EXerLAQ—e/XQ+Efl如=0,即
(16) 解由已知条件可得， [(工)一九(工)=了1],
其通解为 /„(x) = eJ111 ( J x"-1 ex e-/*11 dx + C ) = e，(^+C).
由九(1)=于，得C=0,故九&)=宇.
从而
n=l n=l n n-1 ”
记s&)=吏乌其收敛域为当*e(T,i)时，有
n=l n
S")=京 = j 土- ,
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・97 •存玄考研数学__________________o
"I真题大全解(数学三)〉》
故
SCr) = J 洁=—ln(l —]).
当工=一 1时，
2 fn(工)=—e-1ln 2.
n=l
于是当一 10.97752).
由此可见1 000~10»>2,从而„<98, 0199,即最多可以装98箱.
Vn
壬 (20)解 由条件知X和丫的联合密度为
1
N，ln,则 r(AB)〈n0;当a>l时,V‘VO.因此a=l是极大值点即最大值点，此时K+V?取得最大
值，等于詈。
盘 展 技 户 , t2 5 8 3n~l
(14) ( I)证 因为>(/=1+更+页+可+•••+面+…点愆)=沥+胡+引+…+^Tn + ",‘
4 7 3n-2
jy"(z)=z+互+yy + ・・・ +(3〃_2) ! +…，所以 丁+J+/=e。
(□)解 与y+y+y=e相对应的齐次微分方程为J'+J+)=O,其特征方程为产+广+1=0,特征
根为rb2 = -^-±^i,因此齐次微分方程的通解为丫=厂专(Gcos条+Gsin条).
设非齐次微分方程的特解为v ” = Ae=,将/代入方程^+y'+y=e得A=§，于是，=§ b,方程
通解为 y=Y+/*=e z(Gcos亨工+Gsin尊z) +
当工=0时，有
1
火0) = 1=G+h，
O
< ,
J (0)=0= -- Ci + 夸C2 +-|~,
由此得C】=W，C2=0.
于是蒂级数S 7^77的和函数为y(z)=~|-eTcos奈r+^ep—8VxV+8).
M(如！ 3 Z 3
二 -An
注 实际上对于、溢57 Q = 2,3,4，…)这类蒂级数求其和函数,一般都要建立微分方程求解，通过
逐项求导或逐项积分往往办不到.
(15) 证因为/(x) ,g(工)在[a,最上连续，且g(z)>0,由最值定理，知六工)在[a,切上有最大值M和
最小值?n,即 mV/XQWM,故 mg(x)^/(x)g(x)^Mg(x),
rb rb rb /(x)g(x)dr
mg(x)dz r(z)g(z)&V Mg(z)dz,即-------- < M.
Ja Ja Ja J g&)&
f，(z)g(jc)djc
由介值定理知，存在se*/],使六Q = ——一，即
J g(x)dr
[y(x)g(x)dz = /($) f* g(i)dz・
J a
J a
注本题实际上是一种广义形式的积分中值定理.
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-102 ・2002年
I
«<全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
(16)解方程组的系数行列式
a b b b
b a b b
|A| = b b a ••• b = [a+(n—l)6](a_6)"-1.
b b b a
当a尹6且a^(l-n)6时，方程组仅有零解.
当a=b时，对系数矩阵A作初等行变换，有
a a a a 1 1 1・・・1 ]
a a a ••• a 0 0 0 — 0
A= • ・ ・ ・ —► . ・ . .
• :: : ::: :
a a a ,,, a . 0 0 0 …0 ,
原方程组的同解方程组为办+工2 +・“+务.=0,其基础解系为
W = ( —1,1, (),•••, O)T,az = ( —1,0,1,…,。尸,…,a”-i = ( — 1,0,1尸.
方程组的全部解是x=C1a1+C2a2+-+C„-1a„-1(G，G，…,Gt为任意常数).
当a = (l—n)b时，对系数矩阵4作初等行变换，有
b b b b
b (1—n)b b … b b
A = b b (1—n)b ••• b b
b b b … b (1—n)b-
1 0 0 … 0 -r
1-n 1 1 … 1 1
0 1 0 … 0 -1
1 1~n 1 … 1 1
0 0 1 … 0 -1
—► 1 1 1-n ...1 1 —►
; : : : :
•
0 0 0 … 1 -1
1 1 1 … 1 If
.0 0 0 … 0 0 ，
原方程组的同解方程组为
其基础解系为A= (I, i，…，1)T,方程组的全部解是x=C0(c为任意常数).
(17)解(I)设A为A的一个特征值，对应的特征向量为a(a乂0),则Aa=80a=；ea.于是(A2+2A)
a=(Az+2A)a.由条件 A2+2A=O推知(A2+2A)«=0.
又由于a^O,故有A2+2A=0,解得A = — 2或A=0. '
因为实对称矩阵A必可对角化，且r(A) = 2,所以
-2
A 〜 一2 =A.
0,
因此，矩阵4的全部特征值为义1=万=一2,%=0.
(n)矩阵A+kE仍为实对称矩阵.由(I )知,A+kE的全部特征值为一2+加一2+左以.于是当k>2
时，矩阵A+kE的特征值全部大于零.名畦阵A+砰为正定矩阵.
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• 103 •存垢考研数学_________________ o
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(18)解(I)随机变量(X,Y)可能取值为(一1, 一 1),(一 1,1),(1, 一1),(1,1).
p{x=—i,y=—i}=p{u<—i,ui}=o；
p{x=i,y=-i}=p{u>-i,uvi}=蜀
P(X=l,Y=l}=P{U>-l,U>l}=y.
于是，得X和Y的联合概率分布为
(-1,-1) (-1,1) (1,-1) (1,1)'
(X,Y)〜 1 n 1 1
I T 0 y T
(n)x+y和(x+y)2的概率分布相应为
-2 0 2 0 4 '
X+Y〜 1 1 ,(X+Y)z 〜 J_ _1_
T
.T J2 可
由此可见 E(x+Y) = -*+子=0,则 D(X+Y)=E[(X+V)叮=2.
(19)解 设X的分布参数为九由于EX=，5,可见A=y.显然,Y=min{X,2}.
当 3，<0 时,F(少=0;当,22 时,F(y) = l；
当 0〈yV2 时,F(y)=P{Y2.
解 f CO) — hm--------x----= hm----------z----= linur cos ——=O,A>1.
i x—0 z x—0 i x
/(z)= (j/cos 手) =AxA-1cosj?sin• =义广cos手+广sin*,
x2
要使fG）在x=0处连续，由连续的定义应有娜/（工）=削（村Tcos手+广sin手）=f （0） =0.由此
得出A>2.
注 实际上参数A是在实数中取值，此时赛函数，的定义域应该写成z>0更合适.
（2）答应填4a'.
解 由题设知x轴是曲线的切线，设切点为（西,0）,该点也在曲线上,因此有
（/Z（^o）= 3x5—3a2=0, ①
1 /（x0）=xo —3a2xo+6=O.
②
由①得xo=a2，由②得xo（xo~3a2）+6=0,即6=x0（3a2—xj），将x^=a2代入之后得屏=4疽.
⑶答应填广
a, 0<、一z2a2+a-l=0^(2a-l)(a+l)=0.
a
又由于aVO,于是2a-1V0,故a蓦音源^^.pdf2b°°k. com
・105・存寸考研数学__________________o
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注a是n维非零列向量，则皿丁是秩为1的n阶方阵,/a是一个数.
(5) 答应填0.9.
解 由于缶=嘉:浩,又DZ=D(X—0.4)=DX,
Cov(y,Z)=E(YZ)-Ey- EZ=E(XY)—0. 4EY-EY(EX—0. 4)
=E(XY)-EX - EY=Cov(X,y),
所以 PLPxy=°・9・
(6) 答应填*.
解 由于X1，X2,…,X”是来自总体X的简单随机样本，因而X】，X2，・・・,X,相互独立且同分布，并可
以推出X，X3,・・・,X；也相互独立且同分布.
又X服从参数为2的指数分布，所以EX,=+，DX,=+(i=l,2,•••,").
又由 E(Xf)=DX, + (EX,)2 = y+(-y)2=y(i = l,2,-,n),由大数定律知+ S X：依概率收敛
丁 2 '
二、选择题：7〜12小题,每小题4分，共24分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的.
⑺答应选(D).
解 由于，G)是奇函数且在*=0处有定义测/(0) = 0.故
limg(Q = lin/@=lim冬二皿=f(0),
•r~*0 JC ar-*O 3C
所以选(D).
(8) 答应选(A).
解由题设知函数fcx,y)是可微的，因而两个一阶偏导数£(了,少,/(工,少都存在，又知ys，v)在
点(血,知取得极小值,可微函数在点6必)取得极值的必要条件是必)=0,无(工。,％)=0.若二元
可微函数f(.x,y')固定x=x0,则f{x0,y)是一元可导函数,/(x，3»)在(血,、。)处取得极小值，则f(.x0,y)在
》=又处必取得极小值，因而了(了°,少在处的导数等于零.应选(A),其余均不正确.
(9) 答应选(B).
解 由级数条件收敛的定义知，若S %条件收敛，则» |a”|发散，由此推出吏A,与吏％都发
散,因此在选项中排除了(A),(C).
由级数的绝对收敛与级数收敛的关系知，若S a,绝对收敛，则§ la, I必收敛，再根据收敛级数的
n=
”=1 1
性质可以推出吏A.与吏q”都收敛，因此应选(B). -
n=l n=l
(10) 答应选(C).
n9 r(A)=n,
解 由 r(A#)=^l, r(A)=n-l,知厂(A) = 2,于是
、0, r(A)0+，则
】.7t(l—i) —sin 7cz r kv-'sin ny
lim— 穴(1 - — --- i - )s ?— in ：-- - 兀 - 牙 -- -= h i m )+ K — ^s :- m -- - i - ty匕 0
=lim归；沔础="―漕叫
y*o+ 7t y r*0+ 2兀 y 0
7^sin_7^_n
一悸
所以 lim/(x)=—.
定义f(l)=+，则,(工)在［*,1］上连续.
(14)解 因为
dx y du dv'dy du y dv
B-2 gs 粉芸寿T第f 繇+寸强
故
窍=3+/井+(*由努T+矶
所以
(15)解 作极坐标变换：x=rcos e,)=rsin。，有
'=。』£-"+%也&2+")&心=6" J 也〕re" sin'dr.
D
令［=/,则 I=nen f e-tsin tdt,记 A= f e-xsin tdt9则
J 0 J 0
A —— J sin ^d(e"9 =— (e-sin 11 —J e-zcos ：dz)
cos，d(e—') =— (e—'cos 11 + j e-isin tdz)
=ef+1—A,
因此 A=§(l+ef),I=^(l+ef)=^(l+e，
乙 乙 乙
oo
(16)解 fs= y (一ly-J一^^.
TZf 1 -rx
对上式两边从°到工积分，得 考研电子版网站:www.pdf2book.com
• 107 •h
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/(X)—/(o) = — J ］_^dz=—- ln(l+x2).
由 /(0) = 1,得
/(x) = l—|-ln(l+x2)(|x|l,则/■(0)+/(1)+/(2)>3与已知条件矛盾，同理可知在［0,2］上不可能总
有/(x)3/⑶=3,与已知矛盾.
综上所述，可知/G)在［0,3］上不是单调函数.又由于在［0,3］上连续，则必存在两个不同的点
a,灰［0,3］,使
f(a)=f(b),
又由于/(*)在(a,6)内可导，所以六工)在［a/］上满足罗尔定理条件，故至少存在一点 簇(aM)U(0,3),
使 Z(f)=0.
(19)解方程组的系数行列式
a2 a3 … an
1-1
ai +6 a2 • an
..
+ S a« a2 +b a3 ••• an
ai a2 +b a3 •・• an i=l
|A| = Gi az a3+b •・• an =
b+y^aj a2 a3+b ••• O-n
i=l
al O,2 % -• an+b
5 +完七
a2 a3 … an + b
i-1
1 a2 % — an 1 a2 a3 Q”
1 % +5 an 0 b 0 ••• 0
（6+ »a,・） （'+£《）o o
= 1 a2 az-\-b a„ = b ••• 0
i=l i=l : :
1 a2 a3 … 0 0 0 … b
="的+史 a,).
1=1
(I) 当3尹0且》+史《尹0时,r(A)=n,方程组仅有零解.
i=l
(II) 当b=0时，原方程组的同解方程组为哄1+。2五+•••+"：” =0,由S a#0可知,qG=l,2,•••,〃)
i=l
不全为零,不妨设ai^O,得原方程组的一个基础解系为
。1 =(—号知 1,0,•••,()) ,。2=(—余,0,1,•••,())，…,a“_i=(—乒，0,(),•••,1).
当b=- S a,时，有》尹0,原方程组的系数矩阵可化为
i=i
a2 a3 … a„ <-1 1 0 ・ -0、
i=l
-1 0 1 - ・0
-1 1 0 … 0
—►
-1 0 1 … 0
-1 0 0・ ・1
.0 0 0 - -0 .
、-1 0 0 … 1 .
由此得原方程的同解方程组为而=而,心="•••%="原方程组的一个基础解系为a=(l,：!,•••,1)1
注本题和上题都是"个方程n个未知数，且系数矩阵都是特殊形式，故可利用行列式去分析解的
情况.
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• 109 •h
罗考研数学
O
真题大全解(数学三)〉
(20)解(1)二次型_/~的矩阵为
a 0 b
A= 0 2 0
b 0 -2,
、
设A的特征值为居(£=1,2,3),由题设有
a 0 b
Ai +A2 +A3 =a+2—2=l ,AiA2A3 = IA | = 0 2 0 =—4a—2 屏= — 12,
b 0 —2
解得。=1,5=2.
(口)由矩阵A的特征多项式
A-l 0 -2
|AE-A| = 0 A-2 0 = (A-2)2(A+3),
-2 0 A+2
解得A的特征值义1=人2=2,人3 = —3.
对于Ai=A2=2,解齐次线性方程组(2E-4)X=。得其基础解系& = (2,0,l)T,& = (0,l,0)T.
对于入3 = —3,解齐次线性方程组(一3E-4)X=0得其基础解系晶= (l,0,-2)T.
由于41^2^3已是正交向量组，为得到规范正交向量组,只需将&，包，，3单位化，由此得
招=(食，。，制，照=(。，1,。)5=(*，。，-食)1
于是得到正交矩阵
2 1
0
垢 存
Q=(1Jl，f|2，l|3)= 0 1 0
1 _ 2
0
屋
(2 0 0
在正交变换X=QY下有QTAfi= 0 2 0 ，则二次型的标准形为/=2况+2乂一3乂.
.0 0 -3.
(21)解法1易见当x8时,F(x) = h对于xG[L8),有
F(x)= J /Wdz = L 并护=W-1.
设G(v)是随机变量Y=F(X)的分布函数.显然，当y<0时,G(y)=0,当时,G(^) = li对于yG
[0,1),有G3=P{yWv}=P{F(X)<》}=P{^-l,则六"，。）=焉+g（u），f£=太，££= g（P）
（3）答应填一~p
解 设 l,dr=dz.当]=*•时"=—•;当 x=2 时"=1,则
：yCr-Ddr = y(z)dz= I (_l)dz=0—t
~~2 ~2
注 也可先求出/（x-1）的表达式,再计算R/a-Ddr,但不如上面的做法简单.
（4）答应填2.
2 1 1 '] 0 O'
解二次型/的矩阵为人= 1 2 -1 .对A作初等变换得4- 0 1 0 ，从而3=2,即二
、1 -1 2 . <0 0 0,
次型的秩为2.
注有些考生认为二次型的标准形是f=yl+yl + yl.从而得到秩是3,这是错误的，原因在于
=11+^2， 1 1 0 '
队 f 一及，这个变换并不是正交变换，因为 C= 0 1 -1 不可逆.
、丁 心+无 .1 0 1 ,
3=
⑸答应填土
解由X服从参数为A的指数分布，知DX=%,则
P {X> 7DX} = P {X>+} = 入 L dz=%.
（6） 答应填
解 记 S（X,-X）2,S!=-^ 史（匕一y）2,则 E（S¥）=E（%==1
（〃i - l）Sf+ （双-1双］ (W1-l)E(Sf) + (n2-l)E(SD_ ,
原式=E
〃1+〃2 — 2 〃i+ : 〃2—2 - =b
二、选择题：7〜14小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的.
（7） 答应选（A）.
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• 112 ・2004年
° «<全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
5 解 如 r )£= , 杪 、 扃 v (工 —jr — sin l) ( C x_ z— 2) 2 )广一 sin " ' 3 蚱 v 六 下， 工 、 )= v 现 川 —x 一 sin 1 ( ) x (l —2) 2 )2 = — s ~ in F 2 ・
v rz 、 i. zsinG—2)
又 场3=哝三
1577^=8，
因而在(0,1)与(1,2)内都是无界的，排除(B),(C).
又 h r m / r ( f x ) 、 = h i- r nx( j x ?s _ in 1 (x )( — x_ 2) 2)2 = v h mu_1 一 )1(：c_2)=oo,
因而六工)在(2,3)内无界，排除(D),故选(A).
注本题考查如何判断连续函数在开区间(a/)内有界.
工 (8)答应选(D).
解 令 2=手，当 x-*0 时 $—8,则匝/■(手)=lim/Q)=a.
当 a=0 时，有limgGc)=0=g(0),g(z)在点 x=0 处连续；
j—*0
当。尹0 时,limg(z)=Q/g(0) ,g&)在点 x=0 处间断.
ar-*0
因此gG)在点x=0处的连续性与a的取值有关.
(9) 答应选(C).
解因为/(/= |了(1一/ |20,六0)=0,故工=0是极值点，因而选项(B)与(D)不正确.而在z=0
的邻域内：
当 zVO 时,/(x) =—工(1—x)=x2—了,，"&)=2>0；
当z>0时,六了)=*(1 一工)=^一好,/'(工)=一2<0,所以(0,0)是曲线3/=/(x)的拐点.即选项(C)正确.
注从几何直观上通过六了)的图形判定是最简单的.
(10) 答应选(B).
解根据级数收敛的性质:若加括号后级数收敛，原级数未必收敛,故①结论不正确；由级数的前面增
加(或减少)有限项,不改变级数的收敛性，可知②正确;若级数满足lim心存在且大于1,则级数发散，知
rr-*o° Un
③正确;若s(蜘+q)收敛，吏蜘与吏q未必收敛，知④结论不正确.综合以上结论，应选(B).
n=l ”=1 n=l
注1血外>1。存在N>0,当n>N时，纭旦>1,这说明n>N时必 同号且比值大于1,则1血％夭0,
n-^oo Un Un n-*00
故级数吏虬发散.
n=l
(11) 答应选(D).
解由于/已)=1瑚(半顼>0,根据极限的局部保号性,得存在瓦€(a,a+&),使得/(x0)>
f(a)(&>0);同理利用极限的局部保号性可验证(B)也是正确的;根据“闭区间上连续函数的零点定理”知
(C)是正确的.取 /(x) = -x2+2,x6L-1,1J,/(-1) = 2>0,/(1) = -2<0,但在】一1,1］上,/'&)>(),
故(D)错误.
注实际上，更一般的结论：
/•&)在［a,砰上可导，且R(a) • f-Cb'KO,就能保证有一个&a,b),使得/(f)=0.(不必要求
f(z)在［a,切上连续,这是独立的一个定理——导函数的零点定理.)
(12) 答应选(D).
解 矩阵A与B等价，由矩阵等价的定义，存在可逆矩阵P和Q,使得A = PBQ,两边取行列式，得
|A| = lPl • |B| • |Q|.由矩阵P和Q可逆，有|P| • |Q#O,所以当|A|=0时，|B|=0,即选(D).本题也可
根据矩阵A与B等价当且仅当两矩阵同型且r(A)=r(B)这一结论来考虑：当\A\=0时,r(AXn,故
r(BXn,即|B|=0,所以选(D).还可以所用障箱熊尹2季§ E邃牧，手是(A),(B),(C)不正确，故选(D).
• 113 •花孕考研数学_________
真题大全解(数学三)>>〉
注A与B等价，则A经过有限次初等变换可以得到B,初等变换不改变方阵行列式的非零性.
(13)答应选(B).
0, r(A)r} = l — (P{X>H}+P{X《-z}) = l — 2P{X2z},
故P{X2z} = P{X>h}=^，再由u.的定义知工=“坪.
三、解答题:15-23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 7-9 ? x2— sin2 2x x— sin 4x
v / 1 cos x\ r x — sm xcos x r 4 , 4
(15) 解 hml -r-2---------I = hm----------2~^~2----=岫------：-----=lim---------------
JT*O ' sin x x f x sin x a-*o x t 2x
v 1—cos 4x sin 4z 4
=蝴 厂=蚣『
"6 3・
—— s in? 2z
注除了使用洛必达法则处理lim——，——外，还可以如下进行:
J^*o X
'—理竺=lim即):再2三=Hm.(2z+sin 2工)(2工一血 2z)
lim-
x r*O 44Xx4 4x4
x~*0
=J.lim2x+sinJx .]血2了一乎 2z =Mx4>4x23=£.
4 a-M) X X 4 6 3
U( 也
(16)解
D
jj (』衣+寸+丁 ) dr- |J ( Vx2, y2 y )击，
U ( \/x2+y+j/)d<7 = \/]2+一&+ J y^j
其中
D大 以 D*
= SE+o=—,
o
Jo Jo
g ( Vx2+y2+y)dff = jj Vx2+y2dff+ jjyda
D. D. D.
3k
晋,
3+0=
jr
7
16
所以
(17)证
G(x)>0,x6 [a, 6] ,G(a) =G(b) =O,G'(z) =FGr),
从而
'bxF(j?)dr = J xdCG(x)]=xG(x) GCr)dr=—j G(x)dz.
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・ 114 •2004年
° «全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
由于 G(z)N0,z£也故有一I* G(z)dz<0,即］xF(x)dr^0,因此［z/XQdrW I* zg(z)dz・
J a J a J a J a
(18)解(1)耳=|粉」=彪.
(口 )由 R=PQ,得 ^=Q+PQ，=Q(1+*，)=Q(1-Ed).
又由E』= Qt=1,得F=10.当101,于是需V0.故当10VPV20时，降低价格反
而使收益增加.
.m (19)解法1 (I) S($)=^^+万志繇+我渡夜
易见S(0)=0,且蓦级数的收敛域为(一8,+8),在(一8,+8)上逐项求导，得
S,(x)=—H--—--1 =打—H—--1 )=i「就+S&)］,
bS 2 十2X4十2X4X6十 \ 2 2X4 2X4X6 / 孔？十次》」，
因此S&)是满足一阶微分方程的初值问题y=xy+^-，火0) =0的解.
U
(口)方程y'=xy+^的通解为
y = eJ& (J 3广昌& + C)=— — 1+ Ce专,
由初始条件火0)=0,解得C=l.
故/=—夸*+e专一1,因此和函数S(z) = —号+e专一l(—8VzV+8).
乙 - 乙
解法2先解(口)，即先求和函数SG)的表达式.
S('z) = 2X4 + 2X4X6+2X4X6X8+"'(_OO<'r<+oO：)
y (x2)" m (质)y (1) / ］昌 *2 1
T KT= g = S F--另Tf -T-1
„-2 «!
(I)建立SG)所满足的微分方程：
S，(j?)=xeT —x-,初始条件为 S(0)=0,
S(z)+亲+1 •r,即 Sz(x) =xS(x) »S(0) =0.
注 本题也是蒂级数与微分方程的综合题，在(I )中通过暴级数逐项求导得出和函数S(z)满足一个
一阶线性微分方程的初值问题;在(H)中求解这个初值问题得出和函数S&)的表达式.
(20)解 设存在常数奴,技,鼠,使得
加。 +互 。 =，. (*)
1 2 2 +^3«3
记A=(ai,az,a3).对矩阵(A i。)施以初等行变换，得
i -i : r
'1 1 —n 1、 1
(A 危)= 2 q+2 —b—2 : 3 ——► 0 a —b : 1
、0 —3a a-+~26、、—3? <0 0 a—b : 0,
(I)当a=0时，有
1 1 -1 : 1
(A ； p)-> 0 0 —b : 1 9
0 0 0 -1,
于是r(A)^r(A顼)，故方程组(* )无解，即"不能由ai，a2,a3线性表示.
(U )当好。且。以时，心)=,考研电子丽站：fgook. Com
• 115 •7多考研数学__________________o
真题大全解(数学三)〉〉
叫=1_土，处=+以3=0,
故。可由心皿03唯一地线性表示，其表达式为夕=(1一土质+土％.
(ID)当 a=b¥0 时，有
1 0 0 1_■-
a
(A ；夕)- 1_
0 1 -1
a
.0 0 0 0 ,
从而r(A)=r(A ： p)=2,于是方程组(* )有无穷多解，其全部解为
刈=1-土也=土+皿=&，其中k为任意常数.
故。可由a1(a2,a3线性表示，但表达式不唯一，其表达式为
0= (1— )ai + (§+&)a2+如3，其中k为任意常数.
(21)解 当》=0或”=1时,A=E,于是4的特征值为入1=% =・"=心=1，任意非零列向量均为特征
向量.对任意n阶可逆矩阵P,均有P AP=E.下面考虑6尹0且“22的情形.由
A-l —b ,・・ ~b
-b A~1・,• —b
|AE-A| = =[A-l-(n-D6][A-(l-6)K1
_b —b •..A-l
得A的特征值为心= l + (n—1)们万=・“=兀=1一力
(I)对于A = l + 3—1)们考虑齐次线性方程组(AiE-A)x=0,对;liE-A作初等行变换，得
1 0 …0 —1
(n—1)6 —b ,,, -b
0 1 …0 -1
~b (72-1)6 … -b
―A= —►
0 0 …1 -1
、一b —b … (n—1)6
0 0 — 0 0
解得基础解系为& = (1,1,・・・，1)T,所以A的属于“的全部特征向量为
愆】=虹1,1,・・・，1)«为任意非零常数).
对于描=…=摭=1一。，考虑齐次线性方程组(A2E-A)x=0,对义2E—A作初等行变换，得
1 1 … 1
0 0 … 0
x2e—a-^
、0 0 … 0
解得基础解系为
§2 = (1，—1，0,…，0)丁，…，& =(l，0,0，・・・，— l)T，
故A的属于特征值1一6的全部特征向量为蜘最+娅3 +・・・+携”(如么，…总 是不全为零的任意常数).
(U)由(I),令 P=(&档 2,…，&)，则
1 + (〃一1)6
1-b
P1AP=
1—6’
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・116・2004年
＜全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
，b b …b
b b b
注若注意到4=:: : + (1-O)E=B+(1 — 6)E,这里B是秩为1的方阵，则此时通过
、b b …b
B的特征值、特征向量去求A的特征值、特征向量会方便很多.
(22)解(I )P(AB)=P(A)P(B|A)=佥,P(B)=^^=§，则
P{X=1,Y=1}=P(AB)=&；
— 1
P{X=1,Y=O}=P(AB)=P(A)-P(AB)=£；
b
P{X=0,y=l}=P(砌=P(B)—P(AB)=占；
P(X=O,y=O}=P(AB) = l-P(AUB)=l-[P(A)+P(B)-P(AB)]=-|-
Cov(X,Y)=E(XY)—EX • EY=志，
24
E(X2)=P(A)=M，E(y2) = P(B)=#,
4 6
Q R
DX=E(X2)-(EX)2=^,JDY=E(Y2)-(EY)2=^,
_ Cov(X,Y) ... 1 _ 715
Pxr ~ VDX • DY~ 715 ~ 15 '
(IZII) 的可能取值为0,1,2,则
2
p{z=o}=p{x=o,y=o}=专；
p{z=i}=p{x=o,y=i}+p{x=i,y=o}=§；
P{Z=2}=P{X=1,Y=1}=佥.
所以Z的概率分布为
Z 0 1 2
P _2_
3 4 12
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• 117 •7孑考研数学__________________o
真题大全解(数学三)〉》
B- 了>]
f
(23)解 当a=l时,X的概率密度为'
10,其他.
(I)由于 EX= * 晶&=Wp
令 彪=次,解得参数0的矩估计量为R=黑.
p
J- A 1
(n)对于总体x的样本值皿知…工,似然函数为
H ------~~ , x,>l(t = l,2, — ,n)
II
L(B)= ，(工“伊=< (工互…工”)阡
1
〔0, 其他
当工；>1。=1,2,…，")时,L(.)>0,取对数得 In L(0)=nln0-(0+l)、In 与，对。求导数，得
1=1
北In攵(伽=号一 Inn，令北血幺皿此。,解得所 “•丑-"的最大似然估计量为日= —.
中 臼- 耶 Sin., ZJlnX.-
j=l t=l
、
(2^_
(ID)当悠2时,X的概率密度为/u；a)=<工 对于总体X的样本值工”皿,…,*似然函数为
.0,其他，
L(a)= IJ，(z,;a)={(心互…石) xf>a(i = l,2,,••,«),
1 = 1 八
0, 其他.
当Zi>aG= 1,2,•••,〃)时,a越大,L(a)越大，因而a的最大似然估计值为d = min{zi ,互，••・,％}，则a
的最大似然估计量为d=min{ X】,X2,X”}.
注 第三问中似然函数单调(无驻点)，此时要用定义法求其最大似然估计量,这一点在后来2015年
的考题中又出现了.
-
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・118・2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
—、填空题:1 ~6小题,每小题4分，共24分.
⑴答应填2.
解当 时,sin了斜］斜］,所以limzsin工您］=［im顶｛ j = 2.
(2) 答应填xy=2.
解微分方程可写成工dv+v&=0,凑微分得d(工少=0,所以有通解xy=C.代入初始条件了(1) = 2,
得C=2,于是得特解工、=2.
(3) 答应填 2edr+(e+2)dy
解 斜e，+>+『+由(1+少,亲=『+需，
则 孚 | =2e,孚 | =e+2,dz| =2edr+(e+2)dy
d工
|(1,0) I(i,o) I (I.O)
⑷答应填夫
解设矩阵
(2 111)
2 1 a a
A= ,
3 2 1a
、4 3 2 L
对A作初等行变换,化为阶梯形矩阵，得
r i i i
2 111 —— —
2 2 2
2 1 a a
A= —► 0 1 0 -1
3 2 1a
0 0 1 2—2a
-4 3 2 1-
,0 0 0 (a-l)(2a—1),
由于向量组(2,1,1,1), (2,1, a,a), (3,2,1,a), (4,3,2,1)线性相关，故 r(A)<4,于是(«~1) •
(2a—1)=0.由于 从而 a=*.
注”个"维向量的相关性也可通过行列式确定.
(5) 答应填美.
解由全概率公式，得
p{y=2}=史 p{x = i}p{Y = 2|x = i} = S-r,T = ii-
i-2 4 Z 牝
i-2
(6) 答应填 0.4；0. 1.
解 已知随机事件{X=0}与{X+Y=l}相互独立，即
P{X=0,X+V=l}=P{X=0}P(X+Y=l},
而 P{X=0,X+V=1}=P{X=0,Y=1}=q,
P{X=0}=P跻函强祸叶4+。，
• 119 ・。
花垢考研数学_________
P5真题大全解(数学三)〉〉〉
P{X+Y=l}=P{X=O,Y=l}+P{X=LY=O}=a+们
则 q=(0. 4+q)(q+6).
又因为 0. 4+a+6+0. 1 = 1,即。+5=0. 5,由上式易得 a=0. 4,6=0. 1.
二、选择题：7〜13小题,每小题4分，共28分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的.
(7) 答应选(B).
解 /■'(了)=6$2 —18z+12 = 6(j：—2)(j：—1).
当工<1时,/(x)>0,/(x)单调增加，且/(l) = 5—a;
当 IV工<2 时,/(x)<0,/a)单调减少，且，(2)=4—a；
当x>2时,/(x)>0,/(x)单调增加.
当a=4时,/U) = l>0,且lim，G) = -8.由单调性和零点存在定理知,&)在(一8,1)内存在唯
J—*—OO
一的零点，又知此时/'(2)=0,而在(1,2)和(2,+oo)内/(x)>0,/(x)无零点.所以当a = 4时,可保证
六工)恰有两个零点.
当a=2 0t，/(l) = 3>O,/(2)=2>O,由前面讨论的(工)的单调性可知在［1,2］上无零点，在
(2,+8)内也无零点，只在(一8,1)内有一个零点，此时六工)在(一8,+8)内只有一个零点.故a = 2不
符合题意.
类似地，可知当a = 6,8时JG)在(一8,+8)内也只有一个零点.
所以只有选项(B)正确.
(8) 答应选(A).
解 由于在区域D上,f+JW1,所以12/^7>工2+寸>&2+/)给0.
又由于当«€［0,1］时,,cCoOsS “u是单调减少函数，所以COS /了 2 +于《COS (工2 + J ) W COS (宝+ V 2 ) 2.
jj cosi/rcfdirCjJ cos(x2+y )d0,
/"(f ) = —|-<0,由判别函数极值的第二充分条件知,*=0是六工)的极小值点,x=f是/(工)的极大
值点.故选项(B)正确.
(11) 答应选(C).
解排除法.若取/G) = ln工，则/(工)=【,于是可知选项(A)和(B)都不正确.
X
若取六z)=在,则/(工)=£二，于是可知选项(D)是不正确的.
2 -Jx
注选项(C)证明如下:任取x0,^€(0,1).由题意知/XG在［血,切(或［z,z。］)上满足拉格朗日中值
定理的条件,于是有ya)-y(xo)=/(f)(x-xo),因而有
l/(x) |^l/(x0) l + | |x—Xold/(Xo)I + I / (0 I»
又因为|f(E)I是有界的，故顶(z)在(0,1)内有界.
(12) 答应选(A).
解 由矩阵A与A，之间的关系，有AA" =A"A= |A|E,其中E为3阶单位矩阵.由题设A，=4丁,得
AAt=AtA=\A\E.两边取行列式有|A|2=|A|3,从而|A| =0或1,又由题设au=a12=a13> 0知,位于矩
阵01E的第一行第一列的元素为a£ +禳+a& = 3a如夭0,从而| A|夭0,即| A | = 1.于^AAT=ATA=E,故
3a方=1,即a「=孳
(13)答应选(D).
解 设 ^i«i +^A(ai +血)=0,则有(刈 +Ai^2 )。1 +人2处。2 =0.
由于与。2是对应于A的两个不同特征值的特征向量，所以它们线性无关，即必有
/知+人优2=0,
1人2处=。.
于是垢与A(ai+a2)线性无关的充分必要条件是上述关于k19k2的齐次线性方程组只有零解，这等
价于其系数行列式
1义1
=义2尹°，
0 a2
由此知选项(D)是正确的.
三、解答题:14-22小题，共98分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1+z__ _r x+x2 —l+e-x_r x+x2 —l+e-x_r 1 + 2j：—e~x
(14)解 lim lim —工、 hm 2 hm «
x-*0 1 — e~x x i x(l — e ) x-h) xx 2 z lx
i —。一 h z
四二厂=云
=1+
注使用洛必达法则之前首先要对极限进行化简，如采用等价代换、有理化等方法，来减少求导的计
算量，另外对于lim旦三二旦芒二也可采用泰勒公式.
•r*0 - X
(15)解由已知条件可得
+，(
斜-心 子)，
+y
寿=约(于)+汐(于) (子)，
1,
空=_ (义)+/(王)_王'(王
"疽 考研电子版网站：www.pdf2b-ook.com
• 121 ・存争考研数学______________
3 o
归 真题大全解（数学三）〉
畿=/（于）-剪（号）+对（子）+汐'（；）=¥'（十）+¥'（《），
所以，噫7窍=多传）+女（《）+十'（子）-*'（《）-令兮）=咎'（3
(16)解 将 D 分成 Di 与 3 两部分:U = {(x,^) Ix2 +>2<1 ,x>0
0} ,D2 = {Cr,;y) |了2+/2>1,0(3：(1,0<7<1},如图所示.
jj \x2+y2 — \ | ^=]J (1—/—、2)也.+jj (x2+j/2 —Dckr,
Dx D2
D
0 (1 _/_/)&= j cw|
由于 (1 —r2)rdr=-|-
以 0 0
g (x2+j>2 —l)cb = jj* (x2+y — l)dj—jj (x2+jz2 — Det
玲 以
D
J dr J (了之+寸—])心一 d0 P (r^-Drdr
0 J o J 0
_ 耳2 ）&一 _2L))==2Li_-J-_,
'3 8 / 8 3 '
r___1_=2E___1_
所以
8 1
D
S(z)= S(2^Fl-1)-r2",S1(x)= S 2^Pl,SzU)= s
(17)解 设
则 S(x)=Si (x)—S2 (x) ( —1,1).
由于 S3= S
LrSi(z)]，= £ =[兰三2 ,z€( —11),
：£i=?dz=_j：+llni^l,
所以 zSi (x)=
又由于 Si (0)=0,
~ 1+^ln|z|€(0,l),
故 Si(H)=< 2x 1—jc
0, z=0,
1 | 1+x 1
|x|e(o,i),
所以 S(z)=SiCr)—Sz&)=〈 2x n 1—x 1—x2 9
、0, x=0.
j g(i)f (z)dz+ j /(z)g，(i)dz—/(x)g(l)，□:€[0,1],
(18)证 设 F(x) =
则FG)在[0,1]上可导，并且
F，(x)=g(x)/, (工)一f (x)g(l)=/z&)[g(i)—g(l)].
由于i£[0,l]时,/Cr)>0,g'&)N0,所以尸&)<0,即FCz)在[0,1]上单调不增.
又因为 F(l)=「gCr)f &)&+「/(x)g (x)dx-/(l)g(l),
J 0 J 0
而 I* gQx}f，(x)dr =g(x)/(x) I — f /(j?)g，(x)cLr=/(l)g(l)— f
J 0 I 0 J o J 0
故F(l)=0.因此,z£[0,l]时,FCz)N0.由此可知对任何q£[0,1],有
I* g(x)f (x)dz+ f /(j：)g，(x)dz^/(a)g(l).
J 0 J
0
(19)解方程组(ii)的未知量个数大于方程的个数，故方程组(ii)有无穷多解.因为方程组(i)与(ii)同
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-122 •2005年
° <〈〈全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
解，所以方程组(i)的系数矩阵的秩小于3.
1 2 3' q 0 i、
对方程组(i)的系数矩阵作初等行变换 2 3 5 —► 0 1 i ，从而g=2.
、］ 1 a. 、0 0 a—2,
1 2 3、 ‘1 0 r
此时,方程组(i)的系数矩阵可化为 2 3 5 —► 0 1 i ，故(- 丁是方程组(i)的一个基
1 2, 0 0 0.
础解系.
将X1 = —l,x2 = —l,x3 = l代入方程组（ii）可得》=l,c=2或5=O,C=1.
当6=1,c=2时，对方程组(ii)的系数矩阵作初等行变换，有 1 1 2 3b \ （ /I 0 0 i 1 J \ ，故方程组⑴与
2 1
（ii）同解.
兄 0 ：),故方程组(i)与(ii)的解不完
当b=Q,c=l时,方程组(ii)的系数矩阵可化为 101)
2 0 2/ \。 0
全相同.综上所述，当g=2/=1,c=2时，方程组⑴与(ii)同解.
(20)(1)解因祁=
-C5A-1 E„l
Em O \/Em -A-C
PTDP =
-CLL En B *\O En .
-A-1C A
En O B~
(口)证 矩阵B-C5A-C是正定矩阵.
由(I)的结果知，矩阵D合同于矩阵
A
M=
O B-
又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵，从而M的各阶顺序主子式大于零，于是B-C5A 'C的各阶
顺序主子式也大于零.因矩阵M为对称矩阵，故B-C5A C为对称矩阵，故B-C^A-'C*正定矩阵.
(21)( I )解当 01 时,/x（x）=0,故 fx（H）=
10,其他
当 0）dx=
dr=l—•;
i 2
1—号，0(X,—X)]=E(XjX,)+E(彳)一E(XiX)-E(X*)
=EX1EX„+DX-—E(X?)-— y. EC^X.)-—E(XS)-—另 E(X,X,)
n n 7iT-2 ； n n «=1
1 2
-----a ,
n
(m)e[c(Yi +y„)2]=cD(y1+yn)=c[d 匕 +d 匕+2Cov(匕，匕)]
_ (n 2 \ 〃一
—1 I 1 I ff 2—_ 2( 2c)o:
- n I n nJ n
_ n
故 C~2(n~2Y
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• 124 •2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
一、 填空题:1 ~6小题,每小题4分，共24分.
⑴答应填1.
解法 1 设％= ，由于1血妃=1血与尹=1,且lims+i = lim(当姓尹)=1,因此
\ n / k-^ k-»oo z^-ri /
lim a„ = l.
n-»oo
解法
2
lim(呼)=limeX中=史<-心中，而数列{(一 1)”}有界，lim In也=0,所以
71 f 71
n~*°° \ n-»oo «->oo
lim( —1)" ln^-^=0.故=e° = l.
n »»-«»\ n /
»r-oo
(2) 答应填2e3.
解 ，〃&)=e^r(i)=y3 • /H)=e2々)，尸(了)=凿加了 = e2及)・ 2/(x)=2e3/u),
将 1=2 代入，得 r(2) = 2e3.
(3) 答应填 4dr—2dy
解由于嚣=/心一/・8万，套匚=4，第=/心—/)(一2少,制。广—2,所以
dz =4dz—2dy
I (1,2)
⑷答应填2.
解 由BA=B+2E9可知B(A-E)=2E.两边取行列式，得|B(A~E) | = |2E|,即
圆・m
故 |B|=2.
(5) 答应填音.
解 P{max{X,y}0 和 /Xz)单调增加可知 Ay=/(x0+Ax)—/(^o)>O»d>=
f (工。)心>0,所以(C),(D)是错误的.而要判断(A), (B)中哪个正确只
需考查2与也哪个大.我们考查△>>—心的符号；
△、—djy =f(.xQ+^x)—f(.x0')—f，(.x0')Sx
=f (x0 Ar)/,(x0)21r(拉格朗日中值定理)
=，”(工。+0避心)仇(心)2(拉格朗日中值定理)，
其中OVOi/zVl.由/*(x)>0知3—心>0.故(A)正确而(B)不正确.
(8)答应选(C).
解 由lim尊^ = 1可知lim/a2)=0.又心在x=0处连续，故lim/(A2)=/(0),所以/(0) = 0,排
h—0 n A—0 D
除(B),(D),进而有l=lim尊^=lim应£皿=/：(0),故£(0) = 1,但由此并不能保证工(0)存在.
h-^0 tl A-*0 H.
故(C)正确，(A)错误.
(9) 答应选(D).
解法1直接法.由于吏a”收敛，由收敛级数的性质知级数吏琴与力踣1都是收敛的.又由收敛
n=l >1=1 乙 n=l 乙
级数的性质知上面两个级数之和构成的级数s务导旦也是收敛的，故(D)正确.
乙
n=l
解法2排除法.若取劣=(一1)”土,则S %收敛，但S(一1)电=S 土发散，£ 01=力丰
V n n=l n=l n=l v Tl n=\ n=l V 71
发散，且s "n+1 = _ S 二---厂也发散，故(A),(B),(C)都错误，选(D).
n=i »=i vn~rl • Jn
(10) 答应选(B).
解由线性微分方程的解的性质知,C［h(z)-m(z)］是该微分方程对应的齐次方程的解，且含有一
个任意常数，故(Q —队G)］是齐次方程的通解，而乂 G)是原方程的一个特解，由线性微分方程的解
的性质知(B)正确.
(A), (C), (D)中的函数根本不是原微分方程的解，故(A) ,(C), (D)不正确.
应选(B).
(11) 答应选(D).
解设
F(.x,y,X')=f(.x,y')+Xe,,，AaJ线性相关，排除选项(D)・
注 还可以用秩来判定,r(Aai ,Aa2»,,, 9Aas)=r[_A(ai »a2,♦a,)]P{|y一如<1},
知 P j lAzzid\ >P I I,
I bl (71 ) \ (J2 <72 f
O\ 如
所以即cVaz.故选项(A)正确.
bl Oz
三、解答题:15-23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
( 1 • nx'
]_ysin— ] -i _
(15)解(I )g(z)= lim/Gr,少=lim |-----------------=—一~ .
尸+8」 > y+°o (1+x^ arctan x x arctan x
(n)limgG) = lim (1_与止)=lin/rctan 了+垃=临arctan z了+点
i+o u+\ «r arctan x/ 〜 xarctan x z+ x
1+x2 1+%* 2jr_x+2?tx2 _
=蚱-----¥-----=热 2(1+工2)一-〃・
注第一问中求limf(工,少时，了视为常数对待.
y*+8
(16)解
J* \/yr—xydrdy= | d/j』寸一巧dz= — 1；音西(、一了对| ：心=音j； >2心=音.
D 0
(17)证 设 /(x) =xsin z+2cos x+ttx,xG (0,7t)»则
f (x) = sin z+zcos x一2sin x4-7t=xcos x—sin 工+工，
f (z) = cos isin x—cos x=—xsin (0,tt),
故/&)在(o,7t)内单调减少，从而/a)>/(7r)=o,^e(e,7t),因此八r)在(om)内单调增加，从而
当 OVgVAVtt 时，有 f(b)>f(a),即
6sin 6+2cos》+7t5>Qsin q+2cos q+ttq.
(18)解(I)依题意得 y'-—y=ax,
X
则通解为
y = efTdx (|are-f7dldz + C)=ax2+Cx,
将z=l,/=0代入，得C=F从而得女鲍<喉«腕book, com
• 127 •化
争考研敬学__________________________o
真题大全解(数学三)>»
(II )L与直线y=ax的交点坐标为(0,0),(2,2a),则L与直线y=ax围成平面图形的面积
「2 [2 4
S(o)=J {ax—ax2+ax')dx= J (2ax—ax2')djc=-^a,
再由题设知*»=葺,从而a=2.
(⑼解因为 瓯|艾|=虬*忌瓮即7
所以当P<1,即一IVmVI时,原幕级数绝对收敛.
当工=士 1时，藉级数为士 £ 耘耳，显然收敛，故原皋级数的收敛域为[一 1，1].
V (一1)”-好+七_ § (一1)1工 2”
因 n(2n—1) X 白 n(2n—1)
设
(一 商-
1)”-12 1 §(—21
则 r(x)= s n(2n—1) 召 2n—1
n=l
) = 2 M (ff 2”T=p^.
因为 f(o)=o/(o)=o,所以
f (x)= j /"(Qck+f (0)= J。p^2dz=2arctan x9
/(x) = J f (i)dz+/(0) = 2 J arctan tdt
=2(政泊时：寸击业)
=2jrarctan x-ln(l+x2) ,z£[—1,1],
从而 S(x) = 2x2arctan xln(H~x2) [—1,1]・
注 、(一I)7*-】«--- r = arctan z, — 1 W z W 1.应当作为基本公式熟记.
M 2w — 1
(20)解 记A= (O1,a2 ,口3 ,。4)，对A作初等行变换，有
1+a 2 3 4 、 1+a 2 3 4]
1 2+q 3 4 —a a 0 0
―►
1 2 3+a 4 —a 0 a 0
、1 2 3 4+a- -—a 0 0 a>
当。=0时,A的秩为1,因而a19a2 ,。3血 线性相关，此时为a19a2，0h ,。4的一个极大线性无关组，
且 血=2oh, a3 = 3。1, a4 = 4。】・
当。尹0时，再对B作初等行变换，有
1+a 2 3 4] fa+10 0 0 0)
-1 1 0 0 -1 1 0 o
0 1 0 一 一1 0 1 ==c=(r1,y2，r3»r4).
-1 o
-1 0 0 1J l—l 0 0 L
若tz尹一10,C的秩为4,从而A的秩为4,故a】，。2 ,。3，口4线性无关.
若a=-10,C的秩为3,从而A的秩为3,故慎，阪，皿，@线性相关.
由于为必，久为为必必必 的一个极大线性无关组，且ri=—72—r3—r4»于是处血通 为«i»a2,
。3，。4的一个极大线性无关组，且。1 = 一口2—a3—。4・
注 对列向量组(。1 ,。2 ,d3，。4)作初等行变换得到(A，p2 ,03 ,04)，则向量组,a2 ,。3，口4与向量组fll 9
。2，。3，04有着相同的线性关系，即如果fll，。2 是Pl ，怯，04的极大线性无关组，则fit] ,。2，口3是,。2，
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・ 128 .2006年
°全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
a3,at的极大线性无关组，且a,由皿血皿线性表示的系数与&由4" 线性表示的系数相同.
（21）解（I）由于矩阵A的各行元素之和均为3,所以
因为 Aai=0,Aa2=0,即 Aai=0ai ,Aa2=0a2,S[ Ai=A2 = 0 是 A 的二重特征值,ai ,a2 为 A 的属于特
征值0的两个线性无关的特征向量以3=3是4的一个特征值工3 = （1,1,1尸为A的属于特征值3的特征
向量.
, 综上,4的特征值为0,0,3.属于特征值0的全部特征向量为k^+k2a^k,,k2为不全为零的任意常
数），属于特征值3的全部特征向量为处a3@3为任意非零常数）.
（口）将皿,处正交化令
& =01 =
（—1，2, —1）丁,&=。
2
再分别将&，&，。 单位化，得
3
则Q为正交矩阵，且QtAQ=A.
（皿）因qtaq=a,且。为正交矩阵，故
a=gaqt,
J_ __1_ 1） 2 __ -
76 42 成 而1 1
0 1
1
后 o 一飞 0 方=1 1 1
3〕J ± ± 11】】
__1_
.76 42 73. < 73 73 73 .
由 4=gAQT,得 4_.E=Q（A—*E）QT,所以（4_炽）' =e（A—|-E）6eT=（-|-）6-E-
注本题的第一问要求矩阵A的特征值与特征向量，但4未知，根据题目的条件,A的各行元素之和
均为3,转化为矩阵乘法，得到（1,1,1尸为特征向量,3为对应的特征值.
（22）（1）解法1分段公式法.
当OV^Vl时，
fY（y）=fx（S ♦ 1（_石）"+六（石）・ I1 =y , zt^+t * Vr=Tr
当lVyV4时， fY（y）=fx烬）• I（4）' I =十•咨项=凌孑・
冷5
故 1
两’5,
考研电子版*曩：倘
"^book .com
• 129 ・花
亨考研数学______________
Q
真题大全解(数学三)〉>>
解法2 丫的分布函数为Fy(y)=p{y,yY(>)=^zL；
当 v24 时,Fy(y) = l,fY(y)=O.
故Y的概率密度为
莎 °vg，
3 点，5’
、0, 其他.
(□)解 EX= L xfx(x')djc= L -^-xdx+ J。-^■xdjc=-^-9
Ey=E(X2)= j //*x(z)&= J ］号/&+J +〃&=孚，
E(XY)=E(X3)=匚 x3A(x)dz= J： yx3dz+ £ yx3dr=y,
2
故 Cov(X,y)=E(XY) — EX - EY=W・
o
(皿)解 F(-y,4)=p{x<-y,Y<4)=p{x<—^,X2<4)=P(X<—j-,-2=40,故应选择(D).
(6) 答应选(D).
解由于lim5>=limr—+ln(H-ei)"l=oo,所以x=0是一条铅直渐近线.
x x
*0 "0 L I
又由于imy= lim F—+ ln(l+eJ)~| = +oo,所以沿z—+8方向没有水平渐近线.
3C
X-*4-oo X-*+°o [_ _J
又
lim lim「二 ln(l+ex)"|= lim — ln[ex(e-x+l)]
=lim — [^xH-ln(e-x+l)] = l,
JC
jr-»+°o
lim (jz—x)= lim F—+ln(l+ex)—x~|= lim [Ind+e1)—z]
=lim Eln(l+ex) —In W]= lim ln(l+土)=0,
所以沿了―+8方向有斜渐近线y=x.
再看沿z—— 8方向.lim^= lim「£+ln（l + e，）] = 0,所以沿if —8方向该曲线有水平渐近
a-» —OO J—» —oo [_ JC I
线）=0.既然沿1-一8方向有水平渐近线，此曲线当然不可能再有斜渐近线.故共有3条渐近线，应
选（D）.
（7）答应选（A）.
解 本题考查向量组的线性相关性,是一道简单题.事实上，选项（A）中的3个向量之和（。】一＜12）+
（她一。 3）+（。
3—
。】）=0,即这3个向量是线性相关的.至于其他3个向量组是否线性无关,可利用以下结
论检验:设向量组&*,・・・&线性无关，则向量组（为，为，…山）=（佻，知・・・，A）A线性无关的充要条件
是厂阶矩阵A的行列式|A|尹0.对于选项（B）,（C）,（D）中的向量组分别有
1 0 r
（口 1+ 。 2，。 2+ 。 3，。 3+ 口 1）= （"1，＜12，。 3）110,
0 1 1,
‘1 0 ~2
（垢―2。 2，。 2 一 2。 3，。 3—2＜11）=（。 1，。 2，。 3）—2 1 0 ,
、0 — 2 1
'1 0 2、
（。 1+2 。 2，。 2 + 2 。 3，口 3 + 2 。 1）= （。 1 ,。 2，。 3）210,
0 2 1,
1 0 1 1 0 -2 1 0 2
由 1 1 0 =2如 -2 1 0 =一7如 2 1 0 =9尹0,
0 1 1 0 -2 1 0 2 1
可知选项（B）,（C）,（D）的向量组都是线性无关的.事实上，选项（A）的向量组也有相应的表示:
1 0 -r
(fll — 0(2 —a3 ,。 3 ―。 1)= (ttl 9U2，她) -1 1 0
1 0 -1 1 ,
1 0 -1
其中 -1 1 0 =09
0 -1 1
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°，'＜＜全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
即向量组ai—az ,az~-a3血一a】线性相关,故应选(A).
(8) 答应选(B).
A-2 1 1
解 因为|AE—4|= 1 A-2 1 =A(A-3)2,所以矩阵A的特征值为3,3,0.由此可知矩阵
1 1 A-2
A与B不相似，从而选项(A)和(C)错误.
'3 0 0'
又因为实对称矩阵A相似且合同于对角矩阵C= 0 3 0，而矩阵C显然合同于矩阵B,根据合同
4 〔0 0 0.
■关系的传递性知矩阵A合同于B,即选项(B)正确.
(9) 答应选(C).
解设A表示事件“此人第4次射击恰好第2次命中目标”,B表示事件“此人前3次射击恰好命中目
标1次”,C表示事件“此人第4次射击命中”，则A=BC,且B与C相互独立，而
P(B)=Clp(l~p)2,P(C)=p,
故所求概率为P(A)=P(B)P(C)=3p2(l-p)2,选项(C)正确.
(10) 答应选(A).
解 由于(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，则X与丫相互独立.记(X,Y)的概率密度为
了愆,少,可得,&,少=介(工)为3)，故在丫=了的条件下,X的条件概率密度
fx\Y(x\y')=^^^y=fxCx'),
正确选项为(A).
在X=h 的条件下,丫的条件概率密度弓号平=片(少，这正是选项(B),不能选.
Jxl 工)
显然，选项(C)是(X,V)的概率密度.
二、填空题：11〜16小题,每小题4分，共24分.
(11)答应填0.
解 因为当 a+8时sin *+cos z无极限，但有界,所以要分成两个因式考虑：
卜 __八
[.x3 +x2 +1 _ ]. 3x2-}~2jc _ r 6z+2 _ 6
炽 2，+ 工 3 = 」吧° 2^1112+3%2 J452o2xln22+6j; 」电 2 工 11?2+6
而sin ar+cos x是有界变量，所以原式为0.
（12）答应填
，一 一2 〃一 2、2 〃 _一23 • 2 • 3 M _ （ —1）'2“ . “!解月
解法 1 ' （2z+3）2 点（2%+3）3‘， （2z+3）4 ' （2x+3）n+1 '所以
;/"＞（0） =（_1）"2况！
3+
利用泰勒公式展开y = 2工〔3 = T •----土一 = y , S(一 1)”(音了)=吏(一】)” 2”.
解法2
]+寸 »=0
由泰勒展开系数的唯一性，得y3(o)=沪！.
(13)答 应填2（ _《£'+亨£' ）•
X •(-声)+工.十，泠. *+工.(—京)，
解
]也_了也=_卫方，+王工方'+王六=_互顶1'+虫形.
所以
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・133・律争考研数学______________
P5 o
真题大全解(数学三)〉〉〉
(14)答应填二^=.
V 1 I In X
解 令手="，有浆="+了衰将其代入原方程，有
I du 1 3
U~VX & = 〃------u
即-譬=笑两边积分，得
* = lnz+C,
即“2 = ln；+C，也即 J = lnx+C-
X
代入V =1,得 C=l.故 y—
I 工= 1 yi-Fln x
(15)答应填1.
解因为
3
r0 1 0 0 o o o r
0 0 10 0 0 0 0
A3 =
0 0 0 1 0 0 0 0
.0 0 0 0. .0 0 0 0.
故蹇的秩为1.
注计算43,可以直接由乘法公式得到，这是最基本的方法，应熟练掌握.
0 1 0 0、
0 0 1 0
此外，也可由这种方阵幕的规律得到:设4= 测
0 0 0 1
、0 0 0 0
nXn
，0 0 1 0 … o 、
0 0・ ・0 1 ■
0 0 0 1 … o
0 0・ ・0 0
A2 = : : : : ,An=O.
0 0 0 0 … 1
0 0 - ・0 0
0 0 0 0 … 0
.0 0 - -0 0，
、0 0 0 0 ••• 0 . nXn
nXn
应填*
(16)答
解用工和了分别表示随机抽取的两个数，则0VhV1,00,、>0}, 2
由于。与Q都与轴对称，也都与j轴对称，函数x2与/ •;都是x的偶
Vx2+y2 ]
函数，也都是了的偶函数，因此
1P击=4腥曲="；位『如心=§, -Q
(*)
对于(*)式，用极坐标，则z+,= l化为一顽1 晶时+广2化为厂=海点 9 2于是
(fa
¥ Vx2+y2
cos elsin*=2耐: ] dO
cos(°_ 于)
= 2*[ln| sec(°一于)+tan(°一于)|][
=2 矶 In 修+1|—ln| 寿一l|)=2*ln(宾)
=272111(3+2/2),
于是 jj/(x,j>)da=^_+25/21n(3+2y2),
或写成 j]7(z，：y)击=§+4WlnG/?+l).
注 积分公式 j sec xdr = In | sec x + tan x\~\~C.
(19)证(I )设/(x) ,gCz)在(a,5)内的最大值为M,则存在(a,b)，陟(a,6)(不妨设。却)，使
f(a)=M=g(g).
当 a=B 时，取(a,b),有 f(q)=g(rf)B
当 aVR 时，令 h(:c) = f (工)一g(jc),则
A(a)=y(a)—g(a)=M—g(a)^O,
/i (/?)=/(/?) -g(0) =/(£) ~M<0，
则由零点定理知，存在？£[a,仞U(q,5),使得九(m=o,即，3)=g(v)・
(II)因为 h(a) = f(a) — g(a) =。,h(?) =Q,h(b) = f(b) — g(b) = 0,则由罗尔定理知，存在
& £(?,b)，使得九'(&)=九'(&)=0.
再由罗尔定理知，存在汪(&，&阁曾翎翔俗淀戒MS)=g«)・
• 135 •。
花
罗考研数学______________
真题大全解（数学三）＞
因为 *2-二-4=§（土—出），且
（20）解
1 _ 1 _ 1
x—4 （Z—1） — 3 3
^Tl = a-1）+2=1 * ! x-l=j § 卜专）蛙（T，3）
E 2
所以工2_，一4 = 一"S ［法■十写1）'，收敛区间是（一1,3）.
1 1 1
（21）解先求出方程组①的解，其系数行列式1 2 a =（a—l）（a—2）.
1 4 a2
当a尹1且a夭2时,齐次线性方程组①只有零解x=（0,0,0）T,但零向量不是方程组②的解.所以只需
考虑a=l或a=2.
1 1 1〕 f1 1 1〕 f1 o r
当。=1时，对方程组①的系数矩阵作初等行变换：1 2 1 — 0 1 0 — 0 1 0，得其通解
1J 〔0 0〕lo
、1 4 3 0 o.
为X = S（ —1,O,1）T以】为任意常数）.此解也满足方程组②,故方程组①与②的公共解为
x=Z（ —1，0，1）t,
其中为任意常数.
当q = 2时，对方程组①的系数矩阵作初等行变换得
1 1 1 1 1 I' 1 0 0'
1 2 2 ―A 0 1 1 —► 0 11
、1 4 4, 0 3 3, 0 0 0,
故方程组①的通解为x=^2（0，— 1，1）t（奶为任意常数）.再将此解代入方程组②，得处=一1.因而方程组
①与②的公共解为x=（O,l,-l）T.
（22）解（I）由 Aai=Ai«i»知 Bai = （A5—4A3 +E）ai = （At—4A? +1 ）ai = ~2a^,因而向量。i 是 B 的
属于特征值一2的一个特征向量.
因为A的所有特征值分别为;Um，%，故B=/—“3+e的所有特征值分别为义：一找+ 1（£=1,2,3）,
代入数值后得B的特征值为一 2,1,1.
由前面的讨论知。】是矩阵B的属于特征值一2的一个特征向量，故B的属于特征值一2的全部特征
向量为刈％（刈为非零的任意常数）.
又因矩阵A是实对称矩阵，故B也是实对称矩阵，从而属于B的不同特征值的特征向量相互正交.设
6，互，功丁是B的属于特征值1的特征向量，则（而％口3）页=0,即^i-x2+x3=0,解此方程组得其基『
础解系a2 = （l,l,O）T,a3 =（-bO,l）T,故矩阵方的属于特征值1的全部特征向量为奶地+么＜13,其中妫,
么为不全为零的任意常数.
（II ）令 P=（oi，a2，a3）,则
，一2
B=P 1 pi.
L
，1 1 —r
由 p= -i 1 o ,
、i o i ,
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• 136 -2007年
°〈〈〈全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
得其逆矩阵 P-'= y f y J
__1_ _1_ 2_
、T T T,
于是
，__1_ _i_
T ~3 T
、—亏 T T,
(23)解(I )P{X>2Y}= J y&,》)drdv= j； &£ (2-工一少心=J； (z—膏了2)丑=我.
x>2y
(II) /z(z)= J /(X,z—x)dr,
其中
2—x一(z一x), 0V>rVl,0Vz—hVI,
0, 其他
12—z, 00,C>0,所以E(4^)>俨，即E(4f)尹俨，因此4X2不是俨的无偏估计量.
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-137 •2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
一、选择题：1〜8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的.
(1) 答应选(B).
¥=六。)，
解由于 limg(z) = lim
lO jt*O
所以x=0是函数gG)的可去间断点，故应选择(B).
(2) 答应选(C).
解 由于 I* = I* j?d/(x)=J7/(x) I — I, /(J7)dr
J 0 J 0 I 0 J o
=af(a')— I* /(x)dr,
J 0
显然a/(a)等于矩形OBAC的面积，由定积分的几何意义可知］:/(x)dx等于曲边梯形ABOD的面积，所
以，它们二者之差等于曲边三角形ACD的面积.故应选择(C).
(3) 答应选(B).
解法1由于lim么至快顼&° = lim咚二^ = lim 好，而lim 好不存在，所以。(0,0)不存在.
AfO Az—0 ZXZ Ai—0 Z127 Ar-0 ZlT
又由于lim』,y(°e)= lin/'—l = lim快迂=0,所以 ,0)存在.
Ay-o 3 Ar*O Ar*O 3
故应选(B).
解法2采用“先代后求"的方法.
/a,O)=eZ?'=ew，在工=0处不可导，即£(0,0)不存在；
y(O,_y)= ©"■=/，在 v=0 处可导，即 £(0,0)存在.
选(B).
(4) 答应选(A).
解由题设，可将二重积分化为极坐标系下的二次积分
F(.u,v)— JJ』了 *工心=J 步 j f(.rz')dr=vfkr^'iAr,
^UV
所以雾=”(必).故应选择(A).
du
(5) 答应选(C).
解法1因为右=0,故E=E±43 = (E士A)(E干域+室)，即分别存在矩阵E-A+A2和E+4 +
水,使
(E+4) (E-A+A2) =E, (E—4) (E+A+A2)=E,
可知E—4与E+A都是可逆的，所以应选(C).
解法2设2是A的实特征值，由A3=O,得A3 = O^A = O,故A的实特征值只有0,于是E~A的实特
征值只有1.E+A的实特征值只有1,故二者均可逆.
注 解法1是利用定义法，解法2是说明0不是特征值.
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-138 ・2008年
°〈〈〈全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
(6) 答应选(D).
解 直接观察可知各矩阵的秩均为2,亦即各选项矩阵的秩都等于矩阵4的秩.求矩阵4的特征值,
义一1 —2
由 |AE~A|= =(A-1)2-4=(A-3)(A+1),
-2 A-l
得A1=3,A2 = -1.由此可知矩阵A的正惯性指数为1.
类似可得:矩阵(«2 I?)的特征值为一3，—1，正惯性指数为0;矩阵(：]二1)的特征值为1,3,
正惯性指数为2；矩阵(:；)的特征值为1,3,正惯性指数为2；矩阵(I? «2)的特征值为3, —1,正惯
性指数为1.
/ 1 —2 \
由此可知与矩阵A合同的是 o i (事实上，它们还是相似的)，即选项(D)正确.
\—Z 1 /
(7) 答应选(A).
解 由X,Y同分布知,Y的分布函数也为F(z)，记Z的分布函数为FzG)测
FzCr)=F{max{X,W}=P{XWr,YWz}
=P{XVz}P{YVr} (X 与 Y 独立)
=F2(x),
故应选(A).
注 Z=max{X,V}是一维随机变量，故(B)和(D)立即排除，而(C)是Z=min(X,Y}的分布函数.
(8) 答应选(D).
解由 X〜N(0,l)，丫〜N(l,4)知 EX=0,DX=l,EY=l,DY=4.
由于p„=l,所以存在常数a,6,使得P{Y=aX+b} = l,从而EY=aEX+b,得》=1,又
1 = = E(XY)~EXEY_ E[X(aX+&)]—0Xl = a_
f VDXVDY 1X2 一2，
得a=2,故应选(D).
注这是一道选择题，还可以直接利用缶=1说明a>0,排除选项(A), (C).
二、填空题：9〜14小题,每小题4分，共24分.
(9) 答应填1.
解由题设知/(工)在z=±c处是连续的，故有
limy(j：) = lim/(x)=/(c), lim /(x)= lim /(x) =/(—(?),
x-*c
x-*-c~ j-»(—
c) a-*(—c)
即 lim—= lim(jr2 + l)=c2 + l, lim (x2 + l)= lim -3t=c2 + 1,
Z x-^c~ r-*(—c)+ r-*(—c)~ I I
从而—= c2 + l,解得c=l.
c
(10)答应填-yin 3.
小+手)=
解由于
x2+i
令工+手=“,则有/(“)=岩，从而有为)=岂，所以
r倔
由& = 土1心一2)
272 I
=~yln 3.
2 乙
注 正确求出/'(z)是本题的关键考研电子版网站：
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139。
存亨考研数学
真题大全解(数学三)>
(11)答应填于・
解 由于积分区域。关于］轴点轴对称,所以有
:ydzd;y=O』x2dzdj/=4 jj/&心,
D D D}
其中 Di = {(z,jO |x2 +y1,,y^Q}，从而
，玉
]J(X2—= r3cos2^dr=-^- ：(1 +斗2疵=如
0
故应填奇.
注也可借助轮换对称性计算JJrZ&dy,即
D
Jr2drdj/ = + >2)drdj^ = -|- J 也］r2 • rdr -
D D
(⑵答应填手•
解 将原方程变形为虫=—血,积分得ln、=—ln(Gr),从而得通解
y x
1
代入条件＞(1) = 1,得C= 1,故有y=\
注 本题可直接凑微分得d(^)=O,于是xy=C,再定出C=l.本类题型值得考生重视.
(13) 答应填3.
解 由已知,AT的特征值为1，3，*,4AT—E的特征值为3,1,1,从而
|4AT-E|=3X1X1 = 3.
(14) 答应填土
Ze
解 由X服从参数为1的泊松分布，知EX=DX=1,从而E(X，) = DX+(EX)Z=2,于是
F{X=E(X2)}=P{X=2}=^.
Ze
三、解答题:15〜23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) 解法1连续用洛必达法则，有
.. 1 , sin x j:cos x—sin x —sin x v —cos x 1
lim—rln------= hm—n 2 .--------= lim -pz---------= hm----------x—: =— .
1工 x x-o 2x sin x _r-o4sin z十Zzcos ibcosz—Zjrsin x 6
解法 2 limAln 也=lim£ln(l+也—l)=lim£(也—l)=lim^M=^
n? x j^OJC2 X X / ir*OXZ \ X / a-*O J73
[. COS X—1 1
=im-------z—= .
(16)解(I )设 F(x9y,z)=x2-}~y2—z—(p(Jc-[-y+z)，则 I\ = 2x—(p 9I\=2y—(p,F^= — l—(p\
9
(U)由(I)可得， 〃&以)=茬r,
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・140・2008年
°<«全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
du _ —2 （ 1 | dz \ 〃= _2（2x4~l）yz
所以 云—（1+矿
）2
♦十•胛=.
（17）解 曲线巧=1将积分区域D分成如图所示的D］和。
2・
J max（ xy9l} drdjz = xydxdy~\~ Q dxdy
d & W
*2 ■ydy+ J 2 ： dr J d）+「dr「 .1 d;y
2 dr
~2 0 7 0
=学一In 2+l+21n 2=-^+ln 2.
4 4
注 也可采取分块的方法计算jjldzdv，即
A
jjldrdv = jjldrdv-jjldrdy
（18）证（I）由积分的性质知对任意的实数z,有
't+2 ro C2 f/+2
/(x)dr= J f(x)dr+ J /(x)dr+ J /(x)dz.
ft 4-2 rt rt ro
令 s=z—2,则有 /(x)dz= f(s+2)d5= /(5)d5=— y(x)dr,
J 2 J 0 J 0 J £
rz+2 ro r2 ro r2
所以 J /(x)dr = J /(x)dr4- j /(x)dr— J /(x)dr= J /(x)dr.
ft+2 f2 f2 fx
(H)由(I)知对任何的：有 /(5)d5= /(S)d5,记 /(s)d5=a,则 G&) = 2 /(i)dz-a^.
J £ Jo Jo J 0
因为对任意的工，有
G(z+2)—G(z)=2 j /(z)ck~a(x+2)~2J /(,)dz+ar
fH-2 f2
=2 J /(i)dz~2a=2 Jo y(i)dz-2a=0,
所以G(z)是周期为2的周期函数.
注 在第一问中还可借助微分学的理论给予证明：
对于任意的[，有
rt+2 C2 rt+2 C2 〃+2 rz
/(j?)dr = y(x)dr4=^ /(x)dz— y(x)dr = O0F。)= /*(])&— /(x)dr = 0,
J t J 0 J t J 0 J t J 0
, rt+2 [2
由于 F'Q) =/Q + 2)—/Q) = 0,所以 FQ) =L /a)dr-Jo/(x)dz = C(常数).
rz rz rt+2 rz
又 F(0) = /(x)dr — /(x)dr = 0,故 C == 0,所以 /(x)dr = /(x)dz，对任意 t 都成立.
Jo J 0 Jr J 0
(19)僻 设A“为用于第n年提取(10+9”)万元的贴现值，则A” = (l+r)f (10+9n),故
A="W 舲=】。S 而+9 S & = 2。。+9 § 而•
设 SCz）= § 口”,工6（ —1，1），因为
n=l
s（z）=z（£ J）'=z（y^）=（］与*€（--1,1）,
所以 S（亩）=S（&）=420（万元），
故 A=200+9X420=3 980（万元）.
注 本题是通过构造相应幕级数来求常数项级数的和，这是最常用的一种数项级数求和的方法.
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141争考研数学
o
真题大全解（数学三）〉》
（20）（1）证法1记
2a 1
a2 2a 1
a2 2a 1
D„=\A\ =
a2 2a 1
a2 2a
nXn
利用数学归纳法.
当〃=1时,D] =2q,结论成立
2a 1
当 n=2 时,。 2 = =3才,结论成立.
a2 2a
假设结论对于n0；当z G (1, +8)时，/■&) <0,即只有在(0,1)内才有
，(z) >0,而且是/&) >0(因为(0,1)时,/(工)V0,此时f(Q是单调减少的)，故只有在(0,1)内
不等式［兰Ulnz成立.
J1 I
(4) 答应选(D).
解 根据题中函数y=/(x)的图形，可知函数F(z)= £/«)&在除了工=0,工=2两点外可导，且
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・ 145 •7多考研数学__________________________o
抒J真题大全解(数学三)》〉
尸(了)=六工).由此可知：函数F&)在(-1,0)内单调增加，在(0,1)内单调减少，在(1,2)内单调增加，在
(2,3)内恒为常数.由于函数FG)连续，且F(0)=0,所以正确选项只能是(D).
⑸答应选(B).
解法1对任一 n阶矩阵C,有C，C=OC- = |C|E,其中C*是C的伴随矩阵.因此可直接用乘法验证,
排除错误选项.
对选项(A),有
(° 3B, \ /2AA- ° \_八瓦 \
(O
\b O 3BB* > ' 9球'
凡为2阶单位矩阵；
对选项(B),有
(° 2B* )=(6岛 )=6& = O A E49
\b O 6E2 / B 0
E,为4阶单位矩阵；
对选项(O,(D),分别有
O A)(° 3A、 O
o) (O
B O 八 2B* 3BA*
O A\(。 =叩 O
O)
B O 八 3B* V O 2BA*
由此知选项(B)正确.
解法2设 ；)或
(b 9
分别求出Xl,X2,X3,Xi.因为
(O A \ /Xi Xr \ /AA3 AX^ \ IO A I /-6*2 O \
指 O八X3 — bx2)\b o|'o e2)
所以BX】=O,AX4 =0,由已知,A,B均可逆，故Xi =X\ =O；另一方面，有
O A
AX3=BX2= e2,
B O
其中? £ =(-l)2x2|A| • |B|=6,Ez为2阶单位矩阵，故得
B O
X3 = 6A—】 = 6 粉= 3A* ,X2 = 6B1 = 6^| =2B* ,
选(B).
n a /O A \
解法 3 B o =(T)X|A| • |B|=6,则(B o)可逆，于是
A\'= ° A\(° = (。 2X3矿，=(O 2BJ
O’ B O|\B O' O > 、3X2A-i O ' 、3A* O '
选(B).
(6)答 应选(A).
解 对矩阵P作一次初等列变换:将第2列加到第1列上,便可得到矩阵Q.若记£(21(1))*上述初
等变换所对应的初等矩阵，则Q=PE(21(1)),其中
1 0 01
E(21(l))= 1 1 0
.0 0 1.
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・146・2009年
O
«全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
1 O'] (2 1 0
于是 eTAfi =ET(21(1))PTAPE(21(1))= 0 0=1 1 0
1] [o 0 2
.0
故选项(A)是正确的.
(7)答应选(D).
解 事件A与事件B互不相容，即AnB=0,故P(XUE)= 1—P(Af]B) = l,选(D).
选项(A),P(AB) =P(AUB) = 1—P(AUB),因为 P(AUB)不一定等于 1,故排除
选项(B),当P(A),P(B)均不为0时,不成立，故排除.
选项(C),只有当A,B互为对立事件时才成立，故排除.
(8)答应选(B).
解 Fz(z)=p(xy^z)=p{x^|y=o}p{y=o}+F{XY^z|y=i}P(y=i)
=#(P{XYCs|Y=0}+P{XW|Y=1})T(P{00,
所以z=0是唯一间断点.
二、填空题：9〜14小题,每小题4分，共24分.
(9)答应填等.
e—gCOSX e(l — e 】)o r 1 — cos x 3e
解 lim § =— = lim-i------：---------= 3e lim------5----=亏.
l0 /1+了2 — 1 x-*0 1 2 r*0 X L
~3X
(10)答 应填 1+21n 2.
斜愆+吵 +弄』，襄
解法 1 [ln(z+e>) L=2(ln2+$) = l+21n2.
解法2采用“先代后求”的方法.
手| =冉(工, =£(工+ 尸| =[/+叮|
0)| 1
dz |(i,o) az I x=i dr I x=i I h=i
=/+叩 +扁]|
n(l+z) =2(ln 2+y)=21n 2+1.
(11)答应填el
解法1先考查级数吏马丁的收敛半径.由于
n
n=l
。=甄芸M • A触(鬲)'=e
所以级数S马工”的收敛半径为e-1.
»=] n
再考查级数S 仁尹丁”的收敛半径.由于
n=l 11
..I (-1)"+1 n2 I ,
^=!^|(n+i)^，F=irr1,
所以级数S 弓二”的收敛半径为i.
TZi n
由收敛级数的运算性质，知蒂级数S 的收敛半径为e-1.
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• 147 •。
h
孑考研数学
真题大全解（数学三）〉
弓¥需
临|曰=临|(晶)，
解法2
loo | a„ | | \n~rl / e —(— 1)
故慕级数的收敛半径
r=£.
注 设与的收敛半径分别为R",R»，当R* R时，去（％ +九）工”的收敛半径
71=1 ”=1 ”=1
R = min{R.,R}.而如果R = R”此时吏（％ + 6）工"的收敛半径R往往要扩大.
n=l
（12） 答应填8 000.
解由题意知需求弹性为一身偎=e,=0. 2,收益函数为R=pQ〈p）,收益微分为
W ap
dR =pdQ+Qdp=Q（l+若制 dp=Q（l-e,）毒，
由微分的经济学意义知，当Q=1O 000,d力=1时，产品的收益会增加
dR=10 000X0. 8X1=8 000（元）.
（13） 答应填2.
解因为
1 0 k
0
（1,0以）=10 4,
.1 0 k.
所以根据矩阵特征值之和等于该矩阵的迹，即等于其主对角线上元素之和的性质，有1 +左=3以=2.
（14）答应填”伊.
解 ET=E（X-S2）=EX-E（S2）=n/>-n/>（l-/>）=»p2.
三、解答题:15-23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）解 ^（x,y） = 2x（2+3/2）,^（x,^）==2x2j>+ln y+\.
令富U解得唯-驻点（。4）・ '
由于
A=Q（0，£）=2（2+/）| 」=2（2+土），
' X. e Z
8=君（。，+ ）=4衬|（必）=0,
C=e（°，+ ） =（23++）|s）=e，
所以 B2-AC=-2e（2+p-）<0, '
且A>0,从而/（oA）是/（w）的极小值,极小值为/（0，§） = 一 £
（16）解设则王=尹\，故有
ln(l+r) f 1 1 ,
而
J (户一1；« + 1)也=9f[r^l_rTl_(z + l)2]dZ='4'ln(f_1)__4'ln(f+1) + 2(f+l)_C,
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・148・2009年
° ：〈<全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
所以
1 _ln(l+£)| 1 [ l+l 1 | 八
In 1 + 丑一-否T nrzl-2(z+l)+C
=xln 14-
其中C为任意常数.
(17)解法1如图所示，积分区域D的极坐标表示为
°Wr^2(sin °+cos 9)，奇号穴，
-3«
C2(sin^-cos5)
jj {x—y)dxdy = (W I ^(cos 0—sin。)dr
D
3x
=-|- (sin e+cos ^)3d(sin O+cos O')
3w
9 T 8
=§(sin e+cos eV
解法2 作平移变换,将偏心圆转化为标准圆:令1必=x—1,则积分区域D变为D'*+廿$2,
珍u・于是
jj(x — j>)dzdji — J(u — v)dwdv (rcos 0 — rsin O') rdr
U o
D
--8------
3 .
(18)证 (I)令F(x) = /(x) —f(^Z^(a) (x-a),则根据题意可知函数F&)在［a,们上连续，在
(a,5)内可导.又因为F(a)=/(a)
了(b)_
心
f(a)(a_a)=f(a) ,F(b) = /(拿」，》)】"。)。一a) =f(a),
所以由罗尔定理可知，存在(a,b),使得F'(f)=O,即-售工,妲=0,故
f(b)—f(a)=f(&)(b—a).
(n)根据拉格朗日中值定理，得lim心三村 = linZ盆=limf (Q，其中00,0)T,从而
其中G，G为任意常数.
（n）证 只需证明行列式旧，品，晶学o即可.事实上,
-土 -奇- ~i~Ci __1_
-1 +G G -1 _万 0 0
l",&l = 1 奇- G c2 = 1 ~2 G = 1 ~2 c2
-2 2G C3 -2 0 c3 -2 0 C3
=_*尹°，
故如，冬线性无关.
(21)解(I)二次型了的矩阵为
a 0 1 '
A= 0 a —1 ,
.1 —1 a—1,
其特征多项式为
A―a 0 —1
|AE—A|= 0 A~a 1 =(入一a)[义一 (a+1)][人一(a—2)],
—1 1 A-(a-1)
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° «<全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
所以A的特征值为义1=“,人2=^+1,义3=仁一2.
（口）由，的规范形为话+展知,其矩阵A的特征值有两个为正数，一个为零，又Q—20,_/xe~x 9 z>0,
(22)解(I)X
J ―oo 其他'0, 其他.
〔0,
手，OVjyVz,
则丫的条件概率密度
JxkA
0,其他.
（n）y的概率密度
,4-0° e-Jdz, 丁>0, (e~y9 y>09
了丫3）= /(x,jz)dr =
0,其他.
-~ 10, 其他
pixel y)y=q(x),得
人 L/+?(z)yi]+#Ly；+/>(z)ry2]=q&)・
由题设可知
+p(i)3；i =q(z),父+力&),2 =q&)，
从而有
A+^=1.
类似地，将泌1一#必代入齐次方程y+p(x)3；=o,得
A 一、=0,
解得A=y，zz=y.故选项(A)正确.
事实上，当人=—~ ,〃=—~时，bi+冷2不是方程j/+p(z)/=q&)的解，与题设矛盾.故选项(B)
乙 乙
不正确.
同理可知选项(D)也不正确.
当A = y,^ = y时，瑚一Qz不是齐次方程^+/>(^)>=0的解，与题设矛盾.故选项(C)也不正确.
注 设了1以2,…，以是y'+P(z)；y=Q&)的解测对于kryx+kzyz + •••+kTyn来说：
当幻+处+・・・+如=1时/或1+力2、2 -----如”仍是:/+P(])V=QCr)的解；
当幻+^2 +・・・+知=0时以以+妫必+…+^戏”是j/+P(z);y=0的解.
(3) 答应选(B).
解 由于g(zo)是g(z)的极值，故由题设知g'3))=0.记ry=/£gCr)],则学=/(a)g'Cco)=O,从匚
而是函数y=/tg(z)]的驻点.由于
彩={/Tg(z)]g' &)}'=，[g&)] [g' (z) T + / 项工)]g〃G ),
ar
则 彩I—成⑷曲血
由题设知g”(z°)V0,所以，若/(a)>0,则可得到暮|,f V0,这正是函数y=/[g(z)]在驻点了=心
处取得极大值的充分条件,从而可知选项(B)正确.
由此可知，若/UX0,则可推出函数/[g(z)]在工。处取得极小值,故选项(A)不正确.
由上可知在了。处取得极大值，与f'(a)的取值无关，即当r(a)>0和^(aXO时都可能使
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・ 152 •2010 年
° 〈全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
在x0处取得极大值.
例如，取 g(.x') = —Tz,f(.x)=et,j：<>=0,则 g”(工)=—2V0,g(0)= 0 是 g(c)的极大值，/Eg(z)] = eT
在z=0处取极大值，但/,(0)=e° = l>0,故选项(C)不是充分条件.
又例如，取 g(z) = —/ ,/(x) = ln(l+j：) ,xQ — 0,则 /[gCr)] = ln(l—*2)在 x=o 处显然取得极大值,
但此时，(0)= -(]二)2 Lf =-l<0.故选项(D)不是充分条件.故选(B).
(4) 答应选(C).
解由于lim驾* = +8, lim马* = +8,所以当了充分大时有f (z) Vg(z)<7i(r).
■X**+8 J \X) X-*+°og\X)
M 故选项(C)正确.
注要熟悉几个常用的无穷大量:n-*8时,ln"n《*《a”《m《〃(任意a,/3>0,a>l).
(5) 答应选(A).
解 事实上，若向量组I线性无关,则其秩r( I )=r又向量组II的秩r( 口 )£,则向量组同，所线性相关这个结论的逆否命题的考查.可直接选(A).
(6) 答应选(D).
解 因4是秩为3的实对称矩阵，所以A必相似于秩为3的对角矩阵.设4为4的特征值,由A2 +4=0可
得A2+A=0,即义=0或一1.由此可知只有选项(D)是正确的.
注题目中“4为实对称矩阵”这个条件是可以删掉的，不影响答案，但是这样题目难度就加大了，因
为此时判断A〜A就不那么容易了.读者可以利用“A有n个线性无关的特征向量”来完成A-A这一步.
(7) 答应选(C).
解 P(X=l}=F(l)-F(l-) = l-e-1-y = y-e-1.
注本题X的分布函数F(z)在*=0和x=l处间断(其余点连续)，这种随机变量X是混合型随机
变量,利用分布函数计算随机变量X取某一点*的概率公式：
P{X=7}=P{X(l+*L)=0,
*
•>(0)
将了=0代入原方程得 1 di=O,从而 v(0)=0,所以 =-1.
0 x=0
注 [isin i2di =
J o 考研电子版网站5W.P叫ook.com
-153 ・花
罗考研数学__________________________o
真题大全解(数学三)〉》
(10) 答应填苓.
解 由旋转体体积公式，有L p2& = 4 Z(1 ；商工)& =7tarctan(ln 了)|。 =*.
(11) 答应填 pe+<"T>.
解 由弹性公式知专柴=1+〃，整理得加(十+")毒，两边积分得In R=ln p+写+ ln C,从
p3 1 ' J
而 R=Cpe~ ,代入 R(l) = l,得 C =e),故 R(p)=pe〉3f.
(12) 答应填3.
解 由题设，有！ 'w=-1 _ 即 _ 6 + ， 2a 八 = 0, 解得a=6=3.
J =0, L —》=0，
I I x=-l
(13) 答应填3.
解因为
\A+B~1\ = \AE+EB~'\
= \A(B+A~1)B~1\
= \A\ - \B+A~1\
- IB"11
= 3X2Xy = 3.
注 主要利用单位矩阵E恒等变形的技巧.
(14) 答应填/2,0,->/2),F(-2y2,0,y2),
因为在A,D两点处〃=5泻，在B,C两点处u=-575,在E,F两点处u=0,所以卜=5兀焰=一5低
解法2由方程^2+y+z2 = 10可确定z是的函数，代入目标函数〃，得u为小的二元函数.
舞=舛2)寰=0,*=z+2z+2» ~=0.
令
3?—2巧=0,
将g = -f= 代入上式得〈空+2云一 2寸=0,解之，得可能的最值点为
、了2+/+妙= 10,
A(l,V5,2),B(-l,y5,-2),C(l,-y5,2),
D(-l,-V5,-2),E(2y2,0,-y2),F(-2A/2,0,y2).
经计算知 Umax=5y5,umin =—5^/5.
解法 3 设 F(x9y9z9X')—xy¥2yz+X(x2+y2+z2 — 10').令
E=y+2Xr=0, ①
Fy =x+2z+2A^==0, ②
=2y+2Az=09 ③
、F： =x2+j/2+z2 —10=0, ④
我们发现，①• ]+②• {xy-V2yz} +A(x2+y+z2)=0,即
xy+2yz= — 10A.
由连续函数在闭区域上必有最值，只要求出A的全部值(注意A作为一个独立变量是可以取0值的,
很多同学在这里有误解)，代入一10人,最大者为最大值，最小者为最小值.
求人也有两种方法.
第一种方法：
① 请看方程组的前三个方程，你是否发现它们是关于的线性方程组(此时A作为常系数)；
② 又由于约束条件是]2+J+炒= 10,说明z不可以同时为0；
③ 综合以上两点，关于的齐次线性方程组有非零解，于是可得其系数行列式
2A 1 0
1 2A 2 ==0,
0 2 2A
2A 1 0 2A 1 -4A 2A 1 -2 2A 5 0
即⑷= 1 2A 2 = 1 2A 0 =2A 1 2A 0 =2A 1 2A 0 = 2A(4A2-5)=0.
0 2 2A 0 2 2娼也电子良尚站：www.Lpd,f2book. Q 2 1
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• 155 •律季考研教学
杪S真题大全解(数学三)〉〉>
故兀=0,义2=亨，义3 =—亨，于是得 WmKc = 5y5,Mmin=—5^5.
第二种方法：
当义=0时，可直接得到E(2厄,0,—厄),F(-2y2,0,V2),
当义尹0时，③一2 •①。2A(z — 2工)=0=>z=2z,将其代入②艺y=^，再将其代入①n芸+公工=0,
即 4A2^-5x=0,因了尹0,所以 4A2-5=0,得兀=亨,;一季.
故”max = 5泻,“仙=—5泻.
（18）解（I ）当 时，因为 0
J —co
广
=A e-(y~x)，~x，dv = Ae-X，| e- J—
=A y/ne~X ,_8VzV + 8,
所以
1= | = A e-J dr = Ait 9
从而A=+.
当 z€(—8,+8)时,
/VixCyli)
注 本题要充分利用泊松积分& =亨，
（23）解（I）由题意可知
p{x=o,y=o}=&=-|"，P{x=o,y=i}
J D J 。
P{X=0,Y=2}=g=W，P{X=l,y=0}=g=§,
P{X=1,Y=1}=||=条,P{X=l,y=2}=0.
故随机变量（X,Y）的概率分布为
0 1 2
0 _2. 1
5 5 15
2_
1 亏 15 0
(D) P{X=0}=冬 P{X=1}=§,
O «5
号2 1 1
EX=0X +1X*=*，
O o u
P{Y=O}=§,P(Y=1}=条,P{Y=2}=W，
Ey=ox4+ix4+2x^=4i
□ lb lb o
E(XY) = 1X1X^ =孟，
Cov(X9Y)=E(XY)-EXE2Y =1 ^~2x f=~4.
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• 158 •2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
一、选择题：1~8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的.
M （1）答应选（C）.
解 根据泰勒公式，有 sin x = 1 —自 + 0(]3)(i — 0),sin 3x = 3x— x3 +o(x3)(x-► 0),所以
o 乙
/(x) = 3sin x — sin 3x = 4x3 +o(x3)〜4x3(x — 0),于是 c = 4成=3,因此选(C).
(2)答应选(B).
解 根据导数定义Z(o)= lim皿m您，有
A~»0 fl
s S)-2Q =[血件 _ 2 零〕
z-*Q [_ Z X3 J
x-*o x — 0 z x — 0
= /(0)-2/(0) =-/(0),
因此选（B）・
（3）答应选（A）.
解 由于级数S（“21 +叫”）是级数五经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当、““收敛
n"l n=l
时，为（地1 +%）也收敛，故选项（A）正确.
"其余选项（B） ,（C）, （D）均不正确.
oo 8
OO OO
例如，若取％ = （—1）1,则有、（“2l+"）= 2（1 — 1）,这是收敛的，而=、（一1）1是
n=l n=l »=1
发散的，故选项（B）不正确.
又例如，若取u„ = （一 IL ［，则收敛,而级数
n n=l
如—-%）=如土+我）=吏 4n — 1
2n(2n-l)
n-1 XLn 1 Ln， n=l
是发散的（成吉 > 湍吉=土），故选项（C）也不正确・
再例如，取则级数
n
心=言（我一土）=£ 1
2n(2n-l)
是收敛的，而级数吏％ = S -是发散的,故选项（D）不正确.
n=l n-1 n
（4）答应选（B）.
解当 0
从而 dz I = (1+ 21n 2)(dz —djO.
I (i,i)
(11) 答应填、=—2i.
解 方程变形为z + / +于=arctan芝，方程两边对x求导得1 + J =】二2。・
-工 将点(0,0)代入上式得y I =一 2,从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为j/ =一 2z.
I (0,0)
(12) 答应填
O
解 由旋转体体积公式，知所求体积v = 7tf y2djc = 7r[(X2 — Ddz = -|-k.
J
1 J 1 o
(13) 答 应填3".
解 本题考查二次型在正交变换下化为标准形的方法.二次型在正交变换x = Qy下的标准形应为
Ajy? +X2yl +…+义斯，其中人1，万，…，L为矩阵4的非零特征值/为4的秩也是二次型的秩.由题意可知
f =Ai3,i，求出Ai即可.
虽然矩阵A的元素都未给出,但其各行元素之和为3,则3必为A的一个特征值.这是因为
即非零特征值;G = 3,故应填3展.
(14) 答 应填“()~\ • +兀&应)• RCx + jy， ,&，/)] +
/Zitr,;y){/?iCr + /, 1 1> -L 1 . -1>
1
征值，其对应的特征向量为么0 ，加为任意非零常数;1也是A的一个特征值，其对应的特征向量为
、—1,
腿为任意非零常数.
设A的对应于特征值0的特征向量为（心，互,Z3）t，由实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是正
交的,因此有
m = o,
— = 0,,
即 . A解碍〈x2 = k39
g十互=o，
1^3 = o,
于是对应于特征值0的特征向量为^3 [1^3为任意非零常数.
(1 J_
0
厉
72
（口）令。= 0 0 1，则
1 J_
「用 0
-10 0'
0雹=。成= 0 1 0 ,
、0 0 0,
]
—o 0
―忝1
-1 0 0' 72 V2 -1 0 01 72 ‘0 0 r
故 A = Q 0 1 0 QT = 0 0 1 0 1 0 J_ 1 = 0 0 0
0
、0 0 0, 1 用1 n °J 、0 0 Oj 72 .1 0 0,
、0 1 0 ,
,] 1 0、
注 也可令P= 0 0 1测
-1 I 0,
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• 164 •2011 年
<〈全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
10 1 o
(22)解(I)由 P{X2=Y2} - 1 得 P{X2 尹 Y^nO,所以
p{x = o,y =-1} = p{x = o,y = 1} = p{x = i,y = o) = o.
再利用X,Y的边缘概率分布即得(X,Y)的概率分布为
Z -1 0 1
1 1 1
P
3 3 3
(皿)由x,y及z的概率分布计算可得
EX = M，DX = #,时=O,DY = y,EZ = E(XY) =0,
o V
所以 Cov(X,y)= Q,P］a = 0.
(23)解 (I)区域G的面积S = yXlX2 = 1,故(X,Y)的概率密度为
E ={o： &,/)e g,
其他，
所以x的概率密度为
［州 1,
z，
0 < 1 < 1,
J o
fxS = 少心=\「'心，］< Z < 2, = { 2 _*，
1 V1W 2,
Jo In 其他.
0, 其他
(II)因为Y的概率密度为
。〈丁 < 1， 2(1-3；), o W, W I，
0, 其他，
'o, 其他
所以在丫 =火。w 丁 v 1)时,x的条件概率密度为
1、
:y Vz V 2 — y,
/xiyU | 少=吉热=^2(l-y)
片(少
10, 其他.
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• 165 ・2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
一、选择题：1〜8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的.
⑴答应选(C).
解因为了 =泠=凑瓮*'所以1 部=1 四3)挡1)=如土 = 8,故工=1
是曲线丁 = 的铅直渐近线，且是唯一的铅直渐近线.
又因为lim/ = lim号土号=1,所以丁 = 1是曲线jy = 的一条水平渐近线.同时该曲线无斜渐
近线.
综上可知，曲线V =弓土半有2条渐近线.
X — 1
(2) 答应选(A).
解法1根据导数的定义，有
/(0) = lim 心二膂=limG-DeFEU—”)一。
x-0 X — 0 X
=lim^^ • lim[(e2l-2)-(e"r-n)] =/-- 1) !.
x-*0 X l0
解法 2 记 g(z) = (e^ — 2)・・・(e& — n) ,则 /(x) = (ex — l)g(x),于是 f 危)=exg(x) +
(e，一 l)g'&),则 f (0) = g(0) = (—l)i(〃一1)!,选(A).
(3) 答应选(B).
解 由题目给出的二次积分了(产)汕■，可知被积函数是/a2+y),而积分区域是
J 0 J 2cose
D = {(r,。)| 2cosr W 2,0 <号} = {&,)) | J眼一S < y W /4 — ,o $ «z < 2},
所以有[2 d^f y（r2）rdr = I* dzl, + j；2）d^,故应选（B）.
J 0 J 2 cos 8 JO J V 2x-x
（4）答应选（D）・
解 由级数吏（一1）”/Tsin4绝对收敛可知级数占石isin£收敛.又当〃 —8时，历sin±〜—
”=] 〃 «=i n n rfi
左收敛.根据P级数收敛条件有a 一 土 > 1,即a >芸
由正项级数的比较判别法知级数S
又由吏七罗条件收敛知1 >2-a>0,即1 0时0,故
临 # — eZXs =临政〃 一2 + 2cos z)=临 〃 一2 + 2cos i
X4 J^*o x4 X_4
r 2x — 2sin x 1 — COS z 1
lim-------------- lim
x—0 12-
注 解法3采用拉格朗日中值定理的做法具有一般性，诸如此类形式的极限都可以考虑
使用拉格朗日中值定理.
(16)解 由于题设的积分区域。可表示成D = ](了，少|去"因此
=J ex(l — x2)dz
jj eP'drdjy = ^xydy
D
= ^-ex(l —x2) | +1 ^eJdz =----+xex | -
(1(17)) 解 由边际成本的定义知|| = 20 +千新=6 +、.
又 C(0,0) = 10 000,得总成本函数 C(.x,y) = 10 000 + 20z + 苏 + + 专.
(口)解法1由题设知z + y = 50,此时总成本函数为
f(x) — C(x,50 — x) = 10 000 + 20z + 苏 + 6(50 —工)+"，。W 工 W 50,
求导得f (.x)=学一 36.令/(x) == 0,解得唯一驻点x = 24.
又广'(24)=亭> 0,所以工=24是总成本函数/(x)的最小值点.故当甲产量为24件，乙产量为26
件时，总成本达到最小,最小总成本为C(24,26) = 11 118(万元).
解法2 构造拉格朗日函数F(x,y,A) =C(x，3-)+A(x + 3/-50).令
F；= 20 + *了 +义=0,
< F；= 6 + . +人=0,
、F；= ] +、一50 = 0,
解得x = 24,V = 26,故最小总成本为C(24,26) = 11 118(万元).
(皿)解 由边际成本的定义知，所求边际成本为鬃|m=(20 + *)|f = 32.
OX I y=26 \ 乙 / I y=26
其经济意义:当生产甲产品24件,乙产品26件时,生产第25件甲产品需32万元.
(18)证法 1 记 f (工)=xln ? + cos — — 1 V z V 1),则 /Cr)为偶函数.
当 0 ln7-^ + a-sin z)N。，因为六0)=0,
1 — X 1 — X 1 — X
所以f3法0(0 W工V 1). 考研电子版网站:www.pdf2book.com
・169・。
布亨考研数学__________________________
真题大全解(数学三)〉〉>
]—L_ t
由于六工)为偶函数，因此y(工)2 0(-1 <工< 1)，即xln汪| + cos工｝ 1 + y (- 1 2 > 0,从而/(x)单调增加.
又因为f(0) =0,所以当一1 <工< 0时,/(x)<0；当0 ov 1时,/(x)>0,故/(0)是/&)在
区间(-1,1)内的极小值，也是最小值.因为了(0) = 0,所以
/(x) 2。(一 1 V z V 1),即 xln ? + ' + cos 了 > 1 + 岑(—1 V 工 V 1).
i — X Z
注 在证法2中，正确判定/a)在区间(-1,1)内的符号是关键.利用尸G)=(]写.+ sin工也
可以判定 /(x) > /(0) = 2(— 1 V z V 1).
((119) )解法1 联立
f//(x)+/(x)-2/(x) =0,
1 f'Xx) + /(x) = 2ex,
解得 f (x) — 3/(x) =—2e>,因此
/(x)=』&[[(一2寸)广3[&& + (?]= e11 (— 2^ e1 • e-3l(iz + C)= e' + Ce%
将其代入r(x)+/(x) = 2寸,有
(e1 + 9Ce*) + e' + C/ = 2e',.
解得C = 0,于是y(x) = e1.
解法2由于/"G) +/(x)- 2/(x) = 0对应的特征方程是
r2+r-2 = 0,
其根为n = l,r2 =-2,故g) +/W-2/(x) = 0的通解为
/(x) = Qe1 + C2e-21,
且
f (x) = Ci e1 — 2Cze-21 ,/z/(x) = Qe^ + ^e-21,
代入 /■"&) + /(/ =2et 有
Ci e1 + 4C2 e-2x + C] ex + C2 e-2x = 2e',
从而知 Ci = 1,C2 = 0,即有 fix') = e*.
(口)解由(I)知，
> =ysj 伊(_产)血=e"£e-?dz,
所以 y = 2ze> J。e」dz + 1,
y = 2x + 2(1 + 2x2)eJ，J e~l dt9
因为当工V 0时，/<0；当]> 0时/ > 0,又火0)=。，所以曲线的拐点为(0,/(0)),即点(0,0).
1 a 0 0| . ..
q ■。…】。。。〃。
((20) I )解 |人|= 0 0] = 0 1 。一g 0 1 a = 1 — a4.
“ 0 0 1 a 0 1
a 0 0 1|
(U )解法1因为方程组仙=P有无穷多解的必要条件是其系数矩阵A的行列式为0,即| A| = 0,
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・ 170 •2012 年
° <〈〈全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
由(I )得 1 — a4 = 0,从而 a = 1 或 a =— 1.
当a = 1时，
由此知系数矩阵A的秩r(A) =3,增广矩阵的秩") =4,二者不相等，故当a = 1时,方程组Ax = f
无解.
■F 当 a =— 1 时，
1 -1 0 0 1 1 -1 0 0 :1 rl -1 0 0:1'
0 1 -1 0 -1 0 1 -1 0 i -1 0 1 -1 o i -1
(4 /)= —A
0 0 1 -1 0 0 0 1 -1 0 0 0 1 -i i o
、一 1 0 0 1 0 ‘ .0 -1 0 1 :1 . .0 0 0 0 ： 0 >
由此知r(A) =r(A M) =3 < 4,故当a =-- 1时,方程组Ax =A有无穷多解.
—^2 = 1 , —x2 = 0
为求Ax=fi的通解，只需解方程组j丸一心=一1，其对应的齐次线性方程组为，他一而=0,即
,x3 —xt=0, [^3 — x4 = 0,
X!=孔=工3=五，故基础解系为不难求得非齐次线性方程组的一个特解为(0,—1,0,0尸,从
而得通解为
'0 rl'
-1 1
+k
0 1
、0 、L
其中k为任意常数.
解法2 直接对含参数a的增广矩阵(4项)作初等行变换得
1 a 0 0 ： 1 -J rl a 0 0:1
0 1 a 0 : — 1 0 1 a 0 : 一 1
0 0 1 a\ °|* ° ° 1 a i 0
-a 0 0 1 ! 0 J 〔0 -a2 0 1 : -a
rl a 0 0 ： 1 1 a 0 0 : 1
0 1 a 0； -1 0 1 a 0 -1
—► ——►
0 0 1 a '： 0 0 0 1 a \ 0
、0 0 a3 1 • — a — a2 0 0 0 1 — a4 : —a — a2 >
由于当且仅当r(A) = r(A ； /J) < 4时方程组如=。有无穷多解，故有1 一次=。且一a-a2 = 0,得
a =— 1,即a =— 1时方程组Ax=P有无穷多解.
以下同解法1.
((121) )解法1因为2 =『(ATa)=r(4),故可对A作初等行变换，得
-1 0 1 1 0 1 ' rl 0 1 '
0 1 1 0 1 1 0 1 1
—► —►
—1 0 a 0 0 Q + 1 0 0 a + 1
、0 a — 1 .0 0 —a — 1. .0 0 0 >
所以a =—1.
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• 171 •。
化
/考研数学
P5
真题大全解（数学三）〉》
2 0 1-a'
解法2 ATA = 0 1+a2 l~a
<1 —a 1 — a 3 + a2.
由已知 r(ATA) = 2,故 | ATA | = (a + l)2(3 + a2) = 0,从而得 a =— 1.
2 0 2
（H）解由（I）知a=-l,得4小= 0 2 2 ，故矩阵4丁4的特征多项式为
2 2 4,
A — 2 0 -2
1 ae-ata 1 = 0 A — 2 -2 =A(A — 2)(A — 6),
-2 -2 A-4
解得A>A的特征值为义1 = 2,人2 = 6,人3 =0.
2了3 = 0, ■ 1
当人1 =2时,解方程组」一2的=0, ，单位化后为6 =2
得相应的特征向量一 1
、一2*1 — 2x2 — 2x3 =0, 、0 0
4«zi — 2x3 = 0, r
当人2 = 6时，解方程组」4x2-2x3 =0, 得相应的特征向量 ，单位化后为血=*
2
—2xi — 2x2 + 2毛 =0,
—2xi — 2x3 = 0，
胡
当人3 = o时，解方程组{ 一 2X2 一 2x3 = 0,
得相应的特征向量 ，单位化后为a,=
—2xi 一 2xz ~ 板=0,
1 1 1
用斥后
1 1 1
一馄汞京
于是得到正交矩阵 Q = （。 ,。 ，。3）
1 2
.0含-会
在正交变换x = Qy下，二次型的标准形为f=2yl + 6掳.
(22)( I)解 P{X= 2Y) = P{X = 0,Y = 0} +P{X = 2,Y = 1) = y.
（Il）解法1由（X,Y）的概率分布可知,X,Y,XY的概率分布分别为
X 0 1 2 Y 0 1 2 xy 0 1 4
P i i i p i i i p _7_ ± ±
12 T 12 —
EX =音,EV= hECY2) = y,DY = y,E(XY) = y.
所以
故 Cov(X,Y) = ECXY^-EXEY = 0,
2
Cov(X-Y.Y) = Cov(X,y)- DY =-y,
或 Cov(x-y,y)= EE(x-y)y]-E(x-y)>ey
=E(XY) -ECY2) -EXEY+ (EV)2
_ 2 _ 5 _ 2 , __ 2
-3 3 3XI +」3 -
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-172 ・2012 年
°〈〈〈全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
-工
X-Y -2 0 2 y 0 1 2 (x-Y)y -4 0
.1
P T T 2_ 1 p T J_ p J_
12 3 3 T 4
所以 Cov(x-y,y)= E[(x-y)y]-E(x-y)• £Y=-i- i =--|-
(23)( I)解 X与丫的分布函数均为
f&)= h°‘
lo, 其他.
根据X与y的独立性,V = min{X,Y}的分布函数为
Fv(v) = P{min{X,V} < 0} = 1 - P{min{X,Y} > v}
=1-P(X> v,y>v} = 1 一 [1-F(勿了
(1一矿气 v>0,
=Io, 其他，
故V的概率密度为
, (2e~2v, v>0,
fvM = FVM = 甘袖
10, 刀?他.
(□)解法1 U=max{X,Y}的分布函数为
Fu(u) = P(max(X,y} < “} = P{X < u,Y < “} = F2(u)
_ ((1-e-1*)2, m>0,
=0 其他，
故u的概率密度为
住)5 . (“)={ (2 °, e ^(l-e~u), 其 u> 他 0 ， ,
E(U + V) = EU + EV = (l-e-*)d" + j「2t«fda
所以
1*400
= Zue^du = 2.
J 0
解法 2 因为U + V = max{X,Y}+min{X,Y}=X + y,故
E(U + V) = E(X + V) =EX+EY=2.
TT IV X + Y + IX一■ IV X + Y — IX — YI 手旦
注 U = max{X,Y} =-----------5----------,V = =------------------，于是
u
乙
U + V = X + Y,U-V = \ X-Y \ ,UV = XY.
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• 173 •2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的.
(1) 答应选(D).
解 因为lim"院丝 =limg^ = 0,所以(A)正确；
I Z X
因为lim°G)•。任)=1血心.尊2 = 0,所以(B)正确；
x-0 X3 ^*0 J； X
因为1而°3)大°(吏=lim|■区* +区季]=0,所以(C)正确.
z x2 IL z x J
而]im°&)+。(心=lim「匹。+ 竺*^]= 0,故 0(1)+。(]2) = o&),即(D)不正确.
x-»0 X. L % 1 」
注这是考查无穷小量之间的运算(按照定义)，与一般的代数运算不同.
(2) 答应选(C).
解由函数的表达式可知需要考查的点只有三个：0, — 1,1,在其他点处函数均连续.
b 因 织 为 卜 虬 Cz I x + | l x ) l — n 1 | z | = , 皿 zCr ex + ln l lx ) l l — n 1 | 工 | _ = 1 . ^ x(x+D | l n z | | x | _ = , ^ ?x + 1 l _ —''
可知m = 0是函数的一个可去间断点；
]. | z |' — 1 _ r 邱F — ] _ zln | z | _ r 1 _ ]
x(x+ l)ln | x | 出 1(了 + l)ln | z | 21? x(x4- l)ln | x \ 目 z+1 2'
可知i=l是函数的另一个可去间断点；
[. | x |J — 1 _ ]. — ] __ ]. zln | z | _ ]. ] _ __
JS x(x + l)ln I x | — xiS x(x+ Din | x \ x(x+ Din | x \ x +1 '
可知i =一1是函数的无穷间断点，不是可去间断点.
综上可知，选项(C)符合题意.
(3) 答应选(B).
解 由于区域瓦关于直线、=工对称，所以正互丘心=_[[园力1了,从而L =0.类似地可知L = 0,故
选项(A)和(C)不正确.
在区域Q内y-x^G且等号不恒成立，由二重积分的性质可知。(了一 了)&心>0,即匕>0成立=
A
类似地可知。(>一了)&心V 0,即L > 0不成立，排除选项(D).
0.
综上可知，选项(B)正确.
(4) 答 应选(D).
解 与莱布尼茨判别法相比，选项(A)中缺少了级数收敛的必要条件：lima” = 0,所以选项(A)不正
n-^oa
确.事实上，若设a" = 1 + *显然有a” > a”】，但切(一l)f 是发散的，即应排除选项(A).
此外，莱布尼茨判别法中的条件“a” > a心”不是级数收敛的必要条件.例如，交错级数土 一 1 +十一
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・ 174 •2013 年
°〈〈〈全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
夺+••• + ^ -1彳+…收敛，但数列#，1 #，去，…不是单调减少数列.故选项(B)不正确.
0 cn Ln — 1 Z 4 3
选项(C)也不正确.例如，设a.= 忐3>2),由相应判别法知级数£ (展况以+1)收敛，但是
对于任何常数力> 1,极限= 8,不存在.
再看选项(D)的条件.若存在常数p>l,使lim^a, = A(存在)VC(常数)，则当"充分大时，有
n-*oo
厂 00
ng VC,即a” V *,由正项级数的比较判别法知、a,收敛,故选项(D)正确.
n n=l
,(5)答应选(B).
'解 设矩阵A = (ai血，…,a,),C=(为,为,•••,%),其中a“为G = 1,2,•••,*)均为*维列向量.由
题设有
(ai,a2,,",a,)B =(力,为，・"，/,)，(垢02,"・0,)=(力,&，",，,
即矩阵A的列向量组a»血，…,a“与矩阵C的列向量组为，…,能相互线性表出，所以矩阵A的列向
量组与矩阵C的列向量组等价，选项(B)正确.
此外，由于矩阵B可逆，因此其行向量组与列向量组分别都是线性无关的,而矩阵4是任意的"阶矩
阵,且矩阵A的秩与矩阵C的秩相等，因此当矩阵A的秩小于"时，矩阵C的秩也小于n,即矩阵C的行向
量组与列向量组分别都是线性相关的.由此可知选项(C)与选项(D)都应排除.
最后，设
心(1】)(】 】)=f 】)=c,
\o 0八 1 0/ \0 0/
知矩阵A=(l 1)的行向量组(1,1),(0,0)与矩阵C =(：：)的行向量组(2,1),(0,0)是不等价的，从
而选项(A)也是错误的.
注 若=C*,则C的列向量组可由4的列向量组线性表出,C的行向量组可由B的行向量
组线性表出.
(6)答应选(B).
'1 a 1 2 0 O'
解记A = aba = 0 5 0 .因为
、1 a 1. <0 0 0,
A — 1 ~a — 1
| AE —A | = —a \—b —a = A[(A — 2)(A — b') — 2a2],
—1 — a A — 1
所以，当且仅当a = 0时，矩阵A的特征值为2,5,0,且b可为任意常数，即选项(B)是正确的.
而当a = 2,b = 0时，矩阵A的特征值为4, 一2,0,显然A与B不相似，所以选项(C)是错误的,从而可
知选项(D)也是错误的.
选项(A)只是两个矩阵相似的充分条件，并不是必要条件，所以选项(A)是错误的.
(7)答应选(A).
解 P, = 0(2) - ^(- 2) = 20(2) - 1,
pl =中(言)一中( )=20(1) —1,
久=。（^）一 ]（二^）=@（一1）一中（一 f）
易见 Pl〉Pl* 而 p2 > 0. 5 ,力3 VI 0. 5 9 故 p2 > p3,
综上可知，Pl > P2> Pl.
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・ 175 •。
存孕考研数学__________________________
1^5真题大全解(数学三)〉>〉
此外,结合正态分布概率密度曲线的几何特征以及概率A = P(-21 > > />3.
(8)答应选(C).
解 P{X + Y=2} = P{X = 1,Y = 1) +P{X = 2,Y = 0) +P{X = 3,Y =-1}
= P(X= 1}P{Y= l)+P{X = 2}P{Y=0}+P(X = 3}P{y=-l}
-TXT + TXT+TXT~ 6
故应选(C).
二、填空题：9〜14小题,每小题4分，共24分.
(9) 答应填一2.
解 由题意可知/(I) =0,/(1) = 1,则
limn/(-2--) = lim 笑十?. 一_@ .碧=-2/(1) =-2.
loo J \n -f- 2 / io _ 2 7i 十 2
n + 2
(10) 答 应填 2(1-In 2).
解法 1 设 F(z,;y,z) = (z + y)x — xy9则有 1*1= (z + y)x\n(z + y') — y,Ffz= x{z + y)^ ,故
dz =_ FL ___ (z + 30—11(，+ -) — _y
di ~~F[ ~~ xCz + y)3^1 ，
由题设易知z(l,2) =0,所以
解法2在方程两端对］求导，得包+站敏+,)+金］=,,将工=顷=22,2)=。代人得
祭 | =2(1-In 2).
工
d I (1.2)
(11) 答应填In 2.
解 JI 沥(一出)=一果 |「+『
= j「(mi)& = ln±|「= ln2.
(12) 答 应填(G+Cw)e*，,其中G,G为任意常数.
解 该微分方程的特征方程为+ =0,解得二重根r=-|,所以该微分方程的通解为
y = (Ci +C2x)e2X,
其中CM?为任意常数.
(13) 答应填一1. =
解 由向+A„ =0(:,; = 1,2,3)知,4的伴随矩阵4*满足A* =-AT即| A* |= (—1尸| 4丁 | =
-I A |,再由 | A* | = | A |i =| A |2,得 | A F+|「|=0,即 | A |=-1 或 | A |=0.
最后,不妨设an ^0,由行列式的展开定理得
A 口 人
I I = fliiAn + tZi2-Aj2 + 13 13
=一 +房
(flll 2 +*3)V 0.
所以 舍去，故| A
| A | = 0 | =—1.
(14) 答应填2e2.
解法 1 E(Xe2X) = f xe237 • \_ e~^~dr = e2 f x • -^__e(^2)dr,
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• 176 ・2013 年
° *全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
心工•一^e*dr正是正态分布N(2,l)的数学期望，所以
-°° v2tt
=2,
从而 E(XeZX) = 2e2.
解法2 E(Xe2X) 2 dr =
对上面的积分作换元，令t = x-2,则有E(Xe'x)= te 2 at
q 三、解答题：15〜23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1- 1 — cos x • cos 2x • cos 3i
(15)解法1由题设知 lim------------------;---------------= 1.
x-*0 ax
上式左边是“音”型未定式的极限，应用洛必达法则，有
lim】「cos "cos 2工• cos 3工
ax
=Rm sin re • cos 2z • cos 3z + 2cos 工・ sin 2z ・ cos 3z + 3cos z ・ cos 2z • sin 3z
由于当n = 2时，
r
h m
sin x • cos 2jc • cos 3x
—
1
, h
r
m
2cos x • sin 2x • cos 3x 4
, h
r
m
3cos x • cos 2x • sin 9
z aannxx ^ M t anx La i anx^ F
1 — cos x • cos 2x ・ cos 3x 1 + 4 + 9 7 n
因此lim -—-----------——=1,故 q = 7
axn 2a a
^*0
当〃尹2时，显然不符合题意，所以a = Ln =2.
i. 1 — cos x • cos 2x • cos 3x
解法2 hm
ax
Hm 1 — cos c + cos。一 cos z • cos 2。+ cos。• cos 2。一 cos c • cos 2。• cos 3z
ax
1 — COS X I COS z(l — COS 2z) I cos z ・ cos 2z • (1 — cos 3z)]
lim -
ax axn ax
由于当”= 2时,
COS X • -z- • (2z)2
1 — cos x 1- 2 1 r cos 1 ・(1 — cos 2z) 2
lim - —lim 2~ — n , 1 im =lim------------5---------
ax z ax Zq z ax i ax a
cos x ・ cos 2z • § • (3x)2
]imcos*os2x・(l — cos 3冬) 9
lim------------------5---------------
ax z ax 2a
x-0
m .UzT 1 — cos x • cos 2x • cos 31 1+4 + 9
因此 hm----------------------------------— 0 = 1,所以 a = 7；
z ax 乙 a
当〃尹2时，不符合题意，故n = 2,a = 7.
解法3由泰勒公式，知
cos X = 1----x2 +。3 ) , cos 2x = 1 — jc2 + o(〃 ) , cos 3x = 1 — x2 + oCjc2 ),
于是
]血1一 cosz・cos2z・c皿
ax
1- 1 —芸 + o(〃) 奇]2 +。(]2) -yx2 +o(x2) 1
=lim坚土咎
=lim-----
z ax
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・177・。
花
/考研数学______________
真题大全解(数学三)>>〉
所以当n = 2时此极限为工,又因为1 —cosvss&^coslc与or”是等价无穷小量,故有一 =1,即a = 7；
a a
当n^2时，不符合题意，所以n = 29a = 7.
(16)解 Vx = x^dx = ^-9
J
0 o
%
Vy = ita3 — k y6dy = ita
o 7 7
6 g#
或 =2k x •
J o 7.
由 V, = 10V,,即啰=10 •噌，解得 a = 741.
(17)解法1 直线x + y = 8与直线) = 和］=3/分另，交于点
(2,6)和(6,2),直线x=2将积分区域D分为以和D2两部分(见图)，
则有
J|x2(izd3/ = JJj：2dzcl^ +JJx2dzd3/
D D, d,
C2
f3x f6 C8-X
=J drj 专 a^dy + J &J 专 ^c2dy
1 arctan 3 416
(1 + tan 0) arctan ~3~,
1总,利润函数
(18)解 (I)成本函数 C(Q) = 60 000 + 20Q,收益函数 R(Q)=四=60Q
L(Q) =i?(Q)-C(Q) =- + 40Q - 60 000,
故该商品的边际利润 L'(Q)=一卷+ 40.
(口)当P = 50时，销量Q = 10 000,边际利润L'(10 000) = 20,其经济意义:销售第10 001件商品时
所得的利润为20元.
*
(ID)令 L' (Q)=—羔 + 40 = 0,得 Q = 20 000,且 L”( 20 000) < 0,故当 Q = 20 000 件时利润最大，
□UU
此时P = 40(元).
(19)证法1 ( I )因为lim/(x) = 2> 1,所以存在工。> 0,使得/(xo) > 1.
*+oo
x
因为/(X)在［0, +8)上可导，所以/(X)在［0, +8)上连续.
又/(0) =0,在闭区间［0,z。］上，根据连续函数的介值定理，存在a £ (O.Xo),使得/Xa) = 1.
(卜因为函数八^在区间［0，a］上可导，根据拉格朗日中值定理，存在£6(0,a),使得r(a)-f(O) =
a/z($).又因为 f(0) = 0,/(a) = 1,所以存在 f £ (0,a),使得 = 土.
证法2 (I)证明同证法1.
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• 178 -2013 年
° «全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
(H )作辅助函数F(z) = /(工)一L.显然该辅助函数在区间［0,a］上连续，在(0,a)内可导，且
a
F(。)=F(a)=。,由罗尔定理知，至少存在-点* (脆),使得F'(Q =。,即=#
(20)解设矩阵C= (^1互 ，代入AC-CA=B,得方程组
—X2 +az3 = 0,
— 0x1+12+0x4 = 1，
(*)
X1 — X3 — x4 = 1,
= b.
.12—0X3
对该方程组的增广矩阵作初等行变换得
0 -1 a 0 : 0' (1 0 -1 —1 : 1
—a 1 0 a : 1 0 1 —a o i o
1 0 -1 -1U 0 0 0 0 : a + l
、0 1 —a 0 '、'b， 、0 0 0 0 : b
由此可知，当口尹一 1或8尹。时，方程组(*)无解;当。=一 1且b = 0时,方程组(*)有解，此时方程
组为
Xi — x3 — x4 = 1,
女 ，
2 + 13 = 0
求得其通解为x ，其中稣龙 2 为任意常数.
综上，当且仅当G =— 1且5 = 0时,存在满足条件的矩阵C,且
c =
1+力1+灼—及1
，其中E为任意常数.
bi k2
注 本题不能利用逆矩阵法求矩阵C,而要利用“元素法”将矩阵方程转化为方程组去求解.
(21)( I)证法1 记列向量工= .由于
ai Zi'
aiXi +a2x2 +a3x3 = (j?i ,x2 ,x3) a2 =(di 9^2，“3) 12
©3,
类似地+b2x2 +63-^3也有对应的表达式，因此
/(xi 9X2 »x3) = 2(aiXi +a2x2 +a3x3)z + (缶心 +b?工2 +63^3)2
11' 件' Zl'
=2(li，互) (□1 yO,2 ,口 3 ) 12 + &1 ,12 口 3) b2 (bi ，。 3)
a3. 、 13‘ 义，
=2xToaTx + xTflflTx = xT(2aaT-Ffl5T)x,
又(2aaT+fl»T)T = 2aaT+/pT,即2aaT+»T是对称矩阵,所以二次型户对应的矩阵为2aaT + flPT.
证法2 将二次型，展开并写成矩阵相乘的形式，得
■ bl b02
yXl］，心，互)=2(j?i yXz 9 + 6 屹
2，%3)
bl
、缶。 力 bl ,
3 2
:.com
• 179 ・。
花
争考研数学
真题大全解（数学三）〉
而
所以 ，（了 1 ,血，工 3）= （了 1 ，工 2 ，了 3）（2 皿丁 +fl?T）也,
、工
3,
X（2aaT + fl9T）T = 2aaT+fl5T,即2皿丁+摩t是对称矩阵，所以二次型，对应的矩阵为2aaT+fl8T.
（R）证法1记矩阵A = 2aaT + flPT.由于a,p是相互正交的单位向量，即血=俨0 = l,aTfi =
fiTa =0,因此= （2皿丁+摩T）a= 2a,部=（2coT+flJT）/J =/J,即入i =2,万=1是矩阵4的特征值.
又r（A） =r（2anT + fl9T）^r（2aaT）4-r（flST） =2,即4不是满秩矩阵，因此A3 = 0也是矩阵A的特
征值，故二次型/■在正交变换下的标准形为2yl+yl.
证法2同（口）的证法1人=2,A2 = 1是矩阵A的两个特征值,a,。分别是其对应的特征向量.
取单位列向量y,使得其与向量a,p都正交，即aTr = o,pTr = o.
令矩阵Q= （a邠,y）,则。为正交矩阵.在正交变换x = = 31，>2，队）丁）下,二次型
y(zi，工2，" = jT2T(2aaT+/pT)2y = yT Jf （2aaT+#T）（a,/J，r）y
,rT
aTl (2 0 0'
=yT PT (2a，A，0)y = yT o 1 0 y = 2y\ +yl，
vT 0 0 0.
即f在正交变换x=Qy下的标准形为2武+晃.
（22）解 （I）由题设知，当0 VhV 1时,（X,V）的概率密度为
伊，OVyVr,
f（x,y） = fx^frix^y I x） = < x
10, 其他，
当H < 0或X>1时，虽然_/yix3 I X）没有定义,但由于
f dzf fCxty^dy — f irf = f 3x2dx = 11
因此可以认定：当工W 0或工> 1时,六了,少三0.
综上,（X,Y）的概率密度为
'过,
0 V v V 了 V 1,
f{x,y) =< x '
.0, 其他
（n）Y的边缘概率密度为/y（v）=』二人工，7）&.
（0,1）时,片（少= 处-& =— 9/2In y;
y 3C
当 y （0,1）时，/y（jO = 0.
所以Y的边缘概率密度为
— *1”， 0V/V1,
A（y）=
0, 其他.
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-180 ・2013 年
°〈《全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
(m )P{X > 2Y} = jj f(x9y)dxdy = 华dy = 土
x>2y
(23)解(I )EX = . gUdr =们所以0的矩估计量为在=X,其中彳=土£ X,.
(口)设心,如…，务.为样本Xi，Xz，…,X”的观测值，似然函数为
tV 1 ------------ 疽为*, xi > 0,x2 > 0, — ,x„ > 0,
Ud) = H< &口2“*,)3
i_1 〔0, 其他
_ n _ 1 _ “ _
当 e > 0,x2 > 0,…，z” > 0 时，In L(e)= 2nln 0 — 0^------3、In %・
令和ln£0]=辱一 £ 土 = 0,解得e的最大似然估计值为0 = 2n
i = l而
所以0的最大似然估计量为© = -^―
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• 181 •2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
一、选择题:1〜8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是
符合题目要求的.
(1)答应选(A).
解 liman = a=> lim | an | = | a | > 均当 〃 —8 时，||> 垮二故选(A).
n-*oo 乙 乙
注在上述解法中用到以下两条结论：
(1) lim/(x) = A=> lim | /(x) | = | A | ；lim/(x) = 0<=> lim | | = 0；
A% X—% A% A%
(2) lim/(x) = A > B(A V B)n 当 x-*x0 时，六z) > < B).
对数歹 1有类似的结论.
(2) 答应选(C).
解这四个选项显然没有水平渐近线和铅直渐近线，那么就看哪条曲线有斜渐近线.
对于3),1血*危曲'=1,又lim(j> —z) = limsin x不存在，故无斜渐近线.
X. x-^oo
_r~»8 x~*8
对于(B'lim^+sinz = 8,故无斜渐近线.
X
z + sin 1
对于(C),lim-------------- = 1,又lim(y — 1) = limsin — = 0,所以有斜渐近线 y = jc.
x-*oo jC X-^oo X-^°° JC
j：2 + sin —
对于(D),lim-----------& = 8,故无斜渐近线.
X-»OO X
故选(C).
(3) 答应选(D).
解 因为当工->0 时,tan x = £+ §史 +。(了3),显然 a = Q,b = l,c = 0,d = 故应选(D).
<5 o
(4) 答应选(D).
解法 1 易见 g&) = /(0)(l-x)+/(l)^ 是过(0,/(0))及(1,/(1))的直线，故若 r‘(z) > 0,即
/(x)是凹曲线时，有/(x) < g&),直接选(D).
解法2 如果对区间I上任意两点小及常数HO W人< 1),恒有
/C(l-A)x1+Ar2]< (1-A)/(x,)+A/(x2),
则称曲线六工)在I上是凹的.
令 xi = 0,x2 = 1,A = x, A)/(X1)+Xf(.Xz~) = /(0)(l —x) + /(l)x = g&),而
/E(l — A)xj +Xr2] = /(x),
故当 f'\x) N 0 时，曲线是凹的，即 /[(I 一义)五 +Az2] < (l-A)/(JCi)+A/a2),也就是 /Xz) < gGr),
应选(D).
解法 3 令 F(x) = /(x)-g(x) = /(x) -/(0)(1 - x) 则F(0) = F(l) = 0,且 F"Cr)=
r(x)，故当r(x) > 0时，曲线F(x)是凹的，从而FCr)在区间端点了=0,x = 1处取最大值，而F(0)=
F(l) = 0,故F(z) = /(x) —g(x) < 0,也就是，(z) W gG)，应选(D)..
(5) 答应选(B).
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. 182 .2014 年
o
全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
解法1 用行列式的性质与公式计算行列式:
0 a b 0 c 0 0 d c d 0 0
a 0 0 b a 0 0 b a b 0 0
尸if4 C2—C4 =(be — ad) (ad — be) =— (ad — beV.
0 c d 0 0 c d 0 0 0 d c
c 0 0 d 0 a b 0
0 0 6a
解法2 用行列式的性质与按行(列)展开定理计算行列式:
0 a b 0
a b 0 a b 0
a 0 0 b
按
Z
第1
J
列
tz(-l)山2+1 c d 0 + c(-l)4+1 0 0b
0 c d 0 展开
c d 0
0 0 d
c 0 0 d
a b b a b
=—ad + bc =—(ad — be) =—(ad — be')2.
d d c d
(6)答 应选(A).
解 若ai ,a2»a3线性无关，设Aja】+版3)+义2(<^ +施3)=。，即
+ (&义 =人 =姐 IX 2
Alfltl + 1 + /A 2 )fifs = 2 1 + = 0,
从而ai +^a3>a2 +Za3线性无关.反之，若ai +ka3«3线性相关.故ai +ka3,8 +姑3线性无关是s ,a? ,a3线性无
关的必要条件，而不是充分条件.因此选(A).
注 这是一道选择题，可直接取& = I = 0,此时显然向量组叫,az线性无关是向量组a】,a2 ,a3线性无
关的必要非充分条件.此方法仅可用于排除法.
(7)答应选(B).
解 F(A — B) =P(A)—F(AB) = P(A)-P(A)P(B) = P(A)—0. 5P(A) = 0. 5P(A) =0.3,所
以 P(A) =0.6,则 P(B — A) = P(B) — P(AB) =0.5-0. 5P(A) = 0.2,故选(B).
(8)答 应选(C).
解显然* /〜N(0,l),当〜X，⑴，且相互独立，故
X1—X,
S =冬二Xz = 性〜心).
腭
72 | ［
X3I
二、填空题：9〜14小题,每小题4分，共24分. ，
(9) 答应填20-Q.
解 因为R(Q)=史=奁£2,故边际收益R'(Q) = 20 — Q.
(10) 答 应填y - In 2.
解 由题意,D 的面积 S=J：(一± + v)dj=—ln，：+¥|：=* — ln2.
(11) 答应填*.
解 pa:e2idz = -J- ^(e21) = " - - -j-e2" |°=^(2a-l)+4- = T*
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-183 -花
,考研数学
o
真题大全解(数学三)〉〉〉
1
解得
Q 万.
(12) 答应填 +(e—l).
解胸：(孚-事)& = J:时:孚丑-£d或/血=国:兴-腊
(1 — jdd/
=f ex，dr — I, dy + [* ye^dy = f dy = -z-(e— 1).
Jo J 乙
0 J 0 Jo
注一般而言,命题人给出的积分次序如果直接积分困难时,需要我们交换积分次序再计算(如本题
第一项巴适宜先对V积分,第二项事适宜先对Z积分),甚至有些问题即使交换了积分次序仍然无效，则
X
需要考虑转换坐标系再计算.
(13) 答应填一2 0,故一 2 V a V 2.
(14) 答应填g.
on
=1>磊& =部，所以£ =土cnQ2,从而*以=1,故C = £.
解 ECX2)
三、解答题：15〜23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)解本题首先用等价无穷小代换简化分母，再进行未定式求极限.
匚["-1)-币=z ]~：[对次一1)一4
dz
1) —x
lim =lim
Sn(l + £) x
令 “ =-1- .
1 V eu — 1 — u r eu —1 1
' lim------5-----= hm 介 —c ■
7+ U ir*0* Ztt L
(16)解利用轮换对称性.
=』》血(炸2+2)位心
x + y
D
D 丁
=_1_JJ zsin(7cvG：2 +.2) +.sin(7T +'2)&d、
2 d ^ + y
="U'sin(kVx2 -\-y2>) dxdy =身 J：曲 j/sin nrdr -- .
(17)解 因为 f(excos >>)excos 丁，亲=—f (excos 3>)exsin y9
所以 cos 3/ •襄一sin 7 ,务=(4z+e，cos 丁)1 化为/'(Wcos j/)ex = [4/(excos ^)+excos /]寸，即函数/(u)
满足方程 /(u)-4/(u) = u9
y(“)=Ce“一夺一志
该方程的通解为
又由 /(0) = 0,得 C =有故 f(u) = r^(e4M —4w —1).
10 10
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• 184 ・2014 年
° <〈〈全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
(18)解 慕级数的系数a” = S + D3 + 3).
因为lim早呻 =lim户主来件祟=1,所以收敛半径R = 1.
I dn | n-*oo (〃十 1)(〃 + 3)
当x=±l时,级数吏(n + l)(n + 3)和吏("+ 1)(” + 3)(— 1)"都发散，故收敛域为(-1,1).
”=0 n=0
设 SGr) = 2 (» + l)(n + 3)x",x 6 (—1,1),则
”=0
/*工 OO OO OO
S(t)dz =、3 + 3)工出=、(n 十 2)工* +、，
** ° n=Q n—0 7i=0
其中 吏『=W-,
n=0 【 1
£(” + 2"」[以(” + 2炉可=(岂)'=8，
所以 s(*)= [^a^] + (己)=^5^口£(一1，1)・
(19) 证 (I)因为0 0 1 0 -2
,1 2 0 -3. <0 0 1 一3,
—r
则方程组Ar = 0的一个基础解系为 a= ；
.1 .
(n)对矩阵(4: E)作初等行变换得
1 -2 3 -4 ： 1 0 0 100 1 \ 2 6 -1
（A ： E）= 0 1 -1 1 ： 0 1 0 0 1 0 —2 "1 —3 1
—►
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WWW.
• 185 •。
/考研数学
P5真题大全解（数学三）〉
记£ =（巳1，。2，。3），则由（I）可得
2
Ax =e｝的通解为x = _ +知。以1为任意常数;Ar = e2的通解为工=
、0
r-1
1
Ax=e3的通解为x = + k3a,k3为任意常数.
1
、0
2 6 —1)
-1 -3 1
故所求矩阵为B= +以1。以2。以3口），卜盘2成3为任意常数.
-1 -4 1
、0 0 0，
1 1 - 1 0 … 0 1'
1 1 … 1 0 … 0 2
(21)证设4 = : ,B = : : : ，因为
.1 1 - 1 .0 … 0 n ，
A--1 -1 — 1
—1 A- 1 — 1
1 AE —A | = : = (A 一 由 I
— 1 -1 人——1
0 -1
0 -2
I AE-B | = =（人一〃"
0 0 A —n
所以A与B有相同的特征值义1 = 〃，人2 = o（n — 1重）.
由于A为实对称矩阵，因此A相似于对角矩阵
0
A = .. ・
0.
因为心2打一8）=〃（B） = 1,所以B的对应于特征值A2=0的线性无关的特征向量有〃一1个，于是
B也相似于A.故A与B相似.
注（1）由于在考试大纲的范围内仅有矩阵相似于对角矩阵的判定，而没有判定任意两个矩阵相似
的一般性结论，因此，部分考生没有意识到本题应该通过对矩阵A和8是否都相似于同一个对角矩阵的判
定来解题.这也就成为本题在考试中考生所呈现的最主要的错误.
（2）推演过程反映出部分考生对于矩阵的三种关系（矩阵的相似关系、合同关系与等价关系）无法区
分•有考生通过说明r（A） = r（B） = 1来说明矩阵A和B是相似的，更有不少考生利用合同关系来处理本
题,即试图寻找可逆矩阵P建立关系式= B.
（22）解 （I ）凡（少=P{Y^y} = P{X = l}P{Y^y\X = 1） +P{X = 2}P{Y^y\X = 2}
= *P{YVy| X= 1}+*P{Y《刃 X=2}.
U Li
当：y V 0 时,&（,） = 0；
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・186・2014 年
°〈〈〈全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
当 0 V'V 1 时，Fy（v）=乎；
当 1 W v V 2 时，玲（、）=■ + 于；
当」2 2 时,Fy（y） = 1.
所以丫的分布函数为
'0, y<0,
乎， 0OV1,
Fy（j）= <
■y+于，1<、V2,
.1, v>2.
（U）随机变量y的概率密度为
（Q
3，0VvV 1,
片（少=飞，1V〉V2,
.0,其他，
则
EY = Lrx/V（v）dv ——L -|\ydv +L +了心=号.
（23）解 （I）设（X,Y）的概率分布为
由 Cov(X,Y) =E(XY)—EXEY=P{X= 1,丫= 1}一*
eys p{x = i,y = i}-4 i
_ Cov(X,Y) =__________________9_ = J_
Pxr _ VDXDY Z 2 '
9
解得 J = p(X = l,y = 1) = y + y = y,
由此可得 c = b = d = *,a= 6 = -y.
所以(X,Y)的概率分布为
0 1
2 1
0
9 9
J_ _5_
1
9 9
1} = 1-P{X= 1,Y= 1} =*.
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• 187 •2015年全国硕士研究生招生考试数学三解析
一、选择题：1~8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是
符合题目要求的.
(1) 答应选(D).
解 由数列极限存在的充要条件，知limz” = lira% = limr2n+i = a0 lima右=limz^i = lima出=
n-*oc n-*o° n-*oo n-»oo n~»oo
a,可知选项(A),(B),(C)均正确，故选(D).
注本题主要考查数列与其子列的极限之间的关系,是一道基本概念题.
(2) 答应选(C).
解 y(x)在(一8, +oo)内连续，除点h =。外,处处二阶可导=y(x)的可疑拐点是(工)=o
的点及/'&)不存在的点.
/'&)的零点有2个，如图所示.A点两侧，(Z)恒正，对应的点不是)=/(X)的拐点.B点两侧r(x)
异号，对应的点为V = /(x)的拐点.
虽然/(0)不存在，但点x = 0两侧/(x)异号，因而(0,/(0))是、=/(x)的拐点.
因此共有2个拐点.
(3)答应选(B).
解 积分区域D如图所示,D = Di+0，其中
Di = {(r,e)|o1，收敛，£”.与吏q有相同的敛散性，故(B)收敛.
n=l n=l Ji 2 n=l n=l
解法2直接判断(C)发散.S (-机+1 = S 专学+力盈，第一个级数是交错级数,满足莱
布尼茨定理，收敛，第二个级数与调和级数比较，可知其发散，故两级数的和发散，选(C).
(5) 答应选(D).
解 Ax = b有无穷多解0rG4 3) = r(A) < 3.
I A |是一个范德蒙德行列式，值为(a-l) (a—2).如果ag,则| A |壬0,此时Ax = 8有唯一解,(A),
(B)排除类似地，若 d C Q则 r(A ； b) = 3,(0 排除.当 a,d £ Q 时,r(A ; b) = r(A) = 2,Ax = b 有无
穷多解.选(D).
(6) 答应选(A).
解设二次型的矩阵为4,则
2 0 0 '
P-'AP = PTAP =010,
.0 0 -1.
可见ex,e2,e3都是A的特征向量,特征值依次为2,1,-1,于是一e,也是4的特征向量，对应的特征值是
—1.因此
2 0 0'
(TAQ = QtAQ = 0-10,
0 0 1.
从而/•在正交变换X =如下的标准形为2院一展+乂,选(A).
(7) 答应选(C).
解 由于AnAB,BZJAB,故有
P(A) 2PG4B)，P(B) >P(AB),P(A)+P(B) >2P(AB),P(AB)
解法 2 等价无穷小代换.ln(cos z) = ln[l + (cos x— 1)]〜cos x — 1 〜— 0),则
u
_±x2
r ln(cos X) v 2 _ 1
hm------j = hm----x—=—.
z z d z L
(10) 答应填2.
解 由于/(x)连续= | "。)& =寸 可导,/(x) = J。/'(z)dz+2x2/'(x2),将p(l) = 1,
矿(1) = 5 代入，可得 5 = 1 + 2/(1),从而 /(I) = 2.
(11) 答 应填一§(& + 2心).
解 将题干方程两边对H求偏导数得(1 + 3襄)+女+可^ = 0,令工= 0，v = 0,z = 0,得
1 + 3 纠 =0,即剽 =-*.
ox I(o,o) d工 |(0.0) 5
将题干方程两边对球偏导数得 虾归，(2 + 3务)+巧g = 0,令z = 0,r = 0，z = 0,得
2 + 3 弱 =0,即剽
oy I(o,o) dy I(o,o) 5
因此 &L =(案&+融)L =一*丑+2曲)・
(12) 答应填 e-^ + 2e\
解这是二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为
r2+r-2 = 0,
可知特征根为n —— 2,r2 = 1,故通解为;y(工)=。1厂昼+。2^.
由于在x = 0处>(x)取得极值3,可知y(0) = Ci + C2 = 3,且
y(x) =— ZCje-21 + C2eI,y(0) = — 2Ci +C2 = 0，
解得 G = 1，G = 2.故 y(x) = e-21 + 2ex.
(13) 答应填21.
解 因为4的特征值为2, 一 2,1,则B的特征值分别对应为3,7,1,所以|B 1=21.
(14) 答应填夫
解由(X,Y)服从二维正态分布N(l,0；l,l；0),可知 X〜N(1,1),X—1 〜N(0,D,Y〜N(0,l),
且x,y相互独立,X—1与Y也相互独立，故有
p{xy-y =p{x-i vo,y>o}+p{x-i>o,yvo}
=P{X-1 < 0}P{Y> 0} + P{X— 1 > 0}P{Y< 0)
=2[1 — e(0)M(0) = 2XyXy = y.
三、解答题：15〜23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) 解 使用泰勒公式.因为ln(l +了)= h 一夺+音+ oCr3),sin x = x —+o(x3),所以
4 6 0
/(x) = x + aln(l +x) +&rsin x = x + —+ 号)+&p2 +。(了3)
=(1 +a)x+ (b— )〃 + 导x，+o(/2sin t,则
J x2V2 — dr = J4 4sin2^cos2i(fe = j4 (1 — cos 4t)dt =专.
又=亳■，所以jpr(z + /)&d/ =号一争
D
(17) (1)证 由收益R = pQ,得边际收益
州=器=力+。夥=”1一+)•
欲使利润最大，应有MR = MC,即力(1一 +)= MC,所以定价模型为P =史、•.
V 1------
7
(口)解由题设知MC = 2Q,r/ =一若g =痴纭由(I)有力=誓黑，解得P = 30,所以
P
此商品的价格为。=30・
(18) 解 曲线v = /(x)在点(xo,/(xo))处的切线方程为
y = y(x0)+y，(x0)(x —x0) >
该切线与X轴的交点为(xo- #俱，0)・
根据题设条件可知
即丁 = f (工)满足方程y = -i-y2，解得
O
8
y~~8C+x
因为，(0) =2,所以 C=一夺.故/W = 土,了£ L
L4 4 Z
((119) )证 因为函数"(z),。(工)可导，所以
lim 必+普)一住=必(了)，1血。愆 + 质)一。&)= t/G),limu(工 + &r) = u(z),
Ax Ar~»0 /X-T*
从而
心
E«(x)V(x)T = lim 心 + 心)戒王,3 一心
Ar—0 Z\T
= 虱"(z+ 笠_ "(咯a+心)+心 M+ 第一也］
=Hm 心 + 普)一"&). lim* + 心)+ 心)lim 仙 +顼)一。 02
Z\T Ar-*O Az-*0 ZXT
= u (x')v(x') +u(x)v (x).
(口)解 /(Q =八(了况(了)…考研电子版网站：www.pdf2book.com '+%(g2("E；q
• 191 •。
小
/考研数学______________
Pi
真题大全解(数学三)>>;
注 本题考查了考生对导数定义等相关内容的掌握情况，并且考查考生是否具备“举一反三”的
能力.
(20)解(I)由于 A3 =O,因此 | A |3 = 0,故
a 1 0
| A | = 1 a — 1 = a3 = 0,
0 1 a
于是a = 0. .
(II)由于 X-XA2-AX+AXA2 =E,因此(E-A)X(E-A2) = E.
由(I)知
r
1 -1 O' 0 0
E-A = -1 1 1 —A2 = 0 1 0
0 -1 L -1 0 2.
故E-A,E-A2均可逆，因此
2 1 -ll (2 0 -11 C3 1 -2'
X= (E-A)T(E-A2)T = 1 1 -10 1 0=1 1 -1
.1 1 0 J 1.1 0 0 \ [2 1 -1.
(21)解(I)由于矩阵A与矩阵B相似，因此tr(A) =tr(B), | A | = | B 于是
3 + a = 2 +》,2a — 3 = b,
解得 a = 4,6 = 5.
0 2 -3 ri -2 o'
(U)由(I)知A= —1 3 -3 ,B= 0 5 0
、1 -2 4 . 、0 3 1,
由于矩阵4与矩阵B相似，因此
I AE-A | = | AE-B |= (A-l)2(A-5),
故A的特征值为人1 =义2 = 1，义3 = 5.
当A, = A2 = 1时，解方程组(E-A)x = 0,得线性无关的特征向量& =
当…时，解方程组(™，得特征向量卜f
‘2 -3 -1 ‘] 0 °〕
令/= (&,&,&)= 1 0 -1 ，则 一 0 1 ，故p为所求可逆矩阵.
5 J
<0 1 1 . 、0 0
r+oo i
((22) I)解 每次观测中，观测值大于3的概率为P{X>3}=Lc-k » /(x)dx = J3 2Fn2& = *,
故Y的概率分布为P{的=奶=以一 1)(§广(罚\ = 2,3,・“.
(口)解法 1 时=g^-i)(ff2(|)2 = (»(£ 以匚
= (».CfLm = 16.
解法2记匕表示首次成功的试验次数，则匕服从参数为彳•的几何分布，取值为1,2,“・；览表示第
O
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• 192 •2015 年
°〈〈〈全国硕士研究生招生考试数学三解析
1次成功后到第2次成功为止共进行的试验次数，则丫2也服从参数为W■的几何分布，取值为1,2，…，则
O
Y =匕+丫2为第2次成功时的试验次数，取值为2,3,…,所以
EY = E（Yi +Y2） = +死2 =席 + 我=16.
I/O I/O
注在解第二问时多数考生采用了解法1,这就需要求一个常数项级数的和，考生的错误也就集中在
这里,即不知道如何对常数项级数g虹左一1）（¥）*“ （f）2求和.
（23）解（I）由于总体X服从区间伊,1]上的均匀分布，所以EX = 孝.
令守 =X，其中X为样本均值,得d的矩估计量9 = 2X-1.
（U）设Hg,…,H,为样本X.Xz，…,X”的观测值,则似然函数为
, ]
其 — ，。W 而 < 1G = L2,•・•，〃），
L（e）= 11/&，；仞
lo, 其他
_ 冬己 J”，8 < min{a：i，血，…，了”}，工；< 1，
.0, 其他.
由此可知，当。=min{工1，工2,…，而.}时,L（G）达到最大，故。的最大似然估计量为
9 = minlXi,XzLrX”}.
注本题第一问的得分率比较高，但一些考生主要是在EX的计算上出错.第二问得分率不高，最典
型的错误做法:先取对数InL（O）,关于。求导，试图找出函数InL（O）的驻点，然后得到最大似然估计.而事
实上，本题中的似然函数
, ]
, 71---- » 0 < minS ,血，…，工”}，了； < 1，
L（ff） = < （1 —
.0, 其他
是分段函数，且当00,所以
Ji = — ydxdy < j ^/x — ydxdy = Ji = jj ^/x — yAxdy vjj )工一ydzdy = J2,
d2+d4 d2
因而J3〉〉
将Z = 0以=l,z = 1代入以上两式得夺I =—1，鬃| =2,所以&| =—& + 2dy
dy
dz |（0,1） I （0,1） I （O.D
（12）答应填§（1一2广）.
解 e~y2 dxdy = dzd^ = =号[丁官，心
d d,
=—-yjoyd(e->2) =_ y (jC L — 2(了次 dy)
=— (e-1 +e->2 I )= -|-(1 —2e-1),
3 \ I o ' o
其中Di为D中b>0的部分.
(13)答 应填 4 + 3A + 2A2+A3+A4.
A -1 0 0
-1 0 0 A 0 0
0 A -1 0 按第4行
解 4(一 1)中 A -1 0 + 3(—1)出 0 1 0 +
0 0 A -1 展开
0 A -1 0 A -1
4 3 2 人+1
A -1 0 A -1 0
2( — 1)汨 0 A 0 + (A + 1)(-D4H 0 A -1
0 0 -1 0 0 A
= 4 + 34 + 2/+/+/.
（14）答应填言.
解 从第4次取球入手考虑，可以任意选取红、白、黑球中的1个，即C?种可能，此时不妨认为取到了
红球，则前3次必没有红球而只能是白、黑球且有2次是有相同颜色的球，于是有aa种可能（ci表示前3
次的任意2次，。表示这任意的2次可能都取白球也可能都取黑球），于是基本事件个数为qqq,于是取
球次数恰好为4的概率为Q翳 =4-
三、解答题：15〜23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）解由于
lim(cos 2x + 2xsin z)/ 1 =史？ln ( cos 2j~工i~ 2Hsin 工)
a-*0
这里
A — [im ln(cos 2z + 2zsin z) _ ]血 ln(l + cos + 2zsin，一 1)=临 cos 2z + 2zsin z — 1
x-*Q - x4
1 — (2x)2 + *(2工)4 +o(x4) + 2x X----J?3 +o(x3) ]- 1
=lim
1
_亏，
故lim(cos 2z + 2zsin z)* =e3
X—0
dQ _ p
(16)解(I)由题设
Q 心―120 — 力'
所以j f =- 漂萨，可得 In Q = ln(120 f + In C,即 Q = C(120 — p).
又最大需求量为1 200,故C = 10,所以需求函数Q = 1 200 — 10p.
（H）由（I）知，收益函数R=120Q-^,边际收益R'（Q） = 120-§Q.
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全国硕士研究生招生考试数学三解析
° ＜〈＜
当/＞=100时,Q = 200,故当p = 100万元时的边际收益R'(200) = 80,其经济意义:销售第201件商
品所得的收益为80万元.
(17)解当 0 Vz< 1 时，
/(x) = j | t2 —x2 | 1 | i2 — x2 | di
'(/ 一 / ) dz +『Q2 — / )也=Ax3 - x2+±
0
/(X)=
当］＞1时, (x2 — i2)ck = x2 —・
J
0
申一八右
0 V X < 1,
/(X)= < O
所以
X > 1,
I 3
j£r3 _ 丁 2 ______L X2 — 1 — 2
3 3 3 =Z’f+d) = lim-------%~~— = 2,
而 f_(l) = lim
L】- X—1 z+ x — 1
4x2 — 2x, 0 V z < 1,
故 f 3 =
2x9 z > 1.
由广(工)=0解得唯一驻点X = 3■，又r(y)> 0,从而Z = 3■为六了)的最小值点，最小值为
(18)解令 u = x — t9则
I* /(x —i)dz = I, y(u)du.
J o Jo
由题设得
f /(u)da = x\ i/(r)dz +e-x — 1,
J J
0 J 0 0
关于z求导得/(]) = I* /(i)dz —e-x,易知/(0) =—1,继续求导，得f (工)一f (工)=e-x,从而
J
0
/(x) = el*11 (Je^e-J^dz + C)= Cex —分.
由 /(0) =—1,得 C=—$,所以六工)=—y(ex + e-x).
x2»H-4
(19)解 由lim纪土誓笋幽 =",则当|]|vi时儒级数绝对收敛;当|z|>l时,蓦级数
_____X_______
(n + l)(2n + l)
发散.
又当z =± 1时,级数吏/ 4嘉5收敛，所以幕级数的收敛域为[一1，口.
n=sQ \ W I X / \ I -1.)
记六Q = S (” + 1)(2井"e [一1'1]'则
~ _2>rl-l ~ O
f(工)=2、2〃+T—(])= 2Sx2n = ]_.2口 £ (—1,1),
因此/(o) = o,y(o)= o,所以当 (-1,1)时，有
f (x) = j，(i)di = J - jpdz = ln(l +x) — ln(l — x),
/(x) = \ f Q)dz = I* ln(l + z)dz— [ ln(l —Z)dz = (1 +x)ln(l +z) + (1 — x)ln(l — x).
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• 197 •h
/考研敏学
。
真题大全解(数学三)〉〉；
又 f(l) = lim/(x) = 21n 2/( — 1)= lim f(x) = 21n 2,
((l+x)ln(l +x) + (1 — x)ln(l — x), x G (—1,1),
所以 /(^)=
I21n2, x =± 1.
(20)解 (I)对矩阵(4 i P)施以初等行变换得
1 1 1-a: 0 ' 1 1-a : 0 、
(A ■:夕)= 1 0 a ： 1 —> 0 -1 2a-1 : 1
a + 1 1 a + 1 : 2a — 2. 、0 0
一a2 + 2a\a-2.
由方程组 Ax =/» 无解知,r(A ；P)>r(A),即一 a2 + 2a = 0 且 口 一 2 乂 0,解得 a = 0.
(U )由(I )知a = 0.对矩阵(AL4 ； ATfl)施以初等行变换得
-r
‘3 2 2 4 0 0 1 '
(ATA :勺)= 2 2 2 -2 —► 0 1 1 -2
、2 2 2 -2. 、o 0 0 0 ,
'1 ' 0、
所以方程组ATAx = ATp的通解为x -2 + k -1 ，k为任意常数.
、0 .1 ,
A 1 -1
(21)解(I)因为 |AE-A| = -2 A + 3 0 = A(A + l)(A + 2),所以A的特征值为小=一1,
0 0
人2 = — 2,人3 =。・
当人=一1时，解方程组(-E-A)x = 09得特征向量层=(1,1,0)。
当人2 =-2时，解方程组(-2E-A)x = 0,得特征向量& = (1,2,0)。
当A3 = 0时，解方程组仙=0,得特征向量冬=(3,2,2)T.
'1 1 3、 -1
令「=(&，如，&3)= 1 2 2，则 P- AP = -2 ，所以
0 0 2, 0,
2 -1 -2
-1 1
~2
0 0
~2
1 — 2" 2 — 298'
1 — 2100 2 — 2"
0 0 0
(口)因为B2 =曲,所以
B100 = B98B2 = B"A = B97B2A = B98A2 =…=BA",
299 — 2 1-2" 2-298
即 ($，&，&)=(。1，。2，<>3)2】°°一2 1-2100 2 — 2"
、0 0 0
所以
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• 198 ・o 2016 年
°〈〈<全国硕士研究生招生考试数学三解析
ft = (2"-2)01 + (2100-2)«2,
fiz = (l-2")a1 + (l-2100)a2,
氏=(2 - 298)O1 + (2-2")a2.
(22)解(I)区域D的面积S =「(在一的& =吉，故(X,Y)的概率密度为
J o 6
。、/3, Cz,y)e D,
六W,其他.
(H)对于OVz VI,
P{U<0,XV,XQ} = 心=芸〜3,
P{U^0}=P{X>Y}=j-,
P{X^t}=匚&广3心=2威-t3.
由于P{U V 0,X《£}尹P{U v 0}P{X< t}，所以U与X不相互独立.
(HI)当 zVO 时,F(z) = 0；
当 0 Y,X2 时,F(z) =P{U + X(z} = 1.
0, zVO,
~^~z2 — z3, 0《z V 1,
所以 F(z) = {
土+ 2(z-l)* 一言怂一1)2,1 QV2,
、1, 2 > 2.
0, z V 0,
(23)解(I)总体X的分布函数为F&)={茅，0^x<9,从而T的分布函数为
、i,
0 9 t 0,
Ft。)= [fq)]3 ={g,
.1, t^0,
写，owe,
所以T的概率密度为顶丁《)=〈伊
〔0, 其他.
(口) 时=匚瓜(河=匚茅曲=淑，
从而E(aT) = *戒令E(aT)=。，解得a =岑.所以当a = *时,E(aT) = 0.
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1992017年全国硕士研究生招生考试数学三解析
一、选择题：1〜8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的.
(1) 答应选(A).
/— 夺(”)
1 _ 2 -J
解 lim/(x) = lim -—、-七 — 临-------= —= lim6 = b.
Q,OC OJC uQ,
x-*0+ x-»O+ x~*0+ x-^) x-*O
要使f (工)在z = 0处连续，则必须
lim y(x) = lim/(x) = /(0),
x-*0+ x-*0
即我=们从而有ab = *.
故应选(A).
(2) 答应选(D).
解 计算得 祭=、(3 —2工一少,衰=了(3—工一2y).
寰=0,
令〈* 解得四个驻点(0,0),(0,3),(3,0),(1,1).
宇=0,
又因为A =春=—2y,B =务有=3 — 2x—2y,C =眼=—2工,利用取得极值的充分条件，得
在(0,0)处AC-B2 =-9<0,不是极值点；
在(0,3)处AC-B2 =-9<0,不是极值点；
在(3,0)处AC-B2 =-9<0,不是极值点；
在(1,1)处74C-B2 = 3>0,是极值点.
故应选(D).
(3) 答应选(C).
解法1 直接法.
由 /(x)/(x) > 0 知
传尸(工)]=> 0,
则y/U)单调递增，从而尸&)单调递增，由此可知
r(i)>r(-i),
上式两端开方得
I /(D i>i /(-1)i.
故选(C).
解法2 排除法.
取 /(x) = 则 f (x) = ex,/(x) f Ct) = e21 > 0,/(l) = e,/(— 1) = 土.
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• 200 ・° 2017 年
全国硕士研究生招生考试数学三解析
°〈〈〈
显然 /(!)>/(-!), I /(I) |>| /(-I) I,由此可知，(B),(D)都是错误的.
若取/Xz) =-eS 则取(z) =-eS/a)/(x) = e2i>O,/(l) =-e,/(-l)=--
e
由此可知,/(l)
应填芸
（14）答
解 X的概率分布为
X -2 1 3
P ~2 a b
由 EX = 0,则一2 •夺+ 1 * + 3・6 =。+ 3&—1 = 0,又-|-+a + 6= 1.
乙
U
（ a +I b, = * 1 , 一， a = - 4 T»
所以〈 2解得〈
、q + 36 = 1, b =―,
4
故 DX = E（X2） - （EX）2 = E（X2） = （一2）2 号+ F ・a + 32 ・。=2 + ¥ = *.
三、解答题：15〜23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）解 被积函数中含有了,应该先将参数£分离出来，提到积分号前面.
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• 202 .2017 年
°〈〈〈全国硕士研究生招生考试数学三解析
令 x — t = "，则 t = x — u9dt =— du,故
Ji — ,e'dz ex I y/ue^du | y/ue^du /— o
lim h~—— = lim -^―— = lim 上. =lim 岑=
z z+ y/x^ d+ y/x^ d+ _3_ 3
2
(16) 解』打+#+寸)川心=r&广(1+普+”心=】『二&
(arctan —garctan
=斗 』「 屈 |「)=
(17) 解 lim虫 gln(l+ 止)=lim史鱼ln(l+业).【
=| xln(l +x)dz = "I" J ln(l +x)d(x2)
=土孙(1+了)|°一"：差&
=小2-H：(z_l + rk)&
=#ln 2 - 4* (工 一 I)。|' 一 #ln(l +工)I*
Z 4 | o Z I o
—1
' 4*
(18) 解记 /(x) = 1 .- — -k9xe(0,1］，则
mil -rx) x
,()_ (l+i) ln2(l+z)T
J 7 — j:2(1+x) ln2(l+x) ,
记 gCr) = (1+x) ln2(l+x) —x2,则
g (x) = In2 (1 + x) 4- 21n(l +x) — 2x»
g〃(z)= 2［ln(l +z) — z］
当 z € (0,1］时，根据 ln(l +x) < z 知,g〃Cz) < 0,所以 g'Cr) < g (0).
又 g'(O)= o,所以当 X £ (0,1］时,g'Cr) < 0,从而 g(x) < g(0) = 0.
综上可知/(x)<0,即/(x)单调递减.
3= TF=^f/(l)=
由于 史田 挣?［诙土 点Tf
1
f—k > 0,
乙
所以方程/(x) = 0在区间(0,1)内有实根当且仅当< 故常数k的取值范围为
1
1 —上 V 0,
1 bT)-
h2
(19)证 (I )因为何== 0,。那=所以 0 < 1.
记R为矗级数吏3 的收敛半径.当| 1 IV 1时，因为I XT” Klx|"且级数£ I x |"收敛，所以
n=0 n=0
蓦级数Sa.H”绝对收敛，于是(-1,1) £(-/?,2?),故R > 1.
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• 203 .花
罗考研数学_____________
o
真题大全解(数学三)〉〉
(H )因为 S(z) = G (—1,1)),所以 S'&) = = 2 (n + l)a^ix",于是
n=0 n=l n—0
(1 —x)Sz(x) — xS(x) = 2(〃 + 1)。+丁 — 2(〃 + —
n=0 n=0 n=0
oo oo oo
=+ ^(n + Da^ix"—、n2”z”一 ^atr-1xn
n=l n=l n=l
oo
=ai +、、［(〃 + 1)仁什1 — na„—= 0.
n=l
由(1 — x)Sz(x) — xS(jr) =0,解微分方程得 S&)= —・
x
1 —
由 S(0) = a0 = 1,得 C = 1,故 S(x) = —£ (— 1，1)).
x
1 —
((20) I )证 由。3 =。1 +2口2,知。1 ,。2 03线性相关，故r(A) < 2.又因为A有3个不同的特征值,
所以A能相似对角化且至少有2个不为零的特征值，从而r(A) > 2.故厂(A) = 2.
1 1 '
(U)解 由 «1 + 2a2 —。3 =。，知 4 2 =0,故 2 为方程组Ax=o的一个解.
-1,
1
又厂(A) = 2,所以 2 为Ax =0的一个基础解系.
-1
'1' 1 j为方程组Ax=p的一个特解.故Ax=p的通解为
因为。=+口2 +。3 = A 1 ，所以
L
、
k为任意常数.
X
(21)解 二次型/的矩阵为
2 1 —4
A = 1 -1 1
4 1 a
由题设知I 4 | = 0,又
2 1 --4 0 3 —6
1 -1 1 = 1 -1 1 =6 — 3a,
-4 1 a 0 -3 a + 4
于是a = 2.
由于矩阵A的特征多项式为
A-2 -1 4 0 A2 ——A — 3 6-A
IAE — A | = -1 A+l -1 = -1 A +1 -1 =A(A + 3)(A-6),
4 -1 A-2 0 4人+ 3 A-6
因此矩阵4的特征值为一3,6,0.
不妨设义1 = —3,义2 = 6,人3 = 0.
则矩阵A属于特征值“ =-3的单位特征向量为他=会
(b-l,l)T
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• 204 .2017 年
O«<全国硕士研究生招生考试数学三解析
矩阵A属于特征值足=6的单位特征向量为所=
七(—1,0,1)T；
矩阵A属于特征值房=0的单位特征向量为fl,= （1,2,1）T.
1
1 1
席
2
1
故所求的一个正交矩阵为Q=(快,。2,时= 0 席
1
_1,
42 76
EY = \ yf^dy = I* 2y2dy = &
（22）解（I）
J —oo J o O
P{YWEY}=p{YW 夺=.2仙=音.
（n）z的分布函数记为Fz（z），则
Fz（z） = P{Z3 时,Fz（z） = 1.
所以Z的概率密度为
OVzVl,
z,
/z（z）=yz —2, 2VzV3,
、0, 其他
（23）解（I）乙的分布函数为
听
'2 ）-1， 空0,
FZl （z） = P{乙 < z} = P{ | Xi — 〃 IV ?}=
、
0, z VO,
所以Z\的概率密度为
=竽孩，驼弓£乙=
EZi，得。的矩估计量为& = 鎏2
U
(ID)设%，“..，％为样本Z璀嘴节,而"湛值微雌隔数却
• 205 -h
/考研数学__________________________o
真题大全解（数学三）〉〉〉
。，？2，・・・,％ 2 0,
其他，
当。，羽，・・・,％ > 0时,取对数，得In LGr） = nln — nln。一占史好.
/2k
业扩
令 J =--+4S^=0.得。的最大似然估计值为& =史必，所以。的最大似然估
也 。
• i=l V W ,=1
计量为& = J+去卷.
V 71
1=1
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• 206 .2018年全国硕士研究生招生考试数学三解析
一、选择题:1〜8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是
.符合题目要求的.
（1） 答应选（D）.
解按定义考查爬）在，=°处的可导性，即考查既心湾是否存在・
选项（D）中，
__L I |
lim 2 愆）.二询=lim 业顼丘工二1 = lim 一 2_ .',
x-*0
JC JC x-^Q JC
---|z| ］ ----I X I ］
因为lim -------=—岑，皿 -----=4，A（0）^ A<0）,故f（o）不存在.因此选（D）.
X^o* OC Lt X-*0 Z 乙
（2） 答应选（D）.
解已知y（x）在［0,1］上二阶可导,则由带拉格朗日余项的泰勒公式有
六 Z）=/（号）+'（土 ）（了_罚+扣"）（工一罚2,
其中E在H与土之间.上式两端在［0,1］上积分得
& = 〃传）&+"传）（］_ 号）&+!［/（£）（工- 土）2&
故当 0 0 时,/（$）> 0,Mf（y）<0.因此选（D）.
（3） 答应选（C）.
解 这是同一区间［-f ,f］上比较三个定积分，其被积函数均连续，只需比较被积函数的大小•
先利用奇偶函数的定积分在对称区间上的性质，化简
=匚 骨罗& &+匚 咨&=匕此
m =!L
现只需在［一专，号］上比较以下三个函数
1,1+扃7,亨’
易知，
1 V 1 + >/cos x（z £ （—，专）），
因此， 考研电子版网站：www. pdf2book. com
・ 207 .7 /考研数学__________________________o
真题大全解(数学三)〉〉〉
M = f2 Idz < ［2 (1 + -/cos x)dz = K.
-专
J -*2 J
下面证明:当工€ ［一号，学］，且工尹°时,V10e，>l + x^*一工一 1>0.
证法 1 令六工)=e'-x-l,则 fGc) = e^-l./U) = ex>0,故
<0(x<0),
f &)y = o(x = o),=>y(x)> y(o)= o(x 尹 o).
、>0Cc >o)
证法2 令/(x) = ex — x — 1,当工丈0时，用泰勒公式
y(x)= y(o)+r(o)z+*/'(E)H2 = M&2>o(f 介于 o 与 了之间).
U
乙
由以上证明可知1V 1,故N V M.综上可知K > M> N,选(C).
e
(4) 答应选(D).
解 由题设得某产品的平均成本「(Q)= 警，则有
'Ac
g)K'(Q濯 0,
故由题设知
QCgicg) = 0.
故应选(D).
(5) 答应选(A).
1 1 0'
解 设A= 0 1 1 ,A和各选项中的矩阵都不相似于对角矩阵.对这样的两个矩阵，要判定它们
.0 0 1.
相似没有有效的方法，而判定它们不相似是有办法的.因此本题采用排除法较简便.
根据相似矩阵的秩相等，知若4相似于B,则A-E相似于B-E,从而r(A — E) = r(B — E).
0 1 0'
A-E= 0 0 1 ,r(A-£) = 2.
、0 0 0.
而当B取(B),(C),(D)中的任一矩阵时,r(B-E) = 1,从而(B),(C),(D)都排除，故选(A).
(6) 答应选(A).
解法1 一方面,A是分块矩阵(A AB)的子矩阵，因此r(4 AB)>r(A).
另一方面，(A AB)是矩阵4和矩阵(E B)的乘积，即(A AB) = A{E B),因此r(A AB) <
r(A),故AB) =r(A). ..
解法2设C=AB测C的列向量组可由A的列向量组线性表示，所以r(4 AB)=rCA O = r(A),
故选(A).
(7) 答应选(A).
解 由六1+工)=/(1 一z),知概率密度，(工)关于工=1对称，则P{X<1} =0. 5.
由 f f(.x~)dx = 0. 6,知 P{0 V X V 2} = 0. 6,进而 P{0 V X< 1} = 0. 3.
J 0
于是
P{X<0} = P(X<0} --- P{X<1}-P(O/3 a/1 — x2 dr —归 Kx'dr.
J o J o
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• 210 •2018 年
全国硕士研究生招生考试数学三解析
°〈〈
又 令… n 4 sin2^cos2idi = -^-P (1 — cos 4i)dz =茶，
0 o o J o SL
洁]3& = 土，
0 16
腥&心=普(号-1).
所以
D
(17)解 设圆的半径为1,正方形与正三角形的边长分别为丁和z,则问题转化为函数=
Jtr2 +尊在条件2ttx + + 3z = 2(x > 0,、> 0,z> 0)下是否存在最小值.
-•十 l
构造拉格朗日函数Ux,y,z,X)= 血+ 丁 +我 +A(2xx + 4j- + 3z-2),令
=2nx + 2以=0,
也
=2j/ + 4A = 0,
■
为/<
13-L = ^z + 3A = 0,
&
匹
仞 =2itx + + 3z — 2 = 0,
解得
1 2 2^3
Xq = ----------------- ，3>0 —— ，'o — ■ >
k + 4 + 3-/3 7t + 4 + 3。，名2 0｝上必有最小值，则此最小值取自
区域的内部.所以三个图形的面积之和存在最小值，最小值为
/■（血，弘，zo）=―,，;云（m2）.
7t + 4 + 3J3
（18） 解因为 cos2z=g （2n）! -七（&）厂*（ °°，+o0），
1 1 ， _8_ f 8
土=（-土）=-["（-g] =-"（fL
=-S（-l）*1（n+l）x",-l0,所以*=土=岂.
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• 211 ・化
9考研散学__________________________o
真题大全解（数学三）>〉〉
根据拉格朗日中值定理，存在E € （0,工1）,使得土口 =或所以e1-=或故工2 = $.0 <血Vn.
假设0V石H V%成立，则
— 1
ex** =---------= e"0 V v V Ji） >
Z/rH
所以 = 7）,0 < 工讦2 < Xm-
故数列｛与｝单调减少，且有下界，从而数列｛%｝收敛.
设limr, = a，得ae" = e• — 1.易知a = 0为其解.下证其唯一性.
n-^oo
令 /（x） = xex — ex +1,则 f （x） = xex.当］> 0 时,，（x） > 0,函数顶&）在［0, +°°）上单调增加,
所以a = 0是方程aefl = efl - 1在［0, +oo）上的唯一解，故limz” = 0.
n-»oo
（20）解 （I ）/6，互口3）= 0当且仅当
上1 — 了2 + 13 = 0,
• 0 1 -2 -1 -1 -1
、0 0 0 0 0 0 ,
记 B= (ft,ft,ft),由于
—6 3 4 4 '
2 =0»A -1 =Qi，A -1 =彪,A -1
、1 . .o . 0 . .0 ,
因此AX = B的解为
'3 — 6知 4一6处 4一6么、
X = 一 1 + 241 —1 + 2^2 —1 + 2^3，其中如妫以3为任意常数.
知 &2 “3 ,
由于I X | =奶一么，因此满足AP = B的可逆矩阵为
3 — 6^1 4 — 6^2 4 — 6^3
P= —1 + 24】一 1 + 2处 一1 + 2么，其中名以2,么为任意常数且灼尹么.
、互1 &2 力3 ,
(22)解 (I )由题设可得
EX = (-1) X y +1 X -y = 0,E(XZ) = E(X2Y) = E(X2) • EY = A.
所以
Cov(X,Z) = E(XZ) — EXEZ = A.
(n)z的所有可能取值为全体整数，且
P(Z= 0} = P{Y=0} = ef
对于〃 =± 1, ±2,…,有
P{Z = n} = P{XY = n} =P(X = p^pY = |” | )
= P{X =尚}.P{Y = | 如 |}
Ain|
一 e 2・| n |「
（23）解（I ）设xx,x2,-,xn为样本观测值，似然函数为
L（a）= II/（-r. ；ff）=矗是浏新,
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・213・化
玄考研散学__________________________o
料J真题大全解(数学三)〉〉〉
则 In L((y) =— nln 2 — nln 0 ——2 I n I ・
令d[lnL(g)]=_A + 1 | 与. | = o,解得a=±2 |虹,所以&=鼻史 |X, |・
&T O G t=i 〃 t=i 〃 j=i
(口)由于
E( | X | ) = x | /(x;cr)dr = f | x \ 罗 dr = —f xe-^dr = o,
I* |
J —oo J —oo uQ 。 J 0
所以 E& = 2£；E(1 X,. =E(| X
I) I) =6
n i-1
又因为
E( X 12) = E(X2) = f x2/(x?(y)d2： = f x2 -y-e'^dr = x2e-^dr = 2a2,
I
D(| X =E(| X [E(| X l)丁 =/,
I) |2) —
所以 Di = 4SO(| X, |) = P(l X |) = A
n i=i 〃 n
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• 214 •2019年全国硕士研究生招生考试数学三解析
一、选择题:1〜8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是
符合题目要求的.
1. 答应选C.
解 当I-►。时—tan X〜—那，由题意知成=3.应选C.
2. 答应选D.
解 令 /(X)= / — 5了 + 如则 f (j?) = 5x4 — 5,令 f (工)=0,得]=± 1.
当 x<-l 时,fCr) > 0；当一 1 V z V 1 时,/(]) V 0;当 x>l 时,/(]) > 0.
又lim了(工)=—8, lim f(x) = +8,方程/ — 5x + ^ = 0有3个不同的实根，则
x » OO H .4*00
/(-I) = 4 + ^>0,/(1) =一4 + 左 V0,
因此k的取值范围为一 4 V 4 V 4,选D.
3. 答应选D.
解 由通解形式知= r2 =- 1是特征方程^+ar+b = 0的二重根,即特征方程为
(r+1)2 = / + 2r+l = 0,
故 a =2,b = 1.
又;y* = e，为了" + 2y' + v = cex的特解，代入得c = 4.故选D.
4. 答应选B.
解 由吏 圣条件收敛知,lim* = 0,故当”充分大时，包〔VI,所以
口|= s.予
3 <3.1,
由于吏S绝对收敛，所以吏"口绝对收敛,故选项B正确，选项A不正确.
n=l n=l
由“绝对收敛,lim^^ = 0,可知也绝对收敛;而由为 鼻条件收敛，切耳的敛散性不
定.例如，若。,=(―1)■时，£争条件收敛，但S %发散.若=斋*5时，W于条件收敛'但§
收敛.故选项C,D都不正确.
5. 答应选A.
解 由于方程组Ax = 0的基础解系只有2个向量，可知n-r(A) = 2,得r(A)=2<3.故rGT ) =0.
因此选A.
6. 答 应选C.
解 设A的特征值为，由A2+A = 2E,可得A2+A = 2,解得A=-2或1.再由| A 1=4,可知舄=
A2 =-2,A3 = 1,所以规范形为”一角一乂.故选C.
7. 答应选C.
解 由于 P(AB) = P(A)-P(AB),P(BA) = P(B)-P(AB),因此
P(AB) = P(BA)^P(A) = P(B),
故选c.
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• 215 •花
孑考研敏学
n *真题大全解（数学三）〉
8.答应选A.
解 因为X〜N(a，/) ,Y〜N(“,/),且X,Y相互独立，所以
X — Y 〜N(0,2t/),———〜N(O,1).
42a
则
*}=P{XV-金}+P{寿 VXV2)
= o+j；专位 =争
解法2因为随机变量X的分布函数F(z)是连续函数，令Y = F(X)测丫〜17(0,1)，所以
P{F(X)>EX — 1} =P(y>yj=y.
三、解答题:15〜23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 .解 当 z > 0 时,/(])= 2X21 (In x + 1);当 zVO 时,，(x) = ex(l + x).
因为lim -------- = lim ---------- = lim 37 = — 8,所以 f(0)不存在.
t <27 x x *0* >37
2X21 (lnz + 1), x >> 0,
综上可得,/a)=
ex (1 + x ) , x § 时，r(z)>0.
由上可得JG)在区间(一8,—1)和(0,土)内单调减少,在区间(-1-0)和(土，+8)内单调增加,
从而/&)的极小值为/(-I) = 1 一斗,仔)=C极大值为/(0) = 1.
16.解因为
="―fiCr + jM —丁)—+ —jO,
产=z —+ —jy) +，2& + 丁,1 —y),
齐=—(z+),] —、) 一 2，i2&+、,％ —，) —//22(^ + y9X — y)9
= 1—/ll(z + x，Z —y) +广22(] + '口 —7),
ly =— fix Cx + y9x — y')+ 2f\2 {x~\~ y.x — y} —+ '，% —，)，
所以
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• 217 •。
存亨考研散学__________________
真题大全解(数学三)〉〉>
驱 + 宗乐+ 驱= l — ^fn｛x-Vy,x — y)—f22(.x + y,x — y)
dx dxdy dy£
17.解(1)由一阶线性微分方程的通解公式，得
，Cr)=
e 专 S+C).
因为y(l)=丕,所以C = 0,从而y(x) = -Jx^.
(2)由(1)可知,。绕工轴旋转所得旋转体的体积为
V = p2(>r)& = nxe1 dr =号 e， =-y (e4 — e).
1
18.解 由题意，所求面积为
S = j e-x | sin x | dz
~ r(H-i)x
=>(—1)" e-xsin xdr.
n=0 )m
因为
(»4-l)x
e~xsin xdr =— e~xcos X e~xcos xdr
J mr \ rm •J m
SI l)x
H e-xsin xdr,
Inn
得
e%sin xdx =、决-［广心 + 厂］,
乙
mt
所以
，=土£广+广^ =点今.
19. (1)证由题设可得
Q* — a„ x"(x _ 1) /I — ♦ & ,
0
又因为在积分区间［0,1〕上,V 0且不恒等于0,所以Ah —％ V 0,即｛%｝单调减少.
当n>2时，因为
x"\/1 — x2dr = J 了1 ・ xx/l — x2dr =— | x"-1 \/1 — j?2d( 1 —/)
J 0
=-1- - — 了 2) 斗］=-- 一/)* +丑 ］1(］ — ］2) 号&
0 0 O J 0
(1 — Jr2) — x2dx = " 3 1J x"-2 —z'dr — 1「
x" 1 — x2 dr
o
n — 1 n — 1
—3~a"~2 %
所以 an = ^4u4a"-2(w = 2,3,…).
〃十Z
(2)解 由(1)可得，土 = 空务兰因为｛%｝单调减少，且％ > 0,所以
n ] -|
EyvL
从而 limd = 1.
注 用定积分建立递推关系时,可考虑分部积分法;另外对a”使用z = sint换元亦可建立递推关系.
20.解 记4=(0),02,03：。5，氏)，对A施以初等行变换得
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• 218 ・2019 年
° «〈全国硕士研究生招生考试数学三解析
11 1 ： 1 0 1 10 2 ； 1 2 3
A = 10 2:1 2 3 ―► 0 1 -1 ： 0 -2 -2 =B.
.4 4 a2 + 3 : a + 3 1—a a2 + 3, .0 0 a2-l \ a-1 1-a a2-l.
当Q=--1时，知
q 0 2 1 2 3
B = 0 1 -1 0 —2 -2
、0 0 0 -2 2 0 ,
因此0不能由ai,a2,a3线性表示，所以向量组I与向量组n不等价.
q 当a=l时，知
'] 0 2 1 2 3
B = 0 1 -1 0 -2 -2
、0 0 0 0 0 0 ,
易知ag为向量组I的极大线性无关组,同,&为向量组H的极大线性无关组，且
/I 2 \
- ) 9
\。一乙/
/I 2 \
又仁 。可逆，故。】,口2与人等价，因此向量组I与向量组n等价，且氏=勒_2。2.
当a尹±1时，由于行列式|始,。2，。3 1= 1—a2 7^ 0, |仇职，。3 1 = 23 — 1)关0,所以向量组I与
向量组H等价.又
1 0 0 ： 1 '
(。1，。2，。3 !，3)— 0 1 0 ： — 1 ,
.0 0 1 ； 1 .
所以 03 =—。2 +。3・
21.解 (1)因为矩阵A与3相似，所以tr(A) = tr(B), |A| = |B|,即
f x —4 = y-bl9
— 8 =— 2y9
解得］=39y =—2.
(2)矩阵B的特征多项式为
I AE-B |= (A~2)(A + l)(A + 2),
所以8的特征值为2, — 1,一2.
由于A与B相似，因此A的特征值也为2, — 1, 一 2.
A的属于特征值2的特征向量为& = (1, — 2,0)。
A的属于特征值一 1的特征向量为& = (一 2,1,0)。
A的属于特征值一 2的特征向量为= (1, 一2, —4)丁.
记P】=(&，&点)，于是
2
时仍= -1 .
-2,
B的属于特征值2的特征向量为ni =(1,0,0)。
B的属于特征值一1的特征向量为邛2 = (1,—3,0)。
B的属于特征值一 2的特征向量为可3 =(0,0,1)T.
记P2(印1，吸，米)，于是 考研电子版网站：www. pdf2book. com
• 219 •。
存垢考研数学
真题大全解（数学三）〉
(2
-1
-2
由 Pf AP! = P2lBP2,得(RiV)TA(R时)=B,令
J 1
■ 1 -2 1 3 '1 1 1 '
P = R/V= -2 -2 -1 -2
、0 、0 0 -4.
lo 0 1
则P可逆且P AP = B.
22.解 (1)Z的分布函数为
Fz(z) = P(ZM
当M>0时,则存在心e(0,2),使| f(工。)| = M.
若孔€ (0,1),根据微分中值定理，存在(O,xo),使得公功一六。)=r(Qio,故
17(e)1 =
1
六女)
I
> m；
Zo
若五e(1,2),根据微分中值定理，存在6,2),使得六西)一八2) =/(Q(z。一 2),故
I /(e) I =
6 —X0
> m；
若心=1,根据微分中值定理，存在EC (0,1),使得/(1)-/(0) = /(e),故I \ = M.
综上可知，存在EC (0,2),使得| /(£) |>M.
⑵当I /(x) |
\] — ]/ \ 1 — 1 /
n /0 6 \
所以 P-AP= ( J,
可知矩阵A与(；'J相似，则有
A — 6
AE-A = = (A-2XA + 3),
-1 A + 1
得A的特征值为2,—3.因此A相似于对角矩阵(:_°3).
22.解 (1)(Z】Z)的所有可能取值为(0,0),(0,0),(1,1),并且
P{Z1 =0,乙=0} =P{X — V〈0,X + Y<0} =+，
P{Zi = 0,Z2 = 1} = P{X — YV0,X + Y>0} = *,
p{z1 = i,z2 = o} = p(x-y>o,x+Y0,X + Y>0} = y,
即得二维随机变量(乙，乙)的概率分布考研电子版网站：
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• 225 .（2）由（1）可知
EZi = =DZi = 孩=-t>DZ2 = #,E（ZiZz）=
4 10 4 10 4
Cov（Zi，Z2）= E（ZiZz）—孩1 •垣2 = %,
故乙与乙的相关系数
=Cov（G，Zz）= 舫 =[
p~ yBzT /DZ7~ /T [T~ 3
V 16 V 16
23.解 （1）由条件知当s,£>0时,
P{T>t} = e~京,
P{T> s + $,T> s}
P{T>s + t | T>s）=
P{T>s}
P{T>s + t}
=e
P{T>s}
（2）总体T的概率密度为
诚i工
—--e t>0,
f（w）= v 伊
、0, 其他.
似然函数为
烫「'b“bexp{—*'外
ti > 0（i = 1,2,・・・，〃）,
0 其他，
当ti > 0（i = 1,2,•・•,〃）时，取对数得
_ n _
_ » _ 1
In L（。）= nln m —ronin 0-\-、In 一—2 tT，
Ml v f-l
令 d[ln£（e）] =0,得
-晋+笄辛=。，
从而得9的最大似然估计值为8= （+2牙）”.
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• 226 .2021年全国硕士研究生招生考试数学三解析
一、选择题:1〜10小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
是最符合题目要求的.
1.答应选C.
°(。一1)击 2(e? -1) 2工' n
解职 —=蝴
7T =°,
或当了― 0时，「(e,s - l)dz是z的(3 + 1) X2 = 8阶无穷小，故选C.
J 0
2.答应选D.
解 /(0) = lim △ 对. 顼 °)= lim —- =蛆.技4既宕品,所以贝)在
0 X X-*O X
z = o处可导且导数不为零，故选D.
3.答应选B.
解由 /(x) = az Tin z(a > 0),知工〉0 且 /(x) =a — *.当 3 < 0 时,f(z) > 0,不满足条件,
舍去；
当 3>0 时，令/(x) =0,得工=#.当工 €(0,斗)时,fCr)V0,当工 € 时，fG)>
0.又
lim/(x) =+8, lim/(x) =4-oo,
x-^)+ ;r-*+oo
则应有 r(#)=》一51n# = 6(l — lnf)V0,得 Inf >1,即#〉e.故选 B.
4. 答应选C.
解 由/(x+ l,eJ) = x(x + l)2,两边同时对z求导，得
/^(x + l,ex) +/l(x+ l,ex) • ex = (x+ l)2 + 2j:(x + 1), ①
令z = 0代入①式得
/(1,1)+/；(1,1) = 1. ②
由六= 2x2lnx,两边同时对］求导，得
/l(x,x2) +/1(jc,x2) • 2x =«4xln x + 2x2 -—, ③
x
令1代入③式得
/；(1,1)+2/；(1,1) = 2. ④
联立②式、④式，解得£(1,1) =0,仁(1,1) = 1.所以d/(l,l)=心，故选C.
5. 答应选A.
解 (勾 +工 (互 +孔) 心)
/(X1 ,X2 ,X3)= 2)2 + 2 — &3 — 2
=Xi + 2xix2 + 戒 + 彩 + 2x2x3 + 秘一瑟 + 2x^3 — Xi
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• 227 ・乔罗考研数学_______________
nl -------O
真题大全解(数学三)〉
‘0 1 1、
记二次型f的矩阵为A = 1 2 1 ，则其特征多项式为
<1 1 0,
A -1 -11 |A + 1 0 -A-l
I AE-A | = -1 A — 2 -1 = -1 A-2 -1
-1 -1 A| -1 -1 A
A +: 0 0 1
= -1 A 一 2 一 2
A-l|
-1 -1
=(A + 1)L(A — 2) (A — 1)—2]
=A (A + 1)(A — 3),
则正惯性指数P = 1,负惯性指数q = 1.故选A
6.答应选D.
解 代入验证，选项D, r(B) =4-3 1,故选项D
是方程组Bx=。的通解，不难验证选项A,B,C均不是方程组的解，故选D.
7.答应选C.
1 0 OH 1 0 -11 ri o r 1 o 0'
解代入验证，选项C, 2 -1 0 2 -1 10 13 o 1 o，符合题意，不难
-3 2 1] [-1 2 一5)〔0 0 1,
0 0 0,
验证选项A,B,D均不符合题意.
故选C.
8.答应选D.
解 选项 A,P(A | B)=号淳 > P(A)=>P(AB) > P(A)P(B)，所以
r\D)
p(-r - ox = P(脆=1-P(A)-P(B)+P(AB) 1 一 P(A) - P(B) + P(A)P(B)
1 — P(B) — l-P(B) - > l-P(B)
1 一 P(B) — P(A)[1 - P(B)]
=1 — P(A) = P(A),
l-P(B)
故选项A正确.
选项B,由条件知,A,B相互独立,故选项B显然正确.
选项C,由条件概率公式得P(AB) >P(A)P(B),所以
P(A | B) = F(AB)
P(B) >P(A),
故选项C正确.
选项 D,P(A | A U B)='曩哥)= P(A) _________P_(_A_)________
P(A (J B) — P(A)+P(B)-P(AB)'
PM I A I I B) = PE U B)) =__P__(_砌___ _=__ ____P__(B__)_-_P_G__A__B_)____
〃'八'八丁3— p(aub)— P(A UB) 一P(A)+P(B) — P(AB)'
则有P(A) > P(B) — PGAB),不能说明P(A) > P(B) 一定成立,故选项D不正确.
故选D.
9.答应选A.
解 E8 = E(X-Y) =EX-EY = 9,
Dd = D(X-y)= DX + DY-2Cov(X,Y)
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°〈〈＜全国硕士研究生招生考试数学三解析
=遂+箜_ 2伊血
n n n '
故选A.
10. 答应选B.
解 由题意可得似然函数为l（。）=（守）二（甲）5,两边取对数，得
In = 31n — o + 51n If = 31n（ 1 —。）一31n 2 + 51n（ 1 +。）一51n 4,
2 4
咿）］
令＜1 =忌 + 翕 =0,得0的最大似然估计值为0 = -1.故选B.
-—y 曲 1 — u i.\U 4
二、填空题:11〜16小题,每小题5分，共30分.
11. 答应填曲舟.
解 虫;=e*,则处| =匹些^ = sin疽
& 2 石 2 石 h=i 2e
12. 答应填6.
解 ［5 z dr = f3 z 心 + p ----^—— dr
J，a/| x2 — 9 | 辰 1 x2 — 9 | J 3 ^/\ x2 — 9 |
=—- f d（9 — x2） +4~f —d（x2 — 9） = 6.
/ 1
2 J 眉 ＞/9 — 2 J 3 JS _ §
13. 答应填手.
4
解利用旋转体的体积计算公式得
V = I* xzsHxzdz 冗” —［^sin2Zck =「sin2^dz = -7-.
J 0 7T J 0 J 0 4
注 本题计算过程中运用了［ x/（sin j：）dz = 7rP /（sin x^djc及华里士公式.
J J
0 0
14. 答应填-|（«-l）+c,其中C为任意常数.
解 由叙=»1—加原方程化简为一乂 = t.齐次差分方程的通解为« = C,其中C为任意常
数,设非齐次差分方程的特解为# = £（A°+A|£）,代入上述差分方程，有
« + l）［A°+A】（£+l）］ — £（Ao 十Alt） = t,
整理得
-Ao + 2Ai# + Ai — z,
对比系数得
于是通解为
乂 = $Q —1）+C,其中C为任意常数.
15.答 应填一5.
解 含 I,项的有如口21。33口44，口14口22口33口41 两项，则 项为（一1）^2134）^3 + （— 1）心231）4史=—5j?3 ,因
此充项的系数为一5.
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・ 229 •存垢考研数学__________________________o
"I真题大全解（数学三）〉》
16.答应填£•.
0
解 由题意可知X的取值为O,1,Y的取值为0,1.则有
P{X = 0}=号,P（X= 1} = 土,
p{y = o} = + = #,p{y= 1} = i-P(y = o)=咨,
Z 0 z □ z 乙
所以
EX = y,£Y=-|,E(XY) =P{X= 1,Y = 1) = y Xy
Cov(X,y)= E(XY) — EX • £Y =我，
DX = E(X2)-(EX)2 = 4-.DY = E(Y2)-(£Y)2 =
4 4
=Cov(x,y)=瓦=j_
P 一 /DX . 7DY 一 _ 亏.
2 2
三、解答题：17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解 因为li吁[aarctan手+ (1+| x |)+]存在，且
limI aarctan【+ (1+| x |)+] = limaarctan — + lim (1 — z)* =— — >
- L z x-»q~ i x-^ct 乙 e
lim aarctan 1 ----(1 +| x \ ) + 」 ] = limaarctan — + lim (1 +z)+ = -5-a + e,
X z-0* Z
所以—a 4-~ = -ya + e.故 q =-—・
Z e Z Tte
18.解
f,5y) = 2了2±.工一1.一乂/（3）=声
此二：得驻点f）®）・
令 又
Q（w）=
一2/ — 2了 + 3 + 3之，£(z,\) =
故在点（一1,0）处，
A = /X（— 1,0） = 3,B =偿（一1,0） = 0,C = 1,0） = 1.
由于AC-B2>0,且A > 0,因此/（-l,0）是函数少的极小值，极小值为六一 1,0） 2.
在点（+，0）处,
A =也(身,0)= 24,B = fk (土，。) = 0，C =幺(~|~'。) = 4.
由于AC-B2>0,且A>0,因此/（y,0）是函数f（x,y）的极小值,极小值为，（土，。）=*
21n 2.
19.解在极坐标系中，区域D可表示为{3,时0£『<1,0<0<于}.所以
。e(x+y)，(x2 — y2) dxdy = J 也 j er(皿什血"r3 (cos2^ — sir?。) dr
=「dr「e，s 代m " r3 ( cos纽一sin纽)d0
J o J 0
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・230・2021年
°«＜全国硕士研究生招生考试数学三解析
=-y f rdr「/依"细"d[/(cos 6+sin 0Y~\
Z J o J o
= 一 T _1_ r e J( 008 斤 sin ff)'! dr
0 I 0=0
——i
r(e' — er* )dr
2 0
_ (e-l)'
—8 '
20.解(1)由巧'一(" + l)j = 0 得
梏=(” + 1)怜,
解得yn = Cz*
1 1
由条件以(1) (M十 1l 、 ) ，得 c = n\ n - ( f-1) 从而 y»(z) 〃 = ( 〃 - 7十 1L)-i V
—+1) = I,因此蓦级数£ 篇三5的收敛半径为1.
⑵由于四3 + 1)3 + 2)
当z=± 1时，£ z L1VS / 都收敛，所以S . n的收敛域为[一 1,1].
”=1 Tl\7l i- 1) ”=] Tl\H i" 1) "=] Tl\H i- 1 /
当z e [—1,1)时，M 三=-ln(l-z)，由此可得
SG)= S ^TT) ln(l — i)dz = jr + (1 —x)ln(l — z),
0
而S(l)= W H(w+1)= 1，所以级数的和函数为
—、 (x+ (1—x)ln(l — x), x E [— 1,1),
S(z)=
1, 1=1.
21.解因为
A — 2 -1 0
I AE-A | = -1 A — 2 0 =(A — 6)(A — 1)(A — 3),
-1 — a X —b
所以A的特征值义i = b，M = 1,A3 = 3.
因为矩阵A仅有两个不同的特征值，所以Ai =A2或；U =义3・
①当人1 =描=1时，有b=L因为A相似于对角矩阵，所以r(E-A) = 1,故a = 1.
解方程组(E-A)x =。，得A的对应的线性无关特征向量& = 1 ，如=
〔0 .1J
当辅=3时，解方程组(3E-A)x = 0,得A的对应的特征向量品=
-i o r 1 0 O'
令p= (&,最，品)= 1 0 1 ，则 P-'AP = 0 10
o 1 1, 0 0 3,
②当A! =A3 = 3时，有6 = 3.因为A相似于对角矩阵，所以r(3E-A) = 1,故。=一1.
解方程组(3E-A)x =。，得A的对应的线性无关特征向量巾=
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• 231 •花
玄考研数学______________
真题大全解(数学三)〉
-r
当人=1时，解方程组(E — A)x = O,得A的对应的特征向量％ = 1
、1 ,
1 0 -1 3 0 O'
令 1= (°1， 地，邛 3)= 1 0 1 ，则 LAP = 0 3 0
0 1 1 . 0 0 1,
22.解 (1)设随机取的点的坐标记为V,、则V〜U(0,2),X = min{V,2-V}. X的分布函数记为
Fx&).由于 P{O(XV1} = 1,故
当 zVO 时,FxGr) =0；
当 z21 时,FxCr) = 1;
当0 1时，
Fx(z) = P{X W x}
=P{min{V,2-V} z}
=1 — P{x lim=1,正确；
I 队工) z B (工)
③ lim俱=la lim迪澹互=1血奈一 lim俱= 1-1 = 0,正确；
④ lim M)厂 g(z)= o=> lim 唳-lim 奈=On lim 碧=1,即 a(z)〜伙 z)，正确
z a\x) j>*o a\x) z a\x) z a\x)
取a（z） = jc,队工）=—z,则②错误，故选D.
2.答应选B.
解 因lima” = l,ai = 2 > 1,% = 72—* V 1.由于lim(% —为)V0,则 3NT > 0,当 n> N】时,
n-»oo 乙 n~»8
an Vs 由于lim（Q”一a?） > 0,则 3 N2 > 0,当〃 > N?时,％ >如取 N = max{Ni ,踞},当 〃 > N 时,％
»~»8
不可能是最大、最小值，而前有限项必存在最大、最小值.
注 最值是比较出来的.n > N后的项没有资格参与比较,故前有限项必有最大、最小值.
3.答应选A.
f x~y fx ~y r^-y
解 = x\ fWdt — yl fMdt— tfWdt,
J
0 J 0 J 0
3 F 「Ljy
厂= /Xz)dz+ ^ sin
^(2cosf)2> (cosf+ sinf )2
=>4cos2 音 > 1 + sin z,
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・233・存玄考研散学__________________________o
"I真题大全解(数学三)>〉>
则 2(1+ cos z) > 1+ sin z,
而 21n(l+x) <2x,x G (0,1),M I2 < I3.
5. 答应选B.
解根据相似对角化定义,B选项可以直接推出A的特征值为1, —1,7),又若A的特征值为1,—1,0,
互不相同，则A 一定可相似对角化.故选B.
6. 答应选D.
、 [1 1 1 1■ 1]
解 (A ! b) = 1 q a? ： 2 ・
1 b b2 4,
1 1 1
I A | = 1 a a2 = (A —g)(6—1)(g —1).
1 b b2
I A |^0=＞r(A) = r(A • b) = 3,方程组有唯一解.
I A | = 0=＞r(A) # r(A ; b)，方程组无解,故选D.
7.答应选C.
々11 1、 4 A 1 A
解 1 A 1 A —► 0 1-A A-l A2-A
＜1 1 A A\ 10 0 —(A + 2) (A — 1) (1 + A) (1 —义 2)
若人=1＞厂(。1，。2，。3)=厂(。1，。2，。4)=厂(CT1 ,。2，＜»3，＜14)= 1，等价；
若义=0=＞厂(。1 ,血，口3)=厂(。1，＜«2，。4)=厂(。1，。2，。3，。4)= 3,等价；
若义=—1=＞广(口1，。2，。3)= 3/((1102 04)= 2,不等价;
若义=—2=＞r(ai »a2 »a3) = 2,r(ai ,a2 »«4)= 3,不等价；
其他情况时，r(a】，口2，。3)= r(ai ,a2»a4)=厂(。1 ,。2，。3，。4)= 3,等价.
故；I的取值范围为{人I A 6 R,义尹一1,义夭一2},故选C.
8. 答应选D.
解 X 〜N(0,4),V 〜B(3,§),DX = 4,DY = 3 X 4 X 4 = 4'则 D(X-3Y+1) = DX +
9DY=10,故选 D.
9. 答应选B.
解 E(X2) -- f x2 • (1—| x |)dr = 2^ x2dr — 2\ x3ir = -|-----=M，则当 w-*°° 时,【京 X；
J —1 J 0 Jo «J Z O 71 J== j
依概率收敛于E(+gx?)=+ *，故选B.
10. 答应选B.
解由题意，得
P{max{X,Y} = 2,min{X,Y} = 1} = P{max{X,Y} = 2}P{min{X,Y} = 1},
P{max{X,Y) = 2} = b + 0. l,P{min{X,Y} = 1} = 0. 1 + 0. 1 = 0. 2,
P {max(X,Y) = 2,min{X,Y} = 1) = 0. 1.
故 0. 2(6 + 0.1) = 0. l=＞b = 0. 4.
又 q + 6= 1 — 0.4 = 0.6,故 q = 0.2.
Cov(X,Y) =E(XY)-EXEY =-0. 1-0. 8 + 0. 1 + 0. 2-(-0. 6 + 0. 4) • (0. 2 + 1)
=—0. 36.
故选B.
二、填空题：U~16小题,每小题5分，共30分.
11. 答应邮.
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・234.2022年
«＜全国硕士研究生招生考试数学三解析
1 + e' cot 1 + e， sin x
解 lim =lim (
2 x-*0 \ 2
=eN 修 T = cos x(eJ—1)
=e* =e蟋*.
12.答 应填 In 3 — ■
73
解 [2 — 4 1 = f2 2j: + 2 — 6 j 0?+2^ + 4^_6 ‘2 &
J o / + 2z + 4 J o / + 2z + 4 o I? + 2z + 4
=ln(/ +2了 + 4) 2 — 6 % dr
0 . 。& +1)2 + (刷
6
2
=In 12 — In 4----arctan
73
0
=In 3 —
a/3
13 .答 应填0.
解 因为/（x）为偶函数，则尸&）为奇函数，故/（0） = 0,又因为&）以2穴为周期，故r（2K）=
_T（0） = 0.
14 .答 应填(e-1)2.
e寸，，1,
解
0, 其他，
则 /(x) f(y — x)dy '(e^1 -e^dr
0
(e-1)
(e-1)2.
15.答 应填一 1.
1 0 0 0 -2 i -r
解 0 0 1 0 1 -i 0
、0 1 0 1 -1 0 o
[1 0 0 2 1 -r 1 0 O'
A = 0 0 1 -1 0 1 1 0
lo 1 0 1 0 0 <0 0 1,
-2 1 —r 1 0 O' -1 i -r
-1 0 o 1 1 0 -1 0 o
、1 -1 o , 、0 0 1, 、 o -1 o ,
0 -i 0 '
故 0 0 _] ,tr(A-')=- 1.
l-l 1 -1>
16.答
应填*■・
解 由题意,P(AB) = O,P(AC) = O,P(BC) = P(B)P(C)=音.
P(B UC|A|JBUC)= U O Cl S U B U C)]
P(A U B U C)
P(B)+F(C) — P(BC)
+ RB）考研电子版网站：g ybook. com "'）项AB3
-235 -律争考研教学________________________
真题大全解（数学三）〉〉；
旦
________3 丁 3 9 5
捉捉号_°一°_* + ° I
1 ——
9 ?
三、解答题:17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解 由J +左^ = 2+石得
y（jc'） = eTa/?k[c +j（2 + "）eM[c +\（2 + 石）*&].
令左=£,则
j(2 + 々)e"dz = j(4/+ 2z2)ezdz
=(4t + 2/)e'— j(4 + 4/)e'dz
=(也+ 2砂”一(4 + 41)4+]4eW
=2t2el
=2ze"・
所以 yCx) = 2x + Ce-77.由 3/(1) = 3 得 C = e,所以 y(x') = 2x + ^~^£ (0, +8).
因为 lim=2+ lim -—- = 2, lim Ly(z) —2x\ = 0,所以直线 y = 2x 是曲线;y = y(.x｝的斜渐
j-*+<» X X .r-*4<»
近线.
18.解 因为Q= 12盘"，》=1 160-1.5 Q,所以收益火=Q/> = 13 920盘就一216巧*.
由题设知，成本C= 6工+ 8了,所以利润
L = R — C — 13 920工 2/ —216xy3 —一 8>.
祭=6 960工-勺6 —216^3 —6,
役 =2 320盘疽 - 72书号-8.
3L _ °
6 960工一216七=6,由了>0及、>o,可得唯-驻点(256,64),此时。=
令〈 EP
孕=°， 2 320x2 y-f -72x3/-3 = 8.
3y
384,故利润最大时的产量为384.
19.解如图所示，令口 = (r,e)|0〈r<2,0 VOW 号
2
以=（（洒|。。（布=1，奇-E
则[=/髯^峥+。窘沪洒
R J D、 J
(cos 0— sin 9)2厂dr + cos 0— sin OYrdr
=2j；(l-2sin8cos。)也+ 匚2"
| X
=2穴一2sin2^
I o
=2k — 2.
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° «全国硕士研究生招生考试数学三解析
20.解 因为lim 7. 1 g 上 4 )” + 1 [〃 ”=/，所以当Ixlvi时，蓦级数绝对收敛;当|z|>l时，蒂级
n-*oo
数的通项是无穷大量，藉级数发散.因此收敛半径为火=1.
又因为级数S［fe^+
4-(2J+i)
［收敛，所以蓦级数在1工1=1处收敛.
n=0
综上，蓦级数的收敛域为［一 1,1］.
记S&) = 2 4—=吏 「工疽f
〃十 1 4 (2〃+ 1)
n=0 Z ”=0
由 S'i(z)=吏(一1)"j 产=二
1
及 SJO) = 0,得 Si(x) = arctan x.
工 ”=o 1+1
由 S‘2(z) = 2 TT = A 4 2 及 S2(0) = 0,得 S2(j?) = In 华士g.
4” 4 —万 2 — x
farctan^ + A^I+x, 0<|x| 2y{ + 2旻 + 2yj = 2yTy = 2xTx.
当e。时，案 ，得鹳=2.
N 2.令 X。一 Q 0
10
故min =2.
#0
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・ 237 -。
存亨考研数学______________
P *
真题大全解(数学三)〉〉〉
22,解 设了
1，
了
2,・••,]”,)1，)2
，••・,*为样本值，则似然函数为
L(e)=白尸#T*，
从而 In L(0) =-mln 2 - (〃 + ?n)ln 0-----埠，
d[ln L(0)]___刀+ m i _l_yn , 1
60 — 十芬召*' 济白外
令约口 =。,解得f符+淄).
因此0的最大似然估计量为9 = 缘丰羿，其中彳=+ 中，，亍=土£匕・
由于D(A)=?,D(V)=给所以_ _
八「2成+ 扳1 4瘁D(X)+*D(V) 俨
」=―
D(8)= D"(n + m) 4(” + "— = n，
^2^—
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・238・2023年全国硕士研究生招生考试数学三解析
一、选择题:1〜10小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
是最符合题目要求的.
1.答应选A.
解 = ln(y+| xsinjy |),/(0,1) = ln(l + 0) = 0,
/(x,l) = ln(l +| xsin 1 |),
f(09y) = ln()+ 0) = In y9
1 . ln(l +| zsin 1 |) i. | zsin 1 |
=hm---------!----------1— = hmJ----------L
dZ |(0,1) z X —0 ■r-*0 X X
不存在,
堂 I = lim/(o^)-/(o,.i) = 1
I（o.i） I y—l
故选A.
2.答应选D.
解 当 z>0 时，可得J(z+l)cos zdr = j(i +l)d(sin 了)
=(i + l)sin x — sin xdr
=& + Dsin x + cos x + C,
故排除选项A,B.对于选项C,由于limF（x） = 1 乂 limF（x） = 0,排除选项C,故选D.
x-*0+ x-*0~
3.答应选C.
解 当微分方程y+ayf+by = 0对应的特征方程，+财+5 = 0有实根时，/一牺〉。，设根为
广1 ,广2,则微分方程的解为 y = Cier,x+C2er*x（ri 关 a）或:y =（G +c2x）er'x（r1 = 〃），此时解在（一8,
+ 8）上无界.当 a2 — 46 < 0 时,设根为 a 士成,则;y = （Cicos/3r + C2sin/?r ） e*,若想解在（一8, + 8）上
有界，则a = 0,又a =—号,因此a = 0,结合a2 — 46 < 0可得6 > 0.故选C.
4.答应选A
解 由级数.与吏3均收敛且a“V&“，可知吏|a” 一九|收敛.
n=l n=l n=l
OO 8
若、 绝对收敛，由\an\= I I < \bn\+ \an—bn \ ,可知、％绝对收敛.
An A” + % — 6
n=l > n=l
若£己”绝对收敛，由=|%+缶一为1< \an\+ \bn—an \ ,可知月们绝对收敛.
n=l n=l
故选A.
、
5.答应选B.
/A E\' _ A EI (A E t
解 \O B) — O B I VO B)'
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• 239 .7争考研数学
O
真题大全解（数学三）〉
(Xi X2\/A E\_ /XiA Xi+XzB)=(E O\
& X, 八 O B)~ ''XsA X3+X4B 广 2 +%3。1+工4”2 = 0,解得 A € R,故
13=—11， 危 2 =—加
E =—人
故选D.
8.答应选C.
解 由题意知 EX = 1,则 E(| X-1 |) = E(X—l)+2 • P{X = 0} = 0 + 2疽=2K. =
故选C.
9.答 应选D.
由题意知，（”匚!）穿 2 / 1、(m — DSf
解 〜加1), 2/ ~/(7n-l),Si与岛相互独立，则
CT
(n-l)S!
/
〃一 1 _ 2SI
F(n — 1 ,m — 1).
(m — 1双 SI
2顶
m — 1
故选D.
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・240・2023年
° ＜〈〈全国硕士研究生招生考试数学三解析
10.答应选A_
解 E(a|Xi-Xz| )=oE(|Xi-Xj )=a •等=二,得.=季,其中,X】-X,〜N(0,2/),令
V% 乙
z=x1-x2,有
E( | Xi —X21)= [ I z| ・ Q 忘•玮dz = 2 g --- z -- -e - x 4 a 1 z
° 2 Jtzo
用=全
=2 -4=r (- 2/ )
2 y/na 0 a/k*
故选A.
二、填空题
：11 ~ 16小题,每小题5分，共30分.
11.答应填奇.
+ = ' 1
解 limr2 ( 2 — xsin 土 — cos ~ " lim 土 (2----sin t — cos t
X~»OO
v 2t — sin Z — icos t
=lim
t-*0
2t — [t — z3 + o (t3) 一号+。(丹］
=lim
t-*O
V 6 十 2 2
=hm ------；----- =；・
e-o r 3
12,答应填寺
解 由咨= 力，则■/&，))=—arctan 三+#3)・
2_|?
dx y y
t
__x_
又!f -------+"(少=苔歹 + "3)=]2 卓了，故"3)= 0，g)= C.
y2
由 y(l,l)=手，得 C = -y ,/(x，3/) =— arctan — + -y.故
4 乙 y
/(>/3,3) =—arctan 卓+ 奇=夸一 2L = 2L
5 乙 乙 6 3 .
13. 答应填生苧
解由寸=吏号，厂=吏"^,贝疙亮 1 + 6
-V
n=0 n : ”n==00 11 ! n=0 i
14. 答 应填 2(e;-l-«).
解依题设，有罕 t = y£/(z)i[j2«J(-1,d,dz + c]= e,(j2ze-,df + C)
则
=e'[— 2(1 +1)厂 + C] =— 2(1 +,) + Ce'・
由f(0) =—2 4-C =。，故C = 2考渝电子版网站： wwwwww. .pdf2book.com
• 241 •。
花
孕考研数学______________
真题大全解(数学三)＞〉〉
fQ) =一2(1 + /+24 = 2(• —1一£).
15.答应填8.
a 0 ］、 a 0 1 l'l
a 0 1
1 a 1 1 a 1 0
解 由于 1 a 1 =4共0,则厂 = 3,r =3,即
1 2 a 1 2 a 0
1 2 a
a b 0. a b 0 2,
a 0 1 1
1 a 1 0
=0,
1 2 a 0
a b 0 2
1 a 1 a 0 1
有 _ 1 2 a + 2 1 a 1 =0,
a b 0 1 2 a
1 a 1
故 1 2 a =8.
b 0
16 .答 应填
解由 Cov(X + Y,X-Y) = DX-DY
=p(l —/>) — 2力(1 — p)
=—p(l — />) = p(p~ 1),
则
= C--o-v-(-x-+--y--,x-----y-) =力(力一1) ==—_ X
P /D(X + Y) /D(X-y) 3・
三、解答题:17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解 (1)由水0) = 0得q + 5 = 0.
对 aex + y2 +;y — ln(l +z) cos y + b = 0 两边关于 x 求导，得
aex + 2yyr + y — + ln(l + 1)3/ sin = 0.
将］=0,y(0) = 0,3/(。)= 0 代入上式，得 a — 1 = 0.
从而 a = l,b =— 1.
⑵ 由⑴知>ex + 2yyf +y — 777^ + ln( 1 + x)y sin = 0.在两端关于x求导，得
1十Z
b+2 ■皇^ + ln(l+z)(V)2 cosjz + lnd+x)/sin3; = 0.
将 z = 0,^(0) = 0,3/(。) = 0 代入上式，得 y (0) =— 2.
因为/(0) = 0,/(0) < 0,所以工=0为yCx)的极大值点.
r+°° 1
18.解 (1)D的面积为 一 &.
Ji x /T+?
令工=tan t,则
十」-dz
十 sin t
+
=In | esc t — cot t |
=lnd+72).
(2)D绕二轴旋转所成旋转体的体积为 ---------------
x2(l+x2) ,
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J1 xz(l +xz) J1 1 /
一 V + arctanz)「
K2
=兀一苴・
19. 解 设 。1 = {6少 |x2+yi,a-i)2+y〉〉
不妨设 I f(b) |<|，(c) | ,记 V = C,则
I /(a) — /(—a) K y I /z(7)I [(a —x0)2 + (a + x0)2] < 2a2 \ f (?)
综上，存在 (-a,a),使得 |/'3)I〉我 I /(a)-/(-a) |.
21.解 (1)因为对任意工i，互，勾均有
圣+血+与 1 1 1 ' &1 、
A = 2xi —x2+x3 = 2 -1 1 12
43. x2—xz 、o 1 —L 丁 3,
'll 1 '
所以 A= 2 -1 1 .
.0 1 -1.
A-l -1 -1
(2)因为 |涸一4|= -2 A + l -1 = (A-2)(A + l)(A + 2),
0 -1 A+l
所以A的特征值为妇=2,A2 =-l,A3 =一2.
当A)=2时，解方程组(2E-A)x = 0,得特征向量& = [a]；
「1]
当A2 =- 1时，解方程组(一E —A)x = 0,得特征向量最= 0 ；
，0
当％ =—2时，解方程组(一2E —A)x = 0,得特征向量& = -1
.1
4-1 0 2 0 0
令 3 0 -1 ,A = 0 -1 0 ，则 P-'AP = A.
P =(gl，&2，&)=
<1 2 1 0 0 -2
22.解(1)X的分布函数为
FG) =「fWdt
J —co
= L(T+?7dz
= i+?-
(2)函数y = 单调且反函数为z = ln、3>0),从而Y的概率密度为
扣2),
)> 0,
片
3)
、0, 其他
(TT3oi，5，>0,
、o, 其他.
⑶由于匚顷片危心=『忒萨心 =+ 8, 故Y的期望不存在.
・244・博士.全国著名考研数学辅导专家.教育部"国家精品课程建设骨干'
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