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1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)
(1) 设 ,其中 可微,则 ___________.
(2) 若函数 ,则 ___________.
(3) 差分方程 的通解为___________.
(4) 若二次型 是正定的,则 的取值范围是___________.
(5) 设随机变量 和 相互独立且都服从正态分布 ,而 和 分别是来自总体 的简
单随机样本,则统计量 服从___________分布(2分),参数为___________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的
字母填在题后的括号内)
(1) 设函数 ,则当 时, 是 的 ( )
(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小
(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小
(2) 若 , 在 内 , 且 , 则 在 内 有
( )
(A) , (B) ,
(C) , (D) ,
(3) 设向量组 , , 线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( )
(A) , ,
(B) , ,
(C) , ,
(D) , ,
(4) 设 为同阶可逆矩阵,则 ( )
(A) (B) 存在可逆矩阵 ,使
(C) 存在可逆矩阵 ,使 (D) 存在可逆矩阵 和 ,使(5) 设两个随机变量 与 相互独立且同分布：
,则下列各式中成立的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题满分6分)
在经济学中,称函数
为固定替代弹性生产函数,而称函数
为Cobb-Douglas生产函数(简称C—D生产函数).
试证明：但 时,固定替代弹性生产函数变为C—D生产函数,即有
.
四、(本题满分5分)
设 有连续偏导数, 和 分别由方程 和 所确定,求 .
五、(本题满分6分)
一商家销售某种商品的价格满足关系 (万元/吨), 为销售量(单位：吨),商品的成本函数
(万元).
(1) 若每销售一吨商品,政府要征税 (万元),求该商家获最大利润时的销售量；
(2) 为何值时,政府税收总额最大.
六、(本题满分6分)
设函数 在 上连续、单调不减且 ,试证函数
在 上连续且单调不减(其中 ).
七、(本题满分6分)
从点 作 轴的垂线,交抛物线 于点 ；再从 作这条抛物线的切线与 轴交于 ,然后又
从 作 轴的垂线,交抛物线于点 ,依次重复上述过程得到一系列的点 .(1) 求 ；
(2) 求级数 的和.
其中 为自然数,而 表示点 与 之间的距离.
八、(本题满分6分)
设函数 在 上连续,且满足方程
,求 .
九、(本题满分6分)
设 为 阶非奇异矩阵, 为 维列向量, 为常数.记分块矩阵
，
其中 是矩阵 的伴随矩阵, 为 阶单位矩阵.
(1) 计算并化简 ；
(2) 证明：矩阵 可逆的充分必要条件是 .
十、(本题满分10分)
设 三 阶 实 对 称 矩 阵 的 特 征 值 是 1,2,3 ； 矩 阵 的 属 于 特 征 值 1,2 的 特 征 向 量 分 别 是
.
(1) 求 的属于特征值3的特征向量；
(2) 求矩阵 .
十一、(本题满分7分)
假设随机变量 的绝对值不大于1； ；在事件
出现的条件下, 在 内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求 的分布
函数 .
十二、(本题满分6分)
游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行. 假设一游
客在早晨八点的第 分钟到达底层候梯处,且 在 上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望.
十三、(本题满分6分)
两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台,当其发生故障时停
用而另一台自行开动.
试求两台记录仪无故障工作的总时间 的概率密度 、数学期望和方差.1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设方程 确定 是 的函数,则 _____ _ ____ _.
(2) 设 ,则 _____ _ ____ _..
(3) 设 是抛物线 上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是 _____ _ ____ _.
(4) 设
, , ,
其中 .则线性方程组 的解是 _____ _ ____ _.
(5) 设由来自正态总体 容量为9的简单随机样本,得样本均值 ,则未知参数 的置信度为
0.95的置信区间为 _____ _ ____ _.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的
字母填在题后的括号内.)
(1) 累次积分 可以写成 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(2) 下述各选项正确的是 ( )
(A) 若 和 都收敛,则 收敛
(B) 收敛,则 与 都收敛
(C) 若正项级数 发散,则
(D) 若级数 收敛,且 ,则级数 也收敛
(3) 设 阶矩阵 非奇异( ), 是矩阵 的伴随矩阵,则 ( )
(A) (B)(C) (D)
(4) 设有任意两个 维向量组 和 ,若存在两组不全为零的数 和 ,使
,则
( )
(A) 和 都线性相关
(B) 和 都线性无关
(C) 线性无关
(D) 线性相关
(5) 已知 且 ,则下列选项成立的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
三、(本题满分6分)
设 其中 有二阶连续导数,且 .
(1)求 ；
(2)讨论 在 上的连续性.
四、(本题满分6分)
设函数 ,方程 确定 是 的函数,其中 可微； , 连续,且
.求 .
五、(本题满分6分)计算 .
六、(本题满分5分)
设 在区间 上可微,且满足条件 .试证:存在 使
七、(本题满分6分)
设某种商品的单价为 时,售出的商品数量 可以表示成 ,其中
均为正数,且 .
(1) 求 在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.
(2) 要使销售额最大,商品单价 应取何值?最大销售额是多少?
八、(本题满分6分)
求微分方程 的通解.九、(本题满分8分)
设矩阵 .
(1) 已知 的一个特征值为3,试求 ；
(2) 求矩阵 ,使 为对角矩阵.
十、(本题满分8分)
设向量 是齐次线性方程组 的一个基础解系,向量 不是方程组
的解,即 .试证明:向量组 线性无关.
十一、(本题满分7分)
假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可
获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏
损2万元.求一周内期望利润是多少?
十二、(本题满分6分)
考虑一元二次方程 ,其中 分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程
有实根的概率 和有重根的概率 .
十三、(本题满分6分)
假设 是来自总体X的简单随机样本；已知 .
证明：当 充分大时,随机变量 近似服从正态分布,并指出其分布参数.
1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设 ,则 .
(2) 设 , 可导,则 .
(3) 设 ,则 .
(4) 设 , 是 的伴随矩阵,则 .
(5) 设 是 来 自 正 态 总 体 的 简 单 随 机 样 本 , 其 中 参 数 和 未 知 , 记
则假设 的 检验使用统计量 _____.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的
字母填在题后的括号内.)
(1) 设 为可导函数,且满足条件 ,则曲线 在点
处的切线斜率为 ( )
(A) (B) (C) (D)
(2) 下列广义积分发散的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 设矩阵 的秩为 , 为 阶单位矩阵,下述结论中正确的是 ( )
(A) 的任意 个行向量必线性无关
(B) 的任意一个 阶子式不等于零
(C) 若矩阵 满足 ,则
(D) 通过初等行变换,必可以化为 的形式
(4) 设随机变量 和 独立同分布,记 ,则随机变量 与 必然
( )
(A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零
(5) 设随即变量 服从正态分布 ,则随 的增大,概率 ( )
(A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定
三、(本题满分6分)设 ,试讨论 在 处的连续性和可导性.
四、(本题满分6分)
已知连续函数 满足条件 ,求 .
五、(本题满分6分)
将函数 展成 的幂级数,并指出其收敛区间.
六、(本题满分5分)
计算二次积分 .
七、(本题满分6分)
设某产品的需求函数为 ,收益函数为 ,其中 为产品价格, 为需求量(产品的产量),
为单调减函数.如果当价格为 ,对应产量为 时,边际收益
,收益对价格的边际效应 ,需求对价格的弹性 .求 和 .
八、(本题满分6分)设 、 在区间 ( )上连续, 为偶函数,且 满足条件
( 为常数).
(1) 证明 ；
(2) 利用(1)的结论计算定积分 .
九、(本题满分9分)
已知向量组(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ) ,如果各向量组的秩
分别为 , .
证明:向量组 的秩为4.
十、(本题满分10分)
已知二次型 .
(1) 写出二次型 的矩阵表达式；
(2) 用正交变换把二次型 化为标准形,并写出相应的正交矩阵.
十一、(本题满分8分)
假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试,
经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了
台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求：
(1) 全部能出厂的概率 ；
(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率 ；
(3) 其中至少有两台不能出厂的概率 .
十二、(本题满分8分)
已知随机变量 和 的联合概率密度为
求 和 联合分布函数 .1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1) _____________.
(2) 已知 则 _____________.
(3) 设方程 确定 为 的函数,则 _____________.
(4) 设 其中 则 _____________.
(5) 设随机变量 的概率密度为
以 表示对 的三次独立重复观察中事件 出现的次数,则
_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的
字母填在题后的括号内.)
(1) 曲线 的渐近线有 ( )
(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条
(2) 设常数 ,而级数 收敛,则级数 ( )
(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与 有关
(3) 设 是 矩阵, 是 阶可逆矩阵,矩阵 的秩为 ,矩阵 的秩为 ,则
( )
(A) (B)
(C) (D) 与 的关系由 而定
(4) 设 ,则 ( )
(A) 事件 和 互不相容 (B) 事件 和 相互对立
(C) 事件 和 互不独立 (D) 事件 和 相互独立(5) 设 是来自正态总体 的简单随机样本, 是样本均值,记
则服从自由度为 的 分布的随机变量是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题满分6分)
计算二重积分 其中 .
四、(本题满分5分)
设函数 满足条件 求广义积分 .
五、(本题满分5分)
已知 ,求 .
六、(本题满分5分)
设函数 可导,且 ,求
七、(本题满分8分)
已知曲线 与曲线 在点 处有公共切线,求:
(1) 常数 及切点 ；
(2) 两曲线与 轴围成的平面图形绕 轴旋转所得旋转体的体积 .
八、(本题满分6分)
假设 在 上连续, 在 内存在且大于零,记
,
证明 在 内单调增加.
九、(本题满分11分)
设线性方程组(1) 证明:若 两两不相等,则此线性方程组无解；
(2) 设 ,且已知 是该方程组的两个解,其中
写出此方程组的通解.
十、(本题满分8分)
设 有三个线性无关的特征向量,求 和 应满足的条件.
十一、(本题满分8分)
假设随机变量 相互独立,且同分布
,
求行列式 的概率分布.
十二、(本题满分8分)
假设由自动线加工的某种零件的内径 (毫米)服从正态分布 ,内径小于10或大于12的为不合格品,其
余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润 (单位:元)与销售零件的内径 有如下
关系:
问平均内径 取何值时,销售一个零件的平均利润最大?1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1) .
(2) 已知 则 .
(3) 级数 的和为 .
(4) 设 阶方阵 的秩为 ,则其伴随矩阵 的秩为 .
(5) 设总体 的方差为1,根据来自 的容量为100的简单随机样本,测得样本均值为5,则 的数学期望的置信度
近似等于0.95的置信区间为 .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选
项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设 则 在点 处 ( )
(A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续
(C) 连续但不可导 (D) 可导
(2) 设 为连续函数,且 则 等于 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 阶方阵 具有 个不同的特征值是 与对角阵相似的 ( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件
(C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件
(4) 假设事件 和 满足 ,则 ( )
(A) 是必然事件 (B) .
(C) (D)
(5) 设随机变量 的密度函数为 ,且 . 是 的分布函数,则对任意实数 ,有( )
(A) . (B)(C) (D)
三、(本题满分5分)
设 是由方程 所确定的二元函数,求 .
四、(本题满分7分)
已知 ,求常数 的值.
五、(本题满分9分)
设某产品的成本函数为 需求函数为 其中 为成本, 为需求量(即产量), 为
单价, 都是正的常数,且 ,求:
(1) 利润最大时的产量及最大利润;
(2) 需求对价格的弹性;
(3) 需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.
六、(本题满分8分)
假设:(1) 函数 满足条件 和 ;
(2) 平行于 轴的动直线 与曲线 和 分别相交于点 和 ;
(3) 曲线 ,直线 与 轴所围封闭图形的面积 恒等于线段 的长度.
求函数 的表达式.
七、(本题满分6分)
假设函数 在 上连续,在 内二阶可导,过点 与 的直线与曲线 相交
于点 ,其中 .
证明:在 内至少存在一点 ,使 .八、(本题满分10分)
为何值时,线性方程组
有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.
九、(本题满分9分)
设二次型
经正交变换 化成 ,其中 和 是三维列向量, 是3阶正交矩
阵.试求常数 .
十、(本题满分8分)
设随机变量 和 同分布, 的概率密度为
(1) 已知事件 和 独立,且 求常数
(2) 求 的数学期望.
十一、(本题满分8分)
假设一大型设备在任何长为 的时间内发生故障的次数 服从参数为 的泊松分布.
(1) 求相继两次故障之间时间间隔 的概率分布；
(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率 .1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1) 设商品的需求函数为 ,其中 分别表示为需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于1,则
商品价格的取值范围是_________.
(2) 级数 的收敛域为_________.
(3) 交换积分次序 _________.
(4) 设 为 阶方阵, 为 阶方阵,且 ,则 ________.
(5) 将 等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE的概率为__________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选
项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设 ,其中 为连续函数,则 等于 ( )
(A) (B)
(C) 0 (D) 不存在
(2) 当 时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 设 为 矩阵,齐次线性方程组 仅有零解的充分条件是 ( )
(A) 的列向量线性无关 (B) 的列向量线性相关
(C) 的行向量线性无关 (D) 的行向量线性相关
(4) 设当事件 与 同时发生时,事件 必发生,则 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(5) 设 个随机变量 独立同分布,
,则 ( )
(A) 是 的无偏估计量 (B) 是 的最大似然估计量
(C) 是 的相合估计量(即一致估计量) (D) 与 相互独立三、(本题满分5分)
设函数 问函数 在 处是否连续?若不连续,修改函数在 处的定义使
之连续.
四、(本题满分5分)
计算
五、(本题满分5分)
设 ,求 ,其中 有二阶偏导数.
六、(本题满分5分)
求连续函数 ,使它满足 .
七、(本题满分6分)
求证:当 时, .
八、(本题满分9分)
设曲线方程 .
(1) 把曲线 , 轴, 轴和直线 所围成平面图形绕 轴旋转一周,得一旋转体,求此旋转体
体积 ;求满足 的 .
（2）在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积.
九、(本题满分7分)
设矩阵 与 相似,其中
.
(1) 求 和 的值.
(2) 求可逆矩阵 ,使得 .
十、(本题满分6分)已知三阶矩阵 ,且 的每一个列向量都是以下方程组的解:
(1) 求 的值; (2) 证明 .
十一、(本题满分6分)
设 分别为 阶正定矩阵,试判定分块矩阵 是否是正定矩阵.
十二、(本题满分7分)
假设测量的随机误差 ,试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概
率 ,并利用泊松分布求出 的近似值(要求小数点后取两位有效数字).
[附表]
1 2 3 4 5 6 7 …
0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 …
十三、(本题满分5分)
一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30.假设各部件的状态相
互独立,以 表示同时需要调整的部件数,试求 的数学期望 和方差 .
十四、(本题满分4分)
设二维随机变量 的概率密度为
(1) 求随机变量 的密度 ; (2) 求概率 .
1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设 则 _______.
(2) 设曲线 与 都通过点 且在点 有公共切线,则 _______,
_______, _______.
(3) 设 ,则 在点 _______处取极小值 _______.
(4) 设 和 为可逆矩阵, 为分块矩阵,则 _______.
(5) 设随机变量 的分布函数为
则 的概率分布为 _______.
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在
题后的括号内.)
(1) 下列各式中正确的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(2) 设 则下列级数中肯定收敛的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
(3) 设 为 阶可逆矩阵, 是 的一个特征根,则 的伴随矩阵 的特征根之一是( )
(A) (B) (C) (D)
(4) 设 和 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )
(A) 与 不相容 (B) 与 相容
(C) (D)
(5) 对于任意两个随机变量 和 ,若 ,则 ( )
(A) (B)
(C) 和 独立 (D) 和 不独立
三、(本题满分5分)求极限 ,其中 是给定的自然数.
四、(本题满分5分)
计算二重积分 ,其中 是由 轴, 轴与曲线 所围成的区域, .
五、(本题满分5分)
求微分方程 满足条件 的特解.
六、(本题满分6分)
假设曲线 ： 、 轴和 轴所围区域被曲线 ： 分为面积相等的两部分,其中
是大于零的常数,试确定 的值.
七、(本题满分8分)
某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为 和 ；销售量分别为 和 ；需求函数分别为
和 ,总成本函数为
试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？
八、(本题满分6分)
试证明函数 在区间 内单调增加.
九、(本题满分7分)
设有三维列向量
问 取何值时,
(1) 可由 线性表示,且表达式唯一?
(2) 可由 线性表示,且表达式不唯一?
(3) 不能由 线性表示?
十、(本题满分6分)
考虑二次型 .问 取何值时, 为正定二次型.十一、(本题满分6分)
试证明 维列向量组 线性无关的充分必要条件是
,
其中 表示列向量 的转置, .
十二、(本题满分5分)
一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互
独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求 的概率分布.
十三、(本题满分6分)
假设随机变量 和 在圆域 上服从联合均匀分布.
(1) 求 和 的相关系数 ;(2) 问 和 是否独立?
十四、(本题满分5分)
设总体 的概率密度为
其中 是未知参数, 是已知常数.试根据来自总体 的简单随机样本
,求 的最大似然估计量 .
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)(1) 极限 _________.
(2) 设函数 有连续的导函数, ,若函数
在 处连续,则常数 =___________.
(3) 曲线 与直线 所围成的平面图形的面积为_________.
(4) 若线性方程组 有解,则常数 应满足条件________.
(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为 ,则该射手的命中率为________.
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在
题后的括号内.)
(1) 设函数 ,则 是 ( )
(A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数
(2) 设函数 对任意 均满足等式 ,且有 其中 为非零常
数,则 ( )
(A) 在 处不可导 (B) 在 处可导,且
(C) 在 处可导,且 (D) 在 处可导,且
(3) 向量组 线性无关的充分条件是 ( )
(A) 均不为零向量
(B) 中任意两个向量的分量不成比例
(C) 中任意一个向量均不能由其余 个向量线性表示
(D) 中有一部分向量线性无关
(4) 设 为两随机事件,且 ,则下列式子正确的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(5) 设随机变量 和 相互独立,其概率分布为-1 1
-1 1
则下列式子正确的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
三、计算题(本题满分20分,每小题5分.)
(1) 求函数 在区间 上的最大值.
(2) 计算二重积分 ,其中 是曲线 和 在第一象限所围成的区域.
(3) 求级数 的收敛域.
(4) 求微分方程 的通解.
四、(本题满分9分)
某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入 (万元)与电台广告费用
(万元)及报纸广告费用 (万元)之间的关系有如下经验公式:
(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；
(2) 若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.
五、(本题满分6分)
设 在闭区间 上连续,其导数 在开区间 内存在且单调减少； ,试应用拉格朗日中
值定理证明不等式: ,其中常数 满足条件 .
六、(本题满分8分)
已知线性方程组
(1) 为何值时,方程组有解?
(2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系；
(3) 方程组有解时,求出方程组的全部解.
七、(本题满分5分)
已知对于 阶方阵 ,存在自然数 ,使得 ,试证明矩阵 可逆,并写出其逆矩阵的表达式( 为 阶
单位阵).八、(本题满分6分)
设 是 阶矩阵, 和 是 的两个不同的特征值, 是分别属于 和 的特征向量.试证明 不
是 的特征向量.
九、(本题满分4分)
从 十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：
{三个数字中不含0和5}； {三个数字中不含0或5}.
十、(本题满分5分)
一电子仪器由两个部件构成,以 和 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知 和 的联合分布函数
为:
(1) 问 和 是否独立?
(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率 .
十一、(本题满分7分)
某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72
分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.
[附表]
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999
表中 是标准正态分布函数.
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)
(1) 曲线 在点 处的切线方程是__ _ .(2) 幂级数 的收敛域是__ _ .
(3) 齐次线性方程组
只有零解,则 应满足的条件是__ _ .
(4) 设随机变量 的分布函数为
则 =__________, .
(5) 设 随 机 变 量 的 数 学 期 望 , 方 差 , 则 由 切 比 雪 夫 (Chebyshev) 不 等 式 , 有
__ _ .
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在
题后的括号内.)
(1) 设 则当 时 ( )
(A) 与 是等价无穷小量 (B) 与 是同阶但非等价无穷小量
(C) 是比 较高阶的无穷小量 (D) 是比 较低阶的无穷小量
(2) 在下列等式中,正确的结果是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 设 为 阶方阵且 ,则 ( )
(A) 中必有两行(列)的元素对应成比例
(B) 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合
(C) 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合
(D) 中至少有一行(列)的元素全为0
(4) 设 和 均为 矩阵,则必有 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(5) 以 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件 为 ( )
(A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”
(C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题(本题满分15分,每小题5分)
(1) 求极限
(2) 已知 且 的二阶偏导数都连续.求 .
(3) 求微分方程 的通解.
四、(本题满分9分)
设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为
,
且最大需求量为6,其中 表示需求量, 表示价格.
(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)
(2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分)
(3) 画出收益函数的图形.(3分)
五、(本题满分9分)
已知函数
试计算下列各题：
(1) (4分) (2) (2分)
(3) (1分) (4) .(2分)
六、(本题满分6分)
假设函数 在 上连续,在 内可导,且 ,记
证明在 内, .
七、(本题满分5分)
已知 其中 求矩阵 .八、(本题满分6分)
设 .
(1) 问当 为何值时,向量组 线性无关?(3分)
(2) 问当 为何值时,向量组 线性相关?(1分)
(3) 当向量组 线性相关时,将 表示为 和 的线性组合.(2分)
九、(本题满分5分)
设
(1)试求矩阵 的特征值；(2分)
(2)利用(1)小题的结果,求矩阵 的特征值,其中 是三阶单位矩阵.(3分)
十 、(本题满分7分)
已知随机变量 和 的联合密度为
试求：(1) ；(5分) (2) .(2分)
十一、(本题满分8分)
设随机变量 在[2,5]上服从均匀分布,现在对 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.
1988 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、填空题（本题满分20分，每小题4分）
（1）若 上的连续函数，则（2）若
（3）设f（x）是连续函数，且
（4）
（5）
二、选择题:（本题满分20分，每小题4分）.
(1) 的图形在点(0,1)处切线与x轴交点的坐标是（ ）
(A) (B) (C) (D)
(2) 若 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(3)若函数 时，该函数在 处的微分 是( )
(A)与 等阶的无穷小 (B)与 同阶的无穷小 (C)与 低阶的无穷小 (D) 与 高阶的无穷小
(4)曲线 与x轴围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转( )
(A) (B) (C) (D)
(5) 维向量组 线性无关的充分必要条件是( )
(A)由一组不全为0的数
(B) 中任意两个向量都线性无关
(C) 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出
(D) 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出
三、（本题满分15分，每小题5分）
（1）已知 并写出它的定义域。
（2）已知
（3）求微分方程 的通解（一般解）。
四、（本题满分12分）作函数 的图形，并填写下表。
单调增区间
单调减区间
极值点
极值
凹 区间
凸 区间
拐点
渐近线
五、（本题满分8分）
将长为 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形。问着两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的
面积之和为最小？
六、（本题满分10分）
设函数 满足微分方程 且图形在点 处的切线与曲线 在该点的切线
重合，求函数 。
七、（本题满分6分）
设
八、（本题满分6分）
设 上有连续导数，且
（1）求
（2）证明
1987 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、填空题（每小题2分，满分10分。把答案填在题中横线上）
（1）设 其中 为非零常数，则 ，
（2）曲线 在横坐标为1点处的切线方程是 ；法线方程是
（3）积分中值的条件是 ，结论是 。
（4）
（5） ；
二、（本题满分6分）
求极限三、（本题满分7分）
设
四、（本题满分8分）
计算定积分
五、（本题满分8分）
设D是曲线 与三条直线 围成的曲边梯形。求D绕 轴旋转一周所生成的旋转体
的体积。
六、证明题（本题满分10分）
（1）（5分）若 内可导，且导数 恒大于零，则 内单调增加。
（2）（5分）若 处二阶导数存在，且 则 的一个极大值。
七、（本题满分10分）
计算不定积分 （其中a,b为不全为零的非负数）
八、（本题满分15分）
（1）（7分）求微分方程 满足条件 的解。（2）（8分）求微分方程 的通解。
九、选择题（每小题4分，满分16分）
(1) ( )
(A)有界函数 (B)单调函数 (C)周期函数 (D)偶函数
(2) 函数 ( )
(A)当 时为无穷大 (B)当 时有极限
(C)在 内有界 (D) 在 内无界
(3)设 处可导，则 等于( )
(A) (B) (C)0 (D)
(4)设 为已知连续函数， 的值( )
(A)依赖与s和t (B) 依赖与s、t、x
(C) 依赖与t和 x，不依赖与s (D) 依赖与s，不依赖与t
十、（本题满分10分）
在第一象限内，求曲线 上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成的面积为最小，并求此最小
面积。
