文档内容
2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.
(1) 若函数 在 处连续，则( )
(A) (B) (C) (D)
(2) 二元函数 的极值点是( )
(A)（0，0） (B) （0，3） (C) （3，0） (D) （1，1）
(3) 设函数 可导，且 ，则( )
(A) (B) (C) (D)
(4)若续数 收敛，则 =( )
(A)1 (B) 2 (C) -1 (D) -2
(5) 设 为 维单位列向量， 为 阶单位矩阵，则( )
(A) 不可逆 (B) 不可逆
(C) 不可逆 (D) 不可逆
(6)已知矩阵 , , ,则( )
(A) 与 相似, 与 相似 (B) 与 相似, 与 不相似
(C) 与 不相似, 与 相似 (D) 与 不相似, 与 不相似
(7)设 ， ， 为三个随机事件，且 与 相互独立， 与 相互独立，则 与 相互独立的充分必要条
件是 （ ）
(A) 与 相互独立 （B） 与 互不相容
（C） 与 相互独立 （D） 与 互不相容
(8) 设 为 来 自 总 体 的 简 单 随 机 样 本 ， 记 则 下 列 结 论 正 确 的 是
（ ）
(A) 服从 分布 (B) 服从 分布(C) 服从 分布 (D) 服从 分布
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.
(9)
(10)差分方程 通解为 =
(11) 设生产某产品的平均成本 ，其中产量为 ，则边际成本为
(12)设函数 具有一阶连续偏导数，且 ， ，则 =
(13)设矩阵 , 、 、 为线性无关的 维列向量组。则向量组 、 、 的秩为
(14)设随机变量 的概率分布为 ， ， ，若 ,则
三、解答题：15～23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
求
(16)(本题满分10分)
计算积分 ，其中D是第一象限中以曲线 与x轴为边界的无界区域.
(17)(本题满分10分)
求
(18)(本题满分10分)
已知方程 在区间（0,1）内有实根，确定常数k的取值范围.
(19)(本题满分10分)
设 ， ， ， 为幂级数 的和函数
(I)证幂 的收敛半径不小于1.
(II)证 ，并求 表达式.
(20)(本题满分11分)
设3阶矩阵 有3个不同的特征值，且 .
(I)证明 ；(II)若 ，求方程组 的通解.
(21)(本题满分11分)
设 二 次 型 在 正 交 变 换 下 的 标 准 形 为
，求 的值及一个正交矩阵 .
(22)(本题满分11 分)
设随机变来那个为 ， 相互独立，且 的概率分布为 的概率密度为
(I)求 ;
(II)求 的概率密度.
(23)(本题满分11 分)
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量 是已知的，设n次测
量结果 相互独立且均服从正态分布 .该工程师记录的是 n次测量的绝对误差
，利用 估计 .
(I)求 的概率密度；
(II)利用一阶矩求 的矩估计量；(III)求 的最大似然估计量.
2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题：1-8小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。
（1）设函数 在 内连续，其导函数的图形如图所示，则（ ）
A.函数 有2个极值点，曲线 有2个拐点
B.函数 有2个极值点，曲线 有3个拐点
C.函数 有3个极值点，曲线 有1个拐点
D.函数 有3个极值点，曲线 有2个拐点
（2）已知函数 ，则（ ）
A. B. C. D.
（3）设 ，其中 ，
则（ ）
A. B. C. D.
（4）级数 （ 为常数）（ ）
A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.收敛性与 有关
（5）设 是可逆矩阵，且 与 相似，则下列结论错误的是（ ）
A. 与 相似 B. 与 相似
C. 与 相似 D. 与 相似
（6）设二次型 的正负惯性指数分别为1,2，则（ ）
A. B. C. D. 或
（7）设 为两个随机变量，且 ，如果 ，则（ ）
A. B. C. D.
（8）设随机变量 与 相互独立，且 ，则 =（ ）
A.6 B.8 C.14 D.15二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。
（9）已知函数 满足 ，则 __________.
（10）极限 ___________.
（11）设函数 可微， 由方程 确定，则 __________.
（12）设 ，则 ___________.
（13）行列式 _________.
（14）设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球
次数恰好为4的概率为__________.
三、解答题：15-23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分10分）
求极限 。
（16）（本题满分10分）
设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数 ，需求弹性 ， 为单价（万
元）。
（Ⅰ）求需求函数的表达式；
（Ⅱ）求 万元时的边际效益，并说明其经济意义。
（17）设函数
（18）（本题满分10分）
设函数 连续，且满足 ，求 。
（19）（本题满分10分）
求幂级数 的收敛域及和函数。
（20）（本题满分11分）
设矩形 ， ，且方程组 无解，求：（1）求 的值
（2）求方程组 的通解.
（21）（本题满分11分）
已知矩阵
（Ⅰ）求
（Ⅱ）设3阶矩阵 满足 。记 ，将 分别表示为 的线
性组合。
（22）（本题满分11分）
设二维随机变量 在区域 上服从均匀分布，令
（ ）写出 的概率密度；
（ ）问 与 是否相互独立？并说明理由；
（ ）求 的分布函数 .
（23）（本题满分11分）
设总体 的概率密度
其中 为未知参数， 为来自 的简单随机样本，令 .。
（1）求 的概率密度；
（2）确定 ，使得 .2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所
选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 设 是数列,下列命题中不正确的是：（ ）
(A) 若 ,则 (B) 若 , 则
(C) 若 ,则 (D) 若 ,则
(2) 设函数 在 内连续,其二阶导函数 的图形如下图所示,则曲线 的拐点个数为：
(A) (B) (C) (D)
(3) 设 ,函数 在 上连续,则 （ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
(4) 下列级数中发散的是：（ ）
(A) (B) (C) (D)
(5) 设矩阵 , .若集合 ，则线性方程组 有无穷多解的充分必要条件为：(A) (B) (C) (D)
(6) 设二次型 在正交变换为 下的标准形为 ，其中
，若 ，则 在正交变换 下的标准形为：（ ）
(A) (B) (C) (D)
(7) 若 为任意两个随机事件,则:（ ）
(A) (B)
(C) (D)
(8) 设总体 为来自该总体的简单随机样本, 为样本均值,则
(A) (B) (C) (D)
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)
(10) 设函数 连续， 若 则
(11) 若函数 由方程 确定，则
(12) 设函数 是微分方程 的解，且在 处 取得极值3，则
(13) 设 阶矩阵 的特征值为 ， 其中E为 阶单位矩阵，则行列式
(14) 设二维随机变量 服从正态分布 ，则
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
(15) (本题满分10分)
设函数 ， ，若 与 在 是等价无穷小，求 的值.
(16) (本题满分10 分)
计算二重积分 ，其中(17) (本题满分10分)
为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设 为该商品的需求量， 为价格，MC为边
际成本， 为需求弹性 .
(I) 证明定价模型为 ；
(II) 若该商品的成本函数为 ，需求函数为 ，试由（I）中的定价模型确定此商品的
价格.
(18) (本题满分10分)
设函数 在定义域 上的导数大于零，若对任意的 ，曲线 在点 处的切线与直线
及 轴所围成区域的面积恒为4，且 ，求 的表达式.
(19) (本题满分 10分)
(I) 设函数 可导，利用导数定义证明
(II) 设函数 可导， ，写出 的求导公式.
(20) (本题满分11分)
设矩阵 ，且 .
(I) 求 的值；
(II)若矩阵 满足 ，其中 为3阶单位矩阵，求 .
(21) (本题满分11分)
设矩阵 相似于矩阵 .
(I)求 的值；
(II)求可逆矩阵 ，使 为对角矩阵.(22) (本题满分11分)
设随机变量 的概率密度为
对 进行独立重复的观测,直到 个大于 的观测值出现的停止.记 为观测次数.
(I) 求 的概率分布；
(II) 求 .
(23) (本题满分11分)
设总体 的概率密度为
其中 为未知参数， 为来自总体 的简单随机样本.
(I) 求 的矩估计量.
(II) 求 的最大似然估计量.
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所
选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 设 ，且 ，则当 充分大时有：（ ）
(A) (B) (C) (D)
(2) 下列曲线有渐近线的是：（ ）
(A) (B) (C) (D)
(3) 设 ,当 时,若 是比 高阶的无穷小,则下列试题中错误的是：（
）
(A) (B) (C) (D)(4) 设函数 具有二阶导数， ，则在区间 上：（ ）
(A)当 时， (B)当 时，
(C)当 时， (D)当 时，
(5) 行列式 （ ）
(A) (B) (C) (D)
(6) 设 均为三维向量，则对任意常数 ,向量组 , 线性无关是向量组 线性无关
的：（ ）
(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件
(7) 设随机事件 与 相互独立，且 ， ，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
(8) 设 为来自正态总体 的简单随机样本，则统计量 服从的分布为（ ）
(A) (B) (C) (D)
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) 设某商品的需求函数为 （ 为商品的价格），则该商品的边际收益为________.
(10) 设 是由曲线 与直线 及 围成的有界区域，则 的面积为________.
(11) 设 ，则 __________.
(12) 二次积分 __________.
(13) 设二次型 的负惯性指数是1，则 的取值范围_________.
(14) 设总体 的概率密度为 其中 是未知参数， 为来自总体 的
简单样本，若 ，则 _________.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
(15) (本题满分10分)
求极限 .
(16) (本题满分10分)
设平面区域 计算 .
(17) (本题满分10分)
设函数 具有连续导数， 满足 .
若 ，求 的表达式.
(18) (本题满分10分)
求幂级数 的收敛域及和函数.
(19) (本题满分10分)
设函数 在区间 上连续，且 单调增加， ，证明：
(I) ；
(II) .
(20) (本题满分11分)
设矩阵 ， 为三阶单位矩阵.(I)求方程组 的一个基础解系；
(II)求满足 的所有矩阵 .
(21) (本题满分11分)
证明 阶矩阵 与 相似.
(22) (本题满分11 分)
设随机变量 的概率分布为 在给定 的条件下，随机变量 服从均匀分布
.
(I)求 的分布函数 ；
(II)求 .
(23) (本题满分11分)
设随机变量 , 的概率分布相同， 的概率分布为 且 与 的相关系数
(I)求 的概率分布；
(II)求
2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将
所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 当 时，用“ ”表示比 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是：（ ）
(A) (B) (C) (D)
(2) 函数 的可去间断点的个数为：（ ）
(A) (B) (C) (D)
(3) 设 是圆域 位于第 象限的部分，记 ，则：（
）
(A) (B) (C) (D) ．
(4) 设 为正项数列，下列选项正确的是：（ ）
(A) 若 ，则 收敛
(B) 若 收敛，则
(C) 若 收敛,则存在常数 ,使 存在
(D) 若存在常数 ,使 存在,则 收敛
(5) 设 均为 阶矩阵，若 ,且 可逆.则：（ ）
(A) 矩阵 的行向量组与矩阵 的行向量组等价
(B) 矩阵 的列向量组与矩阵 的列向量组等价
(C) 矩阵 的行向量组与矩阵 的行向量组等价
(D) 矩阵 的列向量组与矩阵 的列向量组等价
(6) 矩阵 与 相似的充分必要条件为：（ ）
（A） （B） 为任意常数
（C） （D） 为任意常数(7) 设 是随机变量，且 ， ， ，
，则：（ ）
(A) (B) (C) (D)
(8) 设随机变量 和 相互独立，则 和 的概率分布分别为
则 ：（ ）
(A) (B) (C) (D)
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) 设曲线 与 在点 处有公共切线，则 _________.
(10) 设函数 由方程 确定，则 _________.
(11) _________.
(12) 微分方程
的通解为 _________.
(13) 设 是 阶非零矩阵， 为 的行列式， 为 的代数余子式，
若 ，则 _________.
(14) 设随机变量 服从标准正态分布 ，则 _________.
三、解答题：15 23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分)
当 时， 与 为等价无穷小，求 与 的值．
(16) (本题满分10分)
设 是由曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形， 分别是 绕 轴， 轴旋转一周所
得旋转体的体积，若 ，求 的值.
(17) (本题满分10分)
设平面区域 由直线 及 围成，计算 ．(18) (本题满分10分)
设生产某产品的固定成本为 元，可变成本为 元/件，价格函数为 ，（ 是单价，单位：
元， 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：
(I) 该商品的边际利润；(II) 当 时的边际利润，并解释其经济意义；
(III) 使得利润最大的定价 ．
(19) (本题满分10分)
设函数 在 上可导， ，且 .证明：
(I) 存在 ，使得 ；
(II) 对(I)中的 ，存在 ，使得 ．
(20) (本题满分11分)
设 ，当 为何值时，存在矩阵 使得 ,并求所有矩阵 ．
(21) (本题满分11分)
设二次型 ，记
，
(I) 证明二次型 对应的矩阵为 ；
(II) 若 正交且均为单位变量，证明 在正交变换下的标准形为 ．
(22) (本题满分11分)
设 是二维随机变量， 的边缘概率密度为 在给定 的条件下
的条件概率密度为
(I) 求 的概率密度 ；(II) 求 的边缘概率密度 ；
(III) 求 ．
(23) (本题满分11分)
设总体 的概率密度为
其中 为未知参数且大于零， 为来自总体 的简单随机样本.
(I) 求 的矩估计量；
(II) 求 的最大似然估计量．
2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，
请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
(1) 曲线 渐近线的条数为：（ ）
(A) . (B) . (C) . (D) .
(2) 设函数 ，其中 为正整数，则 ：（ ）
(A) . (B) . (C) . (D) .
(3) 设函数 连续，则二次积分 ：（ ）
(A) . (B) .
(C) . (D) .
(4) 已知级数 绝对收敛，级数 条件收敛，则：（ ）(A) . (B) . (C) . (D) .
(5) 设 ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为：
(A) . (B) . (C) . (D) .
(6) 设 为 阶矩阵， 为 阶可逆矩阵，且 .若 ， ，
则 ：（ ）
(A) . (B) . (C) . (D) .
(7) 设随机变量 与 相互独立，且都服从区间 上的均匀分布，则 ：（ ）
(A) . (B) . (C) . (D) .
(8) 设 为来自总体 （ ）的简单随机样本，则统计量 的分布为：
（ ）
(A) . (B) . (C) . (D) .
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．
(9) _________.
(10) 设函数 ， ，则 _________.
(11) 设连续函数 满足 ，则 _________.
(12) 由曲线 和直线 及 在第一象限中围成的平面图形的面积为_________.
(13) 设 为 阶矩阵， ， 为 的伴随矩阵.若交换 的第 行与第 行得矩阵 ，则_________.
(14) 设 是随机事件， 与 互不相容， 则 _________.
三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤．
(15) (本题满分10分)
求极限 .
(16) (本题满分10分)
计算二重积分 ，其中 是以曲线 及 轴为边界的无界区域.
(17) (本题满分10分)
某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为 (万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量
分别为 (件)和 (件)，且这两种产品的边际成本分别为 (万元/件)与 (万元/件).
(I) 求生产甲、乙两种产品的总成本函数 (万元)；
(II) 当总产量为50件时，甲、乙两种产品产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本；
(III) 求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.
(18) (本题满分10分)
证明： .
(19) (本题满分10分)
已知函数 满足方程 .
(I) 求 的表达式；
(II) 求曲线 的拐点.
(20) (本题满分11分)
设 ．
(I) 计算行列式 ；(II) 当实数 为何值时，方程组 有无穷多解，并求其通解．
(21) (本题满分11分)
已知 ，二次型 的秩为 ．
(I) 求实数 的值；
(II) 求正交变换 将 化为标准形.
(22) (本题满分11分)
设二维离散型随机变量 的概率分布为
(I) 求 ；
(II) 求 .
(23) (本题满分11分)
设随机变量 与 相互独立，且服从参数为 的指数分布.记 ， .
(I) 求 的概率密度 ；
(II) 求 .
2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。(1) 已知当 时，函数 与 是等价无穷小，则：（ ）
(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．
(2) 设函数 在 处可导，且 ，则 =（ ）
(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．
(3) 设 是数列，则下列命题正确的是：（ ）
(A) 若 收敛，则 收敛. (B) 若 收敛，则 收敛.
(C) 若 收敛，则 收敛. (D) 若 收敛，则 收敛.
(4) 设 ， ， ，则 的大小关系是：（ ）
(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．
(5) 设 为 阶矩阵，将 的第 列加到第 列得矩阵 ，再交换 的第 行与第 行得单位矩阵，记
， ，则 （ ）
(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．
(6) 设 为 矩阵， 是非齐次线性方程组 的 个线性无关的解， 为任意常数，则
的通解为：（ ）
(A) ． (B) ．
(C) ． (D) ．
(7) 设 与 为两个分布函数，其相应的概率密度 与 是连续函数，则必为概率密度的是：
（ ）
(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．(8) 设总体 服从参数为 的泊松分布， 为来自总体 的简单随机样本，则对应
的统计量 和 ，有：（ ）
(A) ， ． (B) ， ．
(C) ， ． (D) ， ．
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．
(9) 设 ，则 _________.
(10) 设函数 ，则 _________.
(11) 曲线 在点 处的切线方程为_________.
(12) 曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转所成的旋转体的体积为_________.
(13) 设二次型 的秩为 ， 的各行元素之和为 ，则 在正交变换 下的标准形
为_________.
(14) 设二维随机变量 服从正态分布 ，则 =_________.
三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤．
(15) (本题满分10分)
求极限 ．
(16) (本题满分10分)
已知函数 具有二阶连续偏导数， 是 的极值， ，求 .
(17) (本题满分10分)
求 .(18) (本题满分10分)
证明方程 恰有两个实根.
(19) (本题满分10分)
设函数 在区间 上具有连续导数， ，且满足 ，
，求 的表达式.
(20) (本题满分11分)
设向量组 不能由向量组
线性表示．
(I) 求 的值；
(II) 将 用 线性表示.
(21) (本题满分11分)
设 为 阶实对称矩阵， 的秩为 ，且 ．
(I) 求 的所有特征值与特征向量；(II) 求矩阵
．
(22) (本题满分11分)
设随机变量 与 的概率分布分别为且 ．
(I) 求二维随机变量 的概率分布；
(II) 求 的概率分布；
(III) 求 与 的相关系数 ．
(23) (本题满分11分)
设二维随机变量 服从区域 上的均匀分布，其中 是由 与 所围成的三角形区
域．
(I) 求边缘概率密度 ；
(II) 求条件概率密度 ．
2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题(1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，
请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)
(1) 若 ，则 等于（ ）
(A) . (B) . (C) . (D) .
(2) 设 是一阶线性非齐次微分方程 的两个特解，若常数 使 是该方程的
解， 是该方程对应的齐次方程的解，则：（ ）
(A) . (B) . (C) . (D) .
(3) 设函数 具有二阶导数，且 ，若 是 的极值，则 在 取极大
值的一个充分条件是：（ ）
(A) . (B) . (C) . (D) .
(4)设 ，则当 充分大时有：（ ）
(A) . (B) .
(C) . (D) .(5) 设向量组 可由向量组 线性表示，下列命题正确的是：（ ）
(A) 若向量组 线性无关，则 . (B) 若向量组 线性相关，则 .
(C) 若向量组 线性无关，则 . (D) 若向量组 线性相关，则 .
(6) 设 为 阶实对称矩阵，且 ，若 的秩为 ，则 相似于：（ ）
(A) . (B) .
(C) . (D) .
(7) 设随机变量 的分布函数
则 =（ ）
(A) 0. (B) . (C) . (D) .
(8) 设 为标准正态分布的概率密度， 为 上均匀分布的概率密度，若
为概率密度，则 应满足：（ ）
(A) . (B) . (C) . (D) .
二、填空题(9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.)
(9) 设可导函数 由方程 确定，则 _________.
(10) 设位于曲线 下方， 轴上方的无界区域为 ，则 绕 轴旋转一周所得空
间区域的体积为_________.
(11) 设某商品的收益函数为 ，收益弹性为 ，其中 为价格，且 ，则 =________.
(12) 若曲线 有拐点 ，则 _________.
(13) 设 为 阶矩阵，且 ，则 =_________.(14) 设 是来自总体 的简单随机样本，记统计量 ，则
_________.
三、解答题(15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.)
(15) (本题满分10分)
求极限 .
(16) (本题满分10分)
计算二重积分 ，其中 由曲线 与直线 及 围成.
(17) (本题满分10分)
求函数 在约束条件 下的最大值和最小值.
(18) (本题满分10分)
(I) 比较 与 的大小，说明理由；
(II) 记 ，求极限 .
(19) (本题满分10分)
设函数 在 上连续，在 内存在二阶导数，且 .
(I) 证明存在 ，使 ；
(II) 证明存在 ，使 ．
(20) (本题满分11分)
设 ，已知线性方程组 存在 个不同的解.
(I) 求 ， ；
(II) 求方程组 的通解.(21) (本题满分11分)
设 ，正交矩阵 使得 为对角矩阵，若 的第 列为 ，求 .
(22) (本题满分11分)
设二维随机变量 的概率密度为 ， ， ，
求常数 及条件概率密度 ．
(23) (本题满分11分)
箱中装有 个球，其中红、白、黑球的个数分别为 个，现从箱中随机地取出 个球，记 为取出的红球
个数， 为取出的白球个数.
(I) 求随机变量 的概率分布；
(II) 求 .
2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，
把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1) 函数 的可去间断点的个数为：（ ）
(A) . (B) . (C) . (D) 无穷多个.
(2) 当 时， 与 是等价无穷小：（ ）(A) . (B) .
(C) . (D) .
(3) 使不等式 成立的 的范围是：（ ）
(A) . (B) . (C) . (D) .
(4)设函数 在区间 上的图形为： 则函数 的图
形为：（ ）
(A) (B)
(C) (D)
(5) 设 均为 阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分块矩阵 的伴随矩
阵为：（ ）(A) . (B) .
(C) . (D) .
(6) 设 均为 阶矩阵， 为 的转置矩阵，且 .若
，则 为：（ ）
(A) . (B) . (C) . (D) .
(7) 设事件 与事件 互不相容，则：（ ）
(A) . (B) .
(C) . (D) .
(8) 设随机变量 与 相互独立，且 服从标准正态分布 ， 的概率分布为 .
记 为随机变量 的分布函数，则函数 的间断点个数为：（ ）
(A) . (B) . (C) . (D) .
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) _________.
(10) 设 ，则 _________.
(11) 幂级数 的收敛半径为_________.
(12) 设某产品的需求函数为 ，其对价格 的弹性 ，则当需求量为 件时，价格增加
元会使产品收益增加_________元.
(13) 设 ， .若矩阵 相似于 ，则 _________.(14) 设 为来自二项分布总体 的简单随机样本， 和 分别为样本均值和样本方差，记
统计量 ，则 _________.
三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
(15) (本题满分9分)
求二元函数 的极值.
(16) (本题满分10分)
计算不定积分 .
(17) (本题满分10分)
计算二重积分 ，其中 .
(18) (本题满分11分)
(I) 证明拉格朗日中值定理：若函数 在 上连续，在 可导，则存在 ，使得
.
(II) 证明：若函数 在 处连续，在 内可导，且 ，则 存在，且
.
(19) (本题满分10分)
设曲线 ，其中 是可导函数，且 .已知曲线 与直线 及 所
围成的曲边梯形绕 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 倍，求该曲线方程.
(20) (本题满分11分)
设 ，
(I) 求满足 的所有向量 ；
(II) 对(I)中的任意向量 ，证明： 线性无关.
(21) (本题满分11分)
设二次型 .(I) 求二次型 的矩阵的所有特征值；
(II) 若二次型 的规范形为 ，求 的值.
(22) (本题满分11分)
设二维随机变量 的概率密度为
(I) 求条件概率密度 ；
(II) 求条件概率 .
(23) (本题满分11分)
袋中有 个红球， 个黑球与 个白球.现有放回地从袋中取两次，每次取一个球，以 分别表示两次取
球所取得的红球、黑球与白球的个数.
(I) 求 ；
(II) 求二维随机变量 的概率分布.
2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，
把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1) 设函数 在区间 上连续，则 是函数 的：（ ）
(A) 跳跃间断点 (B) 可去间断点 (C) 无穷间断点 (D) 振荡间断点.
(2) 如图，曲线段方程为 ，函数 在区间 上有连续的导数，则定积分 等于：（
）
(A) 曲边梯形 面积 (B) 梯形 面积
(C) 曲边三角形 面积 (D) 三角形 面积.
(3) 设 则：（ ）(A) 存在， 存在 (B) 不存在， 存在
(C) 存在， 不存在 (D) ， 都不存在.
(4) 设函数 连续.若 ，其中区域 为图中阴影部分，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
(5) 设 为 阶非零矩阵， 为 阶单位矩阵，若 ，则：（ ）
(A) 不可逆， 不可逆 (B) 不可逆， 可逆
(C) 可逆， 可逆 (D) 可逆， 不可逆.
(6) 设 ，则在实数域上与 合同的矩阵为：（ ）
(A) (B) (C) (D)
(7) 随机变量 独立同分布，且 的分布函数为 ，则 分布函数为：（ ）(A) (B)
(C) (D)
(8) 设随机变量 ， 且相关系数 ，则：（ ）
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) 设函数 在 内连续，则 _________.
(10) 设函数 ，则 _________.
(11) 设 ，则 _________.
(12) 微分方程 满足条件 的解是 _________.
(13) 阶矩阵 的特征值为 ， 为三阶单位矩阵，则 _________.
(14) 设随机变量 服从参数为 的泊松分布，则 _________.
三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
(15) (本题满分9分)
求极限 .
(16) (本题满分10分)
设 是由方程 所确定的函数，其中 具有 阶导数且 .
(I) 求 ；
(II) 记 ，求 .
(17) (本题满分11分)
计算 其中 .(18) (本题满分10分)
设 是周期为 的连续函数，
(I) 证明对任意的实数 ，都有 ；
(II) 证明 是周期为 的周期函数．
(19) (本题满分10分)
设银行存款的年利率为 ，并依年复利计算.某基金会希望通过存款 万元实现第一年提取 万元，第
二年提取 万元， ，第 年取出 万元，并能按此规律一直提取下去，问 至少应为多少万元？
(20) (本题满分12分)
设 元线性方程组 ，其中
， ， ，
(I) 证明行列式 ；
(II) 当 为何值时，该方程组有唯一解，并求 ；
(III) 当 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.
(21) (本题满分10分)
设 为 阶矩阵， 为 的分别属于特征值 特征向量，向量 满足 .
(I) 证明 线性无关；
(II) 令 ，求 .
(22) (本题满分11分)
设随机变量 与 相互独立， 概率分布为 ， 的概率密度为
记 .求：(I) ；
(II) 求 的概率密度 ．
(23) (本题满分11分)
设 是总体 的简单随机样本.记
， ，
(I) 证明 是 的无偏估计量；
(II) 当 时，求 .
