考研数学历年真题(1987-1997)年数学二公众号：小乖考研免费分享_05.数学二历年真题_普通版本数学二_1987-2017考研数学二真题集

1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二) 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) _____________. （1）已知 （2）设 _____________. （3） _____________. （4）设 _____________. （5）已知向量组 的秩为2，则 =_____________. 二、选择题 1.设 是同阶无穷小，则 为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 b 1 (2)设在区间[a,b]上 f(x)0, f(x)0, f(x)0. S  f(x)dx,S  f(b)(ba),S  [f(a) f(b)](ba), 记 1 a 2 3 2 则（ ） (A)S  S  S (B) S  S  S 1 2 3 2 3 1 (C)S S S (D)S  S  S 3 1 2 2 1 3 (3)已知函数 对一切x满足 （ ） (A) (B) (C) (D) x2 (4)设F(x) esintsintdt,则F(x)（ ） x (A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零 (D)不为常数 （5）.设 （ ） （A） （B） 1（C） （D） 三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分） （1）求极限 （2）设 所确定，求 （3）计算 （4）求微分方程 的通解。 （5）已知 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。 （6）已知 是三阶单位矩阵，求矩阵 四、（本题满分8分） 取何值时，方程组 无解，有惟一解或由无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解。 五、（本题满分8分） 设曲线 的极坐方程为 上的任一点， 上一定点，若极径 所围成的曲边扇形面积值等于 两点间弧长值的一半，求曲线 的方程。 六、（本题满分8分） 设函数 在闭区间[0,1]上连续，在开区间（0,1）内大于零，并满足 又曲线 所围成的图形 的面积值为2，求函数 ，并问 为何值时，图形 轴旋转一周所得的旋 转体的体积最小。 七、（本题满分8分） 已知函数 连续，且 的连续性 八、（本题满分8分） 就 的不同取值情况，确定方程 在开区间 内根的个数，并证明你的结论。 1996 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二) 2一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) _____________. （1）设 （2） _____________. （3）微分方程的 通解为_____________. （4） _____________. （5）由曲线 所围图形的面积 _____________. 二、选择题 1.设 高阶的无穷小，则（ ） （A） （B） （C） （D） (2)设函数 在区间 内有定义，若当 时，恒有 必是 的（ ） (A)间断点 (B)连续而不可导的点 (C)可导的点，且 (D)可导的点，且 (3)设 处处可导，则（ ） (A) (B) (C) (D) (4)在区间 （ ） (A)无实根 (B)有且仅有一个实根 (C)有且仅有两个实根 (D)有无穷多个实根 （ 5 ） . 设 所围平面图形绕直线 旋转体体积为（ ） （A） （B） （C） （D） 三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分） （1）计算 （2）求 3（3）设 其中 具有二阶导数，且 （4）求函数 点处带拉格朗日型余项 阶泰勒展开式。 （5）求微分方程 的通解。 （6）设有一正椭圆柱体，其地面的长、短轴分别为 ，用过此柱体底面的短轴与底面成 的平面 截此柱体，得以锲形体（如图），求此锲形体的体积 四、（本题满分8分） 计算不定积分 五、（本题满分8分） 设函数 （1）写出 的反函数 的表达式； （2） 是否由间断点、不可导点，若有，指出这些点。 六、（本题满分8分） 设函数 由方程 所确定，试求 的驻点，并判别它是否为极值点。 4七、（本题满分8分） 设 在区间 上具有二阶导数，且 试证明： 存在 八、（本题满分8分） 设 为连续函数， （1）求初值问题 （2）若 1995 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二) 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) _____________. （1）设 （2）微分方程 _____________. （3）曲线 处的切线方程为_____________. 5（4） _____________. （5）由曲线 的渐近方程为_____________. 二、选择题 1.设 为连续函数，且 有间断点，则（ ） （A） （B） （C） （D） (2)曲线 轴所围图形的面积可表示为（ ） (A) (B) (C) (D) (3)设 在 内可导，且对任意 （ ） (A) (B) (C) (D) (4)设函数 的大小顺序是（ ） (A) (B) (C) (D) （5）.设 （ ） （A） （B） （C） （D） 三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分） （1）求 （2）设函数 由方程 确定，其中 具有二阶导数，且 （3）设 （4）设 试讨论 在 处的连续性。 （5）求摆线 6（6）设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 已知阻力与速度成正比（比例常数为1），问 为多少时此质点 的速度为 ？并求到此时刻该质点所经过的路程。 四、（本题满分8分） 求函数 的最大值和最小值。 五、（本题满分8分） 设 的一个解，求此微分方程满足条件 的特解。 六、（本题满分8分） 如图，设曲线 的方程为 分别为该曲线在点 处的切线和法线，已知线 段 的长度为 试推导出点 的坐标表达式。 7七、（本题满分8分） 设 八、（本题满分8分） 设 1994 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二) 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) _____________. （1）若 8（2）设函数 由参数方程 _____________. （3） _____________. （4） _____________. （5）微分方程 的通解为_____________. 二、选择题 1.设 则（ ） （A） （B） （C） （D） (2)设 （ ） (A)左、右导数都存在 (B))左导数存在，但右导数不存在 (C)左导数不存在，但右导数存在 (D) )左、右导数都不存在 (3)设 是满足微分方程 （ ） (A) (B) (C) (D) (4)曲线 的渐近线有（ ） (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 （5）.设 则有（ ） （A） （B） （C） （D） 三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分） （1）设 （2）计算 9（3）计算 （4）计算 （5）如图，设曲线方程为 ，梯形 的面积为 ，曲边梯形 的面积为 ，为 的坐标为 四、（本题满分9分） 设 当时，方程 有且仅有一个解，求 的取值范围 五、（本题满分9分） 设 （1）求函数的增减区间及极值； （2）求函数图像的凹凸区间及拐点； （3）求其渐近线； （4）作出其图形。 10六、（本题满分9分） 求微分方程 的通解，其中常数 七、（本题满分9分） 设 八、（本题满分8分） 求曲线 旋转所得的旋转体体积。 1993 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二) 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) _____________. （1） （2）函数 由方程 _____________. （3）设 的单调减少区间是_____________. 11（4） _____________. （5）已知曲线 ，且其上任一点 处的切线斜率为 _____________. 二、选择题 1.当 则（ ） （A）无穷小 （B）无穷大 （C）有界的，但不是无穷小 （D）有界的，但不是无穷大 (2)设 （ ） (A)不连续 (B))连续，但不可导 (C)可导，但导数不连续 (D) )可导，且导数连续 (3)已知 （ ） (A) (B) (C) (D) (4)设常数 内零点个数为（ ） (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 （5）.设 则有（ ） （A） （B） （C） （D） 三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分） （1）设 （2）求 （3）求 12（4）求 （5）求微分方程 满足初始条件求 四、（本题满分9分） 设二阶常数系数线性微分方程求 的一个特解为求 试确定常数 并求该方程的通解。 五、（本题满分9分） 设平面图形 由求 六、（本题满分9分） 作半径为求 的球外切正圆锥，问此圆锥的高求 为何值时，其体积求 最小，并求出该最小值。 七、（本题满分6分） 设 八、（本题满分8分） 设求 1992 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二) 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) _____________. （1）设 （2）函数 上的最大值为____________. （3）设 _____________. 13（4） _____________. （5）由曲线 与直线 所围成的图形的面积 _____________. 二、选择题 1.当 则（ ） （A）低阶无穷小 （B）高阶无穷小 （C）等价无穷小 （D）同阶但非等价的无穷小 (2)设 （ ） (A) (B)) (C) (D) ) (3)当 （ ） (A)等于2 (B)等于0 (C)等 (D)不存在但不为 (4)设 内零点个数为（ ） (A) (B) (C) (D) （5）.若 则有（ ） （A） （B） （C） （D） 三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分） （1）求 （2）设函数 （3）求 （4）求 （5）求微分方程 四、（本题满分9分） 设 14五、（本题满分9分） 求微分方程 六、（本题满分9分） 计算曲线 七、（本题满分6分） 求曲线 八、（本题满分8分） 已知 1991 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二) 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) _____________. （1）设 （2）曲线 的上凸间是____________. （3）设 _____________. （4）质点以速度 米每秒作直线运动，则从时刻 秒到 秒内质点所经过的路程等于______米. （5） ____________. 二、选择题 1.若曲线 （ ） （A） （B） （C） （D） 15(2)设函数 （ ） (A) (B)) (C) (D) ) (3)设函数 （ ） (A) (B) (C) (D) (4)曲线 （ ） (A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线 (C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 （5）.如图， 轴上有一线密度为常数 ，长度为 的细杆，有一质量为 的质点到杆右端的距离为 ，已知引力系数为 ，则 质点和细杆之间引力的大小为（ ） （A） （B） （C） （D） 三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分） （1）设 （2）计算 （3）求 （4）求 （5）求微分方程 16四、（本题满分9分） 利用导数证明：当x>1时，有不等式 五、（本题满分9分） 求微分方程 六、（本题满分9分） 曲线 七、（本题满分9分） 如图， 分别是曲线 上的点， 均垂直 轴，且 17八、（本题满分8分） 设函数 1990 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二) 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) 点处的法线方程是_____________. （1）曲线 上对应于点 （2）设 ____________. （3） _____________. （4）下列两个积分的大小关系是： ____________ （5）设函数 ____________. 二、选择题 1.已知 （ ） 18（A） （B） （C） （D） (2)设函数 （ ） (A) (B)) (C) (D) ) (3)已知函数 具有任意阶导数，且 ，则当 为大于2的正整数时， 的 阶导数 （ ） (A) (B) (C) (D) (4)设 是连续函数，且 （ ） (A) (B) (C) (D) （5）.设 （ ） （A）连续点 （B）第一类间断点 （C）第二类间断点 （D）连续点或间断点不能由此确定 三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分） （1）已知 （2）求由方程 （3）求曲线 （4）计算 （5）求微分方程 满足条件 四、（本题满分9分） 在椭圆 的第一象限部分上求一点 ，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小（其中 ）. 五、（本题满分9分） 证明：当 19六、（本题满分9分） 设 七、（本题满分9分） 过点 作抛物线 的切线，该切线与上述抛物线及 轴围成一平面图形，求此平面图绕 轴旋转 一周所围成旋转体的体积。 八、（本题满分8分） 求微分方程 之通解，其中 为实数. 1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) = _____________. (2) =_____________. (3)曲线 处的切线方程是_____________. (4) =_____________. (5) =_____________. (6) 应满足的关系是_____________. (7) _____________. 二、计算题（每小题4分，满分20分.） (1)已知 (2) (3) (4) 20(5) 三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号 内) (1) （ ） (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线 (C)既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2) （ ） (A) (B) (C) (D) 无实根 有唯一实根 有三个不同实根 有五个不同实根 (3)曲线 轴所围成的图形，绕 轴旋转一周所成的旋转体的体积为（ ） (A) (B) (C) (D) (4)设两函数 处取得极大值，则函数 （ ） (A)必取极大值 (B)必取极小值 (C)不可能取极值(D)是否取极值不能确定 (5)微分方程 的一个特解应具有形式（式中 为常数）（ ） (A) (B) (C) (D) (6)设 的某个领域内有定义，则 处可导的一个冲分条件是（ ） (A) (B) (C) (D) 四、(本题满分6分) 求微分方程 五、(本题满分7分) 设 ，其中 为连续函数，求 六、(本题满分7分) 证明方程 内有且仅有两个不同实根. 七、（本题满分11分） 对函数 单调减少区间 单调增加区间 极值点 极值 凹 区间 凸 区间 拐点 21渐近线 八、（本题满分10分） 设抛物线 过原点，当 又已知该抛物线与 轴及直线 所围图形的面积为 ， 试确定 使此图形绕 选择一周而成的旋转体的体积 最小. 1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷 一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)  (x3)n (1)求幂级数 的收敛域. n3n n1 (2)设 f(x)ex2, f[(x)]1x且(x)0,求(x)及其定义域. I   x3dydz y3dzdxz3dxdy. (3)设为曲面x2  y2 z2 1的外侧,计算曲面积分   二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) 1 (1)若 f(t)limt(1 )2tx,则 f(t)= _____________. x x (2)设 f(x)连续且 x31 f(t)dt  x,则 f(7)=_____________. 0 2 1 x0 (3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]上定义为 f(x) ,则的傅里叶(Fourier)级数在x1处收 x2 0 x1 敛于_____________. (4)设4阶矩阵A[α,γ ,γ ,γ ],B[β,γ ,γ ,γ ],其中α,β,γ ,γ ,γ 均为4维列向量,且已知行列式 A 4, B 1, 2 3 4 2 3 4 2 3 4 则行列式 AB = _____________. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填 在题后的括号内) 1 (1)设 f(x)可导且 f(x ) ,则x0时, f(x)在x 处的微分dy是（ ） 0 2 0 22(A)与x等价的无穷小 (B)与x同阶的无穷小 (C)比x低阶的无穷小 (D)比x高阶的无穷小 (2)设y  f(x)是方程y2y4y 0的一个解且 f(x )0, f(x )0,则函数 f(x)在点x 处（ ） 0 0 0 (A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少 (3)设空间区域 :x2  y2 z2  R2,z0, :x2  y2 z2  R2,x0,y0,z0,则:（ ） 1 2 xdv4dv  ydv4 ydv (A) (B)     1 2 1 2 zdv4zdv xyzdv4xyzdv (C) (D)     1 2 1 2  (4)设幂级数 a (x1)n 在x1处收敛,则此级数在x2处（ ） n n1 (A)条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发散 (D)收敛性不能确定 (5)n维向量组α 1 ,α 2 ,  ,α s (3 sn)线性无关的充要条件是（ ） (A)存在一组不全为零的数k 1 ,k 2 ,  ,k s ,使k 1 α 1 k 2 α 2   k s α s 0 (B)α 1 ,α 2 ,  ,α s 中任意两个向量均线性无关 (C)α 1 ,α 2 ,  ,α s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)α 1 ,α 2 ,  ,α s 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 四、(本题满分6分) x y 2u 2u （1）设u  yf( )xg( ),其中函数 f 、 g 具有二阶连续导数,求x  y . y x x2 xy （2）计算 （3）求椭球面 上某点M处的切平面 的方程，使平面 过已知直线 23五、(本题满分8分) 设函数 y  y(x)满足微分方程 y3y2y 2ex,其图形在点(0,1)处的切线与曲线 y  x2 x1在该点处的切 线重合,求函数y  y(x). 六、（本题满分9分） k 设位于点(0,1)的质点A对质点M 的引力大小为 (k 0为常数 ,r 为A质点与M 之间的距离),质点M 沿直线 r2 y  2xx2 自B(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M 的引力所作的功. 七、（本题满分6分） 1 0 0  1 0 0     已知APBP,其中B 0 0 0 ,P 2 1 0 ,求A,A5.     0 0 1 2 1 1     八、（本题满分8分） 2 0 0 2 0 0      已知矩阵A 0 0 1 与B 0 y 0 相似.     0 1 x 0 0 1     (1)求x与y. (2)求一个满足P1AP B的可逆阵P. 九、（本题满分9分） 设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有 f(x)0,证明:在(a,b)内存在唯一的,使曲线y  f(x)与两直 24线y  f(),xa所围平面图形面积S 是曲线y  f(x)与两直线y  f(),xb所围平面图形面积S 的3倍. 1 2 1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x=_____________时,函数y  x2x取得极小值. (2)由曲线y lnx与两直线y e1x及y 0所围成的平面图形的面积是_____________. x1 x1 y2 z1 (3)与两直线 y 1t 及   都平行且过原点的平面方程为_____________ .z 2t 1 1 1 (4)设L为取正向的圆周x2  y2 9,则曲线积分  (2xy2y)dx(x2 4x)dy= _____________.  L (5)已知三维向量空间的基底为 α (1,1,0),α (1,0,1),α (0,1,1),则向量 β(2,0,0)在此基底下的坐标是 1 2 3 _____________. 二、(本题满分14分) （1）（6分）计算定积分 1 x t2 （2）（8分）求正的常数a与b,使等式lim  dt 1成立. x0bxsinx 0 at2 三、(本题满分7分) 设函数 ，其中 有二阶连续偏导数，求 25四、(本题满分8分) 求微分方程y6y(9a2)y1的通解,其中常数a 0. 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填 在题后的括号内) f(x) f(a) (1)设lim 1,则在xa处（ ） xa (xa)2 (A) f(x)的导数存在,且 f(a)0 (B) f(x)取得极大值 (C) f(x)取得极小值 (D) f(x)的导数不存在 s (2)设 f(x)为已知连续函数,I tt f(tx)dx,其中t 0,s 0,则I 的值（ ） 0  (A)依赖于s和t (B)依赖于x sinxk 、t和x 2  (C)依赖于t、x,不依赖于s (D)依赖于x sinxk ,不依赖于t 2  kn (3)设常数k 0,则级数 (1)n （ ） n2 n1 (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与k的取值有关 (4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|a0,而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于 1 (A)a (B) (C)an1 (D)an a 六、（本题满分10分）  1 求幂级数  xn1 的收敛域，并求其和函数. n 2n n1  七、（本题满分10分） 26求曲面积分 I x(8y1)dydz2(1 y2)dzdx4yzdxdy,  z  y1 1 y3  其中是由曲线 f(x) 绕 y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与 y 轴正向的夹角恒大于 .  x0 2 八、（本题满分10分） 设函数 f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个 x, 函数 f(x)的值都在开区间(0,1)内,且 f(x)1,证明 在(0,1)内有且仅有一个 x, 使得 f(x) x. 九、（本题满分8分） 问a,b为何值时,现线性方程组 x x x x 0 1 2 3 4 x 2x 2x 1 2 3 4 x (a3)x 2x b 2 3 4 3x 2x x ax 1 1 2 3 4 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解. 27十、（本题满分6分） 设 阶方阵 的特征值， ，而 分别为对应的特征向量，试证明： 的特征向量。 28