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2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字
母填在题后的括号内.
（1）当 时，与 等价的无穷小量是
（A） （B） （C） （D） [ ]
（2）函数 在 上的第一类间断点是 [ ]
（A）0 （B）1 （C） （D）
（3）如图，连续函数 在区间 上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间
上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设 ，则下列结论正确的是：（ ）
（A） (B)
（C） （D） [ ]
（4）设函数 在 处连续，下列命题错误的是
（A）若 存在，则 （B）若 存在，则 .
（C）若 存在，则 （D）若 存在，则 .
（5）曲线 渐近线的条数为
（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ]
（6）设函数 在 上具有二阶导数，且 ，令 ，则下列结论正确的是：
(A) 若 ，则 必收敛. (B) 若 ，则 必发散
1(C) 若 ，则 必收敛. (D) 若 ，则 必发散. [ ]
（7）二元函数 在点 处可微的一个充分条件是[ ]
（A） .
（B） .
（C） .
（D） .
（8）设函数 连续，则二次积分 等于
（A） （B）
（C） （D）
（9）设向量组 线性无关，则下列向量组线性相关的是
(A) (B)
(C) . (D) . [ ]
（10）设矩阵 ，则 与
(A) 合同且相似 （B）合同，但不相似.
(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ]
二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
（11） __________.
（12）曲线 上对应于 的点处的法线斜率为_________.
（13）设函数 ，则 ________.
（14） 二阶常系数非齐次微分方程 的通解为 ________.
（15） 设 是二元可微函数， ，则 __________.
2（16）设矩阵 ，则 的秩为 .
三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17） (本题满分10分)设 是区间 上单调、可导的函数，且满足 ，其中
是 的反函数，求 .
（18）（本题满分11分）
设 是位于曲线 下方， 轴上方的无界区域.
（Ⅰ）求区域 绕 轴旋转一周所成旋转体的体积 ；
（Ⅱ）当 为何值时， 最小？并求此最小值.
（19）（本题满分10分）求微分方程 满足初始条件 的特解.
（20）（本题满分11分）已知函数 具有二阶导数，且 ，函数 由方程 所确定，设
，求 .
3（21）(本题满分 11 分)设函数 在 上连续，在 内具有二阶导数且存在相等的最大值，
，证明：存在 ，使得 .
（22）(本题满分11分) 设二元函数 ，计算二重积分 ，其中
.
（23） (本题满分11分)
设线性方程组 与方程组 有公共解，求 的值及所有公共解.
（24） (本题满分11分)
设3阶对称矩阵 的特征向量值 ， 是 的属于 的一个特征向量，记
，其中 为3阶单位矩阵.
（I）验证 是矩阵 的特征向量，并求 的全部特征值与特征向量；
（II）求矩阵 .
42006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
（1）曲线 的水平渐近线方程为
（2）设函数 在 处连续，则 .
（3）反常积分 .
（4）微分方程 的通解是
（5）设函数 由方程 确定，则
（6）设矩阵 ， 为2阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 .
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母
填在题后的括号内.
（7）设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在点 处的增量， 分别为
在点 处对应的增量与微分，若 ，则[ ]
(A) . (B) .
(C) . (D) .
（8）设 是奇函数，除 外处处连续， 是其第一类间断点，则 是
（A）连续的奇函数. （B）连续的偶函数
（C）在 间断的奇函数 （D）在 间断的偶函数. [ ]
（9）设函数 可微， ，则 等于
（A） . （B）
（C） （D） [ ]
（10）函数 满足的一个微分方程是
（A） （B）
（C） （D） [ ]
（11）设 为连续函数，则 等于
5（Ａ） . （B） .
(C) . (D) . [ ]
（12）设 均为可微函数，且 ，已知 是 在约束条件 下的一个
极值点，下列选项正确的是 [ ]
(A) 若 ，则 .
(B) 若 ，则 .
(C) 若 ，则 .
(D) 若 ，则 .
（13）设 均为 维列向量， 为 矩阵，下列选项正确的是 [ ]
（A）若 线性相关，则 线性相关.
（B）若 线性相关，则 线性无关.
(C) 若 线性无关，则 线性相关.
(D) 若 线性无关，则 线性无关.
（14）设 为3阶矩阵，将 的第2行加到第1行得 ，再将 的第1列的 倍加到第2列得 ，记 ，
则
（Ａ） . （Ｂ） .
（Ｃ） . （Ｄ） . ［ ］
三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
试确定 的值，使得 ，其中 是当 时比 高阶的无穷小.
（16）（本题满分10分）求 .
6（17）（本题满分10分）设区域 ， 计算二重积分
（18）（本题满分12分）设数列 满足
（Ⅰ）证明 存在，并求该极限；（Ⅱ）计算 .
（19）（本题满分10分）
证明：当 时，
.
（20）（本题满分12分）
设函数 在 内具有二阶导数，且 满足等式 .
（I）验证 ；
（II）若 ，求函数 的表达式.
7（21）（本题满分12分）
已知曲线L的方程 （I）讨论L的凹凸性；（II）过点 引L的切线，求切点 ，并
写出切线的方程；（III）求此切线与L（对应于 的部分）及x轴所围成的平面图形的面积.
（22）（本题满分9分）
已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵 的秩 ；（Ⅱ）求
的值及方程组的通解.
（23）（本题满分9分）
设3阶实对称矩阵 的各行元素之和均为3,向量 是线性方程组 的两个
解.
(Ⅰ) 求 的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求正交矩阵 和对角矩阵 ,使得 .
82005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
二、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）设 ，则 = .
（2）曲线 的斜渐近线方程为 .
（3） .
（4）微分方程 满足 的解为 .
（5）当 时， 与 是等价无穷小，则k= .
（6）设 均为3维列向量，记矩阵
， ，
如果 ，那么 .
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的
字母填在题后的括号内）
（7）设函数 ，则f(x)在 内
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]
（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数， 表示“M的充分必要条件是N”，则必有
（A）F(x)是偶函数 f(x)是奇函数.
（B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数.
（C） F(x)是周期函数 f(x)是周期函数.
（D）F(x)是单调函数 f(x)是单调函数. [ ]
（9）设函数y=y(x)由参数方程 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是
(A) . (B) .
(C) . (D) . [ ]
（ 10 ） 设 区 域 ， f(x) 为 D 上 的 正 值 连 续 函 数 ， a,b 为 常 数 ， 则
(A) . (B) . (C) . (D) . [ ]
（11）设函数 , 其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有
9(A) . （B） .
(C) . (D) . [ ]
（12）设函数 则（ ）
（A）x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.
（B）x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.
（C）x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.
（D）x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]
（13）设 是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 ，则 ， 线性无关的充分必要
条件是
(A) . (B) . (C) . (D) . [ ]
（14）设A为n（ ）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则 [ ]
（A）交换 的第1列与第2列得 . (B) 交换 的第1行与第2行得 .
(C) 交换 的第1列与第2列得 . (D) 交换 的第1行与第2行得 .
三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15）（本题满分 11 分）设函数 f(x)连续，且 ，求极限
（16）（本题满分11分）
如图， 和 分别是 和 的图象，过点(0,1)的曲线 是一单调增函数的图象. 过 上任一点
M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线 和 . 记 与 所围图形的面积为 ； 与 所围图形的面积为
如果总有 ，求曲线 的方程
（17）（本题满分11分）
如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线 与 分别是曲线C
在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数， 计算定积分
（18）（本题满分12分）
10用变量代换 化简微分方程 ，并求其满足 的特解.
（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：
（I）存在 使得 ；（II）存在两个不同的点 ，使得
（20）（本题满分10分）
已知函数z=f(x,y) 的全微分 ，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域 上的最
大值和最小值.
（21）（本题满分9分）
计算二重积分 ，其中 .
（22）（本题满分9分）
确定常数a,使向量组 可由向量组
线性表示，但向量组 不能由向量组 线性表示.
（23）（本题满分9分）
已知3阶矩阵A的第一行是 不全为零，矩阵 （k为常数），且AB=O, 求线性方程
组Ax=0的通解.
2004年考硕数学（二）真题
一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）
（1）设 , 则 的间断点为 .
11（2）设函数 由参数方程 确定, 则曲线 向上凸的 取值范围为____..
（3） _____..
（4）设函数 由方程 确定, 则 ______.
（5）微分方程 满足 的特解为_______.
（6）设矩阵 , 矩阵 满足 , 其中 为 的伴随矩阵,
是单位矩阵, 则 ______-.
二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的
字母填在题后的括号内. ）
（7）把 时的无穷小量 , , 排列起来, 使排在后面的
是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是( )
（A） （B） （C） （D）
（8）设 , 则
（A） 是 的极值点, 但 不是曲线 的拐点.
（B） 不是 的极值点, 但 是曲线 的
拐点.
（C） 是 的极值点, 且 是曲线 的拐点.
（D） 不是 的极值点, 也不是曲线 的拐点.
（9） 等于 ( )
（A） . （B） . （C） . （D）
12（10）设函数 连续, 且 , 则存在 , 使得( )
（A） 在 内单调增加. （ B ）
在 内单调减小.
（C）对任意的 有 . （ D ） 对 任 意 的 有
.
（11）微分方程 的特解形式可设为( )
（A） . （B） .
（C） . （D）
（12）设函数 连续, 区域 , 则 等于( )
（A） . （B） .
（C） . （D）
（13）设 是3阶方阵, 将 的第1列与第 2列交换得 , 再把 的第2列加到第 3列得
, 则满足 的可逆矩阵 为( )
（A） . （B） .
（C） . （D） .
（14）设 , 为满足 的任意两个非零矩阵, 则必有( )
（A） 的列向量组线性相关, 的行向量组线性相关.
（B） 的列向量组线性相关, 的列向量组线性相关.
13（C） 的行向量组线性相关, 的行向量组线性相关.
（D） 的行向量组线性相关, 的列向量组线性相关.
三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）
（15）（本题满分10分）
求极限 .
（16）（本题满分10分）
设函数 在（ ）上有定义, 在区间 上, , 若对任意的
都满足
, 其中 为常数.
(Ⅰ)写出 在 上的表达式; (Ⅱ)问 为何值时, 在 处可导.
（17）（本题满分11分）
设 ,
(Ⅰ)证明 是以 为周期的周期函数;(Ⅱ)求 的值域.
14（18）（本题满分12分）
曲线 与直线 及 围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为 , 侧面积
为 , 在 处的底面积为 .
(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)计算极限 .
（19）（本题满分12分）设 , 证明 .
（20）（本题满分11分）
某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速
并停下来.现有一质量为 的飞机,着陆时的水平速度为 .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的
速度成正比(比例系数为 ).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?
注 表示千克, 表示千米/小时.
（21）（本题满分10分）设 ,其中 具有连续二阶偏导数,求 .
（22）（本题满分9分）
设有齐次线性方程组
试问 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.
（23）（本题满分9分）
15设矩阵 的特征方程有一个二重根, 求 的值, 并讨论 是否可相似对角化.
2003年考研数学（二）真题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1） 若 时， 与 是等价无穷小，则a= .
（2） 设函数y=f(x)由方程 所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .
（3） 的麦克劳林公式中 项的系数是__________.
（4） 设曲线的极坐标方程为 ，则该曲线上相应于 从0变到 的一段弧与极轴所围成
的图形的面积为__________.
（5） 设 为3维列向量， 是 的转置. 若 ，则 = .
（6） 设3阶方阵A,B满足 ，其中E为3阶单位矩阵，若 ，则 ________.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的
字母填在题后的括号内）
（1）设 均为非负数列，且 , , ,则必有
(A) 对任意n成立. (B) 对任意n成立.
(C) 极限 不存在. (D) 极限 不存在. [ ]
（2）设 , 则极限 等于
(A) . (B) .
(C) . (D) . [ ]
（3）已知 是微分方程 的解，则 的表达式为
（A） (B) (C) (D) [ ]
（4）设函数 在 内连续，其导函数的图形如图所示，则 有
（A） 一个极小值点和两个极大值点.
（B） 两个极小值点和一个极大值点.
（C） 两个极小值点和两个极大值点.
（D） 三个极小值点和一个极大值点. [ ]
y
16O x
（5）设 , , 则
(A) (B)
(C) (D) [ ]
（6）设向量组Ⅰ： 可由向量组Ⅱ： 线性表示，则
(A) 当 时，向量组Ⅱ必线性相关.
(B) 当 时，向量组Ⅱ必线性相关
.(C) 当 时，向量组Ⅰ必线性相关.
(D) 当 时，向量组Ⅰ必线性相关.
[ ]
三 、（本题满分10分）设函数
问 为何值时， 在 处连续； 为何值时， 是 的可去间断点？
四 、（本题满分9分）
设函数 由参数方程 所确定，求
五 、（本题满分9分）计算不定积分
六 、（本题满分12分）
设函数 在 内具有二阶导数，且 是 的反函数.
(1) 试将 所满足的微分方程 变换为 满足的微分方程；
17(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 的解.
七 、（本题满分12分）
讨论曲线 与 的交点个数.
八 、（本题满分12分）
设位于第一象限的曲线 过点 ，其上任一点 处的法线与 轴的交点为 ，且线段
被 轴平分.
(A) 求曲线 的方程；
(B) 已知曲线 在 上的弧长为 ，试用 表示曲线 的弧长 .
九 、（本题满分10分）
有一平底容器，其内侧壁是由曲线 绕 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为
2 m.根据设计要求，当以 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 的速率均匀扩大（假设注
入液体前，容器内无液体）.
(1) 根据 时刻液面的面积，写出 与 之间的关系式；
(2) 求曲线 的方程.
(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)
十 、（本题满分10分）设函数 在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且 若极限
存在，证明：
(1) 在(a,b)内 (2)在(a,b)内存在点 ，使 ；
(3) 在(a,b) 内存在与(2)中 相异的点 ，使
18十 一、（本题满分10分）
若矩阵 相似于对角阵 ，试确定常数a的值；并求可逆矩阵 使
十二 、（本题满分8分）
已知平面上三条不同直线的方程分别为
， ， .
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为
2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)
1．设函数 在 处连续，则 （ ）．
2．位于曲线 （ ）下方， 轴上方的无界图形的面积为（ ）．
3．微分方程 满足初始条件 的特解是（ ）．
4． =（ ）．
5．矩阵 的非零特征值是（ ）．
19二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)
１．函数 可导， 当自变量 在 处取得增量 时，相应的函数增量 的线性主部为０．
１，则 ＝( )
（Ａ）－１； （Ｂ）０．１； （Ｃ）１； （Ｄ）０．５．
２．函数 连续，则下列函数中，必为偶函数的是( )
(A) ； (B) ；
(C) ； (D) ．
３．设 是二阶常系数微分方程 满足初始条件 的
特解，则当 时，函数 的极限( )
(A)不存在； （Ｂ）等于１； (C)等于２； (D) 等于３．
４．设函数 内有界且可导，则( )
(A)当 时，必有 ；
（Ｂ）当 存在时，必有 ；
(C) 当 时，必有 ；
(D) 当 存在时，必有 ．
5．设向量组 线性无关，向量 可由 线性表示，而向量 不能由 线性表示，则对于任意
常数 必有( )
（Ａ） 线性无关； (B) 线性相关；
（Ｃ） 线性无关； (D) 线性相关．
三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为 ，求该曲线对应于 处的切线与法线的直角坐标方程．
四、（本题满分７分）设 ，求函数 的表达式．
20五、（本题满分７分）已知函数 在 内可导， ， ，且满足
，求 ．
六、（本题满分７分）求微分方程 的一个解 ，使得由曲线 与直线
以及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周的旋转体的体积最小．
七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线 为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次抛
物线与线段ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为
５：４，闸门矩形部分的高 应为多少米？
八、（本题满分８分）
设 ， （ ＝1,2，…）．证明：数列｛ ｝的极限存在，并求此极限．
九、（本题满分８分）设 ，证明不等式 ．
十、（本题满分8分）设函数 在 ＝0的某邻域具有二阶连续导数，且 ．
21证明：存在惟一的一组实数 ，使得当 时，
是比 高阶的无穷小.
十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为3阶矩阵，且满足 ，其中 是3阶单位矩阵.
⑴证明：矩阵 可逆；
⑵若 ，求矩阵Ａ．
十二、（本题满分６分）已知4阶方阵 ， 均为4维列向量，其中 线性无关，
．若 ，求线性方程组 的通解．
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)
1、 =（ ）．
2、设函数 由方程 所确定，则曲线 在点（0，1）处的法线方程为 ：（
）．
3、 =（ ）．
4、过点 且满足关系式 的曲线方程为：（ ）．
5、方程组 有无穷多解，则 =（ ）．
二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)
1、设 则 =( )
（ A ） 0； （B）1； （C） ； （D） ．
222、设当 时， 是比 高阶的无穷小，而 是比 高阶的无穷小，则
正整数 等于（ ）
（ A ）1； （B）2； （C）3； （D）4．
3、曲线 的拐点的个数为( )
（ A ）０； （B）１； （C）２； （D）３．
4、已知函数 在区间（1-δ，1+δ）内具有二阶可导， 严格单调减小，且 = =1，则( )
（A）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有 ；
（B）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有 ；
（C）在（1-δ，1）内有 ，在（1，1+δ）内，有 ；
（D）在（1-δ，1）内有 ，在（1，1+δ）内，有 ．
5、已知函数 在其定义域内可导，它的图形如图所示：则其导函数 的图形为 ( )
三、（本题满分6分）求 ．
23四、（本题满分7分）求极限 记此极限为 ，求函数 的间断点并指出其类型．
五、（本题满分7分）设 是抛物线 上任意一点M（ ）（ ）处的曲率半径， 是抛物线上
介于点A（1，1）与M之间的弧长，计算 的值（在直角坐标系下曲率公式为K＝ ）．
六、（本题满分7分）设函数 在[0，+ ）可导， =0，且其反函数为 ．
若 ，求 ．
七、（本题满分7分）设函数 ， 满足 = ， =2 －
且 =0， =2，求 .
八、（本题满分9分）设 为一平面曲线，其上任意点 （ ）（ ）到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在 轴
上的截距，且 过点（ ，0）．
1、求 的方程
2、求 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小．
九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积 成正比 比例系数 ．假设在融化过程
中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的 ，问雪堆全部融化需要多
少时间？
十、（本题满分8分）设 在区间 上具有二阶连续导数，且 =0
1、写出 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
242、证明在 上至少存在一点 ，使
十一、（本题满分6分）已知矩阵 且矩阵 满足
．
十二、（本题满分6分）已知 是线性方程组 的一个基础解系，若
，讨论实数 满足什么关系时， 也是
的一个基础解系．
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
（1） _____________.-
（2）设函数 由方程 所确定，则 _____________.
（3） _____________.
（4）曲线 的斜渐进线方程为_____________.
（5）设 为4阶单位矩阵，且 _____________.
二、选择题
6.设函数 内连续，且 ，则常数 满足（ ）
（A） （B）
（C） （D）
7.设函数 满足关系式 则（ ）
（A）
25（B）
（C）
（D） 也不是曲线 的拐点
8.设函数 是大于零的可导函数，且 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
9.若 （ ）
（A）0. （B）6. （C）36. （D）
10.具有特解 的3阶常系数齐次线性微分方程是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
三、解答题
11.设
12.设 平面上有正方形 及直线 表示正方形 位于直
线 左下方部分的面积，试求
13.求函数
14.设函数
（1）当 为正整数，且
（2）求
2615.某湖泊的水量为 ，每年排入湖泊内含污染物 的污水量为 ，流入湖泊内不含 的水量为 ，流出湖泊的水量
为 .已知1999年年底湖中 的含量为 ，超过国家规定指标，为了治理污水，从2000年年初起，限定排入湖泊中
含 污水的浓度不超过 问至多需经过多少年，湖泊中污染物 的含量将至 以内？（注：设湖水中 的浓度是
均匀的.）
16.设函数 在 上连续，且 试证明：在 内至少存在两个不同的
点
17.已知 是周期为5的连续函数，它在 的某个邻域内满足关系式 其
中 是当 时，比 高阶的无穷小，且 在 处可导，求曲线 在点 处的切线方程.
18.设曲线 过坐标原点 和点 的直线与曲线 围成一平面图形。
问 为何值时，该图形绕 轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？
19.函数 在 上可导， ，且满足等式
（1）求导数
（2）证明：当 时，成立不等式：
20.设 其中 是 的转置，求解方程
2721.已知向量组 与向量组 具有相同的秩，且
可由 线性表示，求 的值。
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
（1） 曲线 在点（0,1）处的法线方程为_____________.
（2）设函数 由方程 确定，则 _____________.
（3） _____________.
（4）函数 在区间 上的评价值为_____________.
（5）微分方程 的通解为_____________.
二、选择题
1.设 其中 是由界函数，则 处（ ）
（A）极限不存在 （B）极限存在，但不连续
（C）连续，但不可导 （D）可导
2.设 则当 时， 的（ ）
（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但不等价的无穷小 （D）等阶无穷小
3.设 是连续函数 的原函数，则（ ）
（A）当 是奇函数时， 必是偶函数
（B）当 是偶函数时， 必是奇函数
（C）当 是周期函数时， 必是周期函数
（D）当 是单调增函数时， 必是单调增函数
4.“对任意给定的 ，总存在正整数 ，当 时，恒有 ”是数列 收敛于 的（ ）
（A）充分条件但非必要条件 （B）必要条件但非充分条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分条件又非必要条件
5.记行列式 为 ，则方程 的根的个数为（ ）
28（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
三、（本题满分5分）
求
四、（本题满分6分）
计算
五、（本题满分7分）
求初值问题 的解
六、（本题满分7分）
为清楚井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口，已知井深30m，抓斗自重400N,缆绳每米重500N，
抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的
抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：①1N×1m=1J；m,N,s,J分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗
的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计）
七、（本题满分8分）
已知函数 求
（1）函数的增减区间及极值；
29（2）函数图形的凸凹区间及拐点；
（3）函数图形的渐近线。
八、（本题满分8分）
设函数 在闭区间 上具有三阶连续导数，且 证明：在开区间（-1,1）内至
少存在一点 ，使
九、（本题满分8分）
设函数 二阶可导，且 过曲线 上任意一点 作该曲线的切线及 轴
的垂线，上述两直线与 轴所围成的三角形的面积记为 ，区间 上以 为曲边的曲边梯形面积记为 ，
并设 恒为1，求此曲线 的方程。
十、（本题满分7分）
设 是区间 上单调减少且非负的连续函数， 证明数列 的
极限存在。
十一、（本题满分6分）
设矩阵 矩阵 满足 ，其中 是 的伴随矩阵，求矩阵
十二、（本题满分5分）
设向量组
（1） 为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量 线性表出；
（2） 为何值时，该向量组线性相关？并此时求出它的秩和一个极大线性无关组.
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷
30一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
1x 1x 2=_____________.
lim
（1） x0 x2
（2）曲线 轴所围成的图形的面积 _____________.
（3） _____________.
（4）设 连续，则 _____________.
（5）曲线 的渐进线方程为_____________.
二、选择题
1.设数列 满足 ，则下列断言正确的是（ ）
（A）若 发散，则 必发散 （B）若 无界，则 必有界
（C）若 有界，则 必为无穷小 （D）若 为无穷小，则 必为无穷小
(2)函数 f(x)(x2 x2) x3x 的不可导点的个数是（ ）
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
yx
(3)已知函数y y(x)在任意点x处的增量y ,其中 是比 高阶无穷小,且y(0),则y(1)
1x2
（ ）
=
(A) (B)2 (C) (D)
e4 e4
4.设函数 在 的某个邻域内连续，且 为其极大值，则存在 ，当 时，必有（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5.设 是任一 阶方程， 是其伴随矩阵，又 为常数，且 则必有 （ ）
（A） （B） （C） （D）
三、（本题满分5分）
求函数 在区间 内的间断点，并判断其类型。
四、（本题满分5分）
确定常数 的值，使
五、（本题满分5分）
31利用代换 将方程 化简，并求出原方程的通解.
六、（本题满分6分）
计算积分
七、（本题满分6分）
从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 （从海平面算起）与下沉速度 之间的函
数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量
为 ，体积为 ，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 .试建立 与 所满足的
微分方程，并求出函数关系式
八、（本题满分8分）
设 是区间 上的任一非负连续函数。
（1）试证存在 ，使得在区间 上以 为高的矩形面积，等于在 上以 为曲边的梯形
面积。
（2）又设 在区间 内可导，且 证明（1）中的 是唯一的。
九、（本题满分8分）
设有曲线 ，过原点作其切线，求由此曲线、切线及 轴围成的平面图形绕 轴旋转一周所得到的旋转体
的表面积。
十、（本题满分8分）
设 是一向上凸的连续曲线，其上任意一点 处的曲率为 ，且此曲线上点 处的切线方
程为 ，求该曲线的方程，并求函数 的极值。
十一、（本题满分6分）
设 ，证明：
（1）
32（2）
十二、（本题满分5分）
设 ，其中 是4阶单位矩阵， 是4阶矩阵 的转置矩阵，
求 。
十三、（本题满分8分）
已知 问：
（1）
（2）
33
