考研数学历年真题(1998-2007)年数学二公众号：小乖考研免费分享_05.数学二历年真题_普通版本数学二_1987-2017考研数学二真题集

2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项 前的字母填在题后的括号内. （1）当x0时，与 x 等价的无穷小量是 1x （A）1e x （B）ln （C） 1 x 1 （D）1cos x [ ] 1 x （2）函数 在,上的第一类间断点是x [ ]   （A）0 （B）1 （C） （D） 2 2 （3）如图，连续函数y  f (x)在区间3,2  ,  2,3 上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间2,0  ,  0,2  x 上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)  f(t)dt ，则下列结论正确的是：（ ） 0 3 5 （A）F(3) F(2) (B) F(3) F(2) 4 4 3 5 （C）F（3） F（2） （D）F（3） F（2） [ ] 4 4 （4）设函数 f(x)在x0处连续，下列命题错误的是 f(x) f(x) f(x) （A）若lim 存在，则 f(0)0 （B）若lim 存在，则 f(0)0 . x0 x x0 x f(x) f(x) f(x) （C）若lim 存在，则 f(0)0 （D）若lim 存在，则 f(0)0. x0 x x0 x 1   （5）曲线 y  ln 1ex 渐近线的条数为 x （A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] （6）设函数 f(x)在(0,)上具有二阶导数，且 f(x)0，令u  f (n)（n1,2,），则下列结论正确的是： n (A) 若u u ，则 u 必收敛. (B) 若u u ，则 u 必发散 1 2 n 1 2 n (C) 若u u ，则 u 必收敛. (D) 若u u ，则 u 必发散. [ ] 1 2 n 1 2 n -1-（7）二元函数 f(x,y)在点 0,0 处可微的一个充分条件是[ ] （A） lim  f(x,y) f(0,0) 0 . (x,y)0,0 f(x,0) f(0,0) f(0,y) f(0,0) （B）lim 0,且lim 0 . x0 x y0 y f(x,y) f(0,0) （C） lim 0. (x,y)0,0 x2  y2 （D）lim  f  (x,0) f  (0,0)  0,且lim  f  (0,y) f  (0,0)  0 .  x x   y y  x0 y0  1 （8）设函数 f(x,y)连续，则二次积分 dx f(x,y)dy 等于  sinx 2 1  1  （A） dy f(x,y)dx （B） dy f(x,y)dx 0 arcsiny 0 arcsiny 1 arcsiny 1 arcsiny （C） dy f(x,y)dx （D） dy f(x,y)dx   0 0 2 2 （9）设向量组,, 线性无关，则下列向量组线性相关的是 1 2 3 (A)  , ,  (B)  , ,  1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 (C)  2, 2, 2. (D)  2, 2, 2 . [ ] 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1  2 1 1 1 0 0     （10）设矩阵A 1 2 1 ,B  0 1 0 ，则A与B          1 1 2  0 0 0 (A) 合同且相似 （B）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. arctanxsinx （11） lim  __________. x0 x3 xcostcos2t  （12）曲线 上对应于t  的点处的法线斜率为_________. y 1sint 4 1 （13）设函数 y  ，则 y(n)(0)________. 2x3 （14） 二阶常系数非齐次微分方程 y4y3y 2e2x的通解为 y ________.  y x z z （15） 设 f(u,v)是二元可微函数，z  f  , ，则x y  __________.  x y x y -2-0 1 0 0   0 0 1 0 （16）设矩阵A   ，则A3的秩为 . 0 0 0 1   0 0 0 0 三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.   f(x) x costsint （17） (本题满分10分)设 f(x)是区间  0,  上单调、可导的函数，且满足 f 1(t)dt  t dt ，其  4 0 0 sintcost 中 f 1是 f 的反函数，求 f(x). （18）（本题满分11分） x  设D是位于曲线y  xa 2a(a 1,0 x)下方，x轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)； （Ⅱ）当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值. （19）（本题满分10分）求微分方程 y(x y2) y满足初始条件 y(1) y(1)1的特解. （20）（本题满分11分）已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f(0)1，函数 y  y(x)由方程 yxey1 1所确定， dz d2z 设z  f  lnysinx ，求 , . dx x0 dx2 x0 -3-（21）(本题满分 11 分)设函数 f(x),g(x) 在 a,b 上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值， f(a) g(a), f(b) g(b)，证明：存在(a,b)，使得 f() g().  x2, |x|| y|1  （22）(本题满分11分) 设二元函数 f(x,y) 1 ，计算二重积分 f(x,y)d，其中 , 1| x|| y|2   x2  y2 D D   x,y  |x|| y|2  . （23） (本题满分11分) x x x  0 1 2 3  设线性方程组x 2x ax 0 与方程组x 2x x a1有公共解，求a的值及所有公共解. 1 2 3 1 2 3  x 4x a2x 0 1 2 3 （24） (本题满分11分) 设 3阶对称矩阵 A的特征向量值 1, 2, 2， (1,1,1)T 是 A的属于的一个特征向量，记 1 2 3 1 1 B  A54A3E ，其中E为3阶单位矩阵. （I）验证是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； 1 （II）求矩阵B. -4-2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. x4sinx （1）曲线 y  的水平渐近线方程为 5x2cosx  1 x   sint2dt,x 0 （2）设函数 f(x)x3 0 在x0处连续，则a  .  a, x 0  xdx （3）反常积分  . 0 (1x2)2 y(1x) （4）微分方程 y 的通解是 x dy （5）设函数 y  y(x)由方程y 1xey确定，则  dx x0  2 1 （6）设矩阵A  ，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA B2E ，则 B  . 1 2 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前 的字母填在题后的括号内. （7）设函数 y  f (x)具有二阶导数，且 f(x)0, f(x)0 ，x为自变量x在点x 处的增量，y与dy分别为 0 f(x)在点x 处对应的增量与微分，若x0，则[ ] 0 (A) 0dyy. (B) 0ydy. (C) ydy0. (D) dyy0 . x （8）设 f(x)是奇函数，除x0外处处连续，x0是其第一类间断点，则 f(t)dt是 0 （A）连续的奇函数. （B）连续的偶函数 （C）在x0间断的奇函数 （D）在x0间断的偶函数. [ ] （9）设函数g(x)可微，h(x)e1g(x),h(1)1, g(1)2 ，则g(1)等于 （A）ln31. （B）ln31. （C）ln21. （D）ln21. [ ] （10）函数 y Cex C e2x xex满足的一个微分方程是 1 2 （A） y y2y 3xex. （B）y y2y 3ex. （C） y y2y 3xex. （D）y y2y 3ex. [ ]  1 （11）设 f(x,y)为连续函数，则4d f(rcos,rsin)rdr 等于 0 0 -5-2 1x2 2 1x2 （Ａ） 2 dx f(x,y)dy. （B） 2 dx f(x,y)dy. 0 x 0 0 2 1y2 2 1y2 (C)  2 dy f(x,y)dx. (D)  2 dy f(x,y)dx . [ ] 0 y 0 0 （12）设 f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且 (x,y)0，已知(x ,y )是 f(x,y)在约束条件(x,y)0下的一 y 0 0 个极值点，下列选项正确的是 [ ] (A) 若 f  (x ,y ) 0，则 f  (x ,y ) 0. x 0 0 y 0 0 (B) 若 f  (x ,y ) 0，则 f  (x ,y ) 0. x 0 0 y 0 0 (C) 若 f  (x ,y ) 0，则 f  (x ,y ) 0. x 0 0 y 0 0 (D) 若 f  (x ,y ) 0，则 f  (x ,y ) 0. x 0 0 y 0 0 （13）设,,,均为n维列向量，A为mn矩阵，下列选项正确的是 [ ] 1 2 s （A）若,,,线性相关，则A,A,,A 线性相关. 1 2 s 1 2 s （B）若,,,线性相关，则A,A,,A 线性无关. 1 2 s 1 2 s (C) 若,,,线性无关，则A,A,,A 线性相关. 1 2 s 1 2 s (D) 若,,,线性无关，则A,A,,A 线性无关. 1 2 s 1 2 s 1 1 0   （14）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1倍加到第2列得C，记P  0 1 0 ，     0 0 1 则 （Ａ）C  P1AP. （Ｂ）C  PAP1. （Ｃ）C  PTAP. （Ｄ）C  PAPT. ［ ］ 三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 试确定A,B,C 的值，使得ex(1BxCx2)1 Axo(x3) ，其中o(x3)是当x0时比x3高阶的无穷小. arcsinex （16）（本题满分10分）求  dx. ex -6-  1xy （17）（本题满分10分）设区域D  (x,y) x2 y2 1,x0 ， 计算二重积分I   dxdy. 1x2  y2 D （18）（本题满分12分）设数列 x 满足0 x ,x sinx (n1,2,) n 1 n1 n 1  x x2 （Ⅰ）证明limx 存在，并求该极限；（Ⅱ）计算lim n1 n . n n n x  n （19）（本题满分10分） 证明：当0ab时， bsinb2cosbbasina2cosaa. （20）（本题满分12分）   2z 2z 设函数 f(u)在(0,)内具有二阶导数，且z  f x2 y2 满足等式  0. x2 y2 f(u) （I）验证 f(u) 0； u （II）若 f(1)0, f (1)1，求函数 f(u)的表达式. -7-（21）（本题满分12分） xt2 1 , 已知曲线L的方程 (t 0)（I）讨论L的凹凸性；（II）过点(1,0)引L的切线，求切点(x ,y )， y 4tt2 0 0 并写出切线的方程；（III）求此切线与L（对应于x x 的部分）及x轴所围成的平面图形的面积. 0 （22）（本题满分9分） 已知非齐次线性方程组 x x x x 1 1 2 3 4  4x 3x 5x x 1有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A的秩r  A 2；（Ⅱ） 1 2 3 4  ax x 3x bx 1 1 2 3 4 求a,b的值及方程组的通解. （23）（本题满分9分） 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量 1,2,1 T ,   0,1,1 T是线性方程组Ax0的两个 1 2 解. (Ⅰ) 求A的特征值与特征向量； (Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵,使得QTAQ . -8-2005 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设 y  (1sinx)x，则dy = . x 3 (1 x)2 （2）曲线 y  的斜渐近线方程为 . x 1 xdx （3）  . 0 (2 x2) 1 x2 1 （4）微分方程xy2y  xlnx满足 y(1)   的解为 . 9 （5）当x 0时，(x)  kx2与(x)  1 xarcsinx  cosx 是等价无穷小，则k= . （6）设, , 均为3维列向量，记矩阵 1 2 3 A (, , )，B  (   , 2 4 , 3 9 )， 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 如果 A 1，那么 B  . 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选 项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数 f(x)  limn 1 x 3n ，则f(x)在(,)内 n (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] （8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"M  N"表示“M的充分必要条件是N”，则必有 （A）F(x)是偶函数f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数. （C） F(x)是周期函数f(x)是周期函数. （D）F(x)是单调函数f(x)是单调函数. [ ] x t2 2t, （9）设函数y=y(x)由参数方程 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是 y  ln(1t) 1 1 (A) ln23. (B)  ln23. 8 8 (C) 8ln23. (D) 8ln23. [ ] （ 10 ） 设 区 域 D {(x,y)x2  y2  4,x  0,y  0} ， f(x) 为 D 上 的 正 值 连 续 函 数 ， a,b 为 常 数 ， 则 a f(x) b f(y)  d f(x)  f(y) D ab ab (A) ab. (B) . (C) (ab). (D)  . [ ] 2 2 xy （11）设函数u(x,y) (x y)(x y) (t)dt , 其中函数具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 xy -9-2u 2u 2u 2u (A)   . （B）  . x2 y2 x2 y2 2u 2u 2u 2u (C)  . (D)  . [ ] xy y2 xy x2 1 （12）设函数 f(x)  ,则（ ） x ex1 1 （A）x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B）x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点. （C）x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D）x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ] （13）设,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为, ，则，A(  )线性无关的充分 1 2 1 2 1 1 2 必要条件是 (A)   0. (B)   0. (C)   0. (D)  0. [ ] 1 2 1 2 （14）设A为n（n  2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，则 [ ] （A）交换A*的第1列与第2列得B*. (B) 交换A*的第1行与第2行得B*. (C) 交换A*的第1列与第2列得B*. (D) 交换A*的第1行与第2行得B*. 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分 11 分）设函数 f(x)连续，且 f(0)  0 ，求极限 x  (xt)f(t)dt lim 0 . x0 x x f(xt)dt 0 （16）（本题满分11分） 1 如图，C 和C 分别是y  (1ex)和y  ex的图象，过点(0,1)的曲 线C 是一单调增 1 2 2 3 函数的图象. 过C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线l 和l . 记C ,C 与l 所围图形的面积为S (x)； 2 x y 1 2 x 1 C ,C 与l 所围图形的面积为S (y).如果总有S (x)  S (y)，求曲线 C 的 方 程 2 3 y 2 1 2 3 x (y). （17）（本题满分11分） 如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l 与l 分 别是曲线C在 1 2 点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计 算 定 积 分 -10-3  (x2  x)f (x)dx. 0 （18）（本题满分12分） 用变量代换x  cost(0t )化简微分方程(1 x2)y xy y  0，并求其满足 y 1,y  2的特 x0 x0 解. （19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I）存在(0,1), 使得 f() 1；（II）存在两个不同的点,(0,1)，使得 f ()f () 1. （20）（本题满分10分） y2 已知函数z=f(x,y) 的全微分dz  2xdx2ydy，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域D {(x,y)x2  1}上的 4 最大值和最小值. （21）（本题满分9分） 计算二重积分 x2  y2 1d，其中D {(x,y)0 x 1,0 y 1}. D （22）（本题满分9分） 确定常数a,使向量组  (1,1,a)T,  (1,a,1)T,  (a,1,1)T 可由向量组 1 2 3   (1,1,a)T,  (2,a,4)T,   (2,a,a)T 线性表示，但向量组, ,不能由向量组, , 线性表示. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 （23）（本题满分9分） 1 2 3   已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B  2 4 6 （k为常数），且AB=O, 求线性方    3 6 k  程组Ax=0的通解. -11-2004 年考硕数学（二）真题 一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ） (n1)x （1）设 f(x) lim , 则 f(x)的间断点为x . n nx2 1  xt33t1 （2）设函数 y(x)由参数方程  确定, 则曲线 y  y(x)向上凸的x取值范围为____.. y t33t1  dx （3） _____.. 1 x x2 1 z z （4）设函数z  z(x,y)由方程z e2x3z 2y确定, 则3  ______. x y 6 （5）微分方程(yx3)dx2xdy 0满足 y  的特解为_______. x1 5 2 1 0   （6）设矩阵 A 1 2 0 , 矩阵B满足 ABA  2BA E, 其中 A 为 A的伴随矩阵, E是单位矩阵, 则     0 0 1 B ______-. 二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选 项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把x0 时的无穷小量  x cost2dt ,   x2 tan tdt,   x sint3dt排列起来, 使排在后面的是前一 0 0 0 个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是( ) （A）,,. （B）,,. （C）,,. （D）,,. （8）设 f(x) x(1x) , 则 （A）x0是 f(x)的极值点, 但(0,0)不是曲线 y  f(x)的拐点. （B）x0不是 f(x)的极值点, 但(0,0)是曲线 y  f(x)的拐点. （C）x0是 f(x)的极值点, 且(0,0)是曲线 y  f(x)的拐点. （D）x0不是 f(x)的极值点, (0,0)也不是曲线 y  f(x)的拐点. 1 2 n （9）limlnn (1 )2(1 )2 (1 )2 等于 ( ) n n n n 2 2 2 2 （A） ln2 xdx. （B）2 lnxdx. （C）2 ln(1x)dx. （D） ln2(1x)dx 1 1 1 1 -12-（10）设函数 f(x)连续, 且 f(0)0, 则存在0, 使得( ) （A） f(x)在(0,)内单调增加. （B） f(x)在(,0)内单调减小. （C）对任意的x(0,)有 f(x) f(0). （D）对任意的x(,0)有 f(x) f(0). （11）微分方程 y y  x2 1sinx的特解形式可设为( ) （A） yax2 bxcx(AsinxBcosx). （B）y x(ax2 bxc AsinxBcosx). （C） yax2 bxc Asinx. （D）yax2 bxc Acosx   （12）设函数 f(u)连续, 区域D  (x, y) x2 y2 2y , 则 f(xy)dxdy等于( ) D 1 1x2 2 2yy2 （A） dx f(xy)dy. （B）2 dy f(xy)dx. 1  1x2 0 0  2sin  2sin （C） d f(r2sincos)dr. （D） d f(r2sincos)rdr 0 0 0 0 （13）设A是3阶方阵, 将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 则满足 AQ C的可 逆矩阵Q为( ) 0 1 0 0 1 0     （A） 1 0 0 . （B） 1 0 1 .         1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1     （C） 1 0 0 . （D） 1 0 0 .         0 1 1 0 0 1 （14）设A,B为满足AB O的任意两个非零矩阵, 则必有( ) （A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. （C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关. 三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） （15）（本题满分10分） 1  2cosx x  求极限lim   1. x0 x3   3   -13-（16）（本题满分10分） 设函数 f(x)在（,）上有定义, 在区间[0,2]上, f(x) x(x2 4), 若对任意的x都满足 f(x)kf(x2), 其中k为常数. (Ⅰ)写出 f(x)在[2,0)上的表达式; (Ⅱ)问k为何值时, f(x)在x0处可导. （17）（本题满分11分）  x 设 f(x)  2 sint dt , x (Ⅰ)证明 f(x)是以为周期的周期函数;(Ⅱ)求 f(x)的值域. （18）（本题满分12分） ex ex 曲线 y  与直线x0, xt(t 0)及 y 0围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体, 2 其体积为V(t), 侧面积为S(t), 在x t 处的底面积为F(t). S(t) S(t) (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)计算极限 lim . V(t) t F(t) 4 （19）（本题满分12分）设eabe2, 证明ln2bln2a  (ba). e2 -14-（20）（本题满分11分） 某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速 并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力 与飞机的速度成正比(比例系数为k 6.0106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? 注 kg表示千克,km/h表示千米/小时. z z 2z （21）（本题满分10分）设z  f(x2  y2,exy),其中 f 具有连续二阶偏导数,求 , , . x y xy （22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组 (1a)x x x x 0, 1 2 3 4  2x (2a)x 2x 2x 0, 1 2 3 4  3x 3x (3a)x 3x 0,  1 2 3 4  4x 4x 4x (4a)x 0, 1 2 3 4 试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解. （23）（本题满分9分）  1 2 3   设矩阵 1 4 3 的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可相似对角化.      1 a 5  -15-2003 年考研数学（二）真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 1 （1） 若x 0时，(1ax2)4 1 与xsinx是等价无穷小，则a= . （2） 设函数y=f(x)由方程xy2lnx  y4所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 . （3） y  2x的麦克劳林公式中xn项的系数是__________. （4） 设曲线的极坐标方程为 ea(a  0) ，则该曲线上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的 面积为__________.  1 1 1    （5） 设为3维列向量，T是的转置. 若T  1 1 1 ，则T= .     1 1 1    1 0 1   （6） 设3阶方阵A,B满足A2B AB  E，其中E为3阶单位矩阵，若A 0 2 0 ，则 B ________.    2 0 1  二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选 项前的字母填在题后的括号内） （1）设{a },{b },{c }均为非负数列，且lima  0,limb 1,limc  ,则必有 n n n n n n n n n (A) a b 对任意n成立. (B) b  c 对任意n成立. n n n n (C) 极限lima c 不存在. (D) 极限limb c 不存在. [ ] n n n n n n 3 n （2）设a  n1xn1 1 xndx, 则极限limna 等于 n 2 0 n n 3 3 (A) (1e)2 1. (B) (1e1)2 1. 3 3 (C) (1e1)2 1. (D) (1e)2 1. [ ] x y x x （3）已知 y  是微分方程 y ( )的解，则( )的表达式为 lnx x y y y2 y2 x2 x2 （A）  . (B) . (C)  . (D) . [ ] x2 x2 y2 y2 （4）设函数 f(x)在(,)内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有 （A） 一个极小值点和两个极大值点. （B） 两个极小值点和一个极大值点. （C） 两个极小值点和两个极大值点. （D） 三个极小值点和一个极大值点. [ ] -16-y O x   tanx x （5）设I  4 dx,I  4 dx, 则 1 0 x 2 0 tanx (A) I  I 1. (B) 1 I  I . 1 2 1 2 (C) I  I 1. (D) 1 I  I . [ ] 2 1 2 1 （6）设向量组Ⅰ：, ,, 可由向量组Ⅱ：, ,, 线性表示，则 1 2 r 1 2 s (A) 当r  s时，向量组Ⅱ必线性相关. (B) 当r  s时，向量组Ⅱ必线性相关 .(C) 当r  s时，向量组Ⅰ必线性相关. (D) 当r  s时，向量组Ⅰ必线性相关. [ ]   ln(1ax3)  , x  0,  xarcsinx 三 、（本题满分10分）设函数 f(x)   6, x  0, eax  x2 ax1 x  0,  , x  xsin  4 问a为何值时， f(x)在x0处连续；a为何值时，x0是 f(x)的可去间断点？ 四 、（本题满分9分）  x 12t2,  d2y 设函数y  y(x)由参数方程 12lnt eu (t 1)所确定，求 .  y   du dx2 x9  1 u xearctanx 五 、（本题满分9分）计算不定积分  dx. 3 (1 x2) 2 六 、（本题满分12分） 设函数y  y(x)在(,)内具有二阶导数，且y 0,x  x(y)是y  y(x)的反函数. -17-d2x dx (1) 试将x x(y)所满足的微分方程 (ysinx)( )3  0变换为 y  y(x)满足的微分方程； dy2 dy 3 (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)  0,y(0)  的解. 2 七 、（本题满分12分） 讨论曲线 y  4lnxk 与y  4xln4 x的交点个数. 八 、（本题满分12分） 2 1 设位于第一象限的曲线 y  f(x)过点( , )，其上任一点P(x,y)处的法线与 y轴的交点为Q，且线段 2 2 PQ被x轴平分. (A) 求曲线 y  f(x)的方程； (B) 已知曲线 y sinx在[0,]上的弧长为l，试用l表示曲线 y  f(x)的弧长s. 九 、（本题满分10分） 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x (y)(y  0)绕 y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径 为2m.根据设计要求，当以3m3 /min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以m2 /min的速率均匀扩大（假 设注入液体前，容器内无液体）. (1) 根据t时刻液面的面积，写出t与(y)之间的关系式； (2) 求曲线x (y)的方程. (注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.) -18-f(2xa) 十 、（本题满分10分）设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且 f (x)  0. 若极限 lim xa xa 存在，证明： b2 a2 2 (1) 在(a,b)内 f(x)0;(2)在(a,b)内存在点，使  ；  b f(x)dx f() a 2 b (3) 在(a,b) 内存在与(2)中相异的点，使 f ()(b2 a2)   f(x)dx. a a 十 一、（本题满分10分） 2 2 0   若矩阵A 8 2 a 相似于对角阵，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使P1AP  .    0 0 6  十二 、（本题满分8分） 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l : ax2by3c  0， l : bx2cy3a  0， l : cx2ay3b  0. 1 2 3 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为abc  0. -19-2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)  1etanx x  0 1．设函数 f (x)  arcsin 2 x 在x  0处连续，则a （ ）．  ae2x x  0 2．位于曲线 y  xex（0 x  ）下方，x轴上方的无界图形的面积为（ ）． 3．微分方程 yy y2  0满足初始条件 y 1,y  1 的特解是（ ）． x0 x0 2 1  2 n 4．lim [ 1cos  1cos  1cos ] =（ ）． nn n n n  0 2 2   5．矩阵 2 2 2的非零特征值是（ ）．    2 2 2  二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．) １．函数 f(u)可导，y  f(x2)当自变量x在x  1处取得增量x  0.1时，相应的函数增量y的线性主部为 ０．１，则 f (1)＝( ) （Ａ）－１； （Ｂ）０．１； （Ｃ）１； （Ｄ）０．５． ２．函数 f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是( ) x x (A) f(t2)dt； (B)  f 2(t)dt； 0 0 x x (C)  t[f(t) f(t)]dt； (D)  t[f(t) f(t)]dt． 0 0 ３．设 y  y(x)是二阶常系数微分方程 y pyqy  e3x满足初始条件 y(0)  y(0)  0的 ln(1x2) 特解，则当x0时，函数 的极限( ) y(x) (A)不存在； （Ｂ）等于１； (C)等于２； (D) 等于３． ４．设函数 y  f(x)在(0,)内有界且可导，则( ) (A)当 lim f(x)0时，必有 lim f (x)  0； x x （Ｂ）当 lim f (x)存在时，必有 lim f (x)  0； x x (C) 当 lim f(x)0时，必有 lim f(x)0； x0 x0 (D) 当 lim f(x)存在时，必有 lim f(x)0． x0 x0 5．设向量组, , 线性无关，向量可由, , 线性表示，而向量 不能由, , 线性表示，则对于 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 -20-任意常数k 必有( ) （Ａ）, ,,k  线性无关； (B) , ,,k  线性相关； 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 （Ｃ）, ,, k 线性无关； (D) , ,, k 线性相关． 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2  三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为r 1cos，求该曲线对应于 处的切线与法线的直角坐标 6 方程．  3 2x x2，   2 1 x  0， f (x)   四、（本题满分７分）设 xex 0 x 1. ，求函数F(x)   x f(t)dt的表达式．  . 1  (ex 1)2 五、（本题满分７分）已知函数 f(x)在（0，）内可导， f(x)  0， lim f(x) 1，且满足 x f(xhx) 1 1 lim( )h  ex，求 f(x)． h0 f(x) 六、（本题满分７分）求微分方程 xdy(x2y)dx  0 的一个解 y  y(x) ，使得由曲线 y  y(x) 与直线 x 1,x  2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小． 七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二 次抛物线与线段ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压 之比为５：４，闸门矩形部分的高h应为多少米？ -21-八、（本题满分８分） 设0 x 3，x  x (3 x )（n＝1,2，…）．证明：数列｛x ｝的极限存在，并求此极限． 1 n1 n n n 2a lnblna 1 九、（本题满分８分）设0ab，证明不等式   ． a2 b2 ba ab 十、（本题满分8分）设函数 f(x)在x＝0的某邻域具有二阶连续导数，且 f(0)0，f(0)0，f(0)0.． 证明：存在惟一的一组实数，，，，使得当h 0时， 1 2 3 f(h) f(2h)f(3h) f(0)是比h2高阶的无穷小. 1 2 3 十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为3阶矩阵，且满足2A1B  B4E，其中E是3阶单位矩阵. ⑴证明：矩阵A2E 可逆； 1 2 0   ⑵若B 1 2 0，求矩阵Ａ．   0 0 2 十二、（本题满分６分）已知4阶方阵A (, ,, )， , ,, 均为4维列向量，其中 ,, 线性 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 无关，  2  ．若    ，求线性方程组Ax 的通解． 1 2 3 1 2 3 4 -22-2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 3 x  1 x 1、lim =（ ）． x1 x2  x2 2、设函数 y  f(x) 由方程e2xy cos(xy)e1所确定，则曲线 y  f(x) 在点（0，1）处的法线方程为 ： （ ）．  3、 2 (x3 sin2 x)cos2 xdx=（ ）．  2 1  y 4、过点 ，0且满足关系式 yarcsinx 1的曲线方程为：（ ）． 2  1 x2 a 1 1x   1    1   5、方程组1 a 1x   1 有无穷多解，则a=（ ）． 2      1 1 ax   2 3 二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．) 1， x 1 1、设 f(x) 则 f{f[f(x)]}=( ) 0， x 1 1 x 1 0 x 1 （ A ） 0； （B）1； （C） ； （D） ． 0 x 1 1 x 1   2、设当x 0时，(1cosx)ln(1 x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比 ex2 1 高阶的无穷小，则正 整数n等于（ ） （ A ）1； （B）2； （C）3； （D）4． 3、曲线 y  (x1)2(x3)2的拐点的个数为( ) （ A ）０； （B）１； （C）２； （D）３． 4、已知函数 f(x)在区间（1-δ，1+δ）内具有二阶可导， f (x) 严格单调减小，且 f(1)= f (1)=1，则( ) （A）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有 f(x)  x； （B）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有 f(x)  x； （C）在（1-δ，1）内有 f(x)  x，在（1，1+δ）内，有 f(x)  x； （D）在（1-δ，1）内有 f(x)  x，在（1，1+δ）内，有 f(x)  x． 5、已知函数 y  f(x)在其定义域内可导，它的图形如图所示：则其导函数 y  f (x)的图形为 ( ) -23-dx 三、（本题满分6分）求 ． (2x2 1) x2 1 sint x 四、（本题满分7分）求极限lim( )sintsinx 记此极限为 f(x)，求函数 f(x)的间断点并指出其类型． tx sinx 五、（本题满分7分）设(x)是抛物线 y  x 上任意一点M（x,y）（x 1）处的曲率半径，s  s(x)是 d2 d y 抛物线上介于点A（1，1）与M之间的弧长，计算3 ( )2的值（在直角坐标系下曲率公式为K＝ ）． ds2 ds (1 y2)2 3 六、（本题满分7分）设函数 f(x)在[0，+）可导， f(0)=0，且其反函数为g(x)． f(x) 若 g(t)dt  x2ex，求 f(x)． 0 七、（本题满分7分）设函数 f(x)，g(x)满足 f (x)=g(x)， g(x)=2ex－ f(x)  g(x) f (x) 且 f(0)=0，g(0)=2，求 [  ]dx . 0 1 x (1 x)2 -24-八、（本题满分9分）设L为一平面曲线，其上任意点P（x,y）（x  0）到坐标原点的距离，恒等于该点处的 1 切线在 y轴上的截距，且L过点（ ，0）． 2 1、求L的方程 2、求L的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围成的图形的面积最小． 九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比 比例系数K 0．假设在融化 7 过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为r 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的 ，问雪堆全部融化 0 8 需要多少时间？ 十、（本题满分8分）设 f(x)在区间[a,a](a 0)上具有二阶连续导数，且 f(0)=0 1、写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； a 2、证明在[a,a]上至少存在一点，使a3 f () 3 f(x)dx a 1 0 0 0 1 1     十一、（本题满分6分）已知矩阵A1 1 0,B 1 0 1且矩阵X 满足     1 1 1 1 1 0 AXABXA AXBBXAE,其中E是3阶单位矩阵，求X ． 十二、（本题满分6分）已知, ,, 是线性方程组AX 0的一个基础解系，若 1 2 3 4   t ,  t,  t ,  t，讨论实数t满足什么关系时， ,,, 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1 1 2 3 4 也是AX 0的一个基础解系． -25-2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) arctanxx （1） lim   _____________.- x0 ln12x3 （2）设函数 y  y  x  由方程2xy  x y所确定，则dy _____________. x0  dx （3） _____________.   2 x7 x2 1   （4）曲线y  2x1ex的斜渐进线方程为_____________.  1 0 0 0   2 3 0 0 （5）设A   ，E为4阶单位矩阵，且B   E A 1 E A  ,则 EB 1 _____________. 0 4 5 0      0 0 67 二、选择题 x 6.设函数 f  x   在 ，  内连续，且 lim f(x)0，则常数a,b满足（ ） aebx x （A）a0,b0. （B）a 0,b0. （C）a0,b0. （D）a0,b0. 7.设函数 f  x  满足关系式 f x    f x 2  x,且f 0  0,则（ ） （A） f  0 是f  x 的极大值 （B） f  0 是f  x 的极小值 （C）点（0，f  0 ）是曲线y  f  x 的拐点. （D） f  0 不是f  x 的极值.点 0，f  0  也不是曲线 y  f  x  的拐点 8.设函数 f  x ，g  x  是大于零的可导函数，且 f x  g  x   f  x  g x  0,则当a xb时，有（ ）                 （A） f x g b  f b g x . （B） f x g a  f a g x .                 （C） f x g x  f b g b . （D） f x g x  f a g a .     sin6xxf x  6 f x 9.若lim 0,则lim 为（ ） x0 x3  x0 x2 （A）0. （B）6. （C）36. （D） -26-10.具有特解 y ex,y 2xex,y 3ex的3阶常系数齐次线性微分方程是（ ） 1 2 3 （A） y y y y 0. （B） y y y y 0. （C） y6y11y6y 0. （D） y2y y2y 0. 三、解答题   ln1x 11.设 f  lnx   ,计算 f  x  dx. x 12.设xOy平面上有正方形D （  x,y）0 x1,0 y1  及直线l:x y t  t 0  .若S  t  表示正方形D位于直线l 左下方部分的面积，试求 x S  t  dt  x0  . 0 13.求函数 f  x   x2ln  1x 在x0处的n阶导数f x  0  n3  . 14.设函数S  x    x costdt, 0 （1）当n为正整数，且n x  n1  时，证明：2n S  x  2  n1  ;   S x （2）求 lim . x x V V 15.某湖泊的水量为V ，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为 ，流入湖泊内不含A的水量为 ，流出湖泊的水 6 6 V 量为 .已知1999年年底湖中A的含量为5m ，超过国家规定指标，为了治理污水，从2000年年初起，限定排入 3 0 m 湖泊中含A污水的浓度不超过 0 .问至多需经过多少年，湖泊中污染物A的含量将至m 以内？（注：设湖水中A的 V 0 浓度是均匀的.） -27-16.设函数 f  x  在  0，  上连续，且  f  x  dx 0,  f  x  cosxdx 0.试证明：在  0.  内至少存在两个不同的点 0 0 ，，使f     f    0. 1 2 1 2         17.已知 f x 是周期为5的连续函数，它在x0的某个邻域内满足关系式 f 1sinx 3f 1sinx 8xa x 其          中a x 是当x0时，比x高阶的无穷小，且 f x 在x1处可导，求曲线 y  f x 在点 6, f 6 处的切线方程. 18.设曲线 y ax2 a 0,x0 与y 1x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y ax2围成一平面图形。 问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？ 19.函数 f  x  在  0，  上可导， f  0  1，且满足等式 f x   f  x   1  x f  t  dt 0 x1 0 （1）求导数 f x ； （2）证明：当x0时，成立不等式：ex  f  x  1. 1 1 0    1    20.设2, ,0,AT,B T,其中T是的转置，求解方程2B2A2x A4xB4x    2    1 0 8  0  a b  1  3  9              21.已知向量组  1 ， 2, 1与向量组  2 ， 0，  6 具有相同的秩，且 1 ,2 3 1 ,2 ,3 3              1 1 0  3 1  7 可由，， 线性表示，求a,b的值。 1 2 3 -28-1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) xetsin2t （1） 曲线 在点（0,1）处的法线方程为_____________.  y et cost （2）设函数 y  y  x  由方程ln  x2  y   x3ysinx确定，则 dy _____________. dx x0 x5 （3） dx _____________. x2 6x13 x2 1 3 （4）函数y  在区间[ , ]上的评价值为_____________. 1x2 2 2 （5）微分方程y4y e2x的通解为_____________. 二、选择题 1cosx  x0 1.设 f  x   x 其中g  x  是由界函数，则 f  x 在x0处（ ）   x2g  x  x0 （A）极限不存在 （B）极限存在，但不连续 （C）连续，但不可导 （D）可导 1 2.设a  x    5xsint dt,  x    ainx 1t tdt则当x0时，a  x 是  x  的（ ） 0 t 0 （A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）同阶但不等价的无穷小 （D）等阶无穷小 3.设 f  x  是连续函数F  x 是f  x  的原函数，则（ ）     （A）当 f x 是奇函数时，F x 必是偶函数     （B）当 f x 是偶函数时，F x 必是奇函数     （C）当 f x 是周期函数时，F x 必是周期函数     （D）当 f x 是单调增函数时，F x 必是单调增函数     4.“对任意给定的e 0,1 ，总存在正整数N ，当n N 时，恒有|x a|2”是数列 x 收敛于a的（ ） n n （A）充分条件但非必要条件 （B）必要条件但非充分条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分条件又非必要条件 x2 x1 x2 x3 2x22x12x22x3     5.记行列式 为 f x ，则方程 f x 0的根的个数为（ ） 3x33x24x53x5 4x 4x35x74x3 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 -29-三、（本题满分5分） 1tanx  1sinx 求lim x0 xln  1x  x2 四、（本题满分6分） arctanx 计算 dx. 1 x2 五、（本题满分7分）     y x2  y2 dxxdy 0,  x0  求初值问题 的解  y 0  x1 六、（本题满分7分） 为清楚井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口，已知井深30m，抓斗自重400N,缆绳每米重500N， 抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥 的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：①1N×1m=1J；m,N,s,J分别表示米，牛顿，秒，焦耳； ②抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计） 七、（本题满分8分） x3 已知函数 y  ,求  x1 2 （1）函数的增减区间及极值； （2）函数图形的凸凹区间及拐点； -30-（3）函数图形的渐近线。 八、（本题满分8分） 设函数 f  x  在闭区间[1,1]上具有三阶连续导数，且 f  1  0，f  1  1, f 0  0,证明：在开区间（-1,1）内至 少存在一点，使 f   3 九、（本题满分8分） 设函数y  x  x0  二阶可导，且y x  0,y  0  1.过曲线y  y  x  上任意一点P  x,y  作该曲线的切线及x轴的   垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S ，区间[0,x]上以y  y x 为曲边的曲边梯形面积记为S ， 1 2   并设2S S 恒为1，求此曲线 y  y x 的方程。 1 2 十、（本题满分7分） n 设 f  x  是区间[0,]上单调减少且非负的连续函数，a  f  y   n f  x  dx  n1,2,,  证明数列  a  的极 n n 1 k1 限存在。 十一、（本题满分6分）  1 1 1   设矩阵A 1 1 1 ，矩阵X 满足A*X  A12X ，其中A*是A的伴随矩阵，求矩阵X.     1 1 1   十二、（本题满分5分） 设向量组   1,1,1,3 T，   1，3,5,1 T，   3,2，1，p2 T,   2,6,10, p T 1 2 3 4 （1） p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量  4,1,6,10 T用，，， 线性表出； 1 2 3 4 （2） p为何值时，该向量组线性相关？并此时求出它的秩和一个极大线性无关组. -31-1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) 1x  1x 2 lim =_____________. （1）x0 x2 （2）曲线y x3 x2 2x与x轴所围成的图形的面积A_____________. ln（sinx） （3） dx _____________. sin2 x （4）设 f  x  连续，则 d  x tf(x2t2)dt_____________. dx 0  1   （5）曲线y  xlne  x0 的渐进线方程为_____________.  x 二、选择题 1.设数列x与y满足limx y 0，则下列断言正确的是（ ） n n n n x （A）若x发散，则 y 必发散 （B）若x 无界，则 y 必有界 n n n n 1 （C）若x 有界，则 y 必为无穷小 （D）若 为无穷小，则 y 必为无穷小 n n n x n (2)函数 f(x)(x2 x2) x3x 的不可导点的个数是（ ） (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 yx (3)已知函数 y  y(x)在任意点 x处的增量y  ,其中a是比x(x0)高阶无穷小,且 y(0),则 1x2 y(1) （ ） =   (A)e4 (B)2 (C) (D)e4       4.设函数 f x 在xa的某个邻域内连续，且 f a 为其极大值，则存在0，当x a,a 时，必有（ ）             （A） xa [f x  f a ]0 （B） xa [f x  f a ]0         f t  f x f t  f x     （C）lim 0 x a （D）lim 0 x a ta  tx 2 ta  tx 2 5.设A是任一n  n3  阶方程，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k 0，1，则必有  kA * （ ） （A）kA* （B）kn1A* （C）knA* （D）k1A* 三、（本题满分5分） x 求函数 f  x    1x   在区间  0，2  内的间断点，并判断其类型。 tan(x ) 4 四、（本题满分5分） -32-axsinx 确定常数a,b,c的值，使lim c(c0). x0 xln(1t3)  b t 五、（本题满分5分） u 利用代换 y  将方程 ycosx2ysinx3ycosxex化简，并求出原方程的通解. cosx 六、（本题满分6分） 3 dx 计算积分2 . 1 xx2 2 七、（本题满分6分） 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y（从海平面算起）与下沉速度v之间 的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器 的质量为m，体积为B，海水比重为，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k（k 0）.试建立 y与v   所满足的微分方程，并求出函数关系式 y  f v . 八、（本题满分8分）   设y  f x 是区间[0,1]上的任一非负连续函数。       （1）试证存在x  0,1 ，使得在区间[0,x ]上以 f x 为高的矩形面积，等于在[x ,1]上以 y  f x 为曲边的梯 0 0 0 0 形面积。   2f x （2）又设 f  x  在区间  0,1  内可导，且 f x   ,证明（1）中的x 是唯一的。 x 0 九、（本题满分8分） 设有曲线 y  x1，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋 转体的表面积。 -33-十、（本题满分8分） 1 设 y  y  x  是一向上凸的连续曲线，其上任意一点  x，y  处的曲率为 ，且此曲线上点  0,1  处的切线方 1 y2   程为 y  x1，求该曲线的方程，并求函数 y  y x 的极值。 十一、（本题满分6分）   设x 0,1 ，证明： （1）（1x）ln2(1x) x2; 1 1 1 1 （2） 1   . ln2 ln(1x) x 2 十二、（本题满分5分）   设 2EC1B AT C1，其中E是4阶单位矩阵，AT 是4阶矩阵A的转置矩阵， 1 2 3 2 1 2 0 1     0 1 2 3 0 1 2 0 B   ，C   ，求A。 0 0 1 2  0 0 1 2     0 0 0 1  0 0 0 1 十三、（本题满分8分） 已知 （1,4,0,2）T， （2,7,1,3）T,(0，1，1,a)T,(3,10,b,4)T,问： 1 2 3 （1）a,b取何值时，不能由，，线性表示？ 1 2 3 （2）a,b取何值时，可由，，线性表示？并写出表达式. 1 2 3 -34-