文档内容
® YIWU JIAOYU JIAOKESHU
义
SHUXUE 务
教
3
育
八年级
教
科
义务教育教科书
书
（ （五·四学制）
五
·
四
下册
学
制
）
数学 八年级 下册
数
数学
学
八
年
级
下
册
绿色印刷产品
定价：7.75元
数学八年级下封面.indd 1 2014.10.16 8:49:26 AM义 务 教 育 教 科 书
（五·四学制）
数 学
八年级
下册
人民教育出版社 课程教材研究所
编著
中学数学课程教材研究开发中心
·北 京·主 编：林 群
副 主 编：田载今 薛 彬 李海东
本册主编：李龙才
主要编写人员：俞求是 张劲松 田载今 章建跃 吴增生
责任编辑：张唯一
美术编辑：王俊宏
封面设计：吕 旻 王俊宏
插 图：王俊宏 文鲁工作室（封面）
义务教育教科书（五·四学制） 数学 八年级 下册
人民教育出版社 课程教材研究所
编著
中学数学课程教材研究开发中心
出 版
（北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼 邮编：100081）
网 址 http://www.pep.com.cn
重 印 ×××出版社
发 行 ×××新华书店
印 刷 ×××印刷厂
版 次 2014年10月第1版
印 次 年 月第 次印刷
开 本 787毫米×1092毫米 1/16
印 张 7.75
字 数 126千字
印 数 册
书 号 ISBN 978-7-107-29003-9
定 价 元
版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究
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如发现印、装质量问题，影响阅读，请与×××联系调换。电话：×××-××××××××本册导引
亲爱的同学，新学期开始了。
摆在你面前的这本书，是我们根据 《义务教育数学课程标准 （２０１１年
版）》编写的教科书的八年级下册。现在我们一起来看看这本书的内容。
三角形中还有许多奥秘等着你去探究。你知道直角三角形的三条边有什么
关系吗？请你到 “勾股定理”中去探索。在探索的过程中，你会由衷地感叹数
学的美妙与和谐。
在我们生活的世界随处可见平行四边形的身影，各种各样的平行四边形装
点着我们的生活，给我们带来美的感受。一般的平行四边形与特殊的平行四边
形———矩形、菱形、正方形之间有什么联系和区别？它们有怎样的性质？通过
“平行四边形”一章的学习，你会对这些问题有更深的认识。
我们生活在变化的世界中，时间的推移、人口的增长、水位的升降……变
化的例子举不胜举，函数将给你提供描述这些变化的一种数学工具。通过分析
实际问题中的变量关系，得到相应的函数，你就能利用它解决非常广泛的问
题。学习了 “一次函数”，你会对这些有所体会。
你已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题
时还会遇到一种新方程———一元二次方程。怎样解这种方程，并运用这种方程
解决一些实际问题呢？学了 “一元二次方程”一章，你就会获得答案。
数学伴着我们成长、数学伴着我们进步、数学伴着我们成功，让我们一起
随着这本书，继续畅游神奇、美妙的数学世界吧！目 录
第二十四章 勾股定理
２４．１ 勾股定理 ２
阅读与思考 勾股定理的证明 １０
２４．２ 勾股定理的逆定理 １１
阅读与思考 费马大定理 １５
数学活动
１６
小结
１７
复习题２４
１８
第二十五章 平行四边形
２５．１ 平行四边形 ２１
２５．２ 特殊的平行四边形 ３２
实验与探究 丰富多彩的正方形 ４３
数学活动
４４
小结
４６
复习题２５
４７第二十六章 一次函数
２６．１ 函数 ５１
阅读与思考 科学家如何测算岩石的年龄 ６５
２６．２ 一次函数 ６６
信息技术应用 用计算机画函数图象 ８１
２６．３ 课题学习 选择方案 ８２
数学活动
８５
小结
８６
复习题２６
８７
第二十七章 一元二次方程
２７．１ 一元二次方程 ９１
２７．２ 解一元二次方程 ９４
阅读与思考 黄金分割数 １０７
２７．３ 一元二次方程与实际问题 １０８
数学活动
１１２
小结
１１３
复习题２７
１１４
部分中英文词汇索引
１１６第二十四章 勾股定理
章前图中左侧的图案是２００２年在北京召开的
国际数学家大会的会徽，它与数学中著名的勾股
定理有着密切关系．
在我国古代，人们将直角三角形中短的直角
边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据
我国古代数学书 《周髀算经》记载，在约公元前
１１世纪，人们就已经知道，如果勾是三、股是四，
那么弦是五．后来人们进一步发现并证明了关于直
角三角形三边之间的关系———两条直角边的平方
和等于斜边的平方，这就是勾股定理．
本章我们将探索并证明勾股定理及其逆定理，
并运用这两个定理去解决有关问题．由此可以加深
对直角三角形的认识．
书书书２４．１ 勾股定理
相传２５００多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友
家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了
直角三角形三边的某种数量关系．我们也来观察一
下地面的图案 （图２４．１１），看看能从中发现什么
数量关系．
毕达哥拉斯（Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓ，约前
５８０—约前５００），古希腊著名的
哲学家、数学家、天文学家．
图２４．１１
图２４．１２中三个正方形的面积有什么关系？等腰直角三角形的三边
之间有什么关系？
图２４．１２
可以发现，以等腰直角三角形两直角边为边长
的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方
看似平淡无奇的
形的面积．即等腰直角三角形的三边之间有一种特殊 现象有时却蕴含着深
的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和． 刻的道理．
２
!"#$%&’()*
等腰直角三角形有上述性质，
其他的直角三角形也有这个性质 B
吗？图２４．１３中，每个小方格的
A
面积均为１，请分别算出图中正方 C
形Ａ，Ｂ，Ｃ，Ａ′，Ｂ′，Ｃ′的面积，
C
看看能得出什么结论． （提示：以
A
斜边为边长的正方形的面积，等于
某个正方形的面积减去４个直角三
B
角形的面积．）
图２４．１３
由上面的几个例子，我们猜想 （图２４．１４）：
命题１ 如果直角三角形的两条直角边长分别为犪，犫，斜边长为犮，那么
犪２＋犫２＝犮２．
B
c
A a
C A
b
c
b
B a C
图２４．１４ 图２４．１５
证明命题１的方法有很多，下面介绍我国古
人赵爽的证法．
赵爽指出：按弦
如图２４．１５，这个图案是３世纪我国汉代的
图，又可以勾股相乘
赵爽在注解 《周髀算经》时给出的，人们称它为
为朱实二，倍之为朱
“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直 实四．以勾股之差自相
角三角形 （红色）可以如图围成一个大正方形， 乘为中黄实．加差实，
亦成弦实．
中空的部分是一个小正方形 （黄色）．
赵爽利用弦图证明命题１的基本思路如下：
如图２４．１６（１），把边长为犪，犫的两个正方形
３
!"#$%&’()*连在一起，它的面积是犪２＋犫２ ；另一方面，这个图形可分割成四个全等的直
角三角形 （红色）和一个正方形 （黄色）．把图２４．１６（１）中左、右两个三角
形移到图２４．１６（２）中所示的位置，就会形成一个以犮为边长的正方形
（图２４．１６（３））．因为图２４．１６（１）与图２４．１６（３）都由四个全等的直角三
角形 （红色）和一个正方形 （黄色）组成，所以它们的面积相等．因此，
犪２＋犫２＝犮２．
c c
a a
b b
c
b
a
a
（１） （２） （３）
图２４．１６
这样我们就证实了命题１的正确性，命题１
与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理
赵爽所用的这种
（Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓｔｈｅｏｒｅｍ）．
方法是我国古代数学
“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙
家常用的 “出入相补
地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国
法”．在西方，人们称
古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代 勾股定理为毕达哥拉
数学的骄傲．因此，这个图案 （图２４．１５）被选为 斯定理．
２００２年在北京召开的国际数学家大会的会徽．
１．设直角三角形的两条直角边长分别为犪和犫，斜边
B
长为犮．
（１）已知犪＝６，犮＝１０，求犫； A
C
（２）已知犪＝５，犫＝１２，求犮；
D
（３）已知犮＝２５，犫＝１５，求犪．
２．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形
E
都是正方形．已知正方形Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的边长分别
是１２，１６，９，１２，求最大正方形Ｅ的面积． （第２题）
４
!"#$%&’()*勾股定理有广泛应用，下面我们用它解决几个问题．
!"#$%&’()*
m
2
例１ 一个门框的尺寸如图２４．１７所示，一块
长３ｍ，宽２．２ｍ的长方形薄木板能否从门框内通 D C
过？为什么？
分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框
内通过，只能试试斜着能否通过．门框对角线犃犆的
长度是斜着能通过的最大长度．求出犃犆，再与木板
的宽比较，就能知道木板能否通过． A B
1m
解：在Ｒｔ△犃犅犆中，根据勾股定理，
图２４．１７
犃犆２＝犃犅２＋犅犆２＝１２＋２２＝５．
犃犆＝槡５≈２．２４．
因为犃犆大于木板的宽２．２ｍ，所以木板能从门
框内通过．
例２ 如图２４．１８，一架２．６ｍ长的梯子犃犅斜
靠在一竖直的墙犃犗上，这时犃犗为２．４ｍ．如果梯
子的顶端犃沿墙下滑０．５ｍ，那么梯子底端犅也外
A
移０．５ｍ吗？
C
解：可以看出，犅犇＝犗犇－犗犅．
在Ｒｔ△犃犗犅中，根据勾股定理，
犗犅２＝犃犅２－犗犃２＝２．６２－２．４２＝１．
O B D
犗犅＝槡１＝１． 图２４．１８
在Ｒｔ△犆犗犇中，根据勾股定理，
犗犇２＝犆犇２－犗犆２＝２．６２－（２．４－０．５） ２＝３．１５．
犗犇＝槡３．１５≈１．７７，
犅犇＝犗犇－犗犅≈１．７７－１＝０．７７．
所以梯子的顶端沿墙下滑０．５ｍ时，梯子底端
并不是也外移０．５ｍ，而是外移约０．７７ｍ．
５１．如图，池塘边有两点犃，犅，点犆是与犅犃方向成直角的犃犆方向上一点，测得
犅犆＝６０ｍ，犃犆＝２０ｍ．求犃，犅两点间的距离 （结果取整数）．
y
5
B
4
A 3
2
B 1
A
O 1 2 3 4 5 6 x
C
（第１题） （第２题）
２．如图，在平面直角坐标系中有两点犃（５，０）和犅（０，４）．求这两点之间的距离．
在七年级下册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应
相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
先画出图形，再写出已知、求证如下：
A A
已知：如图２４．１９，在Ｒｔ△犃犅犆和Ｒｔ△犃′犅′犆′中，
∠犆＝∠犆′＝９０°，犃犅＝犃′犅′，犃犆＝犃′犆′．
求证：△犃犅犆≌△犃′犅′犆′．
证明：在 Ｒｔ△犃犅犆和 Ｒｔ△犃′犅′犆′中，∠犆＝
∠犆′＝９０°，根据勾股定理，得 C B C B
图２４．１９
犅犆＝槡犃犅２－犃犆２ ，犅′犆′＝槡犃′犅′２－犃′犆′２．
又 犃犅＝犃′犅′，犃犆＝犃′犆′，
∴ 犅犆＝犅′犆′．
∴ △犃犅犆≌△犃′犅′犆′（ＳＳＳ）．
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴
上画出表示槡１３的点吗？
６
!"#$%&’()*如果能画出长为槡１３的线段，就能在数轴上画出表示槡１３的点．容易知道，
长为槡２的线段是两条直角边的长都为１的直角三角形的斜边．长为槡１３ 的线
段能是直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗？
利用勾股定理，可以发现，长为槡１３的线段是
l
直角边的长为正整数２，３的直角三角形的斜边．
B
由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示槡１３
的点． A C
O 1 2 3
如图２４．１１０，在数轴上找出表示３的点犃， 图２４．１１０
则犗犃＝３，过点犃作直线犾垂直于犗犃，在犾上取
点犅，使犃犅＝２，以原点犗为圆心，以犗犅为半径作弧，弧与数轴的交点犆
即为表示槡１３的点．
类似地，利用勾股定理，可以作出长为槡２，槡３，槡５，…的线段 （图２４．１１１）．
按照同样方法，可以在数轴上画出表示槡１，槡２，槡３，槡４，槡５，…的点
（图２４．１１２）．
1 1
1
1
1 14 13 12 11
1
15
1 10
16 1
1 9
17 8 1
1
18 1 7
2 1
1 19 1 3 6
1 4 5 1 1 2 3 4 5
0 1 2 3
1 1
图２４．１１１ 图２４．１１２
A
１．在数轴上作出表示槡１７的点．
２．如图，等边三角形的边长是６．求：
（１）高犃犇的长；
（２）这个三角形的面积．
B D C
（第２题）
７
!"#$%&’()*习题２４．１
１．设直角三角形的两条直角边长分别为犪和犫，斜边长为犮．
（１）已知犪＝１２，犫＝５，求犮；
（２）已知犪＝３，犮＝４，求犫；
（３）已知犮＝１０，犫＝９，求犪．
２．一木杆在离地面３ｍ处折断，木杆顶端落在离木杆底端４ｍ处．木杆折断之前有多高？
A
O B
（第２题） （第３题）
３．如图，一个圆锥的高犃犗＝２．４，底面半径犗犅＝０．７．犃犅的长是多少？
４．已知长方形零件尺寸 （单位：ｍｍ）如图，求两孔中心的距离 （结果保留小数点后一
位）．
A
B
C
!"#$%&’()*
12
60
04
21
l
B A
（第４题） （第５题）
５．如图，要从电线杆离地面５ｍ处向地面拉一条长为７ｍ的钢缆．求地面钢缆固定
点犃到电线杆底部犅的距离 （结果保留小数点后一位）．
６．在数轴上作出表示槡２０的点．
７．在△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犅＝犮．
（１）如果∠犃＝３０°，求犅犆，犃犆；
（２）如果∠犃＝４５°，求犅犆，犃犆．
８．在△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犆＝２．１，犅犆＝２．８．求：
８（１）△犃犅犆的面积；
（２）斜边犃犅；
（３）高犆犇．
９．已知一个三角形工件尺寸 （单位：ｍｍ）如图，计算高犾的长 （结果取整数）．
这是我国古代数学
著作 《九章算术》中的
88
一个问题．原文是：今
有池方一丈，葭生其中
88 央，出水一尺，引葭赴
l 岸，适与岸齐．问水深、
葭长各几何．（丈、尺是
长度单位，１丈＝１０尺，
１
１尺＝ ｍ）
３
!"#$%&’()*
书书书
46
（第９题） （第１０题）
１０．有一个水池，水面是一个边长为１０尺的正方形，
在水池正中央有一根芦苇，它高出水面１尺．如果把
这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池
边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
１１．如图，在Ｒｔ△犃犅犆中 ，∠犆＝９０°，∠犃＝３０°，犃犆＝２．求斜边犃犅的长．
B
30e
A C
（第１１题） （第１２题）
１２．有５个边长为１的正方形，排列形式如图．请把它们分割后拼接成一个大正方形．
１３．如图，分别以等腰Ｒｔ△犃犆犇的边犃犇，犃犆，犆犇为直径画半圆．求证：所得两个月形
图案犃犌犆犈和犇犎犆犉的面积之和 （图中阴影部分）等于Ｒｔ△犃犆犇的面积．
E
A
C F
E G H D
A B D C B
（第１３题） （第１４题）
１４．如图，△犃犆犅和△犈犆犇都是等腰直角三角形，犆犃＝犆犅，犆犈＝犆犇，△犃犆犅的
顶点犃在△犈犆犇的斜边犇犈上．求证：犃犈２＋犃犇２＝２犃犆２．（提示：连接犅犇．）
９
勾股定理的证明
２０００多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣．不但因为这个定理重要、基本，还
因为这个定理贴近人们的生活实际．以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿
意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现．下面介绍几种用来证明勾股定理的图形，你
能根据这些图形及提示证明勾股定理吗？
１．传说中毕达哥拉斯的证法 （图１）
提示：（１）中拼成的正方形与 （２）中拼成的正方形面积相等．
b a a b
a a c c a
b
b b
a c c b
b a b a
（１） （２）
图１
２．弦图的另一种证法 （图２）
提示：以斜边为边长的正方形的面积＋４个三角形的面积＝外正方形的面积．
B
C a A
c
a
c
b
C A
b
B
c
a
D E
b
图２ 图３
３．美国第２０任总统茄菲尔德的证法 （图３）
提示：３个三角形的面积之和＝梯形的面积．
１０
!"#$%&’()*２４．２ 勾股定理的逆定理
据说，古埃及人用图２４．２１的方法画直角：把一根长绳打上等距离的１３
个结，然后以３个结间距、４个结间距、５个结间距的长度为边长，用木桩钉
成一个三角形，其中一个角便是直角．
(1)
(13) 相传，我国古代
(12)
大禹治水测量工程时，
(11)
(2)
(10) 也用 类 似 方 法 确 定
(3) (9) 直角．
(4)
(5) (6) (7) (8)
图２４．２１
这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为３，４，５，它们满足
关系 “３２＋４２＝５２ ”，那么围成的三角形是直角三角形．
画画看，如果三角形的三边长分别为２．５ｃｍ，６ｃｍ，６．５ｃｍ，它们满足
关系 “２．５２＋６２＝６．５２ ”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为
４ｃｍ，７．５ｃｍ，８．５ｃｍ，再试一试．
由上面的几个例子，我们猜想：
命题２ 如果三角形的三边长犪，犫，犮满足犪２＋犫２＝犮２ ，那么这个三角形
是直角三角形．
我们看到，命题２与上节的命题１的题设、
命题１、命题
结论正好相反．我们把像这样的两个命题叫做互
２的题设、结论分
逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一
别是什么？
个叫做它的逆命题．例如，如果把命题１当成原
命题，那么命题２是命题１的逆命题．上节已证
明命题１正确，能证明命题２正确吗？
在图２４．２２（１）中，已知△犃犅犆的三边长
分别为犪，犫，犮，且满足犪２＋犫２＝犮２．要证
△犃犅犆一定是直角三角形，我们可以先画一个两
１１
!"#$%&’()*条直角边长分别为犪，犫的直角三角形，如果△犃犅犆与这个直角三角形全等，
那么△犃犅犆就是一个直角三角形．
如图２４．２２（２），画一个Ｒｔ△犃′犅′犆′，使犅′犆′＝犪，犃′犆′＝犫，∠犆′＝
９０°．根据勾股定理，犃′犅′２＝犅′犆′２＋犃′犆′２＝犪２＋犫２．因为犪２＋犫２＝犮２ ，所以
犃′犅′＝犮．在△犃犅犆和△犃′犅′犆′中，犅犆＝犪＝犅′犆′，犃犆＝犫＝犃′犆′，犃犅＝犮＝
犃′犅′，所以△犃犅犆≌△犃′犅′犆′．因此∠犆＝∠犆′＝９０°，即△犃犅犆是直角三角形．
A A
c b b
B C B C
a a
（１） （２）
图２４．２２
这样我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，
它也是一个定理．我们把这个定理叫做勾股定理
的逆定理．它是判定直角三角形的一个依据．
一般地，如果一
个定理的逆命题经过
一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成
证明是正确的，那么
立，也可能不成立．如本章中的命题１成立，它的
它也是一个定理，称
逆命题命题２也成立；命题 “对顶角相等”成立， 这两 个 定 理 互 为 逆
而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角 定理．
是对顶角”却不成立．
例１ 判断由线段犪，犫，犮组成的三角形是不是直角三角形：
（１）犪＝１５，犫＝８，犮＝１７；
（２）犪＝１３，犫＝１４，犮＝１５．
分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个
三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长
的平方和是否等于最大边长的平方．
像１５，８，１７这
解：（１）因为１５２＋８２＝２２５＋６４＝２８９，
样，能够成为直角三
１７２＝２８９，
角形三条边长的三个
所以１５２＋８２＝１７２ ，根据勾股定理的逆定理，这
正整数，称为勾股数．
个三角形是直角三角形．
１２
!"#$%&’()*（２）因为１３２＋１４２＝１６９＋１９６＝３６５，
１５２＝２２５，
所以１３２＋１４２≠１５２ ，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形．
例２ 如图２４．２３，某港口犘位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海
天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行， “远航”号每小时航行
１６ｎｍｉｌｅ，“海天”号每小时航行１２ｎｍｉｌｅ．它们离开港口一个半小时后分别
位于点犙，犚处，且相距３０ｎｍｉｌｅ．如果知道 “远航”号沿东北方向航行，能
知道 “海天”号沿哪个方向航行吗？
分析：在图２４．２３中可以看到，由于 “远
N
航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所
成的角，就能知道 “海天”号的航向了．
R
2 1
解：根据题意，
P E
犘犙＝１６×１．５＝２４，
图２４．２３
犘犚＝１２×１．５＝１８，
犙犚＝３０．
因为２４２＋１８２＝３０２ ，即犘犙２＋犘犚２＝犙犚２ ，所以∠犙犘犚＝９０°．
由 “远航”号沿东北方向航行可知，∠１＝４５°．因此，∠２＝４５°，即 “海天”
号沿西北方向航行．
C
B A
!"#$%&’()*
mk5
１．如果三条线段长犪，犫，犮满足犪２＝犮２－犫２，这三条线段组成的三角形是不是直
角三角形？为什么？
２．说出下列命题的逆命题．这些逆命题成立吗？
（１）两条直线平行，内错角相等；
（２）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（３）全等三角形的对应角相等；
（４）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角
13
的平分线上．
km
３．Ａ，Ｂ，Ｃ三地的两两距离如图所示，Ａ地在Ｂ地的
12km
正东方向，Ｃ地在Ｂ地的什么方向？
（第３题）
１３习题２４．２
１．判断由线段犪，犫，犮组成的三角形是不是直角三角形：
（１）犪＝７，犫＝２４，犮＝２５；
（２）犪＝槡４１，犫＝４，犮＝５；
５ ３
（３）犪＝ ，犫＝１，犮＝ ；
４ ４
（４）犪＝４０，犫＝５０，犮＝６０．
２．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？
（１）同旁内角互补，两直线平行；
（２）如果两个角是直角，那么它们相等；
（３）全等三角形的对应边相等；
（４）如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
３．小明向东走８０ｍ后，沿另一方向又走了６０ｍ，再沿第三个方向走１００ｍ回到原
地．小明向东走８０ｍ后是向哪个方向走的？
４．在△犃犅犆中，犃犅＝１３，犅犆＝１０，犅犆边上的中线犃犇＝１２．求犃犆．
５．如图，在四边形犃犅犆犇中，犃犅＝３，犅犆＝４，犆犇＝１２，犃犇＝１３，∠犅＝９０°．求
四边形犃犅犆犇的面积．
D
A D
A
F
B （第 C ５题） B （第 E ６题） C
１
６．如图，在正方形犃犅犆犇中，犈是犅犆的中点，犉是犆犇上一点，且犆犉＝ 犆犇．
４
求证∠犃犈犉＝９０°．
７．我们知道３，４，５是一组勾股数，那么３犽，４犽，５犽（犽是正整数）也是一组勾股
数吗？一般地，如果犪，犫，犮是一组勾股数，那么犪犽，犫犽，犮犽（犽是正整数）也
是一组勾股数吗？
１４
!"#$%&’()*
费马大定理
根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长犪，犫和斜边长犮都是含三个未知数
的方程狓２＋狔２＝狕２ 的一组解，而每一组勾股数 （例如，３，４，５；５，１２，１３；等）都是
这个方程的正整数解．
高于二次的方程狓３＋狔３＝狕３，狓４＋狔４＝狕４，狓５＋狔５＝
狕５，…是否也有正整数解呢？这个问题引起了法国数学家费马的
研究兴趣．费马在读古希腊数学家丢番图的 《算术》一书时，在
有方程狓２＋狔２＝狕２ 的那页页边上，写下了具有历史意义的一段
文字：“……将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可
能的，关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白
的地方太小，写不下．”用数学语言来表述，费马的结论就是：
费马 （Ｐ．ｄｅＦｅｒｍａｔ，
当自然数狀≥３时，方程狓狀＋狔狀＝狕狀 没有正整数解．
１６０１—１６６５）
上述命题被称为 “费马大定理”．它的证明引起了世界各国
数学家的关注，包括欧拉、高斯、勒贝格在内的许多著名数学家
都对这个命题作了深入的研究，但一直没能证明它．对费马大定
理的研究给数学界带来了很大的影响，很多数学成果、甚至数学
分支在这个过程中诞生，费马大定理也因此被数学界称为是一只
“会下金蛋的鹅”．
费马大定理的证明最终由英国数学家怀尔斯完成．怀尔斯
在童年时代就梦想能证明费马大定理，后来为此作了长期的努力
和准备．１９８６年，他发现了定理证明的一种可能的途径，就开
始全力以赴地投入到定理的证明中．１９９３年６月，怀尔斯在英国
剑桥大学的学术讨论会上报告了他的研究成果，立即引起了全世
界数学家和数学爱好者的关注．在这以后，他又用了一年多的时
间补证了专家小组发现的证明中的疏漏，并最终于１９９５年彻底
怀尔斯 （Ａ．Ｗｉｌｅｓ，
完成了证明．这个有３００多年历史的数学难题终于得到解决．
１９５３— ）
１９９６年３月，怀尔斯因为他的这一杰出数学成就荣获沃尔夫奖，
并于１９９８年８月荣获菲尔兹特别奖．费马大定理的证明则被称
为 “世纪性的成就”，并被列入１９９３年的世界科技十大成就
之一．
１５
!"#$%&’()*
如图１，学校需要测量旗杆的高度．同学们发
现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一
段，但这条绳子的长度未知．请你应用勾股定理提
出一个解决这个问题的方案，并与同学交流．
图１
用四张全等的直角三角形纸片拼含有正方形的图案，要求拼图时直角
三角形纸片不能互相重叠．以下各图是按要求拼出的几个图案，请你再给
出几种不同拼法．
图２ 图３ 图４
设直角三角形的两条直角边长分别为犪，犫，斜边长为犮，试用两种
不同方法计算图２中大正方形 （或小正方形）的面积．从中你发现勾股定
理的证明方法了吗？在拼出的其他图案中再试一试，看看在哪些图案中能
用类似的方法证明勾股定理．
请你从有关书籍或互联网上再找一些证明勾股定理的方法，并与同学
交流．
１６
!"#$%&’()*小 结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
直角三角形是特殊的三角形，它的三边之间有特殊的数量关系．本章我们
通过对面积关系的探究，发现并证明了勾股定理．勾股定理是数学中最重要的
定理之一，它反映了直角三角形三边之间的数量关系，不仅在解决与直角三角
形相关的问题时很有用，而且在解决其他许多数学问题时也很有用．借助于图
形的面积研究相关的数量关系，是我国古代数学研究中经常采用的重要方法，
它充分显示了古人的卓越智慧．
得到一个数学结论后，经常要研究其逆命题是否成立．一般地，原命题成
立，逆命题未必成立，而勾股定理的逆命题是一个定理．勾股定理的逆定理提
供了直角三角形的一种判定方法．勾股定理及其逆定理，从相反的路径对直角
三角形进行了刻画．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．直角三角形三边的长有什么特殊的关系？
２．赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？
３．已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？你作判断的
依据是什么？
４．证明勾股定理的逆定理运用了什么方法？
５．一个命题成立，它的逆命题未必成立．请举例说明．
１７
!"#$%&’()*复习题２４
１．两人从同一地点同时出发，一人以２０ｍ／ｍｉｎ的速度向北直行，一人以３０ｍ／ｍｉｎ
的速度向东直行．１０ｍｉｎ后他们相距多远 （结果取整数）？
２．如图，过圆锥的顶点犛和底面圆的圆心犗的平面截圆锥得截面△犛犃犅，其中
犛犃＝犛犅，犃犅是圆锥底面圆犗的直径．已知犛犃＝７ｃｍ，犃犅＝４ｃｍ，求截面
△犛犃犅的面积．
S
A
B C
A B
O 77
!"#$%&’()*
x
4
3
1
d
b
a
（第２题） （第３题） （第４题）
３．如图，车床齿轮箱壳要钻两个圆孔，两孔中心的距离是１３４ｍｍ，两孔中心的水
平距离是７７ｍｍ．计算两孔中心的垂直距离 （结果保留小数点后一位）．
４．如图，要修一个育苗棚，棚的横截面是直角三角形，棚宽犪＝３ｍ，高犫＝１．５ｍ，
长犱＝１０ｍ．求覆盖在顶上的塑料薄膜需多少平方米 （结果保留小数点后一位）．
５．一个三角形三边的比为１∶槡３∶２，这个三角形是直角三角形吗？
６．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？
（１）两条直线平行，同位角相等；
（２）如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；
（３）等边三角形是锐角三角形；
（４）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
A
７．已知直角三角形的两条直角边的长分别为２槡３＋１和
２槡３－１，求斜边犮的长．
B D C
８．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆＝犅犆，高犃犇＝犺．求犃犅．
（第８题）
１８９．如图，每个小正方形的边长都为１．
（１）求四边形犃犅犆犇的面积与周长；
（２）∠犅犆犇是直角吗？
A
B
?
D
C
3
（第９题） （第１０题）
１０．一根竹子高１丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端３尺处．折断处离地面的高度
是多少？（这是我国古代数学著作 《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是
长度单位，１丈＝１０尺．）
１１．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果犿表示大于１的整数，犪＝２犿，犫＝犿２－１，
犮＝犿２＋１，那么犪，犫，犮为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论
得出一些勾股数吗？
１２．如图，圆柱的底面半径为６ｃｍ，高为１０ｃｍ．蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点犃爬
到点犅的最短路程是多少厘米 （结果保留小数点后一位）？
B
O
A
O
（第１２题）
１３．一根７０ｃｍ的木棒，要放在长、宽、高分别是５０ｃｍ，４０ｃｍ，３０ｃｍ的长方体木
箱中，能放进去吗？（提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线．）
１
１４．设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为犪，犫及犺．求证： ＋
犪２
１ １
＝ ．
犫２ 犺２
１９
!"#$%&’()*
书书书第二十五章 平行四边形
与三角形一样，平行四边形也是一种基本的
几何图形．宏伟的建筑物、开关自如的栅栏门、别
具一格的窗棂……现实世界中很多物体都有平行
四边形的形象．为什么平行四边形形状的物体到处
可见呢？这与平行四边形的性质有关．
前面我们学习了许多图形与几何的知识，掌
握了一些探索和证明图形几何性质的方法．本章我
们将进一步学习平行四边形、矩形、菱形、正方
形的概念，并在理解它们之间关系的基础上，利
用已有的几何知识和方法，探索并证明它们的性
质定理和判定定理；进一步体会研究图形几何性
质的思路和方法，即通过观察、类比、特殊化等
途径和方法发现图形的几何性质，再通过逻辑推
理证明它们．
书书书２５．１ 平行四边形
平行四边形是常见的图形．小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防
护栏等 （图２５．１１），都有平行四边形的形象．你还能举出一些例子吗？
图２５．１１
我们知道，两组对边分别平行的四边形叫
A D
做平行四边形 （ｐａｒａｌｌｅｌｏｇｒａｍ）．平 行 四 边 形 用
“”表示，如图２５．１２，平行四边形犃犅犆犇记
作 “犃犅犆犇”． B C
图２５．１２
２５．１．１ 平行四边形的性质
由平行四边形的定义，我们知道平行四边形的两组对边分别平行．除此之
外，平行四边形还有什么性质呢？
根据定义画一个平行四边形，观察它，除了 “两组对边分别平行”
外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你
的猜想一致吗？
通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角
相等．下面我们对它进行证明．
２１
!"#$%&’()*+上述猜想涉及线段相等、角相等．我们知道，
A D
利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应 4 1
角都相等，是证明线段相等、角相等的一种重要 3
2
B C
的方法．为此，我们通过添加辅助线，构造两个
图２５．１３
三角形，通过三角形全等进行证明．
证明：如图２５．１３，连接犃犆．
不添加辅助
∵ 犃犇∥犅犆，犃犅∥犆犇，
线，你能否直接运
∴ ∠１＝∠２，∠３＝∠４．
用平行四边形的定
又 犃犆是△犃犅犆和△犆犇犃的公共边，
义，证明 其 对 角
∴ △犃犅犆≌△犆犇犃． 相等？
∴ 犃犇＝犆犅，犃犅＝犆犇，
∠犅＝∠犇．
请同学们自己证明∠犅犃犇＝∠犇犆犅．
这样我们证明了平行四边形具有以下性质：
已知平行四边
形一个内角的度
平行四边形的对边相等；
数，你能确定其他
平行四边形的对角相等．
内角的度数吗？
例１ 如图２５．１４，在犃犅犆犇中，犇犈⊥犃犅，
犅犉⊥犆犇，垂足分别为犈，犉．求证犃犈＝犆犉．
证明：∵ 四边形犃犅犆犇是平行四边形， D F C
∴ ∠犃＝∠犆，犃犇＝犆犅．
又 ∠犃犈犇＝∠犆犉犅＝９０°，
∴ △犃犇犈≌△犆犅犉． A E B
图２５．１４
∴ 犃犈＝犆犉．
距离是几何中的重要度量之一．前面我们已经学习了点与点之间的距离、
点到直线的距离．在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，介绍两条
平行线之间的距离．
如图２５．１５，犪∥犫，犮∥犱，犮，犱与犪，犫分别相交于犃，犅，犆，犇四点．
由平行四边形的概念和性质可知，四边形犃犅犇犆是平行四边形，犃犅＝犆犇．也
就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．
２２
!"#$%&’()*+两条平行线之
c d
A a 间的距离与点和点
A C
a
之间的距离、点到
直线的距离有何联
b
B D b 系与区别？
B
图２５．１５ 图２５．１６
从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到
另一条直线的距离都相等．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的
距离，叫做这两条平行线之间的距离．如图２５．１６，犪∥犫，犃是犪上的任意一
点，犃犅⊥犫，犅是垂足，线段犃犅的长就是犪，犫之间的距离．
１．在犃犅犆犇中，
（１）已知犃犅＝５，犅犆＝３，求它的周长； D C
（２）已知∠犃＝３８°，求其余各内角的度数．
２．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起， A B
重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，线段
犃犇和犅犆的长度有什么关系？为什么？ （第２题）
上面我们研究了平行四边形的边、角这两个基本要素的性质，下面我们研
究平行四边形对角线的性质．
如图２５．１７，在犃犅犆犇中，连接犃犆，犅犇，
D C
并设它们相交于点犗，犗犃与犗犆，犗犅与犗犇有什么
关系？你能证明发现的结论吗？ O
A B
图２５．１７
我们猜想，在犃犅犆犇中，犗犃＝犗犆，犗犅＝犗犇．
与证明平行四边形的对边相等、对角相等的方法类似，我们也可以通过三
２３
!"#$%&’()*+角形全等证明这个猜想．请你结合图２５．１８完成证明．
由此我们又得到平行四边形的一个性质：
平行四边形的对角线互相平分．
A D A D
1 3
O O
B 4 2 C B C
图２５．１８ 图２５．１９
例２ 如图２５．１９，在犃犅犆犇中，犃犅＝１０，犃犇＝８，犃犆⊥犅犆．求
犅犆，犆犇，犃犆，犗犃的长，以及犃犅犆犇的面积．
解：∵ 四边形犃犅犆犇是平行四边形，
∴ 犅犆＝犃犇＝８，犆犇＝犃犅＝１０．
∵ 犃犆⊥犅犆，
∴ △犃犅犆是直角三角形．
根据勾股定理，
犃犆＝槡犃犅２－犅犆２＝槡１０２－８２＝６．
又 犗犃＝犗犆，
１
∴ 犗犃＝ 犃犆＝３，
２
犛 ＝犅犆·犃犆＝８×６＝４８．
犃犅犆犇
１．如图，在犃犅犆犇中，犅犆＝１０，犃犆＝８，犅犇＝１４．△犃犗犇的周长是多少？
△犃犅犆与△犇犅犆的周长哪个长？长多少？
A D A D
E
O
O
F
B C
B C
（第１题） （第２题）
２．如图，犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于点犗，犈犉过点犗且与犃犅，犆犇分
别相交于点犈，犉．求证犗犈＝犗犉．
２４
!"#$%&’()*+２５．１．２ 平行四边形的判定
通过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对
角线互相平分．反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四
边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成
立吗？
可以证明，这些逆命题都成立．这样我们得
到平行四边形的判定定理： 你能根据平行
两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 四边形的定义证明
它们吗？
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
下面我们以 “对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，通过三角形
全等进行证明．
如图２５．１１０，在四边形犃犅犆犇中，犃犆， D C
犅犇相交于点犗，且犗犃＝犗犆，犗犅＝犗犇．求证：
O
四边形犃犅犆犇是平行四边形．
A B
图２５．１１０
证明：∵ 犗犃＝犗犆，犗犇＝犗犅，
∠犃犗犇＝∠犆犗犅，
∴ △犃犗犇≌△犆犗犅．
∴ ∠犗犃犇＝∠犗犆犅．
∴ 犃犇∥犅犆．
同理 犃犅∥犇犆．
∴ 四边形犃犅犆犇是平行四边形．
由上我们知道，平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理．也
就是说，当定理的条件与结论互换以后，所得命题仍然成立．
２５
!"#$%&’()*+例３ 如图２５．１１１，犃犅犆犇的对角线犃犆，
A D
犅犇相交于点犗，犈，犉是犃犆上的两点，并且
E
犃犈＝犆犉．求证：四边形犅犉犇犈是平行四边形．
O
F
证明：∵ 四边形犃犅犆犇是平行四边形，
B C
图２５．１１１
∴ 犃犗＝犆犗，犅犗＝犇犗．
∵ 犃犈＝犆犉，
∴ 犃犗－犃犈＝犆犗－犆犉，即犈犗＝犉犗．
你还有其他证
明方法吗？
又 犅犗＝犇犗，
∴ 四边形犅犉犇犈是平行四边形．
我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形．如果只
考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边
形呢？
我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且
相等．反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
我们猜想这个结论正确，下面进行证明．
A D
如图２５．１１２，在四边形犃犅犆犇中，犃犅∥犆犇，
1
犃犅＝犆犇．求证：四边形犃犅犆犇是平行四边形．
2
证明：连接犃犆．
B C
图２５．１１２
∵ 犃犅∥犆犇，
∴ ∠１＝∠２．
又 犃犅＝犆犇，犃犆＝犆犃，
∴ △犃犅犆≌△犆犇犃．
∴ 犅犆＝犇犃．
现在你有多少
∴ 四边形犃犅犆犇的两组对边分别相等，它
种判定一个四边形
是平行四边形． 是平行四边形的
于是我们又得到平行四边形的一个判定定理： 方法？
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
２６
!"#$%&’()*+例４ 如图２５．１１３，在犃犅犆犇中，犈，犉分别是犃犅，犆犇的中点．求
证：四边形犈犅犉犇是平行四边形．
证明：∵ 四边形犃犅犆犇是平行四边形，
D F C
∴ 犃犅＝犆犇，犈犅∥犉犇．
１ １
又 犈犅＝ 犃犅，犉犇＝ 犆犇，
２ ２
A E B
∴ 犈犅＝犉犇． 图２５．１１３
∴ 四边形犈犅犉犇是平行四边形．
１．如图，犃犅＝犇犆＝犈犉，犃犇＝犅犆，犇犈＝犆犉．图中有哪些互相平行的线段？
A D
D C
E
F
E O
B C A B
（第１题） F （第２题）
２．如图，犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于点犗，犈，犉分别是犗犃，犗犆的中
点．求证犅犈＝犇犉．
３．为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的
枕木长相等就可以了．你能说出其中的道理吗？
D C
E
F
A B
（第３题） （第４题）
４．如图，在犃犅犆犇中，犅犇是它的一条对角线，过犃，犆两点分别作犃犈⊥犅犇，
犆犉⊥犅犇，犈，犉为垂足．求证：四边形犃犉犆犈是平行四边形．
前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等
的性质研究平行四边形的有关问题．下面我们利用平行四边形研究三角形的有
关问题．
如图２５．１１４，在△犃犅犆中，犇，犈分别是犃犅，犃犆的中点，连接犇犈．
像犇犈这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
２７
!"#$%&’()*+A
一个三角形有
几条中位线？三角
D E
形的中位线和中线
一样吗？
B C
图２５．１１４
观察图２５．１１４，你能发现△犃犅犆的中位线犇犈与边犅犆的位置关系
吗？度量一下，犇犈与犅犆之间有什么数量关系？
１
我们猜想，犇犈∥犅犆，犇犈＝ 犅犆．下面我们对它进行证明．
２
如图２５．１１４，犇，犈分别是△犃犅犆的边犃犅，犃犆的中点．求证：犇犈∥
１
犅犆，且犇犈＝ 犅犆．
２
分析：本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的
１
长等于另一条线段长的一半．将犇犈延长一倍后，可以将证明犇犈＝ 犅犆转化
２
为证明延长后的线段与犅犆相等．又由于犈是犃犆的中点，根据对角线互相平分
的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明．
证明：如图２５．１１５，延长犇犈到点犉，使犈犉＝
A
犇犈，连接犉犆，犇犆，犃犉．
∵ 犃犈＝犈犆，犇犈＝犈犉，
D E F
∴ 四边形犃犇犆犉是平行四边形，
犆犉瓚犇犃．
∴ 犆犉瓚犅犇． B C
图２５．１１５
∴ 四边形犇犅犆犉是平行四边形，
犇犉瓚犅犆．
１
又 犇犈＝ 犇犉，
２ “瓚”表示平行且
１ 相等．
∴ 犇犈∥犅犆，且犇犈＝ 犅犆．
２
２８
!"#$%&’()*+通过上述证明，我们得到三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
１．如图，在△犃犅犆中，犇，犈，犉分别是犃犅，犅犆，犆犃的中点．以这些点为顶
点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？
A
A D A
l
1
D F
l
B E C 2 B C C B
（第１题） （第２题） （第３题）
２．如图，直线犾∥犾，在犾，犾上分别截取犃犇，犅犆，使犃犇＝犅犆，连接犃犅，
１ ２ １ ２
犆犇．犃犅和犆犇有什么关系？为什么？
３．如图，犃，犅两点被池塘隔开，在犃犅外选一点犆，连接犃犆和犅犆．怎样测出
犃，犅两点间的距离？根据是什么？
习题２５．１
３
１．如果四边形犃犅犆犇是平行四边形，犃犅＝６，且犃犅的长是犃犅犆犇周长的 ，
１６
那么犅犆的长是多少？
２．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果光线与纸板右下方所成
的∠１是７２°１５′，那么光线与纸板左上方所成的∠２是多少度？为什么？
A D
2
O
1
B C
（第２题） （第３题）
３．如图，犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于点犗，且犃犆＋犅犇＝３６，犃犅＝１１．求
△犗犆犇的周长．
２９
!"#$%&’()*+４．如图，在犃犅犆犇中，点犈，犉分别在犅犆，犃犇上，且犃犉＝犆犈．求证：四边形
犃犈犆犉是平行四边形．
A F D
A D
E
H
F O
G
B C
B E C
（第４题） （第５题）
５．如图，犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于点犗，且犈，犉，犌，犎分别是犃犗，
犅犗，犆犗，犇犗的中点．求证：四边形犈犉犌犎是平行四边形．
６．如图，四边形犃犈犉犇和犈犅犆犉都是平行四边形．求证：四边形犃犅犆犇是平行四边形．
A D l A D
1
E F
B C l 2
B C
（第６题） （第７题）
７．如图，直线犾∥犾，△犃犅犆与△犇犅犆的面积相等吗？为什么？你还能画出一些
１ ２
与△犃犅犆面积相等的三角形吗？
８．如图，犗犃犅犆的顶点犗，犃，犆的坐标分别是 （０，０），（犪，０），（犫，犮）．求顶
点犅的坐标．
y
A E D
C(b,c)
B D C
1
O A(a,0) x A B B F C
（第８题） （第９题） （第１０题）
９．如图，在梯形犃犅犆犇中，犃犅∥犇犆．
（１）已知∠犃＝∠犅，求证犃犇＝犅犆；
（２）已知犃犇＝犅犆，求证∠犃＝∠犅．
１０．如图，四边形犃犅犆犇是平行四边形，∠犃犅犆＝７０°，犅犈平分∠犃犅犆且交犃犇于
点犈，犇犉∥犅犈且交犅犆于点犉．求∠１的大小．
３０
!"#$%&’()*+１１．如图，犃′犅′∥犅犃，犅′犆′∥犆犅，犆′犃′∥犃犆，∠犃犅犆与∠犅′有什么关系？线段
犃犅′与线段犃犆′呢？为什么？
C A B
D
C
B C
O
A B
A
（第１１题） （第１２题） （第１３题）
１２．如图，在四边形犃犅犆犇中，犃犇＝１２，犇犗＝犗犅＝５，犃犆＝２６，∠犃犇犅＝９０°．
求犅犆的长和四边形犃犅犆犇的面积．
１３．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？
１４．如图，用硬纸板剪一个平行四边形，作出它的对角线的交点犗，用大头针把一根
平放在平行四边形上的直细木条固定在点犗处，并使细木条可以绕点犗转动．
拨动细木条，使它随意停留在任意位置．观察几次拨动的结果，你发现了什么？
证明你的发现．
A H D
A D
O E P F
B C
B G C
（第１４题） （第１５题）
１５．如图，在犃犅犆犇中，过对角线犅犇上一点犘作犈犉∥犅犆，犌犎∥犃犅．图中哪
两个平行四边形面积相等？为什么？
３１
!"#$%&’()*+２５．２ 特殊的平行四边形
上节我们研究了平行四边形，下面我们通过平行四边形角、边的特殊化，
研究特殊的平行四边形———矩形、菱形和正方形．
２５．２．１ 矩形
我们先从角开始，如图２５．２１，当平行四边
形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个
特殊的平行四边形．有一个角是直角的平行四边
形叫做矩形 （ｒｅｃｔａｎｇｌｅ），也就是长方形．
图２５．２１
矩形也是常见的图形．门窗框、书桌面、教
科书封面、地砖等 （图２５．２２）都有矩形的形象．
你还能举出一些例子吗？
图２５．２２
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它
有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
对于矩形，我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究．可以发现并
证明 （请你自己完成证明），矩形还有以下性质：
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等．
上节我们运用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位线，下面我们
用矩形的性质研究直角三角形的一个性质．
３２
!"#$%&’()*+
如图２５．２３，矩形犃犅犆犇的对角线犃犆，
A D
犅犇 相 交 于 点 犗．我 们 观 察 Ｒｔ△犃犅犆，在
Ｒｔ△犃犅犆中，犅犗是斜边犃犆上的中线，犅犗与
O
犃犆有什么关系？
B C
图２５．２３
１ １
根据矩形的性质，我们知道，犅犗＝ 犅犇＝ 犃犆．由此，我们得到直角
２ ２
三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
例１ 如图２５．２４，矩形犃犅犆犇的对角线
A D
犃犆，犅犇相交于点犗，∠犃犗犅＝６０°，犃犅＝４．求
矩形对角线的长． O
解：∵ 四边形犃犅犆犇是矩形，
B C
∴ 犃犆与犅犇相等且互相平分． 图２５．２４
∴ 犗犃＝犗犅．
又 ∠犃犗犅＝６０°，
∴ △犗犃犅是等边三角形．
∴ 犗犃＝犃犅＝４．
∴ 犃犆＝犅犇＝２犗犃＝８．
１．求证：矩形的对角线相等．
２．一个矩形的一条对角线长为８，两条对角线的一个交角为１２０°．求这个矩形的
边长 （结果保留小数点后两位）．
３．矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
上面我们研究了矩形的性质，下面我们研究如何判定一个平行四边形或四
边形是矩形．
３３
!"#$%&’()*+由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形．除此之外，还
有没有其他判定方法呢？
与研究平行四边形的判定方法类似，我们研究矩形的性质定理的逆命题，
看看它们是否成立．
我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是
矩形吗？
可以发现并证明矩形的一个判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形．
工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测
量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量
它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．
你知道其中的道理吗？
前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角．它的逆命题成立
吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角
的四边形是矩形？
可以发现并证明矩形的另一个判定定理：
有三个角是直角的四边形是矩形．
例２ 如图２５．２５，在犃犅犆犇中，对角线犃犆，犅犇相交于点犗，且犗犃
＝犗犇，∠犗犃犇＝５０°．求∠犗犃犅的度数．
解：∵ 四边形犃犅犆犇是平行四边形，
D C
１ １
∴ 犗犃＝犗犆＝ 犃犆，犗犅＝犗犇＝ 犅犇．
２ ２
O
又 犗犃＝犗犇，
A B
∴ 犃犆＝犅犇． 图２５．２５
∴ 四边形犃犅犆犇是矩形．
３４
!"#$%&’()*+∴ ∠犇犃犅＝９０°．
又 ∠犗犃犇＝５０°，
∴ ∠犗犃犅＝４０°．
１．八年级 （３）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计
划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线用了３８盆
红花，还需要从花房运来多少盆红花？为什么？如果一
条对角线用了４９盆呢？ （第１题）
２．如图，犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于点犗，
A D
△犗犃犅是等边三角形，且犃犅＝４．求犃犅犆犇的
面积． O
B C
（第２题）
２５．２．２ 菱形
我们观察平行四边形的一组邻边，如图２５．２６，
当这组邻边相等时，这时的平行四边形也是一个特殊
的平行四边形．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱
图２５．２６
形 （ｒｈｏｍｂｕｓ）．
菱形也是常见的图形．一些门窗的窗格、美丽的中国结、伸缩的衣帽架
（图２５．２７）等都有菱形的形象．你还能举出一些例子吗？
图２５．２７
因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它
的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
３５
!"#$%&’()*+对于菱形，我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究．可以发现并
证明 （请你自己完成证明），菱形还有以下性质：
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
如图２５．２８，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱
形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两
对全等的三角形．
由菱形两条对
A
角线的长，你能求
M F
出它的面积吗？
B D
O G
N E
C 图２５．２８
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴．
例３ 如图２５．２９，菱形花坛犃犅犆犇的边长
A
为２０ｍ，∠犃犅犆＝６０°，沿着菱形的对角线修建
了两条小路犃犆和犅犇．求两条小路的长 （结果
B D
保留小数点后两位）和花坛的面积 （结果保留小 O
数点后一位）．
解：∵ 花坛犃犅犆犇的形状是菱形， C
图２５．２９
１ １
∴ 犃犆⊥犅犇，∠犃犅犗＝ ∠犃犅犆＝ ×６０°＝３０°．
２ ２
在Ｒｔ△犗犃犅中，
１ １
犃犗＝ 犃犅＝ ×２０＝１０，
２ ２
犅犗＝槡犃犅２－犃犗２＝槡２０２－１０２＝１０槡３．
∴ 花坛的两条小路长
犃犆＝２犃犗＝２０（ｍ），
犅犇＝２犅犗＝２０槡３≈３４．６４（ｍ）．
花坛的面积
１
犛 ＝４×犛 ＝ 犃犆·犅犇＝２００槡３≈３４６．４（ｍ２ ）．
菱形犃犅犆犇 △犗犃犅 ２
３６
!"#$%&’()*+１．四边形犃犅犆犇是菱形，对角线犃犆，犅犇相交于点犗，且犃犅＝５，犃犗＝４．求
犃犆和犅犇的长．
２．已知菱形的两条对角线的长分别是６和８，求菱形的周长和面积．
上面我们研究了菱形的性质，下面我们研究如何判定一个平行四边形或四
边形是菱形．
由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．除此之外，还
有没有其他判定方法呢？
与研究平行四边形、矩形的判定方法类似，我们研究菱形的性质定理的逆
命题，看看它们是否成立．
我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行
四边形是菱形吗？
可以发现并证明菱形的一个判定定理：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
例４ 如图２５．２１０，犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于点犗，且犃犅＝
５，犃犗＝４，犅犗＝３．求证：犃犅犆犇是菱形．
D
证明：∵ 犃犅＝５，犃犗＝４，犅犗＝３，
∴ 犃犅２＝犃犗２＋犅犗２．
∴ △犗犃犅是直角三角形． A O C
∴ 犃犆⊥犅犇．
∴ 犃犅犆犇是菱形． 图２５． B ２１０
我们知道，菱形的四条边相等．反过来，四条边相等的四边形是菱
形吗？
３７
!"#$%&’()*+
书书书可以发现并证明菱形的另一个判定定理：
四条边相等的四边形是菱形．
１．求证：
（１）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（２）四条边相等的四边形是菱形．
A D
２．一个平行四边形的一条边长是９，两条对角线的长分别
是１２和６槡５，这是一个特殊的平行四边形吗？为什
B C
么？求出它的面积．
３．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构
（第３题）
成的四边形犃犅犆犇是一个菱形吗？为什么？
２５．２．３ 正方形
正方形 （ｓｑｕａｒｅ）是我们熟悉的几何图形，它
的四条边都相等，四个角都是直角．因此，正方
正方形是轴对
称图形吗？它的对
形既是矩形，又是菱形 （图２５．２１１）．它既有矩
称轴是什么？
形的性质，又有菱形的性质．
图２５．２１１
正方形有哪些性质？如何判定一个四边形是正方形？把它们写出来，
并和同学交流一下，然后证明其中的一些结论．
例５ 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角
三角形．
３８
!"#$%&’()*+已知：如图２５．２１２，四边形犃犅犆犇是正方形，对角线犃犆，犅犇相交于
点犗．
求证：△犃犅犗，△犅犆犗，△犆犇犗，△犇犃犗是全等的等腰直角三角形．
A D
图中共有多少
个 等 腰 直 角 三
角形？
O
B C
图２５．２１２
证明：∵ 四边形犃犅犆犇是正方形，
∴ 犃犆＝犅犇，犃犆⊥犅犇，犃犗＝犅犗＝犆犗＝犇犗．
∴ △犃犅犗，△犅犆犗，△犆犇犗，△犇犃犗都是等腰直角三角形，并且
△犃犅犗≌△犅犆犗≌△犆犇犗≌△犇犃犗．
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学们讨论一
下，并列表或用框图表示这些关系．
１． （１）把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片．为什么？
（２）如何从一块长方形木板中裁出一块最大的正方形木板呢？
A D
E
B C
（第１（１）题） （第２题）
２．如图，犃犅犆犇是一块正方形场地．小华和小芳在犃犅边上取定了一点犈，测量知，
犈犆＝３０ｍ，犈犅＝１０ｍ．这块场地的面积和对角线长分别是多少？
３９
!"#$%&’()*+３．满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
（１）对角线互相垂直且相等的平行四边形；
（２）对角线互相垂直的矩形；
（３）对角线相等的菱形；
（４）对角线互相垂直平分且相等的四边形．
习题２５．２
１．如图，四边形犃犅犆犇是平行四边形，对角线犃犆，犅犇相交于点犗，且∠１＝∠２．
它是一个矩形吗？为什么？
A D
O
1 2
B C
（第１题） （第３题）
２．求证：四个角都相等的四边形是矩形．
３．一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的
方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
４．在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犅＝２犃犆．求∠犃，∠犅的度数．
５．如图，四边形犃犅犆犇是菱形，∠犃犆犇＝３０°，犅犇＝６．求：
（１）∠犅犃犇，∠犃犅犆的度数；
（２）犃犅，犃犆的长．
D
A D E
A C
O
B B C F
（第５题） （第６题）
６．如图，犃犈∥犅犉，犃犆平分∠犅犃犇，且交犅犉于点犆，犅犇平分∠犃犅犆，且交犃犈
于点犇，连接犆犇．求证：四边形犃犅犆犇是菱形．
４０
!"#$%&’()*+
７．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角．
要得到一个正方形，剪口与折痕应成多少度的角？
８．如图，为了做一个无盖纸盒，小明先在一块矩形硬纸板
的四角画出四个相同的正方形，用剪刀剪下．然后把纸
板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，一个无盖纸盒就 （第７题）
做成了．纸盒的底面是什么形状？为什么？
B
D
E
C A
（第８题） （第９题）
９．如图，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犃犆犅＝９０°，犆犇⊥犃犅于点犇，∠犃犆犇＝３∠犅犆犇，犈
是斜边犃犅的中点．∠犈犆犇是多少度？为什么？
１０．如图，四边形犃犅犆犇是菱形，点犕，犖分别在犃犅，犃犇上，且犅犕＝犇犖，
犕犌∥犃犇，犖犉∥犃犅；点犉，犌分别在犅犆，犆犇上，犕犌与犖犉相交于点犈．
求证：四边形犃犕犈犖，犈犉犆犌都是菱形．
A D
M N
B D A C
E O
H
F G
C B
（第１０题） （第１１题）
１１．如图，四边形犃犅犆犇是菱形，犃犆＝８，犇犅＝６，犇犎⊥犃犅于点犎．求犇犎的长．
１２． （１）如下页图 （１），四边形犗犅犆犇是矩形，犗，犅，犇三点的坐标分别是 （０，
０），（犫，０），（０，犱）．求点犆的坐标．
（２）如下页图 （２），四边形犃犅犆犇是菱形，犆，犇两点的坐标分别是 （犮，０），
（０，犱），点犃，犅在坐标轴上．求犃，犅两点的坐标．
（３）如下页图 （３），四边形犗犅犆犇是正方形，犗，犇两点的坐标分别是 （０，０），
（０，犱）．求犅，犆两点的坐标．
４１
!"#$%&’()*+y y y
D C D
D C
A O C x
O B x O B x
B
（第１２题）
１３．如图，犈，犉，犕，犖分别是正方形犃犅犆犇四条边上的点，且犃犈＝犅犉＝犆犕＝
犇犖．试判断四边形犈犉犕犖是什么图形，并证明你的结论．
A N D A
E m m
M h
B F C B n D n C
（第１３题） （第１４题）
１４．如图，将等腰三角形纸片犃犅犆沿底边犅犆上的高犃犇剪成两个三角形．用这两个
三角形你能拼成多少种平行四边形？试一试，分别求出它们的对角线的长．
１５．如图，四边形犃犅犆犇是正方形．犌是犅犆上的任意一点，犇犈⊥犃犌于点犈，犅犉∥
犇犈，且交犃犌于点犉．求证：犃犉－犅犉＝犈犉．
A D A
E E D
F
O
M N
B G C B C
（第１５题） （第１６题）
１６．如图，在△犃犅犆中，犅犇，犆犈分别是边犃犆，犃犅上的中线，
犅犇与犆犈相交于点犗．犅犗与犗犇的长度有什么关系？犅犆边
上的中线是否一定过点犗？为什么？（提示：分别作犅犗，犆犗
的中点犕，犖，连接犈犇，犈犕，犕犖，犖犇．）
１７．如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使
得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，你有多少种方
（第１７题）
法？并与你的同学交流一下．
４２
!"#$%&’()*+
丰富多彩的正方形
我们学习了平行四边形、矩形、菱形和正方形．比较一下，哪种图形的性质最多？答
案无疑是正方形．
正方形的四个角相等、四条边相等、对角线相等且互相垂直平分．它的对称轴比其他
四边形都多．以后我们还会学到，它还是中心对称图形．这些特点使正方形得到了人们的
喜爱和广泛应用．
例如，人们用边长为单位长度的正方形的面积，作为度
量其他图形面积的基本单位；人们也常利用正方形美化生活
环境，比如，用正方形地砖镶嵌地面，不仅美观大方，而且
施工简单易行．
正方形还有许多有趣的性质．例如，要用给定长度的篱笆
围成一个面积最大的四边形区域，那么应当把这个区域选为
正方形．
下面是两个有关正方形的小实验，想一想其中的道理．
１．如图１，正方形犃犅犆犇的对角线相交于点犗，点犗又是正方形犃犅犆犗的一个
１ １ １
顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形犃犅犆犗绕点犗怎样转动，两个正方
１ １ １
１
形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 ．想一想，这是为什么．
４
A D
A
1
E O 4
3
2
5 1
1 2
4
B 1 B F C 3 5
C
1
图１ 图２
２．给你两个大小不等的正方形，你能通过切割把它们拼接成一个大正方形吗？（参考
图２）说明你的拼法的道理．
４３
!"#$%&’()*+
c c c
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作６０°，３０°，１５°等大小
的角，可以采用下面的方法 （如图１）：
（１）对折矩形纸片犃犅犆犇，使犃犇与犅犆
A M
D
重合，得到折痕犈犉，把纸片展平．
（２）再一次折叠纸片，使点犃落在犈犉上， E F
N
并使折痕经过点犅，得到折痕犅犕．同时，得到
B C
了线段犅犖． 图１
观察所得的∠犃犅犕，∠犕犅犖和∠犖犅犆，这
三个角有什么关系？你能证明吗？
通过证明可知，这是从矩形得到３０°角的好方法，简单而准确．由此，
１５°，６０°，１２０°，１５０°等角就容易得到了．
槡５－１
宽与长的比是 （约为０．６１８）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形
２
给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视
觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的帕特农神庙 （图２）等．
图２
４４
!"#$%&’()*+
书书书下面我们折叠出一个黄金矩形：
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图３的方法折出一个正方形，
然后把纸片展平．
M M
N
N
图３ 图４
第二步，如图４，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线犃犅，并把犃犅折到图５中所示的
犃犇处．
M B M B E
N A C D N C D
图５ 图６
第四步，展平纸片，按照所得的点犇折出犇犈，矩形犅犆犇犈 （图６）
就是黄金矩形．
你能说明为什么吗？（提示：设犕犖的长为２．）
４５
!"#$%&’()*+小 结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
本章我们主要学习了平行四边形的性质定理、判定定理；探索并证明了三角
形的中位线定理，介绍了平行线间距离的概念；通过平行四边形边、角的特殊
化，获得了特殊的平行四边形———矩形、菱形和正方形，了解了它们之间的关
系；根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的性质定理和判定定理．
在学习这些知识的过程中，我们采用了从一般到特殊的研究方法；利用图
形的性质定理与判定定理之间的关系，通过证明性质定理的逆命题，得到了图
形的判定定理．这些方法在今后的学习中都是很有用的．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．你能概述一下研究平行四边形的思路和方法吗？
２．平行四边形有哪些性质？如何判定一个四边形是平行四边形？
３．矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质外，分别还具有哪些性
质？如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形？你能总结一下研究这些性质
和判定的方法吗？
４．本章我们利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理．你能仿
照这一过程，再得出一些其他几何结论吗？
４６
!"#$%&’()*+复习题２５
１．选择题．
（１）若平行四边形中两个内角的度数比为１∶２，则其中较小的内角是 （ ）．
（Ａ）９０° （Ｂ）６０° （Ｃ）１２０° （Ｄ）４５°
（２）若菱形的周长为８，高为１，则菱形两邻角的度数比为 （ ）．
（Ａ）３∶１ （Ｂ）４∶１ （Ｃ）５∶１ （Ｄ）６∶１
（３）如图，在正方形犃犅犆犇的外侧，作等边三角形犃犇犈，则∠犃犈犅为 （ ）．
（Ａ）１０° （Ｂ）１５° （Ｃ）２０° （Ｄ）１２．５°
B A F C
D
E
B
A E
C D
（第１（３）题） （第２题）
２．如图，将犃犅犆犇的对角线犅犇向两个方向延长，分别至点犈和点犉，且使
犅犈＝犇犉．求证：四边形犃犈犆犉是平行四边形．
３．矩形对角线组成的对顶角中，有一组是两个５０°的角．对角线与各边组成的角是多
少度？
４．如图，你能用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直吗？为什么？
!"#$%&’()*+
A D
E
O
B C
（第４题） （第５题）
５．如图，矩形犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于点犗，
A H D
且犇犈∥犃犆，犆犈∥犅犇．求证：四边形犗犆犈犇是
菱形．
６．如图，犈，犉，犌，犎分别是正方形犃犅犆犇各边的中 E G
点．四边形犈犉犌犎是什么四边形？为什么？
B F C
（第６题）
４７
７．如图，四边形犃犅犆犇是平行四边形，犅犈∥犇犉，且分别交对角线犃犆于点犈，犉，
连接犈犇，犅犉．求证∠１＝∠２．
A D A E D
E
1
2
F F
B C
（第７题） B （第８题） C
８．如图，犃犅犆犇是一个正方形花园，犈，犉是它的两个门，且犇犈＝犆犉．要修建两
条路犅犈和犃犉，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
９．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
（１）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（２）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（３）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？
１０．如果一个四边形是轴对称图形，并且有两条互相垂直的对称轴，它一定是菱形
吗？一定是正方形吗？
１１．用纸板剪成的两个全等三角形能够拼成什么四边形？要
想拼成一个矩形，需要两个什么样的全等三角形？要想
D G C
拼成菱形或正方形呢？动手剪拼一下，并说明理由．
H
１２．如图，过犃犅犆犇的对角线犃犆的中点犗作两条互相垂
O F
直的直线，分别交犃犅，犅犆，犆犇，犇犃于犈，犉，犌，犎
A E B
四点，连接犈犉，犉犌，犌犎，犎犈．试判断四边形犈犉犌犎
（第１２题）
的形状，并说明理由．
１３．如图，在四边形犃犅犆犇中，犃犇∥犅犆，∠犅＝９０°，犃犅＝８ｃｍ，犃犇＝２４ｃｍ，
犅犆＝２６ｃｍ．点犘从点犃出发，以１ｃｍ／ｓ的速度向点犇运动；点犙从点犆同时出
发，以３ｃｍ／ｓ的速度向点犅运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随
之停止运动．从运动开始，使犘犙∥犆犇和犘犙＝犆犇，分别需经过多少时间？为什么？
A P D
B C
（第１３题）
４８
!"#$%&’()*+１４．如图，四边形犃犅犆犇是正方形，点犈是边犅犆的
A D
中点，∠犃犈犉＝９０°，且犈犉交正方形外角的平分
线犆犉于点犉．求证犃犈＝犈犉．（提示：取犃犅的 F
中点犌，连接犈犌．）
１５．求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条 B E C
边的平方和． （第１４题）
４９
!"#$%&’()*+第二十六章 一次函数
“万物皆变”———行星在宇宙中的位置随时间
而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变
化……在你周围的事物中，这种一个量随另一个
量的变化而变化的现象大量存在．
为了研究这些运动变化现象中变量间的依赖
关系，数学中逐渐形成了函数概念．人们通过研究
函数及其性质，更深入地认识现实世界中许多运
动变化的规律．
本章中，我们将从初步认识变量与函数开始，
重点学习一类最基本的函数———一次函数，结合
它的图象讨论它的性质，并利用它研究一些数学
y
问题和实际问题，感受函数在解决运动变化问题
中的重要作用．
5
y -6x 5
海拔狓／ｋｍ … １ １．５ ２ ２．５ ３ …
气温狔／℃ … －１ －４ －７ －１０ －１３ …
O 1 x２６．１ 函数
２６．１．１ 变量与函数
先请思考下面几个问题：
（１）汽车以６０ｋｍ／ｈ的速度匀速行驶，行驶路程为狊ｋｍ，行驶时间为
狋ｈ．填写表２６１，狊的值随狋的值的变化而变化吗？
表２６１
狋／ｈ １ ２ ３ ４ ５
狊／ｋｍ
（２）电影票的售价为１０元／张．第一场售出１５０张票，第二场售出２０５张
票，第三场售出３１０张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出狓
张票，票房收入为狔元，狔的值随狓的值的变化而变化吗？
（３）你见过水中涟漪吗？如图２６．１１，圆形水
波慢慢地扩大．在这一过程中，当圆的半径狉分别为
１０ｃｍ，２０ｃｍ，３０ｃｍ时，圆的面积犛分别为多少？
犛的值随狉的值的变化而变化吗？
（４）用１０ｍ长的绳子围一个矩形．当矩形的一
边长狓分别为３ｍ，３．５ｍ，４ｍ，４．５ｍ时，它的邻 图２６．１１
边长狔分别为多少？狔的值随狓的值的变化而变化吗？
这些问题反映了不同事物的变化过程．其中有些量的数值是变化的，例如
时间狋，路程狊；售出票数狓，票房收入狔……有些量的数值是始终不变的，例
如速度６０ｋｍ／ｈ，票价１０元／张……在一个变化过程中，我们称数值发生变化
的量为变量 （ｖａｒｉａｂｌｅ），数值始终不变的量为常量 （ｃｏｎｓｔａｎｔ）．
指出下列问题中的变量和常量：
（１）某市的自来水价为４元／ｔ．现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某
户月用水量为狓ｔ，月应交水费为狔元．
５１
!"#,%&-./0（２）某地手机通话费为０．２元／ｍｉｎ．李明在手机话费卡中存入３０元，记此后
他的手机通话时间为狋ｍｉｎ，话费卡中的余额为狑元．
（３）水中涟漪 （圆形水波）不断扩大，记它的半径为狉，圆周长为犆，圆周率
（圆周长与直径之比）为π．
（４）把１０本书随意放入两个抽屉 （每个抽屉内都放），第一个抽屉放入狓本，
第二个抽屉放入狔本．
问题 （１）～ （４）中是否各有两个变量？同一个问题中的变量之间有
什么联系？
在问题 （１）中，观察填出的表格，可以发现：狋和狊是两个变量，每当狋
取定一个值时，狊就有唯一确定的值与其对应．例如狋＝１，则狊＝６０；狋＝２，则
狊＝１２０……狋＝５，则狊＝３００．
在问题 （２）中，可以发现：狓和狔是两个变量，每当狓取定一个值时，
狔就有唯一确定的值与其对应．例如，若狓＝１５０，则狔＝１５００；若狓＝２０５，
则狔＝２０５０；若狓＝３１０，则狔＝３１００．
在问题 （３）中，可以发现：狉和犛是两个变量，每当狉取定一个值时，犛
就有唯一确定的值与其对应．它们的关系式为犛＝π狉２．据此可以算出狉分别为
１０ｃｍ，２０ｃｍ，３０ｃｍ时，犛分别为１００πｃｍ２ ，４００πｃｍ２ ，９００πｃｍ２．
在问题 （４）中，可以发现：狓和狔是两个变量，每当狓取定一个值时，
狔就有唯一确定的值与其对应．它们的关系式为狔＝５－狓．据此可以算出狓分
别为３ｍ，３．５ｍ，４ｍ，４．５ｍ时，狔分别为２ｍ，１．５ｍ，１ｍ，０．５ｍ．
上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值
时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应．
一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间有上面那样的
关系．
５２
!"#,%&-./0
（１）图２６．１２是体检时的心电图，其中图上点的横坐标狓表示时间，
纵坐标狔表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于
狓的每一个确定的值，狔都有唯一确定的值与其对应吗？
图２６．１２
（２）下面的我国人口数统计表 （表２６２）中，年份与人口数可以分
别记作两个变量狓与狔．对于表中每一个确定的年份狓，都对应着一个确
定的人口数狔吗？
表２６２ 中国人口数统计表
年 份 人口数／亿
１９８４ １０．３４
１９８９ １１．０６
１９９４ １１．７６
１９９９ １２．５２
２０１０ １３．７１
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量狓与狔，并且对于狓的每一
个确定的值，狔都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说狓是自变量
（ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｖａｒｉａｂｌｅ），狔是狓的函数 （ｆｕｎｃｔｉｏｎ）．如果当狓＝犪时狔＝犫，那
么犫叫做当自变量的值为犪时的函数值．
可以认为：在前面问题 （１）中，时间狋是自变量，路程狊是狋的函数，当
狋＝１时，函数值狊＝６０，当狋＝２时，函数值狊＝１２０；在心电图中，时间狓是自
变量，心脏部位的生物电流狔是狓的函数；在人口数统计表中，年份狓是自变
量，人口数狔是狓的函数，当狓＝２０１０时，函数值狔＝１３．７１．
从上面可知，函数是刻画变量之间对应关系的数学模型，许多问题中变量
之间的关系都可以用函数来表示．
例１ 汽车油箱中有汽油５０Ｌ．如果不再加油，那么油箱中的油量狔（单
５３
!"#,%&-./0位：Ｌ）随行驶路程狓（单位：ｋｍ）的增加而减少，耗油量为０．１Ｌ／ｋｍ．
（１）写出表示狔与狓的函数关系的式子；
（２）指出自变量狓的取值范围；
（３）汽车行驶２００ｋｍ时，油箱中还有多少汽油？
解：（１）行驶路程狓是自变量，油箱中的油
量狔是狓的函数，它们的关系为 ０．１狓表示什
狔＝５０－０．１狓．
么意思？
（２）仅从式子狔＝５０－０．１狓看，狓可以取任
意实数．但是考虑到狓代表的实际意义为行驶路
程，因此狓不能取负数．行驶中的耗油量为
０．１狓，它不能超过油箱中现有汽油量５０，即
０．１狓≤５０． 确定自变量的取值
因此，自变量狓的取值范围是 范围时，不仅要考虑使
函数关系式有意义，而
０≤狓≤５００．
且还要注意问题的实际
（３）汽车行驶２００ｋｍ时，油箱中的汽油量是
意义．
函数狔＝５０－０．１狓在狓＝２００时的函数值．将狓＝
２００代入狔＝５０－０．１狓，得
狔＝５０－０．１×２００＝３０．
汽车行驶２００ｋｍ时，油箱中还有３０Ｌ汽油．
像狔＝５０－０．１狓这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关
系，是描述函数的常用方法．这种式子叫做函数的解析式 （ａｎａｌｙｔｉｃｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ）．
１．下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式：
（１）改变正方形的边长狓，正方形的面积犛随之改变．
（２）每分向一水池注水０．１ｍ３，注水量狔（单位：ｍ３）随注水时间狓（单位：
ｍｉｎ）的变化而变化．
（３）秀水村的耕地面积是１０６ｍ２，这个村人均占有耕地面积狔（单位：ｍ２）随
这个村人数狀的变化而变化．
（４）水池中有水１０Ｌ，此后每小时漏水０．０５Ｌ，水池中的水量犞（单位：Ｌ）
随时间狋（单位：ｈ）的变化而变化．
５４
!"#$%&’()*
书书书２．梯形的上底长２ｃｍ，高３ｃｍ，下底长狓ｃｍ大于上底长但不超过５ｃｍ．写出梯
形面积犛关于狓的函数解析式及自变量狓的取值范围．
２６．１．２ 函数的图象
有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图来直观地反映，例
如用心电图表示心脏部位的生物电流与时间的关系．即使对于能列式表示的函
数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观．
例如，正方形的面积犛与边长狓的函数解析式为犛＝狓２．根据问题的实际
意义，可知自变量狓的取值范围是狓＞０．我们还可以利用在坐标系中画图的方
法来表示犛与狓的关系．
计算并填写表２６３．
表２６３ 自变量狓的一
个确定的值与它所
狓 ０ ０．５ １ １．５ ２ ２．５ ３ ３．５ ４
对应的唯一的函数
犛 ０ ０．２５ １
值犛，是否确定了
如图２６．１３，在直角坐标系中，画出上面表 一个点 （狓，犛）呢？
格中各对数值所对应的点，然后连接这些点．所
得曲线上每一个点都代表狓的值与犛的值的一种
对应，例如点 （２，４）表示当狓＝２时，犛＝４．
S
16
表示狓与犛的对
应关系的点有无数个．
9
但是实际上我们只能
描出其中有限个点，
同时想象出其他点的
4 位置．
1
O 1 2 3 4 x
图２６．１３
５５
!"#,%&-./0一般地，对于一个函数，如果把自变量与函
数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么
坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数
通过图象可以数形
结合地研究函数．
的图象 （ｇｒａｐｈ）．图２６．１３的曲线即函数
犛＝狓２ （狓＞０）
的图象．
图２６．１４是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温
犜如何随时间狋的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？
T
8 如有条件，你可以
用带有温度探头的计算
机 （器），测量、记录
O 4 14 24 t 温度，并绘制表示温度
-3
变化的图象．
图２６．１４
可以认为，气温犜是时间狋的函数，图２６．１４是这个函数的图象．由图
象可知：
（１）这一天中凌晨４时气温最低 （－３℃），１４时气温最高 （８℃）．
（２）从０时至４时气温呈下降状态 （即温度随时间的增长而下降），从４
时到１４时气温呈上升状态，从１４时至２４时气温又呈下降状态．
（３）我们可以从图象中看出这一天中任一时刻的气温大约是多少．
例２ 如图２６．１５所示，小明
家、食堂、图书馆在同一条直线上．
小明从家去食堂吃早餐，接着去图书
馆读报，然后回家．图２６．１６反映了
这个过程中，小明离家的距离狔与时
间狓之间的对应关系． 图２６．１５
５６
!"#,%&-./0y km
0.8
0.6
O 8 2528 58 68 x min
图２６．１６
根据图象回答下列问题：
（１）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
（２）小明吃早餐用了多少时间？
（３）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？
（４）小明读报用了多少时间？
（５）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
分析：小明离家的距离狔是时间狓的函数．由图象中有两段平行于狓轴
的线段可知，小明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里．
解：（１）由纵坐标看出，食堂离小明家０．６ｋｍ；由横坐标看出，小明从
家到食堂用了８ｍｉｎ．
（２）由横坐标看出，２５－８＝１７，小明吃早餐用了１７ｍｉｎ．
（３）由纵坐标看出，０．８－０．６＝０．２，食堂离图书馆０．２ｋｍ；由横坐标看
出，２８－２５＝３，小明从食堂到图书馆用了３ｍｉｎ．
（４）由横坐标看出，５８－２８＝３０，小明读报用了３０ｍｉｎ．
（５）由纵坐标看出，图书馆离小明家０．８ｋｍ；由横坐标看出，６８－５８＝
１０，小明从图书馆回家用了１０ｍｉｎ，由此算出平均速度是０．０８ｋｍ／ｍｉｎ．
例３ 在下列式子中，对于狓的每一个确定的值，狔有唯一的对应值，即
狔是狓的函数．画出这些函数的图象：
６
（１）狔＝狓＋０．５； （２）狔＝ （狓＞０）．
狓
解：（１）从式子狔＝狓＋０．５可以看出，狓取任意实数时这个式子都有意
义，所以狓的取值范围是全体实数．
从狓的取值范围中选取一些数值，算出狔的对应值，列表 （计算并填写
表２６４中空格）．
５７
!"#,%&-./0表２６４
狓 … －３ －２ －１ ０ １ ２ ３ …
狔 … －０．５ ０．５ １．５ ２．５ …
根据表中数值描点 （狓，狔），并用平滑曲线连接这些点 （图２６．１７）．
y
2.5
你画出的图象
1.5 y x+0.5
与图２６．１７相同吗？
0.5
-1 O 1 2 x
-0.5
图２６．１７
从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当狓由小变大时，狔＝狓＋
０．５随之增大．
６
（２）狔＝ （狓＞０）．
狓
列表 （计算并填写表２６５中空格）．
表２６５
狓 … ０．５ １ １．５ ２ ２．５ ３ ３．５ ４ ５ ６ …
狔 … ６ ３ ２ １．５ …
根据表中数值描点 （ｘ，ｙ），并用平滑曲线连接这些点 （图２６．１８）．
y
6
你画出的图象
5 6
4 y x (x 0) 与图２６．１８相同吗？
3
2
1
O 1 2 3 4 5 6 x
图２６．１８
５８
!"#,%&-./0６
从函数图象可以看出，曲线从左向右下降，即当狓由小变大时，狔＝
狓
（狓＞０）随之减小．
描点法画函数图象的一般步骤如下：
第一步，列表———表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点———在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的
函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线———按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平
滑曲线连接起来．
１． （１）画出函数狔＝２狓－１的图象；
（２）判断点犃（－２．５，－４），犅（１，３），犆（２．５，４）是否在函数狔＝２狓－１的
图象上．
２．如图是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象．
（１）这一天内，上海与北京何时气温相同？
T
（２）这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？ 8
在哪段时间比北京气温低？
３． （１）画出函数狔＝狓２ 的图象．
O 4 7 1214 24 t
（２）从图象中观察，当狓＜０时，狔随狓的增大
-3
（第２题）
而增大，还是狔随狓的增大而减小？当
狓＞０时呢？
由上可知，写出函数解析式，或者列表格，或者画函数图象，都可以表示
具体的函数．这三种表示函数的方法，分别称为解析式法、列表法和图象法．
从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优点？
表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，
需要同时使用几种方法．
５９
!"#,%&-./0例４ 一个水库的水位在最近５ｈ内持续上涨．表２６６记录了这５ｈ内
６个时间点的水位高度，其中狋表示时间，狔表示水位高度．
表２６６
狋／ｈ ０ １ ２ ３ ４ ５
狔／ｍ ３ ３．３ ３．６ ３．９ ４．２ ４．５
（１）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线
上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？
（２）水位高度狔是否为时间狋的函数？如果是，试写出一个符合表中数据
的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？
（３）据估计这种上涨规律还会持续２ｈ，预测再过２ｈ水位高度将为多少米．
解：（１）如图２６．１９，描出表２６６中
数据对应的点．可以看出，这６个点在一
条直线上．再结合表中数据，可以发现每
y m
小时水位上升０．３ｍ．由此猜想，如果画
B
出这５ｈ内其他时刻 （如狋＝２．５ｈ等）及 4.5
其水位高度所对应的点，它们可能也在这
3
A
条直线上，即在这个时间段中水位可能是
始终以同一速度均匀上升的．
（２）由于水位在最近５ｈ内持续上涨，
对于时间狋的每一个确定的值，水位高度 O 5 t h
狔都有唯一的值与其对应，所以狔是狋的 图２６．１９
函数．开始时水位高度为３ｍ，以后每小
时水位上升０．３ｍ．函数
狔＝０．３狋＋３ （０≤狋≤５）
是符合表中数据的一个函数，它表示经过 y m
狋ｈ水位上升０．３狋ｍ，即水位狔为 （０．３狋＋ 5.1
4.5
B
３）ｍ．其图象是图２６．１１０中点犃（０，３）
和点犅（５，４．５）之间的线段犃犅． 3
A
y=0.3t+3
如果在这５ｈ内，水位一直匀速上升，
即升速为０．３ｍ／ｈ，那么函数狔＝０．３狋＋３
（０≤狋≤５）就精确地表示了这种变化规律． O 5 7 t h
即使在这５ｈ内，水位的升速有些变化，
图２６．１１０
６０
!"#,%&-./0而由于每小时水位上升０．３ｍ是确定的，因此这个函数也可以近似地表示水
位的变化规律．
（３）如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过２ｈ，即狋＝
５＋２＝７ （ｈ）时，水位高度
狔＝０．３×７＋３＝５．１ （ｍ）．
把图２６．１９中的函数图象 （线段犃犅）向右 由例４可以看出，
函数的不同表示法之
延伸到狋＝７所对应的位置，得图２６．１１０，从它
间可以转化．
也能看出这时的水位高度约为５．１ｍ．
１．用列表法与解析式法表示狀边形的内角和犿（单位：度）关于边数狀的函数．
２．用解析式法与图象法表示等边三角形的周长犾关于边长犪的函数．
３．一条小船沿直线向码头匀速前进．在０ｍｉｎ，２ｍｉｎ，４ｍｉｎ，６ｍｉｎ时，测得小
船与码头的距离分别为２００ｍ，１５０ｍ，１００ｍ，５０ｍ．小船与码头的距离狊是
时间狋的函数吗？如果是，写出函数解析式，并画出函数图象．如果船速不变，
多长时间后小船到达码头？
习题２６．１
１．购买一些铅笔，单价为０．２元／支，总价狔元随铅
笔支数狓变化．指出其中的常量与变量，自变量
与函数，并写出表示函数与自变量关系的式子．
２．一个三角形的底边长为５，高犺可以任意伸缩．
写出面积犛随犺变化的解析式，并指出其中的常
量与变量，自变量与函数，以及自变量的取值
范围．
３．在计算器上按下面的程序操作：
x
f 2 + 5 =
y
６１
!"#,%&-./0填表：
狓 １ ３ －４ ０ １０１ －５．２
狔
显示的计算结果狔是输入数值狓的函数吗？为什么？
４．下列式子中的狔是狓的函数吗？为什么？
狓－２
（１）狔＝３狓－５； （２）狔＝ ； （３）狔＝槡狓－１．
狓－１
请再举出一些函数的例子．
５．分别对第４题中的各函数解析式进行讨论：
（１）自变量狓在什么范围内取值时函数解析式有意义？
（２）当狓＝５时对应的函数值是多少？
６．画出函数狔＝０．５狓的图象，并指出自变量狓的取值范围．
７．下列各曲线中哪些表示狔是狓的函数？
y
y
O x O x
y
y
O x O x
（第７题）
８． “漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的
小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用
狓表示漏水时间，狔表示壶底到水面的高度．下页哪个图象适合表
示狔与狓的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响．）
６２
!"#,%&-./0y y y
O O O
x x x
（第８题）
９．已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．下面的图象反映的过程是：张强从
家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．
图中狓表示时间，狔表示张强离家的距离．
y km
2.5
1.5
O 15 30 45 65 100 x min
（第９题）
根据图象回答下列问题：
（１）体育场离张强家多远？张强从家到体育场用了多少时间？
（２）体育场离文具店多远？
（３）张强在文具店停留了多少时间？
（４）张强从文具店回家的平均速度是多少？
１０．某种活期储蓄的月利率是０．０６％，存入１００元本金．求本息和狔（本金与利息的和，
单位：元）随所存月数狓变化的函数解析式，并计算存期为４个月时的本息和．
１１．正方形边长为３．若边长增加狓，则面积增加狔．求狔随狓变化的函数解析式，
指出自变量与函数，并以表格形式表示当狓等于１，２，３，４时狔的值．
１２．甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为２０ｍ／ｓ和２５ｍ／ｓ．现甲车在乙车前
５００ｍ处，设狓ｓ（０≤狓≤１００）后两车相距狔ｍ．用解析式和图象表示狔与狓的
对应关系．
１３．甲、乙两车从Ａ城出发前往Ｂ城．在整个行程中，汽车离开Ａ城的距离狔与时
刻狋的对应关系如下页图所示．
（１）Ａ，Ｂ两城相距多远？
（２）哪辆车先出发？哪辆车先到Ｂ城？
６３
!"#$%&’()*（３）甲、乙两车的平均速度分别为多少？
（４）你还能从图中得到哪些信息？
y km
300
O 5:00 6:00 7:30 9:00 10:00 t
（第１３题）
１
１４．在同一直角坐标系中分别画出函数狔＝狓与狔＝ 的图象．利用这两个图象回答：
狓
１
（１）狓取什么值时，狓比 大？
狓
１
（２）狓取什么值时，狓比 小？
狓
１５．四边形有两条对角线，五边形、六边形分别有多少条对角线？狀边形呢？多边形
对角线的条数是边数的函数吗？
６４
!"#,%&-./0
科学家如何测算岩石的年龄
你知道科学家如何测算岩石的年龄吗？解决这个问题时也用到函数这个数学工具．
１９０３年，英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质放出射线后，这种物质的
质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢．物质所剩的质量与时间成某种函数关系．
图１为表示镭的放射规律的函数图象．
m
m
0
1
m
2 0
1
m
4 0
1
m
8 0
O 1620 3240 4860
图１
１ １ １
由图１我们可以发现：镭的质量由犿 缩减到 犿 需１６２０年，由 犿 缩减到 犿
０ ２ ０ ２ ０ ４ ０
１ １
需年数为３２４０－１６２０＝１６２０，由 犿 缩减到 犿 需年数为４８６０－３２４０＝１６２０，即镭
４ ０ ８ ０
的质量缩减为原来的一半所用的时间是一个不变的量———１６２０年．一般把１６２０年称为镭
的半衰期．
实际上，所有放射性物质都有自己的半衰期．铀的半衰期为４５．６亿年，蜕变后的铀
最后成为铅．因此，科学家们测出一块岩石中现在含铀和铅的质量，便可以算出这块岩石
原来的含铀量，进而利用半衰期算出从原来含铀量到现在含铀量经过了多少时间，从而推
算出这块岩石的年龄．据此测算出地球上最古老的岩石的年龄约为３０亿年．
请思考下面的问题，它能帮你理解 “半衰”现象．
一个皮球从１６ｍ高处下落，第一次落地后反弹起８ｍ，第二次落地后反弹起４ｍ，
以后每次落地后的反弹高度都减半．试写出表示反弹高度犺（单位：ｍ）与落地次数狀的
１
对应关系的函数解析式．皮球第几次落地后的反弹高度为 ｍ？
８
６５
!"#,%&-./0２６．２ 一次函数
２６．２．１ 正比例函数
问题１ ２０１１年开始运营的京沪高速铁路全长１３１８ｋｍ．设列车的平均速
度为３００ｋｍ／ｈ．考虑以下问题：
（１）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少
小时 （结果保留小数点后一位）？
（２）京沪高铁列车的行程狔（单位：ｋｍ）与运行时间狋（单位：ｈ）之间
有何数量关系？
（３）京沪高铁列车从北京南站出发２．５ｈ后，是否已经过了距始发站
１１００ｋｍ的南京南站？
分析：（１）京沪高铁列车全程运行时间约需
１３１８÷３００≈４．４ （ｈ）．
（２）京沪高铁列车的行程狔是运行时间狋的函数，函数解析式为
狔＝３００狋（０≤狋≤４．４）．
（３）京沪高铁列车从北京南站出发２．５ｈ的行程，是当狋＝２．５时函数狔＝
３００狋的值，即
狔＝３００×２．５＝７５０ （ｋｍ）．
这时列车尚未到达距始发站１１００ｋｍ的南京南站．
以上我们用函数狔＝３００狋（０≤狋≤４．４）对京沪高铁列车的行程问题进行
了讨论．尽管实际情况可能会与此有一些小的不同，但这个函数基本上反映了
列车的行程与运行时间之间的对应规律．
下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函
数解析式．这些函数解析式有哪些共同特征？
（１）圆的周长犾随半径狉的变化而变化．
（２）铁的密度为７．９ｇ／ｃｍ３ ，铁块的质量犿（单位：ｇ）随它的体积犞
６６
!"#$%&’()*
书书书（单位：ｃｍ３ ）的变化而变化．
（３）每个练习本的厚度为０．５ｃｍ，一些练习本摞在一起的总厚度
犺（单位：ｃｍ）随练习本的本数狀的变化而变化．
（４）冷冻一个０℃的物体，使它每分下降２℃，物体的温度犜（单
位：℃）随冷冻时间狋（单位：ｍｉｎ）的变化而变化．
上面问题中，表示变量之间关系的函数解析式分别为
（１）犾＝２π狉； （２）犿＝７．９犞；
（３）犺＝０．５狀； （４）犜＝－２狋．
正如函数狔＝３００狋一样，上面这些函数都是常数与自变量的积的形式．
一般地，形如狔＝犽狓（犽是常数，犽≠０）的函数，叫做正比例函数 （ｐｒｏ
ｐｏｒｔｉｏｎａｌｆｕｎｃｔｉｏｎ），其中犽叫做比例系数．
１．下列式子中，哪些表示狔是狓的正比例函数？
狓
（１）狔＝－０．１狓； （２）狔＝ ； （３）狔＝２狓２； （４）狔２＝４狓．
２
２．列式表示下列问题中的狔与狓的函数关系，并指出哪些是正比例函数．
（１）正方形的边长为狓ｃｍ，周长为狔ｃｍ；
（２）某人一年内的月平均收入为狓元，他这年 （１２个月）的总收入为狔元；
（３）一个长方体的长为２ｃｍ，宽为１．５ｃｍ，高为狓ｃｍ，体积为狔ｃｍ３．
下面我们研究正比例函数的图象．
例１ 画出下列正比例函数的图象：
１
（１）狔＝２狓，狔＝ 狓； （２）狔＝－１．５狓，狔＝－４狓．
３
解：（１）函数狔＝２狓中自变量狓可为任意实数．表２６７是狔与狓的几组
对应值．
表２６７
狓 … －３ －２ －１ ０ １ ２ ３ …
狔 … －６ －４ －２ ０ ２ ４ ６ …
６７
!"#$%&’()*如图２６．２１，在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点．将这些点连接
起来，得到一条经过原点和第三、第一象限的直线．它就是函数狔＝２狓的
图象．
１
用同样的方法，可以得到函数狔＝ 狓的图象 （图２６．２１）．它也是一条经
３
过原点和第三、第一象限的直线．
y
y 2x 你画出的函数
１
2 y 1 x 狔＝ ３ 狓的图象，
1 3
与图２６．２１中的
O 1 2 x
相同吗？
图２６．２１
（２）函数狔＝－１．５狓中自变量狓可为任意实数．表２６８是狔与狓的几组
对应值．
表２６８
狓 … －３ －２ －１ ０ １ ２ ３ …
狔 … ４．５ ３ １．５ ０ －１．５ －３ －４．５ …
如图２６．２２，在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点．将这些点连接
起来，得到一条经过原点和第二、第四象限的直线，它就是函数狔＝－１．５狓
的图象．
用同样的方法，可以得到函数狔＝－４狓的图象 （图２６．２２）．它也是一条
经过原点和第二、第四象限的直线．
y
y -4x 4
你画出的函数
3
y -1.5x 2 狔＝－４狓的图象，
1 与图２６．２２中的
-2 -1O 1 2 x 相同吗？
图２６．２２
６８
!"#,%&-./0１
以上４个函数的图象都是经过原点的直线，其中函数狔＝２狓和狔＝ 狓的
３
图象经过第三、第一象限，从左向右上升；函数狔＝－１．５狓和狔＝－４狓的图
象经过第二、第四象限，从左向右下降．
一般地，正比例函数狔＝犽狓（犽是常数，犽≠０）的图象是一条经过原点的
直线，我们称它为直线狔＝犽狓．当犽＞０时，直线狔＝犽狓经过第三、第一象限，
从左向右上升，即随着狓的增大狔也增大；当犽＜０时，直线狔＝犽狓经过第二、
第四象限，从左向右下降，即随着狓的增大狔反而减小．
经过原点与点 （１，犽）（犽是常数，犽≠０）的直线是哪个函数的图象？
画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数狔＝犽狓（犽≠０）
的图象．一般地，过原点和点 （１，犽）（犽是常数，犽≠０）的直线，即正比例
函数狔＝犽狓（犽≠０）的图象．
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
３
（１）狔＝ 狓； （２）狔＝－３狓．
２
２６．２．２ 一次函数
问题２ 某登山队大本营所在地的气温为
５℃，海拔每升高１ｋｍ气温下降６℃．登山队员
由大本营向上登高狓ｋｍ时，他们所在位置的气
温是狔℃．试用函数解析式表示狔与狓的关系．
分析：狔随狓变化的规律是：从大本营向
上，当海拔增加狓ｋｍ时，气温从５℃减少６狓℃．
因此狔与狓的函数解析式为
狔＝５－６狓．
这个函数也可以写为
６９
!"#,%&-./0狔＝－６狓＋５．
当登山队员由大本营向上登高０．５ｋｍ时，他们所在位置的气温就是当
狓＝０．５时函数狔＝－６狓＋５的值，即狔＝－６×０．５＋５＝２（℃）．
下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函
数解析式．这些函数解析式有哪些共同特征？
（１）有人发现，在２０℃～２５℃时蟋蟀每分鸣叫次数犮与温度狋（单
位：℃）有关，即犮的值约是狋的７倍与３５的差．
（２）一种计算成年人标准体重犌（单位：ｋｇ）的方法是：以厘米为单
位量出身高值犺，再减常数１０５，所得差是犌的值．
（３）某城市的市内电话的月收费额狔（单位：元）包括月租费２２元和
拨打电话狓ｍｉｎ的计时费 （按０．１元／ｍｉｎ收取）．
（４）把一个长１０ｃｍ、宽５ｃｍ的长方形的长减少狓ｃｍ，宽不变，长方
形的面积狔（单位：ｃｍ２ ）随狓的变化而变化．
上面问题中，表示变量之间关系的函数解析式分别为
（１）犮＝７狋－３５ （２０≤狋≤２５）； （２）犌＝犺－１０５；
（３）狔＝０．１狓＋２２； （４）狔＝－５狓＋５０ （０≤狓＜１０）．
正如函数狔＝－６狓＋５一样，上面这些函数都是常数犽与自变量的积与常
数犫的和的形式．
一般地，形如狔＝犽狓＋犫（犽，犫是常数，犽≠０）的函数，叫做一次函数
（ｌｉｎｅａｒｆｕｎｃｔｉｏｎ）．当犫＝０时，狔＝犽狓＋犫即狔＝犽狓，所以说正比例函数是一种
特殊的一次函数．
１．下列函数中哪些是一次函数？哪些又是正比例函数？
－８
（１）狔＝－８狓； （２）狔＝ ；
狓
（３）狔＝５狓２＋６； （４）狔＝－０．５狓－１．
２．一次函数狔＝犽狓＋犫，当狓＝１时，狔＝５；当狓＝－１时，狔＝１．求犽和犫的值．
７０
!"#,%&-./0３．一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，
其速度每秒增加２ｍ／ｓ．
（１）求小球速度狏（单位：ｍ／ｓ）关于时间
狋（单位：ｓ）的函数解析式．它是一次函数吗？
（２）求第２．５ｓ时小球的速度．
（第３题）
例２ 画出函数狔＝－６狓与狔＝－６狓＋５的图象．
解：函数狔＝－６狓与狔＝－６狓＋５中，自变量狓可以是任意实数．列表表
示几组对应值 （计算并填写表２６９中空格）．
表２６９
狓 －２ －１ ０ １ ２
狔＝－６狓 ０ －６
狔＝－６狓＋５ ５ －１
画出函数狔＝－６狓与狔＝－６狓＋５的图象 （图２６．２３）．
y
5
y -6x 5
y -6x
你画出的图象
与图２６．２３相同吗？
O 1 x
图２６．２３
比较上面两个函数的图象的相同点与不同点，填出你的观察结果：
这两个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度 ．函数
狔＝－６狓的图象经过原点，函数狔＝－６狓＋５的图象与狔轴交于点
，即它可以看作由直线狔＝－６狓向 平移 个单位长度而得到．
７１
!"#,%&-./0比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道
理吗？
联系上面结果，考虑一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图象是什么
形状，它与直线狔＝犽狓（犽≠０）有什么关系．
比较一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）与正比例函数狔＝犽狓（犽≠０）的解析
式，容易得出：
一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图象可以由直线狔＝犽狓平移│犫│个单位
长度得到（当犫＞０时，向上平移；当犫＜０时，向下平移）．一次函数狔＝犽狓＋犫
（犽≠０）的图象也是一条直线，我们称它为直线狔＝犽狓＋犫．
例３ 画出函数狔＝２狓－１与狔＝－０．５狓＋１的图象．
分析：由于一次函数的图象是直线，因此只要确定两个点就能画出它．
解：列表表示当狓＝０，狓＝１时两个函数的对应值 （表２６１０）．
表２６１０
狓 ０ １
狔＝２狓－１ －１ １
狔＝－０．５狓＋１ １ ０．５
过点（０，－１）与点（１，１）画出直线狔＝２狓－１；过点（０，１）与点（１，０．５）
画出直线狔＝－０．５狓＋１．（图２６．２４）
y
先画直线狔＝２狓
y 2x 1
与狔＝－０．５狓，再分
别平移它们，也能得
y -0.5x 1
到直线狔＝２狓－１与狔
1 (1,1) ＝－０．５狓＋１．
(1,0.5)
O 1 x
-1
图２６．２４
７２
!"#,%&-./0
画出函数狔＝狓＋１，狔＝－狓＋１，狔＝２狓＋１，狔＝－２狓＋１的图象．
由它们联想：一次函数解析式狔＝犽狓＋犫（犽，犫是常数，犽≠０）中，犽的
正负对函数图象有什么影响？
观察前面一次函数的图象，可以发现规律：
当犽＞０时，直线狔＝犽狓＋犫从左向右上升；
当犽＜０时，直线狔＝犽狓＋犫从左向右下降．由此可
我们先通过观察
发现图象 （形）的规
知，一次函数狔＝犽狓＋犫（犽，犫是常数，犽≠０）
律，再根据这些规律
具有如下性质：
得出关于数值大小的
当犽＞０时，狔随狓的增大而增大； 性质，这种数形结合
当犽＜０时，狔随狓的增大而减小． 的研究方法在数学学
习中很重要．
１．直线狔＝２狓－３与狓轴交点坐标为 ，与狔轴交点坐标为 ，图
象经过 象限，狔随狓的增大而 ．
２．在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出每小题中三个函数的图象有
什么关系．
（１）狔＝狓－１，狔＝狓，狔＝狓＋１；
（２）狔＝－２狓－１，狔＝－２狓，狔＝－２狓＋１．
３．分别在同一直角坐标系中画出下列 （１）（２）中各函数的图象，并指出每组函数
图象的共同之处．
１
（１）狔＝ 狓＋１，狔＝狓＋１，狔＝２狓＋１；
２
１
（２）狔＝－ 狓－１，狔＝－狓－１，狔＝－２狓－１．
２
例４ 已知一次函数的图象过点 （３，５）与
（－４，－９），求这个一次函数的解析式．
因为图象过 （３，
５）与 （－４，－９）点，
分析：求一次函数狔＝犽狓＋犫的解析式，关
所以这两点的坐标必
键是求出犽，犫的值．从已知条件可以列出关于犽，
适合解析式．
犫的二元一次方程组，并求出犽，犫．
７３
!"#,%&-./0解：设这个一次函数的解析式为狔＝犽狓＋犫（犽≠０）．
因为狔＝犽狓＋犫的图象过点 （３，５）与 （－４，－９），所以
烄３犽＋犫＝５，
烅
烆－４犽＋犫＝－９．
解方程组得
烄犽＝２，
烅
烆犫＝－１．
这个一次函数的解析式为狔＝２狓－１．
像例４这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从
而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法．
由于一次函数狔＝犽狓＋犫中有犽和犫两个待定系数，因此用待定系数法时
需要根据两个条件列二元一次方程组 （以犽和犫为未知数）．解方程组后就能
具体写出一次函数的解析式．
例３与例４从两方面说明：
y=kx+b !x y !x y l
1 1 2 2
例５ “黄金１号”玉米种子的价格为５元／ｋｇ．如果一次购买２ｋｇ以上
的种子，超过２ｋｇ部分的种子价格打８折．
（１）填写表２６１１．
表２６１１
购买量／ｋｇ ０．５ １ １．５ ２ ２．５ ３ ３．５ ４ …
付款金额／元 …
（２）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象．
分析：付款金额与种子价格相关．问题中种子价格不是固定不变的，它与
购买量有关．设购买狓ｋｇ种子，当０≤狓≤２时，种子价格为５元／ｋｇ；当狓＞２
时，其中有２ｋｇ种子按５元／ｋｇ计价，其余的 （狓－２）ｋｇ （即超出２ｋｇ部分）
种子按４元／ｋｇ（即８折）计价．因此，写函数解析式与画函数图象时，应对
０≤狓≤２和狓＞２分段讨论．
７４
!"#,%&-./0解：（１）
表２６１２
购买量／ｋｇ ０．５ １ １．５ ２ ２．５ ３ ３．５ ４ …
付款金额／元 ２．５ ５ ７．５ １０ １２ １４ １６ １８ …
（２）设购买量为狓ｋｇ，付款金额为狔元．
当０≤狓≤２时，狔＝５狓；
当狓＞２时，狔＝４（狓－２）＋１０＝４狓＋２．
狔与狓的函数解析
式也可合起来表示为
函数图象如图２６．２５． ｛
５狓， ０≤狓≤２，
狔＝
４狓＋２，狓＞２．
y
y 4x 2
10
y 5x
O 1 2 x
图２６．２５
你能由上面的函数解析式解决以下问题吗？由函数图象也能解决这些
问题吗？
（１）一次购买１．５ｋｇ种子，需付款多少元？
（２）一次购买３ｋｇ种子，需付款多少元？
１．已知一次函数的图象经过点 （９，０）和点 （２４，２０），写出函数解析式．
２．一个试验室在０：００—２：００保持２０℃的恒温，在２：００—４：００匀速升温，每小时
升高５℃．写出试验室温度犜（单位：℃）关于时间狋（单位：ｈ）的函数解析
式，并画出函数图象．
７５
!"#,%&-./0２６．２．３ 一次函数与方程、不等式
方程、不等式与函数之间有着密切的联系．下面我们先从函数的角度看解
一元一次方程．
下面３个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这３个
方程进行解释吗？
（１）２狓＋１＝３； （２）２狓＋１＝０； （３）２狓＋１＝－１．
可以看出，这３个方程的等号左边都是２狓＋
y
１，等号右边分别是３，０，－１．从函数的角度
y=2x+1
看，解这３个方程相当于在一次函数狔＝２狓＋１ 3
的函数值分别为３，０，－１时，求自变量狓的值．
或者说，在直线狔＝２狓＋１上取纵坐标分别为３，
０，－１的点，看它们的横坐标分别为多少 （图
２６．２６）． P
-1 O 1 x
因为任何一个以狓为未知数的一元一次方程
都可以变形为犪狓＋犫＝０ （犪≠０）的形式，所以解
-1
一元一次方程相当于在某个一次函数狔＝犪狓＋犫的
函数值为０时，求自变量狓的值．
图２６．２６
我们再从函数的角度看解一元一次不等式．
下面３个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这３
个不等式进行解释吗？
（１）３狓＋２＞２； （２）３狓＋２＜０； （３）３狓＋２＜－１．
可以看出，这３个不等式的不等号左边都是３狓＋２，而不等号及不等号右
边却有不同．从函数的角度看，解这３个不等式相当于在一次函数狔＝３狓＋２
的函数值分别大于２、小于０、小于－１时，求自变量狓的取值范围．或者说，
７６
!"#,%&-./0在直线狔＝３狓＋２上取纵坐标分别满足大于２、小
y
于０、小于－１的点，看它们的横坐标分别满足什
y=3x+2
么条件 （图２６．２７）．
因为任何一个以狓为未知数的一元一次不等式
2
都可以变形为犪狓＋犫＞０或犪狓＋犫＜０ （犪≠０）的形
式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数
狔＝犪狓＋犫的函数值大于０或小于０时，求自变量
P
-1 O x
狓的取值范围．
-1
最后，我们从函数的角度看解二元一次方程组．
问题３ １号探测气球从海拔５ｍ处出发，以 图２６．２７
１ｍ／ｍｉｎ的速度上升．与此同时，２号探测气球从海
拔１５ｍ处出发，以０．５ｍ／ｍｉｎ的速度上升．两个气球都上升了１ｈ．
（１）用式子分别表示两个气球所在位置的海拔狔（单位：ｍ）关于上升时
间狓（单位：ｍｉｎ）的函数关系．
（２）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长
时间？位于什么高度？
分析：（１）气球上升时间狓满足０≤狓≤６０．
对于１号气球，狔关于狓的函数解析式为狔＝狓＋５．
对于２号气球，狔关于狓的函数解析式为狔＝０．５狓＋１５．
（２）在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于狓的某个值 （０≤狓≤
６０），函数狔＝狓＋５和狔＝０．５狓＋１５有相同的值狔．如能求出这个狓和狔，则
问题得到解决．由此容易想到解二元一次方程组
烄狔＝狓＋５， 烄狓－狔＝－５，
即 y
烅 烅
烆狔＝０．５狓＋１５， 烆０．５狓－狔＝－１５．
烄狓＝２０， 50
解得
烅
这就是说，当上升２０ｍｉｎ时，两个 y x 5
烆狔＝２５．
y 0.5x 15
气球都位于海拔２５ｍ的高度．
25
P(20,25)
我们也可以用一次函数的图象解释上述问题
的解答．如图２６．２８，在同一直角坐标系中，画出
O 20 40 60 x
一次函数狔＝狓＋５和狔＝０．５狓＋１５的图象．这两
图２６．２８
７７
!"#,%&-./0条直线的交点坐标为 （２０，２５），这也说明当上升２０ｍｉｎ时，两个气球都位于海
拔２５ｍ的高度．
一般地，因为每个含有未知数狓和狔的二元一次方程，都可以改写为狔＝
犽狓＋犫（犽，犫是常数，犽≠０）的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次
函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标 （狓，狔）都是这个二
元一次方程的解．
由上可知，由含有未知数狓和狔的两个二元一次方程组成的每个二元一
次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从 “数”的角度看，
解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个
函数值是多少；从 “形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直
线交点的坐标．因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解．
方程 （组）与函数之间互相联系，从函数的角度可以把它们统一起
来．解决问题时，应根据具体情况灵活地把它们结合起来考虑．
考虑下面两种移动电话计费方式：
方式一 方式二
月租费／（元／月） ３０ ０
本地通话费／（元／ｍｉｎ） ０．３０ ０．４０
用函数方法解答何时两种计费方式费用相等．
习题２６．２
１．一列火车以９０ｋｍ／ｈ的速度匀速前进．求它的行驶路程狊（单位：ｋｍ）关于行驶时
间狋（单位：ｈ）的函数解析式，并画出函数图象．
２．函数狔＝－５狓的图象在第 象限内，经过点 （０， ）与点 （１， ），
狔随狓的增大而 ．
７８
!"#,%&-./0３．一个弹簧不挂重物时长１２ｃｍ，挂上重物后伸长的长度
与所挂重物的质量成正比．如果挂上１ｋｇ的物体后，弹
簧伸长２ｃｍ．求弹簧总长狔（单位：ｃｍ）关于所挂物体
质量狓（单位：ｋｇ）的函数解析式．
４．分别画出下列函数的图象：
（１）狔＝４狓； （２）狔＝４狓＋１；
（３）狔＝－４狓＋１； （４）狔＝－４狓－１．
５．在同一直角坐标系中，画出函数狔＝２狓＋４与狔＝－２狓＋４的图象，并指出每个
函数中当狓增大时狔如何变化．
６．已知一次函数狔＝犽狓＋犫，当狓＝２时狔的值为４，当狓＝－２时狔的值为－２，求
犽与犫．
７．已知一次函数的图象经过点 （－４，９）和点 （６，３），求这个函数的解析式．
５
８．当自变量狓取何值时，函数狔＝ 狓＋１与狔＝５狓＋１７的值相等？这个函数值是
２
多少？
９．点犘（狓，狔）在第一象限，且狓＋狔＝８，点犃的坐标为 （６，０）．设△犗犘犃的面
积为犛．
（１）用含狓的式子表示犛，写出狓的取值范围，画出函数犛的图象．
（２）当点犘的横坐标为５时，△犗犘犃的面积为多少？
（３）△犗犘犃的面积能大于２４吗？为什么？
１０．不画图象，仅从函数解析式能否看出直线狔＝３狓＋４与狔＝３狓－４具有什么样的
位置关系？
１１．从Ａ地向Ｂ地打长途电话，通话时间不超过３ｍｉｎ收费２．４元，超过３ｍｉｎ后每
分加收１元．写出通话费用狔（单位：元）关于通话时间狓（单位：ｍｉｎ）的函
数解析式．有１０元钱时，打一次电话最多可以通话多长时间？（本题中狓取整
数，不足１ｍｉｎ的通话时间按１ｍｉｎ计费．）
１２． （１）当犫＞０时，函数狔＝狓＋犫的图象经过哪几个象限？
（２）当犫＜０时，函数狔＝－狓＋犫的图象经过哪几个象限？
（３）当犽＞０时，函数狔＝犽狓＋１的图象经过哪几个象限？
（４）当犽＜０时，函数狔＝犽狓＋１的图象经过哪几个象限？
５
１３．在同一直角坐标系中，画出函数狔＝ 狓＋１和狔＝５狓＋１７的图象，并结合图象
２
比较这两个函数的函数值的大小关系．
７９
!"#,%&-./0
１４．图中的折线表示一骑车人离家的距离狔与时刻狓的关系．骑车人９：００离开家，
１５：００回到家．请你根据这个折线图回答下列问题：
（１）这个人何时离家最远？这时他离家多远？
（２）何时他开始第一次休息？休息多长时间？这时他离家多远？
（３）１１：００～１２：３０他骑了多少千米？
（４）他在９：００～１０：３０和１０：３０～１２：３０的平均速度各是多少？
（５）他返家时的平均速度是多少？
（６）１４：００时他离家多远？回家路上，何时他离家９ｋｍ？
y km
45
30
18
O
9 00 15 00 x
（第１４题）
１５．甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．春节期间两家商场都让利酬
宾，其中甲商场所有商品按８折出售，乙商场对一次购物中超过２００元后的价格
部分打７折．
（１）以狓（单位：元）表示商品原价，狔（单位：元）表示购物金额，分别就两
家商场的让利方式写出狔关于狓的函数解析式；
（２）在同一直角坐标系中画出 （１）中函数的图象；
（３）春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
８０
!"#,%&-./0
用计算机画函数图象
由解析式画函数图象时，一般采用描点连线法．描出的点越多，画出的函数图象越准
确．但是，仅靠手工操作有时很难画出准确的图象，而计算机可以帮助我们又快又准地画
出函数图象．下面介绍根据函数解析式用 《几何画板》软件画函数图象的一些例子．
例如，画函数狔＝３狓－２的图象．启用 《几何画板》软件绘制函数图象功能 （ｎｅｗｆｕｎｃｔｉｏｎ
／ｇｒａｐｈ），输入函数解析式狔＝３狓－２，计算机便自动画出如下图象 （图１中的直线）．
6
6
y x2
4
4
2
2
y 3x 2
-5 O 5 -5 O 5
-2 -2
-4 -4
-6 -6
y x2(x 3)
图１ 图２
类似地，在同一坐标系中，可以画出函数狔＝狓２ 与狔＝狓２（狓－３）的图象 （图２中蓝
色的曲线与红色的曲线）．
从画出的函数图象可以看出，函数图象与函数性质之间存在着必然的联系．例如
图象特征 函数变化规律
从左向右曲线呈上升状态 狔随狓的增大而增大
从左向右曲线呈下降状态 狔随狓的增大而减小
曲线上的最高点是 （犪，犫） 当狓＝犪时，狔有最大值犫
曲线上的最低点是 （犪，犫） 当狓＝犪时，狔有最小值犫
根据上面例子中的函数图象，你发现这些函数各具有什么性质？
８１
!"#$%&’()*２６．３ 课题学习 选择方案
做一件事情，有时有不同的实施方案．比较这些方案，从中选择最佳方案
作为行动计划，是非常必要的．在选择方案时，往往需要从数学角度进行分
析，涉及变量的问题常用到函数．同学们通过讨论下面两个问题，可以体会如
何运用一次函数选择最佳方案．解决这些问题后，可以进行后面的实践活动．
问题１ 怎样选取上网收费方式？
表２６１３给出Ａ，Ｂ，Ｃ三种上宽带网的收费方式．
表２６１３
收费方式 月使用费／元 包时上网时间／ｈ 超时费／（元／ｍｉｎ）
Ａ ３０ ２５ ０．０５
Ｂ ５０ ５０ ０．０５
Ｃ １２０ 不限时
选取哪种方式能节省上网费？
分析：在方式Ａ，Ｂ中，上网时间是影响上网费的变量；在方式Ｃ中，上
网费是常量．
设月上网时间为狓ｈ，则方案Ａ，Ｂ的收费金额狔，狔 都是狓的函数．要比
１ ２
较它们，需在狓＞０的条件下，考虑何时 （１）狔＝狔，（２）狔＜狔，（３）狔＞狔．
１ ２ １ ２ １ ２
利用函数解析式，通过方程、不等式或函数图象能够解答上述问题．在此基础
上，再用其中省钱的方式与方式Ｃ进行比较，则容易对收费方式作出选择．
在方式Ａ中，月使用费３０元与包时上网时间２５ｈ是常量．考虑收费金额
时，要把上网时间分为２５ｈ以内和超过２５ｈ两种情况，得到的是如下的函数
烄３０， ０≤狓≤２５，
狔＝烅
１ 烆３０＋０．０５×６０（狓－２５），狓＞２５．
化简，得
烄３０， ０≤狓≤２５，
狔＝烅
１ 烆３狓－４５， 狓＞２５．
这个函数的图象如图２６．３１所示．
８２
!"#,%&-./0y
y
1
30
O 25 x
图２６．３１
类似地，可以得出方式Ｂ，Ｃ的收费金额狔，狔 关于上网时间狓的函数
２ ３
解析式．
在图２６．３１中画出狔，狔 的图象，结合函数图象与解析式，填空：
２ ３
当上网时间 时，选择方式Ａ最省钱；
当上网时间 时，选择方式Ｂ最省钱；
当上网时间 时，选择方式Ｃ最省钱．
问题２ 怎样租车？
某学校计划在总费用２３００元的限额内，租用汽车送２３４名学生和６名教
师集体外出活动，每辆汽车上至少要有１名教师．
现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表２６１４所示．
表２６１４
甲种客车 乙种客车
载客量／（人／辆） ４５ ３０
租金／（元／辆） ４００ ２８０
（１）共需租多少辆汽车？
（２）给出最节省费用的租车方案．
分析： （１）可以从乘车人数的角度考虑租多少辆汽车，要注意到以下
要求：
①要保证２４０名师生都有车坐；
②要使每辆汽车上至少有１名教师．
根据①可知，汽车总数不能小于 ；根据②可知，汽车总数不能大
于 ．综合起来可知汽车总数为 ．
（２）租车费用与所租车的种类有关．可以看出，当汽车总数犪确定后，在
８３
!"#,%&-./0满足各项要求的前提下，尽可能少地租用甲种客车可以节省费用．
设租用狓辆甲种客车，则租车费用狔（单位：元）是狓的函数，即
狔＝４００狓＋２８０（犪－狓）．
将 （１）中确定的犪的值代入上式，化简这个函数，得
狔＝ ．
为使２４０名师生有车坐，狓不能小于 ；为使租车费用不超过２３００
元，狓不能超过 ．综合起来可知狓的取值为 ．
在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应
选择其中哪个方案？试说明理由．
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选
取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量．然后根据问题的条件
寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型．
实践活动：
结合日常生活中某个可以选择多种实施方案的实际问题，例如购物、配
送、上网、通信等，利用数学知识进行分析，选择最佳方案，并写出有关活动
的报告．
８４
!"#,%&-./0
（１）根据下表的数据，在直角坐标系中画出世界人口增长曲线图．
（２）选择一个近似于人口增长曲线的一次函数，写出它的解析式．
（３）按照这样的增长趋势，估计２０２０年的世界人口数．
世界人口数统计表
年份狓 １９６０ １９７４ １９８７ １９９９ ２０１０
人口数狔／亿 ３０ ４０ ５０ ６０ ６９
水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏
水量与漏水时间关系，可进行以下的试验与
研究：
（１）在滴水的水龙头下放置一个能显示水
量的容器，每５ｍｉｎ记录一次容器中的水量，
并填写下表：
时间狋／ｍｉｎ ０ ５ １０ １５ ２０ ２５ ３０
水量狑／ｍｌ
（２）建立直角坐标系，以横轴表示时间ｔ，纵轴表示水量ｗ，描出以
上述试验所得数据为坐标的各点，并观察它们的分布规律．
（３）试写出狑关于狋的函数解析式，并由它估算这种漏水状态下一天
的漏水量．
８５
!"#,%&-./0小 结
一、本章知识结构图
y=kx+b k
k yx
k yx
二、回顾与思考
客观世界中变量大量存在．本章结合一些实际问题，分析了一个变化过程
中两个变量的一种对应关系，即每当其中某个变量取一个定值时，另一变量有
唯一确定的值与其对应，由此初步认识了函数及其表示法．
一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）是一种最基本的函数，它刻画了一类常见的变
化规律．正比例函数狔＝犽狓（犽≠０）是一次函数的特例．一次函数的图象是一条
直线，利用图象可以直观地分析函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的增减性．观察发现，
当犽＞０（犽＜０）时，图象从左向右上升 （下降）．这表明，函数狔的值随自变量
狓的增大而增大 （减小）．利用图象研究函数的方法体现了数形结合的思想．
利用函数解决问题时，关键在于分析问题中变量之间的对应关系，并考虑
如何表示这种关系，从而将实际问题转化为函数模型．如果判断出某问题的变
化规律可用一次函数模型刻画，那么可根据已知条件用待定系数法得出函数解
析式．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．举例说明两个变量狓和狔满足什么条件时，狔是狓的函数．
２．函数有哪些表示法？它们各有什么优点？请举例说明．
３．一次函数狔＝犽狓＋犫的图象是什么图形？当犫＝０时，函数狔＝犽狓＋犫的
８６
!"#,%&-./0图象经过哪个定点？常数犽对函数狔＝犽狓＋犫的图象有什么影响？由此能说明
狔与狓之间的什么变化规律？
４．由一条不平行于坐标轴的已知直线，能求出它对应的一次函数的解析式
吗？如果能，应怎样求？由此体会由形到数的转化．
５．举例说明如何利用函数解决实际问题．
复习题２６
１．小亮现已存款１００元．为赞助 “希望工程”，
他计划今后三年每月存款１０元．存款总金
额狔（单位：元）将随时间狓（单位：月） !
!
的变化而改变．指出其中的常量与变量，
自变量与函数，并写出函数解析式．
２．判断下列各点是否在直线狔＝２狓＋６上．
这条直线与坐标轴交于何处？
（－５，－４）， （－７，２０），
（ ） （ ）
７ ２ １
－ ，１ ， ，７ ．
２ ３ ３
３．填空：
１ ２
（１）直线狔＝ － 狓经过第
２ ３
象限，狔随狓的增大而 ；
（２）直线狔＝３狓－２经过第 象限，狔随狓的增大而 ．
４．根据下列条件分别确定函数狔＝犽狓＋犫的解析式：
（１）狔与狓成正比例，当狓＝５时，狔＝６；
（ ）
１ １
（２）直线狔＝犽狓＋犫经过点 （３，６）与点 ，－ ．
２ ２
５．试根据函数狔＝３狓－１５的性质或图象，确定狓取何值时：
（１）狔＞０； （２）狔＜０．
６．在某火车站托运物品时，不超过１ｋｇ的物品需付２元，以后每增加１ｋｇ（不足
８７
!"#,%&-./0１ｋｇ按１ｋｇ计）需增加托运费０．５元．设托运狆ｋｇ（狆为整数）物品的费用为犮
元．试写出犮的计算公式．
７．某水果批发市场规定，批发苹果不少于１００ｋｇ时，批发价为２．５元／ｋｇ．小王携
带现金３０００元到这市场采购苹果，并以批发价买进．设购买的苹果为狓ｋｇ，小王
付款后还剩余现金狔元．试写出狔关于狓的函数
解析式，并指出自变量狓的取值范围．
h C
８．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注
水过程中，水面高度犺随时间狋的变化规律如图所 B
A
示 （图中犗犃犅犆为一折线）．这个容器的形状是下
图中哪一个？匀速地向另两个容器注水时，你能画
O
t
出水面高度犺随时间狋变化的图象 （草图）吗？ （第８题）
９．已知等腰三角形周长为２０．
（１）写出底边长狔关于腰长狓的函数解析式 （狓为自变量）；
（２）写出自变量取值范围；
（３）在直角坐标系中，画出函数图象．
１０．已知点犃（８，０）及在第一象限的动点犘（狓，狔），且狓＋狔＝１０．设△犗犘犃的面
积为犛．
（１）求犛关于狓的函数解析式；
（２）求狓的取值范围；
（３）当犛＝１２时，求犘点坐标；
（４）画出函数犛的图象．
１１． （１）画出函数狔＝｜狓－１｜的图象．
（２）设犘（狓，０）是狓轴上的一个动点，它与狓轴上表示－３的点的距离为狔．
求狔关于狓的函数解析式，并画出这个函数的图象．
１２．Ａ，Ｂ两地相距２５ｋｍ．甲８：００由Ａ地出发骑自行车去Ｂ地，速度为１０ｋｍ／ｈ；
乙９：３０由Ａ地出发乘汽车也去Ｂ地，速度为４０ｋｍ／ｈ．
（１）分别写出两个人的行程关于时刻的函数解析式；
（２）乙能否在途中超过甲？如果能超过，何时超过？
８８
!"#$%&’()*
１３．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始
y L
４ｍｉｎ内只进水不出水，在随后的８ｍｉｎ内既进水
又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容 30
器内的水量狔（单位：Ｌ）与时间狓（单位：
20
ｍｉｎ）之间的关系如图所示．
（１）当０≤狓≤４时，求狔关于狓的函数解析式．
10
（２）当４＜狓≤１２时，求狔关于狓的函数解析式．
（３）每分进水、出水各多少升？
O 4 8 12 x min
１４．一次越野赛跑中，当小明跑了１６００ｍ时，小刚
（第１３题）
跑了１４５０ｍ．此后两人分别以犪ｍ／ｓ和犫ｍ／ｓ
匀速跑．又过１００ｓ时小刚追上小明，２００ｓ时小刚到达终点，３００ｓ时小明到达
终点．这次越野赛跑的全程为多少米？
１５．Ａ城有肥料２００ｔ，Ｂ城有肥料３００ｔ．现要把这些肥料全部运往Ｃ，Ｄ两乡．从Ａ
城往Ｃ，Ｄ两乡运肥料的费用分别为２０元／ｔ和２５元／ｔ；从Ｂ城往Ｃ，Ｄ两乡运
肥料的费用分别为１５元／ｔ和２４元／ｔ．现Ｃ乡需要肥料２４０ｔ，Ｄ乡需要肥料
２６０ｔ，怎样调运可使总运费最少？
C W A W
D W B W
（第１５题）
８９
!"#,%&-./0第二十七章 一元二次方程
在设计人体雕像时，使雕像的上部 （腰以上）
与下部 （腰以下）的高度比，等于下部与全部
（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，
如果雕像的高为２ｍ，那么它的下部应设计为
多高？
如图，雕像的上部高度犃犆与下部高度犅犆应
有如下关系：
犃犆∶犅犆＝犅犆∶２，即犅犆＝２犃犆．
２
设雕像下部高狓ｍ，可得方程狓＝２（２－狓），
２
整理得
狓＋２狓－４＝０．
２
这个方程与我们学过的一元一次方程不同，
其中未知数狓的最高次数是２．如何解这类方程？
如何用这类方程解决一些实际问题？这就是本章
要学习的主要内容．
A
2–x
C
x2+2x–4=0
x
B２７．１ 一元二次方程
方程
狓２＋２狓－４＝０ ①
中有一个未知数狓，狓的最高次数是２．像这样的方程有广泛的应用，请看下
面的问题．
问题１ 如图２７．１１，有一块矩形铁皮，长
x
１００ｃｍ，宽５０ｃｍ，在它的四角各切去一个同样的
正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一
个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为
图２７．１１
３６００ｃｍ２ ，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
设切去的正方形的边长为狓ｃｍ，则盒底的长为（１００－２狓）ｃｍ，宽为
（５０－２狓）ｃｍ．根据方盒的底面积为３６００ｃｍ２ ，得
（１００－２狓）（５０－２狓）＝３６００．
整理，得
方程②中未知
数的个数和最高次
４狓２－３００狓＋１４００＝０．
数各是多少？
化简，得
狓２－７５狓＋３５０＝０． ②
由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸．
问题２ 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根
据场地和时间等条件，赛程计划安排７天，每天安排４场比赛，比赛组织者应
邀请多少个队参赛？
全部比赛的场数为４×７＝２８．
设应邀请狓个队参赛，每个队要与其他（狓－１）个队各赛一场，因为甲队对
１
乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 狓（狓－１）场．
２
列方程
１
狓（狓－１）＝２８．
２
９１
!"#1%&-2".34整理，得
方程③中未知
１ １
狓２－ 狓＝２８． 数的个数和最高次
２ ２
数各是多少？
化简，得
狓２－狓＝５６． ③
由方程③可以得出参赛队数．
方程①②③有什么共同点？
可以发现，这些方程的两边都是整式，方程中只含有一个未知数，未知数
的最高次数是２．同样地，方程４狓２＝９，狓２＋３狓＝０，３狔２－５狔＝７－狔等也是
这样的方程．像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且
未知数的最高次数是２ （二次）的方程，叫做一元二次方程 （ｑｕａｄｒａｔｉｃ
ｅｑｕａｔｉｏｎｉｎｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ）．
一元二次方程的一般形式是
为什么规定
犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）．
犪≠０？
其中犪狓２ 是二次项，犪是二次项系数；犫狓是一次
项，犫是一次项系数；犮是常数项．
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个
一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一
元二次方程的根 （ｒｏｏｔ）．
例 将方程３狓（狓－１）＝５（狓＋２）化成一元二次方程的一般形式，并写出
其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
解：去括号，得
３狓２－３狓＝５狓＋１０．
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
３狓２－８狓－１０＝０．
其中二次项系数为３，一次项系数为－８，常数项为－１０．
９２
!"#1%&-2".34１．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项
系数和常数项：
（１）５狓２－１＝４狓； （２）４狓２＝８１；
（３）４狓（狓＋２）＝２５； （４）（３狓－２）（狓＋１）＝８狓－３．
２．根据下列问题，列出关于狓的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
（１）４个完全相同的正方形的面积之和是２５．求正方形的边长狓．
（２）一个矩形的长比宽多２，面积是１００．求矩形的长狓．
（３）把长为１的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的
长的平方．求较短一段的长狓．
习题２７．１
１．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系
数和常数项：
（１）３狓２＋１＝６狓； （２）４狓２＋５狓＝８１；
（３）狓（狓＋５）＝０； （４）（２狓－２）（狓－１）＝０；
（５）狓（狓＋５）＝５狓－１０； （６）（３狓－２）（狓＋１）＝狓（２狓－１）．
２．根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
（１）一个圆的面积是２πｍ２．求半径．
（２）一个直角三角形的两条直角边相差３ｃｍ，面积是９ｃｍ２．求较长的直角边的长．
３．下列哪些数是方程狓２＋狓－１２＝０的根？
－４，－３，－２，－１，０，１，２，３，４．
根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式 （第４～６题）：
４．一个矩形的长比宽多１ｃｍ，面积是１３２ｃｍ２．矩形的长和宽各是多少？
５．有一根１ｍ长的铁丝，怎样用它围成一个面积为０．０６ｍ２ 的矩形？
６．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手１０次．有多少人参加聚会？
７．如果２是方程狓２－犮＝０的一个根，那么常数犮是多少？求出这个方程的其他根．
９３
!"#1%&-2".34２７．２ 解一元二次方程
２７．２．１ 配方法
问题１ 一桶油漆可刷的面积为１５００ｄｍ２ ，
李林用这桶油漆恰好刷完１０个同样的正方体形状
的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设其中一个盒子的棱长为狓ｄｍ，则这个盒子
的表面积为６狓２ｄｍ２．根据一桶油漆可刷的面积，
列出方程
１０×６狓２＝１５００． ①
整理，得
狓２＝２５．
根据平方根的意义，得
狓＝±５，
即
用方程解决实际问
狓＝５，狓＝－５．
１ ２ 题时，要考虑所得结果
可以验证，５和－５是方程①的两个根，因为 是否符合实际意义．
棱长不能是负值，所以盒子的棱长为５ｄｍ．
一般地，对于方程
狓２＝狆， （Ⅰ）
（１）当狆＞０时，根据平方根的意义，方程 （Ⅰ）有两个不等的实数根
狓＝－槡狆，狓＝槡狆；
１ ２
（２）当狆＝０时，方程 （Ⅰ）有两个相等的实数根狓＝狓＝０；
１ ２
（３）当狆＜０时，因为对任意实数狓，都有狓２≥０，所以方程 （Ⅰ）无实
数根．
９４
!"#1%&-2".34
对照上面解方程 （Ⅰ）的过程，你认为应怎样解方程 （狓＋３） ２＝５？
在解方程 （Ⅰ）时，由方程狓２＝２５得狓＝±５．由此想到：由方程
（狓＋３） ２＝５， ②
得
狓＋３＝±槡５，
即
狓＋３＝槡５，或狓＋３＝－槡５． ③
于是，方程 （狓＋３） ２＝５的两个根为
狓＝－３＋槡５，狓＝－３－槡５．
１ ２
上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程 “降次”，
转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了．
解下列方程：
（１）２狓２－８＝０； （２）９狓２－５＝３； （３）（狓＋６）２－９＝０；
（４）３（狓－１）２－６＝０； （５）狓２－４狓＋４＝５； （６）９狓２＋５＝１．
怎样解方程狓２＋６狓＋４＝０？
我们已经会解方程 （狓＋３） ２＝５．因为它的左边是含有狓的完全平方式，右
边是非负数，所以可以直接降次解方程．那么，能否将方程狓２＋６狓＋４＝０转化
为可以直接降次的形式再求解呢？
解方程狓２＋６狓＋４＝０的过程可以用下面的框图表示：
９５
!"#1%&-2".34狓２＋６狓＋４＝０
为什么在方程
移项 狓２＋６狓＝－４的两
↓ 边加９？加其他数
狓２＋６狓＝－４ 行吗？
（ （ ））
｜ ６
两边加９ 即 ２
２
↓
使左边配成狓２＋２犫狓＋犫２ 的形式
狓２＋６狓＋９＝－４＋９
左边写成完全平方形式
↓
（狓＋３）２＝５
降次
↓
狓＋３＝±槡５
↓
狓＋３＝槡５，或狓＋３＝－槡５
解一次方程
↓
狓＝－３＋槡５，狓＝－３－槡５
１ ２
可以验证，－３±槡５是方程狓２＋６狓＋４＝０的两个根．
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方
法．可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方
程来解．
例１ 解下列方程：
（１）狓２－８狓＋１＝０； （２）２狓２＋１＝３狓； （３）３狓２－６狓＋４＝０．
分析：（１）方程的二次项系数为１，直接运用配方法．
（２）先把方程化成２狓２－３狓＋１＝０．它的二次项系数为２，为了便于配方，
需将二次项系数化为１，为此方程的两边都除以２．
（３）与（２）类似，方程的两边都除以３后再配方．
解：（１）移项，得
狓２－８狓＝－１．
９６
!"#1%&-2".34配方，得
狓２－８狓＋４２＝－１＋４２ ，
（狓－４） ２＝１５．
由此可得
狓－４＝±槡１５，
狓＝４＋槡１５，狓＝４－槡１５．
１ ２
（２）移项，得
２狓２－３狓＝－１．
二次项系数化为１，得
３ １
狓２－ 狓＝－ ．
２ ２
配方，得
３ （３） １ （３）
狓２－ 狓＋ ２＝－ ＋ ２，
２ ４ ２ ４
（ ３） １
狓－ ２＝ ．
４ １６
由此可得
３ １
狓－ ＝± ，
４ ４
１
狓＝１，狓＝ ．
１ ２ ２
（３）移项，得
３狓２－６狓＝－４．
二次项系数化为１，得
４
狓２－２狓＝－ ．
３
配方，得
４
狓２－２狓＋１２＝－ ＋１２ ，
３
１
（狓－１） ２＝－ ．
３
因为实数的平方不会是负数，所以狓取任何实数时，（狓－１）
２
都是非负
数，上式都不成立，即原方程无实数根．
９７
!"#1%&-2".34一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
（狓＋狀） ２＝狆 （Ⅱ）
的形式，那么就有：
（１）当狆＞０时，方程 （Ⅱ）有两个不等的实数根
狓＝－狀－槡狆，狓＝－狀＋槡狆；
１ ２
（２）当狆＝０时，方程 （Ⅱ）有两个相等的实数根
狓＝狓＝－狀；
１ ２
（３）当狆＜０时，因为对任意实数狓，都有 （狓＋狀） ２≥０，所以方程 （Ⅱ）
无实数根．
１．填空：
（１）狓２＋１０狓＋ ＝（狓＋ ）２； （２）狓２－１２狓＋ ＝（狓－ ）２；
２
（３）狓２＋５狓＋ ＝（狓＋ ）２； （４）狓２－ 狓＋ ＝（狓－ ）２．
３
２．解下列方程：
７
（１）狓２＋１０狓＋９＝０； （２）狓２－狓－ ＝０；
４
（３）３狓２＋６狓－４＝０； （４）４狓２－６狓－３＝０；
（５）狓２＋４狓－９＝２狓－１１； （６）狓（狓＋４）＝８狓＋１２．
２７．２．２ 公式法
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）． （Ⅲ）
能否也用配方法得出 （Ⅲ）的解呢？
我们可以根据用配方法解一元二次方程的经验来解决这个问题．
移项，得
犪狓２＋犫狓＝－犮．
二次项系数化为１，得
９８
!"#1%&-2".34犫 犮
狓２＋ 狓＝－ ．
犪 犪
配方，得
犫 （犫） 犮 （犫）
狓２＋ 狓＋ ２＝－ ＋ ２，
犪 ２犪 犪 ２犪
即
（ 犫） 犫２－４犪犮
狓＋ ２＝ ． ①
２犪 ４犪２
因为犪≠０，所以４犪２＞０．式子犫２－４犪犮的值有以下三种情况：
（１）犫２－４犪犮＞０
犫２－４犪犮
这时 ＞０，由①得
４犪２
犫 槡犫２－４犪犮
狓＋ ＝± ．
２犪 ２犪
方程有两个不等的实数根
－犫＋槡犫２－４犪犮 －犫－槡犫２－４犪犮
狓＝ ，狓＝ ．
１ ２犪 ２ ２犪
（２）犫２－４犪犮＝０
犫２－４犪犮
这时 ＝０，由①可知，方程有两个相等的实数根
４犪２
犫
狓＝狓＝－ ．
１ ２ ２犪
（３）犫２－４犪犮＜０
犫２－４犪犮 （ 犫） （
这时 ＜０，由①可知 狓＋ ２＜０，而狓取任何实数都不能使狓
４犪２ ２犪
犫）
＋ ２＜０，因此方程无实数根．
２犪
一般地，式子犫２－４犪犮叫做一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０根的判别式，通
常用希腊字母 “Δ”表示它，即Δ＝犫２－４犪犮．
由上可知，当Δ＞０时，方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）有两个不等的实
数根；当Δ＝０时，方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）有两个相等的实数根；当
Δ＜０时，方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）无实数根．
９９
!"#1%&-2".34当Δ≥０时，方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）的实数根可写为
－犫±槡犫２－４犪犮
狓＝
２犪
的形式，这个式子叫做一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的求根公式．求根公式表
达了用配方法解一般的一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的结果．解一个具体的一
元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出
根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．
例２ 用公式法解下列方程：
（１）狓２－４狓－７＝０； （２）２狓２－２槡２狓＋１＝０；
（３）５狓２－３狓＝狓＋１； （４）狓２＋１７＝８狓．
解：（１）犪＝１，犫＝－４，犮＝－７．
Δ＝犫２－４犪犮＝（－４） ２－４×１×（－７）＝４４＞０．
方程有两个不等的实数根
确定犪，犫，犮的值
时，要注意它们的符号．
－犫±槡犫２－４犪犮
狓＝
２犪
－（－４）±槡４４
＝ ＝２±槡１１，
２×１
即
狓＝２＋槡１１，狓＝２－槡１１．
１ ２
（２）犪＝２，犫＝－２槡２，犮＝１．
Δ＝犫２－４犪犮＝（－２槡２） ２－４×２×１＝０．
方程有两个相等的实数根
犫 －２槡２ 槡２
狓＝狓＝－ ＝－ ＝ ．
１ ２ ２犪 ２×２ ２
（３）方程化为５狓２－４狓－１＝０．
犪＝５，犫＝－４，犮＝－１．
Δ＝犫２－４犪犮＝（－４） ２－４×５×（－１）＝３６＞０．
方程有两个不等的实数根
－犫±槡犫２－４犪犮 －（－４）±槡３６ ４±６
狓＝ ＝ ＝ ，
２犪 ２×５ １０
即
１００
!"#1%&-2".34１
狓＝１，狓＝－ ．
１ ２ ５
（４）方程化为狓２－８狓＋１７＝０．
犪＝１，犫＝－８，犮＝１７．
Δ＝犫２－４犪犮＝（－８） ２－４×１×１７＝－４＜０．
方程无实数根．
回到本章引言中的问题，雕像下部高度狓（单位：ｍ）满足方程
狓２＋２狓－４＝０．
用公式法解这个方程，得
－２±槡２２－４×１×（－４） －２±槡２０
狓＝ ＝ ＝－１±槡５，
２×１ ２
即
狓＝－１＋槡５，狓＝－１－槡５．
１ ２
如果结果保留小数点后两位，那么，狓≈１．２４，狓≈－３．２４．
１ ２
这个方程的两个根中，只有狓≈１．２４符合问题的实际意义，因此雕像下
１
部高度应设计为约１．２４ｍ．
１．解下列方程：
１
（１）狓２＋狓－６＝０； （２）狓２－槡３狓－ ＝０；
４
（３）３狓２－６狓－２＝０； （４）４狓２－６狓＝０；
（５）狓２＋４狓＋８＝４狓＋１１； （６）狓（２狓－４）＝５－８狓．
２．求第２７．１节中问题１的答案．
２７．２．３ 因式分解法
问题２ 根据物理学规律，如果把一个物体
从地面以１０ｍ／ｓ的速度竖直上抛，那么物体经
过狓ｓ离地面的高度（单位：ｍ）为
１０狓－４．９狓２．
１０１
!"#1%&-2".34根据上述规律，求出物体落回地面所需经过的时间 （结果保留小数点后两
位）．
设物体经过狓ｓ落回地面，这时它离地面的高度为０ｍ，即
１０狓－４．９狓２＝０． ①
除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？
方程①的右边为０，左边可以因式分解，得
狓（１０－４．９狓）＝０．
这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右
边是０．我们知道，如果两个因式的积为０，那么
这两个因式中至少有一个等于０；反之，如果两个
如果犪·犫＝０，那
么犪＝０，或犫＝０．
因式中任何一个为０，那么它们的积也等于０．
所以
狓＝０，或１０－４．９狓＝０． ②
所以，方程①的两个根是
１００
狓＝０，狓＝ ≈２．０４．
１ ２ ４９
这两个根中，狓≈２．０４表示物体约在２．０４ｓ
２
时落回地面，而狓＝０表示物体被上抛离开地面
１
的时刻，即在０ｓ时物体被抛出，此刻物体的高度
是０ｍ．
解方程①时，二次方程是如何降为一次的？
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因
式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于０的形式，再使这两个一次式分别
等于０，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
１０２
!"#1%&-2".34例３ 解下列方程：
１ ３
（１）狓（狓－２）＋狓－２＝０； （２）５狓２－２狓－ ＝狓２－２狓＋ ．
４ ４
解：（１）因式分解，得
（狓－２）（狓＋１）＝０．
于是得
狓－２＝０，或狓＋１＝０，
狓＝２，狓＝－１．
１ ２
（２）移项、合并同类项，得
４狓２－１＝０．
因式分解，得
（２狓＋１）（２狓－１）＝０．
可以试用多种方
于是得
法解 本 例 中 的 两 个
２狓＋１＝０，或２狓－１＝０， 方程．
１ １
狓＝－ ，狓＝ ．
１ ２ ２ ２
配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直
接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相
乘，另一边为０，再分别使各一次因式等于０．配方法、公式法适用于所
有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便．总之，
解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．
１．解下列方程：
（１）狓２＋狓＝０； （２）狓２－２槡３狓＝０；
（３）３狓２－６狓＝－３； （４）４狓２－１２１＝０；
（５）３狓（２狓＋１）＝４狓＋２； （６）（狓－４）２＝（５－２狓）２．
２．如图，把小圆形场地的半径增加５ｍ得到大圆形场地，
场地面积扩大了一倍．求小圆形场地的半径．
（第２题）
１０３
!"#1%&-2".34２７．２．４ 一元二次方程的根与系数的关系
－犫±槡犫２－４犪犮
方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）的求根公式狓＝ ，不仅表示
２犪
可以由方程的系数犪，犫，犮决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系．一
元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？
从因式分解法可知，方程（狓－狓）（狓－狓）＝０ （狓，狓 为已知数）
１ ２ １ ２
的两根为狓 和狓，将方程化为狓２＋狆狓＋狇＝０的形式，你能看出狓，
１ ２ １
狓 与狆，狇之间的关系吗？
２
把方程（狓－狓）（狓－狓）＝０的左边展开，化成一般形式，得方程
１ ２
狓２－（狓＋狓）狓＋狓狓＝０．
１ ２ １ ２
这个方程的二次项系数为１，一次项系数狆＝－（狓＋狓），常数项狇＝狓狓．
１ ２ １ ２
于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：
狓＋狓＝－狆，狓狓＝狇．
１ ２ １ ２
一般的一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０中，二次项系数犪未必是１，它
的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
根据求根公式可知，
－犫＋槡犫２－４犪犮 －犫－槡犫２－４犪犮
狓＝ ，狓＝ ．
１ ２犪 ２ ２犪
由此可得
－犫＋槡犫２－４犪犮 －犫－槡犫２－４犪犮
狓＋狓＝ ＋
１ ２ ２犪 ２犪
－２犫 犫
＝ ＝－ ，
２犪 犪
－犫＋槡犫２－４犪犮 －犫－槡犫２－４犪犮
狓狓＝ ·
１ ２ ２犪 ２犪
本小节内容为选学内容．
１０４
!"#1%&-2".34（－犫） ２－（犫２－４犪犮） 犮
＝ ＝ ．
４犪２ 犪
因此，方程的两个根狓，狓 和系数犪，犫，犮
１ ２ 把方程犪狓２＋
有如下关系：
犫狓＋犮＝０ （犪≠０）
犫 犮 的两边同除以犪，
狓＋狓＝－ ，狓狓＝ ．
１ ２ 犪 １ ２ 犪 能否得出该结论？
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的
关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系
数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次
项系数的比．
例４ 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根狓，狓
１ ２
的和与积：
（１）狓２－６狓－１５＝０； （２）３狓２＋７狓－９＝０；
（３）５狓－１＝４狓２．
解：（１）狓＋狓＝－（－６）＝６，狓狓＝－１５．
１ ２ １ ２
７ －９
（２）狓＋狓＝－ ，狓狓＝ ＝－３．
１ ２ ３ １ ２ ３
－５ ５ １
（３）方程化为４狓２－５狓＋１＝０．狓＋狓＝－ ＝ ，狓狓＝ ．
１ ２ ４ ４ １ ２ ４
不解方程，求下列方程两个根的和与积：
（１）狓２－３狓＝１５； （２）３狓２＋２＝１－４狓；
（３）５狓２－１＝４狓２＋狓； （４）２狓２－狓＋２＝３狓＋１．
习题２７．２
１．解下列方程：
（１）３６狓２－１＝０； （２）４狓２＝８１；
（３）（狓＋５）２＝２５； （４）狓２＋２狓＋１＝４．
１０５
!"#1%&-2".34２．填空：
（１）狓２＋６狓＋ ＝（狓＋ ）２； （２）狓２－狓＋ ＝（狓－ ）２；
２
（３）４狓２＋４狓＋ ＝（２狓＋ ）２； （４）狓２－ 狓＋ ＝（狓－ ）２．
５
３．用配方法解下列方程：
３
（１）狓２＋１０狓＋１６＝０； （２）狓２－狓－ ＝０；
４
（３）３狓２＋６狓－５＝０； （４）４狓２－狓－９＝０．
４．利用判别式判断下列方程的根的情况：
３
（１）２狓２－３狓－ ＝０； （２）１６狓２－２４狓＋９＝０；
２
（３）狓２－４槡２狓＋９＝０； （４）３狓２＋１０＝２狓２＋８狓．
５．用公式法解下列方程：
１
（１）狓２＋狓－１２＝０； （２）狓２－槡２狓－ ＝０；
４
（３）狓２＋４狓＋８＝２狓＋１１； （４）狓（狓－４）＝２－８狓；
（５）狓２＋２狓＝０； （６）狓２＋２槡５狓＋１０＝０．
６．用因式分解法解下列方程：
（１）３狓２－１２狓＝－１２； （２）４狓２－１４４＝０；
（３）３狓（狓－１）＝２（狓－１）； （４）（２狓－１）２＝（３－狓）２．
７．求下列方程两个根的和与积：
（１）狓２－３狓＋２＝１０； （２）５狓２＋狓－５＝０；
（３）狓２＋狓＝５狓＋６； （４）７狓２－５＝狓＋８．
８．一个直角三角形的两条直角边相差５ｃｍ，面积是７ｃｍ２．求斜边的长．
９．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了４５
份合同．共有多少家公司参加商品交易会？
１０．分别用公式法和因式分解法解方程狓２－６狓＋９＝（５－２狓）２．
１１．有一根２０ｍ长的绳，怎样用它围成一个面积为２４ｍ２ 的矩形？
１２．一个凸多边形共有２０条对角线，它是几边形？是否存在有１８条对角线的多边
形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理．
１３．无论狆取何值，方程 （狓－３）（狓－２）－狆２＝０总有两个不等的实数根吗？给出答
案并说明理由．
１０６
!"#1%&-2".34
黄金分割数
本章引言中有一个关于人体雕塑的问题．要使雕像的上部 （腰以上）与下部 （腰以
下）的高度比，等于下部与全部 （全身）的高度比，这个高度比应是多少？
把上面的问题一般化，如图１，在线段犃犅上找一个点犆，犆把犃犅分为犃犆和犆犅两
段，其中犃犆是较小的一段，现要使犃犆∶犆犅＝犆犅∶犃犅．为简单起见，设犃犅＝１，犆犅＝狓，
则犃犆＝１－狓．代入犃犆∶犆犅＝犆犅∶犃犅，即 （１－狓）∶狓＝狓∶１，也即狓２＋狓－１＝０．解方程，
－１±槡５
得狓＝ ．
２
槡５－１
根据问题的实际意义，取狓＝ ≈０．６１８，这个值就是上面问题中所求的高度比．
２
槡５－１
人们把 这个数叫做黄金分割数．如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段
２
与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数．
A
B N M E
1 x x
A C B
图１ C 图２ D
五角星是常见的图案．如图２，在正五角星中存在黄金
犕犖 犅犖 犅犕 槡５－１
分割数，可以证明其中 ＝ ＝ ＝ ．
犖犅 犅犕 犅犈 ２
长期以来，很多人认为黄金分割数是一个很特别的数．
一些美术家认为：如果人的上、下身长之比接近黄金分割
数，那么可以增加美感．据说，一些名画和雕塑中的人体大
都符合这个比．一位科学家曾提出：在一棵树的生长过程中，
狀年后的树枝数目
约是黄金分割数．
狀＋１年后的树枝数目 这是著名数学家华罗庚在日本
优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家 去世前几小时做学术报告，讲
华罗庚曾为普及它作出重要贡献．优选法中有一种０．６１８法应
解优选法的照片．华先生说过，
他要工作到人生的最后一刻．
用了黄金分割数．同学们可以查阅资料，了解０．６１８法的应用．
他实践了自己的诺言．
１０７
!"#1%&-2".34２７．３ 一元二次方程与实际问题
同一元一次方程、二元一次方程 （组）等一样，一元二次方程也可以作为
反映某些实际问题中数量关系的数学模型．本节继续讨论如何利用一元二次方
程解决实际问题．
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有１２１个人患了流感，每轮传
染中平均一个人传染了几个人？
分析：设每轮传染中平均一个人传染了狓个人．
开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了狓个人，
用代数式表示，第一轮后共有 个人患了流感；第二轮传染中，这些人中
的每个人又传染了狓个人，用代数式表示，第二轮后共有 个人患了流感．
列方程
通过对这个问
１＋狓＋狓（１＋狓）＝１２１．
题的探究，你对类
解方程，得
似的传播问题中的
狓＝１０，狓＝－１２（不合题意，舍去）． 数量关系有新的认
１ ２
识吗？
平均一个人传染了１０个人．
如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？
两年前生产１ｔ甲种药品的成本是５０００元，生产１ｔ乙种药品的成本
是６０００元．随着生产技术的进步，现在生产１ｔ甲种药品的成本是３０００元，
生产１ｔ乙种药品的成本是３６００元．哪种药品成本的年平均下降率较大？
１０８
!"#1%&-2".34分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为 （５０００－３０００）÷２＝
１０００（元），乙种药品成本的年平均下降额为 （６０００－３６００）÷２＝１２００（元）．
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是，年平均下降额 （元）不等同于
年平均下降率 （百分数）．
设甲种药品成本的年平均下降率为狓，则一年后甲种药品成本为５０００（１－狓）
元，两年后甲种药品成本为５０００（１－狓）
２
元，于
是有
５０００（１－狓） ２＝３０００．
解方程，得
狓≈０．２２５，狓≈１．７７５． 为什么选择
１ ２
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平 ２２．５％作为答案？
均下降率约为２２．５％．
乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比
较两种药品成本的年平均下降率．
经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降
率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
如图２７．３１，要设计一本书的封面，封面长２７ｃｍ，
宽２１ｃｍ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩
形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四
分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设
计四周边衬的宽度 （结果保留小数点后一位）？
图２７．３１
分析：封面的长宽之比是２７∶２１＝９∶７，中央的矩形的长宽之比也应是
９∶７．设中央的矩形的长和宽分别是９犪ｃｍ和７犪ｃｍ，由此得上、下边衬与
左、右边衬的宽度之比是
１０９
!"#1%&-2".34１ １
（２７－９犪）∶ （２１－７犪）
２ ２
＝９（３－犪）∶７（３－犪）
＝９∶７．
设上、下边衬的宽均为９狓ｃｍ，左、右边衬的宽均为７狓ｃｍ，则中央的矩
形的长为 （２７－１８狓）ｃｍ，宽为 （２１－１４狓）ｃｍ．
要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的矩形的面
积是封面面积的四分之三．于是可列出方程
３
（２７－１８狓）（２１－１４狓）＝ ×２７×２１．
４
整理，得 方程的哪个根
符合实际意义？为
１６狓２－４８狓＋９＝０．
什么？
解方程，得
６±３槡３
狓＝ ．
４
上、下边衬的宽均为 ｃｍ，左、右边衬的宽均为 ｃｍ．
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请
你试一试．
习题２７．３
１．解下列方程：
（１）狓２＋１０狓＋２１＝０； （２）狓２－狓－１＝０；
（３）３狓２＋６狓－４＝０； （４）３狓（狓＋１）＝３狓＋３；
（５）４狓２－４狓＋１＝狓２＋６狓＋９； （６）７狓２－槡６狓－５＝０．
２．两个相邻偶数的积是１６８．求这两个偶数．
３．一个直角三角形的两条直角边的和是１４ｃｍ，面积是２４ｃｍ２．求两条直角边的长．
１１０
!"#1%&-2".34
４．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主
干、支干和小分支的总数是９１．每个支干长出多少小分支？
５．一个菱形两条对角线长的和是１０ｃｍ，面积是１２ｃｍ２．求菱形的周长．
６．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛９０场．共有多少个队参加
比赛？
７．青山村种的水稻２０１０年平均每公顷产７２００ｋｇ，２０１２年平均每公顷产８４５０ｋｇ．
求水稻每公顷产量的年平均增长率．
８．要为一幅长２９ｃｍ，宽２２ｃｍ的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，
且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米 （结果保留
小数点后一位）？
９．如图，要设计一幅宽２０ｃｍ，长３０ｃｍ的图案，其中有
两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为３∶２．如果要
使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩
条的宽度 （结果保留小数点后一位）？
（第９题）
１０．如图，线段犃犅的长为１．
A E D C B
（第１０题）
（１）线段犃犅上的点犆满足关系式犃犆２＝犅犆·犃犅，求线段犃犆的长度；
（２）线段犃犆上的点犇满足关系式犃犇２＝犆犇·犃犆，求线段犃犇的长度；
（３）线段犃犇上的点犈满足关系式犃犈２＝犇犈·犃犇，求线段犃犈的长度．
上面各小题的结果反映了什么规律？
１１１
!"#1%&-2".34
n
图１是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有１个
点，第二行有２个点……第狀行有狀个点……
……
图１
容易发现，１０是三角点阵中前４行的点数和．你能发现３００是前多少行
的点数的和吗？
用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，可以得到答案．但是这
样寻找答案需要花费较多时间．你能用一元二次方程解决这个问题吗？
１
（提示：１＋２＋３＋…＋（狀－２）＋（狀－１）＋狀＝ 狀（狀＋１）．）
２
三角点阵中前狀行的点数和能是６００吗？如果能，求出狀；如果不
能，试用一元二次方程说明道理．
如果把图１的三角点阵中各行的点数依次换为２，４，６，…，２狀，…，
你能探究出前狀行的点数和满足什么规律吗？这个三角点阵中前狀行的点
数和能是６００吗？如果能，求出狀；如果不能，试用一元二次方程说明
道理．
１１２
!"#1%&-2".34小 结
一、本章知识结构图
犪狓２＋犫狓＋犮＝０
犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）
－犫±槡犫２－４犪犮
狓＝
２犪
二、回顾与思考
本章主要内容是一元二次方程的解法及其应用．一元二次方程是含有一个
未知数的整式方程，未知数的最高次数是２．
解一元二次方程的基本思想是 “降次”，即通过配方、因式分解等，把一个
一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．具体地，根据平方根的意义，可得
出方程狓２＝狆和 （狓＋狀） ２＝狆的解；通过配方，可将一元二次方程转化为 （狓＋
狀） ２＝狆的形式再解；一元二次方程的求根公式，就是对方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０
（犪≠０）配方后得出的．若能将犪狓２＋犫狓＋犮分解为两个一次因式的乘积，则可
令每个因式为０来解．
本章学习了一元二次方程的三种解法———配方法、公式法和因式分解法．
一般地，配方法是推导一元二次方程求根公式的工具．掌握了公式法，就可以
直接用公式求一元二次方程的根．当然，也要根据方程的具体特点选择适当的
解法．配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法，如后面研究二次函数时也
要用到它．
一元二次方程是刻画现实世界中某些数量关系的有效数学模型．在运用一
元二次方程分析、表达和解决实际问题的过程中，要注意体会建立数学模型解
决实际问题的思想和方法．
１１３
!"#1%&-2".34请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．比较你所学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数与次数．你能
写出这些方程的一般形式吗？
２．一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下比较适用？你能说说
“降次”在解一元二次方程中的作用吗？
３．求根公式与配方法有什么关系？如何判别一元二次方程根的情况？
４．方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）的两个根狓，狓 与系数犪，犫，犮有什么关
１ ２
系？我们是如何得到这种关系的？
５．你能举例说明用一元二次方程解决实际问题的过程吗？
复习题２７
１．解下列方程：
（１）１９６狓２－１＝０； （２）４狓２＋１２狓＋９＝８１；
（３）狓２－７狓－１＝０； （４）２狓２＋３狓＝３；
（５）狓２－２狓＋１＝２５； （６）狓（２狓－５）＝４狓－１０；
（７）狓２＋５狓＋７＝３狓＋１１； （８）１－８狓＋１６狓２＝２－８狓．
２．两个数的和为８，积为９．７５．求这两个数．
３．一个矩形的长和宽相差３ｃｍ，面积是４ｃｍ２．求这个矩形的长和宽．
４．求下列方程两个根的和与积：
（１）狓２－５狓－１０＝０； （２）２狓２＋７狓＋１＝０；
（３）３狓２－１＝２狓＋５； （４）狓（狓－１）＝３狓＋７．
５．一个直角梯形的下底比上底长２ｃｍ，高比上底短１ｃｍ，面积是８ｃｍ２．画出这个
梯形．
６．一个长方体的长与宽的比为５∶２，高为５ｃｍ，表面积为４０ｃｍ２．画出这个长方体
的展开图．
７．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式 （每两队之间都赛一场），计划安排１５
场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
８．如下页图，利用一面墙 （墙的长度不限），用２０ｍ长的篱笆，怎样围成一个面积
为５０ｍ２ 的矩形场地？
１１４
!"#1%&-2".34（第８题）
９．某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由２．２５％降至１．９８％．平均
每次降息的百分率是多少 （结果写成犪％的形式，其中犪保留小数点后两位）？
１０．向阳村２０１０年的人均收入为１２０００元，２０１２年的人均收入为１４５２０元．求人均
收入的年平均增长率．
１１．用一条长４０ｃｍ的绳子怎样围成一个面积为７５ｃｍ２ 的矩形？能围成一个面积为
１０１ｃｍ２ 的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．
１２．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长
１００ｍ，下底长１８０ｍ，上下底相距８０ｍ．在两腰
中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵
向甬道，各甬道的宽度相等．甬道的面积是梯形面
积的六分之一．甬道的宽应是多少米 （结果保留小 （第１２题）
数点后两位）？
１３．一个小球以５ｍ／ｓ的速度开始向前滚动，并且均匀减速，４ｓ后小球停止滚动．
（１）小球的滚动速度平均每秒减少多少？
（２）小球滚动５ｍ约用了多少秒 （结果保留小数点后一位）？
（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度狏－ （初速度与末速度的算术
平均数）与路程狊，时间狋的关系为狊＝狏－狋．）
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!"#1%&-2".34部分中英文词汇索引
中文 英文 页码
勾股定理 Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓｔｈｅｏｒｅｍ ４
平行四边形 ｐａｒａｌｌｅｌｏｇｒａｍ ２１
矩形 ｒｅｃｔａｎｇｌｅ ３２
菱形 ｒｈｏｍｂｕｓ ３５
正方形 ｓｑｕａｒｅ ３８
变量 ｖａｒｉａｂｌｅ ５１
常量 ｃｏｎｓｔａｎｔ ５１
自变量 ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｖａｒｉａｂｌｅ ５３
函数 ｆｕｎｃｔｉｏｎ ５３
解析式 ａｎａｌｙｔｉｃｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ５４
图象 ｇｒａｐｈ ５６
正比例函数 ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌｆｕｎｃｔｉｏｎ ６７
一次函数 ｌｉｎｅａｒｆｕｎｃｔｉｏｎ ７０
一元二次方程 ｑｕａｄｒａｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｉｎｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ ９２
根 ｒｏｏｔ ９２
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56789:;<=后 记
本册教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发
中心依据教育部《义务教育数学课程标准（2011年版）》编写的，经国家基础
教育课程教材专家工作委员会2013年审查通过。
本册教科书集中反映了基础教育教科书研究与实验的成果，凝聚了参与课
改实验的教育专家、学科专家、教研人员以及一线教师的集体智慧。我们感谢
所有对教科书的编写、出版提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友，感谢整
体设计艺术指导吕敬人等。
本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、
画作）的作者进行了联系，得到了他们的大力支持。对此，我们表示衷心的感
谢！但仍有部分作者未能取得联系，恳请入选作品的作者与我们联系，以便支
付稿酬。
我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝
贵意见，并将这些意见和建议及时反馈给我们。让我们携起手来，共同完成义
务教育教材建设工作！
联系方式
电 话：010-58758316
电子邮箱：jcfk@pep.com.cn
人民教育出版社 课程教材研究所
中学数学课程教材研究开发中心
2013年5月® YIWU JIAOYU JIAOKESHU
义
SHUXUE 务
教
3
育
八年级
教
科
义务教育教科书
书
（ （五·四学制）
五
·
四
下册
学
制
）
数学 八年级 下册
数
数学
学
八
年
级
下
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