文档内容
2017年湖南省常德市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列各数中无理数为（ ）
A． B．0 C． D．﹣1
2．（3分）若一个角为75°，则它的余角的度数为（ ）
A．285° B．105° C．75° D．15°
3．（3分）一元二次方程3x2﹣4x+1＝0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．两个相等的实数根 D．两个不相等的实数根
4．（3分）如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中
位数和平均数分别是（ ）
A．30，28 B．26，26 C．31，30 D．26，22
5．（3分）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）＝am+an
B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
6．（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
第1页（共20页）A． B． C． D．
7．（3分）将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式
为（ ）
A．y＝2（x﹣3）2﹣5 B．y＝2（x+3）2+5
C．y＝2（x﹣3）2+5 D．y＝2（x+3）2﹣5
8．（3分）如表是一个4×4（4行4列共16个“数”组成）的奇妙方阵，从这个方阵中选四个
“数”，而且这四个“数”中的任何两个不在同一行，也不在同一列，有很多选法，把每
次选出的四个“数”相加，其和是定值，则方阵中第三行三列的“数”是（ ）
30 2 sin60° 22
﹣3 ﹣2 ﹣ sin45° 0
|﹣5| 6 23
4
（ ）﹣1 （ ）﹣1
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题（本小题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）计算：|﹣2|﹣ ＝ ．
10．（3分）分式方程 +1＝ 的解为 ．
11．（3分）据统计：我国微信用户数量已突破887000000人，将887000000用科学记数法表示
为 ．
12．（3分）命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为： ．
13．（3分）彭山的枇杷大又甜，在今年5月18日“彭山枇杷节”期间，从山上5棵枇杷树上
采摘到了200千克枇杷，请估计彭山近600棵枇杷树今年一共收获了枇杷 千克．
14．（3分）如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过
D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是 ．
第2页（共20页）15．（3分）如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形
EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为 ．
16．（3分）如图，有一条折线A B A B A B A B …，它是由过A（0，0），B（2，2），A（4，0）组
1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2
成的折线依次平移4，8，12，…个单位得到的，直线y＝kx+2与此折线恰有2n（n≥1，且为
整数）个交点，则k的值为 ．
三、解答题（本题共2小题，每小题5分，共10分．）
17．（5分）甲、乙、丙三个同学站成一排进行毕业合影留念，请用列表法或树状图列出所有可
能的情形，并求出甲、乙两人相邻的概率是多少？
18．（5分）求不等式组 的整数解．
四、解答题：本大题共2小题，每小题6分，共12分．
第3页（共20页）19．（6分）先化简，再求值：（ ﹣ ）（ ﹣ ），其中x＝4．
20．（6分）在“一带一路”倡议下，我国已成为设施联通，贸易畅通的促进者，同时也带动了
我国与沿线国家的货物交换的增速发展，如图是湘成物流园2016年通过“海、陆（汽车）
空、铁”四种模式运输货物的统计图．
请根据统计图解决下面的问题：
（1）该物流园2016年货运总量是多少万吨？
（2）该物流园2016年空运货物的总量是多少万吨？并补全条形统计图；
（3）求条形统计图中陆运货物量对应的扇形圆心角的度数．
五、解答题：本大题共2小题，每小题7分，共14分．
21．（7分）如图，已知反比例函数y＝ 的图象经过点A（4，m），AB⊥x轴，且△AOB的面积为
2．
（1）求k和m的值；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数y＝ 的图象上，当﹣3≤x≤﹣1时，求函数值y的取值
范围．
22．（7分）如图，已知AB是 O的直径，CD与 O相切于C，BE∥CO．
⊙ 第4页（共20页 ⊙ ）（1）求证：BC是∠ABE的平分线；
（2）若DC＝8， O的半径OA＝6，求CE的长．
⊙
六、解答题：本大题共2小题，每小题8分，共16分．
23．（8分）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，下面是甜甜和
她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．
请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？
（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？
24．（8分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC＝0.60米，底座BC
与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D的距离
FD＝1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离
（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732， ≈1.732，
≈1.414）
七、解答题：每小题10分，共20分。
第5页（共20页）25．（10分）如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点（2，2），（1， ）在抛物线上，点P是抛物
线上不与顶点N重合的一动点，过P作PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交抛物线于
E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点．
（1）求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（2）求证：四边形PMDA是平行四边形；
（3）求证：△DPE∽△PAM，并求出当它们的相似比为 时的点 P 的坐标．
26．（10分）如图，直角△ABC中，∠BAC＝90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD
于E，AC于F．
（1）如图1，若BD＝BA，求证：△ABE≌△DBE；
（2）如图2，若BD＝4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证： GM＝2MC；
AG2＝AF•AC． ①
②
第6页（共20页）2017年湖南省常德市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，
有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、 是无理数，选项正确；
B、0是整数是有理数，选项错误；
C、 是分数，是有理数，选项错误；
D、﹣1是整数，是有理数，选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ，2 等；开方
开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． π π
2．【分析】依据余角的定义列出算式进行计算即可．
【解答】解：它的余角＝90°﹣75°＝15°，
故选：D．
【点评】本题主要考查的是余角的定义，掌握相关概念是解题的关键
3．【分析】先计算判别式的意义，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【解答】解：∵△＝（﹣4）2﹣4×3×1＝4＞0
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有
如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数
根；当△＜0时，方程无实数根．
4．【分析】此题根据中位数，平均数的定义解答．
【解答】解：由图可知，把7个数据从小到大排列为22，22，23，26，28，30，31，中位数是第4
位数，第4位是26，所以中位数是26．
平均数是（22×2+23+26+28+30+31）÷7＝26，所以平均数是26．
故选：B．
第7页（共20页）【点评】此题考查了折线统计图，用到的知识点是平均数、中位数，中位数是将一组数据从
小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组
数据的中位数．平均数是所有数的和除以所有数的个数．
5．【分析】根据因式分解的意义即可判断．
【解答】解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解；
（B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；
（D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解；
故选：C．
【点评】本题考查因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基
础题型．
6．【分析】结合三视图确定小正方体的位置后即可确定正确的选项．
【解答】解：结合三个视图发现，应该是由一个正方体在一个角上挖去一个小正方体，且小
正方体的位置应该在右上角，
故选：B．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够正确的确定小正方体
的位置，难度不大．
7．【分析】先确定抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的坐标规律得到点（0，0）
平移后所得对应点的坐标为（3，﹣5），然后根据顶点式写出平移得到的抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向右平移3个单位，再向下平移5
个单位所得对应点的坐标为（3，﹣5），所以平移得到的抛物线的表达式为y＝2（x﹣3）2﹣
5．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，
所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移
后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8．【分析】分析可知第一行为1，2，3，4；第二行为﹣3，﹣2，﹣1，0；第三行为5，6，7，8，由此
可得结果．
【解答】解：∵第一行为1，2，3，4；第二行为﹣3，﹣2，﹣1，0；第四行为3，4，5，6
∴第三行为5，6，7，8，
∴方阵中第三行三列的“数”是7，
故选：C．
第8页（共20页）【点评】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数的运算，掌
握运算法则是解答此题的关键．
二、填空题（本小题共8小题，每小题3分，共24分）
9．【分析】首先计算开方，然后计算减法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：|﹣2|﹣
＝2﹣2
＝0
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数
运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，
有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算
律在实数范围内仍然适用．
10．【分析】先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解： +1＝ ，
方程两边都乘以x得：2+x＝4，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x≠0，
即x＝2是原方程的解，
故答案为：x＝2．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：887000000＝8.87×108．
故答案为：8.87×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题：“如果m是整数，那么它是有理数”的逆命题为“如果m是有理数，那
第9页（共20页）么它是整数”．
故答案为“如果m是有理数，那么它是整数”．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题
的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其
中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13．【分析】先求出一棵枇杷树上采摘多少千克枇杷，再乘以彭山总的枇杷树的棵数，即可得
出答案．
【解答】解：根据题意得：
200÷5×600＝24000（千克），
答：今年一共收获了枇杷24000千克；
故答案为：24000．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，总体平均数约等于样本平均数．
14．【分析】分点D与点E重合、点D与点A重合两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：当点D与点E重合时，CD＝0，此时∠CDE＝30°不成立，
当点D与点A重合时，
∵∠A＝90°，∠B＝60°，
∴∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠E，∠CDB＝∠B，
∴CE＝CD，CD＝CB，
∴CD＝ BE＝5，
∴0＜CD≤5，
故答案为：0＜CD≤5．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜
边的一半是解题的关键．
15．【分析】由AAS证明△AHE≌△BEF，得出AE＝BF＝x，AH＝BE＝2﹣x，再根据勾股定理，
求出EH2，即可得到y与x之间的函数关系式．
【解答】解：如图所示：
第10页（共20页）∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，AB＝2．
∴∠1+∠2＝90°，
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠HEF＝90°，EH＝EF．
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠2＝∠3，
在△AHE与△BEF中，
∵ ，
∴△AHE≌△BEF（AAS），
∴AE＝BF＝x，AH＝BE＝2﹣x，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：
EH2＝AE2+AH2＝x2+（2﹣x）2＝2x2﹣4x+4；
即y＝2x2﹣4x+4（0＜x＜2），
故答案为：y＝2x2﹣4x+4．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题难度适中，
求出y与x之间的函数关系式是解题的关键．
16．【分析】由点A 、A 的坐标，结合平移的距离即可得出点A 的坐标，再由直线y＝kx+2与
1 2 n
此折线恰有2n（n≥1，且为整数）个交点，即可得出点A （4n，0）在直线y＝kx+2上，依据
n+1
依此函数图象上点的坐标特征，即可求出k值．
【解答】解：∵A （0，0），A （4，0），A （8，0），A （12，0），…，
1 2 3 4
∴A （4n﹣4，0）．
n
∵直线y＝kx+2与此折线恰有2n（n≥1，且为整数）个交点，
∴点A （4n，0）在直线y＝kx+2上，
n+1
第11页（共20页）∴0＝4nk+2，
解得：k＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化中的平移，根据一
次函数图象上点的坐标特征结合点A 的坐标，找出0＝4nk+2是解题的关键．
n
三、解答题（本题共2小题，每小题5分，共10分．）
17．【分析】用树状图表示出所有情况，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：用树状图分析如下：
∴一共有6种情况，甲、乙两人恰好相邻有4种情况，
∴甲、乙两人相邻的概率是 ＝ ．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．解题的关键是根据题意列表或画树状图，
注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率
＝所求情况数与总情况数之比．
18．【分析】先求出不等式的解，然后根据大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小解
不了，的口诀求出不等式组的解，进而求出整数解．
【解答】解：解不等式 得x≤ ，
①
解不等式 得x≥﹣ ，
②
∴不等式组的解集为：﹣ ≤x≤
∴不等式组的整数解是0，1，2．
【点评】本题考查不等式组的解法，关键是求出不等式的解，然后根据口诀求出不等式组
第12页（共20页）的解，再求出整数解．
四、解答题：本大题共2小题，每小题6分，共12分．
19．【分析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再将x的值代入求解可得．
【解答】解：原式＝[ + ]•[ ﹣ ]
＝ •（ ﹣ ）
＝ •
＝x﹣2，
当x＝4时，
原式＝4﹣2＝2．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的关
键．
20．【分析】（1）根据铁运的货运量以及百分比，即可得到物流园2016年货运总量；
（2）根据空运的百分比，即可得到物流园2016年空运货物的总量，并据此补全条形统计图；
（3）根据陆运的百分比乘上360°，即可得到陆运货物量对应的扇形圆心角的度数．
【解答】解：（1）2016年货运总量是120÷50%＝240万吨；
（2）2016年空运货物的总量是240×15%＝36万吨，
条形统计图如下：
（3）陆运货物量对应的扇形圆心角的度数为 ×360°＝18°．
【点评】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的运用，解题时注意：通过扇形统计
图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．从条形图可以很容易看出数据的
大小，便于比较．
五、解答题：本大题共2小题，每小题7分，共14分．
21．【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义先得到k的值，然后把点A的坐标代入反
第13页（共20页）比例函数解析式，可求出k的值；
（2）先分别求出x＝﹣3和﹣1时y的值，再根据反比例函数的性质求解．
【解答】解：（1）∵△AOB的面积为2，
∴k＝4，
∴反比例函数解析式为y＝ ，
∵A（4，m），
∴m＝ ＝1；
（2）∵当x＝﹣3时，y＝﹣ ；
当x＝﹣1时，y＝﹣4，
又∵反比例函数y＝ 在x＜0时，y随x的增大而减小，
∴当﹣3≤x≤﹣1时，y的取值范围为﹣4≤y≤﹣ ．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，点在
图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了反比例函数的性质以及代数式的变形
能力．
22．【分析】（1）由BE∥CO，推出∠OCB＝∠CBE，由OC＝OB，推出∠OCB＝∠OBC，可得
∠CBE＝∠CBO；
（2）在Rt△CDO中，求出OD，由OC∥BE，可得 ＝ ，由此即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵DE是切线，
∴OC⊥DE，
∵BE∥CO，
∴∠OCB＝∠CBE，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠CBE＝∠CBO，
∴BC平分∠ABE．
第14页（共20页）（2）在Rt△CDO中，∵DC＝8，OC＝0A＝6，
∴OD＝ ＝10，
∵OC∥BE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴EC＝4.8．
【点评】本题考查切线的性质、平行线的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
六、解答题：本大题共2小题，每小题8分，共16分．
23．【分析】（1）一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2016年收到微信红包金额
400（1+x）万元，在2016年的基础上再增长x，就是2017年收到微信红包金额400（1+x）
（1+x），由此可列出方程400（1+x）2＝484，求解即可．
（2）设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，则她妹妹收到微信红包为（2y+34）元，根
据她们共收到微信红包484元列出方程并解答．
【解答】解：（1）设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是x，
依题意得：400（1+x）2＝484，
解得x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（舍去）．
1 2
答：2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%；
（2）设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，
依题意得：2y+34+y＝484，
解得y＝150
所以484﹣150＝334（元）．
答：甜甜在2017年六一收到微信红包为150元，则她妹妹收到微信红包为334元．
第15页（共20页）【点评】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．对于增长率问题，增长前
的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量．
24．【分析】延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ ，
∴AB＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.2392，
∴GM＝AB＝2.2392，
在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝ ，
∴sin60°＝ ＝ ，
∴FG＝ ，
∴DM＝FG+GM﹣DF≈3.05米．
答：篮筐D到地面的距离是3.05米．
【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角
形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
七、解答题：每小题10分，共20分。
25．【分析】（1）由已知点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式，可求得其顶点N
的坐标；
（2）设P点横坐标为t，则可表示出C、D、M、A的坐标，从而可表示出PA和DM的长，由
PA＝DM可证得结论；
（3）设P点横坐标为t，在Rt△PCM中，可表示出PM，可求得PM＝PA，可知四边形
PMDA为菱形，由菱形的性质和抛物线的对称性可得∠PDE＝∠APM，可证得结论，在
第16页（共20页）Rt△AOM中，用t表示出AM的长，再表示出PE的长，由相似比为 可得到关于t的方
程，可求得t的值，可求得P点坐标．
【解答】（1）解：∵抛物线的对称轴是y轴，
∴可设抛物线解析式为y＝ax2+c，
∵点（2，2），（1， ）在抛物线上，
∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝ x2+1，
∴N点坐标为（0，1）；
（2）证明：设P（t， t2+1），则C（0， t2+1），PA＝ t2+1，
∵M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点，且N（0，1），
∴M（0，2），
∵OC＝ t2+1，ON＝1，
∴DN＝CN＝ t2+1﹣1＝ t2，
∴OD＝ t2﹣1，
∴D（0，﹣ t2+1），
∴DM＝2﹣（﹣ t2+1）＝ t2+1＝PA，且DM∥PA，
∴四边形PMDA为平行四边形；
（3）解：同（2）设P（t， t2+1），则C（0， t2+1），PA＝ t2+1，PC＝|t|，
∵M（0，2），
∴CM＝ t2+1﹣2＝ t2﹣1，
在 Rt△ PMC 中 ， 由 勾 股 定 理 可 得 PM ＝ ＝ ＝
第17页（共20页）＝ t2+1＝PA，且四边形PMDA为平行四边形，
∴四边形PMDA为菱形，
∴∠APM＝∠ADM＝2∠PDM，
∵PE⊥y轴，且抛物线对称轴为y轴，
∴DP＝DE，且∠PDE＝2∠PDM，
∴∠PDE＝∠APM，且 ＝ ，
∴△DPE∽△PAM；
∵OA＝|t|，OM＝2，
∴AM＝ ，且PE＝2PC＝2|t|，
当相似比为 时，则 ＝ ，即 ＝ ，解得t＝2 或t＝﹣2 ，
∴P点坐标为（2 ，4）或（﹣2 ，4）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的判定和性质、勾股定
理、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质及方程思想等知识．在（1）中注意抛物
线解析式的设法，在（2）中用t表示出DM的长是解题的关键，在（3）中证得四边形PMDA
为菱形是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大
26．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2） 过G作GH∥AD交BC于H，由AG＝BG，得到BH＝DH，根据已知条件设DC＝1，
①
BD＝4，得到BH＝DH＝2，根据平行线分线段成比例定理得到 ＝ ＝ ，求得GM＝
2MC；
过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，根据相似三角形的性质得到 ＝
②
，由 知GM＝2MC，得到2NC＝AG，根据相似三角形的性质得到结论．
①
【解答】证明：（1）在Rt△ABE和Rt△DBE中， ，
∴△ABE≌△DBE；
（2） 过G作GH∥AD交BC于H，
① 第18页（共20页）∵AG＝BG，
∴BH＝DH，
∵BD＝4DC，
设DC＝1，BD＝4，
∴BH＝DH＝2，
∵GH∥AD，
∴ ＝ ＝ ，
∴GM＝2MC；
过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，
②∴△AGM∽△NCM，
∴ ＝ ，
由 知GM＝2MC，
∴①2NC＝AG，
∵∠BAC＝∠AEB＝90°，
∴∠ABF＝∠CAN＝90°﹣∠BAE，
∴△ACN∽△BAF，
∴ ＝ ，
∵AB＝2AG，
∴ ＝ ，
∴2CN•AG＝AF•AC，
∴AG2＝AF•AC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的
性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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