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第一部分（客观题）
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个正确的,每小题3分,共30分.）
1.-5的相反数是（ ）
A． -5 B． C． D．5
【答案】D.
【解析】
试题分析：根据相反数的定义直接求得结果．
因为只有符号不同的两个数互为相反数，所以﹣5的相反数是5．故选D．
考点：相反数.
2. 下列几何体中，同一个几何体的三视图完全相同的是（ ）
A． 球 B．圆锥 C．圆柱 D．三棱柱
【答案】A.
【解析】
确．
故选A．
考点：简单几何体的三视图.
3. 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D.
【解析】
试题分析：根据同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式和合并同类项的运算法则分别进行计算即可得出答案．
A、（﹣2xy）2=4x2y2，故本选项错误；
B、x6÷x3=x3，故本选项错误；
C、（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，故本选项错误；
D、2x+3x=5x，故本选项正确；
故选D．
考点：同底数幂的除法；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式.
4. 为了解居民用水情况，小明在某小区随机抽查了30户家庭的月用水量，结果如下表：
月用水量/ 4 5 6 8 9 10
户数 6 7 9 5 2 1
则这30户家庭的月用水量的众数和中位数分别是（ ）
A． 6，6 B． 9，6 C. 9，6 D．6，7
【答案】B.
【解析】
考点：众数；中位数.
5. 若一次函数 的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C. D．
【答案】D.
【解析】
试题分析：由于一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，由此可以确定a＜0，b＞0，然后一
一判断各选项即可解决问题．
∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，∴a+b不一定大于0，故A错误，
a﹣b＜0，故B错误，ab＜0，故C错误，
＜0，故D正确．
故选D．
考点：一次函数图象与系数的关系.
6. 如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别
与直角三角尺的两边相交， ，则 的度数是（ ）
A．75° B． 85° C. 60° D．65°
【答案】B.
【解析】
考点：平行线的性质.
7. 如图，在 中， 分别是 的中点，以 为斜边作 ，若
，则下列结论不正确的是（ ）A． B． 平分 C. D．
【答案】C.
【解析】
由∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，求出∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，从而判断C错误；
在等腰Rt△ADC中利用勾股定理求出AC= CD，又AB=AC，等量代换得到AB= CD，从
而判断D正确．
∵AB=AC，∠CAB=45°，∴∠B=∠ACB=67.5°．
∵Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，∴∠ACD=45°，AD=DC，
∴∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，故A正确，学.科*网不符合题意；
∵E、F分别是BC、AC的中点，∴FE= AB，FE∥AB，
∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．
∵F是AC的中点，∠ADC=90°，AD=DC，∴FD= AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，
∵AB=AC，∴FE=FD，
∴∠FDE=∠FED= （180°﹣∠EFD）= （180°﹣135°）=22.5°，
∴∠FDE= ∠FDC，∴DE平分∠FDC，故B正确，不符合题意；∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，
∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C错误，符合题意；
∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，
∴AC= CD，∵AB=AC，
∴AB= CD，故D正确，不符合题意．
故选C．
考点：三角形中位线定理；等腰三角形的性质；勾股定理.
8. 如图，在菱形 中， ，它的一个顶点 在反比例函数 的图像上，若将菱形向下平移
2个单位，点 恰好落在函数图象上，则反比例函数解析式为（ ）
A． B． C. D．
【答案】A.
【解析】
点A向下平移2个单位的点为（﹣ a﹣a， a﹣2），即（﹣ a， a﹣2），则 ，解得 ．
故反比例函数解析式为 ．
故选A．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移．
9. 如图，在 中， ，点 在 上， ，点 是 上的动点，则
的最小值为（ ）
A． 4 B．5 C. 6 D．7
【答案】B.
【解析】
∵DC=1，BC=4，∴BD=3，
连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=4，
根据勾股定理可得DC′= ．
故选B．
考点：轴对称﹣最短路线问题；等腰直角三角形.
10. 如图，直线 的解析式为 ，它与 轴和 轴分别相交于 两点，平行于直线 的直线 从
原点 出发，沿 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动.它与 轴和 轴分别相交于 两点，运动
时间为 秒（ ），以 为斜边作等腰直角三角形 （ 两点分别在 两侧），若 和
的重合部分的面积为 ，则 与 之间的函数关系的图角大致是（ ）
A． B． C. D．
第二部分（主观题）
【答案】C.
【解析】故答案为C．
考点：动点问题的函数图象；分类讨论.
二、填空题（每小题3分，共24分，将答案填在答题纸上）
11. 随着“互联网+”在各领域的延伸与融合，互联网移动医疗发展迅速，预计到2018年我国移动医疗市场
规模将达到29150000000元，将29150000000用科学记数法表示为_____________．
【答案】2.915×1010.
【解析】
试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
29150000000=2.915×1010．故答案为：2.915×1010．
考点：科学记数法—表示较大的数.
12.函数 中，自变量 的取值范围是___________．
【答案】x≥1.
【解析】
考点：函数自变量的取值范围.
13.在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明
通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在10%和15%，则箱子里蓝色球的个数很可能是
个.【答案】15.
【解析】
试题分析：利用频率估计概率，可得到摸到红色、黄色球的概率为10%和15%，则摸到蓝球的概
率为75%，然后根据概率公式可计算出口袋中蓝色球的个数．
根据题意得摸到红色、黄色球的概率为10%和15%，
所以摸到蓝球的概率为75%，
因为20×75%=15（个），所以可估计袋中蓝色球的个数为15个．
故答案为15．
考点：利用频率估计概率.
14.若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 ．
【答案】k＞ 且k≠1.
【解析】
试题分析：根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞
0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得：k＞ 且k≠1．
故答案为：k＞ 且k≠1．
考点：根的判别式；一元二次方程的定义.
15.如图，将矩形 绕点 沿顺时针方向旋转90°到矩形 的位置， ，则阴影
部分的面积为 ．
【答案】 .
【解析】故答案为： ．
考点：扇形面积的计算；旋转的性质.
16.某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务.
若设原计划每天植树 棵，则根据题意可列方程为 ．
【答案】 .
【解析】
试题分析：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=1.2x，根据“原计划所用时间﹣
实际所用时间=8”列方程即可．
设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=1.2x，
根据题意可得： ，
故答案为： ．
考点：由实际问题抽象出分式方程.
17. 在矩形纸片 中， 是边 上的点，将纸片沿 折叠，使点 落在点 处，连
接 ，学&科网当 为直角三角形时， 的长为___________．
【答案】3或6.
【解析】△EFC为直角三角形分两种情况：
①当∠EFC=90°时，如图1所示．
∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，∴点F在对角线AC上，
∴AE平分∠BAC，∴ ，即 ，∴BE=3；
②当∠FEC=90°时，如图2所示．
∵∠FEC=90°，∴∠FEB=90°，∴∠AEF=∠BEA=45°，
∴四边形ABEF为正方形，∴BE=AB=6．
综上所述：BE的长为3或6．
故答案为：3或6．
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；正方形的判定与性质；矩形的性质.
18. 如图，点 在直线 上，过点 作 交直线 于点 ， 为边在
外侧作等边三角形 ，再过点 作 ，分别交直线 和 于 两点，以 为边
在 外侧作等边三角形 按此规律进行下去，则第 个等边三角形 的面积为
__________.（用含 的代数式表示）【答案】 .
【解析】
在Rt△OA B 中，OA =2，∠A OB =30°，∠OA B =90°，
1 1 1 1 1 1 1
∴A B = OB ，∴A B = ．
1 1 1 1 1
∵△A B C 为等边三角形，∴A A = A B =1，
1 1 1 1 2 1 1
∴OA =3，A B = ．
2 2 2
同理，可得出：A B = ，A B = ，…，A B = ，
3 3 4 4 n n
∴第n个等边三角形A B C 的面积为 ．
n n n
故答案为： ．
考点：一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；探索规律.三、解答题 （19小题10分，20小题10分，共20分.）
19. 先化简，再求值： ，其中 .
【答案】-4.
【解析】
原式= =﹣4．
考点：分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值.
20. 如图，有四张背面完全相同的纸牌 ，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌
背面朝上洗匀.
（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中
随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列
表法（或树状图）说明理由（纸牌用 表示）.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（2）列表得：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的有6种，
∴P（两张都是轴对称图形）= ，因此这个游戏公平．
考点：游戏公平性；轴对称图形；中心对称图形；概率公式；列表法与树状图法.
四、解答题 （21题12分，22小题12分，共24分）
21. 某中学开展“汉字听写大赛”活动，为了解学生的参与情况，在该校随机抽取了四个班级学生进行调查，
将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）这四个班参与大赛的学生共__________人；
（2）请你补全两幅统计图；
（3）求图1中甲班所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若四个班级的学生总数是160人，全校共2000人，请你估计全校的学生中参与这次活动的大约有多少人.【答案】（1）100；（2）见解析；（3）108°；（4）1250.
【解析】
30÷30%=100（人）；
故答案为100；
（2）丁所占的百分比是： ×100%=35%，
丙所占的百分比是：1﹣30%﹣20%﹣35%=15%，
则丙班得人数是：100×15%=15（人）；
如图：考点：条形统计图；扇形统计图；样本估计总体.
22.如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75°方向航行，在点 处测得码头 的船的东北方向，
航行40分钟后到达 处，这时码头 恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中
与码头 的最近距离.（结果精确的0．1海里，参考数据 ）
【答案】船在航行过程中与码头C的最近距离是13.7海里.
【解析】
试题分析：过点C作CE⊥AB于点E，过点B作BD⊥AC于点D，由题意可知：船在航行过程中
与码头C的最近距离是CE，根据∠DAB=30°，AB=20，从而可求出BD、AD的长度，进而可求出CE的长度．
答：船在航行过程中与码头C的最近距离是13.7海里
考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题；KU：勾股定理的应用.
五、解答题（23小题12分，24小题12分，共24分）
23. 如图，点 在以 为直径的 上，学*科网点 是 的中点，过点 作 垂直于 ，交 的
延长线于点 ，连接 交 于点 .（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长.
【答案】（1）见解析；（2）16.
【解析】
试题解析：（1）证明：连接OC，如图1所示．
∵点C是 的中点，∴ ，∴OC⊥BE．
∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BE，∴AD∥OC．
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OM⊥AC于点M，如图2所示．
∵点C是 的中点，∴ ，∠BAC=∠CAE，
∴ ．
∵cos∠CAD= ，∴ ，∴AB= BF=20．
在Rt△AOM中，∠AMO=90°，AO= AB=10，cos∠OAM=cos∠CAD= ，∴AM=AO•cos∠OAM=8，∴AC=2AM=16．
考点：切线的判定与性质；解直角三角形；平行线的性质；垂径定理；圆周角定理角平分线的性质.
24.夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务，为提高生产效
率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机
器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增
加20元.
（1）设第 天生产空调 台，直接写出 与 之间的函数解析式，并写出自变量 的取值范围.
（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台2920元，设第 天的利润为
元，试求 与 之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少.
【答案】（1）y=40+2x（1≤x≤10）；（2） ，第5天，46000元.
【解析】
台，
∴由题意可得出，第x天生产空调y台，y与x之间的函数解析式为：y=40+2x（1≤x≤10）；
（2）当1≤x≤5时，W=（2920﹣2000）×（40+2x）=1840x+36800，
∵1840＞0，∴W随x的增大而增大，
∴当x=5时，W =1840×5+36800=46000；
最大值
当5＜x≤10时，
W=[2920﹣2000﹣20（40+2x﹣50）]×（40+2x）=﹣80（x﹣4）2+46080，考点：二次函数的应用；分段函数.
六、解答题（本题满分14分）
25.在四边形中 ，点 为 边上的一点，点 为对角线 上的一点，且 .
（1）若四边形 为正方形.
①如图1，请直接写出 与 的数量关系___________；
②将 绕点 逆时针旋转到图2所示的位置，连接 ，猜想 与 的数量关系并说明理由；
（2）如图3，若四边形 为矩形， ，学&科.网其它条件都不变，将 绕点 顺时针旋转
得到 ，连接 ，请在图3中画出草图，并直接写出 与 的数量关系.
【答案】（1）①DF= AE，②DF= AE，理由见解析；（2）DF′= AE′.
【解析】
试题分析：（1）①利用正方形的性质得△ABD为等腰直角三角形，则BF= AB，再证明△BEF
为等腰直角三角形得到BF= BE，所以BD﹣BF= AB﹣ BE，从而得到DF= AE；②利用旋转的性质得∠ABE=∠DBF，加上 = ，则根据相似三角形的判定可得到
△ABE∽△DBF，所以 = ；
（2）先画出图形得到图3，利用勾股定理得到BD= AB，再证明△BEF∽△BAD得到
，则 = ，接着利用旋转的性质得∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，所
以 = ，然后根据相似三角形的判定方法得到△ABE′∽△DBF′，再利用相似的性
质可得 = ．
试题解析：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BF= AB，
∵EF⊥AB，∴△BEF为等腰直角三角形，BF= BE，
∴BD﹣BF= AB﹣ BE，即DF= AE；
故答案为DF= AE；
②DF= AE．理由如下：
∴AD=BC=mAB，∴BD= = AB，
∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴ ，∴ = ，
∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，
∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，
∴ = ，
∴△ABE′∽△DBF′，
∴ = ，
即DF′= AE′．
考点：旋转的性质；矩形和正方形的性质；相似三角形的判定和性质.
七、解答题（本题满分14分）
26.如图，抛物线 的对称轴是直线 ，与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，点 的坐
标为 ，点 为抛物线上的一个动点，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 .
（1）求抛物线解析式；
（2）若点 在第一象限内，当 时，求四边形 的面积；
（3）在（2）的条件下，若点 为直线 上一点，点 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点 和点
，使得以点 为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】【答案】（1）y= x2﹣ x﹣2；（2） ；（3）y= x2﹣ x﹣2；（2）；（3）N（ ，﹣ ）或（4.6， ）或（5﹣
， ）或（5+ ， ），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形.
【解析】
试题分析：（1）由抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，于是列方程
即可得到结论；
（2）根据函数解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式为y= x﹣2，设D（m，0），得
到E（m， m﹣2），P（m， m2﹣ m﹣2），根据已知条件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D
（5，0），P（5， ），E（5， ），根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）设M（n， n﹣2），①以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n=4+
，于是得到N（ ，﹣ ）；②以BD为边，根据菱形的性质得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，设D（m，0），
∵DP∥y轴，∴E（m， m﹣2），P（m， m2﹣ m﹣2），
∵OD=4PE，∴m=4（ m2﹣ m﹣2﹣ m+2），
∴m=5，m=0（舍去），∴D（5，0），P（5， ），E（5， ），
∴四边形POBE的面积=S ﹣S = ×5× ﹣ ×1× = ；
△OPD △EBD
（3）存在，设M（n， n﹣2），
①以BD为对角线，如图1，
∵四边形BNDM是菱形，∴MN垂直平分BD，
∴n=4+ ，∴M（ ， ），
∵M，N关于x轴对称，∴N（ ，﹣ ）；②以BD为边，如图2，
∴n =4+ （不合题意，舍去），n =4﹣ ，
1 2
∴N（5﹣ ， ），
③以BD为边，如图3，
过M作MH⊥x轴于H，
∴MH2+BH2=BM2，即（ n﹣2）2+（n﹣4）2=12，考点：二次函数的图象的性质；待定系数法求一次函数；二次函数的解析式；勾股定理；三角形
的面积公式；菱形的性质.
