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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共 10小题，
每小题5分，共50分）
1. 设全集为R, 函数 的定义域为M, 则 为( )
(A) (－∞,1) (B) (1, + ∞) (C) (D)
2. 已知向量 , 若a//b, 则实数m等于( )
(A) (B)
(C) 或 (D) 0
3. 设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是( )
(A) (B)
(C) (D)
4. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为
( )
(A) 25
(B) 30
(C) 31
(D) 61
5. 对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图为检测
结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)
上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品,
在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现
从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为( )
(A) 0.09 (B) 0.20
第1页 | 共5页(C) 0.25 (D) 0.45
6. 设z是复数, 则下列命题中的假命题是( )
(A) 若 , 则z是实数 (B) 若 , 则z是虚数
(C) 若z是虚数, 则 (D) 若z是纯虚数, 则
7. 若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为( )
(A) －6 (B) －2 (C) 0 (D) 2
8. 已知点M(a,b)在圆 外, 则直线ax + by = 1与圆O的位置关系是( )
(A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定
9. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若 , 则△ABC的形状
为( )
(A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定
10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有( )
(A) [－x] = －[x] (B) [x + ] = [x]
(C) [2x] = 2[x] (D)
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5小题，每小题5
分，共25分）
11. 双曲线 的离心率为 .
12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 .
13. 观察下列等式:
…
照此规律, 第n个等式可为 .
14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花
第2页 | 共5页园(阴影部分), 则其边长x为 (m).
15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)
A. (不等式选做题) 设a, b∈R, |a－b|>2, 则关于实数x的不等式 的解集是
.
B. (几何证明选做题) 如图, AB与CD相交于点E, 过E作BC的平行线
C
与AD的延长线相交于点 P. 已知 , PD = 2DA = 2, 则PE =
B
D
. A
P E
C. (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线 (t为参数)的焦点坐
标是 .
三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共 6小题，共75
分）
16. (本小题满分12分)
已知向量 , 设函数 .
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在 上的最大值和最小值.
17. (本小题满分12分)
设S 表示数列 的前n项和.
n
(Ⅰ) 若 为等差数列, 推导S 的计算公式;
n
(Ⅱ) 若 , 且对所有正整数n, 有 . 判断 是否为等比数列. 并证明你
的结论。
18. (本小题满分12分)
如图, 四棱柱 ABCD－ABCD 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, AO⊥平面 ABCD,
1 1 1 1 1
第3页 | 共5页.
(Ⅰ) 证明: ABD // 平面CDB;
1 1 1
(Ⅱ) 求三棱柱ABD－ABD 的体积.
1 1 1
19. (本小题满分12分)
有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大
众评委分为5组, 各组的人数如下:
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从
B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
抽取人数 6
(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评
委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.
20. (本小题满分13分)
已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.
(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.
21. (本小题满分14分)
已知函数 .
(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;
(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线 有唯一公共点.
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