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2013 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
参考公式：
样本数据 的方差 ，其中 。
棱锥的体积公式： ，其中 是锥体的底面积， 为高。
棱柱的体积公式： ，其中 是柱体的底面积， 为高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应
位置上。
1、函数 的最小正周期为 ▲ 。
2、设 ( 为虚数单位)，则复数 的模为 ▲ 。
3、双曲线 的两条渐近线的方程为 ▲ 。
4、集合{-1，0，1}共有 ▲ 个子集。
5、右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 ▲ 。
6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5次训练成绩（单位：环），
结果如下：
运动
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
员
甲 87 91 90 89 93
乙 89 90 91 88 92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。
7、现有某类病毒记作为 ，其中正整数 可以任意
选取，则 都取到奇数的概率为 ▲ 。
8、如图，在三棱柱A B C -ABC中，D、E、F分别为AB、AC、A A 的中点，
1 1 1 1
设三棱锥F-ADE的体积为 ，三棱柱A B C -ABC的体积为 ，则 ：
1 1 1
= ▲ 。
9、抛物线 在 处的切线与坐标轴围成三角形区域为D(包含三
第1页 | 共6页角形内部与边界)。若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则 的取值范围是 ▲
。
10、设 D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点，且 。若
( 、 均为实数)，则 + 的值为 ▲ 。
11、已知 是定义在R上的奇函数。当 时， ，则不等式
的解集用区间表示为 ▲ 。
12、在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的方程为 ，右焦点为F，右
准线为 ，短轴的一个端点为 B。设原点到直线 BF的距离为 ，F到 的距离为 。若
，则椭圆C的离心率为 ▲ 。
13、在平面直角坐标系xoy中，设定点A(a,a)，P是函数 图象上的一动点。若
点P、A之间的最短距离为 ，则满足条件的实数a的所有值为= ▲ 。
14、在正项等比数列 中， ，则满足
的最大正整数n的值为 ▲ 。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明或演算步骤.
15、（本小题满分14分）
已知向量 。
（1）若 ，求证： ；
（2）设 ，若 ，求 的值。
16、（本小题满分14分）
第2页 | 共6页如图，在三棱锥S-ABC中，平面 平面SBC, ，AS=AB。过A作 ，
垂足为F，点E、G分别为线段SA、SC的中点。
求证：（1）平面EFG//平面ABC；
（2） 。
17、（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xoy中，点A(0,3)，直线 ，设圆C的半径为1，圆心
在直线 上。
（1）若圆心C也在直线 上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标 的取值范围。
18、（本小题满分16分）
如图，游客从某旅游景区的景点 A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行到
C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C。
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为
50米/分钟。在甲出发2分钟后，乙从A乘坐缆车到B，在B
处停留1分钟后，再从B匀速步行到C。假设缆车速度为130
第3页 | 共6页米/分钟，山路AC的长为1260米，经测量， 。
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围
内？
19、（本小题满分16分）
设 是 首 项 为 、 公 差 为 的 等 差 数 列 ， 为 其 前 项 和 。 记
，其中c为实数。
（1）若c=0，且 成等比数列，证明：
（2）若 为等差数列，证明：c=0。
20、（本小题满分16分）
设函数 ，其中 为实数。
（1）若 在 上是单调减函数，且 在 上有最小值，求 的取值范围；
（2）若 在 上是单调增函数，试求 的零点个数，并证明你的结论。
第4页 | 共6页21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若
多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC。
求证：AC=2AD。
B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵 ，求矩阵 ．
C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线C的参数方程
为 （ 为参数）。试求直线 和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐
标。
D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知 ≥ ＞0，求证： ≥ 。
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱 中，AB⊥AC，AB=AC=2， =4，点D是BC的
中点。
第5页 | 共6页（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）求平面 与平面 所成二面角的正弦值。
23．（本小题满分10分）
设数列 ：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…， ，…
即 当 时 ， 。 记
。
对于 ，定义集合 =﹛ | 为 的整数倍， 且1≤ ≤ }
(1)求 中元素个数；
(2)求集合 中元素个数。
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