文档内容
哈 尔 滨 市 2018 年 初 中 升 学 考 试
数 学 试 卷
考生须知：
1.本试卷满分为120分,考试时间为120分钟。
2.答题前,考生先将自己的”姓名”、“考号”、“考场"、”座位号”在答题卡上填写清楚，
将“条形码”准确粘贴在条形码区域内。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草
稿纸、试题纸上答题无效。
4.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工
整、笔迹清楚。
5.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷选择题(共 30 分)（涂卡)
一、选择题（每小题3分,共计30分)
1. 的绝对值是( ).
(A) (B) (C) (D)
2．下列运算一定正确的是( ).
(A) (B) (C) (D)
3.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）.
4.六个大小相同的正力体搭成的几何体如图所示,其俯视图是（ ）.
数学试卷第 1页（共４页）5. 如图，点P为⊙O外一点,PA为⊙0的切线,A为切点,PO交⊙0于点
B，
∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为（ ）.
(A)3 (B) (C)6 (D)9
6.将抛物线y=-5x +l向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,
所得到的抛物线为（ ）.
（A) y=-5(x+1) -1 (B)y=-5(x-1) -1 (C)y=-5(x+1) +3 (D)y=-5(x-1) +3
7.方程 的解为（ ）.
(A)x=-1 (B)x=0 (C) x= (D)x=1
8.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,BD=8,tan∠ABD=
,
则线段AB的长为( ).
(A) (B)2 (C)5 (D)10
9.已知反比例函数 的图象经过点(1,1),则k的值为（ ）.
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2
10.如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GE∥BD,
且交AB于点E,GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是( ).
(A) (B)
(C) (D)
数学试卷第 2页（共４页）第Ⅱ卷非选择题(共 90 分)
二、填空题（每小3分,共计30分）
11.将数920 000 000用科学记数法表示为 .
12.函数 中,自变量x的取值范围是 .
13.把多项式x -25x分解因式的结果是 .
14.不等式组 的解集为 .
15.计算 的结果是 .
16.抛物线y=2(x+2) +4的顶点坐标为 .
17.一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分別刻有1到6的点数,张兵同学掷一次骰子,骰
子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是 .
18.一个扇形的圆心角为135°,弧长为3πcm,则此扇形的面积是 .
19.在△ABC中, AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADC的
度数为 .
20. 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,AB=OB，
点E、点F分别是OA、OD的中点,连接EF,∠CEF=45°EM⊥BC于
点M,EM交BD于点N,FN= ,则线段BC的长为 .
三、解答题(其中21～22题各7分,23～24题备8分,25-27题各10分,共计60分
21(本题7分)
先化简,再求代数式 的值,其中a=4cos30°+3tan45°.
22.(本题7分)
如图,方格纸中每个小正方形的边长均为 1,线段AB的两个
数学试卷第 3页（共４页）端
点均在小正方形的顶点上.
(1) 在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD(不是正方形),且点C和点D均在小正方形的顶
点上;
(2) 在图中画出以线段AB为一腰,底边长为2 的等腰
三角形ABE,点E在小正方形的顶点上.连接CE,请直接写出线段
CE的长.
23.（本题8分)
为使中华传统文化教育更具有实效性,军宁中学开展以“我最喜爱的传统文化种类”为主题
的调查活动,围绕“在诗词、国画、对联、书法、戏曲五种传统文化中,你最喜爱哪一种?(必选且只
选一种)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图
所示的不完整的统计图.请你根据图中提供的信息回答下列问题:
(1)本次调查共抽取了多少名学生?
(2)通过计算补全条形统计图;
(3)若军宁中学共有960名学生,请你估计该中学最喜爱国画的学生有多少名？
24.(本题8分)
已知:在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD,作BF⊥CD垂足为点F,BF与AC
交于点G.∠BGE=∠ADE.
(1)如图1,求证:AD=CD；
(2)如图2,BH是△ABE的中线,若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出
图2中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍.
数学试卷第 4页（共４页）25.(本题10分)
春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材,计划购买A型,B型两种型号的放大镜,若购
买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元;若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用
152元.
(1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？
(2)春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个,总费用不超过1180元,那么最多可
以购买多少个A型放大镜?
26.(本题10分）
已知:⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆,点 E 在弧 AB 上,连接 BE、DE,点 F 在弧 AD 上,连接
BF,DF,BF与DE、DA分别交于点G、点H,且DA平分∠EDF.
(1)如图1,求证:∠CBE=∠DHG;
(2)如图2,在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合),连接BN交DE于点L,过点H作
HK∥BN交DE于点K,过点E作EP⊥BN垂足为点P，当BP=HF时,求证:BE=HK;
(3)如图3,在(2)的条件下,当3HF=2DF时,延长EP交⊙0于点R,连接BR,若△BER的面积与
△DHK的面积的差为 ,求线段BR的长.
数学试卷第 5页（共４页）27.(本题10分)
已知:在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,点A在x轴的负半轴上,直线
与x轴、y轴分别交于B、C两点,四边形ABCD为菱形.
(1)如图1，求点A的坐标；
(2)如图2,连接AC,点P为△ACD内一点,连接AP、BP,BP与AC交于点G,且∠APB=60°,点E在
线段AP上,点F在线投BP上,且BF=AE.连接AF、EF,若∠AFE=30°,求AF +EF 的值;
(3)如图3在(2)的条件下,当PE=AE时,求点P的坐标.
数学试卷第 6页（共４页）一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3.00分）﹣ 的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根
据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：| |= ，
故选：A．
【点评】本题主要考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，比较简单．
2．（3.00分）下列运算一定正确的是（ ）
A．（m+n）2=m2+n2 B．（mn）3=m3n3 C．（m3）2=m5D．m•m2=m2
【分析】直接利用完全平方公式以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别
计算得出答案．
【解答】解：A、（m+n）2=m2+2mn+n2，故此选项错误；
B、（mn）3=m3n3，正确；
C、（m3）2=m6，故此选项错误；
D、m•m2=m3，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了完全平方公式以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确
掌握运算法则是解题关键．
数学试卷第 7页（共４页）3．（3.00分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】观察四个选项中的图形，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得
出结论．
【解答】解：A、此图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，此选项不符合题意；
B、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，此选项不符合题意；
C、此图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意；
D、此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，牢记轴对称及中心对称图形的特点
是解题的关键．
4．（3.00分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】俯视图有3列，从左到右正方形个数分别是2，1，2．
数学试卷第 8页（共４页）【解答】解：俯视图从左到右分别是2，1，2个正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，培养学生的思考能力和对几何体三种视图的
空间想象能力．
5．（3.00分）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，
∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（ ）
A．3B．3 C．6D．9
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的
长．
【解答】解：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=30°，OB=3，
∴AO=3，则OP=6，
故BP=6﹣3=3．
故选：A．
数学试卷第 9页（共４页）【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．
6．（3.00分）将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，
所得到的抛物线为（ ）
A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y=﹣5（x+1）2+3D．y=﹣5（x﹣1）2+3
【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．
【解答】解：将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=﹣5（x+1）2+1，再向下
平移2个单位长度，
所得到的抛物线为：y=﹣5（x+1）2﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
7．（3.00分）方程 = 的解为（ ）
A．x=﹣1 B．x=0 C．x= D．x=1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可
得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+3=4x，
解得：x=1，
数学试卷第1 0页（共４页）经检验x=1是分式方程的解，
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
8．（3.00分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD= ，则
线段AB的长为（ ）
A． B．2 C．5D．10
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出
AO，根据勾股定理求出AB即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD= = ，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= = =5，
数学试卷第1 1页（共４页）故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此
题的关键．
9．（3.00分）已知反比例函数y= 的图象经过点（1，1），则k的值为（ ）
A．﹣1 B．0C．1D．2
【分析】把点的坐标代入函数解析式得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵反比例函数y= 的图象经过点（1，1），
∴代入得：2k﹣3=1×1，
解得：k=2，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能根据已知得出关于k的方程是
解此题的关键．
10．（3.00分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，
GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
数学试卷第1 2页（共４页）【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的
性质即可找出 = = ，此题得解．
【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，
∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，
∴ = ， = ，
∴ = = ．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出 = =
是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3.00分）将数920000000科学记数法表示为 9. 2 × 1 0 8 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数
相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：920000000用科学记数法表示为9.2×108，
故答案为；9.2×108
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
数学试卷第1 3页（共４页）12．（3.00分）函数y= 中，自变量x的取值范围是 x ≠ 4 ．
【分析】根据分式分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x﹣4≠0，
解得，x≠4，
故答案为：x≠4．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式分母不为0是解题的关键．
13．（3.00分）把多项式x3﹣25x分解因式的结果是 x （ x + 5 ）（ x﹣5 ）
【分析】首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：x3﹣25x
=x（x2﹣25）
=x（x+5）（x﹣5）．
故答案为：x（x+5）（x﹣5）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
14．（3.00分）不等式组 的解集为 3 ≤ x ＜ 4 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x≥3，
解不等式②得：x＜4，
数学试卷第1 4页（共４页）∴不等式组的解集为3≤x＜4，
故答案为；3≤x＜4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是
解此题的关键．
15．（3.00分）计算6 ﹣10 的结果是 4 ．
【分析】首先化简 ，然后再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式=6 ﹣10× =6 ﹣2 =4 ，
故答案为：4 ．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次
根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相
加减，根式不变．
16．（3.00分）抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为 （﹣ 2 ， 4 ） ．
【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
【解答】解：∵y=2（x+2）2+4，
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣2，4），
故答案为：（﹣2，4）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数
的顶点坐标．
数学试卷第1 5页（共４页）17．（3.00分）一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，张
兵同学掷一次骰子，骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是 ．
【分析】共有6种等可能的结果数，其中点数是3的倍数有3和6，从而利用概率公式可
求出向上的一面出现的点数是3的倍数的概率．
【解答】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的有3，6，
故骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是： = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以
所有可能出现的结果数．
18．（3.00分）一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是 6π cm2．
【分析】先求出扇形对应的圆的半径，再根据扇形的面积公式求出面积即可．
【解答】解：设扇形的半径为Rcm，
∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，
∴ =3π，
解得：R=4，
所以此扇形的面积为 =6π（cm2），
故答案为：6π．
【点评】本题考查了扇形的面积计算和弧长的面积计算，能熟记扇形的面积公式和弧长
公式是解此题的关键．
数学试卷第1 6页（共４页）19．（3.00分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为
直角三角形，则∠ADC的度数为 130 ° 或 90 ° ．
【分析】根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得
∠ADC的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°，
∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，
∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，
∴∠ADC=130°，
当∠ADB=90°时，则
∠ADC=90°，
故答案为：130°或90°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要
的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
20．（3.00分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，点E、
点F分别是OA、OD的中点，连接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，
FN= ，则线段BC的长为 4 ．
【分析】设 EF=x，根据三角形的中位线定理表示 AD=2x，AD∥EF，可得
∠CAD=∠CEF=45°，证明△EMC 是等腰直角三角形，则 ∠CEM=45°，证明
数学试卷第1 7页（共４页）△ENF≌△MNB，则EN=MN= x，BN=FN= ，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC
的长．
【解答】解：设EF=x，
∵点E、点F分别是OA、OD的中点，
∴EF是△OAD的中位线，
∴AD=2x，AD∥EF，
∴∠CAD=∠CEF=45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=2x，
∴∠ACB=∠CAD=45°，
∵EM⊥BC，
∴∠EMC=90°，
∴△EMC是等腰直角三角形，
∴∠CEM=45°，
连接BE，
∵AB=OB，AE=OE
∴BE⊥AO
∴∠BEM=45°，
∴BM=EM=MC=x，
∴BM=FE，
易得△ENF≌△MNB，
数学试卷第1 8页（共４页）∴EN=MN= x，BN=FN= ，
Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2，
∴ ，
x=2 或﹣2 （舍），
∴BC=2x=4 ．
故答案为：4 ．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的
判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分)
21．（7.00分）先化简，再求代数式（1﹣ ）÷ 的值，其中 a=4cos30°
+3tan45°．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
【解答】解：当a=4cos30°+3tan45°时，
所以a=2 +3
原式= •
=
数学试卷第1 9页（共４页）=
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础
题型．
22．（7.00分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小
正方形的顶点上．
（1）在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D均在小正
方形的顶点上；
（2）在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2 的等腰三角形ABE，点E在小正方形
的顶点上，连接CE，请直接写出线段CE的长．
【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；
（2）利用数形结合的思想解决问题即可；
【解答】解：（1）如图所示，矩形ABCD即为所求；
数学试卷第2 0页（共４页）（2）如图△ABE即为所求；
【点评】本题考查作图﹣应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性
质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23．（8.00分）为使中华传统文化教育更具有实效性，军宁中学开展以“我最喜爱的传
统文化种类”为主题的调查活动，围绕“在诗词、国画、对联、书法、戏曲五种传统文
化中，你最喜爱哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学
生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图
中提供的信息回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生？
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若军宁中学共有960名学生，请你估计该中学最喜爱国画的学生有多少名？
【分析】（1）由“诗词”的人数及其所占百分比可得总人数；
数学试卷第2 1页（共４页）（2）总人数减去其他种类的人数求得“书法”的人数即可补全条形图；
（3）用总人数乘以样本中“国画”人数所占比例．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为24÷20%=120人；
（2）“书法”类人数为120﹣（24+40+16+8）=32人，
补全图形如下：
（3）估计该中学最喜爱国画的学生有960× =320人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统
计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数
据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．（8.00分）已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作
BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．
（1）如图1，求证：AD=CD；
数学试卷第2 2页（共４页）（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请
直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．
【 分 析 】（ 1 ） 由 AC⊥ BD 、 BF⊥ CD 知 ∠ ADE+∠ DAE=∠ CGF+∠ GCF ， 根 据
∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；
（2）设 DE=a，先得出 AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知
S =2a2=2S ，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S 、S 、S ，从而
△ADC △ADE △ABE △ACE △BHG
得出答案．
【解答】解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，
∴∠ADE=∠CGF，
∵AC⊥BD、BF⊥CD，
∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，
∴∠DAE=∠GCF，
∴AD=CD；
（2）设DE=a，
则AE=2DE=2a，EG=DE=a，
∴S = AE•DE= •2a•a=a2，
△ADE
∵BH是△ABE的中线，
∴AH=HE=a，
数学试卷第2 3页（共４页）∵AD=CD、AC⊥BD，
∴CE=AE=2a，
则S = AC•DE= •（2a+2a）•a=2a2=2S ；
△ADC △ADE
在△ADE和△BGE中，
∵ ，
∴△ADE≌△BGE（ASA），
∴BE=AE=2a，
∴S = AE•BE= •（2a）•2a=2a2，
△ABE
S = CE•BE= •（2a）•2a=2a2，
△ACE
S = HG•BE= •（a+a）•2a=2a2，
△BHG
综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定
与性质及全等三角形的判定与性质．
25．（10.00分）春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两
种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A
型放大镜和6个B型放大镜需用152元．
（1）求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元；
（2）春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么
最多可以购买多少个A型放大镜？
数学试卷第2 4页（共４页）【分析】（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，列出方程组即可解
决问题；
（2）由题意列出不等式求出即可解决问题．
【解答】解：（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，可得：
，
解得： ，
答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为20元，12元；
（2）设购买A型放大镜m个，根据题意可得：20a+12×（75﹣a）≤1180，
解得：x≤35，
答：最多可以购买35个A型放大镜．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键
是理解题意，列出方程组和不等式解答．
26．（10.00分）已知：⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E在 上，连接BE、DE，点F在
上连接BF、DF，BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分∠EDF．
（1）如图1，求证：∠CBE=∠DHG；
（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE于点L，
过点H作HK∥BN交DE于点K，过点E作EP⊥BN，垂足为点P，当BP=HF时，求证：
BE=HK；
（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交⊙O于点R，连接BR，若△BER
的面积与△DHK的面积的差为 ，求线段BR的长．
数学试卷第2 5页（共４页）【分析】（1）由正方形的四个角都为直角，得到两个角为直角，再利用同弧所对的圆周
角相等及角平分线定义，等量代换即可得证；
（2）如图2，过H作HM⊥KD，垂足为点M，根据题意确定出△BEP≌△HKM，利用全等
三角形对应边相等即可得证；
（3）根据3HF=2DF，设出HF=2a，DF=3a，由角平分线定义得到一对角相等，进而得到正
切值相等，表示出DM=3a，利用正方形的性质得到△BED≌△DFB，得到BE=DF=3a，过
H作HS⊥BD，垂足为S，根据△BER的面积与△DHK的面积的差为 ，求出a的值，即可
确定出BR的长．
【解答】（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵∠F=∠A=90°，
∴∠F=∠ABC，
∵DA平分∠EDF，
∴∠ADE=∠ADF，
∵∠ABE=∠ADE，
∴∠ABE=∠ADF，
数学试卷第2 6页（共４页）∵∠CBE=∠ABC+∠ABE，∠DHG=∠F+∠ADF，
∴∠CBE=∠DHG；
（2）如图2，过H作HM⊥KD，垂足为点M，
∵∠F=90°，
∴HF⊥FD，
∵DA平分∠EDF，
∴HM=FH，
∵FH=BP，
∴HN=BP，
∵KH∥BN，
∴∠DKH=∠DLN，
∴∠ELP=∠DLN，
∴∠DKH=∠ELP，
∵∠BED=∠A=90°，
∴∠BEP+∠LEP=90°，
∵EP⊥BN，
∴∠BPE=∠EPL=90°，
∴∠LEP+∠ELP=90°，
∴∠BEP=∠ELP=∠DKH，
∵HM⊥KD，
∴∠KMH=∠BPE=90°，
数学试卷第2 7页（共４页）∴△BEP≌△HKM，
∴BE=HK；
（3）解：如图3，连接BD，
∵3HF=2DF，BP=FH，
∴设HF=2a，DF=3a，
∴BP=FH=2a，
由（2）得：HM=BP，∠HMD=90°，
∵∠F=∠A=90°，
∴tan∠HDM=tan∠FDH，
∴ = = ，
∴DM=3a，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠ABF=∠ADF=∠ADE，∠DBF=45°﹣∠ABF，∠BDE=45°﹣∠ADE，
∴∠DBF=∠BDE，
∵∠BED=∠F，BD=BD，
∴△BED≌△DFB，
∴BE=FD=3a，
过H作HS⊥BD，垂足为S，
数学试卷第2 8页（共４页）∵tan∠ABH=tan∠ADE= = ，
∴设AB=3 m，AH=2 m，
∴BD= AB=6m，DH=AD﹣AH= m，
∵sin∠ADB= = ，
∴HS=m，
∴DS= =m，
∴BS=BD﹣DS=5m，
∴tan∠BDE=tan∠DBF= = ，
∵∠BDE=∠BRE，∴tanBRE= = ，
∵BP=FH=2a，
∴RP=10a，
在ER上截取ET=DK，连接BT，由（2）得：∠BEP=∠HKD，
∴△BET≌△HKD，
∴∠BTE=∠KDH，
∴tan∠BTE=tan∠KDH，
∴ = ，即PT=3a，
∴TR=RP﹣PT=7a，
∵S△BER﹣S△DHK= ，
数学试卷第2 9页（共４页）∴ BP•ER﹣ HM•DK= ，
∴ BP•（ER﹣DK）= BP•（ER﹣ET）= ，
∴ ×2a×7a= ，
解得：a= （负值舍去），
∴BP=1，PR=5，
则BR= = ．
【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：正方形的性质，角平分线性质，全等三角形
的判定与性质，三角形的面积，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关
键．
27．（10.00分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，
直线y=﹣ x+ 与x轴、y轴分别交于B、C两点，四边形ABCD为菱形．
（1）如图1，求点A的坐标；
（2）如图2，连接AC，点P为△ACD内一点，连接AP、BP，BP与AC交于点G，且
数学试卷第3 0页（共４页）∠APB=60°，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF=AE，连接AF、EF，若∠AFE=30°，
求AF2+EF2的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，当PE=AE时，求点P的坐标．
【分析】（1）利用勾股定理求出BC的长即可解决问题；
（2）如图2中，连接CE、CF．想办法证明△CEF是等边三角形，AF⊥CF即可解决问题；
（3）如图3中，延长CE交FA的延长线于H，作PQ⊥AB于Q，PK⊥OC于K，在BP设截取
BT=PA，连接AT、CT、CF、PC．想办法证明△APF是等边三角形，AT⊥PB即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，
∵y=﹣ x+ ，
∴B（ ，0），C（0， ），
∴BO= ，OC= ，
数学试卷第3 1页（共４页）在Rt△OBC中，BC= =7，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=7，
∴OA=AB﹣OB=7﹣ = ，
∴A（﹣ ，0）．
（2）如图2中，连接CE、CF．
∵OA=OB，CO⊥AB，
∴AC=BC=7，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠AOB=60°，
∴∠APB=∠ACB，
∵∠PAG+∠APB=∠AGB=∠CBG+∠ACB，
数学试卷第3 2页（共４页）∴∠PAG=∠CBG，∵AE=BF，
∴△ACR≌△BCF，
∴CE=CF，∠ACE=∠BCF，
∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CFE=60°，EF=FC，
∵∠AFE=30°，
∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=90°，
在Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2=49，
∴AF2+EF2=49．
（3）如图3中，延长CE交FA的延长线于H，作PQ⊥AB于Q，PK⊥OC于K，在BP设截取
BT=PA，连接AT、CT、CF、PC．
∵△CEF是等边三角形，
∴∠CEF=60°，EC=CF，
∵∠AFE=30°，∠CEF=∠H+∠EFH，
∴∠H=∠CEF﹣∠EFH=30°，
数学试卷第3 3页（共４页）∴∠H=∠EFH，
∴EH=EF，
∴EC=EH，
∵PE=AE，∠PEC=∠AEH，
∴△CPE≌△HAE，
∴∠PCE=∠H，
∴PC∥FH，
∵∠CAP=∠CBT，AC=BC，
∴△ACP≌△BCT，
∴CP=CT，∠ACP=∠BCT，
∴∠PCT=∠ACB=60°，
∴△CPT是等边三角形，
∴CT=PT，∠CPT=∠CTP=60°，
∵CP∥FH，
∴∠HFP=∠CPT=60°，
∵∠APB=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴∠CFP=∠AFC﹣∠∠AFP=30°，
∴∠TCF=∠CTP﹣∠TFC=30°，
∴∠TCF=∠TFC，
∴TF=TC=TP，
数学试卷第3 4页（共４页）∴AT⊥PF，设 BF=m，则AE=PE=m，
∴PF=AP=2m，TF=TP=m，TB=2m，BP=3m，
在Rt△APT中，AT= = m，
在Rt△ABT中，∵AT2+TB2=AB2，
∴（ m）2+（2m）2=72，
解得m= 或﹣ （舍弃），
∴BF= ，AT= ，BP=3 ，sin∠ABT= = ，
∵OK=PQ=BP•sin∠PBQ=3 × =3 ，BQ= =6，
∴OQ=BQ﹣BO=6﹣ = ，
∴P（﹣ ，3 ）
【点评】本题考查一次函数综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性
质、勾股定理、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角
形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．
数学试卷第3 5页（共４页）
