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2018年湖北省黄石市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个
是符合题目要求的）
1．（3分）下列各数是无理数的是（ ）
A．1 B．﹣0.6 C．﹣6 D．
2．（3分）太阳半径约696000千米，则696000千米用科学记数法可表示为π（ ）
A．0.696×106 B．6.96×105 C．0.696×107 D．6.96×108
3．（3分）下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列计算中，结果是a7的是（ ）
A．a3﹣a4 B．a3•a4 C．a3+a4 D．a3÷a4
5．（3分）如图，该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的
坐标是（ ）
第1页（共23页）A．（﹣1，6） B．（﹣9，6） C．（﹣1，2） D．（﹣9，2）
7．（3分）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，
∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD+∠ACD＝（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
8．（3分）如图，AB是 O的直径，点D为 O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则劣弧 的
长为（ ） ⊙ ⊙
A． B． C．2 D．
π
9．（3分）已知一次函数y ＝x﹣3和反比例函数y ＝ 的图象在平面直角坐标系中交于A、B
1 2
两点，当y ＞y 时，x的取值范围是（ ）
1 2
A．x＜﹣1或x＞4 B．﹣1＜x＜0或x＞4
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜4 D．x＜﹣1或0＜x＜4
10．（3分）如图，在Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝6cm，矩形ABCD中AB＝2cm，
BC＝10cm，点C和点M重合，点B、C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形
ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒
第2页（共23页）后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题给共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：x3y﹣xy3＝ ．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，则△ABC内切圆的周长为
13．（3分）分式方程 ＝1的解为
14．（3分）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距
地面高度CD为 米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是
米．（结果保留根号）
15．（3分）在一个不透明的布袋中装有标着数字2，3，4，5的4个小球，这4个小球的材质、
大小和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数字之积大于9的概率
为
16．（3分）小光和小王玩“石头、剪子、布”游戏，规定：一局比赛后，胜者得3分，负者得﹣1
分，平局两人都得0分，小光和小王都制订了自己的游戏策略，并且两人都不知道对方的
策略．
第3页（共23页）小光的策略是：石头、剪子、布、石头、剪子、布、……
小王的策略是：剪子、随机、剪子、随机……（说明：随机指石头、剪子、布中任意一个）
例如，某次游戏的前9局比赛中，两人当时的策略和得分情况如下表
局数 1 2 3 4 5 6 7 8 9
小光实际策略 石头 剪子 布 石头 剪子 布 石头 剪子 布
小王实际策略 剪子 布 剪子 石头 剪子 剪子 剪子 石头 剪子
小光得分 3 3 ﹣1 0 0 ﹣1 3 ﹣1 ﹣1
小王得分 ﹣1 ﹣1 3 0 0 3 ﹣1 3 3
已知在另一次游戏中，50局比赛后，小光总得分为﹣6分，则小王总得分为 分．
三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
17．（7分）计算：（ ）﹣2+（ 2﹣ ）0+cos60°+| ﹣2|
π π
18．（7分）先化简，再求值： ．其中x＝sin60°．
19．（7分）解不等式组 ，并求出不等式组的整数解之和．
20．（8分）已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x 、x
1 2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x ﹣x ＝2，求实数m的值．
1 2
21．（8分）如图，已知A、B、C、D、E是 O上五点， O的直径BE＝2 ，∠BCD＝120°，A
为 的中点，延长BA到点P，使B⊙A＝AP，连接⊙PE．
（1）求线段BD的长；
（2）求证：直线PE是 O的切线．
⊙
22．（8分）随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．
“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行调查，把他们
第4页（共23页）6月1日那天行走的情况分为四个类别：A（0～5000步）（说明：“0～5000”表示大于等
于0，小于等于5000，下同），B（5001～10000步），C（10001～15000步），D（15000步以
上），统计结果如图所示：
请依据统计结果回答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 位好友．
（2）已知A类好友人数是D类好友人数的5倍．
请补全条形图；
①扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为 度．
②若小陈微信朋友圈共有好友150人，请根据调查数据估计大约有多少位好友6月1日
③这天行走的步数超过10000步？
23．（8分）某年5月，我国南方某省A、B两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人被迫转移，邻近县
市C、D获知A、B两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾
区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A、
B两市．已知从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A、B
两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨．
（1）请填写下表
A（吨） B（吨） 合计（吨）
C（吨） 240
D（吨） x 260
总计（吨） 200 300 500
（2）设C、D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范
围；
（3）经过抢修，从D市到B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m
＞0），其余路线运费不变．若C、D两市的总运费的最小值不小于10320元，求m的取值范
第5页（共23页）围．
24．（9分）在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）．
（1）如图1，若EF∥BC，求证：
（2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心， ，求 的值．
25．（10分）已知抛物线y＝a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0， ），且∠BDC＝90°，求点C的坐标；
（3）如图，直线y＝kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．
求证：∠PDQ＝90°；
①求△PDQ面积的最小值．
②
第6页（共23页）2018年湖北省黄石市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个
是符合题目要求的）
1．【分析】依据无理数的三种常见类型进行判断即可．
【解答】解：A、1是整数，为有理数；
B、﹣0.6是有限小数，即分数，属于有理数；
C、﹣6是整数，属于有理数；
D、 是无理数；
故选π：D．
【点评】本题主要考查的是无理数的定义，熟练掌握无理数的三种常见类型是解题的关键．
2．【分析】根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本题得以解
决．
【解答】解：696000千米＝6.96×105米，
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示
方法．
3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原
图重合．
4．【分析】根据同底数幂的乘、除法法则、合并同类项法则计算，判断即可．
【解答】解：A、a3与a4不能合并；
B、a3•a4＝a7，
第7页（共23页）C、a3与a4不能合并；
D、a3÷a4＝ ；
故选：B．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘、除法、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关
键．
5．【分析】找到从几何体的上面所看到的图形即可．
【解答】解：从几何体的上面看可得 ，
故选：A．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置．
6．【分析】根据平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减即可解决问题；
【解答】解：由题意P（﹣5，4），向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点
P'的坐标是（﹣1，2），
故选：C．
【点评】本题考查坐标与平移，解题的关键是记住平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐
标，上移加，属于中考常考题型．
7．【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，即可得到∠BAD＝30°，依据∠BAC＝50°，
AE平分∠BAC，即可得到∠DAE＝5°，再根据△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝
70°，可得∠EAD+∠ACD＝75°．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝25°，
∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°，
∵△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，
∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°，
故选：A．
第8页（共23页）【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形
外角性质以及角平分线的定义的运用．
8．【分析】先计算圆心角为120°，根据弧长公式＝ ，可得结果．
【解答】解：连接OD，
∵∠ABD＝30°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴ 的长＝ ＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题．
9．【分析】先求出两个函数的交点坐标，再根据函数的图象和性质得出即可．
【解答】解：解方程组 得： ， ，
即A（4，1），B（﹣1，﹣4），
所以当y ＞y 时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞4，
1 2
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，能熟记函数的性质和图象是解此
题的关键．
第9页（共23页）10．【分析】在Rt△PMN中解题，要充分运用好垂直关系和45度角，因为此题也是点的移动
问题，可知矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠部分
的形状可分为下列三种情况，（1）0≤x≤2；（2）2＜x≤4；（3）4＜x≤6；根据重叠图形确定
面积的求法，作出判断即可．
【解答】解：∵∠P＝90°，PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM＝45°，
由题意得：CM＝x，
分三种情况：
当0≤x≤2时，如图1，边CD与PM交于点E，
①∵∠PMN＝45°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
此时矩形ABCD与△PMN重叠部分是△EMC，
∴y＝S△EMC ＝ CM•CE＝ ；
故选项B和D不正确；
如图2，当D在边PN上时，过P作PF⊥MN于F，交AD于G，
②∵∠N＝45°，CD＝2，
∴CN＝CD＝2，
∴CM＝6﹣2＝4，
即此时x＝4，
当2＜x≤4时，如图3，矩形ABCD与△PMN重叠部分是四边形EMCD，
过E作EF⊥MN于F，
∴EF＝MF＝2，
∴ED＝CF＝x﹣2，
∴y＝S梯形EMCD ＝ CD•（DE+CM）＝ ＝2x﹣2；
当4＜x≤6时，如图4，矩形ABCD与△PMN重叠部分是五边形EMCGF，过E作
③EH⊥MN于H，
∴EH＝MH＝2，DE＝CH＝x﹣2，
∵MN＝6，CM＝x，
∴CG＝CN＝6﹣x，
∴DF＝DG＝2﹣（6﹣x）＝x﹣4，
第10页（共23页）∴y＝S梯形EMCD ﹣S△FDG ＝ ﹣ ＝ ×2×（x﹣2+x）﹣ ＝﹣
+6x﹣10，
故选项A正确；
故选：A．
【点评】此题是动点问题的函数图象，有难度，主要考查等腰直角三角形的性质和矩形的
性质的应用、动点运动问题的路程表示，注意运用数形结合和分类讨论思想的应用．
二、填空题（本大题给共6小题，每小题3分，共18分）
11．【分析】首先提取公因式xy，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3y﹣xy3，
＝xy（x2﹣y2），
＝xy（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式，要首先
提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．【分析】先利用勾股定理计算出AB的长，再利用直角三角形内切圆的半径的计算方法求
第11页（共23页）出△ABC的内切圆的半径，然后利用圆的面积公式求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，
∴AB＝ ＝10，
∴△ABC的内切圆的半径＝ ＝2，
∴△ABC内切圆的周长＝ •22＝4 ．
故答案为4 ． π π
【点评】本题π 考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三
角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．记住直角三角形内切圆半径的计算方法．
13．【分析】方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程，然后解方程，再进行检验．
【解答】解：方程两边都乘以2（x2﹣1）得，
8x+2﹣5x﹣5＝2x2﹣2，
解得x ＝1，x ＝0.5，
1 2
检验：当x＝0.5时，x﹣1＝0.5﹣1＝﹣0.5≠0，
当x＝1时，x﹣1＝0，
所以x＝0.5是方程的解，
故原分式方程的解是x＝0.5．
故答案为：x＝0.5
【点评】本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程
转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
14．【分析】如图，利用平行线的性质得∠A＝60°，∠B＝45°，在Rt△ACD中利用正切定义可
计算出AD＝100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD＝CD＝100 ，然后
计算AD+BD即可．
【解答】解：如图，
∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
在Rt△ACD中，∵tanA＝ ，
∴AD＝ ＝100，
在Rt△BCD中，BD＝CD＝100 ，
第12页（共23页）∴AB＝AD+BD＝100+100 ＝100（1+ ）．
答：A、B两点间的距离为100（1+ ）米．
故答案为100（1+ ）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的
关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高
或垂线构造直角三角形．
15．【分析】列表或树状图得出所有等可能的情况数，找出数字之积大于9的情况数，利用概
率公式即可得．
【解答】解：根据题意列表得：
2 3 4 5
2 ﹣﹣﹣ （3，2） （4，2） （5，2）
3 （2，3） ﹣﹣﹣ （4，3） （5，3）
4 （2，4） （3，4） ﹣﹣﹣ （5，4）
5 （2，5） （3，5） （4，5） ﹣﹣﹣
由表可知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球
上的数字之积大于9的有8种，
所以两个小球上的数字之积大于9的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解题时要注意此题是放回实验还是不
放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．【分析】观察二人的策略可知：每6局一循环，每个循环中第一局小光拿3分，第三局小光
拿﹣1分，第五局小光拿0分，进而可得出五十局中可预知的小光胜9局、平8局、负8局，
设其它二十五局中，小光胜了x局，负了y局，则平了（25﹣x﹣y）局，根据50局比赛后小
光总得分为﹣6分，即可得出关于x、y的二元一次方程，由x、y、（25﹣x﹣y）均非负，可得
出x＝0、y＝25，再由胜一局得3分、负一局得﹣1分、平不得分，可求出小王的总得分．
【解答】解：由二人的策略可知：每6局一循环，每个循环中第一局小光拿3分，第三局小
光拿﹣1分，第五局小光拿0分．
∵50÷6＝8（组）……2（局），
∴（3﹣1+0）×8+3＝19（分）．
第13页（共23页）设其它二十五局中，小光胜了x局，负了y局，则平了（25﹣x﹣y）局，
根据题意得：19+3x﹣y＝﹣6，
∴y＝3x+25．
∵x、y、（25﹣x﹣y）均非负，
∴x＝0，y＝25，
∴小王的总得分＝（﹣1+3+0）×8﹣1+25×3＝90（分）．
故答案为：90．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正
确列出二元一次方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
17．【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的
性质进而化简得出答案．
【解答】解：原式＝ +1+ +2﹣
＝ +1+ +2﹣
＝4﹣ ．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据三角函数值代入计算可
得．
【解答】解：原式＝ •
＝ ，
当x＝sin60°＝ 时，
原式＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运
算法则．
19．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出整
第14页（共23页）数解即可．
【解答】解：解不等式 （x+1）≤2，得：x≤3，
解不等式 ≥ ，得：x≥0，
则不等式组的解集为0≤x≤3，
所以不等式组的整数解之和为0+1+2+3＝6．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运
算法则是解本题的关键．
20．【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x +x ＝2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与
1 2
系数的关系求出m即可．
【解答】解：（1）由题意得：△＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，
解得：m＜1，
即实数m的取值范围是m＜1；
（2）由根与系数的关系得：x +x ＝2，
1 2
即 ，
解得：x ＝2，x ＝0，
1 2
由根与系数的关系得：m＝2×0＝0．
【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解，能熟记根与系数
的关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键．
21．【分析】（1）连接DE，如图，利用圆内接四边形的性质得∠DEB＝60°，再根据圆周角定理
得到∠BDE＝90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长；
（2）连接EA，如图，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，而A为 的中点，则∠ABE＝45°，
再根据等腰三角形的判定方法，利用BA＝AP得到△BEP为等腰直角三角形，所以∠PEB
＝90°，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】（1）解：连接DE，如图，
∵∠BCD+∠DEB＝180°，
∴∠DEB＝180°﹣120°＝60°，
第15页（共23页）∵BE为直径，
∴∠BDE＝90°，
在Rt△BDE中，DE＝ BE＝ ×2 ＝ ，
BD＝ DE＝ × ＝3；
（2）证明：连接EA，如图，
∵BE为直径，
∴∠BAE＝90°，
∵A为 的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵BA＝AP，
而EA⊥BA，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴∠PEB＝90°，
∴PE⊥BE，
∴直线PE是 O的切线．
⊙
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连
过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
22．【分析】（1）由B类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2） 设D类人数为a，则A类人数为5a，根据总人数列方程求得a的值，从而补全图形；
用①360°乘以A类别人数所占比例可得；
②总人数乘以样本中C、D类别人数和所占比例．
③【解答】解：（1）本次调查的好友人数为6÷20%＝30人，
故答案为：30；
（2） 设D类人数为a，则A类人数为5a，
第16页（共23页）
①根据题意，得：a+6+12+5a＝30，
解得：a＝2，
即A类人数为10、D类人数为2，
补全图形如下：
扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为360°× ＝120°，
②
故答案为：120；
估计大约6月1日这天行走的步数超过10000步的好友人数为150× ＝70人．
③
【点评】此题主要考查了条形统计图、扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得
到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
23．【分析】（1）根据题意可以将表格中的空缺数据补充完整；
（2）根据题意可以求得w与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：（1）∵D市运往B市x吨，
∴D市运往A市（260﹣x）吨，C市运往B市（300﹣x）吨，C市运往A市200﹣（260﹣x）＝
（x﹣60）吨，
故答案为：x﹣60、300﹣x、260﹣x；
（2）由题意可得，
w＝20（x﹣60）+25（300﹣x）+15（260﹣x）+30x＝10x+10200，
∴w＝10x+10200（60≤x≤260）；
（3）由题意可得，
w＝10x+10200﹣mx＝（10﹣m）x+10200，
当0＜m＜10时，
第17页（共23页）x＝60时，w取得最小值，此时w＝（10﹣m）×60+10200≥10320，
解得，0＜m≤8，
当m＞10时，
x＝260时，w取得最小值，此时，w＝（10﹣m）×260+10200≥10320，
解得，m≤ ，
∵ ＜10，
∴m＞10这种情况不符合题意，
由上可得，m的取值范围是0＜m≤8．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，
利用函数和不等式的性质解答．
24．【分析】（1）由EF∥BC知△AEF∽△ABC，据此得 ＝ ，根据 ＝（ ）2即可
得证；
（2）分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H，据此知△AFN∽△ACH，得 ＝ ，
根据 ＝ 即可得证；
（3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，由重心性质知
S△ABM ＝S△ACM 、 ＝ ，设 ＝a，利用（2）中结论知 ＝ ＝ 、 ＝
＝ a，从而得 ＝ ＝ + a，结合 ＝ ＝ a
可关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．
【解答】解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
第18页（共23页）∴ ＝ ，
∴ ＝（ ）2＝ • ＝ ；
（2）若EF不与BC平行，（1）中的结论仍然成立，
分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H，
∵FN⊥AB、CH⊥AB，
∴FN∥CH，
∴△AFN∽△ACH，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ；
（3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，
则MN分别是BC、AC的中点，
∴MN∥AB，且MN＝ AB，
第19页（共23页）∴ ＝ ＝ ，且S△ABM ＝S△ACM ，
∴ ＝ ，
设 ＝a，
由（2）知： ＝ ＝ × ＝ ， ＝ ＝ a，
则 ＝ ＝ + ＝ + a，
而 ＝ ＝ a，
∴ + a＝ a，
解得：a＝ ，
∴ ＝ × ＝ ．
【点评】本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性
质和三角形重心的定义及其性质等知识点．
25．【分析】（1）将点（3，1）代入解析式求得a的值即可；
（2）设点C的坐标为（x ，y ），其中y ＝ （x ﹣1）2，作CF⊥x轴，证△BDO∽△DCF得
0 0 0 0
＝ ，即 ＝ ＝ 据此求得x 的值即可得；
0
（3） 设点P的坐标为（x ，y ），点Q为（x ，y ），联立直线和抛物线解析式，化为关于x的
1 1 2 2
①
方程可得 ，据此知（x ﹣1）（x ﹣1）＝﹣16，由PM＝y ＝ （x ﹣1）2、QN＝
1 2 1 1
第20页（共23页）y ＝ （x ﹣1）2、DM＝|x ﹣1|＝1﹣x 、DN＝|x ﹣1|＝x ﹣1知PM•QN＝DM•DN＝16，即
2 2 1 1 2 2
＝ ，从而得△PMD∽△DNQ，据此进一步求解可得；
过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG＝4，根据S△PDQ ＝ DG•MN列出关于k
②
的等式求解可得．
【解答】解：（1）将点（3，1）代入解析式，得：4a＝1，
解得：a＝ ，
所以抛物线解析式为y＝ （x﹣1）2；
（2）由（1）知点D坐标为（1，0），
设点C的坐标为（x ，y ），（x ＞1、y ＞0），
0 0 0 0
则y ＝ （x ﹣1）2，
0 0
如图1，过点C作CF⊥x轴，
∴∠BOD＝∠DFC＝90°、∠DCF+∠CDF＝90°，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDO+∠CDF＝90°，
∴∠BDO＝∠DCF，
∴△BDO∽△DCF，
∴ ＝ ，
第21页（共23页）∴ ＝ ＝ ，
解得：x ＝17，此时y ＝64，
0 0
∴点C的坐标为（17，64）．
（3） 证明：设点P的坐标为（x ，y ），点Q为（x ，y ），（其中x ＜1＜x ，y ＞0，y ＞0），
1 1 2 2 1 2 1 2
①
由 ，得：x2﹣（4k+2）x+4k﹣15＝0，
∴ ，
∴（x ﹣1）（x ﹣1）＝﹣16，
1 2
如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
则PM＝y ＝ （x ﹣1）2，QN＝y ＝ （x ﹣1）2，
1 1 2 2
DM＝|x ﹣1|＝1﹣x 、DN＝|x ﹣1|＝x ﹣1，
1 1 2 2
∴PM•QN＝DM•DN＝16，
∴ ＝ ，
又∠PMD＝∠DNQ＝90°，
∴△PMD∽△DNQ，
∴∠MPD＝∠NDQ，
而∠MPD+∠MDP＝90°，
∴∠MDP+∠NDQ＝90°，即∠PDQ＝90°；
第22页（共23页）过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，4），
②所以DG＝4，
∴S△PDQ ＝ DG•MN＝ ×4×|x
1
﹣x
2
|＝2 ＝8 ，
∴当k＝0时，S△PDQ 取得最小值16．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解
析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．
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日期：2020/9/18 19:56:13；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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