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2019年中考数学真题分类训练——专题十五：锐角三角形
一、选择题
1．（2019广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先
站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端
O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，
cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）
A．3.2米 B．3.9米
C．4.7米 D．5.4米
【答案】C
2．（2019温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
【答案】B
3．（2019广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC= ，则此斜坡的水平距离AC为
A．75m B．50m
C．30m D．12m
【答案】A
4．（2019台州）如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB=EF=2cm，BC=FG=8cm．把纸片ABCD交叉叠放在
纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα
等于
A． B．
C． D．
【答案】D
5．（2019杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已
知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx
【答案】D
6．（2019金华）如图，矩形ABCD的对角线交于点O．已知AB=m，∠BAC=∠α，则下列结论错误的是
A．∠BDC=∠α B．BC=m•tanα
C．AO D．BD
【答案】C
二、填空题
7．（2019杭州）在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则cosC=__________．
【答案】 或
8．（2019宁波）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航
行，航行一段时间后到达哨所北偏东 60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为__________米．
（精确到1米，参考数据： 1.414， 1.732）【答案】567
9．（2019甘肃）在△ABC中，∠C=90°，tanA= ，则cosB=__________．
【答案】
10．（2019衢州）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是
__________米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．
【答案】1.5
11．（2019舟山）如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC2–BC2 AB2，则tanC=__________．
【答案】
12．（2019金华）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是__________．
【答案】40°
13．（2019湖州）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆
的高度．图 2 是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD=α．若
AO=85cm，BO=DO=65cm．问：当α=74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为__________cm．（参
考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）
【答案】120
14．（2019金华）图 2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，
∠E=∠F=90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F
处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C
滑动：B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB=50cm，CD=40cm．
（1）如图3，当∠ABE=30°时，BC=__________cm．
（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为__________cm2．【答案】（1）90﹣45 ；（2）2256．
三、解答题
15．（2019海南）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向
上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．
（1）填空：∠BAC=__________度，∠C=__________度；
（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．
解：（1）由题意得：∠BAC=90°–60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠C=180°–∠BAC–∠ABC=45°；故答案为：30，45；
（2）∵BP⊥AC，∴∠BPA=∠BPC=90°，
∵∠C=45°，∴△BCP是等腰直角三角形，∴BP=PC，
∵∠BAC=30°，∴PA= BP，
∵PA+PC=AC，∴BP+ BP=10，解得BP=5 –5．答：观测站B到AC的距离BP为（5 –5）海里．
16．（2019台州）图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB长92cm，车杆与脚
踏板所成的角∠ABC=70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位；
参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．
解：过点A作AD⊥BC于点D，延长AD交地面于点E，
∵sin∠ABD ，∴AD=92×0.94≈86.5，
∵DE=6，∴AE=AD+DE=92.5，
∴把手A离地面的高度约为92.5cm．
17．（2019深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向
B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED=500米，测得仰角为53°，求隧道BC长．
（sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ）．解：如图，在Rt△ABD中，AB=AD=600，作EM⊥AC于M，
则AM=DE=500，∴BM=100，
在Rt△CEM中，tan53°= = = ，∴CM=800，
∴BC=CM–BM=800–100=700（米）．
答：隧道BC长为700米．
18．（2019绍兴）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，
CD与AB始终在同一平面上．
（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC=150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．
（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD=165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高
度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据： 1.41， 1.73）解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．
∵∠OEA=∠BOE=∠BAE=90°，
∴四边形ABOE是矩形，
∴∠OBA=90°，
∴∠DBO=150°﹣90°=60°，
∴OD=BD•sin60°=20 （cm），
∴DF=OD+OE=OD+AB=20 5≈39.6（cm）．
（2）如图3，作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，∵∠CBH=60°，∠CHB=90°，
∴∠BCH=30°，
∵∠BCD=165°，∠DCP=45°，
∴CH=BCsin60°=10 cm，DP=CDsin45°=10 cm，
∴DF=DP+PG+GF=DP+CH+AB=（10 10 5）（cm），
∴下降高度：DE﹣DF=20 5﹣10 10 5=10 10 3.2（cm）．
19．（2019天津）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角
为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这
座灯塔的高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．
解：在Rt△CAD中，tan∠CAD= ，
则AD= ≈ CD，
在Rt△CBD中，∠CBD=45°，∴BD=CD，∵AD=AB+BD，∴ CD=CD+30，解得CD=45，
答：这座灯塔的高度CD约为45m．
20．（2019新疆）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一
段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处．
（1）求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离（结果保留根号）；
（2）若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，并说明理由．
（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45）
解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：
则∠PCA=∠PCB=90°，
由题意得：PA=80，∠APC=45°，∠BPC=90°-30°=60°，
∴△APC是等腰直角三角形，∠B=30°，
∴AC=PC= PA=40 ．
答：海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40 海里；
（2）海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，海轮不能在5小时内到达B处，理由如下：∵∠PCB=90°，∠B=30°，∴BC= PC=40 ，
∴AB=AC+BC=40 +40 ，
∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处所用的时间=
≈5.15（小时）＞5小时，
∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，不能在5小时内到达B处．
21．（2019 舟山）某挖掘机的底座高AB=0.8 米，动臂BC=1.2 米，CD=1.5 米，BC与CD的固定夹角
∠BCD=140°．初始位置如图 1，斗杆顶点 D与铲斗顶点 E所在直线 DE垂直地面 AM于点E，测得
∠CDE=70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D
升至最高点（示意图4）．
（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．
（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米？（精确到0.1米）
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34， 1.73）
解：（1）过点C作CG⊥AM于点G，如图1，∵AB⊥AM，DE⊥AM，∴AB∥CG∥DE，
∴∠DCG=180°–∠CDE=110°，
∴BCG=∠BCD–∠GCD=30°，
∴∠ABC=180°–∠BCG=150°；
（2）过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图2，
在Rt△CPD中，DP=CD×cos70°≈0.51（米），
在Rt△BCN中，CN=BC×cos30°≈1.04（米），
所以，DE=DP+PQ+QE=DP+CN+AB=2.35（米），
如图3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，
在Rt△CKD中，DK=CD×sin50°≈1.16（米），
所以，DH=DK+KH=3.16（米），
所以，DH–DE≈0.8（米），
所以，斗杆顶点D的最高点比初始位置约高了0.8米．
22．（2019吉林）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的
长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：
sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）解：如图，过点C作CF⊥AB于F，
则∠AFC=90°，
在Rt△ACF中，AC=30，∠CAF=43°，
∵cos∠CAF= ，
∴AF=AC•cos∠CAF=30×0.73=21.9，
∴CE=BF=AB+AF=170+21.9=191.9≈192（cm）．
答：花洒顶端C到地面的距离CE为192cm．
23．（2019安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》
中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水
面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直
于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．
（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）解：如图，连接CO并延长，与AB交于点D，
∵CD⊥AB，∴AD=BD= AB=3（米），
在Rt△AOD中，∠OAB=41.3°，
∴cos41.3°= ，即OA= = =4（米），
tan41.3°= ，即OD=AD•tan41.3°=3×0.88=2.64（米），
则CD=CO+OD=4+2.64=6.64（米）．
24．（2019江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B–A–O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面
OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm．（结果精确到0.1）．
（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE．
①填空：∠BAO=__________．
②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．
（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）
解：（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG=∠ABC=70°，
∵BC∥OE，∴AG∥OE，
∴∠GAO=∠AOE=90°，
∴∠BAO=90°+70°=160°，故答案为：160；
②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，则AF=AB•sin∠ABF=30sin70°≈28.2（cm），
∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：
AF+AO–CD=28.2+6.8–8=27（cm）；
（2）过点DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，
过A作AF⊥BM于点F，如图3，
则∠MBA=70°，AF=28.2cm，DH=6cm，BC=35cm，CD=8cm，
∴CM=AF+AO–DH–CD=28.2+6.8–6–8=21（cm），
∴sin∠MBC= = =0.6，
∴∠MBC=36.8°，
∴∠ABC=∠ABM–∠MBC=33.2°．
25．（2019甘肃）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的
范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手
的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，
∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到 1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）
解：如图，连接BD，作DM⊥AB于点M，
∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴∠C=∠ABD，AC=BD，
∵∠C=65°，AC=900，
∴∠ABD=65°，BD=900，
∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，
∵381÷3=127，120＜127＜150，
∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，
∵815÷3≈272，260＜272＜300，
∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，
由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．
26．（2019河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝
塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67， ≈1.73）
解：∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55m，
∴tan∠CAE= ，∴AC= = ≈82.1（m），
∵AB=21m，∴BC=AC–AB=61.1（m），
在Rt△BCD中，tan60°= = ，
∴CD= BC≈1.73×61.1≈105.7（m），
∴DE=CD–EC=105.7–55≈51（m）.
答：炎帝塑像DE的高度约为51m．
