文档内容
第 16 讲 构造认证一
内容概述
各种形式的构造问题，解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求，有时应从简单情形入手
寻找规律．本讲的论证问题，一般采用奇偶性或整阵性的分析方法．
典型问题
兴趣篇
1．如图16-1，用1×2和1×3两种规格的小长方形地板砖铺满的地面，至少需要地板砖多少块？
答案：14个
详解：5×8=40
40÷3=13......1
1+3×1=4
(13-1)+4÷2=14
2．国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图16-2中一个皇后（图中五角星）就
把整个3×3的棋盘控制了．为了控制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后？
答案：2个
详解：可以如图示位置放2个皇后 ◎
◎
3．图16-3中的左图为15枚硬币组成的三角形，如果仅移动5枚硬币，要把这些硬币变成右图的
形式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法．
答案：4．把100个橘子分装在6个篮子里，使得每个篮子里装的橘子数都含有数字6，应该如何装？
答案：100=60+16+6+6+6+6
详解：一个篮子放60个，一个篮子放16个，其他4个篮子放6个。
5．把正方体的所有棱染成白色或者红色，要求每个面上至少要有一条棱是白色的．请问：最少
有多少条棱是白色的？
答案：3条
详解：三维方向：上下、左右、前后，各1条，共3条。
6．请在9，8，…，3，2，l的相邻两个数之间填入“ + ”或者“ - ”（不能改变数的顺序），使得结
果是1．能否使得结果是0呢？
答案：（1）能使结果=1，如9-8-7+6+5-4-3+2+1=1；（2）不能使结果=0
详解：
（1）1+2+3+.....+8+9=45，分配和23-22=1，所以可以使结果=1；
（2）同理，1+2+3+.....+8+9=45和为奇数，不能分成两个一样的和相减=0.所以不能使结果=0.
7．如图16-5，能否在三角形的三个顶点各填一个自然数，使得每条边的两个顶点上的数之和都
是奇数？如果能，请写出一种填法；如果不能，请说明理由，
答案：不能
详解：
因为3个顶点的数中至少有两个奇偶性相同，所以至少有某条边的两个顶点上的数奇偶性一样，
而两个数只要奇偶性相同，和就为偶数，所以不可能每条边上顶点上的数之和都是奇数。
8．四位同学进行了一次乒乓球单打比赛，当比赛进行了若干场后，体育老师问他们分别比赛了
多少场．这四位同学回答分别比了1、2、3、3场．老师说：“你们肯定有人记错了．”请问：老
师是怎么知道的呢？
答案：4人所说的比赛场数之和1+2+3+3=9为奇数，与每一场比赛被计算两次总和为偶数矛盾。9．有四个算式：口+口=口，口－口=口，口×口=口，口÷口=口，如果每一个算式中都至少有1
个偶数和1个奇数，那么12个数中一共有多少个偶数？如果没有前面的限制，这 12个数中最少
有多少个偶数？最多有多少个偶数？
答案：（1）6个；（2）最少2个；最多12个。
详解：（1）奇+偶=奇，奇-偶=奇，奇×偶=偶，偶÷奇=偶
（2）满足最少的四个式子：奇+奇=偶，奇-奇=偶，奇×奇=奇，奇÷奇=奇
满足最多的四个式子：偶+偶=偶，偶-偶=偶，偶×偶=偶，偶÷偶=偶
10．有14个孩子，依次给他们编号为1，2，3，…，14.能否把他们分成三组，使得每组都有一
个孩子的编号是该组其它孩子的编号之和．
答案：不能
详解：因为1+2+3+4+........+13+14=105,为奇数，而如果能的话，和应该为偶数，矛盾。
拓展篇
1．图16-6中的左图为21枚硬币组成的三角形，如果仅移动7枚硬币，要把这些硬币变成右图的
形式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法．
答案：
2．小明买来一个1500克的生日蛋糕，他把蛋糕切成了7块，使得无论是3个人还是5个人平分，
都不必再分割蛋糕．这7块蛋糕的重量分别是多少？
答案：分别为300g，300g，300g，200g，200g，100g，100g。3．有4颗外形完全相同的珍珠，其中3颗是真的，另1颗是假的，已知假珍珠比真的要轻，请问：
用一架没有砝码的天平最少称几次就可以找出假珍珠？如果是9颗珍珠里有1颗假的呢？请设计
出方案.
答案：（1）4颗：称2次；（2）9颗：称2次。
详解：
（1）首先，将4颗平均分成两组，4=2+2，
第一次：将两组放于天平两边，假珍珠在轻的那边2颗中；
第二次：将轻的那两颗分别放于天平两边，再称1次，轻的一边就是那颗假珍珠；
（2）首先，将9颗平均分成三组，9=3+3+3，
第一次：取其中两组放天平两边，轻的一边3颗中有1颗假的，如果两边一样重，说明假的在这
两组之外的第三组中，这样就将假珍珠确定在某3颗里面；
第二次：从包含假珍珠的这一组里面任取2颗珍珠放在天平的两边，轻的一边是假珍珠，如果两
边一样重，则第3颗是假珍珠。
4．图16-7中，左边是一把长为6厘米的直尺，其中已标出2条刻度线，用它可以一次量出从1
至6厘米中任意整数厘米的长度．右图为一把长为9厘米的直尺，请你在上面只标出3条刻度线，
使得用这把直尺一次可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度．
答案：将直尺分为：1厘米、1厘米、4厘米、3厘米四段，或者是：1厘米、3厘米、3厘米、2
厘米四段。
5．请将8个1，8个0填人图16-8的16个空格中，使得每行、每列的4个数之和都是奇数．
1 1 1 0
答案：（答案不唯一）如右图 示
0 1 1 1
0 1 0 0
0 0 1 0
6．有一列自然数，其中任意3个相连的数之和都不小于6，而任意4个相连的数之和都小于8．
这个数列最多能有几项？
答案：5项
详解：1 2 3 1 1
7．用7个相同的数字并且适当使用加、减号，可以计算出1000，例如1111 - 111=1000.试用8个
相同的数字（并且适当使用加号、减号）来计算1000.答案：888+88+8+8+8=1000.
8．有12根小木棍，长度分别为l，2，3，4，…，12厘米．
(1)能否用这12根小木棍拼成一个长方形，要求木棍都得用上且不能折断或弯曲；
(2)能否用这12根小木棍拼成一个正方形，要求木棍都得用上且不能折断或弯曲．
答案：（1）能；（2）不能。
详解：
（1）1+2+3+4+.......+11+12=78（厘米），78÷2=39，即可以拼成长+宽=39（厘米）的长方形；
（2）1+2+3+4+.......+11+12=78（厘米），78不能被4整除，所以不能拼成正方形。
9．(1)请在l，2，3，…，19，20的相邻两个数之间填入“+”或者“一”（不能改变数的顺序），使
得结果是0．
(2)能否在1，2，3，…，20，21的相邻两个数之间填人“+”或者“一”（不能改变数的顺序），使
得结果是0．
答案：
（1）能=0，即其中一种填法是1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12+13-14-15+16+17-18-19+20=0；
（2）不能
详解：（1）如给出的填法；
（2）1+2+3+4+5+........+18+19+20+21=231为奇数，不能分成两个一样的数相减=0.
10．有5个亮着的灯泡，每个灯泡都由一个开关控制，每次操作可以拉动其中的2个开关以改变
相应灯泡的亮暗状态，能否经过若干次操作使得5个灯泡都变暗？
答案：不能
详解：每次拉动2个灯，拉灯的总次数为偶数，而5个灯都要亮着拉的总次数应该为奇数，偶数
不可能等于奇数，所以不能。
11．桌上放有5张卡片，小悦先在卡片的正面分别写上1、2、3、4、5，然后冬冬在背面也分别
写上l、2、3、4、5，写完后计算每张卡片上两数之和，再把5个和相乘．问：冬冬能否找到一
种写法，使得最后的乘积是奇数？为什么？
答案：不能
因为：正面和背面所写数的总和为30，是偶数，所以5张卡片上的5个和至少有一个是偶数，那
么5个和的乘积为偶数。
12．将一个三位数改变三个数字的顺序之后可以得到一个新的三位数．请问：这个新的三位数和
原来的三位数之和能不能等于999，如果能，请举出例子；如果不能，请说明理由．
答案：不能
因为：两数相加和为999，肯定没有发生进位，那么原来两数的数字和等于 27；而根据题目所描述的新数与原数数字和相同，两数数字和为偶数，矛盾。
超越篇
1．桌上放有5枚硬币，第一次翻动其中l枚，第二次翻动其中2枚，第三次翻动其中3枚，第四
次翻动其中4枚，第五次翻动其中5枚，能否找到一种翻动硬币的方法，使得最后所有的硬币都
翻过来？如果桌上放有6枚硬币，按类似的方法翻动六次，能否找到一种翻动硬币的方法，使得
最后所有的硬币都翻过来？
答案：（1）翻动5次，能将5枚硬币都翻过来；（2）翻动6次，不能将6枚硬币都翻过来。
详解：
（1）1+2+3+4+5=15，15÷5=3，整除，所以能；
（2）1+2+3+4+5+6=21，21不能被6整除，所以不能。
2．甲、乙、丙、丁四个人，每个人都有一条消息．他们之间通过电话传递消息：当甲与乙两个
人通话时，甲把他当时所知道的一切信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲，请
你设计一种方案，使得只需打电话4次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息．
答案：
可以这样设计：甲和丙通一次电话，乙和丁通一次电话，然后丙和丁通电话，甲和乙通电话。
3．天平称物体的原理是：在天平的左右两个托盘中放人物品和砝码，当天平平衡时，我们可以
根据砝码的重量来知道物品的重量．
(1)在某一类天平中，物品只能放在左边的托盘中，砝码只能放在天平右端的托盘中．至少需要
准备多少个砝码，才能保证一次称出l至20克之间的任意整数克的物品？
(2)在某一类天平中，砝码可以放在天平两端的托盘中，物品也可以放在两边的托盘中，那么至
少需要准备多少个砝码，才能保证一次称出l至32克之间的任意整数克的物品？
答案：（1）5个；（2）4个。
详解：（1）用这5个：1g、2g、2g、5g、10g；（2）用这4个：1g、3g、9g、27g。
4．如图16-9所示，18个孩子站在24个方格中，每格最多站1人，要使得每行每列站的孩子数都
是偶数．请在图中标出这些孩子的站法（只需给出一种站法即可）．
答案：答案不唯一，如图示其中一种站法，0处不站小孩。
0 0
0 0
0 05．如图16-10所示，有3个3x3的方格表，每个都已经填入了9个整数．如果将表中同一行或同
一列的3个数加上相同的整数称为一次操作，问：
(1)下列三个方格表中，是否有某个方格表能通过若干次操作使得表中 9个数都变为相同的数？若
有请指出是哪个或哪个或哪些表格，若没有则说明理由；
(2)是否有某些方格表能够通过若干次操作变得完全一样？若有请指出是哪个或哪些表格，若没有
则说明理由．
答案：（1）不能；（2）不能。
6．(1)能否将1、2、3、4、5围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是2或者3？
(2)能否将1、2、3、4、5、6、7围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是2或者3？
答案：（1）能，如依次为1、3、5、2、4；（2）不能
7．旅店现在有9个单人间，10名旅客可能入住．这10名旅客每次有9个人同时入住，管理员想
事先给每个人配一些钥匙，使得无论是哪9个人入住，总能正好入住这9个房间，而且不用找别
人借钥匙，请问：最少需要多少把钥匙？
答案：18把
8．如图16-11，在五角星图案中共有10个节点（用黑色实心圆点表示），以这些节点为顶点的
三角形共有10个．现在将自然数1至10分别填在10个节点上，将每个三角形中三个顶点处所标
数的和称为此三角形的“特征值”．请问：
(1)是否存在一种填数方法，使得每个三角形的特征值均为偶数；
(2)是否存在一种填数方法，使得每个三角形的特征值都能被 3整除．能则举出例子，不能请说明
理由．
答案：（1）不存在；（2）不存在。
