文档内容
第3讲 还原问题与年龄问题
内容概述
学会用逆推法求解还原问题，处理多个对象时可采用列表的形式，在年龄问题中，通常采用
和差倍问题的分析方法，有时需注意任意两人的年龄差保持不变。
典型问题
兴趣篇
1. 某数加上6，再乘以6， 再减去6，再除以6， 其结果等于6，则这个数是多少？
答案：这个数是1
倒推法解决此问题。
详解：+6 x6 -6 ÷6
1 7 42 36 6
2. 有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝. 这个人出门带了一个酒葫芦，看
到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，这天他一共遇到3家酒店，在最后
一家酒店喝完酒后，葫芦里的酒刚好喝完. 问：原来酒葫芦里有多少两酒？
答案：7两酒。
详解：每经过一个酒店，葫芦里酒的数量就先乘 2，再减8，利用倒推法，我们反过来应该
先加8，再除以2.那么到第3家酒店之前葫芦里应该有（0+8）÷2=4两酒，他在到第2家酒
店之前候应该有（4+8）÷2=6两酒，所以他原来的酒葫芦应该有（6+8）÷2=7两酒。
（0+8）÷2=4（两） （4+8）÷2=6（两） （6+8）÷2=7（两）
3. 某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一
些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱
会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的
钱都是64枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？
答案：原来这个人身上有43元，箱子里有85元。
详解：
身上的钱/元 箱子里的钱/元
开始时 43 85
第一次走过去后 86 42
第一次走回来后 44 84
第二次走过去后 88 40
第二次走回来后 48 80
第三次走过去后 96 32
第三次走回来后 64 64
4. 三棵树上共有48只鸟. 后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之后，第二棵
树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后，第三棵树上又有 10只鸟飞到
了第一棵树上，此时三棵树上的鸟一样多. 问：一开始三棵树上各有几只鸟？
答案：第一棵树上有12，第二棵23，第三棵13
详解：
第一棵树/只 第二颗树/只 第三棵树/只
开始时 12 23 13
第一棵飞到第二棵后 6 29 13
第二棵飞到第三棵后 6 16 26
第三棵飞到第一棵后 16 16 165. 1997年张伯伯45岁，小方9岁，在哪一年张伯伯的年龄是小方年龄的4倍？
答案：小方12岁那年。
详解；我们把小方的年龄看成“1”份，那么张伯伯的年龄就是“4”份，那么他们的年龄差
就是“3”份，因此“1”份是36÷3=12岁。于是小方的年龄应该是12岁，张伯伯的年龄是
小方的4倍。
6. 今年，小明的年龄等于他父母的年龄差；4年后，小明的年龄等于他父母年龄差的3倍. 今年
小明多少岁？
答案：2岁。
详解：
父母的年龄差是不变的，所以我们把父母的年龄差看成“1”份，那么小明现在的年龄是“1”
份，而4年后小明的年龄变成了“3”份。画出线段图。
今年小明年龄；
4年后小明年龄：
4岁
四年后，小明长了4岁，那么他变大的4岁就是“2”份，所以“1”份就是4÷2=2岁，也就是
小明今年2岁。
7. 今年，父亲年龄是儿子年龄的5倍；15年后，父亲年龄是儿子年龄的2倍. 问：现在父子的
年龄各是多少？
答案：儿子5岁。父亲25岁。
详解：根据分析，父亲和儿子的年龄差是今年儿子年龄的4倍，也是15年后儿子年龄的1倍。
所以我们把年龄差看成“4”份，那么今年儿子的年龄是“1”份，15年后儿子的年龄就是
“4”份。
15年后儿子的年龄是比今年的年龄多了“3”份，正好是15岁。因此“1”份就是15÷3=5岁。
于是
今年儿子5岁，父亲今年是5×5=25岁
5－1=4 2-1=3
15÷（4-3）=5（岁） 5×5=25（岁）
8. 兄弟两个年龄之和是32岁. 当哥哥是弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3
倍.求哥哥现在的年龄.
答案：20
详解：过去时，哥哥是弟弟的3倍，年龄差是过去弟弟年龄的2倍，现在弟弟是年龄差的3
倍，哥哥是年龄差的5倍。32÷（3+3+2）=4，即弟弟过去的年龄是4岁，现在是过去年龄
的3倍，4×3=12，即弟弟现在12岁。
32÷（3+3+2）=4（岁）32-（4×3）=20（岁）
9. 学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚 3岁；当你像我这么大时，我已
经39岁了.” 求老师和学生现在的年龄.答案：学生15岁，老师27岁。
详解：39岁与3岁的差别正好是年龄差的3倍，所以师生的年龄差为（39-3）÷3=12岁。
那么学生现在3+12=15岁 老师现在15+12=27岁。
10. 今年，费叔叔的年龄比小悦、冬冬、阿奇三人年龄的总和还多 6岁, 多少年后，费叔叔
的年龄将比他们三人年龄的总和少6岁？
答案：6年后。
详解：现在费叔叔的年龄比小悦、冬冬、阿奇三人年龄总和还多 6岁，那么每过一年他们3
个的年龄和多3岁，费叔叔的年龄只多1岁，6÷（3-1）=3年之后，费叔叔的年龄就和他们
三人年龄的总和一样多。同样的，再过3年，费叔叔的年龄就会比小悦、冬冬、阿奇三人年
龄总和少6岁，所以要3+3=6年之后费叔叔的年龄才会比小悦、冬冬、阿奇三人年龄总和少
六岁。
拓展篇
1. 有一个数，把它加上37，再乘以18，减去323，得到的结果用23去除，商是16，余数是
11.这个数原来是多少？
答案：要求的数是2.
详解：倒推一下：23×16+11=379 379+323=702 702÷18=39 39-37=2
2. 果园里有一棵桃树. 有一天，三只猴子吃了两个桃子并摘下了剩下桃子的一半，最后第三
只猴子吃了三个桃子并摘下了剩下桃子的一半. 这时树上刚好还有四个桃子，原来树上一共
有几个桃子？
答案：原来树上有49个桃子。
详解：
第三只猴子摘下剩下桃子的一半，剩下另一半是 4个，所以在它摘桃子前，树上有4×2=8
个桃子，而在它吃桃子之前，树上有8+3=11个桃子。类似的，在第二只猴子吃桃子前，树
上有11×2+2=24个桃子，在第一只猴子吃桃子前，树上有24×2+1=49个桃子。
3. 地上有26地砖，兄弟二人争着去挑. 弟弟抢在前面，刚挑起一些砖， 哥哥赶到了，挑了
剩下的砖. 哥哥看弟弟挑得太多，就从弟弟那儿抢过一半. 弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一
半. 哥哥不服，弟弟只好再给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块，请问：最初弟弟准备挑
多少块砖？
答案：最初弟弟挑了16块砖。
详解：列表倒推
哥哥挑的砖数 弟弟挑的砖数
开始 10 16
弟弟减半后 18 8
哥哥减半后 9 17
弟弟给哥哥5块后 14 12
4. 甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，使得糖少的人的糖数
增加一倍，经过三次这样的操作后，甲有5块糖，乙有12块糖，两个人原来的糖数分别是
多少？
答案：甲原来有7块糖，乙原来有10块糖。
详解：列表倒推
次数 甲 乙
开始 7 10
第一次给糖后 14 3
第二次给糖后 11 6第三次给糖后 5 12
5. 甲、乙、丙三人的钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比
原来增加了2倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数各增加了
2倍，结果丙的钱最多；最后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数和增加 2倍，结果三
人的钱数一样多，如果他们三人共有81元，那么三人原来分别有多少钱？
答案：甲原来有55元，乙原来有19元，丙原来有7元。
详解：列表倒推
次数 甲 乙 丙
开始 55 19 7
甲将钱分给乙和丙后 3 57 21
乙将钱分给甲和丙后 9 9 63
丙将钱分给甲和乙后 27 27 27
6. 今年张明15岁，他父亲45岁，请问：多少年后，父亲年龄是张明年龄的 2倍？多少年前，
父亲年龄是张明年龄的4倍？
答案：15年后，5年前。
详解：张明和他父亲的年龄差不变，始终是45-15=30岁。当“父亲年龄是张明年龄的2倍”
时，假设张明年龄是1份，那么父亲的年龄是2份，两人的年龄差也是“1”份，由于年龄
差是30岁，那么此时张明的年龄就是30×1=30岁，是现在的30-15=15年后
当“父亲年龄是张明年龄的4倍”时，假设张明年龄是1份，那么父亲的年龄是4份，年龄
差就是“3”份，这时“1”份对应30÷3=10岁，张明的年龄就是10岁，是现在的15-10=5
年前。
（45-15）×（2-1）=30(岁) 30-15=15（年）
30÷（4-1）=10(岁) 15-10=5（年）
7. 12年前，父亲的年龄是女儿年龄的11倍；今年，父亲的年龄是女儿年龄的3倍. 请问：
多少年后父亲年龄是女儿年龄的2倍？
答案：15年后
详解：父亲和女儿的年龄差是今年女儿年龄的2倍，也是12年前女儿年龄的10倍，所以把
父亲和女儿的年龄差设为10份，那么今年女儿的年龄就是5份，而12年前女儿的年龄是1
份，12年前女儿的年龄是比今年的年龄多了4份，因此能算出1份是12÷4=3岁，于是今年
女儿是5行=15岁，而父亲今年是15× 3=45岁，父女年龄差45-15=30岁。当父亲年龄
是女儿年龄的2倍时，那时的女儿年龄就等于年龄差30岁，与女儿今年15岁相比，相当于
30-15=15年后。
8. 去年哥哥的年龄是明年兄弟二人年龄和的一半，前年哥哥的年龄是弟弟的2倍. 求哥哥和弟
弟现在的年龄。
答案：弟弟的年龄是6岁，哥哥是10岁。
详解：前年弟弟的年龄是1份、哥哥的年龄是2份，去年哥哥的年龄是2份+1岁，明年弟弟
的年龄是1份+3岁，哥哥的年龄是2份+3岁。所以(2份+1岁)×2=(1份+3岁)+( 2份+3岁)
1份是4岁。弟弟的年龄是4+2=6岁，哥哥的年龄是2×4+2=10岁。
9. 今年父亲的年龄是48岁，哥哥的年龄是弟弟的2倍, 当弟弟长到哥哥现在的年龄时，父
亲的年龄恰好等于兄弟俩年龄之和，请问：今年哥哥多少岁？
答案：24岁。
详解：在将来的情况下，当弟弟长到哥哥现在的年龄是，弟弟年龄为 2份，哥哥的年龄为
2+1=3份，父亲的年龄是兄弟的年龄和2+3=5份。在现在的情况下即弟弟的年龄是1份，即每人的年龄都少了1份，由此得到现在今年父亲的年龄是5-1=4份，为48岁，所以今年弟弟
的年龄是48÷4=12岁，哥哥今年的年龄是12÷2=24岁。
10. 学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚 5岁；当你像我这么大时，我
已经50岁了。“求老师和学生现在的年龄。
答案：学生20岁，老师35岁
详解： 此类题的关键是年龄差不变，分析清楚过去和现在以及将来的年龄关系就可以了。
5岁
50岁
☆
☆ ：师生现在的年龄
◇ ：将来学生像老师这么大时
△：过去老师像学生这么大时
从上面可以看出，50-5=45岁正好是3个年龄差，所以师生的年龄差为45÷3=15岁
所以现在学生是5+15=20岁，老师是15+20=35岁。
11. 有老师和甲、乙、丙三个学生，现在老师年龄恰为三个学生年龄之和；9年后，老师年
龄为甲、乙两学生年龄之和；又过了3年，老师年龄为甲、丙学生年龄之和；再过3年，老
师年龄为乙、丙两学生年龄之和，求现在各人的年龄。
答案：甲15岁，乙12岁，丙9岁，老师36岁。
详解：老师是1人增加年龄，而学生是3人增加年龄，9年后增加的正好是丙的年龄。同理
（9+3}年后增加的是乙的年龄，（9+3+3）年后增加的是甲的年龄。15+12+9=36（岁）
12. 1年前，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍；4年后，父母的年龄和是兄弟二人年
龄和的4倍，已知爸爸比妈妈大2岁，妈妈今年多少岁？
答案：35岁
详解：设一年前兄弟的年龄和为1份，那么1年前父母年龄和为7份，比兄弟年龄和大6份，
4年后，也就是说比1年前多了4+1=5年，父母年龄和增加了5×2=10岁，兄弟年龄和也增
加了10岁，父母的年龄和还是比兄弟的年龄和大6份，此时父母年龄和是兄弟年龄和的4倍，
所以4年后，兄弟的年龄和是6÷(4-1)=2,比1年前兄弟的年龄和增加了1份，因此1份就
是10岁，1年前父母的年龄和就是10×7=70岁。爸爸比妈妈打2岁，根据和差关系可以求
出1年前妈妈是（70-2）÷2=34岁，那么妈妈今年就是34+1=35岁。
超越篇
1、口渴的三个和尚分别捧着一个水罐。最初，老和尚的水最多，并且有一个和尚没水喝。
于是，老和尚把自己的水全部平均分给了大、小两个和尚；接着，大和尚又把自己的水全部
平均分给了老、小两个和尚；然后，小和尚又把自己的水全部平均分给了另外两个和尚。就
这样，三人轮流谦让了一阵。结果太阳落山时，老和尚的水罐里有 10升水，小和尚的水罐则装着20升水。请问：最初大和尚的水罐里有多少升水？
答案：10升
详解:最后大和尚没有水，也就是说最后一次分的是大和尚，由此倒推，当小和尚分完后的结
果就是最初的情况。
老和尚 大和尚 小和尚
小和尚分完后 20L 10L 0L
老和尚分完后 0L 20L 10L
大和尚分完后 10L 0L 20L
2、甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少。每次操作都是由糖多的人给糖少的人一些糖，
使糖少的人的糖数增加一倍。经过2005次这样的操作后，甲有 10块糖，乙有 8块糖。两
个人原来的糖数分别为多少？
答案：甲 5 乙 13
详解:本题列表如下：
甲 乙
结果 10 8
倒数 1次分之前： 14 4 或甲 5乙 13（不满足往前推）
倒数 2次分之前： 16 2 或甲 7乙 11（不满足往前推）
倒数 3次分之前： 8 10 或甲 17乙 1（不满足往前推）
倒数 4次分之前： 4 14 或甲 13乙 5（不满足往前推）
倒数 5次分之前： 2 16 或甲 11乙 7（不满足往前推）
倒数 6次分之前： 10 8 或甲 1乙 17（不满足往前推）
倒数 7次分之前： 14 4 或甲 5乙 13（不满足往前推）
…… …… …… ……
周期为 6,2005÷6=334……1
说明 2005 次操作和一次操作的作用效果是相同的，那么有两种情况：
甲 14乙4 或甲 5乙13
结合题中条件甲比乙少，可知甲 5乙 13.
3、哥哥对弟弟说：“你长到我这么大的时候，我恰好获得博士学位；我在你这么大的时候，
你刚刚上幼儿园。”已知哥哥和弟弟现在的年龄和为 32岁，哥哥获得博士学位的年龄是弟
弟上幼儿园年龄的7倍，求哥哥获得博士学位的年龄是多少岁。
答案：28岁
详解:因为：哥哥获得博士学位的年龄是弟弟上幼儿园年龄的7倍
所以：他们一共加起来是8份
32÷8＝4 一份量
4×7＝28岁 哥哥年龄
4. 小明跟爷爷聊天。爷爷对小明说：“当我的岁数是你爸现在的岁数时，你才 5岁呢。”
小明对爷爷说：“我的岁数是您现在的岁数时，我爸都 89岁了。”请问：小明的爸爸今年
多少岁？
答案：47岁
详解:此类问题一般是按过去、现在、将来画图进行分析。如图所示
儿子与爸爸年龄差+爸爸与爷爷的年龄差：（89-5）÷2=42（岁）
爸爸今年：42+5=47（岁）
5、1996年时，父母的年龄之和是78岁，兄弟二人的年龄之和是17岁；4年后，父亲年龄是
弟弟年龄的4倍，母亲年龄是哥哥年龄的3倍。试问：当父亲年龄是哥哥年龄的3倍时是公
元多少年？
答案：2001年
详解:
如图，可将爸爸的4份中的1份移到后面，则此时如图所示父亲的变成了弟弟的3份，母亲
的也是哥哥的3份。（17+8）×3=75岁，78—(75-4)=7岁，1份是7+4=11岁。
即4年后，弟弟11岁，1996年时弟弟7岁，哥哥：17-10=10岁，父亲：11×4-4=40岁，
年龄差不变：40-10=30（岁）30÷（3-1）=15（岁）哥哥还要再过 15-10=5（年）
1996+5=2001（年）
6、全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁，四年前他们全家的年龄和为58岁，
而现在是73岁，问现在各人的年龄是多少？
答案：弟弟3岁，姐姐5岁，父亲34岁，母亲31岁
详解: 73-58=15≠4×4，我们知道四个人四年应该增长了4×4=16岁，但实际上只增长了15岁，
为什么呢？是因为在4年前，弟弟还没有出生，那么弟弟今年应该是几岁呢？我们可以这样
想：父亲、母亲、姐姐三个人4年增长了12岁，15-12=3，3就是弟弟的年龄！那么很快能
得到姐姐是3+2=5岁，父母今年的年龄和是73-3-5=65岁，根据和差问题，就可以得到父亲
是（65+3）÷2=34岁，母亲是65-34=31岁.
7、老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个
数的平均数，如此做了7次，这时黑板上三个数的和为159.如果开始时老师在黑板上写的三
个数之和为2008，且所有写过的数都是整数，那么开始时老师在黑板上写的第一个数是多少?
答案：1860
详解: 共有10个数,第10个数是：159/3=53,不妨设第9个数为：53-a；则第8个数是：53+a
第7个数是：53-3a,前推依次为：53+5a、53-11a、53+21a、53-43a、53+85a,第一个数为A：
A+53+85a+ 53-43a=2008,A=1902-42a,规定正整数时，由53-43a、53+85a这两个数，可以得到
a=1，A=1860.
8. ；甲、乙、丙三人现在年龄的和是113岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁，
请问：乙现在多少岁？
答案：乙现在32岁
详解：
