文档内容
第17 讲 数列与数表
内容概述
通过观察数列或数表中的已知数据，发现规律并进行填补与计算的问题，注意数表形式的
多样性，计算时常常考虑周期性，或进行合理估算.
典型问题
兴趣篇
1．1，1，4，2，7，3，10，1，13，2，16，3，19，1，22，2，25，3，…，100．请观察
上面数列的规律，问：(1)这个数列一共有多少项? (2)这个数列所有数的总和是多
少?
答案：67；1783
解析：间隔是是等差数列。
2．观察数组(1，2，3)，(3，4，5)，(5，6，7)，(7，8，9)的规律，求：
(1)第20组中三个数的和；
(2)前20组中所有数的和．
答案：120；1260
解析：（39，40，42），运用等差数列求和公式。
3．一个数列的第一项是l，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一
项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍
请问：
(1)第100项是多少?
(2)前100项的和是多少?
答案：8；975
解析：按规律写：1,2,4,8,16,12,4,8,16,12……四个数为一个周期
4. 如图17-1，方格表中的数是按照一定规律填人的．请观察方格表，并填出“?”处的数．
答案：105
解析：四周数的差是一个等差数列。5．如图17-2，数阵中的数是按一定规律排列的，请问：
(1)100在第几行、第几列?
(2)第20行第3列的数是多少?
答案：（1）第25行第6列；（2）79
解析：两行为一个周期。观察除以8的余数与在第几列之间的关系。
6．如图17-3，从4开始的自然数是按某种规律排列的，请问：
(1)100在第几行，第几列?
(2)第5行第20列的数是多少?
答案：（1）第1第25列；（2）81
解析：两列为一个周期。
7. 如图17-4所示，把偶数2、4、6、8，排成5列．各列从左到右依次为第1列、第2列、
第3列、第4列和第5列，请问：
(1)100在第几行，第几列?
(2)第20行第2列的数是多少?
答案：（1）第15行第2列；（2）138
解析：八个数为一个周期，可以把每个数先除以2转化成简单数列。
8．如图17-5，从1开始的自然数按某种方式排列起来，请问：
(1)100在第几行?100是这一行左起第几个数?
(2)第25行左起第5个数是多少?
答案：（1）第14行左起第9个数；（2）321
解析：观察1，6，15…这样的数都是1加到行数之和。
3，10也是1一直加到行数之和。
9. 如图17-6，把从1开始的自然数排成数阵．试问：能否在数阵中放人一个3×3的方框，
使得它围住的九个数之和等于：
(1)1997；(2)2016；(3)2349．
如果可以，请写出方框中最大的数．答案：只有2349是可以的，最大为269.
解析：和一定是9的倍数，而且中心数必须是第二列到第6列的数。
10. 如图17-7，将1至400这400个自然数顺次填人20 x20的方格表中，请问：
(1)246在第几行，第几列?
(2)第14行第13列的数是多少?
(3)所有阴影方格中数的总和是多少?
答案：（1）13行16列；（2）273；（8020）
解析：周期问题
拓展篇
1．1，100，2，98，3，96，2，94，1，92，2，90，3，88，2，86，l，84，…，0．请观
察上面数列的规律，请问：
(1)这个数列中有多少项是2？
(2)这个数列所有项的总和是多少?
答案：（1）26项；（2）2652
解析：间隔数是等差数列。
2．一列由两个数组成的数组： (1，1)， (1，2)， (2，2)， (1，3)， (2，3)，(3，
3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)，(4，4)，(1，5)，…，请问：
(1)第100组内的两数之和是多少?
(2)前55组中“5”这个数出现了多少次?
答案：23；11次。
解析：数对前面的数规律为 1，1，2，1，2,3,1,2,3,4，…后面的规律为：
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…
3．有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数
的和的个位数．从这列数中取出连续的 50个数，并求出它们的和，所得的和最大是多少?
如果从中取出连续的500个数，500个数的和最大又是多少?
答案：257；2510
解析：3,4,7,1,8,9,7,6,3,9，2,1，3,4,7,1,8,9,7,6,3,9，2,1…12个个数为一个周期。50个数是4
个周期加上9,8最大。500个数求最大是41个周期加上8个最大的数，不加1,2,3,4即可。
4．如图17-8，把从1开始的自然数填在图上，1在射线OA上，2在射线OB上，3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OG上，8在射线OH
上，9又回到射线OA上，如此循环下去，问：78在哪条射线上?射线OE上的第30个数是
多少?
答案：射线OF上；237.
解析：八个数为一个周期，每条线上的数又组成一个等差数列。
5．如图17-9，将从5开始的连续自然数按规律填人数阵中，请问：
(1)123应该排在第几列?
(2)第2行第20列的数是多少?
答案：第24列；101.
解析：周期问题，等差数列。
6．如图17-10所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问：
(1)500在第几行，第几列?
(2)第100行第2列是多少?
答案：第111行，第5列；448.
解析：周期问题。
7．如图17-11所示，数阵中的数字是按一定规律排列的．这个数阵中第60行左起第4个数
字是多少?
答案：9
解析：第60行左起第4个数字是第476个数字。
1-9 9个
10-99 180个100-194 285个
9+180+285=474个 所以第60行左起第4个数字是9
8．中国古代的纪年方法叫“干支纪年”，是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起
来的．天干共十个，其排列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；
地支共十二个，其排列顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．
以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一年．在干支纪年中，
每六十年纪年方式循环一次．
公元纪年则是国际通行的纪年方式．
图17-12是1911年到1926年的公元纪年与干支纪年的对照表．请问：
(1)中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元1911年，是干支纪年的辛亥年，请问公元
2049年是干支纪年的什么年?
(2)21世纪的甲子年是公元纪年的哪一年?
(3)“戊戌变法”发生在19世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年?
答案：己巳年；2044年；1889年
解析：（1）【10,12】=60
2049-1911=138
138÷60=2……18 己巳年
（2）1924+60×2=2044
(3)余数特征
9．如图17-13所示，将1至400这400个自然数填入下面的小三角形中，每个小三角形内
填有一个数. “l”所处的位置为第1行；“2，3，4”所处的位置为第2行；………请问：
(1)第15行正中间的数是多少?
(2)第12行中所有空白三角形内的数之和是多少?
(3)前8行中阴影三角形内的各数之和比空白三角形内的各数之和大多少?
答案：211；1463；176
解析：(1)规律为N(N-1)带入
(2)123+125+127+…+143=1463
(3)1+(4-1)+(9-2)+(16-3) +(25-4)+(36-5)+(49-6)+(64-7)=176
10．如图17-14，把从1开始的自然数按某种方式排列起来．请问：
(1)150在第几行，第几列?
(2)第5行第10列的数是多少?
答案：第6行第13列；86
解析：（1）最右侧数是行数的平方（2）第9行最左侧数是81，所以81+5=86
11．如图17-15，把从l开始的自然数按某种方式排列起来．请问：
(1)200排在第几行，第几列?
(2)第18行第22列的数是多少?
答案：第10行第11列；759。
解析：（1）1+2+3+…19=190
200-190=10行；21-10=11列
（2）18+22-1=39；第39行第一个数是780,780-21=759
12．如图17-16所示，把自然数按规律排列起来．如果用“土”字型阴影覆盖出8个数并
求和，且和为798．这8个数中最大的数是多少?(“土”字不能旋转或翻转)
答案：112
解析：设方程的方法，设方格中任意一个数为 X，用含有X的式子表示其他的方格内数，
他们的和为798，解方程再带入最大求值。
超越篇
1．下面的数组是按一定顺序排列的：
(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，…．请问：
(1)其中第70个括号内的数分别是多少?
(2)前50个括号内各数之和是多少?
答案：
解：（1）把（1，1）看作第一组；（1，2），（2，1）看作第二组；……依次类推每一个
括号内的两个数字之和是它所在组的序号加1.前十一组共有66括号，所以第70个
括号一定属于第十二组。
（2）第一组的和为1×2；第二组的和为2×2；以此类推……前50个括号内的各
数之和为1×2＋2×3＋3×4＋…＋9×10＋5×11＝385.
2. 桌子上有一堆球，如果球的总数量是10的倍数，就平均分成10堆并拿走其中9堆；如
果球的总数量不是10的倍数，就添加不多于9个球，使球数变为10的倍数，再平均分成
10堆并拿走其中9堆．这个过程称为一次“操作”．若球仅为一个，则不做“操作”．如
果最初有194919481947…54321个球，那么经过多少次“操作”后仅余下一个球?解：每操作一次，数位会减少1，当数位减少至一位时是“2”，还可以再进行一次操作，
所以，最初的球数有多少数位就可以进行多少次操作。1×9＋2×(99－10＋1)＋
3×(999－100＋1)＋4×(1949－1000＋1)＝6689（次）。
3．在图17-17所示的数阵中，将满足下面条件的两个数分为一组：它们上下相邻，且和为
391．问：在所有这样的数组中，哪一组内的两个数乘积最小?
解：两个数的和一定时，它们的差越大，乘积越小。由数阵中规律可知，上下相邻的两个
数差最大为29.由和差问题公式，较大数＝（和+差）÷2=（391+29）÷2=210，
较小数=391－210=181，所以，这一组的两个数为181和210.
4．图17-18中的数是按一定规律排列的，郡么第6行第23列的数字是多少?
解 ： 前 22 列 的 数 字 个 数 为 1+2+… +22=253 ， 从 1 至 120 的 数 字 个 数 为
9+2×90+3×21=252，所以，第23列的第1行是121中的“2”，那么第6行就是123中的
“1”。所以，第6行第23列的数字是“1”。
5．将“白、旦、田、由、甲、申”这六个字按如图17-19所示的方式排列．请问：
(1)第1行从左往右数的第15个字是多少?
(2)第1列从上往下数的第25个字是多少?
(3)第25行的第15个字是多少?
解：（1）1+2+…+15=120，第1行从左向右的第15个字是整个图中第120个字，文字排列
周期为6，120÷6=20。所以第120个字是“申”。（2）1+2+…+24+1=301，第1列从上往下数的第25个字是整个图中第301个字，
301÷6=50……1，所以第301个字是“白”。
（3）第25行的第15个字和第39行的第1个字都属于第39斜行，第39行的第1
个字是整个图中第1+2+…+38+1=742个，742÷6=123……4，所以，第39行的第1
个字为“由”，再往后数14个即为第25行的第15个字，为“申”。
6．将自然数从1开始，顺次排成如图17-20所示的螺旋形，其中2，3，5，7，…处为拐点，
请问：
(1)第30个拐点处的数是多少?
(2)前30个拐点处的各数之和是多少?
解：（1）1+1+1+2+2+3+3+4+4+…+15+15=241，第30个拐点处的数是241.
（2）2×30+1×29+（2×28+2×27+3×26+3×25+4×24+4×23+5×22+5×21+…
+15×2+15×1）
=60+29+55×2+51×3+47×4+43×5+…+15×3
=2630
前30个拐点处的各数之和是2630.
7．如图17-2l，把从1开始连续的自然数按照一定的顺序排成数表，如果这个数表有40行，
请通过计算回答下列问题：
(1)第1行的数是多少?
(2)第20行中的最大数与最小数之和是多少?
(3)第35行中的最大数与最小数之和是多少?
解：（1）行数除以3余1时，整个图形可以看成是1和一堆由数字组成的三角形（一个比
一个大）组成的。除了1以外，有13个三角形，最小的是由2，3，4，5，6，7，
8，9，10组成的，总共9个数字
第2个三角形有18个数字，一个比一个多9个数字，最大的三角形117个数字。
最大的三角形顶点在第1行，底在40行。 117个数字第2大的三角形顶点在第3行，底在39行。 108个数字
……
第6大的三角形顶点在第11行，底在35行。 72个数字
……
第10大的三角形顶点在第19行，底在31行。 36个数字
最小的三角形顶点在第25行，底在28行。 9个数字
容易得出，第1行的数是1+（9+18+27+…+117）-39=781.
（2）第20行最小的数字在第10大的三角形中。从最小的三角形到第11大的三角形，
一共3个三角形，再加上1，一共是1+9+18+27=55个数字，因为第10大的三角形
有36个数字，所以第20行最小的数字是55+12+12-1=78，最大800，最大数与最
小数之和为878.
（3）每个三角形里的最小数字都是那个三角形的底从左数第2个数字，从最小的三角
形到第7大的三角形，一共7个三角形，再加上1，一共是
1+9+18+27+36+45+54+63=253个数字，所以第6大的三角形从254开始，也就是第
35行最小的数字是254，最大815，所以，最大数与最小数之和是1069.
8. 如图17-22，25个同样大小的等边三角形拼成了一个大等边三角形．在每个小三角形的
顶点处都标有一个数，使得任何两个相邻小等边三角形所构成的菱形的两组相对的顶点上
所放置的数的和都相等．已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是100、200、
300．求所有顶点上数的总和．
将 个同样大小的等边三角形，拼成一个大等边三角形。 在每个小三角形的顶点处
都标有一个数，使得任何两个相邻小等边三角形所构成的菱形的两组相对的顶点上所放置的数的和都相等。已知在大等边三角形的三个顶点放置的三个数分别是
，求所有顶点上数的总和。
解 下面先证明：在这样一个网格中，任何一条直线段上的数字，必定排列成等差数列。
在上图中，按照定义，必有 和 ，
将 ，就得到 ，即 排列成等差数列。
对于一条直线段上的一串数字 ，用上面同样的推理方法，可以
得到
，
也就是说， 排列成等差数列。
按照上述结论，我们就很容易将各顶点处的数字填写出来。
下面计算所有顶点上数字的总和。
从 到 的直线段上的 个数字，要成为等差数列，必定是
（ ）。
从 到 的直线段上的 个数字，要成为等差数列，必定是
（ ）。
从 到 的直线段上的 个数字，要成为等差数列，
必定是
（ ， ）。
所以，全部数字的总和为
。
例1 设 ， ， ，则有所有顶点上数的总和为
。
例2 设 ， ， ，则有
所有顶点上数的总和为
。
例3 设 ， ， ，则有
所有顶点上数的总和为
。
