文档内容
第20讲 幻方与数阵图扩展
内容概述
掌握幻方的概念，了解三、四阶幻方的构造方法；解决具有与幻方类似性质的数阵图问题；进一步学
习重数分析的方法；通过计算重数来处理数阵图中的最大最小问题.
典型问题
兴趣篇
1. 把1，2，…，9填人图20-1中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相等．
2. (1)如图20-2，在3×3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数
之和都相等．
(2)如图20-3，在4×4的方格表的每个方格中填人恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填
数之和都相等．
3．在图20-4所示的3×4方格表的每个方格中填人恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，各列
所填的数之和也相等．现在一些数已经填出，标有符号“。”的方格内所填的数是多少?
4．如图20-5，请在空格中填人适当的数，组成一个三阶幻方．
5．请将图20-6所示的5×5方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：
方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，l、2、3、4、5恰好各出现一次．请
问：标有符号“△”，“▽”和“○”的方格中所填的数分别是什么?6．请将1至9这9个数填入图20-7中的方框内，使得所有不等号都成立．所有满足要求的填法共有
多少种?
7．请在图20-8所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的两个小圆
圈内所填的数的差(大减小)恰好是1、2、3、4、5、6、7．
8．将1至5这5个数字填入图20-9中的小圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等．
9．请在图20-10中的六块区域内填人1、2、3、4、5、6，使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的区
域内的数之和都相等．
10．将0至9填入图20-11的10块区域中(阴影区域除外)，使得每个圆内的三个数之和都是相等的．
请问：这个和最小是多少?最大是多少?
拓展篇
1．将1，2，3，…，24，25分别填入图20-12的各个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的数的
和相等．现在已经填入了一些数，标有符号“。＊”的方格内所填的数是多少?2．请在图20-13的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各
数之和都相等．
3．(1)在图20-14的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和
都等于19．95．那么，标有“t”的方格内所填的数是多少?
(2)请在图20-15的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中
的各数之和都相等。
4. 如图20-16，大正方形的4个角上已填人4个数，4个数之和是264．奇妙的是, 把这个图倒过来看，
大正方形4个角上的数之和仍然是264．请你在中间的小正方形的4个角的圆圈里，填人另外4个数，
使得每条对角线上的4个数正看和倒看时，其和都是264；而且小正方形角上的4个数正看和倒看时，
其和也都是264．
5．将1、2、3、5、6、7、9、10、11填人图20-17中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都相等．
6．请将1至10填入图20-18中的10个圆圈中(9已经填好)，使得除了第一行外每个圆圈内的数都等于
与它相连的上方两个圆圈内的两数之差．
7．在图20-19的7个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的3个数，居中的数是旁边两个数的
平均数．现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好．8．请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填人图20．20中，使得相同的数所在的方格都连在
一起(相连的两个方格必须有公共边)；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A、B、C、
D、E、F、G各不相同；那么，七位数 是多少?
9．将数字1、2、3、4、5、6、7填人图20-21中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每条直
线上的3个数之和都相等。
10．将1至9填人图20-22中的9个圆圈内，使4个大圆周上的4个数之和都等于16．
11．图20-23中一共有10个方格，现在把2至11这10个自然数填到里面，每个方格各填一个．如果
要求图中的3个2×2的正方形中的4个数之和都相等，那么这个和最小可能是多少?请给出一种填法．
12．如图20-24，大三角形被分成了9个小三角形．试将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入这9个
小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形三条边的每5个数相加的和相等．这5个
数的和最大可能是多少?请给出一种填法．
超越篇
1．请在图20-25的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各
数之和都相等．2. 图20-26是有名的“六角幻方”：将1至19这19个自然数填人图中的圆圈中，使得每一条直线上圆圈
中的各数之和相等．美国的数学爱好者阿当斯从1910年开始，到1962年，用了52年的时间才找到了
解答．我们给大家填入了6个自然数，请你完成这个“六角幻方”．
3．在图20-27中有6个正方形，请你将1至9填人图中，使得每个正方形的4个顶点上的数字之和都
相等．
4．在图20-28的七个圆圈中填人一些自然数，要求所填的自然数中最小的一个数是1，并且相邻两个
圆圈内的数字之差(大数减小数)恰好等于这两个圆圈之间标出的数字．
5．将1至9分别填人图20-29中的9个圆圈内，使图中每条直线(图中有7条直线)上的圆圈内所填数
之和都相等，那么这个和是多少?
6．将0，1，2，…，9这10个数分别填人图20-30中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上
的数之和相等．这个和最大是多少?最小是多少?请分别给出使得和最大、最小的填法．7．在图20-3l中有11个空的圆圈，要求把1至13这些数填入各圈内(其中3、4已经填好)，使得上面
2个圆圈内数的和，等于与它相连的下面的圆圈内的数(例如，虚线框中上面2个圈中的数相加，它们
的和应等于相连的下面1个圈中的数)，并且最下面空着的4个圆圈中的数之和等于43．
8．图20-32中共有10个圆圈，6条直线．请问：
(1)能否将l至10填人图中，使得每条直线上各数之和都相等?
(2)能否将0至9填入图中，使得每条直线上各数之和都相等?
(3)请从1至1l中去掉一个数后，将剩下的数填人图中使得每条直线上各数之和都相等．
