文档内容
第16 讲 统筹与对策
内容概述
生活中的统筹规划问题，包括合理安排顺序、选择最短或最长路线、人员分配、货物调度等，一般采用枚
举、比较和逐步调整的方法. 各种游戏对策问题，在必胜方案中通常要占据关键位置或选取特殊数值，分
析对一般从简单情形出发进行逆推.
典型问题
1．妈妈让冬冬给客人烧水沏茶．洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯
要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．冬冬估算了一下，完成这些工作要花20分钟. 为了尽快给客人沏茶，你
认为最合理的安排，最少需要多少分钟?
2．理发店里同时来了A、B、C三个顾客，A理板寸需要7分钟，B理光头需要10分钟，C烫卷发需要40
分钟．请问：如何安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短?这个最短的时间是多
少?
3．西点店里卖的面包都是5个一袋或3个一袋的，不拆开零售．已知5个一袋的售价是8元，3个一袋的
售价是5元，要给47位同学每人发1个面包最少要花多少钱?
4．如图16-1的方格屏幕上，每个小方格的边长是 1厘米，一条贪吃蛇从左下角出发，沿着格线爬行，如
果它想吃掉图中的3个“★”，最少要爬多远?请画出路线.5．如图16-2所示，一条环形公路上有A、B、C、D四个仓库．A仓库存盐40吨，B仓库存盐5吨，C仓
库存盐35吨，D仓库没有盐．现在要调整存放数量，计划A、B、C、D每个仓库各存盐20吨．已知每吨
盐运l千米需要运费2元．试问：为完成上述调运计划，最少需要多少元运费?(图16-2中公路旁的数字表
示相邻仓库间的里程数，单位为千米)
6．2008个小方格从左到右排成一行，甲、乙两人轮流在空格内放棋子，每人每次放一枚．规定如下：每
个空格至多放一枚棋子；当甲放好一枚棋子后，乙必须在紧挨着这枚棋子的空格内放；而当乙放好棋子后，
甲必须隔一个位子放；谁放不了就判谁输．如果乙一开始在左数第一个方格内放了一枚棋子，谁将有必胜
策略?
7．有9根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取 1根或者2根火柴，以取走最后一根火柴的人为胜者．
试问：如果甲先取，谁有必胜的策略?
8．有100根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取 1根、2根、3根或4根火柴，谁取到最后一根火
柴谁输．甲先取．问：谁有必胜的策略?
9．黑板上写有l，2，3，4，5，…，2009这些自然数，甲先乙后，两人轮流擦去一个自然数．如果最后剩
下的两个自然数奇偶性不同，那么甲就胜，否则乙胜．请问：谁有必胜的策略，具体的策略是怎样的?
10．两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是：每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完
最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜．问：先放者如何取胜?
拓展篇
1．小悦中午做烧豆腐，共需要七道工序，每道工序的时间如下：切豆腐2分钟，切肉片2分钟，准备葱姜
蒜3分钟，准备佐料1分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟．那么小悦烧好这道菜最短需要
多少分钟?
2．小杂货店里有一位售货员卖货，同时来了A、B、C、D、E五个顾客．A买糖果需要2分钟；B买大米
需要6分钟；C买香烟和啤酒需要4分钟；D买水果需要3分钟；E买蔬菜需要5分钟．请问：售货员应该如何安排五个人的顺序，使得这五个人排队等候的时间总和最短?这个最短的时问是多少?(只计算每个人排
队的时间，不计算买东西的时间．)
3．有47位小朋友，老师要给每人发1支红笔和1支蓝笔．商店中每种笔都是5支一包或3支一包，不能
打开零售．5支一包的红笔61元，蓝笔70元，3支一包的红笔40元，蓝笔47元．老师买所需要的笔最少
要花多少元?
4．图16-3是一张道路图，每段路旁标注的数值表示小悦走这段路所需的分钟数．问：小悦从 A出发走到
B最快需要多少分钟?
5．如图16-4，一条路上从西向东有A、B、C、D、E五所学校，分别有200人、300 人、400人、500人、
600人．任意相邻的两所学校之间的距离都是 100米，现在要在某所学校的门口修建一个公共汽车站，要
使所有人到达车站的距离之和最小，车站应该建在什么地方?距离的总和最少是多少?
6．北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给武汉11台、西安5台，每台车
床的运费如图16-5所示，单位为百元．那么总运费最少是多少元?
7．甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他们轮流向如图16-6所示的3×3的方格中放棋子，每次放1
枚，谁的棋子中有3枚连成一条线(横、竖、斜均可)，谁就获胜．如果甲首先占据了中问位置，乙要想不
败，第1枚棋子应该放在哪里?
8．有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取1枚，最多取3枚，以取走最后一枚棋子者为胜者．
如果甲先取，那么谁有必胜策略?如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么谁有必胜策
略?9．现有2008根火柴，甲、乙两个人轮流从中取出火柴．每次最少从中取出2根，最多取出4根．谁无法
再次取出火柴谁就赢．如果甲先取，请问谁有必胜的策略?
10．甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为
零即可，规定取到最后一个球的人赢，现在甲先取球．
(1)如果开始时两堆球数分别是两个和两个，那么谁有必胜策略?请说明理由；
(2)如果开始时两堆球数分别是两个和三个，那么谁有必胜策略?请说明理由；
(3)如果开始时两堆球数分别是五个和八个，那么谁有必胜策略?请说明理由．
11．如图16-7，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿450
角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：谁有必胜策略，策略是什么?如果每次允许往同一方向
(上、右或右上)走任意多步，结果又如何呢?
12．桌上有一块巧克力，它被直线划分成3行7列的21个小方块，如图16-8所示．现在让你和对手进行
一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：
①每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；
②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；
③谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜．
如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜?
超越篇
1．甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的三个车床上车出七个零件，加工各零件所需要的时间分别为 4、
5、6、6、8、9、9分钟．三人同时开始工作。问：经过合理分工，最少经过多少分钟可以车完全部零件?
2．图16-9是某县的道路分布图．小唐要驾车从县城出发，经过甲、乙、丙、丁、戊这些乡镇中的每个至
少一次，并且最后回到县城．已知道路旁边的数值表示汽车通过此段公路所需的分钟数，那么小唐完成计
划的行程最少需要多少分钟?3．如图16-10，有10个村坐落在从县城出发的一条公路上，图中的数字表示各段公路的长度，单位是千
米．现在要安装水管，从县城送自来水供给各村．可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细
管只能供一个村用水。粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元．把粗管和细管适当搭配，互相
连接，可以降低工程的总费用．按你认为最节约的办法，费用应是多少元?
4．甲和乙两人做数学游戏：在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中减去它的某个非零
数字，并用所得的差替换原数．两人轮流走．谁所得到的数是零，就算谁赢．如果开始在黑板上写着数
1994，并且甲先走，问谁有必胜策略?
5．如图16-11，五角星上共有10个交点和15条小线段．甲首先将一枚棋子放在A点上，并由此出发沿某
条小线段将棋子移到相邻的一个交点上，之后乙再将棋子沿某条小线段移到下一个相邻的交点上，之后甲
再走，……，如此下去．如果要求每条小线段都不能重复经过，并且轮到某人无路可走时便判其失败，那么
甲是否有必胜策略?
6．把一枚棋子放在图16-12中左下角的方格内，甲、乙两人玩这样一个游戏：双方轮流移动棋子，只能向
上、向右或者向右上方沿450角移动，一次可以移动任意多格．谁把棋子移到了右上角的方格中即为输，
试问：如果甲先走，是否有必胜的策略，为什么?
7．冬冬中午要炒一个菜，煮一锅饭，烧一壶水．用煤气炉炒菜每道工序的时间如下：切菜4分钟，准备佐
料4分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟．用煤气炉烧水每道工序的时间如下：洗水壶2分
钟，用火烧水15分钟，把开水灌到热水瓶中需要2分钟．用电饭锅煮饭每道工序的时间如下：淘米 4分钟，
煮饭18分钟．冬冬家的煤气炉只有一个煤气灶．请问：冬冬做完这三件事情最短需要多少分钟?
8．甲、乙两人轮流报数，每人都只能报2、3、5、7中的一个，把两人报的数累加．如果某个人报完数后，累加的和第一次为三位数，那么这个人就获胜．请问：谁有必胜策略?
