文档内容
第23讲 最值问题一
内容概述
求最大值与最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，有时还需要局部调整或者
枚举各种可能情形．和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．
典型问题
兴趣篇
1．3个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少?
答案：3
分析：乘积的个位数字是由这三个奇数的个位数字决定的。个位数字可能是：1、3、5、
7、9。通过试验个位是7、9、1的三个连续奇数相乘满足条件，7×9×1=63个位最小是3.
2. 用1、2、4可以组成6个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差
是多少?
答案：9
分析：要使两个数差最小百位数字相同十位与个位数字相近。满足条件的是412和421.差
是421-412=9.
3. 用24根长l厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最大是多少?如果用22根火柴
棒呢?
答案：36平方厘米；30平方厘米。
分析：（1）矩形的周长是24厘米。长和宽的和：24÷2=12（厘米）和为定值的两数的乘
积随两数之差的增大而减少。和是12的两数差为0是积最大。这两个数相等都是6.即长和
宽相等面积是6×6=36（平方厘米）。
（2）周长是22厘米。长和宽的和是22÷2=11（厘米）和是11差是0时，这样的两个数不
是整数。差是1时两数分别为6和5.积是30.
4．三个自然数的和是19，它们的乘积最大可能是多少?
答案：252
分析：和一定差越小积越大。19÷3=6……1，6+6+6=18再加1得19，三个数分别是6、6、
7时积最大。最大是6×6×7=252.
5．(1)请将l、2、3、4填人算式“口口×口口”的方格中．要使得算式结果最大，应该怎么
填?
(2)请将1、2、3、4、5、6填人算式“口口口×口口口”的方格中．要求5、6分别填在百位，
4、3分别填在十位，1、2分别填在个位，并使得算式结果最大．应该怎么填?
答案：（1）41×32 （2）542×631
分析：（1）要使积最大，两个数应尽量大所以4、3分别在十位， 1、2在个位。有两种
情况A：41×32=1×2+2×40+1×30+40×30=1312
B：42×31=1×2+1×40+2×30+40×30=1302比较发现区别在划横线部分，当一个数十位上
的数字与另一个数个位上的数字较大的与较大的相乘，较小与较小的数字相乘时积最大。
最大是41×32
（2）与（1）同理当十位上4与百位上的6相乘，十位上3与百位上5相乘；个位2与百位
上6相乘，个位1与百位5相乘时积最大。其中一个数百位是6十位是3个位是1即631。
另一个是542.
6. 在图23-1的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的数之差(大减小)，然后把这3
个差数相加，所得的和最小是多少?
答案：7分析：当中间数是7时和最小，和最小是7。
7. 在所有包含3个相同数码的四位数中，与1389之差(大减小)最小的一个是多少?
答案：1411
分析：与1389之差(大减小)尽量与1389相近。所以千位是1，百位是3或4，十位和个位
是1.即可能是1311或1411.通过计算与1389之差(大减小)差最小的是1411.
8. 把1、2、3、4、5、6填人算式“□□□－□□□”的空格中，要求前一个三位数比后
一个三位数大．这个减法算式的结果最大可能是多少?最小可能是多少?
答案：最大：531 最小：47
分析：满足结果最大，被减数应尽量大，减数应尽量小。被减数最大是 654，减数最小是
123。
结果最小，两数应接近。被减数是412，减数是365时结果最小。
9. 一个自然数是由数字8、9组成的，它的任意相邻两位都可以看成一个两位数，并且这
些相邻数字组成的两位数都不相等．请问：满足条件的自然数最大是多少?
答案：99889
分析：由8和9组成的两位数可能是88、89、99、984种情况。.要使数最大数的位数尽量
大，相邻数字组成的两位数出现以上4种情况。满足条件的数由高位到低位排列可称为第
1位、第2位、第3位…第1位第2位组成的数最大是99，第2位第3位组成的数最大是98
第3位第4位组成的数是 88，第,4位第5位组成的数是 89. 满足条件的自然数最大是
99889.
10. 有7个盘子排成一排，依次编号为1，2，3，…，7．每个盘子中都放有若干玻璃球，
一共放了80个．其中1号盘里放了18个玻璃球，并且任意编号相邻的3个盘子里放的玻
璃球组成的数之和都相等．请问：第6个盘子中最多可能放了多少个玻璃球?
答案：12
分析：任意编号相邻的3个盘子里放的玻璃球组成的数之和都相等。1、2、3号盘与2、
3、4号盘玻璃球一样多。所以1号和4号盘都有18个。依次往后推7号盘也有18个。
前6盘有80-18=62个，相邻的3盘有62÷2=31个。
4、5、6这3个盘，4号盘有18个要使第6个盘子中最多5号应最少最少有1个，第6个盘
最多有31-18-1=12个。
拓展篇
1.3个连续自然数相乘，所得乘积的个位数字最大可能是多少?
答案：6
分析：只需考虑3个自然数的个位。个位上有0----9 十种可能。通过试验得3个连续自然
数个位是1、2、3满足条件。
2. (1)在五位数12435的某一位数字后面再插入一个同样的数字(例如：可以在2的后面插入
2得到122435)，这样得到的六位数最大可能是多少?
(2)在七位数9876789的某一位数字后面再插入一个同样的数字，这样得到的八位数最小是
多少?
答案：最大124435 最小98766789
分析：（1）使结果最大所插数字应尽量大且数位尽量靠前。试验得出最大是124435.
（2）使结果最小，所插数字应尽量小且数位尽量靠后。试验得出最小是98766789.
3．有9个同学要进行象棋比赛．他们准备分成两组，不同组的人相互之间只比赛一场，同
组的人之间不比赛．他们一共最多能比赛多少场?
答案：20
分析：两组比赛的场数是两组人数的乘积。两组人数的和是 9要使乘积最大两组人数应相近。4+5=9，两组人数分别是4和5时比赛场数最多，一共比赛4×5=20场。
4．3个互不相同的自然数之和是17，它们的乘积最大可能是多少?
答案：168
分析：三个数和一定，差越小积越大。6+6+5=17但有相同的数，再做调整得7+6+4=17.积
是7×6×4=168。
5．请将2、3、4、5、6、8填人算式“口口口×口口口”的方格中．要使得算式结果最大，
应该怎么填?
答案：842×653
分析：百位最大填8和6，十位填4和5，个位填2和3。当一个数十位上的5与另一个数
百位上的8相乘，一个数个位上的3与另一个数百位上的8相乘时积最大。所以两个三位
数分别是842和653。
6．请将6、7、8、9填人算式“口×口+口口”的方格中．要使得算式结果最大，应该怎么
填?
答案：7×8+96
分析:两数乘积与所加的两位数应尽量大。
9×8+76=148， 8×7+96=152比较发现最大填7×8+96。
7．在图23-2的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的数之差(大减小)，然后把这5
个差数相加，所得的和最小是多少?
答案：19
分析：当中间数是19时和最小，和最小是
19.
8．如果7个互不相同的自然数之和为100，那么其中最小的数最大可能是多少?最大的
数最小可能是多少?
答案：11；18
分析：7个互不相同的自然数最小分别是 0、1、2、3、4、5、6这7个数的和是21.100-
21=79以上7个数分别加上相同的数也得到7个不同的数。79÷7=11…2，7个自然数都加
上11，得11----17，7个数。余数2可加到最大的两个数中。所以最小是11最大是18。
9．一个多位数的各位数字互不相同，而且各位数字之和为 23．这样的多位数最小可能是
多少?最大可能是多少?
答案：最小689 最大8543210
分析：要使最小，位数应尽量少。23可最少拆成3个不同的一位数的和。即23=6+8+9.所
以最小是689.
要使最大，位数应尽量多。6个互不相同的自然数最小是0+1+2+3+4+5+6=21，23-21=2，
0+1+2+3+4+5+8=23.最大是8543210。
11．如图23-3，这是一个正方体的展开图．将它折成一个正方体后，相交于同一顶点的 3
个面上的数之和最大是多少?
答案：13
分析：1---6个数中3个数的和从大到小分析
最大的三个数是6+5+4=15，
从图中看出6、5、4不相交于同一顶点。再次6、5、3也不想交与同一顶点。6、4、3相交与
同一顶点。6+4+3=13.
12．如图23-4，在一个正方体方块的左下角A点处有一只蚂蚁，它要沿着正方体的表面爬
行至右上角的B点，去搬运一块食物．为了使得这个蚂蚁所走的路线长度最短，它应该怎
么爬行?它可以选择的最短路线一共有几条?
答案：6
分析: A、B没在同一平面上，不可以连接，蚂蚁
只能从表面爬过去, A、B所在的两个面展开就在同
一平面上了。直接连接A、B就是最短路线。
展开A、B所在的两个面有6种情况（正面和上面、正面和右面、下面和后面、下面和右面、
左面和上面、左面和后面）。所以最短路线有6条。
超越篇
1．一个两位数除以它的各位数字之和，余数最大是多少?
答案：15
1、分析： 首先，由于余数＜除数。所以余数要最大，那么除数就要尽量大。而除数最大
是18。
（1） 除数为18，这个两位数只能为99，99÷18余9；
（2） 除数为17，这个两位数只能为98、89，98÷17余13，89÷17余4；
（3） 除数为16，这个两位数只能为97、79、88,97÷16余1,79÷16余15、88÷16
余8.
（4） 除数≤15时，余数小于15.
所以余数最大为15.
2．4个小朋友，每人的体重都是整数千克，而且其中任意3人体重之和都大于99千克．这
4个小朋友体重之和最小是多少千克?
答案：134千克。
分析：不妨设这四人的体重为A、B、C、D，且A≤B≤C≤D,都是整数。由于A+B+C＞99，
所 以 A+B+C≥100.所以C≥34.从而D≥C≥34.所以A+B+C+D≥100+D≥100+34=134.
3．将1至30依次写成一排：123…2930，形成一个多位数．从这个多位数中划掉45个
数字，剩下的数最大是多少?如果要求剩下的数首位不为0，这个数最小是多少?
答案：最大998930 最小100120
分析：1至30共51个字码。所以去掉 45个还余下 6个字码。要最大，则高位尽量大
998930， 要最小，高位尽量小100120.
4．用1、2、3、4、6、7、8、9这8个数字组成2个四位数，使这2个数的差最小(大减小)，
这个差最小是多少?
答案：139
分析：如图易知：要让两数之差尽量小，A只能比E大1，且FGH要尽量大，最大为987.而
BCD 要尽量小，且由 6-4=2 知，BCD 为 126.最后得：4126-3987=139.
5．将2至8这7个自然数填入算式“口口×口口一口口÷口”的方格中．如果算式的计算结
果为整数，那么这个结果最大是多少，最小是多少?
答案：最大6452 最小827
分析： 要让M尽量大，易知要 × 尽
量大， ÷G 尽量小。且 × 影响更大，应优先满足。这时他们最大为
85×76=6460，这时 ÷G最小为32÷4=8。6460-8=6452.要让M尽量小，易知要 ×
尽量小， ÷G 尽量大。且 × 影响更大，优先满足。这时他们最小为
24×35=840，这时 ÷G最大为78÷6=13.840-13=827.
6．如图23-5，一只木箱的长、宽、高分别为5厘米、3厘米、4厘米．有一只甲虫从A点
出发，沿棱爬行，每条棱只允许爬一次．甲虫最多能爬行多少厘米?如果要求甲虫最后回到
A点，那么它最多能爬行多少厘米?
答案：39厘米，34厘米
分析：这是一个一笔画问题，且每个点的度数为3，都是奇数。
（1） 8个点至少要去掉3条线。这时候尽量去掉长度短的线，即去掉 3条长度为3
的线。这时去掉 BC、FG、EH 即可。路线为 A-B-F-E-A-D-H-G-C-D,共
5×4+4×4+3×1=39厘米。
（2） 若而从A出发，最后要回到A点，那么8个点要去掉4条线。这时候尽量去掉
长度短的线，很明显去掉4条长度为3的线是不行的。假如去掉3条长度为3
的线，这时从四边形ABEF的某个点到DCHG后就没线回来了。所以最多去掉2
条长度为3的线。去掉BC、FG、HD、AE即可。这时的路线为A-B-F-E-H-G-C-
D-A,共5×4+4×2+3×2=34厘米。
7．如图23-6，黑板上写有一个三位数减三位数的算式，其中首位已经确定．接下来，甲每
次报一个数字，乙就把它放入四个方框中的一个，甲要使得差尽量大，乙要使得差尽量小
如果两人都使用最佳的策略，那么最后的差是多少?答案：140
分析：甲要使得A-C尽量大，而乙要使得尽量小。所以开始甲只能报4或者5，若甲第一个
数报6、7、8、9，那么乙只要把这个数填在C出即可，这时A-C≤9-6=3. 若甲第一个数报
0、1、2、3，那么乙只要把这个数填在A出即可，这时A-C≤3-0=3.并且，甲报完4（5）
后，只能一直报0（9）。否则，随便你报一个另外的数m，乙把m填到C（A），这时A-C
就小于4了。所以这个值最大为299-159=140，或者240-100=140.并且，若甲第一个数报
5，而乙填到B或D处，这时甲只需继续报5即可，直到乙把C处填5为止。
8．一栋大楼共33层，电梯停在第1层，现在有32个人分别要去第2层、第3层……第33
层，他们可以选择坐电梯或者走楼梯．有一天电梯坏了，电梯只能在某一层停，每个人可
以选择走楼梯上楼或乘电梯到这一层再走楼梯．每个人上一层楼梯会有 3份不满意，下一
层楼梯会有1份不满意．请问：电梯停在哪一层，才能使得所有人不满意的总份数最小?
答案:316份
分析： 假设电梯停在了A层，那么往上的楼层都要爬。且不高于B层的人都是从1层往
上走，此时(B-1)×3≤（A-B）,即4（B-1）≤（A-1）。这时，若电梯往下停一楼，则从A
到33楼，会增加3（33-A+1）份不满意度，从B+1到A-1楼，会减少A-B-1份不满意度。
而A-1为4的倍数时，B楼也会由从下往上变成从上往下，从而减少1份不满意。所以，若
电梯直接到33楼时，这时2到9楼的往上爬，最少有（1+2+…+8）×3+（1+2+…+23）
=384份不满意。然后我们再考虑往下移动。
（3） 停在32楼，则B=8，这时9楼由24份不满变成23份，不满意数为384-（24-
23）-23+3=363份
（4） 停在31楼，则不满意数为363-23+6=346份
（5） 停在30楼，则不满意数为346-22+9=333份
（6） 停在29楼，则不满意数为333-21+12=324份
（7） 停在28楼，则B=7，这时第8楼由21份不满意变成20份，不满意数为324-
（21-20）-20+15=318份
（8） 停在27楼，则不满意数为327-20+18=316份
（9） 当停的楼层不高于26层时，不满意度减少的份上将不大于19，而增加的不满意份数将不小于21份。
所以电梯应停在27层，这时不满意度为316份.
