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2019年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小3分，共30分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答
案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记3
分，不涂、填涂或多涂记0分．
1．（3分）如果6a＝1，那么a的值为（ ）
A．6 B． C．﹣6 D．﹣
2．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．x+x2＝x3 B．（x2）3＝x5 C．x6÷x2＝x3 D．x•x2＝x3
3．（3分）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）在2019年南充市初中毕业升学体育与健康考试中，某校九年级（1）班体育委员对
本班50名同学参加球类自选项目做了统计，制作出扇形统计图（如图），则该班选考乒乓
球人数比羽毛球人数多（ ）
A．5人 B．10人 C．15人 D．20人
5．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝
5，则△ACE的周长为（ ）
第1页（共25页）A．8 B．11 C．16 D．17
6．（3分）关于x的一元一次方程2xa﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
7．（3分）如图，在半径为6的 O中，点A，B，C都在 O上，四边形OABC是平行四边形，则
图中阴影部分的面积为（ ⊙ ） ⊙
A．6 B．3 C．2 D．2
8．（3分π）关于x的不等式2x+a≤π1只有2个正整数解，π则a的取值范围为π（ ）
A．﹣5＜a＜﹣3 B．﹣5≤a＜﹣3 C．﹣5＜a≤﹣3 D．﹣5≤a≤﹣3
9．（3分）如图，正方形MNCB在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB得到折痕AE，再
翻折纸片，使AB与AD重合，以下结论错误的是（ ）
A．AH2＝10+2 B． ＝
C．BC2＝CD•EH D．sin∠AHD＝
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a＞0，顶点坐标为（ ，m），给出下列结论：
第2页（共25页）若点（n，y ）与（ ﹣2n，y ）在该抛物线上，当n＜ 时，则y ＜y ； 关于x的一元二次
1 2 1 2
① ②
方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，那么（ ）
A． 正确， 正确 B． 正确， 错误
C．①错误，②正确 D．①错误，② 错误
二、填①空题（本大②题6个小题，每小是3分，共18分①）请将答②案填在答题十对应的横线上
11．（3分）原价为a元的书包，现按8折出售，则售价为 元．
12．（3分）如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH＝
度．
13．（3分）计算： + ＝ ．
14．（3分）下表是某养殖户的500只鸡出售时质量的统计数据．
质量/kg 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
频数/只 56 162 112 120 40 10
则500只鸡质量的中位数为 ．
15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（3m，2n）在直线y＝﹣x+1上，点B（m，n）在双曲线
y＝ 上，则k的取值范围为 ．
16．（3分）如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动，顶点B在x轴的
正半轴及原点上滑动，点E为AB的中点，AB＝24，BC＝5．给出下列结论： 点A从点O
出发，到点B运动至点O为止，点E经过的路径长为12 ； △OAB的面①积最大值为
π ②
144； 当OD最大时，点D的坐标为（ ， ）．其中正确的结论是 ．
③
（填写序号）
第3页（共25页）三、解答题（本大题共9个小题，共72分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
17．（6分）计算：（1﹣ ）0+| ﹣ |﹣ +（ ）﹣1．
π
18．（6分）如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC．
（1）求证：△AOD≌△OBC；
（2）若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数．
19．（6分）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字﹣2，﹣1，0，2，把这四张卡
片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）随机的取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为负数的概率．
（2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取
一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点A在直线y
＝2x上的概率．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m＝2时，方程的根为x ，x ，求代数式（x 2+2x ）（x 2+4x +2）的值．
1 2 1 1 2 2
21．（8分）双曲线y＝ （k为常数，且k≠0）与直线y＝﹣2x+b，交于A（﹣ m，m﹣2），B（1，
n）两点．
（1）求k与b的值；
（2）如图，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，若点E为CD的中点，求△BOE的面积．
第4页（共25页）22．（8分）如图，在△ABC中，以AC为直径的 O交AB于点D，连接CD，∠BCD＝∠A．
（1）求证：BC是 O的切线； ⊙
（2）若BC＝5，B⊙D＝3，求点O到CD的距离．
23．（10分）在“我为祖国点赞“征文活动中，学校计划对获得一，二等奖的学生分别奖励一
支钢笔，一本笔记本．已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记
本共70元．
（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？
（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按
购买50支的单价售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，
其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖
品总金额最少，最少为多少元？
24．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG，DF
与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG．
（1）求证：CD⊥CG；
（2）若tan∠MEN＝ ，求 的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为 ？请说明理由．
第5页（共25页）25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0），且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，且∠POB＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M，
N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E．
求DE的最大值；
①点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形．
②
第6页（共25页）2019年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小3分，共30分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答
案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记3
分，不涂、填涂或多涂记0分．
1．【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：∵6a＝1，
∴a＝ ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．
2．【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则及幂的乘方分别计算得出
答案．
【解答】解：A、x+x2，无法计算，故此选项错误；
B、（x2）3＝x6，故此选项错误；
C、x6÷x2＝x4，故此选项错误；
D、x•x2＝x3，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除运算法则及幂的乘方，正确掌握相
关运算法则是解题关键．
3．【分析】由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答．
【解答】解：由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是三棱柱．
故选：C．
【点评】考查了几何体的展开图，解题时勿忘记三棱柱的特征．
4．【分析】先根据扇形统计图中的数据，求出选考乒乓球人数和羽毛球人数，即可得出结论．
【解答】解：∵选考乒乓球人数为50×40%＝20人，
选考羽毛球人数为50× ＝10人，
∴选考乒乓球人数比羽毛球人数多20﹣10＝10人，
故选：B．
第7页（共25页）【点评】此题主要考查了扇形统计图的应用，求出选考乒乓球人数和羽毛球人数是解本题
的关键．
5．【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，然后利用等线段代换即可得到△ACE的周
长＝AC+BC，再把BC＝6，AC＝5代入计算即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE
＝AC+CE+BE
＝AC+BC
＝5+6
＝11．
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平
分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
6．【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．
【解答】解：因为关于x的一元一次方程2xa﹣2+m＝4的解为x＝1，
可得：a﹣2＝1，2+m＝4，
解得：a＝3，m＝2，
所以a+m＝3+2＝5，
故选：C．
【点评】此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解
答．
7．【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到AB＝OC，推出△AOB是等边三角形，得到
∠AOB＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB＝OC，
∴AB＝OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵OC∥AB，
第8页（共25页）∴S△AOB ＝S△ABC ，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB ＝ ＝6 ，
π
故选：A．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题
的关键．
8．【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有两个正整数解即可得到一
个关于a的不等式，求得a的值．
【解答】解：解不等式2x+a≤1得：x≤ ，
不等式有两个正整数解，一定是1和2，
根据题意得：2≤ ＜3，
解得：﹣5＜a≤﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等
式应根据不等式的基本性质．
9．【分析】首先证明四边形ABHD是菱形，利用勾股定理求出AB，AD，CD，EH，AH，一一判
断即可解决问题．
【解答】解：在Rt△AEB中，AB＝ ＝ ＝ ，
∵AB∥DH，BH∥AD，
∴四边形ABHD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABHD是菱形，
∴AD＝AB＝ ，
第9页（共25页）∴CD＝AD﹣AC＝ ﹣1，AH＝ ＝ ，
∴ ＝ ，故选项A，B正确，
∵BC2＝4，CD•EH＝（ ﹣1）（ +1）＝4，
∴BC2＝CD•EH，故选项C正确，
∵四边形ABHD是菱形，
∴∠AHD＝∠AHB，
∴sin∠AHD＝sin∠AHB＝ ＝ ≠ ，故选项D错误，
故选：D．
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，菱形的判定和性质等知识，解题
的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．【分析】 根据二次函数的增减性进行判断便可；
先把顶点①坐标代入抛物线的解析式，求得m，再把m代入一元二次方程ax2﹣bx+c﹣
②m+1＝0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误．
【解答】解： ∵顶点坐标为（ ，m），n＜ ，
①
∴点（n，y ）关于抛物线的对称轴x＝ 的对称点为（1﹣n，y ），
1 1
∴点（1﹣n，y ）与（ ﹣2n，y ）在该抛物线上，
1 2
∵（1﹣n）﹣（ ﹣2n）＝n﹣ ＜0，
∴1﹣n＜ ﹣2n，
∵a＞0，
∴当x＞ 时，y随x的增大而增大，
∴y ＜y ，故此小题结论正确；
1 2
把（ ，m）代入y＝ax2+bx+c中，得m＝ a+ b+c，
②
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0中，△＝b2﹣4ac+4am﹣4a＝b2﹣4ac+4a（ a+
第10页（共25页）b+c）﹣4a＝（a+b）2﹣4a＜0，
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，故此小题正确；
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第 小题，关键是通过
抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数①的增减性进行比较，
第 小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负．
二、填②空题（本大题6个小题，每小是3分，共18分）请将答案填在答题十对应的横线上
11．【分析】列代数式注意： 仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔
细辩析词义．如“除”与①“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区
分． 分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．
【解答②】解：依题意可得，
售价为 ＝ a，
故答案为 a．
【点评】本题考查了列代数式，能根据题意列出代数式是解题的关键．
12．【分析】根据正方形的性质得到AB＝AD，∠BAD＝90°，在正六边形ABEFGH中，求得AB
＝AH，∠BAH＝120°，于是得到AH＝AD，∠HAD＝360°﹣90°﹣120°＝150°，根据等腰三
角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
在正六边形ABEFGH中，∵AB＝AH，∠BAH＝120°，
∴AH＝AD，∠HAD＝360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴∠ADH＝∠AHD＝ （180°﹣150°）＝15°，
故答案为：15．
【点评】本题考查了正多边形和圆，多边形的内角与外角，等腰三角形的判定和性质，正确
的识别图形是解题的关键．
13．【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝ ﹣ ＝ ＝x+1．
故答案为：x+1
第11页（共25页）【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．【分析】根据中位数的概念求解可得．
【解答】解：500个数据的中位数是第250、251个数据的平均数，
∵第250和251个数据分别为1.4、1.4，
∴这组数据的中位数为 ＝1.4（kg），
故答案为：1.4kg．
【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果
数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是
偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
15．【分析】根据一次函数图象上点的特征求得n＝ ，即可得到B（m， ），根据反
比例函数图象上点的特征得到k关于m的函数，根据二次函数的性质即可求得k的取值
范围．
【解答】解：∵点A（3m，2n）在直线y＝﹣x+1上，
∴2n＝﹣3m+1，即n＝ ，
∴B（m， ），
∵点B在双曲线y＝ 上，
∴k＝m• ＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴k有最大值为 ，
∴k的取值范围为k≤ ，
∵k≠0，
故答案为k≤ 且k≠0．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，二
次函数的性质，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
第12页（共25页）16．【分析】 由条件可知AB＝24，则AB的中点E的运动轨迹是圆弧，最后根据弧长公式即
可计算出①点E所经过的路径长； 当△OAB的面积最大时，因为AB＝24，所以△OAB为
等腰直角三角形，即OA＝OB，可②求出最大面积为144； 当O、E、D三点共线时，OD最
大，过点D作DF⊥y轴于点F，可求出OD＝25，证明△D③FA∽△AOB和△DFO∽△BOA，
可求出DF长，则D点坐标可求出．
【解答】解：∵点E为AB的中点，AB＝24，
∴OE＝ ，
∴AB的中点E的运动轨迹是以点O为圆心，12为半径的一段圆弧，
∵∠AOB＝90°，
∴点E经过的路径长为 ，故 错误；
①
当△OAB的面积最大时，因为AB＝24，所以△OAB为等腰直角三角形，即OA＝OB，
∵E为AB的中点，
∴OE⊥AB，OE＝ ，
∴ ＝144，故 正确；
②
如图，当O、E、D三点共线时，OD最大，过点D作DF⊥y轴于点F，
∵AD＝BC＝5，AE＝ ，
∴ ＝13，
∴OD＝DE+OE＝13+12＝25，
设DF＝x，
∴ ，
第13页（共25页）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∴∠DFA＝∠AOB，
∴∠DAF＝∠ABO，
∴△DFA∽△AOB
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵E为AB的中点，∠AOB＝90°，
∴AE＝OE，
∴∠AOE＝∠OAE，
∴△DFO∽△BOA，
∴ ，
∴ ，
解得x＝ ，x＝﹣ 舍去，
∴ ，
∴ ．故 正确．
③
故答案为： ．
【点评】本题②考③查四边形综合题、直角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等
知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
17．【分析】根据实数的混合计算解答即可．
【解答】解：原式＝1+ ．
【点评】此题考查二次根式的混合计算，关键是根据实数的混合计算解答．
18．【分析】（1）根据线段中点的定义得到AO＝BO，根据平行线的性质得到∠AOD＝
第14页（共25页）∠OBC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵点O是线段AB的中点，
∴AO＝BO，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠OBC，
在△AOD与△OBC中， ，
∴△AOD≌△OBC（SAS）；
（2）解：∵△AOD≌△OBC，
∴∠ADO＝∠OCB＝35°，
∵OD∥BC，
∴∠DOC＝∠OCB＝35°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判
定和性质是解题的关键．
19．【分析】（1）由概率公式即可得出结果；
（2）直接利用树状图法列举出所有可能进而得出答案．
【解答】解：（1）随机的取一张卡片，抽取的卡片上的数字为负数的概率为 ＝ ；
（2）画树状图如图所示：
共有16个可能的结果，点A在直线y＝2x上的结果有2个，
∴点A在直线y＝2x上的概率为 ＝ ．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率、概率公式、一次函数图象上点的坐标特征，正确
列举出所有可能是解题关键．
20．【分析】（1）根据△≥0，解不等式即可；
（2）将m＝2代入原方程可得：x2+3x+1＝0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结
论．
【解答】解：（1）由题意△≥0，
第15页（共25页）∴（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）≥0，
∴m≤ ．
（2）当m＝2时，方程为x2+3x+1＝0，
∴x +x ＝﹣3，x x ＝1，
1 2 1 2
∵方程的根为x ，x ，
1 2
∴x 2+3x +1＝0，x 2+3x +1＝0，
1 1 2 2
∴（x 2+2x ）（x 2+4x +2）
1 1 2 2
＝（x 2+2x +x ﹣x ）（x 2+3x +x +2）
1 1 1 1 2 2 2
＝（﹣1﹣x ）（﹣1+x +2）
1 2
＝（﹣1﹣x ）（x +1）
1 2
＝﹣x ﹣x x ﹣1﹣x
2 1 2 1
＝﹣x ﹣x ﹣2
2 1
＝3﹣2
＝1．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记
“两根之和等于﹣ ，两根之积等于 ”是解题的关键．
21．【分析】（1）将A、B两点的坐标代入一次函数解析式可得b和n的值，则求出点B（1，﹣
4），代入反比例函数解析式可求出k的值．
（2）先求出点 C、D 两点的坐标，再求出 E 点坐标，则 S△BOE ＝S△ODE +S△ODB ＝
，可求出△BOE的面积．
【解答】解：（1）∵点A（﹣ m，m﹣2），B（1，n）在直线y＝﹣2x+b上，
∴ ，
解得： ，
∴B（1，﹣4），
第16页（共25页）代入反比例函数解析式 ，
∴﹣4＝ ，
∴k＝﹣4．
（2）∵直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2，
令x＝0，解得y＝﹣2，令y＝0，解得x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），D（0，﹣2），
∵点E为CD的中点，
∴E（ ），
∴S△BOE ＝S△ODE +S△ODB ＝ ＝
＝ ．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，熟练掌握待定系
数法是解题的关键．
22．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，得到∠A+∠ACD＝90°，求得∠ACB＝
90°，于是得到结论；
（2）过O作OH⊥CD于H，根据相似三角形的性质得到AB＝ ，根据垂径定理得到CH
＝DH，根据三角形的中位线的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AC是 O的直径，
∴∠ADC＝90°， ⊙
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴BC是 O的切线；
（2）解⊙：过O作OH⊥CD于H，
∵∠BDC＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△ACB∽△CDB，
第17页（共25页）∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AB＝ ，
∴AD＝ ，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，
∵AO＝OC，
∴OH＝ AD＝ ，
∴点O到CD的距离是 ．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，
三角形的中位线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
23．【分析】（1）钢笔、笔记本的单价分别为x、y元，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）设钢笔的单价为a元，购买数量为b元，支付钢笔和笔记本的总金额w元， 当
30≤b≤50时，求得w＝﹣0.1（b﹣35）2+722.5，于是得到700≤w≤722.5； 当50＜b①≤60
时，求得w＝8b+6（100﹣b）＝2b+600，700＜w≤720，于是得到当30≤b≤②60时，w的最小
值为700元，于是得到结论．
【解答】解：（1）钢笔、笔记本的单价分别为x、y元，
根据题意得， ，
解得： ，
答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元；
（2）设钢笔的单价为a元，购买数量为b只，支付钢笔和笔记本的总金额w元，
第18页（共25页）当30≤b≤50时，a＝10﹣0.1（b﹣30）＝﹣0.1b+13，w＝b（﹣0.1b+13）+6（100﹣b）＝﹣
①0.1b2+7b+600＝﹣0.1（b﹣35）2+722.5，
∵当b＝30时，w＝720，当b＝50时，w＝700，
∴当30≤b≤50时，700≤w≤722.5；
当50＜b≤60时，a＝8，w＝8b+6（100﹣b）＝2b+600，700＜w≤720，
②∴当30≤b≤60时，w的最小值为700元，
∴这次奖励一等奖学生50人时，购买奖品总金额最少，最少为700元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组的应用，正确的理解题意求出二次
函数的解析式是解题的关键．
24．【分析】（1）由正方形的性质得出∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，即
∠ADE＝∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG得出∠A＝∠DCG＝90°，即可得出结论；
（2）先证明△EFM≌△GFM得出EM＝GM，∠MEF＝∠MGF，在证明△EFH≌△GFN得
出HF＝NF，由三角函数得出GF＝EF＝3HF＝3NF，得出GH＝2HF，作NP∥GF交EM于
P，则△PMN∽△HMG，△PEN∽△HEF，得出 ＝ ， ＝ ＝ ，PN＝ HF，即可
得出结果；
（3）假设EM＝ ，先判断出点G在BC的延长线上，同（2）的方法得，EM＝GM＝ ，得出
GM＝ ，再判断出BM＜ ，得出CM＞ ，进而得出CM＞GM，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中， ，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠A＝∠DCG＝90°，
∴CD⊥CG；
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，
∴EF＝GF，∠EFM＝∠GFM＝45°，
第19页（共25页）在△EFM和△GFM中 ，
∴△EFM≌△GFM（SAS），
∴EM＝GM，∠MEF＝∠MGF，
在△EFH和△GFN中， ，
∴△EFH≌△GFN（ASA），
∴HF＝NF，
∵tan∠MEN＝ ＝ ，
∴GF＝EF＝3HF＝3NF，
∴GH＝2HF，
作NP∥GF交EM于P，则△PMN∽△HMG，△PEN∽△HEF，
∴ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴PN＝ HF，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ；
（3）EM的长不可能为 ，
理由：假设EM的长为 ，
∵点E是AB边上一点，且∠EDG＝∠ADC＝90°，
∴点G在BC的延长线上，
同（2）的方法得，EM＝GM＝ ，
∴GM＝ ，
在Rt△BEM中，EM是斜边，
第20页（共25页）∴BM＜ ，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴BC＝1，
∴CM＞ ，
∴CM＞GM，
∴点G在正方形ABCD的边BC上，与“点G在BC的延长线上”相矛盾，
∴假设错误，
即：EM的长不可能为 ．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定
和性质，构造出相似三角形是解本题的关键，用反证法说明EM不可能为 是解本题的难
度．
25．【分析】（1）已知抛物线与x轴两交点坐标，可设交点式y＝a（x+1）（x+3）；由OC＝OB＝
3得C（0，﹣3），代入交点式即求得a＝﹣1．
（2）由∠POB＝∠ACB联想到构造相似三角形，因为求点P坐标一般会作x轴垂线PH得
Rt△POH，故可过点A在BC边上作垂线AG，构造△ACG∽△POH．利用点A、B、C坐标
求得AG、CG的长，由相似三角形对应边成比例推出 ．设点P横坐标为p，则
OH与PH都能用p表示，但需按P横纵坐标的正负性进行分类讨论．得到用p表示OH与
PH并代入OH＝2PH计算即求得p的值，进而求点P坐标．
（3） 用m表示M、N横纵坐标，把m当常数求直线MN的解析式．设D横坐标为d，把x
＝d代①入直线MN解析式得点E纵坐标，D与E纵坐标相减即得到用m、d表示的DE的长，
把m当常数，对未知数d进行配方，即得到当d＝m+2时，DE取得最大值．
第21页（共25页）由矩形MDNF得MN＝DF且MN与DF互相平分，所以E为MN中点，得到点D、E横
②坐标为m+2．由 得d＝m+2时，DE＝4，所以MN＝8．用两点间距离公式用m表示MN的
长，即列得方程①求m的值．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0）
∴设交点式y＝a（x+1）（x+3）
∵OC＝OB＝3，点C在y轴负半轴
∴C（0，﹣3）
把点C代入抛物线解析式得：3a＝﹣3
∴a＝﹣1
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x+3）＝﹣x2﹣4x﹣3
（2）如图1，过点A作AG⊥BC于点G，过点P作PH⊥x轴于点H
∴∠AGB＝∠AGC＝∠PHO＝90°
∵∠ACB＝∠POB
∴△ACG∽△POH
∴
∴
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°
∴∠ABC＝45°，BC＝ ＝3
∴△ABG是等腰直角三角形
∴AG＝BG＝ AB＝
∴CG＝BC﹣BG＝3 ﹣ ＝2
∴
∴OH＝2PH
设P（p，﹣p2﹣4p﹣3）
当p＜﹣3或﹣1＜p＜0时，点P在点B左侧或在AC之间，横纵坐标均为负数
①∴OH＝﹣p，PH＝﹣（﹣p2﹣4p﹣3）＝p2+4p+3
∴﹣p＝2（p2+4p+3）
第22页（共25页）解得：p ＝ ，p ＝
1 2
∴P（ ， ）或（ ， ）
当﹣3＜p＜﹣1或p＞0时，点P在AB之间或在点C右侧，横纵坐标异号
②∴p＝2（p2+4p+3）
解得：p ＝﹣2，p ＝﹣
1 2
∴P（﹣2，1）或（﹣ ， ）
综上所述，点P的坐标为（ ， ）、（ ， ）、（﹣2，1）或（﹣
， ）．
（3） 如图2，∵x＝m+4时，y＝﹣（m+4）2﹣4（m+4）﹣3＝﹣m2﹣12m﹣35
∴M（①m，﹣m2﹣4m﹣3），N（m+4，﹣m2﹣12m﹣35）
设直线MN解析式为y＝kx+n
∴ 解得：
∴直线MN：y＝（﹣2m﹣8）x+m2+4m﹣3
设D（d，﹣d2﹣4d﹣3）（m＜d＜m+4）
∵DE∥y轴
∴x ＝x ＝d，E（d，（﹣2m﹣8）d+m2+4m﹣3）
E D
∴DE＝﹣d2﹣4d﹣3﹣[（﹣2m﹣8）d+m2+4m﹣3]＝﹣d2+（2m+4）d﹣m2﹣4m＝﹣[d﹣
（m+2）]2+4
∴当d＝m+2时，DE的最大值为4．
如图3，∵D、F关于点E对称
②∴DE＝EF
∵四边形MDNF是矩形
∴MN＝DF，且MN与DF互相平分
第23页（共25页）∴DE＝ MN，E为MN中点
∴x ＝x ＝ ＝m+2
D E
由 得当d＝m+2时，DE＝4
∴①MN＝2DE＝8
∴（m+4﹣m）2+[﹣m2﹣12m﹣35﹣（﹣m2﹣4m﹣3）]2＝82
解得：m ＝﹣4﹣ ，m ＝﹣4+
1 2
∴m的值为﹣4﹣ 或﹣4+ 时，四边形MDNF为矩形．
第24页（共25页）【点评】本题考查了求二次函数解析式，求二次函数最大值，等腰三角形的性质，相似三角
形的判定和性质，一元二次方程的解法，二元一次方程组的解法，矩形的性质．第（3）题没
有图要先根据题意画草图帮助思考，设计较多字母运算时抓住其中的常量和变量来分析
和计算．
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