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2024-2025 学年广东省广州市仲元中学附属学校九年级（上）期中
数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的．）
的
1. 下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形 是（ ）
A. B. C. D.
2. 如果将抛物线 向左平移2个单位，那么所得抛物线的表达式为 （ ）
A. B. C. D.
3. 方程 的根为（ ）
A. B. C. ， D. ，
4. 已知二次函数y= 3(x-2)2 + 9对称轴是( )
A. 直线x=2 B. 直线x=-2
C. 直线x=9 D. 直线x=-9
5. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，
则旋转的角度为（ ）
.
A 30° B. 45°
C. 90° D. 135°
6. 将二次函数y＝3x2﹣6x+1化成顶点式是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. y＝3（x﹣3）2﹣26 B. y＝3（x﹣3）2﹣8
C. y＝3（x﹣1）2﹣2 D. y＝3（x﹣1）2
的
7. 下列方程中没有实数根 是 ( ) .
A. x2-x-1=0 B. x2- 2x+3= 0
C. x2+2x+1=0 D. x2 +4x= 0
8. 在一次会议中，每两人都握了一次手，共握手21次，设有x人参加会议，则可列方程为（ ）
A. x（x+1）＝21 B. x（x﹣1）＝21
C. D.
9. 二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系内的图象可能是图所示的（ ）
A. B. C. D.
10. 定义新运算： ．若方程 有两个相等正实数根，且 （其中
），则 的值为（ ）
A. B. 4 C. D. 2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是________．
12. 已知m是方程x2-x-2=0的一个根，则代数式m2-m+2的值等于__________．
13. 抛物线y＝﹣x2+6的顶点坐标是_____．
14. 如图，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，若点D在线段 的延长线上，则 的大
小为 ________．
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学科网（北京）股份有限公司15. 某药品原价每盒 元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒
元，则该药品平均每次降价的百分率是______．
16. 二次函数 （ ）的图象如图所示，对称轴是直线 ，下列结论：① ；
② ；③ ；④ ，其中正确的是______．
三、解答题（本大题共9个小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．）
17. 解方程： ．
18. 如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图．
（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△ABC ，画出△ABC ；
1 1 1 1
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△ABC ．
2 2 2
19. 如图，二次函数 经过点 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求该二次函数的解析式；
（2）利用图象的特点填空：
①当 ________时，方程 ；
②不等式 的解集为 ．
20. 如图， 中， ．
（1）尺规作图：作 边上的中线 （保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，将中线 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．求证：四边形
是矩形．
21. 在平面直角坐标系中，点 在二次函数 的图象上，记该二次函数图象
的对称轴为直线 ．
（1）求m的值；
（2）设 的图象与x轴交点为 ，若 ，求a的取值范
围．
22. 学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长 ．设垂直
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学科网（北京）股份有限公司于墙的边 长为 米，平行于墙的边 为 米，围成的矩形面积为 ．
（1）求 与 与 的关系式．
（2）围成的矩形花圃面积能否为 ，若能，求出 的值．
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时 的值．
23. 如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数 刻画，
斜坡可以用一次函数 刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如
下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
（1）① ______， ______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系 ．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
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学科网（北京）股份有限公司24. 在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如 图 1 ， 在 中 ， ， 点 D 、 E 在 边 上 ， 且
，求DE的长．
解：如图2，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连结 ．
由旋转的特征得 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ．
∴ ．
在 和 中，
，
∴①_____．
∴ ．
又∵ ，
∴ 在中，②_____．
∵ ，
∴ ③_____．
【问题解决】
（1）上述问题情境中，“①”处应填：_________；“②”处应填：_________；“③”处应填：
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学科网（北京）股份有限公司_________．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以
不变应万变．
【知识迁移】
（2）如图 3，在正方形 中，点 E、F 分别在边 上，满足 的周长等于正方形
的周长的一半，连接 ，分别与对角线 交于M、N两点．探究 的数量
关系并证明．
【拓展应用】
（3）如图 4，在矩形 中，点 E、F 分别在边 上，且 ．探究
的数量关系：_________（直接写出结论，不必证明）．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、C两点，其中 ，
，与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结 ，过点D作 于点E，延长 与直线
交于点F，求 的最大值及此时点D的坐标；
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学科网（北京）股份有限公司（3）若将原抛物线绕原点O旋转 得到新的抛物线 ，P是新抛物线 上的一个动点，H是直线
上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形 为正方形？请直接写
出满足条件的所有K的坐标．
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