文档内容
2019年河南省中考数学试卷
（满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 的绝对值是（ ）
A． B． C．2 D．-2
2. 成人每天维生素D的摄入量约为0.000 004 6克．数据0.000 004 6用科学记数法表示为（
）
A．46×10-7 B．4.6×10-7 C．4.6×10-6 D．0.
46×10-5
3. 如图，AB∥CD，∠B=75°，∠E=27°，则∠D的度数为（ ）
A．45° B．48° C．50° D．58°
E
D C
B A
4. 下列计算正确的是（ ）
A．2a+3a=6a B．(-3a)2=6a2
C．(x-y)2=x2-y2 D．
5. 如图1是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图2．关于
平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图相同 B．左视图相同
C．俯视图相同 D．三种视图都不相同
正面
图1 图2
6. 一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7. 某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的
销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（ ）
A．1.95元 B．2.15元 C．2.25元 D．2.75元10%
B D
A
15% 20%
C
55%
8. 已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2，n)和(4，n)两点，则n的值为（ ）
A．-2 B．-4 C．2 D．4
9. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3，分别以点A，C为圆心，
大于 AC长为半径作弧，两弧交于点E．作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是
AC的中点，则CD的长为（ ）
A． B．4 C．3 D．
E
F
A D
O
B C
10. 如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(-3，4)，B(3，4)，将△OAB与正方形ABCD组成的
图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．(10，3) B．(-3，10) C．(10，-3) D．(3，-10)
y
D C
A B
O x
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 计算： __________．
12. 不等式组 的解集是____________．
13. 现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，
这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概
率是_________．14. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA= ，
则阴影部分的面积为_________．
C
D
A B
O
15. 如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，点E在边BC上，且BE= ，连接AE，将△ABE沿
AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为_________．
A D
B′
B E C
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （8分）先化简，再求值： ，其中 ．
17. （9分）如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点
E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．
（1）求证：△ADF≌△BDG．
（2）填空：
①若AB=4，且点E是的中点，则DF的长为__________；
②取的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．C C
G G
D D
E E
F F
A O B A O B
18. （9分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各
随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如
下：
a．七年级成绩频数分布直方图：
频数
15
15
11
11 10
10 8
8
6
6
0
50 60 70 80 90 100 成绩/分b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
年级 平均数 中位数
七 76.9 m
八 79.2 79.5
根据以上信息，回答下列问题
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有__________人；
（2）表中m的值为__________；
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生
在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数
76.9分的人数．
19. （9分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，
炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进
21 m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1 m．参考
数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83．tan34°≈0.67． ）
D
E
60° 34°
C B A20. （9分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖
品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的 ，请设计出
最省钱的购买方案，并说明理由．
21. （10分）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经
能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy=4，即 ；由周长为m，得
2(x+y)=m，即 ，满足要求的(x，y)应是两个函数图象在第__________象限内交点的
坐标．
（2）画出函数图象
函数 （x＞0）的图象如图所示，而函数 的图象可由直线函数
y=-x平移得到，请在同一直角坐标系中直接画出直线y=-x．
y
9
8
7
6 4
5 y= （x＞0）
x
4
3
2
1 O
-4-3-2-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
-1
-2
-3
-4
（3）平移直线y=-x，观察函数图象
①当直线平移到与函数 （x＞0）的图象有唯一交点(2，2)时，周长m的值为__________；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为__________．
22. （10分）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．
连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当α=60°时， 的值是__________，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是
__________．
（2）类比探究
如图2，当α=90°时，请写出 的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2
的情形说明理由．
（3）解决问题
当α=90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同
一直线上时 的值．
C
C
P D
P
A B
D A B
图1 图2
C
E F
A B
备用图23. （11分）如图，抛物线 交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线
经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．
①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点B′，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．
当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y=kx+b的解析式．（k，
b可用含m的式子表示）
y y
O O
A M B x A B x
P C C
备用图河南省2019年中考数学试卷(解析版)
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．（3分）﹣ 的绝对值是（ ）
A．﹣ B． C．2 D．﹣2
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．
【解答】解：|﹣ |＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查的是绝对值的性质，掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相
反数；0的绝对值是0是解题的关键．
2．（3分）成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为
（ ）
A．46×10﹣7 B．4.6×10﹣7 C．4.6×10﹣6 D．0.46×10﹣5
【分析】本题用科学记数法的知识即可解答．
【解答】解：0.0000046＝4.6×10﹣6．
故选：C．
【点评】本题用科学记数法的知识点，关键是很小的数用科学记数法表示时负指数与0的个数的关系
要掌握好．
3．（3分）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（ ）
A．45° B．48° C．50° D．58°
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠1，
∵∠1＝∠D+∠E，
∴∠D＝∠B﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a+3a＝6a B．（﹣3a）2＝6a2
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．3 ﹣ ＝2【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运算即可；
【解答】解：2a+3a＝5a，A错误；
（﹣3a）2＝9a2，B错误；
（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，C错误；
＝2 ，D正确；
故选：D．
【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运
算法则是解题的关键．
5．（3分）如图 是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图 ．关于平
移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）
① ②
A．主视图相同 B．左视图相同
C．俯视图相同 D．三种视图都不相同
5.【答案】C
【解析】
解：图 的三视图为：
①
图 的三视图为：
②
故选：C．
根据三视图解答即可．
本题考查了由几何体判断三视图，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空
间想象能力．
6．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先化成一般式后，在求根的判别式．
【解答】解：原方程可化为：x2﹣2x﹣4＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，
∴方程由两个不相等的实数根．故选：A．
【点评】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．
7．（3分）某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售
情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（ ）
A．1.95元 B．2.15元 C．2.25元 D．2.75元
【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：这天销售的矿泉水的平均单价是5×10%+3×15%+2×55%+1×20%＝2.25（元），
故选：C．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
8．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【分析】根据（﹣2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x＝ 即可求解；
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，
可知函数的对称轴x＝1，
∴ ＝1，
∴b＝2；
∴y＝﹣x2+2x+4，
将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大
于 AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则
CD的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF＝FC．再根据
ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝3，等量代换得到FC＝AF＝3，利用线段的和差关系求出FD＝
AD﹣AF＝1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长．
【解答】解：如图，连接FC，则AF＝FC．
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠BCO．
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC＝3，
∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．
在△FDC中，∵∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
∴CD2+12＝32，
∴CD＝2 ．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定
与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．
10．（3分）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD
组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（10，3） B．（﹣3，10） C．（10，﹣3） D．（3，﹣10）
【分析】先求出AB＝6，再利用正方形的性质确定D（﹣3，10），由于70＝4×17+2，所以第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，此时旋转前后
的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标．
【解答】解：∵A（﹣3，4），B（3，4），
∴AB＝3+3＝6，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝6，
∴D（﹣3，10），
∵70＝4×17+2，
∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2
次，每次旋转90°，
∴点D的坐标为（3，﹣10）．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质
来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
二、填空题（每小题3分，共15分。）
11．（3分）计算： ﹣2﹣1＝ 1 ．
【分析】本题涉及二次根式化简、负整数指数幂两个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实
数的运算法则求得计算结果．
【解答】解： ﹣2﹣1
＝2﹣
＝1 ．
故答案为：1 ．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟
练掌握负整数指数幂、二次根式等考点的运算．
12．（3分）不等式组 的解集是 x ≤﹣ 2 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小
小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式 ≤﹣1，得：x≤﹣2，
解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3，
则不等式组的解集为x≤﹣2，
故答案为：x≤﹣2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（3分）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：列表如下：
黄 红 红
红 （黄，红） （红，红） （红，红）
红 （黄，红） （红，红） （红，红）
白 （黄，白） （红，白） （红，白）
由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，
所以摸出的两个球颜色相同的概率为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结
果列举出来，难度不大．
14．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA＝2 ，
则阴影部分的面积为 + π ．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是△AOD的面积与扇形
OBC的面积之和再减去△BDO的面积，本题得以解决．
【解答】解：作OE⊥AB于点F，
∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA＝2 ，
∴∠AOD＝90°，∠BOC＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴OD＝OA•tan30°＝ × ＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2 × ＝6，OF＝ ，
∴BD＝2，
∴阴影部分的面积是：S +S ﹣S ＝ ＝ +π，
△AOD 扇形OBC △BDO
故答案为： +π．
【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝ a．连接AE，将△ABE沿
AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为 或 ．
【分析】分两种情况： 点B′落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得AB＝BE，即可求出a的值；
点B′落在CD边上，证明△ADB′∽△B′CE，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值．
①
【解答】解：分两种情况：
②
当点B′落在AD边上时，如图1．
∵四边形ABCD是矩形，
①
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，
∴∠BAE＝∠B′AE＝ ∠BAD＝45°，
∴AB＝BE，
∴ a＝1，
∴a＝ ；
当点B′落在CD边上时，如图2．
∵四边形ABCD是矩形，
②
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．
∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，
∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝ a，
∴DB′＝ ＝ ，EC＝BC﹣BE＝a﹣ a＝ a．
在△ADB′与△B′CE中，
，
∴△ADB′∽△B′CE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得a＝ ，a＝0（舍去）．
1 2
综上，所求a的值为 或 ．故答案为 或 ．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小
不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．
进行分类讨论与数形结合是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，其中x＝ ．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）÷
＝ •
＝ ，
当x＝ 时，原式＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
17．（9分）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是 上
不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．
（1）求证：△ADF≌△BDG；
（2）填空：
若AB＝4，且点E是 的中点，则DF的长为 4﹣ 2 ；
①取 的中点H，当∠EAB的度数为 30 ° 时，四边形OBEH为菱形．
②【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB＝∠AEB＝90°，再应用同角的余角相等可
得∠DAF＝∠DBG，易得AD＝BD，△ADF≌△BDG得证；
（2）作FH⊥AB，应用等弧所对的圆周角相等得∠BAE＝∠DAE，再应用角平分线性质可得结论；由
菱形的性质可得BE＝OB，结合三角函数特殊值可得∠EAB＝30°．
【解答】解：（1）证明：如图1，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
⊙
∴∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90°
∴∠DAF＝∠DBG
∵∠ABD+∠BAC＝90°
∴∠ABD＝∠BAC＝45°
∴AD＝BD
∴△ADF≌△BDG（ASA）；
（2） 如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是 的中点，
∴∠BA①E＝∠DAE
∵FD⊥AD，FH⊥AB
∴FH＝FD
∵ ＝sin∠ABD＝sin45°＝ ，
∴ ，即BF＝ FD
∵AB＝4，
∴BD＝4cos45°＝2 ，即BF+FD＝2 ，（ +1）FD＝2
∴FD＝ ＝4﹣2
故答案为 ．
连接OE，EH，∵点H是 的中点，
②∴OH⊥AE，
∵∠AEB＝90°
∴BE⊥AE
∴BE∥OH
∵四边形OBEH为菱形，∴BE＝OH＝OB＝ AB
∴sin∠EAB＝ ＝
∴∠EAB＝30°．
故答案为：30°
【点评】本题主要考查了圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，解直角三角形，
特殊角的三角函数值等，关键在灵活应用性质定理．
18．（9分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50
名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级成绩频数分布直方图：b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
年级 平均数 中位数
七 76.9 m
八 79.2 79.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 2 3 人；
（2）表中m的值为 77. 5 ；
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的
排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
【分析】（1）根据条形图及成绩在70≤x＜80这一组的数据可得；
（2）根据中位数的定义求解可得；
（3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；
（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得．
【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有15+8＝23人，
故答案为：23；
（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为78、79，
∴m＝ ＝77.5，
故答案为：77.5；
（3）甲学生在该年级的排名更靠前，
∵七年级学生甲的成绩大于中位数78分，其名次在该班25名之前，
八年级学生乙的成绩小于中位数78分，其名次在该班25名之后，
∴甲学生在该年级的排名更靠前．
（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为400× ＝224（人）．
【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题
所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
19．（9分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑
像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°＝0.83，tan34°≈0.67， ≈1.73）
【分析】由三角函数求出AC＝ ≈82.1m，得出BC＝AC﹣AB＝61.1m，在Rt△BCD中，由三角
函数得出CD＝ BC≈105.7m，即可得出答案．
【解答】解：∵∠ACE＝90°，∠CAE＝34°，CE＝55m，
∴tan∠CAE＝ ，
∴AC＝ ＝ ≈82.1m，
∵AB＝21m，
∴BC＝AC﹣AB＝61.1m，
在Rt△BCD中，tan60°＝ ＝ ，
∴CD＝ BC≈1.73×61.1≈105.7m，
∴DE＝CD﹣EC＝105.7﹣55≈51m，
答：炎帝塑像DE的高度约为51m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用
三角函数的知识求解，难度适中．
20．（9分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；
购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的 ．请设计出最省钱的
购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意列出方程组 ，即可求解；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为（30﹣z）个，购买奖品的花费为W元，根据题意得到由题意
可知，z≥ （30﹣z），W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，根据一次函数的性质，即可求解；
【解答】解：（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，
根据题意，得，
∴ ，
∴A的单价30元，B的单价15元；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为（30﹣z）个，购买奖品的花费为W元，
由题意可知，z≥ （30﹣z），
∴z≥ ，
W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，
当z＝8时，W有最小值为570元，
即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少；
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案
转化为一次函数性质解题是关键．
21．（10分）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代
数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝ ；由周长为m，得2（x+y）＝
m，即y＝﹣x+ ．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 一 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数y＝ （x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+ 的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一直
角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．
（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象
当直线平移到与函数y＝ （x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为 8 ；
①在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
②
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 m ≥ 8 ．【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解；
（2）直接画出图象即可；
（3） 把点（2，2）代入y＝﹣x+ 即可求解； 在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个
① ②
三种情况，联立y＝ 和y＝﹣x+ 并整理得：x2﹣ mx+4＝0，即可求解；
（4）由（3）可得．
【解答】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数，
故点（x，y）在第一象限，
答案为：一；
（2）图象如下所示：
（3） 把点（2，2）代入y＝﹣x+ 得：
①
2＝﹣2+ ，解得：m＝8，
即：0个交点时，m＜8；1个交点时，m＝8； 2个交点时，m＞8；
在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，
②联立y＝ 和y＝﹣x+ 并整理得：x2﹣ mx+4＝0，△＝ m2﹣4×4≥0时，两个函数有交点，
解得：m≥8；
（4）由（3）得：m≥8．
【点评】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类
探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大．
22．（10分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，
将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当α＝60°时， 的值是 1 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 60 ° ．
（2）类比探究
如图2，当α＝90°时，请写出 的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明
理由．
（3）解决问题
当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线
上时 的值．
【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明△CAP≌△BAD（SAS），
即可解决问题．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．
（3）分两种情形： 如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝DC
即可解决问题．
①
如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．
②∵∠PAD＝∠CAB＝60°，
∴∠CAP＝∠BAD，
∵CA＝BA，PA＝DA，
∴△CAP≌△BAD（SAS），
∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠BEO＝∠CAO＝60°，
∴ ＝1，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，
故答案为1，60°．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．
∵∠PAD＝∠CAB＝45°，
∴∠PAC＝∠DAB，
∵ ＝ ＝ ，
∴△DAB∽△PAC，
∴∠PCA＝∠DBA， ＝ ＝ ，
∵∠EOC＝∠AOB，
∴∠CEO＝∠OABB＝45°，
∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°．（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．
∵CE＝EA，CF＝FB，
∴EF∥AB，
∴∠EFC＝∠ABC＝45°，
∵∠PAO＝45°，
∴∠PAO＝∠OFH，
∵∠POA＝∠FOH，
∴∠H＝∠APO，
∵∠APC＝90°，EA＝EC，
∴PE＝EA＝EC，
∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，
∴∠H＝∠BAH，
∴BH＝BA，
∵∠ADP＝∠BDC＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AH，
∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴A，D，C，B四点共圆，
∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，
∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，
∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝ a，
∴ ＝ ＝2﹣ ．
如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝ a，∴PC＝a﹣ a，
∴ ＝ ＝2+ ．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全
等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似
三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
23．（11分）如图，抛物线y＝ax2+ x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣ x﹣2经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．
当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；
作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y
①
轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子
②
表示）
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，C的坐标，根据点A，C的坐标，利用待
定系数法可求出二次函数解析式；
（2） 由PM⊥x轴可得出∠PMC≠90°，分∠MPC＝90°及∠PCM＝90°两种情况考虑：（i）当∠MPC
＝90°时，PC∥x轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；（ii）当∠PCM＝90°时，
①
设PC与x轴交于点D，易证△AOC∽△COD，利用相似三角形的性质可求出点D的坐标，根据点C，D的
坐标，利用待定系数法可求出直线PC的解析式，联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，通过解方
程组可求出点P的坐标．综上，此问得解；利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B，P的坐标，根据点P，B的坐标，利用待定系数法可
求出直线PB的解析式，结合题意可知：直线l过点C，且直线l∥直线PB，再结合点C的坐标即可求出直
②
线l的解析式．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣ x﹣2＝﹣2，
∴点C的坐标为（0，﹣2）；
当y＝0时，﹣ x﹣2＝0，
解得：x＝﹣4，
∴点A的坐标为（﹣4，0）．
将A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+ x+c，得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝ x2+ x﹣2．
（2） ∵PM⊥x轴，
∴∠PMC≠90°，
①
∴分两种情况考虑，如图1所示．
（i）当∠MPC＝90°时，PC∥x轴，
∴点P的纵坐标为﹣2．
当y＝﹣2时， x2+ x﹣2＝﹣2，
解得：x＝﹣2，x＝0，
1 2
∴点P的坐标为（﹣2，﹣2）；
（ii）当∠PCM＝90°时，设PC与x轴交于点D．
∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠OCA+∠OCD＝90°，
∴∠OAC＝∠OCD．
又∵∠AOC＝∠COD＝90°，
∴△AOC∽△COD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴OD＝1，
∴点D的坐标为（1，0）．
设直线PC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将C（0，﹣2），D（1，0）代入y＝kx+b，得：
，解得： ，
∴直线PC的解析式为y＝2x﹣2．联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得： ，
解得： ， ，
点P的坐标为（6，10）．
综上所述：当△PCM是直角三角形时，点P的坐标为（﹣2，﹣2）或（6，10）．
当y＝0时， x2+ x﹣2＝0，
②解得：x＝﹣4，x＝2，
1 2
∴点B的坐标为（2，0）．
∵点C的坐标为（0，﹣2），点B，B′关于点C对称，
∴点B′的坐标为（﹣2，﹣4）．
∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠0），
∴点M的坐标为（m，0）．
分三种情况考虑，如图2所示：
∴直线PB的解析式为y＝ （m+4）x﹣ （m+4）（可利用待定系数求出）．
∵点B，B′关于点C对称，点B，B′，P到直线l的距离都相等，
∴直线l过点C，且直线l∥直线PB，
∴直线l的解析式为y＝ （m+4）x﹣2．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点
的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关
键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2） 分∠MPC＝90°及∠PCM
＝90°两种情况求出点P的坐标； 利用待定系数法及平行线的性质，求出直线l的解析式．
①
②
