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高二数学考试参考答案
!!#!""#$!%!"!"&#!
$’ %’ ( &槡’
’!#!双曲线 % $!的离心率为槡!) $ !
’ ( ’ ’
&!*!对于选项+"%$’$%&与%$’$)&的解析式不同"不是同一函数$对于选项#"%$
槡$)!%槡$%!的定义域为!$#$$!#"%$槡&$)!’&$%!’的定义域为!$#$$!或$%
%!#"二者定义域不相同"不是同一函数$对于选项,"%$-./$的定义域为&0")1’"而%$$
的定义域为!"不是同一函数$对于选项*"%$槡 & $&$$"二者定义域均为!"解析式也相同"
是同一函数!
2!*!将&$!)3代入方程"得&!)3’’)’&!)3’)($0"得&’)(’)&’)’’3$0"所以’)($
0"’)’$0"即’$%’"($’"则’)’($’!
"!+!圆$’)%’)’$$!的圆心坐标为&%!"0’"半径为槡’!
2
设圆心到直线$%%)"$0的距离为)"则)$ $’槡’"
槡!’)&%!’’
所以圆$’)%’)’$$!上的点到直线$%%)"$0的距离的最小值是’槡’%槡’$槡’!
4!+!由平面展开图得到该正方体的直观图"如图所示"易得*+&"#!
((’ ((’ ((’ ((’ ((’ ((’ ((’
(!+!设",$!!&!)0’"则"-$#,$",%"#$!!%"!在菱形"#,-中"#"-#$#"##"
’"%! ((’ ’"%!
则#!!%"#$#"#"所以!’!’%’!"%!$0"所以!$ "所以"-$ !%"!
!’ !’
5!,!原题等价于下面这个问题(
将’!瓶相同的矿泉水分给"人"每人至少!瓶"有多少种不同的分法)
由隔板法可得"方程. ). ). ). ). $’!的正整数解共有,2 组!
! ’ & 2 " ’0
& !’4
6!+#*!根据题意可得’/$42"解得/$4"+正确!令$$!"则各项系数之和为 !% $
’
! & !’&
"#正确!因为/$4"所以第2项的二项式系数最大",错误!常数项为,&$& % $
42 4 ’$
"
% "*正确!
’
& !’
!0!+#*!0&$’$’槡&73/$)’897$$273/$) !
4
!高二数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$%
!"#"$$%
书书书! ! ! !
$) $ )1!"1*""$$ )1!"1*""0&$’的图象关于直线$$ 对称"+正确!
4 ’ & &
! ! ! ’! ! *
由% )’1!%$) % )’1!"1*""解得% )’1!%$% )’1!"1*""0&$’在 0"
’ 4 ’ & &
!+
上单调递增"#正确!
&
* !+ ! *! !+
$* 0" "$) * " "0&$’**’"2+",错误!
& 4 4 ’
& !’
将函数%$73/$) 图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍"横坐标不变"可以得到
4
0&$’的图象"*正确!
((’ ((’ ’槡4 ’槡4
!!!+#*!设+ &2"0’"因为3#%3+ $ 2$ "所以2$!"因为#"##$#"+#"所以
’ ’ & & ’
&’槡4’’ 2
)&!%4’’$!)4’"解得4$ "+正确!
& &
,5 !
因为点# &’槡4 "! ’ 在,上"所以+ &’’ ) (’ $!" 解得 !’$’" 则,的长轴长为2"#正确!
& ($槡&"
-’’%(’$!"
#5+#的最小值为’%2$!",错误!
!
" !(
因为#5"#)#5+#$2)#5"#%#5+#%2)#"+#$2) $ "所以#5"#)#5+#的
! ’ ’ & & !
!(
最大值为 "*正确!
&
!’!5!样本数据5"4"’"("5"6"!0的最大值与最小值分别为!0"’"则所求极差为!0%’$5!
槡& ! 2’)’"%26 !
!&!5!因为."#,为锐角三角形"73/"$ "所以897"$ "即 $ "解得2$5
’ ’ !02 ’
&负值舍去’!
!2!!’槡4!!设该圆锥的底面半径为6"高为7"则6’)7’$4’"则6’$&4%7’"所以该圆锥的体
! ! !
积8&7’$ 6’7$ 7&&4%7’’&0/7/4’"则89&7’$ &&4%&7’’"当0/7/’槡&时"
& & &
89&7’00"当’槡&/7/4时"89&7’/0"所以8&7’ $8&’槡&’"此时7$’槡&"6$’槡4"该
:;<
圆锥的侧面积为!6:$!’槡4!!
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!"!解(&!’因为 % $’"’$ "
’ ’ ! ’
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所以数列 是首项为’"公差为’的等差数列",,,,,,,,,,,,,,,&分
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所以 $’/"得’$ !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,"分
’ / ’/
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!"#"$$%/ ! / ! / !
&’’’) $ ) $’槡 % $ " ,,,,,,,,,,,,,,,,,4分
/ ’00 ’/ ’00 ’/ ’00 !0
! /
当且仅当 $ "即/$!0时"等号成立",,,,,,,,,,,,,,,,,,(分
’/ ’00
/ !
所以’) 的最小值为 !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5分
/ ’00 !0
! ’/ ’/
&&’因为 ) $’/) ",,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,6分
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&’)’/’/ ! ’%’/)! ’/)!%’
所以;$ ) = $/’)/) ! ,,,,,,,,,,,,!&分
/ ’ & !%’ &
&!’& !
!4!解(&!’5 $ $ !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,’分
& ’ 5
&!’’ & !’ ! &
&’’5 $,’= = !% = $ !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4分
2 & ’ ’ ’ !4
&!’’ & !’’ ! &
&&’5 $,’= = !% = $ ! ,,,,,,,,,,,,,,,,,,6分
" 2 ’ ’ ’ !4
5 ! 5 &
根据条件概率可得5&.$&’$ & $ "5&.$2’$ 2 $ "5&.$
5 )5 )5 2 5 )5 )5 5
& 2 " & 2 "
5 &
"’$ " $ ",,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!’分
5 )5 )5 5
& 2 "
则.的分布列为
. & 2 "
! & &
5
2 5 5
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!&分
! & & &&
所以*&.’$&= )2= )"= $ !,,,,,,,,,,,,,,,,,,!"分
2 5 5 5
!(!&!’证明(连接-<"*+!因为-"*"+"<分别为"" ""#"#,",, 的中点"
! !
所以易得-<&","*+&"," ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,’分
所以-<&*+"所以-"*"+"<四点共面!,,,,,,,,,,,,,,,,,,2分
&’’证明(因为三棱柱"#,="#, 是直三棱柱"所以"" 1平面"#,"则"" 1",",
! ! ! ! !
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,"分
又因为"#1",""" ""#$""所以",1平面"##" ! ,,,,,,,,,,4分
! ! !
因为-*2平面"##" "所以",1-*!,,,,,,,,,,,,,,,,,,(分
! !
连接"#!因为-"*分别为"" ""#的中点"所以-*&"#",,,,,,,,,5分
! ! !
因为"#$"" "所以易得四边形"##" 为正方形"则"#1"#"所以-*1"#!,
! ! ! ! ! !
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,6分
因为",""#$""所以-*1平面"#,!,,,,,,,,,,,,,,,,,!0分
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!"#"$$%&&’解(以"为坐标原点""#"",""" 所在直线分别为$"%"&
!
轴建立空间直角坐标系"如图所示"则-&0"0"&’"*&&"0"0’"+&&"
((’ ((’
&"0’"<&0"4"&’"-*$&&"0"%&’"+<$&%&"&"&’!,,!!分
((’
由&’’易得-*为平面"#,的一个法向量",,,,,,!’分
!
设直线+<与平面"#,所成的角为""
!
((’ ((’
((’ ((’ #-*%+<# #%6%6# 槡4
则73/"$#897--*"+<.#$ ((’ ((’ $ $ "
#-*##+<# 槡6)6=槡6)6)6 &
槡4
故直线+<与平面"#,所成角的正弦值为 !,,,,!"分
! &
73/$
!5!&!’解(因为09&$’$!) )&./$’897$",,,,,,,,,,,,,,,,,!分
$
所以09&!’$!)73/!! ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,’分
又因为0&!’$!"所以所求切线方程为%%!$&!)73/!’&$%!’"即%$&!)73/!’$%
73/!!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2分
73/!
&’’证明(09&!’$!) )&./!’897!$!%./!/0",,,,,,,,,,,,,"分
!
73/’!
09&’!’$!) )&./’!’897’!$!)./’!00! ,,,,,,,,,,,,,,4分
’!
73/$ &! "!’
因为09&$’$!) )&./$’897$ /$/ 的图象是一条连续不断的曲线"
$ ’ ’
73/$ &! "!’
所以09&$’$!) )&./$’897$在 " 上必存在一个异号零点$"
$ ’ ’ 0
!
即存在正数>"使得 /$%>"且当$*&$%>"$’时"09&$’/0"当$*&$"$)>’
’ 0 0 0 0 0
时"09&$’00",,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5分
&! "!’
所以0&$’在$$$ 处取得极小值"即0&$’在 " 上存在极小值!,,,,,,6分
0 ’ ’
&&’解(0&$’在&!")1’上无零点!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!0分
理由如下(
当$0!时"./$00"73/$$%!"可得0&$’$$)&./$’73/$$$%./$!,,,,!&分
$%!
令函数?&$’$$%./$&$0!’"则?9&$’$ "当$*&!")1’时"?9&$’00"?&$’单调
$
递增! ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!"分
又?&!’$!00"所以?&$’00" ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!4分
从而0&$’00"所以0&$’在&!")1’上无零点!,,,,,,,,,,,,,,,!(分
!6!解(&!’因为抛物线,(%’$’@$经过点A&@&"’槡’@’"所以’@%@&$&’槡’@’’" ,,!分
解得@$0或@$>’",,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,’分
又,的焦点+在$轴的正半轴上"所以@00"则@$’"则,的方程为%’$2$! ,,&分
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!"#"$$%&’’设"&$"%’"#&$"%’!
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!%$$%’"
由 得$’%5$)2$0" ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2分
%’$2$"
!$)$$5"
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则 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,"分
$$$2"
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则#"##$槡!)!’槡&$)$’’%2$$ $2槡4",,,,,,,,,,,,,,,,4分
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#"+#)##+#$$)!)$)!$$)$)’$!0!,,,,,,,,,,,,,,,(分
! ’ ! ’
!
因为点+&!"0’到直线"#的距离)$ "
槡’
!
所以."#+的面积;$ )%#"##$’槡&",,,,,,,,,,,,,,,,,,5分
’
’; 2槡&
所以6$ $ $!0槡&%!’槡’!,,,,,,,,,,,6分
#"+#)##+#)#"## !0)2槡4
((’ ((’
((’ &+" +# ’
&&’因为*+平分3"+#"所以+*$! ((’ ) ((’ ",,,,,,,,,,,,!0分
#+"# #+##
设"&$"%’"#&$"%’"
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整理得$$%!$$%)$%)%)%",,,,,,,,,,,,,,,,,,!&分
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则 ! ’ %!$ ! %) ’ %)%)%"即&2%%)!4’&%)%’$&%%’’%!4!"
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! ’
则 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!"分
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代入"可得&2>)/)!’&/%!’$0",,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!4分
因为/)!"所以2>)/)!$0"即/$%2>%!"
所以直线"#过定点&%!"2’!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!(分
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