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2024 届云南三校高考备考实用性联考卷（五）
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B A B C D
【解析】
1．p： ， ，则 为 ， ，故选B．
2． ， ， ，故选D．
3．由题意得， ，故
，即 中共有3个元素，故选C．
4．当 时， ，当 时， ，因为函数
的值域为 ，所以 ，所以实数 的取值范围是 ，故选
B．
5．如图1，连接AC，BD，设 ，因为四边形
ABCD为矩形，所以 为矩形ABCD外接圆的圆心．连
接 ，则 平面ABCD，分别取EF，AD，BC的中
点M，P，Q，根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线
图1
交 EF 于点 M．连接 PQ，则 ，且 为 PQ 的中点，因为 ，所以
，连接EP，FQ，在 与 中，易知 ，所以梯
形EFQP为等腰梯形，所以 ，且 ．设 ，球
O的半径为R，连接OE，OA，当O在线段 上时，由球的性质可知 ，
数学参考答案·第1页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司易得 ，则 ，此时无解．当O在线段 的延
长 线 上 时 ， 由 球 的 性 质 可 知 ， ， 解 得 ， 所 以
，所以球O的表面积 ，故选A．
6．设事件 表示选到会做的题，事件 表示选到有思路的题，事件 表示选到完全没有思
路的题；设事件 表示答对该题，则 ，设事件
表 示 答 对 8 个 题 ， 则
，设事
件 表示将有思路的题目做对，则 ，故选B．
7 ． 由 已 知 得 ， 所 以 ， 又
， 所 以 ， 因 为 ， 所 以
． 的 外 接 圆 半 径 ， 则 ， 又
，即 ， ，
当 且 仅 当 时 ， 等 号 成 立 ，
，所以 ，
故选C．
8．因为函数 ，令 ，则 ．当
或 时， ，此时函数 单调递增；
当 时， ，此时函数 单调递减，作出函数 的大致图象如图
2，故A错；对B，当 ， ，当 时， 不一定成立，
故B错；对C，函数 的根即为 与函数
图2
数学参考答案·第2页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司的交点横坐标．作出函数 的图象如图3，当 或 时，函
数 有 1 个零点，故 C 错；对 D，函数 有 3 个零点，则 ，
，令 ，则 ，所以
， 于 是 ，
，故选D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有
多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 BC ABD AB ACD
【解析】
9．由于焦点在直线 上，当焦点在y轴上时，令 ，所以焦点坐标为
，设方程为 ，由焦点坐标知 ，所以抛物线 的方程为 ；
当 焦 点 在 x 轴 上 时 ， 令 ， 所 以 焦 点 坐 标 为 ， 设 方 程 为
，由焦点坐标知 ，所以抛物线 的方程为 ，故选BC．
10． ，则 ，故 正确；
，故 正确；复数 的虚部为 ，故 错误；复数 在复平面内
对应的点为 ，在第四象限，故 正确，故选ABD．
11．对于 A，根据 ，可得数据 的方差为
，故A正确；对于B，对 两边同时取对数可得 ，因为
，所以 ，所以 ，故B正确；对于C，从小到大
可得这组数据为 ， ，则这组数据的下
数学参考答案·第3页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司四分位数（即第 25 百分位数）为 ，故 C 错误；对于 D，因为
，在犯错误的概率不超过0.05的情况下，可判断 与 无关，
故D错误，故选AB．
12．对选项A：如图4所示，连接 ，取 中点 ，取 中点 ，
连接 ， ， ．由等边三角形的性质得 ，由等腰
梯形的性质得 ．又 ， 平面 ，
所以 平面 ． 平面 ，故 ，同理
，又 ， 平面 ，所以
平面 ，正确；对于选项 B：如图 5，等腰梯形的高 图4
，取 中点 ，建立如图6所示的空间直
角坐标系，设 是 的中心， 是 的中心，过
图5
作 ， 过 作 ，
， ，所以几何体
的高为 ，所以 ， ，
图6
， ， ， 所 以
， ， ，设平面 的
法 向 量 为 ， 则 取 ， 得 到
，所以 ，所以 与
数学参考答案·第4页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司平面 不平行，错误；对选项C： ，正确；
对选项D： ， ， ，
， ． 设 平 面 的 法 向 量 为 ，
取 ，得到 ，所以直线 与平
面 所成角 的正弦值为 ， ，正确，故选ACD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 1
【解析】
13 ． ， 因 为 的 通 项 公 式 为
，所以在 中，当 时，
不满足；在 中，当 时， ，则常数项为 ，故答案
为 ．
14．因为 ，所以 ，则 ，解得
．
15．方法1：如图7，连接 ，因为P在双曲线的右支上，则
，∵双曲线 的左焦点 ，
∵△ 为等腰三角形， ，∴ ，
，∴ ，又∵
图7
数学参考答案·第5页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司，∴△ 为等边三角形，即： ， ，∴
，∴在直角 中， ， ，则 ，∴
，即： ，解得： ．方法2：如图
8，过P作PE⊥x轴于点E，∵双曲线 的左焦点 ，∵△ 为等腰
三角形， ， ， ，∴ ，∴
在直角 中， ， ，则 ，∵点P在双曲线
上 ， ∴ ， 即 ： ， ∴
， 即 ： ， ， 令
，即： ，解得： ，即： ，∵ ，∴
．
16 ． 由 ， 得 ， 则
，当且仅当
时，此时 ，或者 （舍去）时等号成立，所以
的最大值为2．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（1）
，
数学参考答案·第6页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司， 的值域为 ． ……………………………（5分）
（2）
，
即 ，由 ，得 ，
，即 ，
又 ，即 ，当且仅当
时取等号，
，
． ……………………………………………………（10分）
18．（本小题满分12分）
解：（1）∵ ，
∴ ，
又 ，∴ ，即 ．
又 ，
且 ，∴ ． ……………………………………………………（6分）
（2）∵ ，
∴ ，
． …………………………………………………………（12分）
数学参考答案·第7页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司19．（本小题满分12分）
（1）证明： 平面 平面 ABCD，平面 平面
，
在等边 中，取DC的中点E，连接PE，如图9，
则 ，且 平面 ，
平面 ，
图9
又 平面 ， ，
已知 ，且 ， ， 平面 ， 平面 ，
又 平面PAD， 平面 平面 ．
……………………………………………………（6分）
（2）解：过点E作AD的平行线与AB交于点F，如图
10，则 ，
又由（1）知 平面 ，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可 知 ： ， ， ，
，
图10
， ， ， ，
设平面APB的法向量为 ，
，令 ，则 ，
故 ，
设平面PBC的法向量为 ，
令 ，则 ， ，
故 ，
，
数学参考答案·第8页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司设二面角 的平面角为 ，则 ．
…………………………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（1）由已知可得，该单位每个人携带病毒的概率为 ．
所以5个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为0.95，
所以，一组混合血样呈阳性的概率为 ．
……………………………………………………………（4分）
（2）设5个人一组，每组需要化验的次数为随机变量 ，则 ．
由（1）知，5个人一组，需要重新化验的概率为0.05，
则X的分布列为
1 6
0.95 0.05
所以， ，
总的化验次数为 ； ………………………………（8分）
设10个人一组，每组需要化验的次数为随机变量 ，则 ．
10个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为0.9，则10个人一组，需要重新化验的概
率为0.1，
则Y的分布列为
1 11
0.9 0.1
所以 ，总的化验次数为 ，
所以，10个人一组的分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少．
……………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
（1）解：由椭圆 的离心率为 ，且点 在椭圆上，
数学参考答案·第9页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司可得 ，所以 ，
又点 在该椭圆上，所以 ，所以 ，
所以椭圆C的标准方程为 ． ………………………………………（4分）
（2）证明：设 ，由于该直线斜率不为0，可设 ，
联立方程 和 ，得 ，
恒成立，根据韦达定理可知，
，
，
，
， ．
……………………………………………………………（12分）
22．（本小题满分12分）
解：（1）由 ，得 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增．
……………………………………………………………（4分）
（2）由 得， ，其中 ，
①当 时，不等式为： ，显然成立，符合题意；
②当 时，分离参数 得， ，
记
数学参考答案·第10页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司令 ，
则 ， ，
故 单调递增， ，故函数 单调递增， ，
由 可得： 恒成立，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因此， ，
综上可得，实数 的取值范围是 ．
……………………………………………………（12分）
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学科网（北京）股份有限公司
