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2019年湖南省郴州市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的相反数的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
2．（3分）如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）邓小平曾说：“中东有石油，中国有稀土”．稀土是加工制造国防、军工等工业品不
可或缺的原料．据有关统计数据表明：至2017年止，我国已探明稀土储量约4400万吨，居
世界第一位，请用科学记数法表示 44 000 000为（ ）
A．44×106 B．4.4×107 C．4.4×108 D．0.44×109
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（ x2）3＝x5 B． + ＝ C．x•x2•x4＝x6 D． ＝
5．（3分）一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．（3分）下列采用的调查方式中，合适的是（ ）
A．为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式
B．我市某企业为了解所生产的产品的合格率，采用普查的方式
C．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式
D．某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，采用普查的方式
17．（3分）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，在线段AB的
两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接
PA，PB，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．PA＝PB B．OA＝OB C．OP＝OF D．PO⊥AB
8．（3分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和
两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（
）
A． B．2 C． D．4
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）二次根式 中，x的取值范围是 ．
10．（3分）若 ＝ ，则 ＝ ．
11．（3分）如图，直线a，b被直线c，d所截．若a∥b，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠3的度数
为 度．
12．（3分）某校举行演讲比赛，七个评委对小明的打分如下：9，8，7，6，9，9，7，这组数据的中
位数是 ．
13．（3分）某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：
2日期 1 2 3 4
数量（瓶） 120 125 130 135
观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为 瓶．
14．（3分）如图是甲、乙两人6次投篮测试（每次投篮10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试
成绩的方差分别记作s 2、s 2，则s 2 s 2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
甲 乙 甲 乙
15．（3分）已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等
腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是 ．（结果保留π）
16．（3分）如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝ 的图象的交点，
过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为 ．
三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82
分）
317．（6分）计算：（3﹣π）0﹣2cos30°+|1﹣ |+（ ）﹣1．
18．（6分）先化简，再求值： ﹣ ，其中a＝ ．
19．（6分）如图， ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接
▱
AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．
20．（8分）我市去年成功举办2018郴州国际休闲旅游文化节，获评“全国森林旅游示范市”．
我市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五
个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了
如下两幅不完整的统计图：
（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 人，m＝ ，并补全条
形统计图；
（2）若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？
（3）小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去
旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）
21．（8分）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A处30km．在灯塔
C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在
A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？
（精确到0.01km．参考数据： ≈1.414， ≈1.732， ≈2.449）
422．（8分）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A
型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B
型机器加工60个零件所用时间相等．
（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？
（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完
成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两
种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？
23．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点D，且AD∥OC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）延长CO交⊙O于点 E．若∠CEB＝30°，⊙O的半径为2，求 的长．（结果保留π）
24．（10分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数
为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝
的图象与性质．列表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
﹣ ﹣ ﹣
y … 1 2 1 0 1 2 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描
出相应的点，如图所示．
5（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；
（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A（﹣5，y），B（﹣ ，y），C（x， ），D（x，6）在函数图象上，则y y，x
1 2 1 2 1 2 1
x；（填“＞”，“＝”或“＜”）
2
②当函数值y＝2时，求自变量x的值；
③在直线x＝﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x，y），Q（x，y），且y＝y，求
3 3 4 4 3 4
x+x的值；
3 4
④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．
25．（10分）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，
点A的对应点为A，延长EA交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B落在EF
1 1 1
上，折痕EH交直线BC于点H．
（1）求证：△ADE∽△BEH；
1 1
（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形
1
状，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的
数量关系．
26．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点
C．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）点F是线段AD上一个动点．
6①如图1，设k＝ ，当k为何值时，CF＝ AD？
②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相
似，请说明理由．
72019年湖南省郴州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：D．
2．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
3．【解答】解：将 44 000 000用科学记数法可表示为4.4×107．
故选：B．
4．【解答】解：A、（ x2）3＝x6，故本选项错误；
B、 + ＝ +2 ＝3 ，故本选项错误；
C、x•x2•x4＝x7，故本选项错误；
D、 ＝ ，故本选项正确；
故选：D．
5．【解答】解：一元二次方程2x2﹣3x+5＝0中，
△＝32﹣4×2×9（﹣5）＞0，
∴有两个不相等的实数根．
故选：B．
6．【解答】解：A、为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式，合适；
B、我市某企业为了解所生产的产品的合格率，因调查范围广，工作量大采用普查的方式不
合适；
C、某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，因调查范围小采用抽样调查
的方式不合适；
D、某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，因调查范围广，采用普查的方式不合适，
故选：A．
7．【解答】解：∵由作图可知，EF垂直平分AB，
∴PA＝PB，故A选项正确；
8OA＝OB，故B选项正确；
OE＝OF，故C选项错误；
PO⊥AB，故D选项正确；
故选：C．
8．【解答】解：设正方形ADOF的边长为x，
由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，
∴BC＝BE+CE＝BD+CF＝10，
在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，
即（6+x）2+（x+4）2＝102，
整理得，x2+10x﹣24＝0，
解得：x＝2，或x＝﹣12（舍去），
∴x＝2，
即正方形ADOF的边长是2；
故选：B．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．【解答】解：根据题意，得
x﹣2≥0，
解得，x≥2；
故答案是：x≥2．
10．【解答】解：∵ ＝ ，
∴2x+2y＝3x，
故2y＝x，
则 ＝ ．
故答案为： ．
11．【解答】解：∵a∥b，
∴∠3＝∠4，
∵∠1＝∠2+∠4＝∠2+∠3，∠1＝130°，∠2＝30°，
∴130°＝30°+∠3，
解得：∠3＝100°．
故答案为：100．
912．【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：6，7，7，8，9，9，9，
故这组数据的中位数是8．
故答案为：8．
13．【解答】解：这是一个一次函数模型，设y＝kx+b，则有 ，
解得 ，
∴y＝5x+115，
当x＝7时，y＝150，
∴预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶，
故答案为150．
14．【解答】解：由图象可知：乙偏离平均数大，甲偏离平均数小，所以乙波动大，不稳定，方差
大，即S 2＜S 2．
甲 乙
故答案为：＜．
15．【解答】解：由三视图可知，该几何体是圆锥，
∴侧面展开图的面积＝π•2•5＝10π，
故答案为10π．
16．【解答】解：∵A、C是两函数图象的交点，
∴A、C关于原点对称，
∵CD⊥x轴，AB⊥x轴，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴S ＝S ＝S ＝S ，
△AOB △BOC △DOC △AOD
又∵反比例函数y＝ 的图象上，
∴S ＝S ＝S ＝S ＝ ×4＝2，
△AOB △BOC △DOC △AOD
∴S ＝4S ＝4×2＝8，
四边形ABCD △AOB
故答案为：8．
10三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82
分）
17．【解答】解：原式＝1﹣2× + ﹣1+2＝2．
18．【解答】解： ﹣
＝
＝
＝
＝
＝ ，
当a＝ 时，原式＝ ＝ ＝1．
19．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE（ASA），
∴CD＝FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形．
20．【解答】解：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是20÷10%＝200（人），
则m%＝ ×100%＝35%，即m＝35，
C景区人数为200﹣（20+70+20+50）＝40（人），
补全条形图如下：
11故答案为：200，35；
（2）估计去B地旅游的居民约有1200×35%＝420（人）；
（3）画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中选到A，C两个景区的有2种结果，
所以选到A，C两个景区的概率为 ＝ ．
21．【解答】解：延长CB交过A点的正东方向于D，如图所示：
则∠CDA＝90°，
由题意得：AC＝30km，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝CD＝ AC＝15 ，AD＝ BD，
∴BD＝ ＝5 ，
∴BC＝CD﹣BD＝15 ﹣5 ≈15×1.414﹣5×2.449≈8.97（km）；
答：巡逻船与渔船的距离约为8.97km．
22．【解答】解：（1）设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工（x+2）
个零件，
12依题意，得： ＝ ，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝8．
答：每台A型机器每小时加工8个零件，每台B型机器每小时加工6个零件．
（2）设A型机器安排m台，则B型机器安排（10﹣m）台，
依题意，得： ，
解得：6≤m≤8．
∵m为正整数，
∴m＝6，7，8．
答：共有三种安排方案，方案一：A型机器安排6台，B型机器安排4台；方案二：A型机器
安排7台，B型机器安排3台；方案三：A型机器安排8台，B型机器安排2台．
23．【解答】（1）证明：连接OD，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODC＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD∥OC，
∴∠COB＝∠OAD，∠COD＝∠ODA，
∴∠COB＝∠COD，
在△COD和△COB中
，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠CEB＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵∠COB＝∠COD，
∴∠BOD＝120°，
13∴ 的长： ＝ π．
24．【解答】解：（1）如图所示：
（2）①A（﹣5，y），B（﹣ ，y），
1 2
A与B在y＝﹣ 上，y随x的增大而增大，∴y＜y；
1 2
C（x， ），D（x，6），
1 2
C与D在y＝|x﹣1|上，观察图象可得x＜x；
1 2
故答案为＜，＜；
②当y＝2时，2＝﹣ ，∴x＝﹣ （不符合）；
当y＝2时，2＝|x﹣1|，∴x＝3或x＝﹣1；
③∵P（x，y），Q（x，y）在x＝﹣1的右侧，
3 3 4 4
∴﹣1≤x≤3时，点关于x＝1对称，
∵y＝y，
3 4
∴x+x＝2；
3 4
④由图象可知，0＜a＜2；
25．【解答】解：（1）证明：由折叠的性质可知：∠DAE＝∠DAE＝90°，∠EBH＝∠EBH＝90°，
1 1
∠AED＝∠AED，∠BEH＝∠BEH，
1 1
∴∠DEA+∠HEB＝90°．
1 1
又∵∠HEB+∠EHB＝90°，
1 1
14∴∠DEA＝∠EHB，
1 1
∴△ADE∽△BEH；
1 1
（2）结论：△DEF是等边三角形；
理由如下：
∵直线MN是矩形ABCD的对称轴，
∴点A是EF的中点，即AE＝AF，
1 1 1
在△ADE和△ADF中
1 1
，
∴△ADE≌△ADF（SAS），
1 1
∴DE＝DF，∠FDA＝∠EDA，
1 1
又∵△ADE≌△ADE，∠ADF＝90°．
1
∴∠ADE＝∠EDA＝∠FDA＝30°，
1 1
∴∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形；
（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2，
理由如下：由（2）可知△DEF是等边三角形；将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置，如解
图（1），
∴G'F＝GE，DG'＝DG，∠GDG'＝60°，
∴△DGG'是等边三角形，
∴GG'＝DG，∠DGG'＝60°，
∵∠DGF＝150°，
∴∠G'GF＝90°，
∴G'G2+GF2＝G'F2，
∴DG2+GF2＝GE2，
1526．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），
∴ ，解得： ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4
∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3，
∴AC2＝OA2+OC2＝18，
∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0），
∴CD2＝12+12＝2
∴AD2＝22+42＝20
∴AC2+CD2＝AD2
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°．
∵ ，
∴F为AD的中点，
∴ ，
∴ ．
②在Rt△ACD中，tan ，
在Rt△OBC中，tan ，
∴∠ACD＝∠OCB，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
16∴∠FAO＝∠ACB，
若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：
当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，
∴OF∥BC，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，
∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
∴ ，解得： ，
∴直线AD的解析式为y＝2x+6，
∴ ，解得： ，
∴F（﹣ ）．
当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，
∵∠CAB＝45°，
∴OF⊥AC，
∴直线OF的解析式为y＝﹣x，
∴ ，解得： ，
∴F（﹣2，2）．
综合以上可得F点的坐标为（﹣ ）或（﹣2，2）．
1718
