广西柳州市2026届高三第一次模拟考试数学答案_251124广西柳州市2026届高三第一次模拟考试（全科）

柳州市 2026届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准
2025.11
单选题 、 一
1 2 3 4 5 6 7 8
A C B D D B C D
多选题 、 二
9 10 11
选2个 选2个 选2个
选1个 选1个 选1个
（AC或 选3个 （AB或 选3个 （AC或 选3个
（A或C （A或B （A或C
AD或 （ACD） AD或 （ABD） AD或 （ACD）
或D） 或D） 或D）
CD） BD） CD）
2分 4分 6分 2分 4分 6分 2分 4分 6分
填空题 、 三
28 2
12.1 13. 14. 4050
3
解答题 、 三
1 9
： 故所求概率 数字相同的情况只有 ， 15.解析 (1)总取法数目C2=10， 1种 P=1- = .
5 C2 10
5
结合小球数字 ： 先分析 取出 (2)记取出的2个小球上的数字之积为X， X的可能取值 -1，0，1，1，2， 2个小球
： 积为 积为 积为 积为 积为 的数字组合及乘积为 -1与0： 0；-1与1： -1；-1与2： -2；0与1： 0；0与2： 0；1与
积为 积为 1： 1；1与2： 2。
， 因此X的可能取值为-2，-1，0，1，2。而总的情况有C2=10种
5
故PX=-2 
1
= ，PX=-1
10

2
= ，PX=0
10

4
= ，PX=1
10

1
= ，PX=2
10

2
= ，
10
所以分布列为
X -2 -1 0 1 2
1 2 4 1 2
P
10 10 10 10 10
数学期望EX 
1 2 1 2 1
=-2× +(-1)× +1× +2× = .
10 10 10 10 10
： 16.解析 (1)fx 
π
=2 3sinxcosx-2cos2x+1= 3sin2x-cos2x=2sin2x-
6
 ．
∵fA 
π
=2，∴sin2A-
6

π π π 5π
故 =1．又0<A< ， - <2A- < ，
2 6 6 6
π π π
故 ∴2A- = ， A= ．
6 2 3
由正弦定理得 ∵2sinC=3sinB， 2c=3b．
7
由余弦定理得 又a= 7， 7=b2+c2-bc= b2．∴b=2，c=3．
4
， (2)由题意可知 gx 
π
=2 2x+
3

π
  -
 6

π
sin =2sin2x+
2
 =2cos2x．
B-C 2π π
g( )=2cos(B-C)=2cos( -2C)=-2cos(2C+ )
2 3 3
π 2π π
， ∵△ABC为锐角三角形 ∴0<C< ,0<B= -C< ,
2 3 2
·1·π π 2π π 4π
∴ <C< , ∴ <2C+ < ，
6 2 3 3 3
π 1 π B-C
∴-1≤cos(2C+ )<- ，∴1<-2cos(2C+ )≤2，即g( )的取值范围是1,2]．
3 2 3 2
   
2 2
17.解析：(1)证明：因为在Rt∆ABC中，∠C=90°，AD= AC,AE= AB
3 3
     
2 2 2
DE=AE-AD= (AB-AC)= CB,∴DE⎳BC，且DE= BC=2
3 3 3
∵BC⊥CD，所以DE⊥CD，DE⊥AD，折叠后，DE⊥AD，
1
又AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ACD，
1 1 1
所以DE⊥平面ACD，AC⊂平面ACD，所以DE⊥AC，
1 1 1 1
又已知AC⊥CD，CD∩DE=D且都在面BCDE内，所以AC⊥平面BCDE；
1 1
(2)由(1)知，以CD为x轴，CB为y轴，CA 为z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，
1
易知CD=2，AD=4，AC=2 3，
1 1
故C0,0,0  ，D2,0,0  ，E2,2,0  ，B0,3,0  ，A 10,0,2 3  ，

A 1 B=0,3,-2 3 

，A 1 E=2,2,-2 3  ，

设平面A 1 BE的法向量为n=x,y,z  ，


则   n  ⋅A  1 B  =0 ，即   3y-2 3z=0 ,
n⋅A E=0 2x+2y-2 3z=0
1
不妨令y=2，则z= 3，x=1，

故平面A 1 BE的一个法向量为n=1,2, 3 
 
，设A 1 M =λA 1 D=λ2,0,-2 3 
  
CM =A 1 M -A 1 C=2λ,0,2 3-2 3λ 
设CM与平面ABE所成角的大小为θ，
1


  |CM⋅n| |6-4λ| 2
则有sinθ=|cos<CM ,n>|=  = = ，(2λ-1)2=0
|CM|·|n  | 2 2× 4λ2+12(1-λ)2 2
1
所以λ= ，所以CM=2.
2
18.解析：(1)当a=2时，函数fx 
1
=e2x+ex-x- ，f0
2

3
= ，
2
则fx  =2e2x+ex-1，则k=f0 
3
=2，切点为（0， )
2
3
所以f(x)在x=0处的切线方程为y- =2x，即4x-2y+3=0.
2
(2)由题意知，f(x)的定义域为R，
fx  =ae2x+a-1  ex-1=ex+1  aex-1  ，显然ex+1>0恒成立，
①若a≤0，则fx  <0，此时f(x)在R上单调递减；
②若a>0，令fx  =0，解得x=-lna.
当x∈-∞,-lna  时，fx  <0，当x∈-lna,+∞  时，fx  >0；
所以fx  在-∞,-lna  上单调递减，在-lna,+∞  上单调递增.
综上，当a≤0时，fx  在R上单调递减；
当a>0时，fx  在-∞,-lna  上单调递减，在-lna,+∞  上单调递增.
(3)若a≤0，由(2)知，fx  至多有一个零点；
若a>0，由(2)知，当x=-lna时，fx  取得最小值为f-lna 
1 1
=lna- + .
2a 2
设gx 
1 1
=lnx- + ，则gx
2x 2

1 1 2x+1
= + = >0，
2x2 x 2x2
故gx 
1 1
=lnx- + 在0,+∞
2x 2
 上单调递增，又g1  =0.
·2·(i)当a∈1,+∞  时，f-lna 
1 1
=lna- + ≥0，此时fx
2a 2
 没有两个零点；
(ii)当a∈0,1  时，f-lna 
1 1
=lna- + <0，又f-1
2a 2

a
= e-2+a-1
2

1 1
e-1+ >-e-1+ >0，
2 2
故fx  在-∞,-lna  上有一个零点；
当x>ln 4 ，由ex>eln a 4 可得ex> 4 即aex>4>4-2a，得 a ex+a-2>0，则 a e2x+(a-2)ex>0，
a a 2 2
4
又当x∈ln ,+∞
a

1
,h(x)=ex-x- ,hx
2

4
=ex-1>0,h(x)在ln ,+∞
a
 单调递增，h(x)>
4 1 a 1
h(ln )>h(0)= >0,故 e2x+(a-2)ex+ex-x- >0,
a 2 2 2
a
即 e2x+a-1
2

1
ex-x- >0,
2
因此fx  在-lna,+∞  上也有一个零点.
综上，若fx  有两个零点，实数a的取值范围为0,1  .
19.解析：(1)由已知，双曲线C的渐近线方程为y=±2 2x,可设双曲线方程为y2-8x2=λ
又因为点P(3,8)在双曲线上，所以λ=82-8×32=-8,
0
y2
故双曲线C的标准方程为：x2- =1
8
3
(2)因为P(3,8)，P(x ,y)，直线PF 的方程为x= y-3
0 1 1 1 0 1 4
3 9
联立   x= 4 y2 y-3 ，解得   x 1 =- 16 7 或  x y 1 = = 8 3 (舍去)，则P 1 - 9 7 , 1 7 6
x2- 1 =1 y = 1
1 8 1 7
 ，
8
已知F(3,0)，则k =k =- ；
2 P1P2 P1F2 15
(3)当n为偶数时，取连续3个反射点P(x ,y )，P (x ,y )，P (x ,y )，
n n n n+1 n+1 n+1 n+2 n+2 n+2
x +3
则直线P F 的方程为x= n+1 y-3，与双曲线交于点P(x ,y )，
n+1 1 y n n n
n+1
x +3
x= n+1 y-3
 y x +3 联立 n+1 ，消去x得 8 n+1
y2 y
x2- =1 n+1
8
  2  -1

 x +3 y2-48 n+1
y
n+1
 y+64=0，
x +3
48 n+1
y
y +y = n+1
n n+1 由韦达定理得

x +3 8 n+1 y n+1   2  -1  
64 y ⋅y =
n n+1 x +3 8 n+1
y
n+1
  2  -1



  1 1 3 x +3 ，两式相除，得 + = n+1 ，  y y 4 y
 n n+1 n+1  
1 3 x +3 1 3x +5 4y
可得 = n+1 - = n+1 ，故y = n+1 ，
y 4 y y 4y n 3x +5
n n+1 n+1 n+1 n+1
4y x +3 x +3 4y -5x -3
将y = n+1 代入直线P F 的方程x= n+1 y-3，得x = n+1 · n+1 -3= n+1 ，
n 3x +5 n+1 1 y n y 3x +5 3x +5
n+1 n+1 n+1 n+1 n+1
-5x -3 4y
所以双曲线与直线P F 的另一个交点为P n+1 , n+1
n+1 1 n 3x +5 3x +5
n+1 n+1
 ，
-5x +3 4y
同理，双曲线与直线P F 的另一个交点为P  n+1 , n+1
n+1 2 n+2 -3x +5 -3x +5
n+1 n+1
 ，
4y 4y
n+1 - n+1
-3x +5 3x +5 4 x y 4 x y 32 x
故k = n+1 n+1 = · n+1 n+1 = ⋅ n+1 n+1 =- n+1 ，
PnPn+2 -5x
n+1
+3
-
-5x
n+1
-3 5 1-x
n+1
2 5
-
y
n+1
2 5 y
n+1
-3x +5 3x +5 8
n+1 n+1
32
即k ⋅k =- ，
OPn+1 PnPn+2 5
所以当n为偶数时，直线OP 与直线PP 的斜率之积为定值.
n+1 n n+2
·3·