数学试卷解析_2025年7月_250711福建省南平市2024-2025学年第二学期高二下期末质量检测试卷(全科）

南平市 2024-2025 学年高二下学期期末质量检测 数学命题意图 一、选择题：本题共 8小题，每小题5分，共 40分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1．某物体做直线运动，其位移s关于时间t的函数是s=10t+5t2，则该运动物体在t =5时 的瞬时速度为 A．50 B．60 C．35 D．40 【答案】B. 【考查意图】本小题以直线运动方程为背景，考查瞬时变化率（导数）的概念及其在实际 问题中的应用，考查学生的运算求解能力，涉及数学抽象、数学建模等核心素养，体现基 础性和应用性． 【解析】s=10+10t,s| =10+105=60.故选B． t=5 2．甲班1人、乙班2人、丙班3人站成一排拍照，要求同班的同学相邻，则不同的排法总 数为 A．36 B．30 C．72 D．60 【答案】C. 【考查意图】考查学生排列组合基本知识基本方法，数学抽象数学运算的等核心素养． 【解析】三个班级的同学先整体排，同班的同学再内部调整，共有A3A3A2 =72种排 3 3 2 法．故选C． 3．一批零件共有10个，其中有2个不合格，随机抽取3个零件进行检测，则至少取到1 件不合格的概率为 8 7 2 1 A． B． C． D． 15 15 5 3 【答案】A. 【考查意图】考查离散型随机变量的超几何分布，考查数据分析和运算求解能力． 高二数学试题第1页（共14页） {#{QQABQQak4gC4gAbACI4LQQWICUqQsIIjJUokwUAeOAQKiRNABKA=}#}【解析】设X表示抽取的3个零件中不合格品数，则X服从超几何分布，且N=10， CkC3−k M=2，n=3．因此，分布列为P(X =k)= 2 8 ，k =0,1,2． C3 10 C1C2 C2C1 56 8 64 8 解法1：P(X 1)=P(X =1)+P(X =2)= 2 8 + 2 8 = + = = ． C3 C3 120 120 120 15 10 10 C0C3 56 64 8 解法2：P(X 1)=1−P(X =0)=1− 2 8 =1− = = ．故选A． C3 120 120 15 10 4．若随机变量X ~N(3,2)，且P(X 6)=0.15，则P(0 X 3)= A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.15 【答案】C． 【考查意图】正态分布的概率计算，考查对称思想． 1 【解析】P(0 X 3)=P(3 X 6)= −P(X>3)=0.35．故选C． 2 5．已知函数 f (x)=x2−asin2x+b，若曲线𝑦 =𝑓(𝑥)在点 (0, f (0)) 处的切线方程 2x−y+2=0，则a+b= A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【考查意图】考查基本求导公式及求导法则，考查导数的几何意义． 【解析】 f(x)=2x−2acos2x, f(0)=−2a=2,a=−1 又 f(0)=2,b=2，a+b=1．故 选A． 6．将4人分配到2个学校实习，每人分配到1个学校，每个学校至少1人，则不同的分配 方案的种数为 A．12 B．14 C．20 D．24 【答案】B 【考查意图】排列组合的分组分配问题，考查学生分类讨论思想． 【解析】先将4人分成2组，每组2个人或者一组3人一组1人， 高二数学试题第2页（共14页） {#{QQABQQak4gC4gAbACI4LQQWICUqQsIIjJUokwUAeOAQKiRNABKA=}#}C2C2 若每组2个人，分别分配给2个学校，则有 4 2 A2 =6种分法， 2! 2 若一组3人一组1人，则有C3C1A2 =8种分法，因此不同的分配方案共14种．故选B． 4 1 2 7．抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(六个面上的数字分别为 1，2，3，4，5，6)，如果抛 掷后两枚骰子向上一面的点数不相同，则继续抛掷，直至两枚骰子向上一面的点数相 同时停止．那么抛掷3次后停止的概率为 1 5 1 25 A． B． C． D． 36 36 216 216 【答案】D． 【考查意图】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、实际问题中的组合计数问 题． 【解析】抛掷3次后停止，即第1、2次所得点数不同，且第3次所得点数相同．因为每次 6 1 抛掷之间是相互独立的，所以每次抛掷两枚骰子向上一面的点数相同概率都为 = ， 66 6 5 5 5 1 25 点数不同的概率都为 ，所以抛掷3次后停止的概率为   = ．故选D． 6 6 6 6 216 8．如图，用A ,A ,A ,A 四个不同元件连接成一个系统，当A 和A 正常工作且A 和A 至 1 2 3 4 1 4 2 3 1 2 2 少有一个正常工作时系统正常．已知A ,A ,A ,A 正常工作的概率分别为 2 , 3 , 3 , 1 2 3 4 1 ， 2 则在系统正常工作条件下，A ,A 同时正常工作的概率为 2 3 （第8题图） 1 1 4 2 A． B． C． D． 2 4 9 9 【答案】A． 【考查意图】考查条件概率、独立事件的相关知识． 【解析】设事件A=“系统正常工作”，事件B=“A 和A 同时正常工作”，则 2 3 高二数学试题第3页（共14页） {#{QQABQQak4gC4gAbACI4LQQWICUqQsIIjJUokwUAeOAQKiRNABKA=}#}1 1  2 2  2 1 2 2 1 1 P(A)=   1−(1− )(1− ) = ， p(AB)=    = ，   2 2  3 3  9 2 3 3 2 9 1 P(AB) 9 1 P(B|A)= = = ． P(A) 2 2 故选A． 9 二、选择题：本题共 3小题，每小题6分，共 18分。在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有 选错的得 0分。 9．下列命题正确的是 A．经验回归直线必过样本数据的中心点(x,y) B．当样本相关系数r0时，两个变量负相关 C．甲、乙两个回归模型的决定指数R2分别为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好 D．残差的散点图所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 【答案】AC． 【考查意图】考查成对数据的统计分析及基本概念． 【解析】对于A，线性回归直线必过样本数据的中心点(x,y)，所以A正确； 对于B，当相关性系数r0时，两个变量正相关，所以B不正确； 对于C，甲、乙两个模型的R2分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好，所以C 正确； 对于D，残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，所以 D不正确．故选AC． 高二数学试题第4页（共14页） {#{QQABQQak4gC4gAbACI4LQQWICUqQsIIjJUokwUAeOAQKiRNABKA=}#}10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，设A={(0，0)，(1，0)，(2，0)，(0，1)，(1，1)， (2，1)，(0，2)，(1，2)，(2，2)}，从集合A中任取两个不同的点，用随机变量X 表示他们之间 的距离，则以下结论正确的是 1 A．P(X =1)= 3 1 B．P(X =2)= 6 4 C．P(2 X 3)= 9 （第10题图） D．E(X)=2 2 【答案】ABC． 【考查意图】概率加法公式、利用古典概型求分布列及期望的估算． 12 1 6 1 【解析】X =1, 2,2, 5,2 2， P(x=1)= = ，P(x=2)= = ， C2 3 C2 6 9 9 8 2 2 1 P(x= 5)= = ，P(x=2 2)= = ， C2 9 C2 18 9 9 4 P(2 X 3)=P(x=2)+P(x= 5)+P(x=2 2)= ， 9 1 2 1 2 1 E(x)=1 + 2 +2 + 5 +2 2 2 2 ．故选ABC． 3 9 6 9 18 1 11．甲、乙两人进行比赛，每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为 ．现比赛2n(nN*) 2 局，若约定甲获胜的局数多于乙，则甲赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为P(n)，则 5 11 A．P(2)= B．P(3)= 32 32 C．P(n)= 1 − C 2 n n D．P(n)的最小值为 1 2 22n+1 4 【答案】BCD． 【考查意图】考查概率理论的基础知识以及组合数的运算能力． 【解析】对于A，若比赛4局A获胜，则A在4局比赛中至少胜3局， 4 4 1 1 5 所以P(2)=C3   +C4   = ，故A不正确； 4 2 4 2 16 对于B，若比赛6局A获胜，则A在6局比赛中至少胜4局， 高二数学试题第5页（共14页） {#{QQABQQak4gC4gAbACI4LQQWICUqQsIIjJUokwUAeOAQKiRNABKA=}#}6 6 6 1 1 1 11 所以P(3)=C4   +C5   +C6   = ，故B正确； 6 2 6 2 6 2 32 对于C，若比赛2n局A获胜，则A在2n局比赛中至少胜n+1局， 所以P(n)=Cn+1   1  2n +Cn+2   1  2n + +C2n   1  2n =   1  2n ( Cn+1+Cn+2+ +C2n) 2n 2 2n 2 2n 2 2 2n 2n 2n =   1   2n  1  ( 22n −Cn ) = 1 ( 22n−Cn )  1  2n = 1 − C 2 n n ，故C正确； 2 2 2n 2 2n 2 2 22n+1 1Cn Cn+1  1 4Cn −Cn+1 对于D，因为且P(n+1)−P(n)=  2n − 2n+2 =  2n 2n+2 ， 2 22n 22n+2  2 22n+2 4Cn 4(2n)! (2n+2)! 4(n+1)2 2(n+1) 又 2n =  = = 1， Cn+1 n!n! (n+1)!(n+1)! (2n+2)(2n+1) 2n+1 2n+2 故P(n+1)P(n)，所以P(n)递增，所以当n=1时，P(n)取得最小值为 1 ，故D正确．故 4 选BCD． 三、填空题：本题共 3小题，每小题5分，共 15分。 12．甲、乙两人同时抢答一道问题，他们抢到答题机会是等可能的．已知甲正确回答的概 2 1 率为 ，乙正确回答的概率是 ，则这道问题被正确回答的概率是___▲_____． 3 3 1 【答案】 ． 2 【考查意图】考查全概率公式的简单运用． 【解析】记事件A＝“甲抢答这道题”，事件A ＝“乙抢答这道题”，记事件B＝“这道题 1 2 1 1 2 1 被答对”，则P(A)= ，P(A )= ，且P(B|A)= ，P(B|A )= ， 1 2 2 2 1 3 2 3 2 1 2 1 1 1 由全概率公式可得P(B)=P(A)P(B|A)=  +  = ． i i 2 3 2 3 2 i=1 13．已知(2x+1)2025 =a +a x+a x2 + +a x2025，则a =___▲_____； 0 1 2 2025 0 2a +22a + +22025a 被4除的余数为___▲_____． 1 2 2025 【答案】1；0． 【考查意图】整除和余数问题、二项展开式各项的系数和． 【解析】令x=0，由已知可得，a =12025 =1， 0 令x=2，可得52025 =a +2a +22a + +22025a ， 0 1 2 2025 高二数学试题第6页（共14页） {#{QQABQQak4gC4gAbACI4LQQWICUqQsIIjJUokwUAeOAQKiRNABKA=}#}所以2a +22a + +22025a =52025−1. 1 2 2025 因为52025 =(4+1)2025 =C0 4202510+C1 4202411++C20244112024+C20254012025 2025 2025 2025 2025 =C0 4202510+C1 4202411++C20244112024+1， 2025 2025 2025 所以52025被4除的余数为1，即52025−1被4除的余数为0． 1 14．定义在（0，+）上的可导函数 f(x)，满足 f(x)+xf(x)= ，且 f(1)=0，若关于x的方 x 程| f(x)|−kx=0 有且只有1个实数根，则实数k的取值范围是 ___▲_____． 1 【答案】k =0或k ． 2e 【考查意图】考查学生导数的运算法则及抽象函数的导数等基础知识，考查学生的逻辑推 理能力、运算求解能力以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力． 1 【解析】由于 f(x)+xf(x)= ，于是得到 [xf(x)]=(lnx+C)(C为常数)，进而就有 x lnx 1−lnx xf(x)=lnx+C，而 f(1)=0，解得C =0，于是 f(x)= , f(x)= ． x x2 进而得到y=| f(x)|的图像，如右图所示， 动态做出直线y=kx，易知： 当k 0时，原方程无解； 当k =0时，原方程有唯一解； lnx 当k 0时，设直线y=kx与y=| f(x)|= (x1)相切于点(x ,y )，则由 x 0 0 1−lnx lnx 1 lnx 0 = 0 x = e ，此时k= ，由于 f(x)= 是上凸函数(或证 x 2 x 2 0 2e x 0 0 高二数学试题第7页（共14页） {#{QQABQQak4gC4gAbACI4LQQWICUqQsIIjJUokwUAeOAQKiRNABKA=}#}1 lnx 1 x (x1)恒成立)，所以k 时，直线y=kx与曲线y=| f(x)|仅有1个交点．综 2e x 2e 1 上，实数k的取值范围是k =0或k ． 2e 四、解答题：本题共 5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15．（13分） 4名大学生参加实习活动．（以下小题结果用数字作答） （1）有4项不同的工作，每人安排其中一项工作，有多少种不同安排方法？ （2）有4项不同的工作，每人安排其中一项工作，每项工作只安排一人，有多少种不 同安排方法？ （3）将4人安排到国庆七天假期值班，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天， 有多少种不同的安排方法？ 【答案】（1）256；（2）24；（3）420． 【考查意图】考查两个计数原理，排列数、组合数公式的运用． 【解析】 （1）每人各有4种选择，每人都安排一项工作的不同方法数为44 =256； ..............…...........................................…........................................................………4分 （2）依题意得A4 =4321=24；…........................................................………8分 4 （3）甲两天，乙三天，丙和丁各一天，所以不同的安排方法有C2C3C1 =420种． 7 5 2 ..............…...........................................…........................................................………13分 16．（15分） 已知函数 f (x)=x3+mx2 +nx(m,nR)在x=1处取得极值4． （1）求m,n的值； （2）求函数 f (x)在[0,4]的最大值和最小值． 【答案】（1）m=−6,n=9；（2） f (x) =4， f (x) =0． max min 【考查意图】考查导数在极值、最值中的运用． 【解析】 （1）∵ f (x)=x3+mx2 +nx，则 f(x)=3x2 +2mx+n， .................…...............……2分 高二数学试题第8页（共14页） {#{QQABQQak4gC4gAbACI4LQQWICUqQsIIjJUokwUAeOAQKiRNABKA=}#}因为函数 f (x)在x=1处取得极值4， f (1)=1+m+n=4 所以 ，................................................................................………4分  f(1)=3+2m+n=0 m=−6 解得 ，...........................................…........................................................………6分 n=9 经检验，m=−6,n=9符合题意．........................................................................………7分 （2）由（1）可得 f (x)=x3−6x2 +9x， f(x)=3x2 −12x+9=3(x−1)(x−3)， 令 f(x)0，解得x3或x1； .....................................................................………9分 令 f(x)0，解得1 x3； .....................................................................………11分 所以 f (x)在(−,1),(3,+)上单调递增，在(1,3)上单调递减， 又 f(0)=0, f(1)=4, f(3)=0, f(4)=4, .....................................................................…13分 故 f (x) = f(1)= f(4)=4, f (x) = f(0)= f(3)=0. ..........................................…15分 max min 17．（15分） 用甲、乙两款AI模型进行智能作图，甲、乙每次智能作图达到优质效果的概率分别 2 1 为 ， ．现用甲、乙模型各自独立地智能作图3次，每次作图前后之间互不影响．记 3 2 甲、乙作图达到优质效果的次数分别为X，Y． （1）求随机变量X的分布列、数学期望和方差； （2）求事件“X +Y =3”的概率． 2 7 【答案】（1）分布列见解析，E(X)=2，D(X)= ；（2）P(X +Y =3)= ． 3 24 【考查意图】考查独立重复试验的概率问题、二项分布的均值、利用二项分布求分布列、 二项分布的方差等知识． 【解析】  2 （1）由题可知随机变量X 服从二项分布：X ~B3, ，.......................................2分  3 高二数学试题第9页（共14页） {#{QQABQQak4gC4gAbACI4LQQWICUqQsIIjJUokwUAeOAQKiRNABKA=}#}3 2 1 1 2 1 2 P(X =0)=C0   = ，P(X =1)=C1   = ， 3 3 27 3 3 3 9 2 3 2 1 4 2 8 P(X =2)=C2   = ，P(X =3)=C3  = ．.......................................6分 3 3 3 9 3 3 27 所以随机变量X 的分布列如下： X 0 1 2 3 1 2 4 8 P 27 9 9 27 2 2 1 2 均值为E(X)=3 =2，D(X)=3  = ． ..................................................9分 3 3 3 3 （2）由题可知“X +Y =3”的情况可分为四类： 3 3 1 1 1 ①X =0,Y =3时，P =    = ， ..................................................10分 1 3 2 216 1 2 3 2 1 1 1 ②X =1,Y =2时，P =C1     C2   = ，..................................................11分 2 3 3 3 3 2 12 2 2 1 1 1 3 1 ③X =2,Y =1时，P =C2     C1   = ，..................................................12分 3 3 3 3 3 2 6 2 3 1 3 1 ④X =3,Y =0时，P =    = ， ...............................................................13分 4 3 2 27 63 7 所以P(X +Y =3)=P +P +P +P = = ． ...................................................15分 1 2 3 4 216 24 18．（17分） 新能源汽车是我国重要的战略新兴产业．某研究机构根据统计数据，用最小二乘法得 到电动汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的经验回归方程为yˆ=b ˆ x+aˆ，且销量y的 方差为s2 =50，年份x的方差为s2 =2． y x （1）该机构调查该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如表1所 高二数学试题第10页（共14页） {#{QQABQQak4gC4gAbACI4LQQWICUqQsIIjJUokwUAeOAQKiRNABKA=}#}示，依据小概率值=0.05的独立性检验，能否认为购买新能源汽车与车主性别 有关联? 性别 购买新能源汽车 购买非新能源汽车 总计 男性 10 35 45 女性 20 25 45 总计 30 60 90 表1 （2）若b ˆ =4.8，求y与x的样本相关系数r，并据此判断新能源汽车销量y与年份x 的相关性强弱． 参考公式： （i）经验回归方程：yˆ=b ˆ x+aˆ，其中 n (x −x)(y − y) i i b ˆ = i=1 ,aˆ= y−b ˆ x ； n (x −x)2 i i=1 n (x −x)(y −y) i i （ii）样本相关系数：r= i=1 ， n n (x −x)2(y −y)2 i i i=1 i=1 若r0.9，则可判断y与x线性相关性很强； n(ad−bc)2 （iii）2 = ，其中n=a+b+c+d . (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 附表：  0.10 0.05 0.010 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828  【答案】（1）认为购买新能源汽车与车主性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05； （2）新能源汽车销量y与年份x的相关性较强． 【考查意图】考查回归直线，卡方的计算，独立性检验解决实际问题． 【解析】 （1）零假设为H ：购买新能源汽车与车主性别相互独立， 0 即购买新能源汽车与车主性别无关． ................................................................................2分 高二数学试题第11页（共14页） {#{QQABQQak4gC4gAbACI4LQQWICUqQsIIjJUokwUAeOAQKiRNABKA=}#}n(ad−bc)2 90(2510−3520)2 2 = = =53.841，..........................................6分 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 45456030 所以依据小概率值=0.05的独立性检验，我们推断H 不成立，.......................................7分 0 即认为购买新能源汽车与车主性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05． ............................................................................... .....................................................................8分 n n n (x i −x)(y i −y) (x i −x)(y i −y) (x i −x)2 （2）相关系数为r= i=1 = i=1  i=1 = n n n n (x i −x)2(y i −y)2 (x i −x)2 (y i −y)2 i=1 i=1 i=1 i=1 ns2 s2 4.8 2 4.8 bˆ  x =bˆ  x = =0.960.9，....................................................................... 16分 ns2 s2 50 5 y y 故y与x线性相关较强． ....................................... ...............................................................17分 19．（17分） 已知函数 f(x)=x(aex−1−1)+blnx+2． （1）若a=0,b=1，求函数 f(x)的极值； （2）若b=−1，当a1，求证：x(0,+)， f(x)2； sinx+cosx （3）若b=−1，设g(x)= ，若x (0,+), x 0,1)， f(x)g(x )，求 1+x−x2 1 2 1 2 实数a的取值范围． 1  【答案】（1）极大值为1，无极小值 ；（2）证明见解析； （3）  ,+． e  【考查意图】考查函数的导数及其应用等基础知识；考查基本求导公式及求导法则，考查 利用导数判断函数单调性和极值的方法；考查灵活运用导数工具分析、解决问题的能力； 综合考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力和推理论证能力以及分类讨论的思想；考查 数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养． 【解析】 1−x （1）若a=0,b=1， f(x)=−x+lnx+2， f(x)= ，.........................1分 x 当x(0,1)时， f(x)0， f(x)在(0,1)上单调递增； 高二数学试题第12页（共14页） {#{QQABQQak4gC4gAbACI4LQQWICUqQsIIjJUokwUAeOAQKiRNABKA=}#}当x(1,+)时， f(x)0， f(x)在(1,+)上单调递减． 所以 f(x)无极小值，且当x=1时， f(x)取得极大值 f(1)=1．.................................3分 （2）解法1：若b=−1，a1 ， f(x)=axex−1−x−lnx+2=aex+ln−1−(x+lnx−1)+1ex+ln−1−(x+lnx−1)+1， ..................................................................... ...............................................................5分 令t = x+lnx−1，要证 f(x)2，只要证et −t−10， ..........................................6分 设h(t)=et −t−1， h(t)=et −1, 当t(−,0)时，h(t)0, h(t)在 (−,0)单调递减； 当t(0,+)时，h(t)0, h(t)在 (0,+)单调递增， ..........................................8分 所以h(t)h(0)=0，命题得证． ................ ...............................................................9分 （2）解法2：由题可知，对任意x(0,+)， f(x)2恒成立． 等价于axex−1−x−lnx+22在(0,+)恒成立． a 所以 xex −(x+lnx−1)−10， e a xex 即 xex −ln −10在(0,+)恒成立． ............................................................ 5分 e e xex 设t = (x0)，则t 0， e 所以原不等式等价于at−lnt−10 (t>0)恒成立． 设(t)=at−lnt−1 (t>0)，则(t)0 (t>0)恒成立． 1 由(t)=at−lnt−1 (t>0)，得(t)=a− (t>0)． .............................................. 6分 t 1 当a0时，令(t)=0，得t= ． a 1 当t 时，(t)0，(t)单调递增； a 1 当0t 时，(t)0，(t)单调递减． a 1 1 所以(t)在t= 时，取到极小值，也是最小值，且最小值为( )=lna． a a ..................................................................... ...............................................................8分 因为a1，所以(t)lna0，即对任意x(0,+)， f(x)2恒成立． ..................................................................... ...............................................................9分 高二数学试题第13页（共14页） {#{QQABQQak4gC4gAbACI4LQQWICUqQsIIjJUokwUAeOAQKiRNABKA=}#}（3）解法1：设F(x)=sinx+cosx−1−x+x2，则F(x)=cosx−sinx−1+2x， 设R(x)=cosx−sinx−1+2x，则R(x)=−sinx−cosx+20，.................................11分 所以R(x)在区间[0,1)上单调递增，因为R(0)=0，所以R(x)R(0)=0， ..................................................................... ...............................................................12分 所以F(x)在[0,1)上单调递增， 所以F(x)F(0)=0,即sinx+cosx1+x−x2，又x[0,1)时，1+x−x2 =1+x(1−x)1 sinx+cosx 所以g(x)= 1在x[0,1)上恒成立． ................................................13分 1+x−x2 a xex 由 f(x)=x(aex−1−1)+blnx+2得， f (x)= xex −ln +1， e e xex 令t = (x0)，则t 0， e 1 设h(t)=at−lnt−1 (t>0)，h(t)=a− ， ..................................................................14分 t 当a0时，则h(t)1−lnt， 当te时，h(t)0，不合题意，舍去． ..................................................................15分 1 1 当a0时，当t 时，h(t)0，h(t)单调递增；当0t 时，h(t)0，h(t) a a 单调递减． 1 所以h(t)的最小值为h =1+lna+1，即 f (x)的最小值为2+lna， a 故要使得若x (0,+), x 0,1)，都有 f(x)g(x)，只需2+lna1 1 2 1 1  解得a ，所以实数a范围为  ,+ ．...............................................................17分 e e  sinx+cosx （3）解法2：由g(x)= ，则有 1+x−x2 (cosx−sinx)(1+x−x2)−(sinx+cosx)(1−2x) (x+x2 −2)sinx+(3x−x2)cosx g(x)= = (1+x−x2)2 (1+x−x2)2 ..........................................................................................................................10分 令M(x)=(x+x2 −2)sinx+(3x−x2)cosx， M(x)=(1+2x)sinx+(x+x2 −2)cosx+(3−2x)cosx−(3x−x2)sinx =(x2 −x+1)(sinx+cosx)， .........................................................................................11分 高二数学试题第14页（共14页） {#{QQABQQak4gC4gAbACI4LQQWICUqQsIIjJUokwUAeOAQKiRNABKA=}#}因为x0,1)所以M(x)0 ，M(x)在x0,1)上为增函数， 所以M(x)M(0)=0，即g(x)0，所以g(x)在x0,1)上为增函数，则 g(x)g(1)=1，即g(x )g(1)=1，所以 x (0,+)， f(x)1，则有 2 1 1 axex1−1−x −lnx +10恒成立， ........................................................................................13分 1 1 1 x +lnx −1 即aex1−1+lnx1 −x −lnx +10，所以a 1 1 ，...............................................14分 1 1 ex1+lnx1−1 令t=x +lnx −1 (tR)， 1 1 t t 则tR，a ，a( ) ，.................................................................. .................15分 et et min t et −tet 1−t 令h(t)= (tR)，h(t)= = ， et e2t et 当t(−,1)时，h(t)<0， （h t)为减函数， 当t(1,+)时，h(t)0，h(t)为增函数， 1 1  所以（h t) min =h(1)= e 所以实数a范围为  e ,+  ． .........................................17分 高二数学试题第15页（共14页） {#{QQABQQak4gC4gAbACI4LQQWICUqQsIIjJUokwUAeOAQKiRNABKA=}#}