湘教版高中数学选修2-3理科_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_02科三专项（笔记真题思维导图教学设计版本二）

普 通 经全国中小学教材审定委员会 2005 年初审通过 高 中 课 程 标 准 实 普通高中课程标准实验教科书 验 教 科 书 选修 2-3（理科） 2 3 湖 南 教 育 ISBN 978-7-5355-4612-8 出 版 湖南教育出版社 社 9787535546128> 定价：6.65元 － 选 修 （ 理 科 ）Mathematics 普通高中课程标准实验教科书 数 学 选修 2-3( 理科） 湖 南 教 育 出 版 社主 编 张景中 黄楚芳 !! ! ! 执行主编 李尚志 ! 本册主编 何书元 ! 编 委 郑志明 查建国 文志英 !! ! ! ! 袁宏喜 普通高中课程标准实验教科书 数 学 !! 选修 理科 " # ! " 责任编辑 邹楚林 # 责任校对 刘 源 # ! 湖南教育出版社出版发行 长沙市韶山北路 号 ! $$# " 电子邮箱 # %&’()*+,+-&./)01 客 服 电话 !! # 23#4567$68939 湖南出版中心重印 广西区新华书店经销 湖南天闻新华印务邵阳有限公司印刷 开 印张 字数 692:4"$2!48 ! # 3;"7! # 432222 年 月第 版 年 月第 版第 次印刷 "227 6 4 !"249 3 " 43 <=>?936$3$7#77$$84"$6 定 价 元 ! # 8;87 著作权所有 请勿擅用本书制作各类出版物 违者必究 ! ! " 如有质量问题 影响阅读 请与湖南出版中心联系调换 ! ! " 联系电话 # 23#4566#66968!23#4566#66963 书书书让数据说话 在人们的日常生活和工作中 经常遇到诸如 肺 !! ! " 癌与吸烟有关吗 植物学家是如何对植物分类的 #! " #! 昆虫学家是如何给昆虫分类的 等等问题 解决这些 " # ! 问题的数学基础是和计数方法 统计与概率有关的 $ ! 在计数问题中 分类加法计数原理和分步乘法计 ! 数原理是解决计数问题的最基本 最重要的原理 也 $ ! 称为基本计数原理 它为许多实际问题的解决提供了 ! 思想方法和工具 通过学习基本计数原理 我们将逐 ! ! 步展开排列数 组合数和二项式定理及其应用的学习 $ ! 从而了解计数方法和现实生活的联系 ! 现代社会已经成为信息化的社会 人们常常需要 ! 收集和整理大量的数据 统计就是研究如何合理收集 ! $ 整理和分析数据 如何从数据中提取有用信息的科学 ! ! 它可以为人们制定相关决策提供依据 ! 不像物理 化学 医学 社会学或心理学 它们 $ $ $ ! 都有自己确定的研究对象 统计学没有自己的基于试 ! 验的专门研究对象 但是可以为物理学家 化学家 ! $ $ 医生 社会学家 心理学家等提供一套研究它们的问 $ $ 题的有效方法 这套方法可以帮助各个领域的研究工 ! 作者更快地走上成功之路 ! 统计学的英文名字是 是一个 !"#"$%"$&%’!"#"$%"$&% 多义词 多年前首次应用时 指政府部门记录人 !()) ! 们出生的日期等 时至今日 统计已经是世界上各个 ! ! 1 书书书层次的政府机构的重要技术支柱之一 ! 数据中含有许多重要的信息 用正确的统计方法 ! 从数据中提取的信息可以帮助人们制定更加合理的决 策和行为规则 减少决策的盲目性和有偏性 这就是 ! ! 人们经常说的一句话 让数据说话 " ! 随机现象在日常生活中随处可见 统计与概率就 ! 是研究随机现象规律的科学 它为人们认识客观世界 ! 提供了重要的思维方式和解决问题的方法 时至今日 ! ! 统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民必备的 知识 ! 作 者 ! !!! 年 月 !""# $ !!! 2 书书书目 录 ７ 第 章 计数原理 问题探索 运气还是欺骗芽穴一雪 / ２ 7.1 两个计数原理 / ４ ７．１．１ 分类加法计数原理 / ４ 习题 １ / ６ ７．１．２ 分步乘法计数原理 / ６ 习题 ２ / １０ 7.2 排列 / １１ ７．２．１ 排列与排列数公式 / １１ 习题 ３ / １４ ７．２．２ 排列数的应用 / １５ 习题 ４ / １８ 7.3 组合 / １８ ７．３．１ 组合与组合数公式 / １８ 习题 ５ / ２２ ７．３．２ 组合数的性质和应用 / ２２ 习题 ６ / ２６ 问题探索 运气还是欺骗芽穴二雪 / ２７ 数学文化 杨辉三角 / ３０ 7.4 二项式定理 / ３１ 习题 ７ / ３５ 数学文化 地图染色和四色定理 / ３６ 小结与复习 / ４０ 复习题七 / ４１ 1８ 第 章 统计与概率 8.1 随机对照试验 / ４５ 习题 １ / ４９ 8.2概率 / ４９ ８．２．１ 概率的加法公式 / ４９ 习题 ２ / ５２ ８．２．２ 条件概率 / ５２ 习题 ３ / ５５ ８．２．３ 事件的独立性 / ５５ 习题 ４ / ５９ ８．２．４ 离散型随机变量及其分布 / ６０ 习题 ５ / ６３ ８．２．５ 几个常用的分布 / ６３ 习题 ６ / ６７ 数学文化 数学期望 / ６８ ８．２．６ 离散型随机变量的数学期望 / ６９ 习题 ７ / ７２ ８．２．７ 离散型随机变量的方差 / ７３ 习题 ８ / ７６ 数学文化 高斯与正态分布 / ７７ 8.3正态分布曲线 / ７８ 习题 ９ / ８２ 8.4 列联表独立性分析案例 / ８３ 习题 １０ / ８７ 28.5 一元线性回归案例 / ８８ 习题 １１ / ９６ 小结与复习 / １００ 复习题八 / １０２ ［多知道一点］ 利用计算机或计算器计算 组合数 / ３８ 假设检验案例 / ９７ 附录 １ 标准正态分布表 / １０６ 附录 ２ 数学词汇中英文对照表 / １０７ 37 第 章 计数原理 设赌摸球骗局深 迷图八阵费搜寻 设赌摸球骗局深! 迷图八阵费搜寻! 神机妙算杨辉数 ! 组合排列有乾坤 ! 神机妙算杨辉数! 组合排列有乾坤! ! ! 计数问题大量存在于我们的学习和日常 计数问题大量存在于我们的学习和日常 生活中 分类加法计数原理和分步乘法计数 生活中! 分类加法计数原理和分步乘法计数 原理是两!个最基本的计数原理 排列数和组 原理是两个最基本的计数原理! 排列数和组 ! 合数就是这两个计数原理的直接应用 在所 合数就是这两个计数原理的直接应用! 在所 有的计数问题中 排列数和组合数共同!扮演 有的计数问题中! 排列数和组合数共同扮演 ! 了十分重要的角色 了十分重要的角色! ! 书书书 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 问题探索 !!! 运气还是欺骗! "一# 王蒙先生是我国当代著名作家 他在 王蒙自述 我的人生哲 !! ! " # 学 中谈到在海滨旅游城市北戴河遇到的一件事情 一个经营游戏 $ # 的人在袋中放入 个质地完全相同的球 这 个球分 种颜色 !" ! !" # ! 每种颜色的球各 个 参加游戏者从中随机摸出 个球 $ ! %" ! 为了叙述简单 我们用字母 表示摸出的 个球中 种颜 ! "#$% %" # 色的球的个数分别是 按照这种表示规则 表示 "!#!$!%! !$$"" 摸出的球只有两种颜色 表示摸出的球只有 种颜色 其中 %$#%" & ! 有 个颜色相同 其余 个中有 个颜色相同 $ ! $ # %&& 经营者规定的游戏规则如下 # 摸出 得一等奖 奖励一台摄像机 %! $$""! ! % 摸出 得二等奖 奖励一条进口香烟 !! $#%"! ! % 摸出 得三等奖 奖励一个玩具机器人 &! $&%%! ! % 摸出 或 得四等奖 奖励一盒进口香烟 #! #"&& ##%%! ! % 摸出 得五等奖 奖励一个小海螺 $! #!!!! ! % 摸出 或 交游戏费 元 ’! %!&# &&&%! ! % 摸出 交游戏费 元 (! &&!!! $ % 摸出其他结果不奖不罚 )! ! 王蒙先生冷眼旁观 发现十之八九摸出的是 十之一二 ! &&!!! 摸出的是 或 见王蒙的原文第 页 %!&# #"&& ’ %#& (! 初看起来 得奖的机会多于付钱的机会 所以有很多人怀着侥 ! ! 幸的心理参加游戏 其结果是拱手送上 元或 元钱 游戏经营者 ! $ ! ! 一天的收入颇丰 ! 为什么是这样的结果呢 要回答这个问题 必须把从 个球 ) ! !" 2 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 中抽取 个球的所有不同结果计算清楚 然后再计算 !" ! !!""! 在其中所占的比例 !#$"!"!%%&& # 解决以上问题的方法在数学上称为计数方法 学习完计数方 # 法 你可能就不会参加这种有欺骗性的游戏了 ! # 3 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 两个计数原理 !７"．#1! 两个计数原理 !! 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是计数方法中的最基本原 理 学好这两个原理是非常重要的 ! ! !! ! 7 " . # 1 " . # 1 ! 分 分 类 类 加 加 法 法 计 计 数 数 原 原 理 理 在日常生活中 计数问题是非常普遍的 我们先考虑如下几个简 ! ! 单的例子 然后从中总结出一般的规律 ! ! 问题 从北京到长春可乘飞机 火车和长途汽车三类交通工 #! " 具 如果一天内有 个航班飞往长春 有 列火车和 趟长途汽车开 ! ! ! " # 往长春 从北京到达长春有多少种不同的选择 ! # 分析 如图 从北京到长春有飞机 火车和长途汽车这三 ! $ %! " 类交通工具可供选择 其中乘飞机有 种选择 乘火车有 种选择 ! ! ! " ! 乘长途汽车有 种选择 所以一共有 种选择 # ! !&"&#’%( ! 图 $ % 问题 书架上有语文书 册 数学书 册 英语书 册 小说 $! ) ! ) ! $ ! 册 历史书 册 这些书互不相同 从中选择一本 有多少种不 %( ! " ! ! ! 同的选择方式 # 分析 书架上一共有 类图书 分别是语文书 数学书 英语 ! # ! " " 书 小说 历史书 这 类书的数量分别是 册 册 册 " " ! # ) ") "$ "%( 册 册 一共是 册 从中选择时可以有 种 "" ! )&)&$&%(&"’") ! ") 不同的选择方式 ! 根据上面对问题 和问题 的分析 可以总结出下面的结论 % ( ! ! 4 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 分类加法计数原理 如果完成一件事有 类办法 在 !! ! ! " 第一类办法中有 种不同的方法 在第二类办法中有 " " " ! " 种不同的方法 在第 类办法中有 种不同的方法 "#" ! " " ! 每种方法都能完成这件事 那么完成这件事共有 " #$" %" %#%" ! " ! 种不同的方法 & 我们把分类加法计数原理简称为分类计数原理 或加法原理 其 ! ! 特点是各类中的每一方法都可以完成要做的事情 我们用图 表 ! ! " 示分类计数原理 强调每一类中的一个方法就可以完成要做的事情 ! ! 第一类有 第二类有 第 类有 # 种方法 !! 种方法 !!""!! 种方法 " " " # " # 一共有 种方法 !"$"$"$" ! # " # 图 分类计数原理 ! "! 分类时 首先要根据问题的特点确定一个适当的分类标准 然后 ! ! 根据这个分类标准进行分类 分类时还要注意两条基本原则 一是完 ! # 成这件事的任何一种方法必须分入相应的类 二是不同类的方法必须 $ 是不同的方法 只要满足这两条基本原则就可以使计数不重不漏 ! ! 练 习 一项工作可以用两种方法完成 有 人会用第一种方法完成 另有 人会用第 #! ! $ ! % 二种方法完成 从这 个人中选出一个完成这件工作 共有多少种选法 ! & ! % 在读书活动中 一个学生要从互不相同的 本科技书 本政治书 本文艺 "! ! " &" &’ 书里任选一本 共有多少种不同的选法 ! % 5 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 习题 ! ! 一栋住宅楼共有 层 第一层有 个住户 其余每层有 个住户 从中随机挑 !! " ! # ! !$ ! 选一户进行抽样调查 会有多少种不同的挑选结果 ! " 北京的有线电视可以接收中央台 个频道 北京台 个频道和其他省市 个 $! !$ # !% &" 频道的节目 ! 这些频道播放的节目互不相同时 一台电视机可以选看多少个节目 $!% ! " 如果有 个频道正在转播同一场球赛 其余频道正在播放互不相同的节 $$% ’ ! 目 一台电视机可以选看多少个不同的节目 ! " !! !7".#1".$2!分 分 步 步 乘 乘 法 法 计 计 数 数 原 原 理 理 问题 从 到 有 条不同的路径 从 到 有 条不同的 #! " # ’ ! # $ & 路径 从 到 共有多少条不同的路径 ! " $ " 图 ( ’ 分析 如图 假定从 到 的三条路径分别为 从 ! ( ’! " # %!&!’! 到 的四条路径分别为 则从 到 的路径为 # $ !!$!’!&! " $ %!!%$!%’!%&!&!!&$!&’!&&!’!!’$!’’!’&! 共有 种 ’)&*!$ ! 问题 投掷两枚不同颜色的骰子 共有多少个不同的结果 $! ! " 分析 这里我们可以把投掷第 枚骰子视为第一步 第一步有 ! ! ! " 6 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 种结果 把投掷第 枚骰子视为第二步 第二步有 种结果 第一步 ! ! ! " ! 的每个结果都可以和第二步的 个结果搭配 所以一共有 " ! "#"$%" 个不同的结果 ! 根据上面对问题 和问题 的分析 可以总结出下面的结论 & ! ! ! 分步乘法计数原理 如果完成一件事需要分成 个步 !! ! ! 骤 第一步有 种不同的方法 第二步有 种不同的方 " " " " ! " 法 第 步有 种不同的方法 那么完成这件事共有 "#" ! " " ! #$" %" %#%" ! " ! 种不同的方法 & 我们把分步乘法计数原理简称为分步计数原理 或乘法原理 其 ! ! 特点是每一步中都要使用一个方法才能完成要做的事情 可以用图 ! 表示分步计数原理 图中的 强调要依次完成各步骤才能完 ’ ( ! " " # 成要做的事情 ! 第一步有 第二步有 第 步有 # 种方法 " 种方法 "$$" 种方法 " " " & ! # 一共有 种方法 "$"$$$" ! & ! # 图 分步计数原理 ’ (! 使用分步计数原理时 首先要根据问题的特点确定一个合理的分 ! 步标准 其原则是 如果分成 个步骤 那么需要而且只需要依次完 ! % # ! 成这 个步骤 这件事就最终完成 # ! ! 分类计数原理和分步计数原理的区别在于一个与分类有关 一个 ! 与分步有关 ! 如果完成一件事有 类办法 这些办法之间是相互独立的 无论 # ! ! 哪一类办法中的哪一种方法都能完成这件事 求完成这件事的方法数 ! 时 用分类计数原理 ! ! 如果完成一件事需要分成 个不可缺少的步骤 即只有依次完成 # ! 所有的步骤 才能完成这件事 而完成每一个步骤都有若干不同的方 ! ! 7 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 法 求完成这件事的方法数时 用分步计数原理 ! ! ! 例 书架上层放有 本不同的数学书 下层放有 本不同的语 !! ! ! " 文书 ! 从中任取一本 有多少种不同的取法 "## ! $ 从中任取数学书与语文书各一本 有多少种不同的取法 "$# ! $ 解 从书架上任取一本书 有两类办法 第一类办法是从 ! "## ! % 上层取数学书 可以从 本书中取任一本 有 种方法 第二类办法 ! ! ! ! & 是从下层取语文书 可以从 本书中取任一本 有 种方法 因为无 ! " ! " ! 论哪一种方法都可以完成拿书的事情 所以用分类加法计数原理 不 ! ! 同的取法有 种 !%"&## ! 从书架上任取数学书与语文书各一本 可以分成两个步骤 "$# ! 完成 % 第一步 取一本数学书 有 种方法 ! ! ! & 第二步 取一本语文书 有 种方法 ! ! " ! 这两个步骤缺一不可 根据分步乘法计数原理 得到不同的取书 ! ! 方法数是 !’"&()! 例 办展览时有 幅国画和 幅油画供选择使用 "! ! * ! 从中挑选一幅时 有多少种不同的选法 "## ! $ 从中各挑选一幅时 有多少种不同的选法 "$# ! $ 解 由分类加法计数原理得 共有 种选法 ! "## ! !%*&#) ! 一共两个步骤 "$# % 第一步 选国画 有 种选法 ! ! ! & 第二步 选油画 有 种选法 ! ! * ! 用分步乘法计数原理得到共有 种选法 !’*&$* ! 例 允许重复使用时 用数字 可以组成多少个 #! ! #!$!(!*!" 三位数 $ 解 要组成一个三位数可以分成三个步骤完成 ! % 第一步 确定百位上的数字 从 个数字中任选 个数字 共有 ! ! " # ! 种选法 " & 第二步 确定十位上的数字 由于数字允许重复 仍有 种选法 ! ! ! " & 8 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 第三步 确定个位上的数字 也有 种选法 ! ! ! ! 根据分步乘法计数原理 得到三位数的个数是 ! !"!"!#$%!! 例 某农场要在 种不同类型的土地上 分别试验种植 !! & ! "!#! 四个不同品种的小麦 问有多少种不同的试验方案 $!% ! " 解 第一步 先考虑 种小麦 可在 种不同类型的土地中任 ! ! " ! & 选一种 有 种选法 ! & # 第二步 考虑 种小麦 可在剩下的 种不同类型的土地中任 ! # ! ’ 选一种 有 种选法 ! ’ # 第三步 考虑 种小麦 可在剩下的 种不同类型的土地中任选 ! $ ! % 一种 有 种选法 ! % # 第四步 考虑 种小麦 这时只剩下 种土地 所以有 种选法 ! % ! $ ! $ ! 以上四步依次完成后 试验方案才算完成 依据分步乘法计数原 ! ! 理 可知有 种不同的试验方案 ! &"’"%"$#%& ! 例 乘积 展开后 "! $&’&’&%$(’(’(%$)’)’)’)% $ % ’ $ % ’ $ % ’ & 共有多少项 " 解 第一步 选出 中的一个 有 种方法 第二步 ! ! &!&!& ! ’ # ! $ % ’ 选出 中的一个 有 种方法 第三步 选出 (!(!( ! ’ # ! )!)!)! $ % ’ $ % ’ 中的一个 有 种方法 根据分步乘法计数原理 所有不同的选法 ) ! & ! ! & 有 个 因为每个选法恰好对应展开式中的一项 所以展 ’"’"&#’( ! ! 开式共有 项 ’( ! 例 我国的邮政编码由 位数字组成 如果每个数字可以是 #! ( ! )! !!!!"#$%&! 中的一个 最多可以编排多少个不同的邮政编码 ""’(#$#$%%%) $!&!* ! " *!!"#!+$%) 解 每个数字可以是 这 个数字中的一个 我们 ! )!$!&!* $) ! *&!"" 可以从左往右依次安排出一个 位数字 ( ! 第一步 选取最左面的数字 有 种方法 ! ! $) # 第二步 选取第 位数字 有 种方法 ! % ! $) # && 第六步 选取第 位数字 有 种方法 ! ( ! $) ! 根据分步乘法计数原理 知道最多可以安排 ! $)"$)"$)"$)" 个不同的邮政编码 $)"$)#$)( ! 9 书书书 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 小结 在使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决问题 ! 时 一定要分清完成这件事 是有 类办法还是有 个步骤 分类要 ! ! ! ! " 做到 不重不漏 分类后再分别对每一类进行计数 最后用分类加 " #" ! 法计数原理求和 得到总数 分步要做到 步骤完整 完成了所 ! " " #$$$ 有步骤 恰好完成任务 当然步与步之间要相互独立 分步后再计算 ! ! " 每一步的方法数 最后根据分步乘法计数原理求积 得到总数 ! ! " 练 习 若 都可以是 中的任一个 则不同的点 有多少个 !" #!$ !!"!#!$!% ! %#!$& ’ 由 村去 村的道路有 条 由 村去 村的道路有 条 从 村经 村去 "" % & # ! & ’ " " % & ’ 村 共有多少种不同的走法 ! ’ 投掷一枚 角的硬币 次 依次记录正面或反面的出现情况 最多可以得到多 #" % !& ! ! 少种不同的记录结果 ’ 在一副扑克的 张中有放回地每次抽取 张 一共抽取 次并依次排列结果 $" %$ ! ! # ! 最多有多少个不同的排列结果 ’ 习题 ! ! 乘积 展开后共有多少项 !" %()()(&%*)*)*)*&%+)+)+)+)+& ’ ! " # ! " # $ ! " # $ % 有三个袋子 第一个袋子装有标号 的红色小球 个 第二个袋子装有标 "" ! !!"& "& ! 号 的白色小球 个 第三个袋子装有标号 的蓝色小球 个 !!!% !% ! !!’ ’ " 从三个袋子里选取一个小球 有多少种不同的选法 %!& ! ’ 从每个袋子里选取一个小球 有多少种不同的选法 %"& ! ’ 从甲地到乙地有 条公路可走 从乙地到丙地有 条小路可走 又从甲地不经 #" # ! % ! 过乙地到丙地有 条水路可走 # " 10 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法 !!" # 从甲地到丙地共有多少种不同的走法 !"" # 罐中装有编号 的小球 个 从中摸出一个 记下球号后放回 摸球 次 #! !!" " $ $ ! # 时 依次记录摸到的球号 最多得到多少种球号的排列 $ $ # 某省的体育彩票中 把有顺序的 个数字组成一个号码 称为一注 个数字 $! $ % $ !% 中的每个数字都选自 这 个数字且可以重复 如果全体不同 &$!$"$%$’ !& ! 号码的彩票中只有一个大奖 ! 不同号码的彩票一共有多少注 !!" # 在不同号码的所有彩票中购买一张 计算中奖率 !"" $ ! 家住北京的李老师每周一要乘上午的火车或汽车到天津讲课一次 如果每天上 (! ! 午有 次列车和 趟汽车开往天津 计算去天津三次时 一共有多少种不同的 ( ) $ $ 选择 ! 排列 ７． 2 排 列 !"#! !! !! !7".#2".$1 ! 排排列列与与排排列列数数公公式式 问题 从 这 个字母中 取出 个排成一排 共有 $! $$%$&$’ # $ * $ 多少种不同的结果 # 分析 解决这个问题 需要分 个步骤 ! $ * ! 第一步 先确定左边的字母 在 个字母中任取 个 有 种 $ $ # ! $ # 方法 & 第二步 确定中间的字母 从余下的 个字母中取 有 种 $ $ * $ * 方法 & 第三步 确定右边的字母 只能从余下的 个字母中取 有 种 $ $ " $ " 方法 ! 根据分步乘法计数原理 共有 种不同的排法 它们是 $ #+*+","# ! $%&!$&%!$%’!$’%!$&’!$’& %$&!%&$!%$’!%’$!%&’!%’& &$%!&%$!&%’!&’%!&$’!&’$ ’%&!’&%!’$%!’%$!’$&!’&$ 11 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 可以看出 上述排列的特点是无重复 有次序 ! " ! 问题 某公司有 艘远洋货轮 现在要派遣 艘执行运输任 !! ! ! " 务 在派遣的先后有次序时 有多少种派遣方法 ! ! # 分析 第一步 从 艘远洋货轮中选取一艘 有 种方法 ! ! ! ! ! $ 第二步 从其余 艘远洋货轮中选取一艘 有 种方法 ! # ! # $ 第三步 从其余 艘远洋货轮中选取一艘 有 种方法 ! " ! " ! 根据分步乘法计数原理 知道一共有 种派遣方法 ! !$#$"%&’ ! 从对问题 和问题 的分析可以看出如下的规律 ( ) ! 排列 从 个不同元素中取出 个不同的元 !!!"#$! " ! %& !! ! ! """"!# ’()* !"#!$""% 素 按照一定的顺序排成一列 叫作从 个不同元素中取 $ $ ! 出 个元素的一个排列 用符号 表示排 " ""#$%&’(’)*+## ," ! 列的个数时 有 $ ,"$!"!%-#"!%!#%&%"!%"&-## ! 证 第一步 从 个元素中选取一个 有 种方法 ! ! " ! " $ 第二步 从余下的 个元素中选取一个 有 种方法 ! "#( ! "#( $ %% 第 步 从余下的 个元素中选取一个 有 种 $ ! "#$%( ! "#$%( 方法 ! 根据分步乘法计数原理 知道一共有 ! "&"#(’&"#)’(%(&"#$%(’ 种方法 ! 为了方便地表示连乘积 对于自然数 我们定义 ! "! ")&($)$"$%$"! 并且称 是 的阶乘 ") " &*+,-./0+1’! 特别还规定 ’)&(! 根据上面阶乘的定义得 ") "&"#(’&"#)’(%(&"#$%(’& ! &"#$’) 12 书书书 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 于是 从 个不同元素中取出 个元素 按照一定的顺序 ! ! """!!# ! 排成一列 共有 ! !$ !"# ! "!$"#$ 个不同的排列结果 % 根据排列的定义 一个排列包含两个方面的意义 一是 取出元 ! % & 素 二是 按照一定顺序排列 因此 两个排列相同 当且仅当这 ’( & ’% ! ! 两个排列的元素及其排列顺序完全相同 % 换句话说 如果两个排列所含的元素不完全一样 那么肯定是不 ! ! 同的排列 如果两个排列所含的元素完全一样 但排列的顺序不同 ( ! ! 也是不同的排列 % 在上面定义的排列里 如果 表示只选一部分元素进行排 ! ""!! 列 因此又叫作选排列 从 个不同元素中取出 个元素的 ! % ! """"!# 选排列个数是 !"% ! 如果 表示将全体元素进行排列 所以又叫作全排列 "#!! ! %! 个不同元素的全排列个数是 !!#!"!$"#)*)#)$)"%!$% ! 例 我国的邮政编码由 位数字组成 如果每个数字可以是 !# & ! ’! 中的一个 最多可以编排多少个数字互不相同的邮政编码 "!*!( ! + 解 一个数字互不相同的邮政编码恰是从 这 # ’!"!$!*!( "’ 个数字中取出的 个数字的一个排列 这样的数字一共有 & % "’$ !& # #"*"$’’ "’ ""’)&#$ 个 所以最多可以编排 个数字互不相同的邮政编码 ! "*"$’’ % 例 从 名同学中选 人参加 米接力赛 有多少种不同 "# + , ,-"’’ ! 的参赛方案 + 解 每一种参赛方案恰是从 个同学中选取 个同学的一个排 # + , 列 这样的排列数是 % !,#+-.-&-*%"&+’ + 个 所以参赛方案一共有 个 ! "&+’ % 例 某青年志愿者协会组织者将 棵树苗随机地分发给参加 ## ! 13 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 义务植树活动 的 名青年志愿者 会有多少种不同结果 ! " ! # $ 解 将树苗从 到 进行编号 分别记为 ! ! ! # "#"#%#"# ! " ! 第 名志愿者得到的树苗的号码是 !! ! "& ! 第 名志愿者得到的树苗的号码是 !! " "& " !!%% 第 名志愿者得到的树苗的编号是 !! ! "# ! 组织者分发树苗的每个结果恰好对应一个排列 "#"#%#"# ! " ! 这样的排列一共有 !’$!()!%!*(%("(! 个 所以一共会有 个不同的结果 # !’ # 练 习 个人排成一排 共有 种不同的排法 !## # !!!! # 某信号兵用红 黄 蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号 每次可以 "# + + # 挂一面 二面或三面 并且用不同的顺序表示不同的信号 一共可以表示多少 + # # 种不同的信号 $ 习题 ! ! 叙述排列的定义 !# # 写出排列数 的公式 "# $& # ! 写出 的计算公式 %# !’ # 由数字 可以组成 &# "#%#&###’ 没有重复数字的五位数 个 )!* )!!!!* & 允许有重复数字的五位数 个 )"* )!!!!* & 14 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 没有重复数字的自然数 个 !!" !!!!!" # 没有重复数字的三位数 个 !"" !!!!!" ! 判断下列问题是否是排列问题 #! $ 从 名同学中选派 人去完成 种不同的工作 每人完成一种 有多少种 !$" % ! ! % % 不同的选派方法 # 从 名同学中选 人去某地参加一个会议 有多少种不同的选派方法 !&" % ! % ! 一台晚会有 个节目 其中有 个小品 如果 个小品不连续演出 共有不同 ’! ’ % & % & % 的演出顺序多少种 & !! % 7 ( . & 2 ( . & 2 ! 排排列列数数的的应应用用 例 验证排列数 满足 !! )" # 当 时 !$")$$##!!!!!! !&" #"""$ %)"$#)"%$! # # #%$ 解 因为 所以 ! !$" #%$*$+#% )$$#! # 的解释 从 个不同的元素中选出一个进行排列 一共有 )$$# $ # % # 个选法 # ! 因为 所以 !&" )"%$$!#%$"!#%&"’(’!#%"&$"% #%$ )"$#)!#%$"!#%&"’(’!#%"&$"*$#)"%$! # #%$ 这个公式的解释 从 个不同的元素中选出 个进行排列 相 $ # " % 当于第一步选出一个排在第 位 有 种方法 第二步在其余的 $ % # # #% 个元素中选择 个 依次排在第 第 第 位 有 $ "%$ % &% !%(% " % 种排 法 由 分 步 乘 法 计 算 原 理 可 知 不 同 的 排 列 总 数 是 )"%$ ! % #%$ 个 #)"%$ ! #%$ 例 计算 "! $ !$")"# ’ !&")&&)!&)!! ! " # 解 由 知道 ! !$" ’,"*$+! )"$’-#-"-!+!’.! ’ 由 和 得到 !&" !,&*$+&%",!*$+& #,!*$+! 15 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· !"!!#!!#"#&"’$&#&"’%&$&#()*# # $ % 例 解方程 !! ! "+##!#""!" !,!"$ $ $!+ $ ""##!$"$!$%+# - ) 解 因为 ! "+# !#"$"$%+#"$%"#%!" ""$!+#$%!""$"$%+#% $ $!+ $ 所以由 得 #!#""!" !,!"% $ $!+ $ #$"$%+#"$%"#"""$!+#$!,$"$%+## 从 有意义知道 故上式两边可以约去 得到方程 !# $"#% $% $ #"$%+#"$%"#"""$!+#!,"$%+## 整理后得到 #$"%+.$!+*(*# 解方程得 和 舍去 所以 " $"% $" " ## $"%# # 利用 ""# -& )& #!$"# %$!$%+"$ % - "-/$#& ) ")/$!+#& 得到 #&-& $&)& " # "-/$#& "+*/$#& 利用 将上式化简后得到 "+*/$#& ""+*/$#")/$#"-/$#&% "+*/$#")/$#"$&## 再化简得到 $"%+)$!.-(*# 解方程得 由于 和 有意义 所以 满足 $",%$"+## !$ !$%+ % $ $#- + " - ) 和 于是将 舍去 原方程的解是 $%+#)# $"+# % $",# " 例 由数字 组成没有重复数字的五位数 其中 "! +%"%#%$%% % 小于 的偶数共有多少个 %**** ’ 解 第一步排个位数 因为要求是偶数 所以只能排 或 排 ! % % " $% 法有 种 !+ $ " 第二步排万位数 小于 的五位数 万位数只能用 或 % %**** % +%# 16 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 用排个位数时余下的 中的一个 排法有 种 !!! ! "# " $ 在首末两位数排定后 第三步排中间 个数字时 排法有 种 ! $ ! "$ " $ 根据分步计数原理 要求的偶数有 ! 个 "#"#"$#%&$&$&%&#’$( # $" % $ $ 例 解答下面的问题 !! " 从 种不同的书 每种不少于 本 中买 本送给 名同 ##$ ) # $ $ $ $ 学 每人各 本 共有多少种不同的送法 ! # ! % 个读者到 个服务台排队还书 有且只有一个服务台没有 #%$! ! ! 这 个读者还书的排队有多少种 ! % 解 送给第一个同学有 种不同的选购方法 送给第二 ! ##$ ) ! & 第三个同学各 本书 仍各有 种不同的选购方法 因此 根据分步 # ! ) " ! 计数原理 一共有 种不同送法 ! )$##%) " 捆绑法 第一步 从 个读者中选出 个 捆绑 在一起 #%$# $ ! ! % ’ ( ! 视为 个 读者 因为有排队的先后 所以有 种方法 第二步 # ’ (! ! "% " ! ! 从 个服务台中取定 个 将以上的 个读者 依次排列在这 个 ! $ ! ’$ ( $ 服务台 共有 种方法 根据分步计数原理 一共有 种 ! "$ " ! "%"$#%** ! ! ! 方法 " 在某些元素要求必须相邻时 可以先将这些元素排列 并看做一 ! ! 个元素 然后与其他元素排列 这种方法称为 捆绑法 ! ! ’ (" 练 习 计算 #" )##$!"%$)"$"#%$"#+"%+"$+"!, ! ) ! ! ! ! 这 个数字能组成多少个没有重复数字的三位数 %"-!#!%!*!. #- % 三个男生和四个女生按下列条件排成一排 有多少种排法 $" ! % 男生排在一起 女生排在一起 ##$ ! " 男 女生间隔相排 #%$ & " 男生互不相邻 #$$ " 甲 乙两人必须相邻 #!$ & " 17 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 习题 ! ! 计算 !! "!""$""%! # # # 从 个不同元素中取 个的排列数为 是多少 $! # % &$’!# " 已知 求 的值 %! "$""$%!&#"$"!! # ! $ $%! $"! 用 可以组成多少个无重复数字的五位数 五位奇数 五位 (! ’!!!$!%!(!) " " 偶数 " 写给 个人的信笺随意装入 个写好地址的信封 会有多少不同的结果 )! * * ! " 个同学排成一排照相 其中甲 乙两人必须相邻的排法有多少种 #!# ! # " 组合 !７"．#3! 组 合 !! !! !7".#3".$1!组组合合与与组组合合数数公公式式 考虑如下的问题 ! 问题 全年级要举行班级篮球赛 如果全年级 个班中的任何 $! ! * 两个班都比赛一次 需要安排多少场比赛 ! " 问题 列车从始发站到达终点站中途停车 站 单程需要制作 %! * ! 多少种不同的火车票 " 问题 汽车公司从 辆客车中选派 辆客车运送高二年级同 #! !$ % 学参加秋游 有多少种选法 ! " 上面的所有问题都有一个特点 选出的单位如两个班 两个站 $ # # 三辆客车都是和次序无关的 所以以上问题不是排列问题 它们与排 ! ! 列的区别在于抽取元素时不考虑顺序 我们称这样的问题为组合问题 ! ! 18 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 从 个不同的元素中取出 个不同的元素 不 !! ! "!""!" # 论次序地构成一组 称为一个组合 我们用符 # !!"#$%&’(%"&"# 号 表示所有不同的组合个数 称 为从 个不同的元 )" # )" ! ! ! 素中取 个元素的组合数 " ! 上述定义中 取出 个不同的元素 的 不同 是强调取出的 ! " " ! " 元素不能有重复 也就是指无放回地抽取 # ! 例如从 个不同的元素中取 个元素的组合数是 从 个不同 ! " #"# $ ! 元素中取 个元素的组合数是 从一副扑克的 张中抽取 张的 " #"# "% &’ $ 组合数是 #&’! "% 排列与组合的相同点是都是从 个不同元素中取 个元素 元 # " # 素无重复 不同点是组合与顺序无关 排列与顺序有关 两个组合相 $ # ! 同 当且仅当这两个组合的元素完全相同 # ! 组合数 还常常有下面例 中的表述方法 #" & ! # 例 把 个不同的元素分成有顺序的两组 第一组有 个元 *! # # " 素 第二组有 个元素 证明共有 种分法 # #$" # #" ! # 证 从 个不同的元素中取出 个不同的元素 放入第一 ! # "%""#& # 组 得到一个组合 每个组合恰好是一个分组 因为组合数是 # ! ! #"# # 所以共有 种不同的分组方法 #" ! # 例 先回答以下问题是组合问题还是排列问题 然后再计算所 +! # 问的结果 ! 集合 的含三个元素的子集的个数是多少 %&& ’(#&#)#’#%( ) 用没有任何三点共线的五个点可以连成多少条线段 如果连 %)& ) 成有向线段 共有多少条 # ) 某小组有 名同学 从中选出正 副班长各一人 有多少种 %’& * # * # 不同的选法 若从中选出 名代表参加一个会议 有多少种不同的选法 ) ) # ) 解 由于集合中的元素是不讲次序的 一个含三个元素的集 !%&& # 合就是一个从 中取出 个数的组合 这是一个组合 ’(#&#)#’#%( ’ ! 问题 组合的个数是 所以子集的个数是 # #’# #’! " " 19 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 由 个点中取两个点恰好连成一条线段 不用考虑这两个点 !!" " # 的次序 所以是组合问题 组合数是 连成的线段共有 条 再 # # #!# #! ! " " 考虑有向线段问题 这时两个点的先后排列次序对应两个不同的有向 ! 线段 所以是排列问题 排列数是 所以有向线段共 # # $!""%&’!(# " 有 条 !( ! 选正 副班长时要考虑次序 所以是排列问题 排列数是 !)" $ # ! 所以正 副班长共有 种选法 选代表参加会议是 $!"*%+’,!# $ ,! ! * 不用考虑次序的 所以是组合问题 组合数是 所以不同的选法 # ! #!# * 有 种 #! ! * 下面从研究组合与排列的关系入手 找出组合数 的计算公式 # ## ! $ 计算从 个不同的元素中取出 个元素的排列数可以按以下两 $ # 步来完成 % 第一步 先从这 个不同元素中取出 个元素 不考虑次序构 # $ # # 成一个组合 共有 个组合 # ## & $ 第二步 将每一个组合中的 元素进行全排列 全排列数是 # # # $#"#’! # 由于第二步得到的全排列恰好是从 个不同元素中取出 个元 $ # 素的选排列 所以根据分步计数原理 得到 # # $#"##$#! $ $ # 因此得到组合数 的计算公式 ## % $ $# $!$%-"()(!$%#&-" ##" $" #(!#!$! $ $# #’ # 因为 $’ 所以 上面的组合数公式还可以写成 $#" # # $ !$%#"’ $’ ##" #"(!#!$ $ #’!$%#"’ 我们把上面的公式叫作组合数公式 这个公式经常被用于和组合数有 ! 关的等式证明 ! 在组合数公式中 我们规定 这样对任何正整数 和 # #("-! $ ## $ 都有 #"(#-#)#$# 20 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· !!#!"$! " " 上面公式的解释 从 个不同元素中选取 个元素的组合数与 ! " ! 从 个不同元素中选取 个元素的组合数相等 " "$! % 公式 的证明 因为 !!#!"$! ! " " "" "" !"$!# # ’ " #"$!$"%"$#"$!$&" #"$!$"!" 又有 "" 所以 成立 !!# ’ !!#!"$! % " !"#"$!$" " " 有了上面的组合数公式 就可以计算本节一开始提出的问题了 ’ % 问题 的解 全年级 个班举行班级篮球赛 由于每两个班都比 ! ! " ’ 赛一次 比赛的两个班无次序问题 所以需要安排 ’ ’ "$% "$% !## # ##" " #" #$& 场比赛 % 问题 的解 列车从始发站到达终点站中途停车 站 一共是 " ! " ’ 站 每两站之间要制作车票 只考虑单程 相当于不考虑次序 &’ ’ % ’ % 于是单程需要制作 ($" ($" !## # #)* ( #" #$& 种火车票 % 问题 的解 汽车公司从 辆客车中选派 辆客车运送高二年 # ! &# ) 级同学秋游 不用考虑 辆车的次序 因而有 ’ ) ’ &#$&&$&’ &#$&&$&’ !) # # ###’ &# )" )$#$& 种选法 % 练 习 计算 &% !*&!+% ( " 全班 个同学互相通话一次 一共要通话多少次 #% ,’ ’ ( 21 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 习题 ! ! 计算 !! "!""$""%! # # # 文具盒中有 支不同的圆珠笔 支不同的铅笔 从中取出 支借给同学 有 $! # !% ! % ! 多少种借法 " 在全班的 名女生中挑选 名参加作文比赛 有多少种选法 %! !& ’ ! " 列举从 个不同元素 中取出 个元素的所有组合和排列 (! ( #!$!%!& % ! 平面内有 个点 以其中 个点为端点的线段共有多少条 )!#!$ !* ! $ " 平面内有 个点 以其中 个点为端点的有向线段共有多少条 #$$ !* ! $ " !! + 7 , . % 3 , . $ 2 ! 组组合合数数的的性性质质和和应应用用 组合数的性质 如果 则 !!!! "’)"*! ( ( 或者 ’)* ’)(+*! 例 解方程 !! ",)"%,+$! !* !* 解 利用性质 得到 ! ! 或 ,)%,+$ ,)!*-#%,+$$! 解上述方程得到 或 这两个解都符合题意 ,)! ,)%! ! 组合数的性质 " "’ )"’""’+!! ("! ( ( 证 利用 ! ’#’+!$%)’%! #(+’"!$#(+’$%)#(+’"!$% 22 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 得到 !!!!!#!!$" " " "! "! % # !!""$!#! "!$"#!$"$"!$"#%! "!""$!#"# !"! % # !!""$!#"#! !!""$!#"#! ""$!#"#"!#!"! % !!""$!#"#! ""#"#! % !!""$!#"#! %!! & "#" 所以 ! " ! #" %! " !#! " !$"& !!!"#$%&’( 注意上面公式的特征 等式右边组合数的下标都是 上标的差 )*+,-./012 & "’ 是 3!2345) ! # " $" "& 6&#$"789): 例 计算 !! !##!%#!&#!$& ;<="7:;)’ $ $ ’ ( 解 利用性质 得到 (>!23?5$%@ ! ) A6B9CD)EFG HI!J01)’(K !##!%%!%’ $ $ ’ ALM"FMNO:; !% ’ #!& ’ %!& ( ’ %"FM8N:;%! 8N:;%)’(PO !&#!$%!$& ( ( * 于是 ! # " 7"NO:;%) ’(PO!"&" 7!Q # K M R > S T U V !!!!!!!!!##!%#!&#!$ $ $ ’ ( !" ’!"$!"&"! #$" # # !!!!!!!%!%#!&#!$ ’ ’ ( !!!!!!!%!&#!$ ( ( !!!!!!!%!$ * *+(+’ !!!!!!!% %(%& #+)+" 例 件产品中有 件次品 件正品 从中抽取 件 "!") # ’* ’ & & 件产品中没有次品的取法有多少种 ""#& ( 件产品中有 件次品的取法有多少种 ")#& ) ( 解 件产品中没有次品的取法就是从 件正品中取 件 ! ""#& * & 的取法 有 种 ’ !&%")$ & * 23 书书书 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 第一步 先从 件次品中取 件 有 种取法 第二步 从 !!" # " ! # #! $ # " 件正品中取 件 有 种取法 利用分步计数原理 知道一共有 $ " # #" ! # $ #!#""!%! " $ 种取法 ! 例 从 台纯平彩电和 台超平彩电中选购 台 要求至少有 !! & % " # 纯平彩电与超平彩电各 台 问有多少种不同的选法 ’ # % 解 完成满足条件的工作有两类方法 第一类是纯平彩电中选一 ! & 台 超平彩电中选两台 第二类是纯平彩电中选两台 超平彩电中选 # $ # 一台 这两类工作完成一类即可 ! ! 从 台纯平彩电中选出 台 有 种选法 再在 台超平彩电中 & ’ # #’ $ % & 选出 台 有 中选法 于是选出的 台彩电中纯平彩电 台 超平 ! # #! ! " ’ ’ % 彩电 台的选法有 种 ! #’#! ! & % 同样计算选出纯平彩电 台 超平彩电 台的选法有 种 ! ’ ’ #!#’ ! & % 用分类计数原理得到选法总数是 !!!!!!#’#!##!#’ & % & % &( %( &( %( !!!!!" ) # ) ’("( !("( !(!( ’(&( 种 !!!!!"&()"(*+( ! "! 例 本不同的书 按下列要求各有多少种不同的分法 "!, # & 分给甲 乙 丙三人 每人 本 !’" ’ ’ # ! $ 分为三份 每份 本 !!" # ! $ 分为三份 一份 本 一份 本 一份 本 !"" # ’ # ! # " $ 分给甲 乙 丙三人 一人 本 一人 本 一人 本 !&" ’ ’ # ’ # ! # " ! 解 先从 本书中选 本给甲 有 种选法 !!’" , ! # #! $ , 再从其余的 本中选 本给乙 有 种选法 & ! # #! $ & 最后从余下的 本书中选 本给丙 有 种选法 ! ! # #! ! ! 根据分步计数原理得到一共是 #!#!#!"!%-""$!!-""$’*$( , & ! 种分法 ! 所以分给甲 乙 丙三人 每人 本有 种方法 ’ ’ # ! #!#!#!"$( ! , & ! 24 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 这个过程可以分两步完成 !!" # 第一步 将 本书分为三份 每份 本 设有 种方法 $ " $ ! $ ! % 第二步 将上面三份分给甲 乙 丙三名同学有 种方法 $ & & #$ " $ 根据 的结论和分步计数原理得到 所以 !%" &!&!&!#!#$$ " ’ ! $ &!&!&! !# " ’ !#%(" #$ $ 因此分为三份 每份 本一共有 种方法 本题称为 均匀分组 $ ! %( " ’ ( 问题 " 这是 不均匀分组 问题 按照 的方法得到一共有 !$" ’ ( $ !%" &%&!&$#")!()!"$%*"+ " ( $ 种方法 " 在 的基础上再进行全排列 所以一共有 !’" !$" $ &%&!&$$#$#$"+ " ( $ $ 种方法 " 例 某省的福利彩票中 不考虑次序的 个数码组成一注 !! $ , $, 个数码中没有重复 每一个数码都选自数码 如果电 $ %$!$)$$"" 视直播公开摇奖时只有一个大奖 计算 $ # 公开摇奖时最多可以摇出多少不同的注 !%" % 购买一注时的中奖率 !!" " 解 摇奖时是从数码 中无重复地抽取 个数 !!%" %$!$)$$" , 码 不计次序时 所有不同的结果有 $ $ &, #-$’,"-+ $" 个 于是可以摇出 个不同的注 $ -$’,"-+ " 购买一注的中奖率是 !!" % "+.++++++%" -$’,"-+ 练 习 利用 计算 %" &% #&%’&%(%$ &$’&’’&(’&"" &’% & & , , - / 凸六边形有多少条对角线 !" * 25 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 习题 ! ! 机场有 架飞机 要调用 架去执行任务 有多少种调法 !! !" ! # ! " 机场有 架飞机 要调用 架排成一列 有多少种排法 $! !" ! # ! " 分派 个同学中的 人擦教室玻璃 人扫地 有多少种分派方法 %! & % !$ ! " 将全班 名男生分在两个不同的兴趣班上课 每个班 人 有多少种分法 ’! !( ! ) ! " 件产品中有合格品 件 次品 件 从中抽取 件 计算 &!!" ( ! $ ! ’ ! # 都不是次品的取法有多少种 $!% " 至少有 件次品的取法有多少种 $$% ! " 利用组合数的性质 计算 *! $! # $!%+&#+& $+’& " "$! " $$%+)’$+)&$+)*$+)#! )# )# )( )) 解方程 #! +%$!&+$%#%! !% !% 凸 边形有多少条对角线 (! ’ " 26 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 问题探索 !!! 运气还是欺骗! "二# 下面我们解决本章开始时 王蒙先生所述的北戴河的游戏问题 ! ! 问题回顾 袋中装有 个质地完全相同的球 这 个球分 ! !" ! !" # 种颜色 每种颜色的球各 个 参加游戏者从中随机摸出 个球 ! $ ! %" ! 为了叙述的简单 我们用字母 表示摸出的 个球中 种 ! "#$% %" # 颜色的球的个数分别是 按照这种表示 表示摸 "!#!$!%! !$$"" 出的球只有两种颜色 表示摸出的球只有 种颜色 其中有 "$#%" & ! $ 个颜色相同 其余 个中有 个颜色相同 ! $ # "## 计算从 个球中摸出 个球的组合数 再计算以下各种结果 !" %" ! 出现的数目和各种事件发生的概率 ! 摸出 得一等奖 奖励一台摄像机 %! $$""! ! " 摸出 得二等奖 奖励一条进口香烟 !! $#%"! ! " 摸出 得三等奖 奖励一个玩具机器人 &! $&%%! ! " 摸出 或 得四等奖 奖励一盒进口香烟 #! #"&& ##%%! ! " 摸出 得五等奖 奖励一个小海螺 $! #!!!! ! " 摸出 或 交游戏费 元 ’! %!&# &&&%! ! " 摸出 交游戏费 元 (! &&!!! $ " 摸出其他结果不奖不罚 )! ! 下面解决这个问题 ! 从 个球中抽取 个球 不计次序的组合数是 !" %" ! !"$ *%"& &%)#($’! !" %"$%"$ 这也是从 个球中抽取 个球的等可能结果的总数 我们把每个 !" %" ! 结果看成一个元素 用 表示这些元素构成的全集 ! ! ! 摸出 是在 种颜色中取定两种颜色 不计次序的组合 %! $$"" # ! 27 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 数是 #! !"! !$" # "!"! 这也是事件 得一等奖 作为 的子集时 含有的元素个数 #! " # ! $ " % 根据概率的定义 $ !" $ $%#&! #! !&*&&&&+"" % !%& %’#()$ "& 这个概率几乎是 说明得一等奖几乎是不可能的 &$ " 计算摸出 的总数目时 我们用分步计数原理 "" )#%& $ " 第一步 将 种颜色进行排列 共 种排法 $ # $ #! ’ 第二步 在第 种颜色的球中取 个球 共 种取法 $ % ) $ !) ’ ) 第三步 在第 种颜色的球中取 个球 共 种取法 $ " # $ !# ’ ) 第四步 在第 种颜色的球中取 个球 共 种取法 $ + % $ !% ’ ) 第五步 在第 种颜色的球中取 个球 共 种取法 $ # & $ !& " ) 根据分步计数原理 摸出 的总数目是 $ )#%& #!%!)%!#%!%%!&!#!%),)-$&&" ) ) ) ) 这也是事件 得二等奖 作为 的子集时 含有的元素个数 #! " # ! $ " " 根据概率的定义 $ $&& $%#&! !&*&&+"" " %’#()$ 这又是一个概率极小的事件 说明得二等奖也是不大可能的 $ " 仍用分步计数原理计算摸出 的总数目 +" )+%% " 第一步 选出充当 的颜色进行排列 共有 种方法 对于 $ )+ $ ." ’ # 每种排列有 种选球方法 这一步共有 种方法 !)!+ " ."!)!+ " ) ) # ) ) 第二步 在其余两种颜色中的每 个球中选取 个 共 $ ) % $ !%!% ) ) 种选法 " 根据分步计数原理知道摸出 的总数目是 )+%% ."!)!+!%!%!%#,+&%%,%),"&%),)-+&&&" # ) ) ) ) 于是得三等奖的概率是 +&&& !&*&%$"" %’#()$ 这个概率也很小 得三等奖也不大可能 $ " 28 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 用类似的方法可以计算出其他结果如下 ! 摸出 的总数目是 !! !"## $%&!&"&#&#""!(###’()("’(%##"’(%#"*"""! ! ’ ’ ’ ’ 摸出 的总数目是 !!)) &%&!&!&)&)"*(’(’(’(’+#,’"! ! ’ ’ ’ ’ 得四等奖的概率是 *"""-#,’" !"/"’#! ).!,’* 摸出 的总数目是 ’! !%%% &)&!&%&%&%"!(’()"()"()"+%""""! ! ’ ’ ’ ’ 得五等奖的概率是 %"""" !"/)".#! ).!,’* 摸出 的总数目是 *! )%#! !$&)&%&#&!"*""""! ’ ’ ’ ’ 摸出 的总数目是 ###) &)&#&#&#&)"%""""! ! ’ ’ ’ ’ 于是交 元游戏费的概率是 % *""""-%"""" !"/!##! ).!,’* 这是一个概率较大的事件了 所以摸一次球交 元钱是很有可能发 ! % 生的 !" 摸出 的总数目是 ,! ##%% &%&#&#&%&%"*""""! ! ’ ’ ’ ’ 于是交 元钱的概率是 ’ *"""" !"/#%!.! ).!,’* 结论 摸一次球交 元钱或交 元钱的概率总共是 ! % ’ "/!##-"/#%!.+"/,’,.! 这个概率相当大 摸 次球平均发生 次多 所以我们说这种游戏 % ! # ! 带有欺骗性 ! 29 书书书数学文化 ··················································· 数学文化 !!! 杨 辉 三 角 杨辉三角 杨辉是我国宋朝的数学家 公元 年他在一本名为 详解 ! !"#! " 九章算法 的书中使用了下面的图 后人称之为 杨辉三角 杨 # ! $ %! 辉三角最早的出现应当在公元 年以前 确切年代已经很难考 !"$$ ! 证了 类似的图表在欧洲被称为帕斯卡三角 因为许多人认为这是 ! ! 帕斯卡在公元 年发明的 其实在帕斯卡之前已经有人在公元 !#%& ! 年将类似杨辉三角的图表印在了算术书的封面上 但是比杨 !%"’ ! 辉三角的出现晚多了 ! 左 右 积 隅 ! 本& 积 商&& 除 平&’& 方 立&((& 方 三&)*)& 乘 四 乘 &+" 十 " 十 +& 五 乘 &*" 十 五 " 二 十 " 十 五 *& 命 以 中 右 左 实 廉 藏 袤 袤 而 乘 者 乃 乃 除 !商 !皆 !隅 !积 之 方 廉 算 数 ! ! ! ! ! 我们将杨辉三角的前 行简写成 # , ! ! ! ! " ! ! ( ( ! ! & # & ! ! % !$ !$ % ! 你在杨辉三角中能发现什么规律 你能继续写出杨辉三角的第 !! - 行 第 行吗 ’ . ) - 30 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 二项式定理 !７"．#4! 二项式定理 !! 我们已经学过了 系数是 !!!!"#"!$!"#!!!!!!!! !!! 系数是 !!"#""$!"""!#"#" !!"!! 系数是 !!"#"#$!#"#!"#"#!#""## !!#!#!! 可以看出 上面 个式子的系数正好对应杨辉三角的第 # # "###$ 行 对照杨辉三角 你能写出 的展开式吗 % # !!"#"$#!!"#"%#$ % 杨辉三角的特点是两条斜边上的数字都是 其余的数都是它 !! 肩上 的两个数的和 例如 " # % # 第 行 # &"&!’!# 第 行 $ &#&!’"##&"’!# 第 行 % &$&!’##(&#’##$&#’!# $$ 如果我们注意到杨辉三角的第 行是 第 行是 再利 ! !# " )*#)!# ! ! 用公式 就可以把杨辉三角排成如 )&")&(!$)& !&$*#!#$#’" ’ ’ ’"! 下形式 & !!"#"* ! !!"#"! )* )! ! ! !!"#"" )* )! )" " " " !!"#"# ! )* )! )" )# # # # # !!"#"$ )* )! )" )# )$ $ $ $ $ $ !!"#"% )* )! )" )# )$ )% % % % % % % $$ $$ 根据杨辉三角的性质 可以得到如下的二项式定理 # % 二项式定理 对于正整数 ! ’# !!"#"’$)*!’")!!’(!#"$"))!’()#)"$")’#’% ’ ’ ’ ’ 31 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 我们用组合的方法证明上述定理 ! 证明 是 个 相乘 每个 和其他项相乘 ! !"#$"% % !"#$" # !"#$" 时 有两种选择 选 或 # $$$ " $! 用 表示红球 用 表示黑球 考虑 个盒子中的每个盒子里放 " # $ ! % 有红球和黑球各一个 现从每个盒子中取一个球 分以下情况进行 ! # % "#$ "#$ "#$ & "#$ "#$ 第 种情况 是在每个盒子中都取红球的结果 共有 ! %"% # "%&"# % % 种取球方法 所以一共有 项 # "# "%! % 第 种情况 是在 个盒子中取红球 在 个盒子中取 $ %"%’!$ %’! # ! 黑球的结果 共有 种取球方法 所以共有 项 # "! # "! "%’!$! % % && 第 种情况 是在 个盒子中取红球 在 个盒子 (#! %"%’($( %’( # ( 中取黑球的结果 共有 种取球方法 所以共有 项 证毕 # "( # "( "%’($(! ’ % % 我们称 是二项展开式的第 项 其中 称作第 "("%’($( (#! # "( (#! % % 项的二项式系数 把 ! 其中 ) &"("%’($( ! #"("%#(#!#%#! " (#! % # 叫作二项展开式的通项公式 ! 下面是从二项式定理中发现的一些基本性质 % 二项展开式一共有 项 !! %#! ! 第一个字母 按降幂排列 第二个字母 按升幂排列 $! " # $ ! 的幂加 的幂等于 %!" $ %! 在二项展开式中 与首末两端 等距离 的两项的二项式系 &! # ( ) 数相等 即 # "*&"%’*! % % 二项式系数从两端向中间逐渐增大 且当 是偶数时 中间 ’! # % # 的一项的二项式系数取得最大值 当 是奇数时 中间的两项的二项 * % # 式系数 相等 且同时取得最大值 " %’ $ !#" %# $ ! # ! % % 这可以在二项式定理中取 (!"##"!#"$#&#"%&$%! "&!# % % % % 得到 $&! ! 32 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 这可以在二项式定理中取 !!"##"$$"%$!$"#$#"""%#! " " " " 得到 &%$$’%#$ ! 例 展开 " 槡 $$’ !! & (#槡 ! # (% 解 " 槡 $$’ "&(#$$’ "&(#$#’ ! & (#槡 % 槡 % !!!"#$%&’( # (% # ( % (% )*+,-! $ % &"&(#’#"$"&(#&%$("%%"&(#%%$%#"&%"&(#%$&$"’’ (% ’ ’ ’ ’ $ % ")$(’#$#)(&$*’(%#$%($$# (% $% $ %)$(%#$#)($*’+ $ ! ( (% 例 计算 的展开式中第 项的系数和二项式系数 "! "($%)#, * ! 解 的展开式的第 项是 !"($%)#, * *%* %"’%(,+’%"%)#’%"’%%’%(*)’$ * ’($ , , 所以展开式的第 项的二项式系数是 展开式的第 项的系 * "’%$%-$ * , 数是 "’%%’%%#$-! , 例 用二项式定理及性质求解下列问题 #! ! 若 的展开式中 的系数是 的系数的 倍 求 "$# "$((#" $(& ( ! $ " 及二项式系数的最大值 其中 $ "&$ ( $ 已知在 的展开式中 的系数是 求 "%# "&(#$#* $(& #)#$ &! 解 的系数是 的系数是 依题意有 即 !"$#(& "&$( "$! "&%!"$$ " " " " """#$#""#%# %!"! &) 整理得 "%#&"#’#.#$ 解得 舍去 "%)!" "%#*!# 二项式系数在 时取得最大值 即 +! ,%’ $ "’%!#! ) 的系数是 "%#-!(& "%&&$ * +!"%&&%#)#$ * 即 !$#&&%#)#! 解得 &%#%! 例 已知 计算 %! "$+%(#!%&$&($&(%$!$&(!$ &$ # $ % ! $ 33 书书书 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· !"!"!# ! " 解 取 得到 再取 得 ! $%# !%$# $%$" &$%!"!"!"!" # # $ ! 于是 !" !"!"!"!%&$&!%&!# " $ ! " # 例 在 # !$ 的展开式中求 的系数 !! $’ #$&$$( $) # $ 解 原式可化为 ! ! #&$"$$(" #&$"$$(" $ 所以含 的项为 $) ! *+#&$$)" *,#&$$-%&$!-$)"$-.$)%+!$)# ( $ ( 因此 的系数是 "$) +!# 例 用二项式定理证明 可以被 整除 "! #’"$$’&$ ’! #’"# $# " 解 用二项式定理和 得到 ! *$%’" ’ #’"$$’&$%*#"*$’"*!’!"!"*’’’&$ ’ ’ ’ ’ %’!"*!’!"!"*’’’ ’ ’ %’!#$’*!"!"*’’’&!$# ’ ’ 所以 是 的倍数 即可以被 整除 #’"$$’&$ ’! " ’! # 例 在二项式 #槡 $ %’ 的展开式中 前三项的 $! $" 槡 #’"# $ " + " $ ! $& 系数成等差数列 求展开式中所有的有理项 " # 解 此二项式的展开式的通项公式为 ! ( %*)# 槡 $$’&) # $ 槡 %) %*) $ $ !’ + &,) # )"$ ’ $! + $& ’!) 分别取 得前三项的系数分别为 )%#"$"!" $ $ $ $ *%$"*%*$ % ’"*%*! % ’#’&$$# $ ! ’! ! , ’+ . 又由题意可得 即 解得 $ !*%*"*" ’%$’ ’#’&$$" ’%.#’% ! $ , . 舍去 $ $# 因此 此二项式的展开式的通项公式为 " ( %*) $ $ $- + &,)")%#" )"$ .!) $"!"!".# 设 为有理项 则 是 的倍数 ( " $-&,) + "+)%#"+".# )"$ 34 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 因此 展开式中的所有有理项分别为 ! ! ! "#"!! "$" #" ! # %&" ’# ! ! #!!"$% #$&" % % ( %&% &#)#& 练 习 展开二项式" !#" !% !* % # 已知"槡 ’#’ 的展开式中 各项系数的和与其各项二项式系数的和 &% #&槡 ’ "’!! & # ! # 之比为 则 )"+!! ’"""""% 已知 的展开式中第 项和第 项的二项式系数相等 求展开 ’% "!*&##’"’!! # , % ! & 式中系数最大的项及二项式系数最大的项 % 习题 " ! 在 的展开式中 的系数是多少 !% "!-##!. !## $ 在 的展开式中 的系数是多少 &% #&"!-##!. !## $ 在 的展开式中 的系数是多少 ’% "!*#&#&#"!-##!. !## $ 计算二项式 的展开式中 的系数和 的系数 "%"!# "’#&!#% "’##( #( % 计算二项式 的系数之和 "&# "’#&!#% % 已知 计算 #% "!*’##%")&)#&)#&&&&)#,&)#%! ’ . ! & , % "!#)&)&&&)&)% . ! , % "&#)$)&)$)&&$)&)% . ! & ’ , % "’#)&)&&&)% ! & % 用二项式定理证明 可以被 整除 )% ((!.$! !... % 设 的展开式中 的系数是 ,% *"##""!*##+&"!*##’"+!’!! # # !(% & 求 展开式中 的系数的最小值及 的值 "!# *"## #& +!’ % 当 展开式中 的系数取最小值时 求 的系数 "&# *"## #& ! #, % 35 书书书数学文化 ··················································· 数学文化 !!! 地图染色和四色定理 地图染色和四色定理 地图上标有各国的疆域 为了区分明确 相邻的国家需要采用 ! ! 不同的颜色加以区别 当我们仔细观察地图就会发现 一般只需要 ! ! 四种不同的颜色给地图着色就够了 ! 如果区域更多一些 四种颜色还够不够呢 这个看似简单的问 ! " 题首先被格斯里在 年提出 格斯里在对英国地图上色时发现 !"#$ ! ! 无论多么复杂的地图 只需要四种颜色就可以使得相邻的区域着上 ! 不同的颜色 这件事情引起了他的兴趣 他感到其中可能隐藏着某 ! ! 种科学道理 他把想法告诉了哥哥费特里 费特里又把这个问题转 ! ! 交给了著名数学家德 摩尔根 德 摩尔根也解释不 ! #%&’()*+,$! % 了 就写信给著名的数学家哈密顿 这位著名的数学家也被此问题 ! ! 弄得一筹莫展 直到逝世也无结果 ! ! 年 著名数学家凯莱在数学年会上把这个问题归纳为 !"-. ! 四色猜想 提出 于是 四色猜想 开始引起人们的关注 但是 & ’ ! & ’ ! 其难度并未引起大家的注意 ! 闵可夫斯基是位为人谦虚 成就不凡的数学家 偏偏在给大学 ( ! 生上课时 提到了这个问题 当时他一时兴起 失言道 四色猜 ! ! ! )& 想之所以没有解决 是因为当今世界上第一流的数学家没有研究 ! 它 说着拿起粉笔在课堂上即兴推演 没想到越写越多 越写越 !’ ! ! 复杂 终于挂了黑板 指讲不下去了 ! # $! 首先宣布 证明 了四色猜想的是一个叫肯普的律师 他于 & ’ ! 年发表了自己的证明方法 可是过了 年 年仅 岁的年 !"-/ ! !! ! $/ 轻数学家希伍德指出肯普的证明不能成立 接着希伍德成功地使用 ! 了肯普的技巧 证明出平面地图最多用五种颜色着色就够了 ! ! 36 书书书数学文化 ··················································· 直到 年 美国的数学家阿佩尔和哈肯设计出一个计算机 !"#$ ! 程序 他们同时启动三台超高速电子计算机 耗用 个机时 ! ! !%&& ! 终于用计算机证明了 四色定理 但不借助计算机的纯数学证明 " #! 至今尚未作出 ! 四色定理是一个和组合 拓扑 图论有关的问题 有兴趣的同 $ $ ! 学可以考虑以下问题 在一个具有五个行政区域的地图 如下图 % & ’ 上 用四种颜色给这五个行政区着色 当相邻的区域不能使用同一 ! ! 种颜色时 共有多少种着色方法 ! ( 五个行政区的地图 37 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 利用计算机或计算器计算组合数 使用软件 计算排列数 组合数和阶乘 !"#$"% ! 计算 时用语句 例如计算 时 输入 &! "# "$#! ’&& ! %&’(&& 计算的结果 %&)**+*&+’ " # 计算 时用语句 例如计算 时 输入 +! ,# -./00123 ""!##! ,4 ! " &’ ’&-./00123 "&’!4# 计算的结果 ’&’55’655 " # 计算 用语句 例如计算 7! 8# -./00123 "-!3#!9".#0:;"<"3#= " 时 输入 84 ! &’ (&-./00123 "&’!4#!9".#0:;"<"4# 计算的结果 (&&*&>+&))55655 " # 计算 用语句 例如计算 时 输入 )! "$ 9".#0:;"<"-#= &&$ ! )&9".#0:;"<"&&# 计算的结果 )&744&>*55655 " # 通过例子学习用计算器计算排列数 组合数和阶乘 "" ! 计算 时 输入 &! ’&& ! 计算的结果 ’ *+ && & )**+*&+’"" " # 计算 时 输入 +! ,4 ! &’ 计算的结果 &’ "’ 4 & ’55’"" " # , 计算 时 输入 7! 84 ! &’ 计算的结果 &’ ?@ABC "- 4 & &*&>+&))55 " # , 计算 时 输入 )! &&$ ! 38 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 计算的结果 !! "#$%& !! " ’((!)*++!! " # 用 超级画板 程序工作区计算排列数 组合数和阶乘 !,-, " # 计算 时 键入 !# .!! $ 按 键执行 下同 ./!!%" 0123-45162 $ # 计算的结果 下同 "7**8*!8.! " $ # 计算 时 键入 8# 0( $ !. 0"!.$(#% ".++.! 计算 时 键入 ’# 9( $ !. :"!.$(#% "!*!)8!77++! 计算 时 键入 7# !!! $ %;<1=2>;3"!!#% "’((!)*++! 39 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· !!!!! 小结与复习 我们把排列 组合的有关结论总结如下 ! " 分类计数原理 如果完成一件事有 类办法 在第一类办 !! ! " # 法中有 种不同的方法 在第二类办法中有 种不同的方法 # # # # ! " 在第 类办法中有 种不同的方法 每种方法都可以完成这 $# " # # " 件事 那么完成这件事共有 # $%# &# &$&# ! " " 种不同的方法 ! 分步计数原理 如果完成一件事需要分成 步 第一步有 "! " " # 种不同的方法 第二步有 种不同的方法 第 步有 种 # # # #$# " # ! " " 不同的方法 那么完成这件事共有 # $%# ’# ’$’# ! " " 种不同的方法 ! 排列 从 个不同元素中取出 个不同的元素 按 #! ! " #%#""& # 照一定的顺序排成一列 叫作从 个不同元素中取出 个元素的 # " # 一个排列 简称为排列 用符号 表示排列的个数时 有 # ! ## # " ##%"%"(!&%"("&’$’%"(#&!&! " 全排列 把 个不同元素排成一列 所有不同的排列数有 $! ! " # 个 #"%"( ! " 组合 从 个不同的元素中取出 个不同的元素 %! ! " #%#""& # 不论次序地构成一组 称为一个组合 用符号 表示所有不同的 # ! $# " 组合个数时 # ## "( $#% "% ! " #( #(%"(#&( 组合数的性质 &! ! 如果 有 或者 %!& $#%$)# #%) #%"()! " " 40 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· !!""! $"!#"!%#& "## " " 二项式定理 对于正整数 有 !& ! "# !’#(""$"$’"#"#’"%#(#$#")’"%)()#$#""("& " " " " 复 习 题 七 从甲地到乙地 可以乘火车 也可以乘汽车 还可以乘轮船 一天中 火车有 #& # # # & # 班 汽车有 班 轮船有 班 那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地 % # & # % & 共有多少种不同的走法 % 判断下列问题是排列问题还是组合问题 !& & 从 种不同的小麦良种中选出 种 有多少种选法 !#" ’ ( # % 从 件不同的产品中随机抽出 件来检查 有多少种不同的等可能结果 !!" &$ & # % 个人互送贺年卡 张 共送了多少张贺年卡 !%"& # # % 有 个队参加排球赛 比赛时分成两组 第一组 个队 第二组 个队 各组 %& ## # # & # ) & 都进行单循环赛 即每两队都要比赛一场 共需要比赛多少场 ! "# % 在产品质量检验问题中 需要从 件产品中随机抽取 件进行检查 设这 (& # #$$ ) & 件产品中有 件次品 件正品 根据以下的要求 计算各有多少种等可 #$$ & #’& # # 能结果 只需用组合数表达结果 不必将组合数计算出来 % ! # &" 任取 件 !#" ) & 抽到的全是正品 !!" & 抽到 件正品 !%" ! & 抽到至少 件次品 !(" # & 抽到 件次品 !&" ! & 件产品中 有 件一等品 件二等品 件三等品 现在从中抽出 件 &&#! # & #( #% & ( # 一等品有 件 二等品有 件 三等品有 件的不同结果有多少个 ! # # # # % 41 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 从 这六个数字中无重复地取两个 和为偶数的取法有多 !! "!#!$!%!&!! ! 少种 " 某校高中一年级有 个班 高二年级有 个班 高三年级有 个班 各年级分 ’! ( ! ’ ! ( ! 别进行班与班的排球单循环赛 一共需要比赛多少场 ! " 名同学站成一排 共有多少种不同的排法 (!’ ! " 求# "$"*的展开式中 的系数 )! "# "% ! " 的展开式中 的系数为 "*!#$%&$##&%’$$ $&$’ #!!$ +,#!!!!!!-,$!!!!!!.,%!!!!!!/,! 的二项展开式中 若只有 的系数最大 则 等于 ""!#"0"$(#("! $ ! "& ! ( #!!$ % +,’ -,( .,"* /,"" 在 的展开式中 如果第 项和第 项的二项式系数相等 "#! #"1"#$#* ! %) )%# ! 求 的值 #"$ ) % 写出展开式中的第 项和第 项 ##$ %) )%# ! 个不同的小球放入 个不同的盒中 恰有一个空盒的放法有多少种 "$!& & ! " 全班有 名同学 其中正 副班长各 名 现选派 名同学参加某项学习竞 "%! $( ! & " ! ( 赛 在下列情况下 各有多少种不同的选法 ! ! " 无任何限制条件 #"$ % 两名班长必须入选 ##$ % 两名班长有且只能有一人入选 #$$ % 两名班长都不入选 #%$ % 两名班长至少有一人入选 #&$ % 两名班长至多有一人入选 #!$ ! 圆上有两两不同的 个点 "&! ( ! 过两点可画一条弦 一共可画多少条弦 #"$ ! " 过三点可画一个圆内接三角形 一共可画多少个内接三角形 ##$ ! " 由数字 可以组成多少个没有重复数字的正整数 "!! "!#!$!%!&!! " 新华书店有语文 数学 英语辅导书各 种 "’! & & "* ! 买其中一本有多少种方法 #"$ " 42 书书书第 ７ 章 计数原理 ··················································· 买两本不同类的书有多少种方法 !!" # 某工厂有三个车间 第一车间有 个小组 第二车间有 个小组 第三车间有 "#! $ $ $ % $ 个小组 有一个新工人分配到该工厂工作 有几种不同的安排 & $ $ # 完成一件产品需要三道工序 这三道工序分别由第一 第二 第三车间来完 "’! $ % % 成 第一车间有 个小组 第二车间有 个小组 第三车间有 个小组 每一 ! ( $ $ $ % $ 个车间的小组都只能完成该车间规定的工序 问完成这件产品有几种不同的 $ 分派方案 # 名同学站成两排 前 后 共有多少种不同的排法 !)!’ $ $ %$ # 名同学站成一排 甲站在中间的位置 共有多少种不同的排法 !"!"" $ $ # 从 个不同的文艺节目中选 个编成一个节目单 如果演员甲的独唱不能排为 !!! ’ & $ 第一个节目 共有多少种不同的排法 $ # 本不同的书全部送给 人 每人至少 本 有多少种不同的送书方法 !(!& % $ " $ # 已知 的展开式中含 项的系数为 !$! "!#"$!!#%""&%!&#%""’!&$’!!" # !$$ 求展开式中含 项的系数的最小值 #! ! 已知 的展开式中末三项的 ’ ’ !%! !"*!#"’$"+(!!#"($")#(!’!! "!!"*!#"’ ’ ( % ($) ($) 二项式系数的和为 判断展开式系数组成的数列 的单调性 ’!$ )$)$&$) $ ) " ’ 并求其最大项 ! 从 名男生和 名女生中挑选 人 最多选到 名女生的选法有多少种 !&! ’ & % $ ! # 从 名男生和 名女生中选出 名代表 !,! % $ % ! 要求男生 名 女生 名且女生李晶必须在内的选法有多少种 !"" ! $ ( # 要求男生不少于 名的选法有多少种 !!" ! # 名同学站成一排 !#!# ! 甲 乙两同学必须相邻的排法共有多少种 !"" % # 甲 乙 丙三个同学必须相邻的排法共有多少种 !!" % % # 43 书书书8 第 章 统计与概率 统计学是研究如何从数据中提取有用信息的 科学 内容包括如何收集和分析数据 基于统计 ! ! 学的数据处理方法称为统计方法 在科学研究 ! " 工农业生产 新产品开发 产品质量的提高乃至 " " 政治 教育 社会科学等各个领域 使用统计方 " " ! 法和不使用统计方法获得的结果是大不相同的 ! 只要统计方法使用得当 就能够得到事半功倍的 ! 效果 这也是统计学能随着科学技术和国民经济 ! 的发展而快速发展的重要原因 ! 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 随机对照试验 !８"．#1! 随机对照试验 !! 收集数据的方法之一是从总体中进行抽样 另外一个方法是在试 ! !!!"#$%&’ 验中得到观测数据 为了能根据试验的数据对试验进行合理的分析 ! ! (!)*+,-./0 需要对试验进行合理的安排 123"456789 ! :2;<=!>?)* 案例 坏血病的研究 世纪初期 长期在海上航行的水手 @ABCD>E>FG #! " #!" ! 经常患坏血病 坏血病的症状是牙龈肿大出血 皮肤上出现青灰的斑 HI! ! ! 点 英国海军部试图考察坏血病的起因 他们怀疑这是因为水手体内 ! ! 缺少柑橘类水果中的某种成分造成的 当此想法提出时 刚好有 艘 ! ! # 军舰要远航 为了调查是否由于水手缺乏柑橘类的水果而导致坏血 ! !!!"#$%&’( 病 海军部设计了一次试验 随机地安排了一艘军舰上的水兵每天喝 )*+,+-./01 ! $ 23456!7.89 柑橘汁 另外 艘军舰不供应柑橘汁 ! $ ! :;<=>?@%&’ 试验的结果是 航行还没有结束 没有喝柑橘汁的水兵多数得了坏 ()*+ABC"DE $ ! %&’()*+)*F 血病 而提供柑橘汁的军舰上的水兵没有发现坏血病 最后 提供柑橘 ! ! ! GHIJKA+LM 汁的军舰不得不把携带的柑橘汁分给其他的军舰 以帮助他们顺利返航 NO! ! ! PQ+RSTUV 尽管本次试验的计划还可以从各个方面进行改进 但是试验的结 ! WX!Y.DEZ[\ 果成功地证实了最初的怀疑 ;]+^_!:; 的子集为事件 当两个事件不能同时发生时 称这两个事件互斥 事 ?*@’AB7&’( ! ! ! ) - . / 8 9 : / 件 和事件 互斥的条件是 CB!! " # ""#$#! 设全集 中有有限个元素 如果 中每个元素发生的可 !!!"#$%&’( ! !"$!! ! )*+!,-./01 中元素数 能性相同 则称 为 发生的概率 简称为 的 23$%&’!"# ! %""#$ "中元素数 " ! " ! "!"#$%&’()*’#- 概率 678+ ! 在计算事件 的概率时 先计算全集 中元素的个数 然后计 !!!"#$%!& " ! ! ! ’()*+,-.!" 算事件 中元素的个数 特别要注意 全集 中每个元素发生的可 #$!!"#$%&!$"’&"! " ! ! ! 49 书书书 书书书 书书书 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 能性必须相同 ! 对于全集 的事件 表示事 ! " !"!"!" !" !" !"!" ! " # ! " # 件 中至少有一个发生 " !"!"!" ! ! " # 概率的加法公式 如果 的事件 两两 "" " ! ! !!!"!! ! " " 互斥 则 ! ##!!!!"!! $$##!$%##!$%"%##! $& ! " " ! " " 运用概率的加法公式的前提是全集 的事件 两 ! " !"!"!" ! " # 两互斥 ! 证 集合 两两互斥 于是 " "!"!"!" ! ! " # 中元素数 """ #"!"!"!" $ ! " # 中元素数 中元素数 中元素数 $" %" %"%" ! ! " # 最后得到 """&#"!"!"!" $ ! " # 中元素数 $ #" ! !" " !中 " 元!"素#数 $ ! 中元素数 中元素数 中元素数 $ " ! %" " 中元素数%"%" # ! 中元素数 中元素数 中元素数 $ " !中元素数 % " "中元素数 %"% " #中元素数 ! ! ! $&#"$%&#"$%"%&#" $! ! " # 例 根据以往的经验 某家庭装修公司每月能够签订 份装修 !" ! ’ 合同的概率是 已知 计 ( ! ($#’$%&’$%’"$(’!’$$!!!"!"$! ’ ’ "$ 算以下概率 ! 下月能够签订 份装修合同的概率 #!$ !! % 下月能够签订 份装修合同的概率 #"$ !!!!) ! 解 用 表示下月签订 份装修合同 " " ’ ! ’ 则 #!$ &#" $$( $#!!$%&!!$%’*$$%!+*,% !! !! "$ 两两互斥 因为签订 份装修合同发生 签 #"$" !" !" ! !! ! !! !" !) 订 份装修合同就不发生 !" "" 表示签订的合同在 份之间 计算得到 " !" !" !!!!) ! !! !" !) 50 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· !!!!!" "" "" " !! !" !# #!!" "$!!" "$!!" " !! !" !# #% $% $% !! !" !# #$!!%&’!!%&()$$!"%&’!"%&(*$$!#%&’!#%&(+ "% "% "% #%&!,)+-%&!+)+-%&!’,) #%&,& 签订 份装修合同的概率约等于 !!!!# %&,& 用 表示 的对立事件 则 是 的补集 "#!$" " # " " & 例 计算例 中的家庭装修公司下个月至少签订 份装修合同 !! ! , 的概率 & 解 仍用 表示下月签订 份装修合同 则 ! " ’ # "#"#$#" ’ % ! "% 两两互斥 表示至多签订 份装修合同 &"#" "" "" "" "" ( & % ! " # ( 的对立事件 表示至少签订 份装修合同 " "#!$" , # !!!!""#!!""$!!""$$$!!"" % ! ( #%$%$$$% % ! ( #$%%&’%%&("%$$!%&’!%&(!)$$$$(%&’(%&(!’ "% "% "% #%&%%!+& 于是 !!""#!.!!""#%&))*#& 说明该装修公司下月至少能够签订 份装修合同的概率约等于 , ))&*#/& 练 习 某人每天打出 次电话的概率 如下 ’ % % ’ ’ % ! " # ( , ’ + * %’ %&%! %&%" %&%+ %&!+ %&", %&", %&!’ %&%’ %&%! 如果每打一个电话的话费是 元 计算 !! %&# # % 明天用 元电话费的概率 !!" %&# & 明天用 元电话费的概率 !"" %&’ & 51 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 明天至少用 元电话费的概率 !!" "#$ # 明天用 元电话费的概率 !%" &#% ! 习题 ! ! 某人的手机在一天内收到 条短信的概率 如下 ’! " # $ " " " ’ & ! % ( $ ) * #" "#"’ "#"$ "#’$ "#&( "#&( "#’) "#") "#"& "#"’ 计算该手机明天收到最多 条短信的概率 !’" ! # 计算该手机明天收到至少 条短信的概率 !&" ! # 计算该手机明天收到的短信在 条之间的概率 !!" !!$ # 计算该手机明天收到的短信数是奇数的概率 !%" ! 一批产品有 件 其中含有 件次品 从中随机抽取 件 计算 &! ’" % % % ! ! $ 这 件产品都是次品的概率 !’" ! # 这 件产品都是正品的概率 !&" ! # 这 件产品都是次品或都是正品的概率 !!" ! ! 8.2.2 条件概率 !! *#&#&!条件概率 一个班有 名男生 名女生 从班中随机选出一名数学课代 &! %&" ! 表时 男生甲被选到的概率是 当老师公布出选举的结果是女生 ’ % ! %! 时 甲被选到的概率是零 我们称已知选取的是女生的条件下 男生 % ! % 甲被选到的概率是零 如果老师公布选举的结果是男生 甲被选到的 !"#$%&’( ! % )*+!,-#.(/ 概率是多少呢 01!""#! & 为了讲述条件概率 我们先分析下面的问题 % ! 52 书书书 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 问题 掷一枚骰子 已知掷出了奇数 求这个奇数是 的概率 ! ! ! ! ! 答案是 结论是一目了然的 但是为了探讨更复杂一些的问 ""!! ! 题 还是需要把问题分析清楚 ! ! 分析 已知掷出奇数后 试验的可能结果只有 个 它们是点数 ! ! ! ! 这是新的全集 用 表示这个新的全集 "!!!#! ! "##"!!!#$ ! 由于全集已经不是投掷一枚骰子的全集 我们称试验的条件已经 ! 改变 称 是新的试验条件下的全集 这里新的试验指投掷一枚骰 ! " ! 子和已知掷出了奇数 ! 中的 个元素处于相等的地位 所以发生的可能性是相同的 " ! ! ! 用 表示掷出点数 是 的子集 中元素数 中元素数 $ !!$ " !" #!!$ #"! 所以用 表示已知掷出奇数的条件下 掷出 的概率时 有 %%$""& ! ! ! 中元素数 !!!"!#"$% %%$""&# $中元素数 # " ! &#’!(#"$% " ! &!) $"!""#% 例 某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中 !! ""#!#*+,- # "*+,- 学生运动会 每人参加一个不同的项目 且每人是否获得冠军是等可 ! ! 能的 已知只有一名女生获得冠军 求高一的女生获得冠军的概率 ! ! ! 解 用 表示只有一名女生获得冠军 用 表示高一女生获得 ! " ! $ 冠军 已知 发生的条件下 成为试验的全集 的元素具有等 ! " !" !" 可能性 是 的子集 中元素数 中元素数 所以 用 !$ " !" #!!$ #"! ! 中元素数 表示要求的概率时 我们称 %%$""& !%%$""&# $中元素数 # " ! " ! 是已知事件 发生的条件下 事件 发生的概率 %%$""& " ! $ ! 注意 因为 所以有 ’ %%"&#""$!%%"#$&#""%! %%"#$& %%$""&# ! %%"& 例 在一副扑克的 张 去掉两张王牌后 中任取 张 已知 "! #$ % & " ! 抽到草花的条件下 求抽到的是草花 的概率 ! # ! 解 抽到草花 抽到草花 已知 发生的条件 !"# ( )!$# ( #)! " 下 成为试验的全集 中的元素发生的可能性相同 是 的子 !!!"#$%&’( " !" !$ " )*"! 集 所以 ! 中元素数 %%$""&# $中元素数 # " ! " "! 53 书书书 书书书 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 因为 所以也有 !!""#!"##$$!!"!$"#!##$% !!"!$" !!$"""# % !!"" 设 是事件 且 以后总是用 表示在已知 "$$ $ !!""#%$ !!$""" 发生的条件下 发生的条件概率 简称为条件概率 下面是条件 " $ $ % 概率的计算公式 % 条件概率公式 如果 则 ! !""##%$ !""!$# !"$""## % !""# 条件概率公式有时会带来许多计算的方便 但有时候根据问题的 % 特点可以直接得到结果 % 例 把一副扑克的 张 去掉两张王牌后 随机均分给赵 钱 !$ #$ ! " % % 孙 李四家 赵家得到 张草花 孙家得到 张草花 % $"#& & ’$$#& " ’% 计算 !!" !!$"""( 计算 !$" !!"!$"% 解 四家各有 张牌 已知 发生后 的 张牌已固 $ !!" !" $ " $" !" 定 余下的 张牌中恰有 张草花 在另三家中的分派是等可能的 % "’ ( $ % 问题已经转变成 张牌中有 张草花 将这 张牌随机分给 )"’ ( $ "’ 钱 孙 李三家 求孙家得到 张草花的概率 于是 % % $ " % )")!% !!$"""# ( "’*( %%+$(,% )!" "’ 在 张牌中任选 张牌有 种不同的等可能的结果 于 !$" #$ !" )!" % #$ 是 中元素数 中元素数 利用条件概率公式得到 ! #)!"$" #)&)( % #$ !" "’ )&)( !!"!$"#!!""!!$"""# !" "’&%+$(,%%+%!$% )!" #$ 练 习 投掷两枚骰子 % 已知一枚是偶数点 求另一枚也是偶数点的概率 !!" $ ( 54 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 已知两枚骰子的点数相同 求点数都是 的概率 !!" # " $ 已知点数和是 求两枚骰子点数相同的概率 !"" ## ! 习题 ! ! 打扑克的赵 钱 孙 李四家各从一副扑克的 张 去掉两张王牌后 中随机抽取 % % % $! ! " 张 赵家没得到 孙家得到 张 结果精确到小数点后三位 %" #"#& !’#$#& % !’!! " 计算 计算 !%" %!$"""$!!!!!! !!" %!""$"$ 计算 计算 !"" %!"#$"$ ! !&" %!"$$"! 8.2.3 事件的独立性 !! ’(!("!事件的独立性 投掷一枚骰子和一枚硬币 骰子的点数和硬币是否正面朝上是独立 # 的 这时我们称投掷一枚骰子的试验和投掷一枚硬币的试验是独立的 ! ! 用 表示第一个试验的全集 用 表示第二个试验的全集 ! ! ! ! ! " 如果这两个试验是独立的 就称全集 和 独立 ! ! ! "#$%&’&$%&$(#) ! " 理论和试验都证明了以下结论 ! 当事件的全集 和 独立 对于 和 有 ! ! ! "%! #%! ! ! " ! " $""###%$""#$"##! 这时我们也称事件 独立 "#$ ! 例 投掷一枚骰子和一枚硬币 计算骰子出现 或 点 硬币 !!! !"" #$! !! # ! & # %!""!!""!! 正面朝上的概率 ""&’#$# ! 解 用 表示骰子的点数是 或 用 表示硬币正面朝上 则 ! " ! &# $ # 独立 且 表示骰子出现 或 点 硬币正面朝上 因此 "#$ # "#$ ! & # # # 55 书书书 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 有 ! # # !!"!#"$!!""!!#"$ % $ & " ! " 例 同学甲的数学作业得优的概率是 同学乙的语文作业 !" $%&# 得优的概率为 今天同时留了数学和语文作业 计算甲的数学得 $%’& # 优 乙的语文没得优的概率 $ & 解 用 表示甲的数学作业得优 用 表示乙的语文作业没有 " " # # 得优 则 # !!""$$%&#"!!#"$#($%’)$%*& 表示甲的数学作业得优 乙的语文没有得优 独立 所以 "!# $ &"## # !!"!#"$!!""!!#"$$%&+$%*)$%!,& 全班 名同学同时随机地翻开数学书 用 表示第 名同学翻 ,- # " ’ ’ 开的左面页数在第 页或以下 则事件 是相互独 *$ # "#"#%#" # ! ,- 立的 & 对于 用 表示第 个试验的全集 如果这 !""!!!"!#! ! ! $ # ! 个试验是相互独立的 就称这些试验的全集 是相互 ! ! !! !"!! " ! # 独立的 $ 理论和试验都证明了以下结果 & 如果试验的全集 是相互独立的 则对 "" ! !! !"!! ! " ! # %#! !%#! !"!%#! ! " " ! ! # # 有 &#%!%!"!%$"&#%$&#%$%"%&#%$$ " ! # " ! # 这时 我们也称事件 是相互独立的 # "#"#%#" & # ! ( 例 高中每个年级三个班的羽毛球水平相当 各年级举办班级 #" # 羽毛球比赛时 计算都是三班得冠军的概率 # & 解 用 表示第 年级的三班获得冠军 则 相互 " " ) # "#"#" ) # ! * 独立 且 # # !!""$!!""$!!""$ & # ! * * 事件 表示都是三班得冠军 由于 "$" !" !" # "#"#" # ! * # ! * 相互独立 所以 # """"""!!""$!!"!"!"" # ! * $!!""!!""!!"" # ! * 56 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· ! ! !#$#"%" "" 例 一服装店出售标价为 元的夹克 售货员对前来问价的 !" !&# " 顾客以 元推销成功的概率是 如果一小时内先后有两位顾客 !&# #$&" 前来问价 计算服务员对这两位顾客都没有推销成功的概率 ! " 解 用 分别表示对第一 第二位顾客没有推销成功 则 " #!# " ! ! ’ 独立 表示对这两位顾客都没有推销成功 利用 #!# "#!### " ! ’ ! ’ $##$!$##$!!(#$&)#$’ ! ’ 得到 $##$!$####$!$##$$##$!#$’*#$’)#$#+" ! ’ ! ’ 例 李浩的棋艺不如张岚 李浩每局赢张岚的概率只有 "" ! #$+," !!!"#$%&’( 假设他们下棋时各局的输赢是独立的 )*+,-! " 计算他们的 局棋中李浩至少赢 局的概率 #!$ " ! % 计算他们的 局棋中李浩至少赢 局的概率 #’$ - ! " 解 用 分别表示第 第 第 局李浩输 则 " #!$ #!#!# !! ’! " ! ! ’ " 表示李浩连输 局 其对立事件 表示李浩 #!##### " ! #$!!%# ! ’ " 至少赢 局 ! " 因为事件 相互独立 并且 #!#!# ! ! ’ " $##$!$##$!$##$!!(#$+,)#$,,! ! ’ " 所以 !!!"#$%&’( $##$!$##$$##$$##$!#$,,"!#$!--+" ! ’ " )*+,-./0! 于是 说明 局棋中李浩至少赢 局的概 $##$$!!($##$!#$&""-" " ! 率还是很大的 " 用 分别表示第 第 第 局李浩输 #’$ #!#!&!# !! ’!&! - ! ! ’ - 则 表示李浩连输 局 其对立事件 #!# ## #&## - ! #$!!%# ! ’ - 表示李浩至少赢 局 ! " 因为事件 相互独立 并且 #!#!&!# ! ! ’ - $##$!$##$!&!$##$!!(#$+,)#$,,! ! ’ - 所以 $##$!$##$$##$’&’$##$!#$,,-!#$#’%%" ! ’ - 于是 $##$$!!($##$!#$.%’"" 说明 局棋中李浩至少赢 局的概率大于 - ! #$.%" 57 书书书 书书书 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 例 幸运抽奖活动中 中奖的比例是 计算 !! ! !"! " 随机抽取 张 没中奖的概率 #!$ ! ! "% 有放回地随机抽取 张 没中奖的概率 ##$ #$!$$ ! "% # 有放回地随机抽取 张 至少中奖 次的概率 #%$ #$!$$ ! ! ! 解 用 表示第 次没有抽中 ! #!$ % ! !"$&#%$$$&’’! ! ! 用 分别表示第 次 第 次 第 ##$ %!%!&!% ! ! # !&! !$$ ! # !$$ 次没有抽中 由于是有放回地随机抽样 所以 相 ! ! %!%!&!% ! # !$$ 互独立 并且 ! &#%$$$&’’!’$!!#!&!!$$! ’ 表示 次都没有抽中 %$%"%"&"% !$$ ! ! # !$$ & #%$$& #%"%"&"% $ ! # !$$ $& #%$& #%$’&’& #% $ ! # !$$ $$&’’!$$#$&%((! 用 表示至少中奖 次 是 的对立事件 #%$ ( ! !( % ! &#($$!)&#%$#!)$&%((#$&(%*! 这个结果和你想象中的结果是否一样呢 ( 例 在某幸运抽奖活动中 每张奖券的中奖率为千分之一 计 "! ! ! 算有放回地随机抽取 张奖券不能中奖的概率 # ! 解 用 表示抽出的第 张奖券不能中奖 ! % ’ ! ’ 对正整数 相互独立 并且 #!%!%!&!% ! ! # # ! &#%$$!)&#%$$$!) $$&’’’!’$!!#!&!#! ’ ’ !$$$ 表示购买 张奖券不能中奖 %$%"%"&"% # ! ! # # &#%$$&#%"%"&"%$ ! # # $&#%$&#%$’&’&#%$$$&’’’# ! # # 是抽出 张奖券不能中奖的概率 # ! 由上面的公式 可以计算出抽出 张 ! +$!!$$!+$$!!$$$!#$$$ 奖券不能中奖的概率 "! # # +$ !$$ +$$ !$$$ #$$$ " $&’+ $&’$+ $&($( $&%(, $&!%+ # 58 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 可以看出 抽取 张奖券时 仍有 的概率不中奖 ! !""" ! #$%&’ ! 例 设某试验成功的概率是 现在将该试验独 !! "!""""!!#! 立重复 次 证明 恰好有两次成功的概率为 # ! $ ()")"!*"#! # 证 用 表示第 次试验成功 则 表示第 次 ! # $ ! %&#### !!) $ ! ! ) # 试验成功 第 次不成功 且 ! # ! ’"%#&")"!*"#! ! 表示第 次试验成功 第 次不成功 且 %&##$# !!# ! ) ! ’"%#& ) ! ) # ) ")"!*"#! 表示第 次试验成功 第 次不成功 且 %&#$## )!# ! ! ! ’"%#& # ! ) # # ")"!*"#! 表示 次试验中恰有两次成功 因为 (&% %% %% # ! %!%! ! ) # ! ) 两两互斥 所以 % ! # ’"(#&’"%#)’"%#)’"%#&#")"!*"#&()")"!*"#! ! ) # # 练 习 两门高炮同时向一架敌机射击 每门高炮击中飞机的概率都是 计算 ! "%&! $ 飞机没被击中的概率 飞机被击中一炮的概率 "!# %!!!!! ")# % 飞机被击中两炮的概率 "## ! 习题 ! ! 公共汽车一共要停靠 站 甲 乙两名互不相识的乘客在始发站上车 如果他 !! + ! & ! 们在每站下车的概率是相同的 计算 ! $ 甲在第 站下车 乙在第 站下车的概率 "!# ) & # % 甲 乙都在第 站下车的概率 ")# & # % 甲 乙同时在第 站或第 站下车的概率 "## & # , % 59 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 甲 乙在同一站下车的概率 !!" # ! 假设每个人的生日在一年的 天中是等可能的 在全校随机选取两名同学 "! #$% ! $ 计算以下事件的概率 % 两个同学的生日都在 号 !&" % & 一个的生日在 号 另一个的生日在 号 !"" % $ ’ ! 甲 乙二人进行羽毛球比赛 采取三局两胜的规则 如果每局甲胜的概率是 #! # $ ! 计算 ()$$ % 两局结束时甲获胜的概率 !&" & 甲第一局输 第二局和第三局赢的概率 !"" $ & 甲第一局赢 第二局输 第三局赢的概率 !#" $ $ ! 在本教材 例 中 若中奖的概率是万分之一 计算抽出 张奖券不能 !! *)%+ ’ $ ! &((( 中奖的概率和能中奖的概率 ! 设某试验成功的概率是 现在将该试验独立重复 次 证明 恰 %! "$"!!($&"! ! $ % 好有 次成功的概率为 " ,"""!&-"""! ! 8.2.4 离散型随机变量及其分布 "" +)")!"离散型随机变量及其分布 一个字母 只能表示一个事件 许多问题中遇到的事件数目很大 # $ $ 都用字母表示时就显得很烦琐 于是人们引入了随机变量 随机变量 $ ! 的引入大大地节省了符号的使用 也使得问题的表达更加简单明确 $ ! 如果用 表示明天的最高气温 就表示明天的最高气温 $ $’$%#(( 是 由于 的取值在今天无法确定 所以称 是随机变量 !!!"#$%&’( #(.! $ $ $ )*+,-!!"#$ 随机变量常用字母 表示 !/0123450/60789"! $$&$ ! $ " $) ! .!"/0123,4 例 投掷一枚骰子 用 表示掷出的点数 计算 5’!&’.5’,4 !" $ $ $ % 5’!678+,-9 !&"’!$%%"& """" !""’!!#$#%"! :!/0231;<= 解 是随机变量 表示掷出的点数是 于是 >?&’1@AB!! " !&"$ $’$%%( %$ "#$1CD;<=> & ?&’1DB! ’!$%%"% ! $ 表示掷出的点数是 或 于是有 !""’!#$#%( ! %$ ’!#$#%(%’$%!($’$%%(! 60 书书书 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· !!!!!!!!"""""#!!#"#!$##"#"$" # # # !!!!#!!"#!"$!!"#""# $ # % $ $ % 例 投掷两枚硬币 用 表示掷出的正面数 是随机变量 计算 !! % " %" % & !#"!!"#&"’ !!!! !’"!!"##"% !!!"!!"#!"# $%&#’()*+, 解 表示没有硬币正面朝上 # ! !#"#"#&$ %!!"#&"# % -./.$ ! 表示只有一个硬币正面朝上 这个事件含有两个元 !’"#"##$ % 素 所以 ’ % !!"##"# #&("% ! 像上述例题那样 所有取值可以一一列出的随机变量 称为离散 % % 型随机变量 !)*+,-./.-01)2340-*056."7 离散型随机变量的例子很多 例如某人射击一次可能命中的环数 % 是一个离散型随机变量 它的所有可能取值为 投 " % &%#%(%#&’ 掷一枚骰子后上面出现的点数 也是一个离散型随机变量 它的所 & % 有可能取值为 但电灯泡的寿命 的可能取值是任何一 #%’%(%$% ! 个非负实数 而所有非负实数不能一一列出 所以 不是离散型随机 % % ! 变量 % 如果离散型随机变量 的取值是 则 " ’ %’%(%’% #"#’$ # ’ ( ) 是事件 用 表示事件 的概率 我们称 % *#!!"#’" #"#’$ % ) ) ) *#!!"#’"%)##%’%(%( ) ) 是离散型随机变量 的概率分布 " % 以下用 表示 的概率分布 概率分布 有如下的性质 #*$ " % #*$ & ) ) #%*$&%)##%’%(%(’ ) ’%*$*$($*##% # ’ ( 当离散型随机变量 的概率分布 的规律性不够明显时 我 " #*$ % ) 们还用下面的表格来表示 的分布 " % " ’ ’ ’ ( # ’ % ! * * * ( # ’ % 例 全班有 个同学 某次数学作业的成绩如下 "! !& % & 61 书书书 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 分数 ! " # $ % & 人数 ! " $ "# #! % 所占比例 ! !’!#& !’!(& !’$ !’& !’" 从班中任选一个同学 用 表示这个同学的作业成绩 求 的 ! ! ! ! 概率分布 " 解 !#"!$!#$!$%!)!!!!#"!$"#$"$%!)!’!#&! #"!$##$$$%!)!’!(&!!!#"!$$#$"#$%!)!’$! #"!$%#$#!$%!)!’&! #"!$&#$%$%!)!’"" 因此 的概率分布列是 !! ! ! " # $ % & # ! !’!#& !’!(& !’$ !’& !’" 由上可以看出 随机变量 的分布就是该班作业成绩的分布 !! ! ! " 例 设随机变量 的分布列为 & !! ! #"!$%#$ !%$"!#! %"%’"# 其中 为常数 求 的值 "" &# $!%! & ! # "!" " # # 解 由离散型随机变量的概率分布的性质可知 & & ! ’ ’ "*# #*$ 所以 & & " " " " " " " "# ’ $"! &"+ ’ ( ’ ( ’ ( $"! $*% %*& # # $ $ % % & 所以 & &$ " % 因此 "" &# !# "!" $#"!$"#’#"!$## # # & & % % & $ ’ $ " "*# #*$ , 练 习 投掷一枚骰子 用 表示掷出的点数 对 计算 "" ! ! ! %$"!#!%!, #"!$%#" 62 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 离散型随机变量 的概率分布列如右表 !! " ! " " # ! $ 则 的值为 # "!!# $ # # # # % & % # # # # ’! !!!!!!(! !!!!!!)! !!!!!!*! ! % & $ 习题 ! ! 投掷两枚骰子 用 表示掷出的点数之和 计算 和 #! ! " ! $""%&# $""%#"#! 设随机变量 的分布列为 " &# 为常数 !! " $ "% %’&"&%#!!!&!$!+#!’ ! + 求常数 的值 "## ’ $ 求 "# ,#的值 "!# $ """ ! #" #" 袋中有 只红球 只黑球 从袋中任取 只球 取到 只红球得 分 取到 &! $ %& ! $ ! # # ! # 只黑球得 分 设得分为随机变量 求 的值 & ! "! $""#%# ! 在打靶时 选手甲每次击中目标的概率是 如果他独立重复射击 次 用 $! ! #! $ ! " 表示他击中目标的次数 计算 的分布 ! " ! !! - 8 . . ! 2 . . + 5 ! 几几个个常常用用的的分分布布 两点分布 !! !!!""## 如果 只取值 或 概率分布是 " " #! $""%##%#!$""%"#%#/#!#$""!##! !!!"#$%&!! 就称 服从两点分布 记作 "#$!’()*!+ " ! "!("#!##! ,-./012345 任何试验 当只考虑成功与否时 就可以用服从两点分布的随机 ! ! 678"#$%&’())*#34$ 变量描述 9:;&<=#$>6 & 78#$! 63 书书书 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 当试验成功 "!! " !"! 当试验不成功 #"! # 例 某试验成功的概率是 将该试验独立重复 次 用 表 !$ $! # ! ! 示 次试验中的成功次数 计算 # ! %#!"$$# 解 用 表示第 次试验成功 则 表示第 次试验不成功 $ & ’ ! &% ’ # ’ ’ 事件 相互独立 而且 &!&!&!& ! %#&$"$!%#&%$"!&$# ! % $ # ’ ’ 表示后 次试验成功 第 次试验失败 则 ("&& ’&’&’& $ ! ! ! ! ! % $ # %#($"%#&% $%#&$%#&$%#&$"$$#!&$$# ! ! % $ # 用 表示第 次试验失败 其余 次试验成功 同样有 ( ’ ! $ ! ’ %#($"$$#!&$$!’"!!%!$!## ’ 现在 %!"$&"(((((((# ! % $ # 因为 两两互斥 所以 (!(!(!( ! ! % $ # $$$$%#!"$$"%#((((((($ ! % $ # "%#($)%#($)%#($)%#($ ! % $ # "#$$#!&$$ "’$$$#!&$$#&$# # 完全类似地可以计算出 %#!"*$"’*$*#!&$$#&*!*""!!!%!$!## # 上面的例子可以推广到 次独立重复试验的情况 + # 二项分布 "# !!""##$ 设某试验成功的概率为 将该试验独立重复 次 $!$)#"!!$# + ! 用 表示成功的次数 则 有概率分布 ! ! ! ’ 其中 $$%#!"*$"’*$*,+-*!*""!!!(!+! ,"!&$! + 这时 我们称 服从二项分布 记作 ! ! ! !!(#+!$$# !!!"#!$!"#$% 这里 称为二项分布的原因是 为二项展开式 &"’(!%&’"#()" ! ’*$*,+-* + #$),$+"’"$",+)’!$!,+-!)()’+$+ + + + 的第 项 *)! # 例 甲每次投资获利的概率是 对他进行 次相互独立 "$ $""()# * 的投资 计算 ! ’ 有 次获利的概率 #!$ + " 64 书书书 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 有 次获利的概率 !!" " # 至少 次获利的概率 !#" $ ! 解 用 表示甲在 次投资中获利的次数 服从二项分布 ! " " $" #!"$%&’"! $!"%$"%($%&’$!)*%&’""%&#+! " $!"%""%("%&’""%&!"! " 他 次获利的概率约等于 !)" $ %&#+! 次都获利的概率约等于 !!"" %&!"! 表示他至少 次获利 即 !#"%"#$& $ $ %"#$&%%"%$&$%"%"&! 由于事件 和 互斥 所以 %"%$& %"%"& $ $!"#$"%$!"%$"&$!"%"""%&#+,%&!"-%&"$! 因此 至少 次获利的概率约等于 $ $ %&"$! 例 某家庭装修公司和客户洽谈装修协议时 洽谈成功的概率 !! $ 是 设一天内有 个客户前来洽谈装修协议 用 表示这天洽谈 %&.! + ! " 成功的客户数 求 $ $!"%$"! 解 服从二项分布 于是 !" #!+$%&."$ $!"%$"%($%&.$!)*%&."+*$"%&)"/! + 因此 洽谈成功 个客户的概率约等于 $ $ %&)"/! 超几何分布 !! ! 一般地 在含有 件次品的 件产品中 任取 件 其中恰有 $ ’ ( $ ) $ 件次品 则事件 发生的概率为 " $ %"%*& (*()+* $!"%*"% ’ (+’$*%%$)$!$’$,$ () ( 其中 且 ,%012%’$)&$ )%($’%($)$’$(&"’! 称分布列 " % ) ’ , (%()+% ()()+) (,()+, $ ’ (+’ ’ (+’ ’ ’ (+’ () () () ( ( ( 为超几何分布列 如果随机变量 的分布列为超几何分布列 就称 ! " $ 服从超几何分布 记作 " $ "!-!($’$)"! 65 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 例 鱼塘中只有 条鲤鱼和 条草鱼 每条鱼被打捞的可能 !! !" #" ! 性相同 捞鱼者一网打捞上来 条鱼 计算 ! $ ! " 其中有 条鲤鱼的概率 #%$ % % 其中有 条鲤鱼的概率 ##$ # % 其中有 条鲤鱼的概率 #&$ & % 条都是鲤鱼的概率 #$$$ ! 解 用 表示被打捞的 条鱼中的鲤鱼条数 服从超几何分布 ! " $ !" ! ’%’& #%$##"$%$$ !" #" ""("#&&! ’$ %"" ’#’# ##$##"$#$$ !" #" ""(%)&%! ’$ %"" ’&’% #&$##"$&$$ !" #" ""($%*%! ’$ %"" ’$’" #$$##"$$$$ !" #" ""($"&&! ’$ %"" 结论表明打捞到多条鲤鱼的概率要大一些 原因是鲤鱼的数目多 ! 于草鱼的数目 ! 例 在某班的春节联欢活动中 组织了一次幸运抽奖活动 袋 "! ! ! 中装有 个除颜色外质地相同的小球 其中 个是红球 个是白 %! ! ! !%" 球 抽奖者从中一次抽出 个小球 抽到 个红球得一等奖 个红 ! & ! & !# 球得二等奖 个红球得三等奖 个红球不得奖 分别计算得到一 !% !" ! 等奖 二等奖和三等奖的概率 & ! 解 从 个小球中抽取 个时 有 种不同的等可能结果 这 ! %! & ! ’& ! %! 是元素的总数 用 表示抽到的红球数 则 服从超几何分布 ! " ! " ! 并且 ! 得一等奖 ’& )+ ## $$##"$&$$ !$ ""("+!+! ’& !%+ %! 得二等奖 ’#’% #!" ## $$##"$#$$ ! %"$ ""(&$&%! ’& !%+ %! 得三等奖 ’%’# &+" ## $$##"$%$$ ! %"$ ""($$%#! ’& !%+ %! 从中看出 得三等奖的概率最大 ! ! 66 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 练 习 一副眼镜不慎落地被摔坏的概率是 计算 !! "#$! " 第 次落地被摔坏的概率 #!$ ! % 第 次落地被摔坏的概率 #%$ % % 次落地还没摔坏的概率 #&$’ ! 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏 在一个口袋中装有 个红球和 %! ! !" %" 个白球 这些球除颜色外完全相同 一次从中摸出 个球 至少摸到 个红球 ! ! ’ ! & 就中奖 求中奖的概率 ! ! 习题 ! ! 对一大批产品的验收方案如下 从中任取 件检验 无次品就接收这批产品 !! " !" ! ! 设产品的次品率是 计算产品被接收的概率 !"(! ! 某收藏家在拍卖会上决定参加对 件艺术品的竞买 各拍品是否竞买成功是相 %! ’ ! 互独立的 如果他成功购得 件艺术品的概率是 计算 ! ! "#%! " 成功竞买 件的概率 #!$ % % 成功竞买 件的概率 #%$ ’ % 至少竞买 件成功的概率 #&$ ! ! 年级学生会改选时要求各班先选出 名候选人 一班有 名男生 名女生 &! ’ ! %& !%" ! 如果每个人被选成候选人的概率相同 计算一班的候选人中有 名是女生的 ! & 概率 ! 高三 班有 名学生 昨天上语文课时 张老师叫到了其中的 名同学回答 )! #%$ )& ! ! * 问题 今天的语文课张老师又要叫 名同学回答问题 如果今天每个人被叫到 ! * ! 的可能性相同 计算昨天回答问题的学生中有 名又被叫到的概率 ! & ! 67 书书书数学文化 ··················································· 数学文化 !!! 数学期望 数学期望 惠更斯是一个名声和牛顿相当的大科学家 人们熟知他的贡献 ! 之一是物理中的单摆公式 他在概率论的早期发展历史上也占有重 ! 要的地位 他的主要著作 机遇的规律 在 年出版 在这部 ! ! " !"#$ ! 著作中 他首先引进了 期望 这个术语 基于这个术语解决了一 # $ % # 些当时感兴趣的博弈问题 他在这部著作中提出了 条命题 第 ! !% # 一条命题是 & 如果某人在赌博中以概率 赢 元 以概率 输 元 则 !’& " # !’& # # 他的期望是 "$# ! & 下面我们看期望是如何定义的 ! 68 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· !! !" 8 # . " 2 $ .6! 离 离 散 散 型 型 随 随 机 机 变 变 量 量 的 的 数 数 学 学 期 期 望 望 为说明离散型随机变量的数学期望 先看一个例子 ! ! 全年级有 个学生 其中有 个同学的身高是 "#%&& ! " %’(" $ $ 身高 %#’($ )*$ )*+ )*! % )!, )!* $ 人数 " " " " % " " $ ) # % #- %& 比例 & "&" "&" "&" % "&" "&" $ ) # % #- %& 这里共有 个不同的身高 ’#)!*.)*$/)0%& !"#"("(%(" # ) # ’ 全体同学的身高之和是 %&&! %"(%"(%(%" ! ) ) # # ’ ’ 从班中任选一个同学 用 表示这个同学的身高 则 有概率 ! ) ! ) 分布 " " " " *#)#)*$$# )!*#)#)*+$# #!%!*#)#)!*$# %&! " " " 将概率分布列表 得到 ! ) )*$ )*+ )*! % )!, )!* * "&" "&" "&" % "&" "&" ) # % #- %& 可以看出 随机变量 的分布就是全年级同学身高的分布 ! ) " " +#*#)#%$# $!$#)!#!%!’! $ $ " 全年级同学的平均身高是 ) !# " #% ) " ) (% # " # (%(% ’ " ’ $! 由于 的分布是全年级同学身高的分布 我们把全年级的平均 ) ! 身高 定义成 的均值 记作 于是 ! ) ! ,#)$! ! " " " ,#)$#% )(% #(%(% ’ )" #" ’" #%+(%+(%(%+ ! ) ) # # ’ ’ 再看一个例子 设离散型随机变量 有概率分布 ! ) ) ) )&& * &"&) &"-- 作为 的可能值的平均数 并不能真正体现 ) !! ) ! #)/)&&$#*&"* # 69 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 的取值的平均 因为 取值 的概率比取值 的概率大得多 所 ! " ! !"" ! ! 以应当用 表示 的平均取值 !#"$"!%!""#"$&&’&&$"! ! " 定义 当离散型随机变量 有概率分布 ! ! #%&"!%’#!$%"!!!$!(! $ $ 就称 ) "!#%’#*’#*$*’# ! ! ( ( ( ( 为 的数学期望 或均值 ! ")*+,-)*+./*0-12-/+*+.34# ")-*4#5 从前面的例子知道 如果 是从某个总体中随机抽取的个体 ! ! !! 的数学期望 就是总体均值 ""!# !# 为什么称为数学期望呢 设想总体中只有三个个体 一个 一 % ! (! 个 一个 从中任取一个 取到几得几分 用 表示取到的分 6! !(" ! " ! 数 你对 的期望是多少呢 你对 的期望就是总体平均 也就是 ! ! % ! ! 于是 是你对得分的期望 )"!#" !)"!# " 例 甲击中目标的概率是 如果击中 赢 分 否则输 ! !! ! ! !" ! !! ( 分 用 表示他的得分 计算 的概率分布和数学期望 " ! ! ! " 解 的充分必要条件是击中目标 所以 ! &!%!"’ ! ! &"!%!"#% %"$7" ( 是 的对立事件 所以 &!%+!!’ &!%!"’ ! &"!%+!!#%!8&"!%!"#%"$7" 只取值 和 于是 ! !" 8!!! )"!#%!"#&"!%!"#*"+!!#,&"!%+!!# %!"#"$78!!#"$7’8"$7" 于是甲平均输 分 我们也说 甲只能期望赢 分 "$7 " ! +"$7 " 例 在只需回答 是 与 不是 的知识竞赛中 每个选手回 "! ( ) ( ) ! 答两个不同的问题 都回答失败 输 分 否则赢 分 用 表 ! ! ! ! "$9 " ! 示甲的得分 如果甲随机猜测 是 与 不是 计算 的概率分布 ! ( ) ( )! ! 和数学期望 " 解 的充分必要条件是两次猜错 所以 ! &!%+!’ " 70 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· ! !!"#$!"# ##$%&% " 是 的对立事件 所以 #"##$’$ #"#$!$ % !!"##$’"#!(!!"#$!"##$)&% 只取值 和 于是 " $! #$’% &!""#!$!"’!!"#$!"(#$’*!!"##$’" #$#$%&+#$’*#$)&,(#$#%&% 我们也说甲平均输 分 或说甲只能期望赢 分 #$#%& % $#$#%& % 定理 关于离散型随机变量 的数学期望 有以下公式 ! " % & 若 为常数 则 !!" )#*"(+%*%+ % &!*"(+"#*&!""(+’ 当 服从两点分布 时 !%" " ,!!%-" %&!""#-’ 当 服从二项分布 时 !’" " ,!.%-" %&!""#.-’ 当 服从超几何分布 时 1 !"" " /!0%1%." %&!""#. % 0 证 我们只证明公式 和 ! !%" !’"% !%"&!""#!*-(#*!!(-"#-% 当 时 !’" 2##%!%%%(%. % .) 2-2#2 #.-2$!% . 2) !.$2") .$! 设 有 3#!(-%4#.$!% !&!""##+-!-!3.$!(%-%-%3.$%(((.-.-.3# . . . #.--# -#3.$!(.--! -!3.$%(((.--.$!-.$!3# .$! .$! .$! #.-*-#-#34(-!-!34$!(((-4-43#+ 4 4 4 #.-!-(3"4 #.-% 设一试验成功的概率为 将该试验独立重复 次 用 表示成 -% . % " 功的次数 则 有数学期望 是 次独立重复试验中 % " .-%&!""#.- . 平均成功的次数 说明平均成功的次数和 成正比 也和 %&!""#.- . % 成正比 单次试验成功的概率越大 次独立重复试验中成功的平 - % %. 均次数就越多 % 例 甲 乙比赛时 甲每局赢的概率是 乙每局赢的 !! , % -##$&!% 71 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 概率是 甲 乙一共进行了 局比赛 当各局比赛的结果 !"!"#$# ! %! # 是相互独立的时 计算甲平均赢多少局 乙平均赢多少局 " " # 解 用 表示 局中甲赢的局数 则 服从二项分布 ! $ %! " $ %#%!" 因此 即甲平均赢 局 !"&%$" "&#$$"%!’!"&%(&"%" &"% # 用 表示 局中乙赢的局数 则 服从二项分布 ’ %! " ’ %#%!"!"#$$# 因此 于是乙平均赢 局 "&#’$"%!’!"#$(#"$" #"$ # 例 袋中有 个红球 个白球 从中无放回地任取 个 取 !! ) "* # & " 到几个红球就得几分 问平均得几分 # % 解 用 表示得分数 则 也是取到的红球个数 服从超几 ! $ " $ #$ 何分布 于是 即平均得 + ) (#%!")"&$" "&#$$")* "&’ "%"&" , %! 到 分 %"& # 练 习 投掷 枚骰子 用 表示 朝上的骰子个数 求 %# + " - + " &#-$# 一次单元测验由 道选择题构成 每道选择题有 个选项 其中仅有一个选项 ,# ,! " # " 正确 每道题选对得 分 不选或选错不得分 满分 分 学生甲选对任意 # & " " %!! # 一题的概率为 学生乙则在测验中对每道题都从各选项中随机地选择一个 !"$" # 分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值 # 习题 ! ! 一条大鱼有 条后代小鱼的概率是 这条 %# . /"-./.#%./$)0."."!"%"&")" . ) 大鱼平均有多少条后代小鱼 % 投掷一枚骰子 掷出点数 时就得 分 期望得到几分 ,# " 1 1 " % 72 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· !! !8".#2".$7! 离 离 散 散 型 型 随 随 机 机 变 变 量 量 的 的 方 方 差 差 在上节引入介绍数学期望时 我们已经知道 全年级 个同学 ! ! %&& 的身高是一个总体 总体均值是 ! ’ !! " "# ’ " ’ $# # " # $#$# % " % $!%!%&& 总体方差是 ’ "# ! " %"# ’ ’! $#" ’ $ "# # ’! $#" # $#$ "# % ’! $#" % & ! "# ’ ’! $#( ’ $ "# # ’! $#( # $#$ "# % ’! $#( % & 从班中任选一个同学 用 表示这个同学的身高 则 ! ) ! " (!+")!#$! *!*!’!#!#!%& * * " 我们已经把全年级的平均身高定义成 的数学期望 我们再把 ) ,")$! 全年级身高的方差 定义成随机变量 的方差 用 表示 即有 "# ) ! -")$ & -")$!"# ’ ’! $#( ’ $"# # ’! $#( # $#$"# % ’! $#( % & 于是引出离散型随机变量的方差的定义 & 定义 当离散型随机变量 有概率分布 ! ) (!+")!#$!.!&!’!#!" . . 和数学期望 时 就称 !!,")$ ! -")$!"# ’ ’! $#( ’ $"# # ’! $#( # $#$"# " ’! $#( " 为 的方差 称槡 为 的标准差 ) "()*+),-.$! -")$ ) "/0),1)*11.(+)2 通常还用 表示方差 用 表示标准差槡 0+3,$4 "# -")$! " -")$& 的方差描述了随机变量 向它的数学期望集中的程度 方差 ) ) ! 越小 向数学期望 集中得越好 !) ! & 如果 是从某个总体中通过随机抽样得到的个体 的方差 ! !! 就是总体方差 的数学期望 就是总体均值 ""!# !!!! #"!# "$ 例 根据以往经验 一辆从北京开往天津的长途汽车在无雨天 "! ! 赢利 元 小雨天赢利 元 中雨天赢利 元 根据天气预报 #%& ! ’5% ! 6& & ! 明天无雨的概率是 有小雨的概率是 有中雨的概率是 &"#! &"%! &"7& 问明天发一辆长途车期望赢利多少元 方差和标准差各是多少 ’ ’ 73 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 解 用 表示明天发一辆车的赢利 发生的充分必要 ! ! "!!#!"#" 条件是明天无雨 发生的充分必要条件是明天有小雨 #!!#$%"" #!!# 发生的充分必要条件是明天有中雨 于是 &#" # # $$!#!"#%##’!#$$!#$%"%##’"#$$!#&#%##’(" 元 %$!%#!"#)#’!*$%")#’"*&#)#’(+$"&’&$ %" 于是期望赢利 元 或说发一辆车平均赢利 元 $"&’& # $"&’& " 方差 &$!%#$!"#,$"&’&%!’#’!*$$%",$"&’&%!’ !#’"*$&#,$"&’&%!’#’( #"#!-’%&" 标准差 槡 槡 !!!"#$"#%&! !# &$!%# "#!-’%&"((" 定理 对于离散型随机变量 有以下的方差计算公式 ! !# & 若 为常数 即 $$% (#)!*+#)#+ # &$)!*+%#)!&$!%’ 当 服从两点分布 时 $!% ! ,$$#-% #&$!%#-$$,-%’ 当 服从二项分布 时 $"% ! ,$.#-% #&$!%#.-$$,-%’ 当 服从超几何分布 时 $.% ! /$0#1#.% # .1$ 1%02. &$!%# $, " 0 0 02$ 我们只给出两点分布情况下的证明 " 证 因为 所以 ! %$!%#-# &$!%#$$,-%!-*$#,-%!$$,-% #$$,-%$-2-!*-!%#-$$,-%" 例 某厂一批产品的合格率是 检验单位从中有放回地 !! &-/# 随机抽取 件 计算 $# # & 抽出的 件产品中平均有多少件正品 $$% $# ’ 计算抽出的 件产品中正品数的方差和标准差 $!% $# " 解 用 表示抽得的正品数 由于是有放回地随机抽样 所以 ! ! # # 服从二项分布 ! ,$$###’&-%" 利用二项分布的期望公式得到 因此 $$% %$!%#$#)#’&-+&’-# 平均有 件正品 &’- " 的方差 标准差 $!%! &$!%#$#)#’&-)#’#!+#’$&%# !# 74 书书书 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 槡 !!""!!"### 例 箱苹果中有 箱不合格 现在从中随机抽取 箱检查 计算 !"$!! % # % # $ 抽出的 箱中平均有多少箱合格 !$" % % 计算抽出的 箱中合格箱数的方差和标准差 !&" % # 解 用 表示抽到的 箱中的合格箱数 则 服从超几何分布 " " % # " 其中 $!%#&#’"# %($!!#&(’%#’(%# 因此平均有 箱合格 ’% !$")!""(%( (#")%# #")% # $!! 利用超几何分布的方差计算公式得到 !&" ’% ! ’%" $!!*% !!""(%( * $* * !!"&&+# $!! $!! $!!*$ 槡 !( !!""!!"#+# 例 甲 乙两名射手在同一条件下射击 所得环数 的 "" & # " #" $ & 分布列分别是 " , ) + ’ $! $ + !"$, !"$# !"#& !"$ !"$+ $ " , ) + ’ $! & + !"$’ !"&# !"$& !"&+ !"$) & 请根据环数的期望和方差比较这两名射手的射击水平 # 解 ")!" "(,(!"$,-)(!"$#-+(!"#&-’(!"$-$!(!"$+ $ (+# !!" "(!,*+"&*!"$,-!)*+"&*!"$#-!+*+"&*!"#&-!’* $ +"&*!"$-!$!*+"&*!"$+ ($",% )!" "(,(!"$’-)(!"&#-+(!"$&-’(!"&+-$!(!"$).+# & !!" "(!,*+"&*!"$’-!)*+"&*!"&#-!+*+"&*!"$&-!’* & +"&*!"&+-!$!*+"&*!"$) ($"’,# ,")!" "()!" "#!!" "#!!" "# $ & $ & 射手甲与射手乙的平均射击水平没有差异 但射手甲的射击 -" # 75 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 水平稳定性较好 射手乙的射击水平稳定性较差 ! ! 练 习 随机抛掷一枚质地均匀的骰子 求向上一面的点数 的均值 方差和标准差 !! ! " " ! 甲每次投资获利的概率为 用 表示甲在 次相互独立的投资中获利的次 "! #$%! # !# 数 计算 和 ! $##$ %##$! 习题 ! ! 已知随机变量 的分布列如右表 !! " ! " ’" ! ’ 求 $#"$!$#""&&$!%#"$!%#""&&$! ( #$!( #$)) #$)# 对一个新产品的开发需要投资 万元 开发成功可以获利 万元 如果开 "! !# ! !### ! 发成功的概率是 计算投资的平均收益和标准差 #$*! ! 万张体育彩票中只有 个大奖 每个大奖 万元 每张彩票 元钱 购买 ’!!# " ! ’ ! ! ! ! 张 平均赢利多少元 标准差是多少元 ! % % 在某公司的一次投标工作中 中标可以获利 万元 没有中标损失成本费 )! ! !# ! 万元 如果中标的概率是 计算 #$#& ! #$)! & 公司的平均赢利 公司赢利的方差 公司赢利的标准差 #!$ ! ’#"$ %#"$’#’$ ! 有某地的甲 乙两个单位都愿意聘用你 而你能获得如下信息 &! " ! & 甲单位不同职位月工资 元 "# $ !"## !)## !(## !%## ! 获得相应职位的概率 ( #$) #$’ #$" #$! ! 乙单位不同职位月工资 元 "# $ !### !)## !%## "### " 获得相应职位的概率 ( #$) #$’ #$" #$! " 根据工资待遇的差异情况 你愿意选择哪家单位 ! % 76 书书书数学文化 ··················································· 数学文化 !!! 高斯与正态分布 高斯与正态分布 伟大的天文学家伽利略 可能是第一个提 !!"#$#%&"’()*#’)*+$ 出随机误差概念的人 他在 年出版的 关于托勒密和哥白尼 ! ’),+ % 两个世界系统的对话 中提到了观测误差 并谈到了观测误差的以 & " 下性质 ’ 所有的观测都可以有误差 其来源可能归因于观测者 观 !’$ " ( 测仪器和观测条件 ) 观测误差对称地分布在 的两侧 !+$ - ) 小误差比大误差出现得更频繁 !,$ ! 这里的观测误差实际上是现在我们所说的随机误差 ! 年 高斯 发表了天体力学的名著 ’.-/ " !!"011"’222#’.(($ 绕日天体运动理论 在这部著作的末尾 他写了一节有关数据组 % &" " 合的问题 实际上涉及的就是随机误差分布的问题 高斯在以后的 " ! 研究工作中发现了正态分布 这一发现意义重大 也使正态分布有 ! " 了高斯分布的名字 ! 高斯是一个伟大的数学家 一生中的重要贡献不胜枚举 德国 " ! 在加入欧元区之前 流通使用的 马克纸币上印有高斯的头像和 " ’- 正态分布密度曲线 这就传达了一个信息 在高斯的科学贡献中 " ’ " 对人类文明影响最大者 正态分布也 " ! 77 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 正态分布曲线 ８． 3 正态分布曲线 !"#! !! 很早以前 人们不知道圆周率 我们也假设 是未知的 为了研 ! " ! #! 究圆的直径和周长的关系 需要对圆的周长进行测量 在测量前 我 ! ! ! 们用 表示测量值 则 是随机变量 " ! " ! 由于各种随机因素的存在 例如测量本身的随机误差等 使得对 ! ! 直径相同的圆的测量会得到不同的结果 于是 进行大量的独立重复 ! ! 测量后就得到了大量的测量值 理论和试验证明这些测量值的样本方 ! 差会稳定在一个固定的数值 附近 !! ! 我们把 槡 叫作随机变量 的标准差 或测量标准差 在 !# $""# " ! ! 一些实际问题中 标准差 是已知的 当标准差未知时 可以用多次 ! ! ! ! 测量值的样本标准差近似 ! 根据标准差的性质知道 越小表示测量的精度越高 越大表 !! !! 示测量精度越差 所以 表示的是测量的精度 ! ! ! 例如 对直径为 的圆的周长进行测量 由于多种偶然因素 ! "#$ ! 的影响 测量出的数据是有差异的 若记 为测量出的数据 则 ! ! " ! " 是一个随机变量 实际问题中需要关心 取值的概率分布 为了确 ! " ! 定 的概率分布 我们记录了 次测量数据 样本数 把它们进行 " ! %& " #! 分组整理后得如下分组数据表 $ 组号 组 限 组频数 组频率 组频率 组距 !! % " &’("")!’("!&# * *%%& +(+++ ! &’("!&!’("!)# , ,%%& "’(’’! ’ &’("!)!’("’&# + +%%& "-(--, * &’("’&!’("’)# "" ""%%& !*(*** ) &’("’)!’("*&# "* "*%%& ’"("" , &’("*&!’("*)# ") ")%%& ’’(’’! - &’("*)!’(")&# "! "!%%& !,(,,, + &’(")&!’("))# "& "&%%& !!(!!! % &’("))!’(",&# , ,%%& "’(’’! "& &’(",&!’(",)# * *%%& +(+++ 78 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 以测量出的数据为横坐标 以组频数 组距为纵坐标 就可以得 ! " ! 到频率直方图 如图 # ! "$! 图 ! " 由图 可以看出 上述数据的分布有 中间高 两边低 左 ! " ! % ! ! & 右大致对称 的特点 当样本数 越来越大 分组数越来越多 即组 ’ ! " ! # 距无限缩小 时 频率直方图的顶边会无限缩小乃至形成一条光滑的 $ ! 曲线 且可用如下函数 ! " #$&"$# ##$$%槡 $& #! # #&’!$!(’$ #!! 的图象 如图 来近似表示 # ! #$ ! 其中 和 为常数 且 " ! ! !"%!$% #&’"!#!(!!%(&")"*+(! 此时 我们称 的图象为 ! ##$$ 正态分布密度曲线 简称正态 ! 曲线 ! 不同的 和 对应着不同 图 ! # " ! 的正态分布密度曲线 图 # ! ($! 图 ! ( 79 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 从图 与图 可以看出正态分布密度曲线具有如下特点 ! " ! # ! 曲线位于 轴上方 与 轴不相交 $! " " " # 曲线是单峰的 它关于直线 对称 "! " "#! # 在 处达到最大值 $ #!$$"% "#! 槡 # "!" 当 一定时 曲线随着 的变化而沿 轴平移 %! " " ! " # 当 一定时 越大 正态曲线越扁平 越小 正态曲线越尖陡 &! ! "" " #" " # 曲线与 轴之间所夹的面积等于 !!!"#$%! ’! " $! 随机变量 落在区间 % $"""& $ " 其中 中的概率可以通过函数 $ "!"% $ " 来描述 即 恰好是 $$"% " &$"!%""% $ " 由 对应曲线 过点 点 $$"% " $""(%" $ 的两条 轴的垂线及 轴所 $""(% " " " 围成的曲边梯形的面积 图 $ ! %%" 图 即 &$"!%""%## " " $$"%)"# ! % $ " " $ ’$"%(’$"%! " $ 此时 我们称随机变量 为服从参数为 和 的正态分布 " % ! "" 简记为 $*+,-./)012,03420+*%" %#)$ ! """%! 特别当 时称为标准正态分布 !#("""#$ $12.*).,)056)*+,-./ 其密度函数记为 )012,03420+*%" " $ " $ $"%#槡 6(" $(*!"!+*%" "! 其图象如图 所示 简记为 ! & " %# 其分布函数记为 )$("$%" %$"%! 现实世界中的很多随机变量遵循 正态分布 如反复测量长度时 其测 ! " 量误差通常被认为服从正态分布 某 # 图 一地区同性别同年龄组儿童的身高 ! & ’ 体重等被近似地认为服从正态分布 某地每年某月份的平均气温 平 # ’ 均湿度等也被近似地认为服从正态分布 所以 正态分布广泛存在于 ! " 自然现象 生产和生活实际之中 正态分布在概率和统计中占有重要 ’ " 80 书书书 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 的地位 ! 若 则随机变量 在 的附近取值的概率较大 "!#! " "#!#" " " " 在离 很远处取值的概率较小 " ! 具体地说随机变量 取值 " 落在区间 内的概率约为 ! "$#" "%## "#$%&" 落在区间 内的概率约为 ! "$!#" "%!## ’($)&" 落在区间 内的概率约为 ! "$%#" "%%## ’’$*&! 上述结果可用图 表示 # " ! 由图 可以看出 正态 # " " 总体几乎总取值于区间 ! "$%#" 之内 而在此区间以外 "%%## ! 取值的概率只有 通常认 +$++%" 为这种情况在一次试验中几乎 不可能发生 ! 图 在实际应用中 通常认为 # " " 服从于正态分布 的随机变量 只取 之间的 #! " "#!# " ! "$%#" "%%## 值 并简称之为 原则 " %# ! 事实上 就是随机变量 的均值 期望 就是随机变量 " " " ! #"#! " 的方差 它们分别反映 取值的平均大小和稳定程度 " " ! 通过查标准正态分布表 见附录 可以确定服从标准正态分布的 ! ,# 随机变量的有关概率 ! 例 若随机变量 查标准正态分布表 求 !! "!#!+",#" " $ !,#&!"!"!,$!(!!#!%!!!!! !!#&!"#,$(!#% !%#&!+!$(!*!$"!"!!$!%!#%!!! !)#&!""$,$)’#! 解 ! !,#&!"",$(!#’$!,$(!#’+$’%(*)! !!#&!"#,$(!#’,-&!"",$(!#’,-+$’%(*).+$+")!"! !%#&!+$(*$""!$%#’&!""!$%#$&!""+$(*#’$!!$%#$ $!+$(*#’+$!*%(#! !)#&!""$,$)’#’&!"%,$)’#’,-&!"",$)’#’,- $!,$)’#’,-+$’%,#’.+$+"#,,! 设 则有关 取值的概率计算主要依据如下关系式 "!#! " "#!#" " $ 81 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· !!"!!""#! !"$" " #!!! !""!!$""#!#!!""$""$% # 其中 的值可以通过查标准正态分布表 见附录 得到 $!!&" ! !" % 例 当 服从正态分布 且数学期望为 和标准差为 时 计 !! ’ $ % " $ 算 (!&#’$’"% 解 !)!’$*!%"""#"+!"#%"##"% !’#%" !&#%" +!(!&#’$’##!!’#$!!&##! $! # " " !!"#$!!!##$()**"+#$(’%!,-$(!,+)+% 练 习 设 查表求 精确到 !% ’$*!$$!"$ ! $($$$!"% !!"(!$#’#!()$"#!!!!!! !""(!$!(’,#’#$"% 查表计算 精确到 "% ! $($$$!"%!!!",!!""% 习题 ! ! 设 查表求 精确到 !% ’$*!$$!"$ ! $($$$!"% !!"(!’$"(*+"#!! !""(!’#$(+"#!! !,"(!$"#’$"()"% 内科医生对某病人进行了血压的测量 用 表示测量的收缩压 单位 !!!"#$%&’( "% $ ’ ! %../0"% )*+#! 设 服从正态分布 如果病人当时的真实收缩压是 ’ % " $ 当血压计的测量标准差是 计算 !!" !$ (!%’$"%$!()&"# 当血压计的测量标准差是 计算 !"" !(+$ (!%’$"%$"()%"% 设 查表求 精确到 ,% ’$*!"(,$%"$ (!!$’#,"! $($$$!"% 用 表示包装机包装出的袋装食盐的重量 已知 是服从正态分布的随机变量 %% ’ % ’ $ 有数学期望 标准差 计算一袋食盐的重量少于 的概率 $(+10$ $($!10% $(%)10 % 82 书书书 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 列联表独立性分析案例 !８"．#4! 列联表独立性分析案例 !! 在许多实际问题中 我们需要考察两种因素的关系 例如 患肺 !! ! ! ! 癌与吸烟是否有关 儿童语言能力是否与他们的性别有关 " " 为了分析这些问题 我们需要用问卷调查或现场记录等方式获取 ! 一批数据 例如 为了了解患肺癌是否与吸烟有关 就需要调查其他 ! ! ! 条件都基本相同的 个人 然后将调查结果列成表 的形式 表中 " ! !"# # 表示 是否吸烟 表示 是否患肺癌 # $ %!$ $ %&! 表 !! !"$!! $ 患肺癌 不患肺癌 总计 #%& #%"& # 吸烟 #&& ’ ( ’)( 不吸烟 #&#& * + *)+ 总计 ’)* ()+ ’)()*)+ 我们称类似 的表格为列联表 称 为两个因素 称 吸 !"# ’ #!$ ’ $ 烟 和 不吸烟 为 的两个水平 称 患肺癌 和 不患肺癌 % $ % # ’ $ % $ % 为 的两个水平 $ ! 由于所涉及的两个因素 均有两个水平 所以称表 为 #!$ ! !"# 列联表 #$# ! 列联表 的独立性分析就是根据表中的数据分析因素 是 !"# #!$ 否相互独立 ! 下面我们通过对具体案例的分析学习列联表的独立性分析方法 ! 案例 患肺癌与吸烟是否有关 ! " 为研究患肺癌是否与吸烟有关 从一批在年龄 生活和工作环境 ! ( 等方面相仿的男性中分别随机抽取了 名肺癌患者和 名非肺癌患 %& ’& 者 调查他们是否吸烟 调查结果列入表 ! ! !"(! 值得指出的是 这里要求被调查对象在年龄 生活和工作环境等 ) ( 因素方面尽量相同是为了避免这些因素对 是否患肺癌 的影响 因 $ % ! 83 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 为不同的年龄段或者不同的生活 工作环境等因素可能也会导致人们 ! 易患肺癌 如果调查时不考虑这些因素 即使我们分析的结果是患肺 ! " 癌与吸烟有关 也不清楚这种关系反映的是患肺癌与吸烟之间的关系 " " 还是由其他因素引起的关系 因此 只有尽量控制调查对象在其他方 ! " 面尽可能一致 才能根据调查数据有效地分析患肺癌与吸烟的相关性 " ! 将上述调查数据列成 列联表 并计算出各行各列的和 得 !"! " " 到表 #$%! 表 肺癌与吸烟的调查数据 !! !"# !! " 患肺癌 未患肺癌 总计 #$$ #$"$ # 吸烟 #%$ %& ’( () 不吸烟 #%#$ !’ !( )* 总计 *+ )+ ’++ 从表 可以得出 在 个吸烟的人中有 人患肺癌 患者占 !! #$% " () %& " 在不吸烟的 人中 有 人患肺癌 患者占 %&%()$,!$!!-& )* " !’ " 吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例 !’%)*$)($*(-! 高出 ,!$!!-&)($*(-’!*$(,-! 这种差异似乎已经说明吸烟与患肺癌有很大关系 但仔细想想 由于 ! " 这 人是随机选取的 会不会由于随机抽样的误差使得所抽取的 ’++ " 名肺癌患者中碰到了较多的吸烟者 而在 名非肺癌患者中碰到 *+ " )+ 了较多的不吸烟者 这样也可能导致吸烟者中肺癌患者的比例比不吸 ’ 烟者中肺癌患者的比例高 ! 于是 我们还需进一步用统计方法说明单凭随机抽样的误差还不 " 足以造成如此大的差异 ! 在本例中 "(’)*+*,*-’’++" )’%&"+’’(",’!’"-’!(& )*+’()",*-’)*")*,’*+"+*-’)+! 为分析 是否独立 相关 先提出假设 独立 无 #"" # $" . (#"" # + 84 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 关 也就是假设 吸烟 与 患肺癌 独立 无关 这时 !" # $!!% # $"!% $ !# ! 与 独立 与 独立 与 独立 与 独立 " "!! " "! "" "!! "" # 于是 #$$!$"!%$$!!$$"!"#$$!! $"!%$$!!!$$"!" $$!$""!%$$!!$$""!"#$$!! $""!%$$!!!$$""!# 根据概率与频率的关系 知道 的估计值为 ’ " $$!$"! & % % !" ( 的估计值为 的估计值为 ) !"#$"$$!! $"! & !!" % ( %!"%&"$$!$""! 的估计值为 * + & !""% ( %!"&’"$$!! $""! & !" % ( %!"%’# 又 的估计值为 的估计值为 ’,* $$!! & ! % ( %!"’("$$!!! & !!% 的估计值为 的估计值为 ),+ ’,) %!"()"$$"! & % %!")"$$""! ( " ( *,+ & ""% ( %!"(# 因为假设 独立 所以 -". " !!" %%& !" /& ! & " %" !!"" %%& !"" /& !"& " %" 都相应比较小 我们用 !!""%%& !""/& ! & ""%" !!" %%& !" /& !!& ""% " ####" %% (! % !", (! % !!", (! % !"" , (! % !" & ! & " & !!& " & ! & "" & !!& "" !!!"!"###$% ($’+/*)!% &!$"%&’()*+#’() % $’,*!$),+!$’,)!$*,+! $&! *+, ! ,!-./01 表示 的总体大小 当 成立时 取值应该比 23$ ! ,456",! !!" " !!!" " !!"" " !!" # 0 ! " " % 较小 当 取值较大时 表示假设 不成立 " " % " 0 ! # 在本案例中 经过计算得到 的观测值为 " % " &!!$#$*%’+&’*%&!% ######" %% &,"#&# ’(*()*)!*(! 那么 是否太大呢 " " %%,"#& & 统计学家已经有明确的结论 如果 列联表中的两个因素 ’ %*% -" 是独立的 即在 成立的情况下 且当随机调查的数据 . " 0 " ’"*")" !!!"#$%!!"! ! 都不小于 时 随机事件 发生的概率约为 即 #!$&’()!*$ + ’ " # " %’)")#’% !"!&" +!,-./01*2 $$ " %’)")#’!&!"!&# $%! 3*4567% 也就是说 在 成立的情况下 的值大于 的概率非常 " 0 ! " " % )")#’ 85 书书书 书书书 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 小 近似于 即在 成立的情况下 对随机变量 进行多次 ! !"!#! " ! ! ! $ 观测 观测值超过 的频率为 ! %"%&’ !"!#! 在本案例中 由调查数据所得到的 这件事发 ! ! $#("&#!%"%&’! 生的概率 这是一个小概率事件 $" ! $"("&###$" ! $"%"%&’#$!"!#! ! 因此我们有 的把握认为 不成立 即在本案例中发生的原因很 ))* " ! ! 可能是由于假定 患肺癌与吸烟独立 不对 于是否定 从而 !!!"#$%&’( " ! $ % ! " ! ! 认为患肺癌与吸烟有关系 )*! ! 值得指出的是 我们在作出上述判断时也有可能犯错误 因为患 ! ! 肺癌与吸烟无关系时 的值仍有可能超过 但是这件事发生 ! ! $ %"%&’! 的概率不超过 也就是说我们犯错误的概率不会超过 !"!#! !"!#! 上面这种利用随机变量 来确定在多大程度上可以认为 两个 $ $ ! 分类变量有关系 的方法称为两个分类变量的独立性检验 % ! 利用独立性检验来考察两个分类变量 与 是否有关的具体做 % & 法是 提出假设 与 无关 &"## " &% & ’ ! 根据 列联表与公式 计算 的值 "$# $+$ "## ! $ ’ 查对临界值 表 作出判断 "&# " ,"-#! ! 表 !"# $" ! $"’ ! #!"’! !"-! !"$’ !"#’ !"#! !"!’ !"!$’!"!#!!"!!’ !"!!# ’ !"-’’!"(!,#"&$&$"!($$"(!%&",-#’"!$-%"%&’(",()#!",$, ! 例如 如果 就有 的把握认为 与 &"## ! $!#!",$,! ))")* $% & 有关 %’ 如果 就有 的把握认为 与 有关 "$# ! $!%"%&’! ))* $% & %’ 如果 就有 的把握认为 与 有关 "&# ! $!&",-#! )’* $% & %’ 如果 就认为没有充分的证据显示 与 有关 ! $#&",-#! $% & %! 例 用两种检验方法对某食品做沙门氏菌检验 结果如下 试比 % ! ! 较两种方法和阴性结果是否有关系 ! 阳性 阴性 合计 荧光抗体法 #%! ’ #%’ 常规培养法 $% -, (- 合计 #,% ’& $&) 86 书书书 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 解 提出假设 两种方法与阴性没有关系 ! ! ! " ! 由题意可知 "#$"#!"%$$"&$%#"’$&’"#(%$"#$"&( 将它们分别代 ’$(&"#(&$"’#"%(’$$)")$#(%(&(’$%)*" 入公式得 )##’*%&$% ! %$ ##(%$#&(’$##(&$#%(’$ """)+"’$" 查表 可知 当 成立时 即当 ’+& " ! ! "+# ! %#"!+’%’$"!+!!"" 成立时 的概率约为 或 而这里的 ! ! " ! %#"!+’%’ !+!!"# !+",$" ! %" 远大于 "")+"’$ "!+’%’" 因此 我们有 的把握认为它们之间有关系 " **+*, " 练 习 某项试验 在 次试验中 成功率只有 进行技术改造后 又进行了 " "!! " "!," " 次试验 试问 若要有 以上的把握认为 技术改造有明显效果 "!! " ! *(+$, % &" 试验的成功率最少应是多少 设 ’ # +# ! %#$$$!+!%$$ 习题 ! !" 为了考察某种新药预防疾病的作用 进行动物试验得到如下观测数据 " " 患病 未患病 合 计 ! 服用药 "$ )$ $! 没服用药 & &# $! 合 计 ! "* ’" "!! 请问能有多大把握认为药物有效 ’ 87 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 一元线性回归案例 !８"．#5! 一元线性回归案例 !! 案例 海牛是一种体型较大的水生哺乳动物 体重可达到 !! ! ! 以水草为食 美洲海牛生活在美国的佛罗里达州 在船舶运 !""#$! ! ! 输繁忙季节 经常被船的螺旋桨击伤致死 下面是佛罗里达州记录的 ! ! 年机动船只数目 和被船只撞死的海牛数 的数据 %&!!"%&&" " # ! 年 份 ! %&!! %&!’ %&!& %&’" %&’% %&’( %&’) 船只数量 " **! *+" *’% *&’ ,%) ,%( ,(+ 被撞死的海牛数 # %) (% (* %+ (* (" %, 年 份 ! %&’* %&’, %&’+ %&’! %&’’ %&’& %&&" 船只数量 " ,,& ,’, +%* +*, +!, !%% !%& 被撞死的海牛数 # )* )) )) )& *) ," *! 现在问 # 随着机动船的数量的增加 被撞死的海牛数是否会增加 $%% ! & 当机动船增加到 只 被撞死的海牛会是多少 $(% !," ! & 要解决上面的问题先为数据画出散点图 横坐标是 纵坐标是 ! "! 见图 #! ’ !! 图 船只数量和被撞死的海牛数的散点图 ’ !! 88 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 从数据散点图上看到 有随着 的增加而沿某一直线增加的趋 ! # " " 势 直线确定了 问题 也就解决了 但这条直线应当如何确定呢 $ ! "!# ! $ 无论是从抽样调查中得到的成对数据 还是从科学试验 工农业 ! % 生产中得到的成对数据 在统计学中都被称为观测数据或样本 数据 ! ! 的个数被称为样本容量 $ 上面案例中的 对观测数据称为样本 由图 的 个点表示 !" ! # $ !" $ 样本容量是 的成对观测数据 用 % ! "#!!#!"#!!#!&! ! ! % % 表示 这里 对固定的 和 来自相同的个体或是同一 "#!!# $ ! "!# ! % % " " 次试验的观测数据 对 和 来自不同的个体或 $ "!&!"#!!# "#!!# " " & & 是不同试验的观测数据 $ 对于上述观测数据 我们用 表示数据 用 ! ’#( #!#!&!#! " ! % % 表示数据 用 和 分别表示 和 的 ’!( !!!!&!!$ #" !# ’#( ’!( " ! % % " " 均值 用 表示 的标准差 用 表示 的标准差 $ ’ ’#( ! ’ ’!( $ # " ! " 再引入 #!)#!)&)#! ’ ( ! ! % % % %*#"!#$ #! % 定义 当 我们称 $ "!# ’’!&! #! % %"#*#"#"!*!## " " $$$$+ (槡"(! #! % % %"#*#"#% %"!*!##% " " "(! "(! % %#!*%#"!# "" ’ (槡 "(! ( #! " % % #%*%#"% #" % % !%*%!#% # ’ # ’ ! " " "(! "(! 为 和 的相关系数 ’#( ’!( ! " " 当 时 我们称 和 正相关 "%# + && ! ’#( ’!( ! #! " " 当 时 我们称 和 负相关 "’# + ’& ! ’#( ’!( ! #! " " 当 时 我们称 和 不相关 ""# + (& ! ’#( ’!( $ #! " " 理论上可以证明相关系数 具有以下性质 + ) #! 总是在区间 中取值 !$+ **!!!+ , #! 当 越接近于 时 的线性相关程度越强 且 增加 %$ + ! !#!! ! # ! #! 也倾向于增加 这时数据 分散在 ! ! "#!!#!"#!!#!&!"#!!# ! ! % % % % 89 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 一条上升的直线附近 ! 当 越接近于 时 的线性相关程度越强 且 增 !! " %" "#"$ " # #$ 加 倾向于减少 这时数据 分散 "$ " ##"$$"##"$$"%"##"$$ " " # # & & 在一条下降的直线附近 ! 当 越接近于 时 的线性相关程度越弱 $! " % "#"$ ! #$ 图 至图 分别是 和 之间正相关和负相关的举例 & & & ’ &#’ &$’ " ’ ’ 其中样本容量都是 (%! 图 & &!" "% #$ 90 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 图 ! "!! "# "# 从图中看出当 时 有随着 的增加而增加的趋势 这 !! ! ##$! !# " ! !!!"#$%&’( "# 时我们认为 和 是高度正相关的 当 时 有随着 )*!+"!",-!"#! ""# "## % ! "&#$! !# "# $ $ "# ./01234567 的增加而减少的趋势 这时我们称 和 是高度负相关的 " ! ""# "## % 89:;$ $ $ 现在我们来解决本节开始的案例中的两个问题 % 为解决问题 先计算机动船数 和被撞死的海牛数 的 $%%! ""# "## $ $ 相关系数 ! % "# 本案例中 经过计算得到 ! "$’&’($&!#%’)"$*+! (’!!$&’!(’%%$(&!( ’"("$+’! " # "# 91 书书书 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 于是相关系数 !"!#$% ! $ !*#!+),% "# &&#’%())#"’ 这说明被撞死的海牛数 和机动船数 高度正相关 因此 只要机 # " % ! 动船数增加 被撞死的海牛数就会增加 ! % 为了解决问题 需要为数据建立回归直线 设回归直线是 ",#! % &$’#$(")*% 我们可以认为 和 满足以下的关系 # " $ + + #$(")*),!+$)!,!%!-% + + + 其中的 表示随机误差 我们称上述的模型为一元线性 ,!,!%!, % ) , - 回归模型 "-./0122032044.5/6570-#% 解决一元线性回归模型的方法是求出直线 这里的直线 就是 &! & 以前学习的回归直线 % 利用最小二乘法得到的 的最小二乘估计值是 (!* . !"!#$% ($ "#$ !*#),’! ., &&#’%, " *$#"/("#$,!#+$8*#),’(’%"#’!8+)#’% 回归直线是 &$’#$*#),’"/+)#’% 此回归直线的图形如图 所示 & )* % 图 船只数量和被撞死的海牛数的回归直线 & )*$ 92 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 当机动船数增加到 条时 被撞死的海牛数的预测值是 !"# ! 只 !"##$%&"’!"#()%$"!"&" #$ 例 下面是我国 年出口贸易额 百亿美元 和我国 !" %**#$&### %" # 国内生产总值 百亿元人民币 的数据 +,-" #"" # $ 年 份 " %**# %**% %**& %**. %**) %**" % /$&% !$%* 0$)* *$%! %&$%# %)$00 " %0"$)0 &%/$%0 &//$.0 .)/$.) )/!$"* "0)$!0 年 份 " %**/ %**! %**0 %*** &### % %"$%% %0$&* %0$.! %*$)* &)$*& " /!0$0" !))$/. !0.$)" 0&#$/0 0*)$)& 试建立 与 之间的回归方程 " % $ 解 根据收集的数据作散点图 图 " " 0 %%#$ 图 出口贸易额和 数据散点图 0 %%" +,- 从图 可以看出 集中在一条直 0 %% "%!"#"&#%!&!%!%%# & & 线附近 因此可以用线性回归模型 ! "#’%()(*"&#%!&!%!%%# & & & 来描述 之间的关系 描述了随机误差造成的影响 其中也包 %!" $* ! & 括了观测误差 经计算 $ ! %##%)$#&!"$#"))$).!+#"$/!!+#&)!$/!!+ #%.!&$#*$ % " %" 相关系数 %.!&$#* , # !#$*!!$ %" "$/!’&)!$/! 93 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 因此 和 是高度正相关的 这说明外贸出口带动了 的 !! " ! !"# 增长 通过计算可得出 的最小二乘估计值分别为 # $!% " ’ %&’$()* %& !"& !-$(,.! ’$ +(,’$ ! $&""(%!#&+--(-&/-$(,.0%-()%!/+&(*-# 于是 回归直线为 见图 ! )"&-$(,.!(+&(*-# . %$$# 图 出口贸易额和 的回归直线 . %$$ !"# 对于 年的出口贸易额 可以用回归直线作出 $))% $ !&$,(,%! $))% 年 的预测值为 !"# )"&-$(,.0$,(,%/+&(*-1%).%(’’# 例 某地区对本地企业的人均资本 万元 与人均产出 万元 !$ !# $ "# $ 进行了一次抽样调查 下表是这次抽查中所得到的各企业的数据 ! " 人均资本 !!!"#$%&!’ 万元 & - +(+ ,(+ ’ . * %)(+ %%(+ %- !# $ ()*+,-./01 人均产出 2345601!78 万元 -(%$-(,’.(,.%%()%%&()-%-(-&%’(+)$+(-,$,(,,-+($) !!9:;<=>?@ "# $ 若 与 之间具有近似关系 为常数 试根据 ABCDEFG!HI #%$ " ! "!$!% #$!% $! JK/L5MN!OP 表中数据估计 和 的值 QRJK/+,ST! $ % % 估计当企业人均资本为 万元时的人均产出 精确到 UV56MNWX56 #$$ %, # )()%$# YZMN![\]^_ 分析 根据 所具有的关系可知 此问题不是线性回归问 B‘a!bcdefg $ !!" ! 题 不能直接用线性回归方程处理 但由对数性质可知 只要对 hij/L5MN!2 ! # ! "! kflm/WX56Y 的两边取自然对数 就能将其转化为线性关系 ZMN/Tnop! $!% ! # 94 书书书 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 解 在 的两边取自然对数 可得 ! !!" !""#$ # "#!""#"% !! !!"!"#$ % # 设 & $"### ! !!’"!#&’" #" & "#!&!’#"#"&"’#"##&#’# #!’"#$%&’( 则 !""!"#&%#! !’"#$!#&’"#$&# !’""’%$#’( #’"#$##" # !’" 根据数据计算如下表所示 ( #’$%&’( !%"!"#&%&#! 人均资本 万元 #! " $ % &’& (’& ) !’"#$!#&’"&##’" 人均产出 万元 #$##"#!’"#’$ !! " %’!* %’() +’(+ !!’,! !$’,% %&’( #’&"## !’,-+(! !’$+(*- !’),%)& !’+)!+, !’-%&-! !’"!"#&& %#! ! !’&"#! !’%!&+& !’&%!!( *’!(!,* *’$-++, *’&(+,* !’"#$!#&’" # & 人均资本 万元 #! " + - !,’& !!’& !% #’"#$##" # !’" 人均产出 万元 #’$%&’( !! " !%’%$ !)’& *&’%( *(’(( %&’*, !("!"#$%#$&# #’&"## *’,)-%% *’!-)** *’$&!$+ *’%%*$& *’($-,( !!’"!#&’"#$&# !’&"#! *’((-$! *’+(**, $’*$)!! $’*+$!( $’+!!!, "#!’"#$%&’( 仿照例 可得 的最小二乘估计值分别为 !# "’#$ "’&),’%-(*)# 由 可得 $&!’&())# "’&"#"&),’%-(*) # "",’(,++# 即 的值分别约为 和 "#$ ,’(,++ !’&())( 由 知 !*" !!" *!&,’(,++#!’&())( 样本数据及回归曲线的图形如图 所示 + !$ ( 图 + !$ 当 时 万元 故当企业人 #&!( !#*!&,’(,++.!(!’&())"%)’,!! "# 均资本为 万元时 人均产值约为 万元 !( # %)’,! ( 95 书书书 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 练 习 下表是从某大学随机抽取的 名女大学生的身高 和体重 的数据 ! !!"#" "!$%" # 编号 & ’ ( ) * + , ! 身高 ! &+* &+* &*, &,- &,* &+* &** &,- 体重 " )! *, *- *) +) +& )( *. 试求出 与 之间的回归方程 并预报一名身高为 的女生的体重 " ! $ &,’"# # 习题 ! !! 研究某灌溉渠道水的流速 与水深 之间的关系 测得一组数据如下 &# " ! $ # 水深 !%# &/)- &/*- &/+- &/,- &/!- &/.- ’/-- ’/&- 流速 "%!#&01&" &/,- &/,. &/!! &/.* ’/-( ’/&- ’/&+ ’/’& 画出散点图 !&" ’ 求 对 的回归直线方程 !’" " ! ’ 预测水深为 时水的流速是多少 !(" &/.*# ( 一只红铃虫的产卵数 与温度 有关 现收集了 组观测数据列于下表中 ’# " ! # , $ 温度 !!2" ’& ’( ’* ’, ’. (’ (* 产卵数 个 "! " , && ’& ’) ++ &&* (’* 试建立 与 之间的回归方程 要求分 和 两种形式进行探讨 " ! #! "$%3&! "$’!’() #" 96 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 假设检验案例 案例 一条新建的交通干线全长 前半段 后半段 !! !"#$! %#$! 在刚刚通车的一个月中 后半段就发生了 起交通事故 而 %#$! ! & ! 前半段没有发生交通事故 能否认为后半段发生交通事故的概率比前 ! 半段大 " 解 同一起交通事故发生在后半段就不能发生在前半段 就像硬 ! ! 币掷出反面时就不会出现正面一样 起交通事故的发生是相互独立 !& 的 它们之间没有联系 ! ! 如果前 后半段发生交通事故的概率相同 则每一起事故发生在 # ! 后半段的概率都是 于是这 起交通事故都发生在后半段的概率是 "’%! & "’%&""’"()%! 这是一个很小的概率 一般不会发生 所以我们认为后半段发生交通 ! ! 事故的概率比前半段大 ! 作出以上结论也是有可能犯错误的 犯错误的概率正是 ! "’"()%! 这是因为当前 后半段发生交通事故的概率相同 而 起交通事故又 # ! & 都出现在后半段时 我们才犯错误 也就是说我们犯错误的概率等于 ! ! 前 后半段发生交通事故的概率相同的条件下 起交通事故都出现 # !& 在后半段时的概率 这一概率正是 于是 我们判断正确的 ! "’"()%! ! 概率是 !*"’"()%+,-’.%/! 因此我们是以 的把握保证后 比前 更容易发生 ,-’.%/ %#$ %#$ !!!"#$%&’( 交通事故 ! )!*+,-.! 得到了上述结果后 交通管理部门很快在进入后半段的地点安放 ! 了警示牌 前方是事故多发路段 请小心驾驶 $ ! ! 案例 一服装店出售标价为 元的夹克 售货员声称对前来 "! !0" ! 问价的顾客以 元推销成功的概率是 现在 小时内有 !0" #""’(! ! & 97 书书书 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 位顾客前来问价 服务员对这 位顾客都没有推销成功 能否判定售 ! ! ! 货员的 不对 "#"#$ " 解 用 分别表示对第 第 第 位顾 ! $!$!$!$ %! &!#! ! % & ’ ! 客没有推销成功 则 相互独立 ! $!$!$!$ !$#$ "$ " % & ’ ! % & 表示对这 位顾客都没有推销成功 利用 $"$ ! ! ’ ! %$$%#%("#$)"#!!&#%!&!’!! & 得到 %$$%#%$$%%$$%%$$%%$$%#"#!!#"#"&*$! % & ’ ! 这是一个小概率事件 其发生的原因很可能是 不对 所 ! "#"#$ ! 以应当判定售货员的 不对 作出这个结论也可能犯错误 犯 "#"#$ ! ! 错误的概率是 于是判断正确的概率是 因此 我们 &#*$+! ,-#!!+! ! 以 的概率保证 ,-#!!+ "#"#$! 案例 某地区的山羊患某种疾病的概率是 且每只山羊患 !! "#!! 病与否是相互独立的 现在为了判断一种新的预防药是否有预防作 ! 用 随机选取了 只山羊做试验 这 只山羊用药后都没有得这种 ! $ ! $ 病 问此新药是否有效 ! " 解 初看起来 只山羊用药后都没有得病 应当判断新药有效 ! !$ ! ! 但是细想一下 就会发现即使新药无效 只山羊也可以都不得 ! !$ 病 为了作出正确的判断 让我们假设新药无效 然后看看事实是否 ! ! ! 支持这个假设 ! 用 表示第 只山羊不得病 则 相互独立 $ ’ ! $!$!#!$ ! ’ % & $ 表示 只山羊都不得病 $#$"$"#"$ $ ! % & $ 假设新药无效 则 于是有 ! %$$%#%("#!)"#$! ’ %$$%#%$$"$"#"$% % & $ #%$$%%$$%&#&%$$% % & $ #"#$$$"#"!$-! 这个概率很小 一般是不会发生的 它的发生说明我们的假设有问 ! ! 题 于是我们否定原来的假设 认为新药是有效的 ! ! ! 否定新药无效也可能犯错误 但是犯错误的概率是 因 ! "#"!$-! 为只有在新药无效的条件下 只山羊都不得病 我们才犯错误 !$ ! ! 98 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 案例 解决的问题是统计中的假设检验问题 先作一个假设 新 ! ! ! 药有效 在这个假设下看看实际情况是否支持这个假设 如果在这个 " " 假设下小概率事件发生了 说明实际情况不支持这个假设 于是我们 " " 就否定这个假设 ! 实际问题中经常将小于或等于 或 的概率视为小概率 "#"$# "#%$ " 这时否定 假设 时 犯错误的概率不超过 或 % & " "#"$# "#%$! 99 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· !!!!! 小结与复习 随机对照试验 随机选取试验组和对照组是安排试验的基 !! ! 本原则 随机对照试验是指随机选取试验组和对照组的试验 我们 ! ! 把对照组中的处理方法称为使用安慰剂 ! 概率 "! ! 加法公式 如果 的事件 两两互斥 !!" # ! " $"$%$" $ ! " # 则 ! $!""""%"" "%$!""&$!""&%&$!" "! ! " # ! " # 条件概率公式 设 是事件 用 表示已知 !"" # "$’ $ $!’#"" " 发生的条件下 发生的条件概率 如果 则有 $’ ! $!""$#$ $!"%’" $!’#""% ! $!"" 事件的独立性 如果事件 是相互独立 !$" # "$"$%$" ! " ( 的 则 $ $!"%"%%%""%$!""$!""&%&$!""! ! " ( ! " ( 如果随机变量 的取值是 则 是 !%" ) * $*$%$*$ ’)%*( ! " ( + 事件 用 表示事件 的概率 则称 $ ,%$!)%*" ’)%*( $ + + + ,%$!)%*"$+%!$"$%$( + + 是随机变量 的概率分布 的概率分布 还可以用下面的表 ) !) ’,( + 格表示 ! ) * * * % ! " $ $ , , , % ! " $ 两点分布 对于任一个试验 引入随机变量 !&" ’!!$,"# $ 当试验成功 ’!$ ) )%& 当试验不成功 (#$ ! 则 服从两点分布 ) ’!!$,"# $!)%!"%,$$!)%#"%!’,! 100 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 并且 !!""#$#%!""#$!!"$"& 二项分布 设一试验成功的概率为 !#" ’!(#$"$ $#$!!$#!"& 将该试验独立重复 次 用 表示成功的次数 则 服从二项分 ( # " # " 布 即 ’!(#$"# 其中 """")!"#*"#%*$*+(,*#*#$#!#%#(# +#!"$# ( 这时 # !!""#($#%!""#($!!"$"& 超几何分布 件产品中有 件次品 从 !&" -!.#/#("$. / # 中随机抽取 件 用 表示这 件中的次品数 则 服从超几何分 ( # " ( # " 布 即 -!.#/#("# %*%(,* )!"#*"# / .,/#*#$#!#%#0#0#’()&/#(’& %( . 这时 # / (/! /".,( !!""#( #%!""# !" & . . . .,! 数学期望和方差 当随机变量 有概率分布 !*" $ " $#)!"#2"#1#$#!#%#(# 1 1 就称 !!""#2$32$3%32$ ! ! + + ( ( 为 的数学期望或均值 " & 用 表示 的数学期望时 称 !#!!"" " # %!""#!2 ! ,! "+$ ! 3!2 + ,! "+$ + 3%3!2 ( ,! "+$ ( 为 的方差 称槡 为 的标准差 我们还用 表示方差 " # %!"" " & "+ 用 表示标准差槡 %!""# " %!""& 正态分布 如果用 表示测量误差 则 服从正态分布 !& ! " # " & 列联表 在许多实际问题中 经常需要考察两种因素之间 "& ! # 的关系 列联表的独立性分析方法是检验所述的两个因素是否独立 & 的有效方法 & 回归直线 当 和 的相关系数 的绝对值 较大 #& ! &2’ &5’ 6 #6# 4 4 25 25 101 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 时 可以用一条直线描述数据 和 的关系 这条直线就是回 ! "!# "## ! " " 归直线 用 $ %$&#’(!)* 表示这条回归直线时 其中的 可以用下面的公式进行计算 ! *!( $ + (’ !#!*’#!,(!"$ +! ! 用回归直线进行预测 得到了回归直线后 只要 与 高 $ ! "!# "## " " 度相关 即只要相关系数 对于新的 就可以用回 ! #- #$"#$! !! !# 归直线上的点 作为 的预测值 事实证明 越接 &#’(!)* # $ $#- !# # 近于 预测就越准确 越接近 预测也越好 %! %! !"! $ 复 习 题 八 在对一种新的安眠药进行药效评估时 调查了 名开始使用这种药的人 结 %$ ! !" ! 果有 人认为新药比常用药更有效 %& $ 能否作出新药比常用药更有效的结论 &%’ ( 如果不能作出上述结论 应当采用怎样的试验方案 &!’ ! ( 如何安排对照组和试验组 &’’ ( 本例中是否应当使用安慰剂 &(’ ( 早在 多年前 美国通用电器公司成立了由社会学家和公司人事部成员组成 !$ )" ! 的研究组 研究组的任务是考察照明程度对生产灯泡的工人的生产率有何影 $ 响 研究中发现 增加照明度后产量增加 但是奇怪的是降低照明度后 产量 $ ! $ ! 也增加 原因是 $ &%%’ 工人们对研究组的研究工作有了反应 &*’ 增加照明度确能提高生产率 &+’ 102 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 降低照明度确能提高生产率 !!" 某人的手机收到的短信中有 是广告 已知他今天收到了 条短信 用 表 "! ##$ $ $ $ " 示这 条短信中的广告数 计算 $ ! % !#"#!"$""&! !!%"#!""""&!!""#!"#""& !&"#!%$"$’"& !’"%!""& !$"&!""! 设某人的手机在一天中收到的短信数 服从下面的分布 &! " ! ’ ( # % " & ’ $ ) * (’ (+(# (+($ (+#$ (+%’ (+%’ (+#) (+() (+(% (+(# 计算 计算 !#" %!""&!!!! !%" &!""! 某人每天打出 次电话的概率 如下 ’! ’ ( % ’ ’ ( # % " & ’ $ ) * (’ (+(# (+(% (+() (+#) (+%’ (+%’ (+#$ (+($ (+(# 如果每打一个电话的话费是 元 计算他每天平均花多少钱打电话 方差是 (+" $ $ 多少 ! 一批产品有 件 其中含有 件次品 从中随机抽取 件 计算 $! #(( $ & $ , ! % 这 件产品都是次品的概率 !#" , & 这 件产品都是正品的概率 !%" , & 这 件产品中有 件正品 件次品的概率 !"" , $ ’" & 这 件产品中平均有多少件正品 !&" , & 这 件产品中平均有多少件次品 !’" , ! 在一副标准扑克的 张 去掉两张王牌后 中任取五张 计算概率 )! ’% ! " $ % 五张都是草花 两张草花 三张黑桃 !#" &!!!!!!!!!!%" $ & 两张草花 两张黑桃 一张红桃 五张中有两张红桃 !"" $ $ & !&" ! 在一副标准扑克的 张 去掉两张王牌后 中任取八张 计算概率 *! ’% ! " $ % 得到两张 得到三张 !#" %& !%" %& 得到两张 和三张 八张牌是同花顺 !"" % -& !&" ! 设 查表计算 ,! "!)!($#"$ % !#"#!"#%+%"& !%"#!*#+*#"$%"! 下表是 年美国佛罗里达州 个地区的人命案中对被告的 个宣 #(! #,)$(#,)) %( "%$ 判结果 对是否判死刑和被告是否为黑人进行独立性分析 已知 ! !! #! " %" %+)#"$(+#" 103 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 判刑 死刑 非死刑 合计 被告 白人 !" !#! !$% 黑人 !& !#" !$$ 合计 ’$ ("% ’($ 新兴电脑公司有 名产品推销员 其工作年限与年推销金额数据如下表 !!! ) ! " 推销员编号 ! ( ’ # * $ & ) 工作年限 年 "# $ ’ ( !% * ) # # ) 年推销金额 万元 ## $ (( !) "* #% &* #* #% &) 求年推销金额 关于工作年限 的相关系数 #!$ # " % 求年推销金额 关于工作年限 的线性回归方程 #($ # " % 分别估计工作年限为 年和 年时的年推销金额 #’$ & !! ! 投掷两枚骰子和两枚硬币 计算骰子的点数和是 两枚硬币正面都朝上的 !(! ! )! 概率 ! 个同学来自不同的地方 !’!(% ! 计算他们的生日都在 月份的概率 #!$ & % 他们中有 个同学的生日在 月份的概率 #($ * & % 他们中平均有多少个同学的生日在 月份 #’$ & & 对于事件 证明 !#! $!%! "&#$!%$’&#$$&#%"$$! 如果 证明 !*! &#$!%$’&#$$&#%$! "&#$!%#$’&#$$&#%#$! 个人同时向一目标射击 每个人击中目标的概率都是 计算 !$!$ ! %+&! " 目标没被击中的概率 目标被击中 次的概率 #!$ % #($ ’ % 目标平均被击中几次 目标被击中次数的标准差 #’$ % ##$ ! 公共汽车一共要停靠 站 在每站停车的概率是 平均需要停车多少次 !&! " ! %+"! & 甲 乙二人进行羽毛球比赛 如果每局甲胜的概率是 计算在他们的 !)! ’ ! %+$! !% 局比赛中 甲期望赢多少局 方差是多少 ! & & 在投掷两枚硬币时 如果出现两个正面 甲得 分 否则输 分 用 表 !"! ! ! ! ! %+(* ! ( 示他的得分 计算 的概率分布和数学期望 ! ( ! 104 书书书第 ８ 章 统计与概率 ················································· 鱼塘中只有 条鲤鱼和 条草鱼 每条鱼被打捞的可能性相同 捞鱼者一 !"! #"" !"" ! ! 天打捞上来 条鱼 计算这 条鱼中平均有多少条鲤鱼 方差是多少 $% ! $% ! ! 对一个新产品的科研和开发需要投资 万元 开发成功可以获利 万元 !&! %" ! %""" ! 如果开发成功的概率是 计算投资的平均收益和标准差 "’(! ! 电视台在公布招聘多名节目主持人后 收到了 份符合条件的申请简历 根 !!! ! ) ! 据以往的经验 每个符合条件的人员在面试时能够被录用的概率是 设每 ! "’(! 个申请者能否被录用是相互独立的 面试这 个申请者时 计算 ! ) ! " 个申请者都被录用的概率 只有 个申请者被录用的概率 #&$) % #!$ & ! 一个随机抽取的样本包括 名女士和 名男士 女士中约有 是左利手 !)! &&" *" ! *+ ! 男士中约有 是左利手 基于这些数据 你认为在样本所代表的总体中 &&+ ! ! ! 左利手与性别有关吗 为什么 & & 在彩色显像中 根据以往的经验 形成染料光学密度 与析出银的光学密度 !$! ! ! " # 之间存在关系式 现对 与 同时作 次观测 获得 对数 "$%,&# ’#’!"$! " # &" ! &" 据如下表 试根据表中数据 求出 与 的估计值 ! ! % ’ ! 编 号 "" & ! ) $ % ( - # * &" # "’"% "’"( "’"- "’&" "’&$ "’!" "’!% "’)& "’)# "’$) " "’&" "’&$ "’!) "’)- "’%* "’-* &’"" &’&! &’&* &’!% 每门高炮击中飞机的概率是 要以 的把握击中飞机 需要几门高炮 !%! "’#! **+ ! & 某跳高运动员跳过 的概率是 不计每次试跳消耗的体能 计算 !(! &’#. ($"’#! ! " 他首次试跳成功的概率 第 次试跳才首次成功的概率 #&$ %"""" #!$ ) % 要以 的概率跳过 至少需要试跳多少次 #)$ **+ &’#.! ! 某车间为了规定工时定额 需要确定加个某零件所花费的时间 为此作了次 !-! ! ! 实验 得到的数据如下 ! " 零件的个数 个 ## $ ! ) $ % 加工的时间 "#/$ !’% ) $ $’% 求出 关于 的线性回归方程 #&$ " # % 试预测加工 个零件需要多少时间 #!$ &" & 105 书书书附录1 ····················································· 附录 · 标准正态分布表 ! !"!!! !"!#! !"!$! !"!%! !"!&! !"!’! !"!(! !"!)! !"!*! !"!+! ! !"! !"’!!! !"’!&! !"’!*! !"’#$! !"’#(! !"’#++ !"’$%+ !"’$)+ !"’%#+ !"’%’+!"! !"# ’%+* ’&%* ’&)* ’’#) ’’’) ’’+( ’(%( ’()’ ’)#& ’)’%!"# !"$ ’)+% ’*%$ ’*)# ’+#! ’+&* ’+*) (!$( (!(& (#!% (#&#!"$ !"% (#)+ ($#) ($’’ ($+% (%%# (%(* (&!( (&&% (&*! (’#)!"% !"& (’’& (’+# (($* (((& ()!! ()%( ())$ (*!* (*&& (*)+!"& !"’ (+#’ (+’! (+*’ )!#+ )!’& )!** )#$% )#’) )#+! )$$&!"’ !"( )$’) )$+# )%$& )%’) )%*+ )&$$ )&’& )&*( )’#) )’&+!"( !") )’*! )(## )(&$ )()% ))!% ))%& ))(& ))+& )*$% )*’$!") !"* )**# )+#! )+%+ )+() )++’ *!$% *!’# *!)* *#!( *#%%!"* !"+ *#’+ *#*( *$#$ *$%* *$(& *$*+ *%#’ *%&! *%(’ *%*+!"+ #"! *&#% *&%* *&(# *&*’ *’!* *’%# *’’& *’)) *’++ *($##"! #"# *(&% *((’ *(*( *)!* *)$+ *)&+ *))! *)+! **#! **%!#"# #"$ **&+ **(+ **** *+!) *+$’ *+&& *+($ *+*! *++) +!#&)#"$ #"% +!%$! +!&+! +!(’* +!*$& +!+** +##&+ +#%!+ +#&(( +#($# +#))&#"% #"& +#+$& +$!)% +$$$! +$%(& +$’!) +$(&) +$)*’ +$+$$ +%!’( +%#*+#"& #"’ +%%#+ +%&&* +%’)& +%(++ +%*$$ +%+&% +&!($ +&#)+ +&$+’ +&&!*#"’ #"( +&’$! +&(%! +&)%* +&*&’ +&+’! +’!’% +’#’& +’$’& +’%’$ +’&&+#"( #") +’’&% +’(%) +’)$* +’*#* +’+!) +’++& +(!*! +(#(& +($&( +(%$)#") #"* +(&!) +(&*’ +(’($ +((%* +()#$ +()*& +(*’( +(+$( +(++’ +)!($#"* #"+ +)#$* +)#+% +)$’) +)%$! +)%*# +)&&# +)’!! +)’’* +)(#’ +)()!#"+ $"! !"+))$’ !"+)))* !"+)*%# !"+)**$ !"+)+%$ !"+)+*$ !"+*!%! !"+*!)) !"+*#$& !"+*#(+$"! $"# +*$#& +*$’) +*%!! +*%&# +*%*$ +*&$$ +*&(# +*’!! +*’%) +*’)&$"# $"$ +*(#! +*(&’ +*()+ +*)#% +*)&’ +*))* +**!+ +**&! +**)! +**++$"$ $"% +*+$* +*+’( +*+*%+$!!+)" +$!%’* +$!(#% +$!*(% +$##!( +$#%&& +$#’)($"% $"& +$#*!$ +$$!$& +$$$&! +$$&’# +$$(’( +$$*’) +$%!’% +$%$&& +$%&%# +$%(#%$"& $"’ +$%)+! +$%+(% +$&#%$ +$&$+) +$&&’) +$&(#& +$&)(( +$&+#’ +$’!(! +$’$!#$"’ $"( +$’%%+ +$’&)% +$’(!& +$’)%# +$’*’’ +$’+)’ +$(!+% +$($!) +$(%#+ +$(&$)$"( $") +$(’%% +$((%( +$()%( +$(*%% +$(+$* +$)!$! +$)##! +$)#+) +$)$*$ +$)%(’$") $"* +$)&&’ +$)’$% +$)’++ +$)()% +$))&& +$)*#& +$)**$ +$)+&* +$*!#$ +$*!)&$"* $"+ +$*#%& +$*#+% +$*$’! +$*%!’ +$*%’+ +$*&## +$*&($ +$*’## +$*’’+ +$*(!’$"+ %"! +$*(’! +$*(+& +$*)%( +$*))) +$**#) +$**’( +$**+% +$*+%! +$*+(’ +$*+++%"! %"# +%!%$& +%!(&( +%!+’) +%#$(! +%#’’% +%#*%( +%$##$ +%$%)* +%$(%( +%$**(%"# %"$ +%%#$+ +%%%(% +%%’+! +%%*#! +%&!$& +%&$%! +%&&$+ +%&($% +%&*#! +%&++#%"$ %"% +%’#(( +%’%%’ +%’&++ +%’(’* +%’*## +%’+’+ +%(#!% +%($&$ +%(%)( +%(’!’%"% %"& +%((%# +%()’$ +%(*(+ +%(+*$ +%)!+# +%)#+) +%)$++ +%)%+* +%)&+% +%)’*’%"& %"’ +%)()& +%))’+ +%)*&$ +%)+$$ +%)+++ +%*!)& +%*#&( +%*$#’ +%*$*$ +%*%&)%"’ %"( +%*&!+ +%*&(+ +%*’$) +%*’*% +%*(%) +%*(*+ +%*)%+ +%*)*) +%**%& +%**)+%"( %") +%*+$$ +%*+(& +&!!%+ +&!&$( +&!)++ +&##’* +&#’!& +&#*%* +&$#’+ +&$&(*%") %"* +&$)(’ +&%!’$ +&%%$) +&%’+% +&%*&* +&&!+& +&&%%# +&&’’* +&&))) +&&+**%"* %"+ +&’#+! +&’%*’ +&’’)% +&’)’% +&’+$( +&(!+$ +&($’% +&(&!( +&(’’& +&((+(%"+ &"! +&(*%% +&(+(& +&)!+! +&)$## +&)%$) +&)&%+ +&)’&( +&)(&+ +&))&* +&)*&%&"! &"# +&)+%& +&*!$$ +&*#!( +&*#*( +&*$(% +&*%%* +&*&!+ +&*&)) +&*’&$ +&*(!’&"# &"$ +&*((’ +&*)$% +&*))* +&**%$ +&***$ +&*+%# +&*+)* +’!$$( +’!(’’ +’#!((&"$ &"% +’#&(! +’#*%) +’$#++ +’$’&’ +’$*)( +’%#+% +’%&+) +’%)** +’&!(( +’&%%$&"% &"& +’&’*) +’&*%# +’’!(’ +’’$** +’’’!$ +’’)!( +’’+!$ +’(!*+ +’($(* +’(&%+&"& &"’ +’((!$ +’()’+ +’(+!* +’)!’# +’)#*) +’)%#* +’)&&$ +’)’(# +’)()’ +’))*&&"’ &"( +’)*** +’)+*) +’*!*# +’*#)$ +’*$’* +’*%&! +’*&#+ +’*&+& +’*’(( +’*(%&&"( &") +’*(++ +’*)(# +’**$# +’**)) +’*+%# +’*+*% +(!%$! +(!)*+ +(#$%’ +(#((#&") &"* +($!() +($&’% +($*$$ +(%#)% +(%’!* +(%*$) +(&#%# +(&&$! +(&(+( +(&+’*&"* &"+ +(’$!* +(’&&( +(’()% +(’**+ +((!+& +(($*+ +((&)’ +(((’$ +((*$# +((+*#&"+ 表示 依次类推 " !+$!!+)" !++!!+)"# , 106 书书书附录2 ····················································· 附录 ! 数学词汇中英文对照表 按词汇所在页码的先后排序 ! " 中文名 英 文 名 页 码 ! ! ! ! 排列 ! !"#$%&’&()* +, 阶乘 -’.&)#(’/ +, 组合 .)$0(*’&()* +1 德 摩尔根 # 2"3)#4’* 56 试验组 "7!"#($"*&’/4#)%! 89 对照组 .)*&#)/4#)%! 89 费歇尔 :(;<"# 86 萨凯 =’/> 8? 样本点 ;’$!/")%&.)$" 81 样本空间 ;’$!/";!’." 81 独立 (*@"!"*@"*& 99 随机变量 #’*@)$A’#(’0/" 6B 离散型随机变量 @(;.#"&"#’*@)$A’#(’0/" 6+ 伯努利 C"#*)%//( 65 二项式 0(*)$(’/ 68 数学期望 $’&<"$’&(.’/"7!".&’&()* ?B 均值 $"’* ?B 方差 A’#(’*." ?5 标准差 ;&’*@’#@@"A(’&()* ?5 伽利略 D’/(/") ?? 高斯 D’%;; ?? 正态分布 *)#$’/@(;&#(0%&()* EB 标准正态分布 ;&’*@’#@(F"@*)#$’/@(;&#(0%&()* EB 107 书书书附录2 ····················································· 中文名 英 文 名 页 码 ! ! ! ! 皮尔逊 ! !!"#$%&’( )* 线性回归模型 +,(#$%%#-%#&&,’(.’/#+ 01 108 书书书