湘教版高中数学选修2-3理科_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_02科三专项（笔记真题思维导图教学设计版本二）

普
通 经全国中小学教材审定委员会 2005 年初审通过
高
中
课
程
标
准
实 普通高中课程标准实验教科书
验
教
科
书
选修 2-3（理科）
2
3
湖
南
教
育
ISBN 978-7-5355-4612-8
出
版
湖南教育出版社
社
9787535546128>
定价：6.65元
－
选
修
（
理
科
）Mathematics
普通高中课程标准实验教科书
数 学
选修 2-3( 理科）
湖 南 教 育 出 版 社主 编 张景中 黄楚芳
!! ! !
执行主编 李尚志
!
本册主编 何书元
!
编 委 郑志明 查建国 文志英
!! ! ! !
袁宏喜
普通高中课程标准实验教科书
数 学
!!
选修 理科
" # ! "
责任编辑 邹楚林
#
责任校对 刘 源
# !
湖南教育出版社出版发行 长沙市韶山北路 号
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年 月第 版 年 月第 版第 次印刷
"227 6 4 !"249 3 " 43
<=>?936$3$7#77$$84"$6
定 价 元
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如有质量问题 影响阅读 请与湖南出版中心联系调换
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# 23#4566#66968!23#4566#66963
书书书让数据说话
在人们的日常生活和工作中 经常遇到诸如 肺
!! ! "
癌与吸烟有关吗 植物学家是如何对植物分类的
#! " #!
昆虫学家是如何给昆虫分类的 等等问题 解决这些
" # !
问题的数学基础是和计数方法 统计与概率有关的
$ !
在计数问题中 分类加法计数原理和分步乘法计
!
数原理是解决计数问题的最基本 最重要的原理 也
$ !
称为基本计数原理 它为许多实际问题的解决提供了
!
思想方法和工具 通过学习基本计数原理 我们将逐
! !
步展开排列数 组合数和二项式定理及其应用的学习
$ !
从而了解计数方法和现实生活的联系
!
现代社会已经成为信息化的社会 人们常常需要
!
收集和整理大量的数据 统计就是研究如何合理收集
! $
整理和分析数据 如何从数据中提取有用信息的科学
! !
它可以为人们制定相关决策提供依据
!
不像物理 化学 医学 社会学或心理学 它们
$ $ $ !
都有自己确定的研究对象 统计学没有自己的基于试
!
验的专门研究对象 但是可以为物理学家 化学家
! $ $
医生 社会学家 心理学家等提供一套研究它们的问
$ $
题的有效方法 这套方法可以帮助各个领域的研究工
!
作者更快地走上成功之路
!
统计学的英文名字是 是一个
!"#"$%"$&%’!"#"$%"$&%
多义词 多年前首次应用时 指政府部门记录人
!()) !
们出生的日期等 时至今日 统计已经是世界上各个
! !
1
书书书层次的政府机构的重要技术支柱之一
!
数据中含有许多重要的信息 用正确的统计方法
!
从数据中提取的信息可以帮助人们制定更加合理的决
策和行为规则 减少决策的盲目性和有偏性 这就是
! !
人们经常说的一句话 让数据说话
" !
随机现象在日常生活中随处可见 统计与概率就
!
是研究随机现象规律的科学 它为人们认识客观世界
!
提供了重要的思维方式和解决问题的方法 时至今日
! !
统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民必备的
知识
!
作 者
! !!!
年 月
!""# $ !!!
2
书书书目 录
７
 第 章 计数原理
问题探索 运气还是欺骗芽穴一雪 / ２
7.1 两个计数原理 / ４
７．１．１ 分类加法计数原理 / ４
习题 １ / ６
７．１．２ 分步乘法计数原理 / ６
习题 ２ / １０
7.2 排列 / １１
７．２．１ 排列与排列数公式 / １１
习题 ３ / １４
７．２．２ 排列数的应用 / １５
习题 ４ / １８
7.3 组合 / １８
７．３．１ 组合与组合数公式 / １８
习题 ５ / ２２
７．３．２ 组合数的性质和应用 / ２２
习题 ６ / ２６
问题探索 运气还是欺骗芽穴二雪 / ２７
数学文化 杨辉三角 / ３０
7.4 二项式定理 / ３１
习题 ７ / ３５
数学文化 地图染色和四色定理 / ３６
小结与复习 / ４０
复习题七 / ４１
1８
 第 章 统计与概率
8.1 随机对照试验 / ４５
习题 １ / ４９
8.2概率 / ４９
８．２．１ 概率的加法公式 / ４９
习题 ２ / ５２
８．２．２ 条件概率 / ５２
习题 ３ / ５５
８．２．３ 事件的独立性 / ５５
习题 ４ / ５９
８．２．４ 离散型随机变量及其分布 / ６０
习题 ５ / ６３
８．２．５ 几个常用的分布 / ６３
习题 ６ / ６７
 数学文化 数学期望 / ６８
８．２．６ 离散型随机变量的数学期望 / ６９
习题 ７ / ７２
８．２．７ 离散型随机变量的方差 / ７３
习题 ８ / ７６
 数学文化 高斯与正态分布 / ７７
8.3正态分布曲线 / ７８
习题 ９ / ８２
8.4 列联表独立性分析案例 / ８３
习题 １０ / ８７
28.5 一元线性回归案例 / ８８
习题 １１ / ９６
小结与复习 / １００
复习题八 / １０２
［多知道一点］ 利用计算机或计算器计算
组合数 / ３８
假设检验案例 / ９７
 附录 １ 标准正态分布表 / １０６
 附录 ２ 数学词汇中英文对照表 / １０７
37
第 章
计数原理
设赌摸球骗局深 迷图八阵费搜寻
设赌摸球骗局深! 迷图八阵费搜寻!
神机妙算杨辉数 ! 组合排列有乾坤 !
神机妙算杨辉数! 组合排列有乾坤!
! !
计数问题大量存在于我们的学习和日常
计数问题大量存在于我们的学习和日常
生活中 分类加法计数原理和分步乘法计数
生活中! 分类加法计数原理和分步乘法计数
原理是两!个最基本的计数原理 排列数和组
原理是两个最基本的计数原理! 排列数和组
!
合数就是这两个计数原理的直接应用 在所
合数就是这两个计数原理的直接应用! 在所
有的计数问题中 排列数和组合数共同!扮演
有的计数问题中! 排列数和组合数共同扮演
!
了十分重要的角色
了十分重要的角色!
!
书书书
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
问题探索
!!!
运气还是欺骗! "一#
王蒙先生是我国当代著名作家 他在 王蒙自述 我的人生哲
!! ! " #
学 中谈到在海滨旅游城市北戴河遇到的一件事情 一个经营游戏
$ #
的人在袋中放入 个质地完全相同的球 这 个球分 种颜色
!" ! !" # !
每种颜色的球各 个 参加游戏者从中随机摸出 个球
$ ! %" !
为了叙述简单 我们用字母 表示摸出的 个球中 种颜
! "#$% %" #
色的球的个数分别是 按照这种表示规则 表示
"!#!$!%! !$$""
摸出的球只有两种颜色 表示摸出的球只有 种颜色 其中
%$#%" & !
有 个颜色相同 其余 个中有 个颜色相同
$ ! $ # %&&
经营者规定的游戏规则如下
#
摸出 得一等奖 奖励一台摄像机
%! $$""! ! %
摸出 得二等奖 奖励一条进口香烟
!! $#%"! ! %
摸出 得三等奖 奖励一个玩具机器人
&! $&%%! ! %
摸出 或 得四等奖 奖励一盒进口香烟
#! #"&& ##%%! ! %
摸出 得五等奖 奖励一个小海螺
$! #!!!! ! %
摸出 或 交游戏费 元
’! %!&# &&&%! ! %
摸出 交游戏费 元
(! &&!!! $ %
摸出其他结果不奖不罚
)! !
王蒙先生冷眼旁观 发现十之八九摸出的是 十之一二
! &&!!!
摸出的是 或 见王蒙的原文第 页
%!&# #"&& ’ %#& (!
初看起来 得奖的机会多于付钱的机会 所以有很多人怀着侥
! !
幸的心理参加游戏 其结果是拱手送上 元或 元钱 游戏经营者
! $ ! !
一天的收入颇丰
!
为什么是这样的结果呢 要回答这个问题 必须把从 个球
) ! !"
2
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
中抽取 个球的所有不同结果计算清楚 然后再计算
!" ! !!""!
在其中所占的比例
!#$"!"!%%&& #
解决以上问题的方法在数学上称为计数方法 学习完计数方
#
法 你可能就不会参加这种有欺骗性的游戏了
! #
3
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
两个计数原理
!７"．#1! 两个计数原理
!!
分类加法计数原理与分步乘法计数原理是计数方法中的最基本原
理 学好这两个原理是非常重要的
! !
!! ! 7 " . # 1 " . # 1 ! 分 分 类 类 加 加 法 法 计 计 数 数 原 原 理 理
在日常生活中 计数问题是非常普遍的 我们先考虑如下几个简
! !
单的例子 然后从中总结出一般的规律
! !
问题 从北京到长春可乘飞机 火车和长途汽车三类交通工
#! "
具 如果一天内有 个航班飞往长春 有 列火车和 趟长途汽车开
! ! ! " #
往长春 从北京到达长春有多少种不同的选择
! #
分析 如图 从北京到长春有飞机 火车和长途汽车这三
! $ %! "
类交通工具可供选择 其中乘飞机有 种选择 乘火车有 种选择
! ! ! " !
乘长途汽车有 种选择 所以一共有 种选择
# ! !&"&#’%( !
图
$ %
问题 书架上有语文书 册 数学书 册 英语书 册 小说
$! ) ! ) ! $ !
册 历史书 册 这些书互不相同 从中选择一本 有多少种不
%( ! " ! ! !
同的选择方式
#
分析 书架上一共有 类图书 分别是语文书 数学书 英语
! # ! " "
书 小说 历史书 这 类书的数量分别是 册 册 册
" " ! # ) ") "$ "%(
册 册 一共是 册 从中选择时可以有 种
"" ! )&)&$&%(&"’") ! ")
不同的选择方式
!
根据上面对问题 和问题 的分析 可以总结出下面的结论
% ( ! !
4
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
分类加法计数原理 如果完成一件事有 类办法 在
!! ! ! "
第一类办法中有 种不同的方法 在第二类办法中有
" " "
! "
种不同的方法 在第 类办法中有 种不同的方法
"#" ! " "
!
每种方法都能完成这件事 那么完成这件事共有
"
#$" %" %#%"
! " !
种不同的方法
&
我们把分类加法计数原理简称为分类计数原理 或加法原理 其
! !
特点是各类中的每一方法都可以完成要做的事情 我们用图 表
! ! "
示分类计数原理 强调每一类中的一个方法就可以完成要做的事情
! !
第一类有 第二类有 第 类有
#
种方法 !! 种方法 !!""!! 种方法
" " "
# " #
一共有 种方法
!"$"$"$" !
# " #
图 分类计数原理
! "!
分类时 首先要根据问题的特点确定一个适当的分类标准 然后
! !
根据这个分类标准进行分类 分类时还要注意两条基本原则 一是完
! #
成这件事的任何一种方法必须分入相应的类 二是不同类的方法必须
$
是不同的方法 只要满足这两条基本原则就可以使计数不重不漏
! !
练 习
一项工作可以用两种方法完成 有 人会用第一种方法完成 另有 人会用第
#! ! $ ! %
二种方法完成 从这 个人中选出一个完成这件工作 共有多少种选法
! & ! %
在读书活动中 一个学生要从互不相同的 本科技书 本政治书 本文艺
"! ! " &" &’
书里任选一本 共有多少种不同的选法
! %
5
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
习题
! !
一栋住宅楼共有 层 第一层有 个住户 其余每层有 个住户 从中随机挑
!! " ! # ! !$ !
选一户进行抽样调查 会有多少种不同的挑选结果
! "
北京的有线电视可以接收中央台 个频道 北京台 个频道和其他省市 个
$! !$ # !% &"
频道的节目
!
这些频道播放的节目互不相同时 一台电视机可以选看多少个节目
$!% ! "
如果有 个频道正在转播同一场球赛 其余频道正在播放互不相同的节
$$% ’ !
目 一台电视机可以选看多少个不同的节目
! "
!! !7".#1".$2!分 分 步 步 乘 乘 法 法 计 计 数 数 原 原 理 理
问题 从 到 有 条不同的路径 从 到 有 条不同的
#! " # ’ ! # $ &
路径 从 到 共有多少条不同的路径
! " $ "
图
( ’
分析 如图 假定从 到 的三条路径分别为 从
! ( ’! " # %!&!’!
到 的四条路径分别为 则从 到 的路径为
# $ !!$!’!&! " $
%!!%$!%’!%&!&!!&$!&’!&&!’!!’$!’’!’&!
共有 种
’)&*!$ !
问题 投掷两枚不同颜色的骰子 共有多少个不同的结果
$! ! "
分析 这里我们可以把投掷第 枚骰子视为第一步 第一步有
! ! ! "
6
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
种结果 把投掷第 枚骰子视为第二步 第二步有 种结果 第一步
! ! ! " !
的每个结果都可以和第二步的 个结果搭配 所以一共有
" ! "#"$%"
个不同的结果
!
根据上面对问题 和问题 的分析 可以总结出下面的结论
& ! ! !
分步乘法计数原理 如果完成一件事需要分成 个步
!! ! !
骤 第一步有 种不同的方法 第二步有 种不同的方
" " " "
! "
法 第 步有 种不同的方法 那么完成这件事共有
"#" ! " "
!
#$" %" %#%"
! " !
种不同的方法
&
我们把分步乘法计数原理简称为分步计数原理 或乘法原理 其
! !
特点是每一步中都要使用一个方法才能完成要做的事情 可以用图
!
表示分步计数原理 图中的 强调要依次完成各步骤才能完
’ ( ! " " #
成要做的事情
!
第一步有 第二步有 第 步有
#
种方法 " 种方法 "$$" 种方法
" " "
& ! #
一共有 种方法
"$"$$$" !
& ! #
图 分步计数原理
’ (!
使用分步计数原理时 首先要根据问题的特点确定一个合理的分
!
步标准 其原则是 如果分成 个步骤 那么需要而且只需要依次完
! % # !
成这 个步骤 这件事就最终完成
# ! !
分类计数原理和分步计数原理的区别在于一个与分类有关 一个
!
与分步有关
!
如果完成一件事有 类办法 这些办法之间是相互独立的 无论
# ! !
哪一类办法中的哪一种方法都能完成这件事 求完成这件事的方法数
!
时 用分类计数原理
! !
如果完成一件事需要分成 个不可缺少的步骤 即只有依次完成
# !
所有的步骤 才能完成这件事 而完成每一个步骤都有若干不同的方
! !
7
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
法 求完成这件事的方法数时 用分步计数原理
! ! !
例 书架上层放有 本不同的数学书 下层放有 本不同的语
!! ! ! "
文书
!
从中任取一本 有多少种不同的取法
"## ! $
从中任取数学书与语文书各一本 有多少种不同的取法
"$# ! $
解 从书架上任取一本书 有两类办法 第一类办法是从
! "## ! %
上层取数学书 可以从 本书中取任一本 有 种方法 第二类办法
! ! ! ! &
是从下层取语文书 可以从 本书中取任一本 有 种方法 因为无
! " ! " !
论哪一种方法都可以完成拿书的事情 所以用分类加法计数原理 不
! !
同的取法有 种
!%"&## !
从书架上任取数学书与语文书各一本 可以分成两个步骤
"$# !
完成
%
第一步 取一本数学书 有 种方法
! ! ! &
第二步 取一本语文书 有 种方法
! ! " !
这两个步骤缺一不可 根据分步乘法计数原理 得到不同的取书
! !
方法数是
!’"&()!
例 办展览时有 幅国画和 幅油画供选择使用
"! ! * !
从中挑选一幅时 有多少种不同的选法
"## ! $
从中各挑选一幅时 有多少种不同的选法
"$# ! $
解 由分类加法计数原理得 共有 种选法
! "## ! !%*&#) !
一共两个步骤
"$# %
第一步 选国画 有 种选法
! ! ! &
第二步 选油画 有 种选法
! ! * !
用分步乘法计数原理得到共有 种选法
!’*&$* !
例 允许重复使用时 用数字 可以组成多少个
#! ! #!$!(!*!"
三位数
$
解 要组成一个三位数可以分成三个步骤完成
! %
第一步 确定百位上的数字 从 个数字中任选 个数字 共有
! ! " # !
种选法
" &
第二步 确定十位上的数字 由于数字允许重复 仍有 种选法
! ! ! " &
8
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
第三步 确定个位上的数字 也有 种选法
! ! ! !
根据分步乘法计数原理 得到三位数的个数是
! !"!"!#$%!!
例 某农场要在 种不同类型的土地上 分别试验种植
!! & ! "!#!
四个不同品种的小麦 问有多少种不同的试验方案
$!% ! "
解 第一步 先考虑 种小麦 可在 种不同类型的土地中任
! ! " ! &
选一种 有 种选法
! & #
第二步 考虑 种小麦 可在剩下的 种不同类型的土地中任
! # ! ’
选一种 有 种选法
! ’ #
第三步 考虑 种小麦 可在剩下的 种不同类型的土地中任选
! $ ! %
一种 有 种选法
! % #
第四步 考虑 种小麦 这时只剩下 种土地 所以有 种选法
! % ! $ ! $ !
以上四步依次完成后 试验方案才算完成 依据分步乘法计数原
! !
理 可知有 种不同的试验方案
! &"’"%"$#%& !
例 乘积 展开后
"! $&’&’&%$(’(’(%$)’)’)’)%
$ % ’ $ % ’ $ % ’ &
共有多少项
"
解 第一步 选出 中的一个 有 种方法 第二步
! ! &!&!& ! ’ # !
$ % ’
选出 中的一个 有 种方法 第三步 选出
(!(!( ! ’ # ! )!)!)!
$ % ’ $ % ’
中的一个 有 种方法 根据分步乘法计数原理 所有不同的选法
) ! & ! !
&
有 个 因为每个选法恰好对应展开式中的一项 所以展
’"’"&#’( ! !
开式共有 项
’( !
例 我国的邮政编码由 位数字组成 如果每个数字可以是
#! ( ! )! !!!!"#$%&!
中的一个 最多可以编排多少个不同的邮政编码 ""’(#$#$%%%)
$!&!* ! "
*!!"#!+$%)
解 每个数字可以是 这 个数字中的一个 我们
! )!$!&!* $) ! *&!""
可以从左往右依次安排出一个 位数字
( !
第一步 选取最左面的数字 有 种方法
! ! $) #
第二步 选取第 位数字 有 种方法
! % ! $) #
&&
第六步 选取第 位数字 有 种方法
! ( ! $) !
根据分步乘法计数原理 知道最多可以安排
! $)"$)"$)"$)"
个不同的邮政编码
$)"$)#$)( !
9
书书书
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
小结 在使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决问题
!
时 一定要分清完成这件事 是有 类办法还是有 个步骤 分类要
! ! ! ! "
做到 不重不漏 分类后再分别对每一类进行计数 最后用分类加
" #" !
法计数原理求和 得到总数 分步要做到 步骤完整 完成了所
! " " #$$$
有步骤 恰好完成任务 当然步与步之间要相互独立 分步后再计算
! ! "
每一步的方法数 最后根据分步乘法计数原理求积 得到总数
! ! "
练 习
若 都可以是 中的任一个 则不同的点 有多少个
!" #!$ !!"!#!$!% ! %#!$& ’
由 村去 村的道路有 条 由 村去 村的道路有 条 从 村经 村去
"" % & # ! & ’ " " % & ’
村 共有多少种不同的走法
! ’
投掷一枚 角的硬币 次 依次记录正面或反面的出现情况 最多可以得到多
#" % !& ! !
少种不同的记录结果
’
在一副扑克的 张中有放回地每次抽取 张 一共抽取 次并依次排列结果
$" %$ ! ! # !
最多有多少个不同的排列结果
’
习题
! !
乘积 展开后共有多少项
!" %()()(&%*)*)*)*&%+)+)+)+)+& ’
! " # ! " # $ ! " # $ %
有三个袋子 第一个袋子装有标号 的红色小球 个 第二个袋子装有标
"" ! !!"& "& !
号 的白色小球 个 第三个袋子装有标号 的蓝色小球 个
!!!% !% ! !!’ ’ "
从三个袋子里选取一个小球 有多少种不同的选法
%!& ! ’
从每个袋子里选取一个小球 有多少种不同的选法
%"& ! ’
从甲地到乙地有 条公路可走 从乙地到丙地有 条小路可走 又从甲地不经
#" # ! % !
过乙地到丙地有 条水路可走
# "
10
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法
!!" #
从甲地到丙地共有多少种不同的走法
!"" #
罐中装有编号 的小球 个 从中摸出一个 记下球号后放回 摸球 次
#! !!" " $ $ ! #
时 依次记录摸到的球号 最多得到多少种球号的排列
$ $ #
某省的体育彩票中 把有顺序的 个数字组成一个号码 称为一注 个数字
$! $ % $ !%
中的每个数字都选自 这 个数字且可以重复 如果全体不同
&$!$"$%$’ !& !
号码的彩票中只有一个大奖
!
不同号码的彩票一共有多少注
!!" #
在不同号码的所有彩票中购买一张 计算中奖率
!"" $ !
家住北京的李老师每周一要乘上午的火车或汽车到天津讲课一次 如果每天上
(! !
午有 次列车和 趟汽车开往天津 计算去天津三次时 一共有多少种不同的
( ) $ $
选择
!
排列
７． 2  排 列
!"#!
!!
!!
!7".#2".$1
!
排排列列与与排排列列数数公公式式
问题 从 这 个字母中 取出 个排成一排 共有
$! $$%$&$’ # $ * $
多少种不同的结果
#
分析 解决这个问题 需要分 个步骤
! $ * !
第一步 先确定左边的字母 在 个字母中任取 个 有 种
$ $ # ! $ #
方法
&
第二步 确定中间的字母 从余下的 个字母中取 有 种
$ $ * $ *
方法
&
第三步 确定右边的字母 只能从余下的 个字母中取 有 种
$ $ " $ "
方法
!
根据分步乘法计数原理 共有 种不同的排法 它们是
$ #+*+","# !
$%&!$&%!$%’!$’%!$&’!$’&
%$&!%&$!%$’!%’$!%&’!%’&
&$%!&%$!&%’!&’%!&$’!&’$
’%&!’&%!’$%!’%$!’$&!’&$
11
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
可以看出 上述排列的特点是无重复 有次序
! " !
问题 某公司有 艘远洋货轮 现在要派遣 艘执行运输任
!! ! ! "
务 在派遣的先后有次序时 有多少种派遣方法
! ! #
分析 第一步 从 艘远洋货轮中选取一艘 有 种方法
! ! ! ! ! $
第二步 从其余 艘远洋货轮中选取一艘 有 种方法
! # ! # $
第三步 从其余 艘远洋货轮中选取一艘 有 种方法
! " ! " !
根据分步乘法计数原理 知道一共有 种派遣方法
! !$#$"%&’ !
从对问题 和问题 的分析可以看出如下的规律
( ) !
排列 从 个不同元素中取出 个不同的元
!!!"#$! " ! %& !! ! ! """"!#
’()* !"#!$""% 素 按照一定的顺序排成一列 叫作从 个不同元素中取
$ $ !
出 个元素的一个排列 用符号 表示排
" ""#$%&’(’)*+## ,"
!
列的个数时 有
$
,"$!"!%-#"!%!#%&%"!%"&-##
!
证 第一步 从 个元素中选取一个 有 种方法
! ! " ! " $
第二步 从余下的 个元素中选取一个 有 种方法
! "#( ! "#( $
%%
第 步 从余下的 个元素中选取一个 有 种
$ ! "#$%( ! "#$%(
方法
!
根据分步乘法计数原理 知道一共有
!
"&"#(’&"#)’(%(&"#$%(’
种方法
!
为了方便地表示连乘积 对于自然数 我们定义
! "!
")&($)$"$%$"!
并且称 是 的阶乘
") " &*+,-./0+1’!
特别还规定
’)&(!
根据上面阶乘的定义得
")
"&"#(’&"#)’(%(&"#$%(’& !
&"#$’)
12
书书书
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
于是 从 个不同元素中取出 个元素 按照一定的顺序
! ! """!!# !
排成一列 共有
!
!$
!"#
! "!$"#$
个不同的排列结果
%
根据排列的定义 一个排列包含两个方面的意义 一是 取出元
! % &
素 二是 按照一定顺序排列 因此 两个排列相同 当且仅当这
’( & ’% ! !
两个排列的元素及其排列顺序完全相同
%
换句话说 如果两个排列所含的元素不完全一样 那么肯定是不
! !
同的排列 如果两个排列所含的元素完全一样 但排列的顺序不同
( ! !
也是不同的排列
%
在上面定义的排列里 如果 表示只选一部分元素进行排
! ""!!
列 因此又叫作选排列 从 个不同元素中取出 个元素的
! % ! """"!#
选排列个数是
!"%
!
如果 表示将全体元素进行排列 所以又叫作全排列
"#!! ! %!
个不同元素的全排列个数是
!!#!"!$"#)*)#)$)"%!$%
!
例 我国的邮政编码由 位数字组成 如果每个数字可以是
!# & ! ’!
中的一个 最多可以编排多少个数字互不相同的邮政编码
"!*!( ! +
解 一个数字互不相同的邮政编码恰是从 这
# ’!"!$!*!( "’
个数字中取出的 个数字的一个排列 这样的数字一共有
& %
"’$
!& # #"*"$’’
"’ ""’)&#$
个 所以最多可以编排 个数字互不相同的邮政编码
! "*"$’’ %
例 从 名同学中选 人参加 米接力赛 有多少种不同
"# + , ,-"’’ !
的参赛方案
+
解 每一种参赛方案恰是从 个同学中选取 个同学的一个排
# + ,
列 这样的排列数是
%
!,#+-.-&-*%"&+’
+
个 所以参赛方案一共有 个
! "&+’ %
例 某青年志愿者协会组织者将 棵树苗随机地分发给参加
## !
13
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
义务植树活动 的 名青年志愿者 会有多少种不同结果
! " ! # $
解 将树苗从 到 进行编号 分别记为
! ! ! # "#"#%#"#
! " !
第 名志愿者得到的树苗的号码是
!! ! "&
!
第 名志愿者得到的树苗的号码是
!! " "&
"
!!%%
第 名志愿者得到的树苗的编号是
!! ! "#
!
组织者分发树苗的每个结果恰好对应一个排列
"#"#%#"#
! " !
这样的排列一共有
!’$!()!%!*(%("(!
个 所以一共会有 个不同的结果
# !’ #
练 习
个人排成一排 共有 种不同的排法
!## # !!!! #
某信号兵用红 黄 蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号 每次可以
"# + + #
挂一面 二面或三面 并且用不同的顺序表示不同的信号 一共可以表示多少
+ # #
种不同的信号
$
习题
! !
叙述排列的定义
!# #
写出排列数 的公式
"# $& #
!
写出 的计算公式
%# !’ #
由数字 可以组成
&# "#%#&###’
没有重复数字的五位数 个
)!* )!!!!* &
允许有重复数字的五位数 个
)"* )!!!!* &
14
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
没有重复数字的自然数 个
!!" !!!!!" #
没有重复数字的三位数 个
!"" !!!!!" !
判断下列问题是否是排列问题
#! $
从 名同学中选派 人去完成 种不同的工作 每人完成一种 有多少种
!$" % ! ! % %
不同的选派方法
#
从 名同学中选 人去某地参加一个会议 有多少种不同的选派方法
!&" % ! % !
一台晚会有 个节目 其中有 个小品 如果 个小品不连续演出 共有不同
’! ’ % & % & %
的演出顺序多少种
&
!! %
7
(
.
&
2
(
.
&
2
!
 排排列列数数的的应应用用
例 验证排列数 满足
!! )"
#
当 时
!$")$$##!!!!!! !&" #"""$ %)"$#)"%$!
# # #%$
解 因为 所以
! !$" #%$*$+#% )$$#!
#
的解释 从 个不同的元素中选出一个进行排列 一共有
)$$# $ # %
#
个选法
# !
因为 所以
!&" )"%$$!#%$"!#%&"’(’!#%"&$"%
#%$
)"$#)!#%$"!#%&"’(’!#%"&$"*$#)"%$!
# #%$
这个公式的解释 从 个不同的元素中选出 个进行排列 相
$ # " %
当于第一步选出一个排在第 位 有 种方法 第二步在其余的
$ % # # #%
个元素中选择 个 依次排在第 第 第 位 有
$ "%$ % &% !%(% " %
种排 法 由 分 步 乘 法 计 算 原 理 可 知 不 同 的 排 列 总 数 是
)"%$ ! %
#%$
个
#)"%$ !
#%$
例 计算
"! $
!$")"#
’
!&")&&)!&)!!
! " #
解 由 知道
! !$" ’,"*$+!
)"$’-#-"-!+!’.!
’
由 和 得到
!&" !,&*$+&%",!*$+& #,!*$+!
15
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
!"!!#!!#"#&"’$&#&"’%&$&#()*#
# $ %
例 解方程
!! !
"+##!#""!" !,!"$
$ $!+ $
""##!$"$!$%+#
- )
解 因为
! "+#
!#"$"$%+#"$%"#%!" ""$!+#$%!""$"$%+#%
$ $!+ $
所以由 得
#!#""!" !,!"%
$ $!+ $
#$"$%+#"$%"#"""$!+#$!,$"$%+##
从 有意义知道 故上式两边可以约去 得到方程
!# $"#% $%
$
#"$%+#"$%"#"""$!+#!,"$%+##
整理后得到
#$"%+.$!+*(*#
解方程得 和 舍去 所以
"
$"% $" " ## $"%#
#
利用
""#
-& )&
#!$"# %$!$%+"$ %
- "-/$#& ) ")/$!+#&
得到
#&-& $&)&
" #
"-/$#& "+*/$#&
利用 将上式化简后得到
"+*/$#& ""+*/$#")/$#"-/$#&%
"+*/$#")/$#"$&##
再化简得到
$"%+)$!.-(*#
解方程得 由于 和 有意义 所以 满足
$",%$"+## !$ !$%+ % $ $#-
+ " - )
和 于是将 舍去 原方程的解是
$%+#)# $"+# % $",#
"
例 由数字 组成没有重复数字的五位数 其中
"! +%"%#%$%% %
小于 的偶数共有多少个
%**** ’
解 第一步排个位数 因为要求是偶数 所以只能排 或 排
! % % " $%
法有 种
!+ $
"
第二步排万位数 小于 的五位数 万位数只能用 或
% %**** % +%#
16
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
用排个位数时余下的 中的一个 排法有 种
!!! ! "# "
$
在首末两位数排定后 第三步排中间 个数字时 排法有 种
! $ ! "$ "
$
根据分步计数原理 要求的偶数有
!
个
"#"#"$#%&$&$&%&#’$( # $"
% $ $
例 解答下面的问题
!! "
从 种不同的书 每种不少于 本 中买 本送给 名同
##$ ) # $ $ $ $
学 每人各 本 共有多少种不同的送法
! # ! %
个读者到 个服务台排队还书 有且只有一个服务台没有
#%$! ! !
这 个读者还书的排队有多少种
! %
解 送给第一个同学有 种不同的选购方法 送给第二
! ##$ ) ! &
第三个同学各 本书 仍各有 种不同的选购方法 因此 根据分步
# ! ) " !
计数原理 一共有 种不同送法
! )$##%) "
捆绑法 第一步 从 个读者中选出 个 捆绑 在一起
#%$# $ ! ! % ’ ( !
视为 个 读者 因为有排队的先后 所以有 种方法 第二步
# ’ (! ! "% " !
!
从 个服务台中取定 个 将以上的 个读者 依次排列在这 个
! $ ! ’$ ( $
服务台 共有 种方法 根据分步计数原理 一共有 种
! "$ " ! "%"$#%**
! ! !
方法
"
在某些元素要求必须相邻时 可以先将这些元素排列 并看做一
! !
个元素 然后与其他元素排列 这种方法称为 捆绑法
! ! ’ ("
练 习
计算
#" )##$!"%$)"$"#%$"#+"%+"$+"!,
! ) ! ! ! !
这 个数字能组成多少个没有重复数字的三位数
%"-!#!%!*!. #- %
三个男生和四个女生按下列条件排成一排 有多少种排法
$" ! %
男生排在一起 女生排在一起
##$ ! "
男 女生间隔相排
#%$ & "
男生互不相邻
#$$ "
甲 乙两人必须相邻
#!$ & "
17
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
习题
! !
计算
!! "!""$""%!
# # #
从 个不同元素中取 个的排列数为 是多少
$! # % &$’!# "
已知 求 的值
%! "$""$%!&#"$"!! # !
$ $%! $"!
用 可以组成多少个无重复数字的五位数 五位奇数 五位
(! ’!!!$!%!(!) " "
偶数
"
写给 个人的信笺随意装入 个写好地址的信封 会有多少不同的结果
)! * * ! "
个同学排成一排照相 其中甲 乙两人必须相邻的排法有多少种
#!# ! # "
组合
!７"．#3!  组 合
!!
!!
!7".#3".$1!组组合合与与组组合合数数公公式式
考虑如下的问题
!
问题 全年级要举行班级篮球赛 如果全年级 个班中的任何
$! ! *
两个班都比赛一次 需要安排多少场比赛
! "
问题 列车从始发站到达终点站中途停车 站 单程需要制作
%! * !
多少种不同的火车票
"
问题 汽车公司从 辆客车中选派 辆客车运送高二年级同
#! !$ %
学参加秋游 有多少种选法
! "
上面的所有问题都有一个特点 选出的单位如两个班 两个站
$ # #
三辆客车都是和次序无关的 所以以上问题不是排列问题 它们与排
! !
列的区别在于抽取元素时不考虑顺序 我们称这样的问题为组合问题
! !
18
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
从 个不同的元素中取出 个不同的元素 不
!! ! "!""!" #
论次序地构成一组 称为一个组合 我们用符
# !!"#$%&’(%"&"#
号 表示所有不同的组合个数 称 为从 个不同的元
)" # )" !
! !
素中取 个元素的组合数
" !
上述定义中 取出 个不同的元素 的 不同 是强调取出的
! " " ! "
元素不能有重复 也就是指无放回地抽取
# !
例如从 个不同的元素中取 个元素的组合数是 从 个不同
! " #"# $
!
元素中取 个元素的组合数是 从一副扑克的 张中抽取 张的
" #"# "% &’
$
组合数是
#&’!
"%
排列与组合的相同点是都是从 个不同元素中取 个元素 元
# " #
素无重复 不同点是组合与顺序无关 排列与顺序有关 两个组合相
$ # !
同 当且仅当这两个组合的元素完全相同
# !
组合数 还常常有下面例 中的表述方法
#" & !
#
例 把 个不同的元素分成有顺序的两组 第一组有 个元
*! # # "
素 第二组有 个元素 证明共有 种分法
# #$" # #" !
#
证 从 个不同的元素中取出 个不同的元素 放入第一
! # "%""#& #
组 得到一个组合 每个组合恰好是一个分组 因为组合数是
# ! ! #"#
#
所以共有 种不同的分组方法
#" !
#
例 先回答以下问题是组合问题还是排列问题 然后再计算所
+! #
问的结果
!
集合 的含三个元素的子集的个数是多少
%&& ’(#&#)#’#%( )
用没有任何三点共线的五个点可以连成多少条线段 如果连
%)& )
成有向线段 共有多少条
# )
某小组有 名同学 从中选出正 副班长各一人 有多少种
%’& * # * #
不同的选法 若从中选出 名代表参加一个会议 有多少种不同的选法
) ) # )
解 由于集合中的元素是不讲次序的 一个含三个元素的集
!%&& #
合就是一个从 中取出 个数的组合 这是一个组合
’(#&#)#’#%( ’ !
问题 组合的个数是 所以子集的个数是
# #’# #’!
" "
19
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
由 个点中取两个点恰好连成一条线段 不用考虑这两个点
!!" " #
的次序 所以是组合问题 组合数是 连成的线段共有 条 再
# # #!# #! !
" "
考虑有向线段问题 这时两个点的先后排列次序对应两个不同的有向
!
线段 所以是排列问题 排列数是 所以有向线段共
# # $!""%&’!(#
"
有 条
!( !
选正 副班长时要考虑次序 所以是排列问题 排列数是
!)" $ # !
所以正 副班长共有 种选法 选代表参加会议是
$!"*%+’,!# $ ,! !
*
不用考虑次序的 所以是组合问题 组合数是 所以不同的选法
# ! #!#
*
有 种
#! !
*
下面从研究组合与排列的关系入手 找出组合数 的计算公式
# ## !
$
计算从 个不同的元素中取出 个元素的排列数可以按以下两
$ #
步来完成
%
第一步 先从这 个不同元素中取出 个元素 不考虑次序构
# $ # #
成一个组合 共有 个组合
# ## &
$
第二步 将每一个组合中的 元素进行全排列 全排列数是
# # #
$#"#’!
#
由于第二步得到的全排列恰好是从 个不同元素中取出 个元
$ #
素的选排列 所以根据分步计数原理 得到
# # $#"##$#!
$ $ #
因此得到组合数 的计算公式
## %
$
$# $!$%-"()(!$%#&-"
##" $" #(!#!$!
$ $# #’
#
因为 $’ 所以 上面的组合数公式还可以写成
$#" # #
$ !$%#"’
$’
##" #"(!#!$
$ #’!$%#"’
我们把上面的公式叫作组合数公式 这个公式经常被用于和组合数有
!
关的等式证明
!
在组合数公式中 我们规定 这样对任何正整数 和
# #("-! $ ##
$
都有
#"(#-#)#$#
20
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
!!#!"$!
" "
上面公式的解释 从 个不同元素中选取 个元素的组合数与
! " !
从 个不同元素中选取 个元素的组合数相等
" "$! %
公式 的证明 因为
!!#!"$! !
" "
"" ""
!"$!# # ’
" #"$!$"%"$#"$!$&" #"$!$"!"
又有 "" 所以 成立
!!# ’ !!#!"$! %
" !"#"$!$" " "
有了上面的组合数公式 就可以计算本节一开始提出的问题了
’ %
问题 的解 全年级 个班举行班级篮球赛 由于每两个班都比
! ! " ’
赛一次 比赛的两个班无次序问题 所以需要安排
’ ’
"$% "$%
!## # ##"
" #" #$&
场比赛
%
问题 的解 列车从始发站到达终点站中途停车 站 一共是
" ! " ’
站 每两站之间要制作车票 只考虑单程 相当于不考虑次序
&’ ’ % ’ %
于是单程需要制作
($" ($"
!## # #)*
( #" #$&
种火车票
%
问题 的解 汽车公司从 辆客车中选派 辆客车运送高二年
# ! &# )
级同学秋游 不用考虑 辆车的次序 因而有
’ ) ’
&#$&&$&’ &#$&&$&’
!) # # ###’
&# )" )$#$&
种选法
%
练 习
计算
&% !*&!+%
( "
全班 个同学互相通话一次 一共要通话多少次
#% ,’ ’ (
21
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
习题
! !
计算
!! "!""$""%!
# # #
文具盒中有 支不同的圆珠笔 支不同的铅笔 从中取出 支借给同学 有
$! # !% ! % !
多少种借法
"
在全班的 名女生中挑选 名参加作文比赛 有多少种选法
%! !& ’ ! "
列举从 个不同元素 中取出 个元素的所有组合和排列
(! ( #!$!%!& % !
平面内有 个点 以其中 个点为端点的线段共有多少条
)!#!$ !* ! $ "
平面内有 个点 以其中 个点为端点的有向线段共有多少条
#$$ !* ! $ "
!! +
7
,
.
%
3
,
.
$
2
!
 组组合合数数的的性性质质和和应应用用
组合数的性质 如果 则
!!!! "’)"*!
( (
或者
’)* ’)(+*!
例 解方程
!! ",)"%,+$!
!* !*
解 利用性质 得到
! !
或
,)%,+$ ,)!*-#%,+$$!
解上述方程得到 或 这两个解都符合题意
,)! ,)%! !
组合数的性质
"
"’ )"’""’+!!
("! ( (
证 利用
!
’#’+!$%)’%!
#(+’"!$#(+’$%)#(+’"!$%
22
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
得到
!!!!!#!!$"
" "
"! "!
% #
!!""$!#! "!$"#!$"$"!$"#%!
"!""$!#"# !"!
% #
!!""$!#"#! !!""$!#"#!
""$!#"#"!#!"!
%
!!""$!#"#!
""#"#!
%
!!""$!#"#!
%!! &
"#"
所以
! " ! #" %! " !#! " !$"& !!!"#$%&’(
注意上面公式的特征 等式右边组合数的下标都是 上标的差
)*+,-./012
& "’
是 3!2345) ! # " $"
"& 6&#$"789):
例 计算
!! !##!%#!&#!$&
;<="7:;)’
$ $ ’ (
解 利用性质 得到 (>!23?5$%@
! ) A6B9CD)EFG
HI!J01)’(K
!##!%%!%’
$ $ ’
ALM"FMNO:;
!%
’
#!&
’
%!&
(
’
%"FM8N:;%!
8N:;%)’(PO
!&#!$%!$&
( ( *
于是 ! # " 7"NO:;%)
’(PO!"&" 7!Q
#
K M R > S T U V
!!!!!!!!!##!%#!&#!$
$ $ ’ (
!" ’!"$!"&"!
#$" # #
!!!!!!!%!%#!&#!$
’ ’ (
!!!!!!!%!&#!$
( (
!!!!!!!%!$
*
*+(+’
!!!!!!!% %(%&
#+)+"
例 件产品中有 件次品 件正品 从中抽取 件
"!") # ’* ’ & &
件产品中没有次品的取法有多少种
""#& (
件产品中有 件次品的取法有多少种
")#& ) (
解 件产品中没有次品的取法就是从 件正品中取 件
! ""#& * &
的取法 有 种
’ !&%")$ &
*
23
书书书
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
第一步 先从 件次品中取 件 有 种取法 第二步 从
!!" # " ! # #! $ #
"
件正品中取 件 有 种取法 利用分步计数原理 知道一共有
$ " # #" ! #
$
#!#""!%!
" $
种取法
!
例 从 台纯平彩电和 台超平彩电中选购 台 要求至少有
!! & % " #
纯平彩电与超平彩电各 台 问有多少种不同的选法
’ # %
解 完成满足条件的工作有两类方法 第一类是纯平彩电中选一
! &
台 超平彩电中选两台 第二类是纯平彩电中选两台 超平彩电中选
# $ #
一台 这两类工作完成一类即可
! !
从 台纯平彩电中选出 台 有 种选法 再在 台超平彩电中
& ’ # #’ $ %
&
选出 台 有 中选法 于是选出的 台彩电中纯平彩电 台 超平
! # #! ! " ’ ’
%
彩电 台的选法有 种
! #’#! !
& %
同样计算选出纯平彩电 台 超平彩电 台的选法有 种
! ’ ’ #!#’ !
& %
用分类计数原理得到选法总数是
!!!!!!#’#!##!#’
& % & %
&( %( &( %(
!!!!!" ) # )
’("( !("( !(!( ’(&(
种
!!!!!"&()"(*+( ! "!
例 本不同的书 按下列要求各有多少种不同的分法
"!, # &
分给甲 乙 丙三人 每人 本
!’" ’ ’ # ! $
分为三份 每份 本
!!" # ! $
分为三份 一份 本 一份 本 一份 本
!"" # ’ # ! # " $
分给甲 乙 丙三人 一人 本 一人 本 一人 本
!&" ’ ’ # ’ # ! # " !
解 先从 本书中选 本给甲 有 种选法
!!’" , ! # #! $
,
再从其余的 本中选 本给乙 有 种选法
& ! # #! $
&
最后从余下的 本书中选 本给丙 有 种选法
! ! # #! !
!
根据分步计数原理得到一共是
#!#!#!"!%-""$!!-""$’*$(
, & !
种分法
!
所以分给甲 乙 丙三人 每人 本有 种方法
’ ’ # ! #!#!#!"$( !
, & !
24
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
这个过程可以分两步完成
!!" #
第一步 将 本书分为三份 每份 本 设有 种方法
$ " $ ! $ ! %
第二步 将上面三份分给甲 乙 丙三名同学有 种方法
$ & & #$ "
$
根据 的结论和分步计数原理得到 所以
!%" &!&!&!#!#$$
" ’ ! $
&!&!&!
!# " ’ !#%("
#$
$
因此分为三份 每份 本一共有 种方法 本题称为 均匀分组
$ ! %( " ’ (
问题
"
这是 不均匀分组 问题 按照 的方法得到一共有
!$" ’ ( $ !%"
&%&!&$#")!()!"$%*"+
" ( $
种方法
"
在 的基础上再进行全排列 所以一共有
!’" !$" $ &%&!&$$#$#$"+
" ( $ $
种方法
"
例 某省的福利彩票中 不考虑次序的 个数码组成一注
!! $ , $,
个数码中没有重复 每一个数码都选自数码 如果电
$ %$!$)$$""
视直播公开摇奖时只有一个大奖 计算
$ #
公开摇奖时最多可以摇出多少不同的注
!%" %
购买一注时的中奖率
!!" "
解 摇奖时是从数码 中无重复地抽取 个数
!!%" %$!$)$$" ,
码 不计次序时 所有不同的结果有
$ $
&, #-$’,"-+
$"
个 于是可以摇出 个不同的注
$ -$’,"-+ "
购买一注的中奖率是
!!"
%
"+.++++++%"
-$’,"-+
练 习
利用 计算
%" &% #&%’&%(%$ &$’&’’&(’&""
&’% & & , , - /
凸六边形有多少条对角线
!" *
25
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
习题
! !
机场有 架飞机 要调用 架去执行任务 有多少种调法
!! !" ! # ! "
机场有 架飞机 要调用 架排成一列 有多少种排法
$! !" ! # ! "
分派 个同学中的 人擦教室玻璃 人扫地 有多少种分派方法
%! & % !$ ! "
将全班 名男生分在两个不同的兴趣班上课 每个班 人 有多少种分法
’! !( ! ) ! "
件产品中有合格品 件 次品 件 从中抽取 件 计算
&!!" ( ! $ ! ’ ! #
都不是次品的取法有多少种
$!% "
至少有 件次品的取法有多少种
$$% ! "
利用组合数的性质 计算
*! $! #
$!%+&#+& $+’&
" "$! "
$$%+)’$+)&$+)*$+)#!
)# )# )( ))
解方程
#! +%$!&+$%#%!
!% !%
凸 边形有多少条对角线
(! ’ "
26
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
问题探索
!!!
运气还是欺骗! "二#
下面我们解决本章开始时 王蒙先生所述的北戴河的游戏问题
! !
问题回顾 袋中装有 个质地完全相同的球 这 个球分
! !" ! !" #
种颜色 每种颜色的球各 个 参加游戏者从中随机摸出 个球
! $ ! %" !
为了叙述的简单 我们用字母 表示摸出的 个球中 种
! "#$% %" #
颜色的球的个数分别是 按照这种表示 表示摸
"!#!$!%! !$$""
出的球只有两种颜色 表示摸出的球只有 种颜色 其中有
"$#%" & ! $
个颜色相同 其余 个中有 个颜色相同
! $ # "##
计算从 个球中摸出 个球的组合数 再计算以下各种结果
!" %" !
出现的数目和各种事件发生的概率
!
摸出 得一等奖 奖励一台摄像机
%! $$""! ! "
摸出 得二等奖 奖励一条进口香烟
!! $#%"! ! "
摸出 得三等奖 奖励一个玩具机器人
&! $&%%! ! "
摸出 或 得四等奖 奖励一盒进口香烟
#! #"&& ##%%! ! "
摸出 得五等奖 奖励一个小海螺
$! #!!!! ! "
摸出 或 交游戏费 元
’! %!&# &&&%! ! "
摸出 交游戏费 元
(! &&!!! $ "
摸出其他结果不奖不罚
)! !
下面解决这个问题
!
从 个球中抽取 个球 不计次序的组合数是
!" %" !
!"$
*%"& &%)#($’!
!" %"$%"$
这也是从 个球中抽取 个球的等可能结果的总数 我们把每个
!" %" !
结果看成一个元素 用 表示这些元素构成的全集
! ! !
摸出 是在 种颜色中取定两种颜色 不计次序的组合
%! $$"" # !
27
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
数是
#!
!"! !$"
# "!"!
这也是事件 得一等奖 作为 的子集时 含有的元素个数
#! " # ! $ "
%
根据概率的定义
$
!" $
$%#&! #! !&*&&&&+""
% !%& %’#()$
"&
这个概率几乎是 说明得一等奖几乎是不可能的
&$ "
计算摸出 的总数目时 我们用分步计数原理
"" )#%& $ "
第一步 将 种颜色进行排列 共 种排法
$ # $ #! ’
第二步 在第 种颜色的球中取 个球 共 种取法
$ % ) $ !) ’
)
第三步 在第 种颜色的球中取 个球 共 种取法
$ " # $ !# ’
)
第四步 在第 种颜色的球中取 个球 共 种取法
$ + % $ !% ’
)
第五步 在第 种颜色的球中取 个球 共 种取法
$ # & $ !& "
)
根据分步计数原理 摸出 的总数目是
$ )#%&
#!%!)%!#%!%%!&!#!%),)-$&&"
) ) ) )
这也是事件 得二等奖 作为 的子集时 含有的元素个数
#! " # ! $ "
"
根据概率的定义
$
$&&
$%#&! !&*&&+""
" %’#()$
这又是一个概率极小的事件 说明得二等奖也是不大可能的
$ "
仍用分步计数原理计算摸出 的总数目
+" )+%% "
第一步 选出充当 的颜色进行排列 共有 种方法 对于
$ )+ $ ." ’
#
每种排列有 种选球方法 这一步共有 种方法
!)!+ " ."!)!+ "
) ) # ) )
第二步 在其余两种颜色中的每 个球中选取 个 共
$ ) % $ !%!%
) )
种选法
"
根据分步计数原理知道摸出 的总数目是
)+%%
."!)!+!%!%!%#,+&%%,%),"&%),)-+&&&"
# ) ) ) )
于是得三等奖的概率是
+&&&
!&*&%$""
%’#()$
这个概率也很小 得三等奖也不大可能
$ "
28
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
用类似的方法可以计算出其他结果如下
!
摸出 的总数目是
!! !"##
$%&!&"&#&#""!(###’()("’(%##"’(%#"*"""!
! ’ ’ ’ ’
摸出 的总数目是
!!))
&%&!&!&)&)"*(’(’(’(’+#,’"!
! ’ ’ ’ ’
得四等奖的概率是
*"""-#,’"
!"/"’#!
).!,’*
摸出 的总数目是
’! !%%%
&)&!&%&%&%"!(’()"()"()"+%""""!
! ’ ’ ’ ’
得五等奖的概率是
%""""
!"/)".#!
).!,’*
摸出 的总数目是
*! )%#!
!$&)&%&#&!"*""""!
’ ’ ’ ’
摸出 的总数目是
###)
&)&#&#&#&)"%""""!
! ’ ’ ’ ’
于是交 元游戏费的概率是
%
*""""-%""""
!"/!##!
).!,’*
这是一个概率较大的事件了 所以摸一次球交 元钱是很有可能发
! %
生的
!"
摸出 的总数目是
,! ##%%
&%&#&#&%&%"*""""!
! ’ ’ ’ ’
于是交 元钱的概率是
’
*""""
!"/#%!.!
).!,’*
结论 摸一次球交 元钱或交 元钱的概率总共是
! % ’
"/!##-"/#%!.+"/,’,.!
这个概率相当大 摸 次球平均发生 次多 所以我们说这种游戏
% ! # !
带有欺骗性
!
29
书书书数学文化
···················································
数学文化
!!!
杨 辉 三 角
杨辉三角
杨辉是我国宋朝的数学家 公元 年他在一本名为 详解
! !"#! "
九章算法 的书中使用了下面的图 后人称之为 杨辉三角 杨
# ! $ %!
辉三角最早的出现应当在公元 年以前 确切年代已经很难考
!"$$ !
证了 类似的图表在欧洲被称为帕斯卡三角 因为许多人认为这是
! !
帕斯卡在公元 年发明的 其实在帕斯卡之前已经有人在公元
!#%& !
年将类似杨辉三角的图表印在了算术书的封面上 但是比杨
!%"’ !
辉三角的出现晚多了
!
左 右
积 隅
!
本&
积
商&&
除
平&’&
方
立&((&
方
三&)*)&
乘
四 乘 &+" 十 " 十 +&
五 乘 &*" 十 五 " 二 十 " 十 五 *&
命 以 中 右 左
实 廉 藏 袤 袤
而 乘 者 乃 乃
除 !商 !皆 !隅 !积
之 方 廉 算 数
! ! ! ! !
我们将杨辉三角的前 行简写成
# ,
!
! !
! " !
! ( ( !
! & # & !
! % !$ !$ % !
你在杨辉三角中能发现什么规律 你能继续写出杨辉三角的第
!! -
行 第 行吗
’ . ) -
30
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
二项式定理
!７"．#4!  二项式定理
!!
我们已经学过了
系数是
!!!!"#"!$!"#!!!!!!!! !!!
系数是
!!"#""$!"""!#"#" !!"!!
系数是
!!"#"#$!#"#!"#"#!#""## !!#!#!!
可以看出 上面 个式子的系数正好对应杨辉三角的第
# # "###$
行 对照杨辉三角 你能写出 的展开式吗
% # !!"#"$#!!"#"%#$ %
杨辉三角的特点是两条斜边上的数字都是 其余的数都是它
!!
肩上 的两个数的和 例如
" # % #
第 行
# &"&!’!#
第 行
$ &#&!’"##&"’!#
第 行
% &$&!’##(&#’##$&#’!#
$$
如果我们注意到杨辉三角的第 行是 第 行是 再利
! !# " )*#)!#
! !
用公式 就可以把杨辉三角排成如
)&")&(!$)& !&$*#!#$#’"
’ ’ ’"!
下形式
&
!!"#"* !
!!"#"! )* )!
! !
!!"#"" )* )! )"
" " "
!!"#"# ! )* )! )" )#
# # # #
!!"#"$ )* )! )" )# )$
$ $ $ $ $
!!"#"% )* )! )" )# )$ )%
% % % % % %
$$ $$
根据杨辉三角的性质 可以得到如下的二项式定理
# %
二项式定理 对于正整数
! ’#
!!"#"’$)*!’")!!’(!#"$"))!’()#)"$")’#’%
’ ’ ’ ’
31
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
我们用组合的方法证明上述定理
!
证明 是 个 相乘 每个 和其他项相乘
! !"#$"% % !"#$" # !"#$"
时 有两种选择 选 或
# $$$ " $!
用 表示红球 用 表示黑球 考虑 个盒子中的每个盒子里放
" # $ ! %
有红球和黑球各一个 现从每个盒子中取一个球 分以下情况进行
! # %
"#$ "#$ "#$ & "#$ "#$
第 种情况 是在每个盒子中都取红球的结果 共有
! %"% # "%&"#
% %
种取球方法 所以一共有 项
# "# "%!
%
第 种情况 是在 个盒子中取红球 在 个盒子中取
$ %"%’!$ %’! # !
黑球的结果 共有 种取球方法 所以共有 项
# "! # "! "%’!$!
% %
&&
第 种情况 是在 个盒子中取红球 在 个盒子
(#! %"%’($( %’( # (
中取黑球的结果 共有 种取球方法 所以共有 项 证毕
# "( # "( "%’($(! ’
% %
我们称 是二项展开式的第 项 其中 称作第
"("%’($( (#! # "( (#!
% %
项的二项式系数 把
!
其中
) &"("%’($( ! #"("%#(#!#%#! "
(#! % #
叫作二项展开式的通项公式
!
下面是从二项式定理中发现的一些基本性质
%
二项展开式一共有 项
!! %#! !
第一个字母 按降幂排列 第二个字母 按升幂排列
$! " # $ !
的幂加 的幂等于
%!" $ %!
在二项展开式中 与首末两端 等距离 的两项的二项式系
&! # ( )
数相等 即
# "*&"%’*!
% %
二项式系数从两端向中间逐渐增大 且当 是偶数时 中间
’! # % #
的一项的二项式系数取得最大值 当 是奇数时 中间的两项的二项
* % #
式系数 相等 且同时取得最大值
" %’ $ !#" %# $ ! # !
% %
这可以在二项式定理中取
(!"##"!#"$#&#"%&$%! "&!#
% % % %
得到
$&! !
32
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
这可以在二项式定理中取
!!"##"$$"%$!$"#$#"""%#!
" " " "
得到
&%$$’%#$ !
例 展开 " 槡 $$’
!! & (#槡 !
# (%
解 " 槡 $$’ "&(#$$’ "&(#$#’
! & (#槡 % 槡 % !!!"#$%&’(
# (% # ( % (%
)*+,-!
$
% &"&(#’#"$"&(#&%$("%%"&(#%%$%#"&%"&(#%$&$"’’
(% ’ ’ ’ ’
$
% ")$(’#$#)(&$*’(%#$%($$#
(%
$% $
%)$(%#$#)($*’+ $ !
( (%
例 计算 的展开式中第 项的系数和二项式系数
"! "($%)#, * !
解 的展开式的第 项是
!"($%)#, *
*%* %"’%(,+’%"%)#’%"’%%’%(*)’$
* ’($ , ,
所以展开式的第 项的二项式系数是 展开式的第 项的系
* "’%$%-$ *
,
数是
"’%%’%%#$-!
,
例 用二项式定理及性质求解下列问题
#! !
若 的展开式中 的系数是 的系数的 倍 求
"$# "$((#" $(& ( ! $ "
及二项式系数的最大值 其中
$ "&$ (
$
已知在 的展开式中 的系数是 求
"%# "&(#$#* $(& #)#$ &!
解 的系数是 的系数是 依题意有 即
!"$#(& "&$( "$! "&%!"$$
" " " "
"""#$#""#%#
%!"!
&)
整理得
"%#&"#’#.#$
解得 舍去
"%)!" "%#*!#
二项式系数在 时取得最大值 即
+! ,%’ $ "’%!#!
)
的系数是
"%#-!(& "%&&$
*
+!"%&&%#)#$
*
即
!$#&&%#)#!
解得
&%#%!
例 已知 计算
%! "$+%(#!%&$&($&(%$!$&(!$ &$
# $ % ! $
33
书书书
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
!"!"!#
! "
解 取 得到 再取 得
! $%# !%$# $%$" &$%!"!"!"!"
# # $ !
于是
!" !"!"!"!%&$&!%&!#
" $ ! " #
例 在 # !$ 的展开式中求 的系数
!! $’ #$&$$( $) #
$
解 原式可化为
!
! #&$"$$(" #&$"$$("
$
所以含 的项为
$)
!
*+#&$$)" *,#&$$-%&$!-$)"$-.$)%+!$)#
( $ (
因此 的系数是
"$) +!#
例 用二项式定理证明 可以被 整除
"! #’"$$’&$ ’! #’"# $#
"
解 用二项式定理和 得到
! *$%’"
’
#’"$$’&$%*#"*$’"*!’!"!"*’’’&$
’ ’ ’ ’
%’!"*!’!"!"*’’’
’ ’
%’!#$’*!"!"*’’’&!$#
’ ’
所以 是 的倍数 即可以被 整除
#’"$$’&$ ’! " ’! #
例 在二项式 #槡 $ %’ 的展开式中 前三项的
$! $" 槡 #’"# $ "
+ "
$ ! $&
系数成等差数列 求展开式中所有的有理项
" #
解 此二项式的展开式的通项公式为
!
( %*)# 槡 $$’&) # $ 槡 %) %*) $ $ !’ + &,) #
)"$ ’
$!
+
$&
’!)
分别取 得前三项的系数分别为
)%#"$"!"
$ $ $ $
*%$"*%*$ % ’"*%*! % ’#’&$$#
$ ! ’! ! , ’+ .
又由题意可得 即 解得
$
!*%*"*" ’%$’ ’#’&$$" ’%.#’%
! $ , .
舍去
$ $#
因此 此二项式的展开式的通项公式为
" ( %*) $ $ $- + &,)")%#"
)"$ .!)
$"!"!".#
设 为有理项 则 是 的倍数
( " $-&,) + "+)%#"+".#
)"$
34
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
因此 展开式中的所有有理项分别为
!
! ! "#"!! "$" #"
! # %&"
’# ! !
#!!"$% #$&" %
% ( %&% &#)#&
练 习
展开二项式" !#"
!% !* %
#
已知"槡 ’#’ 的展开式中 各项系数的和与其各项二项式系数的和
&% #&槡
’
"’!!
&
# !
#
之比为 则
)"+!! ’"""""%
已知 的展开式中第 项和第 项的二项式系数相等 求展开
’% "!*&##’"’!! # , % !
&
式中系数最大的项及二项式系数最大的项
%
习题
" !
在 的展开式中 的系数是多少
!% "!-##!. !## $
在 的展开式中 的系数是多少
&% #&"!-##!. !## $
在 的展开式中 的系数是多少
’% "!*#&#&#"!-##!. !## $
计算二项式 的展开式中 的系数和 的系数
"%"!# "’#&!#% "’##( #( %
计算二项式 的系数之和
"&# "’#&!#% %
已知 计算
#% "!*’##%")&)#&)#&&&&)#,&)#%! ’
. ! & , %
"!#)&)&&&)&)%
. ! , %
"&#)$)&)$)&&$)&)%
. ! & ’ , %
"’#)&)&&&)%
! & %
用二项式定理证明 可以被 整除
)% ((!.$! !... %
设 的展开式中 的系数是
,% *"##""!*##+&"!*##’"+!’!! # # !(%
&
求 展开式中 的系数的最小值及 的值
"!# *"## #& +!’ %
当 展开式中 的系数取最小值时 求 的系数
"&# *"## #& ! #, %
35
书书书数学文化
···················································
数学文化
!!!
地图染色和四色定理
地图染色和四色定理
地图上标有各国的疆域 为了区分明确 相邻的国家需要采用
! !
不同的颜色加以区别 当我们仔细观察地图就会发现 一般只需要
! !
四种不同的颜色给地图着色就够了
!
如果区域更多一些 四种颜色还够不够呢 这个看似简单的问
! "
题首先被格斯里在 年提出 格斯里在对英国地图上色时发现
!"#$ ! !
无论多么复杂的地图 只需要四种颜色就可以使得相邻的区域着上
!
不同的颜色 这件事情引起了他的兴趣 他感到其中可能隐藏着某
! !
种科学道理 他把想法告诉了哥哥费特里 费特里又把这个问题转
! !
交给了著名数学家德 摩尔根 德 摩尔根也解释不
! #%&’()*+,$! %
了 就写信给著名的数学家哈密顿 这位著名的数学家也被此问题
! !
弄得一筹莫展 直到逝世也无结果
! !
年 著名数学家凯莱在数学年会上把这个问题归纳为
!"-. !
四色猜想 提出 于是 四色猜想 开始引起人们的关注 但是
& ’ ! & ’ !
其难度并未引起大家的注意
!
闵可夫斯基是位为人谦虚 成就不凡的数学家 偏偏在给大学
( !
生上课时 提到了这个问题 当时他一时兴起 失言道 四色猜
! ! ! )&
想之所以没有解决 是因为当今世界上第一流的数学家没有研究
!
它 说着拿起粉笔在课堂上即兴推演 没想到越写越多 越写越
!’ ! !
复杂 终于挂了黑板 指讲不下去了
! # $!
首先宣布 证明 了四色猜想的是一个叫肯普的律师 他于
& ’ !
年发表了自己的证明方法 可是过了 年 年仅 岁的年
!"-/ ! !! ! $/
轻数学家希伍德指出肯普的证明不能成立 接着希伍德成功地使用
!
了肯普的技巧 证明出平面地图最多用五种颜色着色就够了
! !
36
书书书数学文化
···················································
直到 年 美国的数学家阿佩尔和哈肯设计出一个计算机
!"#$ !
程序 他们同时启动三台超高速电子计算机 耗用 个机时
! ! !%&& !
终于用计算机证明了 四色定理 但不借助计算机的纯数学证明
" #!
至今尚未作出
!
四色定理是一个和组合 拓扑 图论有关的问题 有兴趣的同
$ $ !
学可以考虑以下问题 在一个具有五个行政区域的地图 如下图
% & ’
上 用四种颜色给这五个行政区着色 当相邻的区域不能使用同一
! !
种颜色时 共有多少种着色方法
! (
五个行政区的地图
37
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
利用计算机或计算器计算组合数
使用软件 计算排列数 组合数和阶乘
!"#$"% !
计算 时用语句 例如计算 时 输入
&! "# "$#! ’&& !
%&’(&&
计算的结果
%&)**+*&+’ " #
计算 时用语句 例如计算 时 输入
+! ,# -./00123 ""!##! ,4 !
" &’
’&-./00123 "&’!4#
计算的结果
’&’55’655 " #
计算 用语句 例如计算
7! 8# -./00123 "-!3#!9".#0:;"<"3#=
"
时 输入
84 !
&’
(&-./00123 "&’!4#!9".#0:;"<"4#
计算的结果
(&&*&>+&))55655 " #
计算 用语句 例如计算 时 输入
)! "$ 9".#0:;"<"-#= &&$ !
)&9".#0:;"<"&&#
计算的结果
)&744&>*55655 " #
通过例子学习用计算器计算排列数 组合数和阶乘
"" !
计算 时 输入
&! ’&& !
计算的结果
’ *+ && & )**+*&+’"" " #
计算 时 输入
+! ,4 !
&’
计算的结果
&’ "’ 4 & ’55’"" " #
,
计算 时 输入
7! 84 !
&’
计算的结果
&’ ?@ABC "- 4 & &*&>+&))55 " #
,
计算 时 输入
)! &&$ !
38
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
计算的结果
!! "#$%& !! " ’((!)*++!! " #
用 超级画板 程序工作区计算排列数 组合数和阶乘
!,-, " #
计算 时 键入
!# .!! $
按 键执行 下同
./!!%" 0123-45162 $ #
计算的结果 下同
"7**8*!8.! " $ #
计算 时 键入
8# 0( $
!.
0"!.$(#%
".++.!
计算 时 键入
’# 9( $
!.
:"!.$(#%
"!*!)8!77++!
计算 时 键入
7# !!! $
%;<1=2>;3"!!#%
"’((!)*++!
39
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
!!!!!
小结与复习
我们把排列 组合的有关结论总结如下
! "
分类计数原理 如果完成一件事有 类办法 在第一类办
!! ! " #
法中有 种不同的方法 在第二类办法中有 种不同的方法
# # # #
! "
在第 类办法中有 种不同的方法 每种方法都可以完成这
$# " # #
"
件事 那么完成这件事共有
#
$%# &# &$&#
! " "
种不同的方法
!
分步计数原理 如果完成一件事需要分成 步 第一步有
"! " " #
种不同的方法 第二步有 种不同的方法 第 步有 种
# # # #$# " #
! " "
不同的方法 那么完成这件事共有
#
$%# ’# ’$’#
! " "
种不同的方法
!
排列 从 个不同元素中取出 个不同的元素 按
#! ! " #%#""& #
照一定的顺序排成一列 叫作从 个不同元素中取出 个元素的
# " #
一个排列 简称为排列 用符号 表示排列的个数时 有
# ! ## #
"
##%"%"(!&%"("&’$’%"(#&!&!
"
全排列 把 个不同元素排成一列 所有不同的排列数有
$! ! " #
个
#"%"( !
"
组合 从 个不同的元素中取出 个不同的元素
%! ! " #%#""& #
不论次序地构成一组 称为一个组合 用符号 表示所有不同的
# ! $#
"
组合个数时
#
## "(
$#% "% !
" #( #(%"(#&(
组合数的性质
&! !
如果 有 或者
%!& $#%$)# #%) #%"()!
" "
40
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
!!""! $"!#"!%#&
"## " "
二项式定理 对于正整数 有
!& ! "#
!’#(""$"$’"#"#’"%#(#$#")’"%)()#$#""("&
" " " "
复 习 题 七
从甲地到乙地 可以乘火车 也可以乘汽车 还可以乘轮船 一天中 火车有
#& # # # & #
班 汽车有 班 轮船有 班 那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地
% # & # % &
共有多少种不同的走法
%
判断下列问题是排列问题还是组合问题
!& &
从 种不同的小麦良种中选出 种 有多少种选法
!#" ’ ( # %
从 件不同的产品中随机抽出 件来检查 有多少种不同的等可能结果
!!" &$ & # %
个人互送贺年卡 张 共送了多少张贺年卡
!%"& # # %
有 个队参加排球赛 比赛时分成两组 第一组 个队 第二组 个队 各组
%& ## # # & # ) &
都进行单循环赛 即每两队都要比赛一场 共需要比赛多少场
! "# %
在产品质量检验问题中 需要从 件产品中随机抽取 件进行检查 设这
(& # #$$ ) &
件产品中有 件次品 件正品 根据以下的要求 计算各有多少种等可
#$$ & #’& # #
能结果 只需用组合数表达结果 不必将组合数计算出来
% ! # &"
任取 件
!#" ) &
抽到的全是正品
!!" &
抽到 件正品
!%" ! &
抽到至少 件次品
!(" # &
抽到 件次品
!&" ! &
件产品中 有 件一等品 件二等品 件三等品 现在从中抽出 件
&&#! # & #( #% & ( #
一等品有 件 二等品有 件 三等品有 件的不同结果有多少个
! # # # # %
41
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
从 这六个数字中无重复地取两个 和为偶数的取法有多
!! "!#!$!%!&!! !
少种
"
某校高中一年级有 个班 高二年级有 个班 高三年级有 个班 各年级分
’! ( ! ’ ! ( !
别进行班与班的排球单循环赛 一共需要比赛多少场
! "
名同学站成一排 共有多少种不同的排法
(!’ ! "
求# "$"*的展开式中 的系数
)! "# "% !
"
的展开式中 的系数为
"*!#$%&$##&%’$$ $&$’ #!!$
+,#!!!!!!-,$!!!!!!.,%!!!!!!/,!
的二项展开式中 若只有 的系数最大 则 等于
""!#"0"$(#("! $ ! "& ! ( #!!$
%
+,’ -,( .,"* /,""
在 的展开式中 如果第 项和第 项的二项式系数相等
"#! #"1"#$#* ! %) )%# !
求 的值
#"$ ) %
写出展开式中的第 项和第 项
##$ %) )%# !
个不同的小球放入 个不同的盒中 恰有一个空盒的放法有多少种
"$!& & ! "
全班有 名同学 其中正 副班长各 名 现选派 名同学参加某项学习竞
"%! $( ! & " ! (
赛 在下列情况下 各有多少种不同的选法
! ! "
无任何限制条件
#"$ %
两名班长必须入选
##$ %
两名班长有且只能有一人入选
#$$ %
两名班长都不入选
#%$ %
两名班长至少有一人入选
#&$ %
两名班长至多有一人入选
#!$ !
圆上有两两不同的 个点
"&! ( !
过两点可画一条弦 一共可画多少条弦
#"$ ! "
过三点可画一个圆内接三角形 一共可画多少个内接三角形
##$ ! "
由数字 可以组成多少个没有重复数字的正整数
"!! "!#!$!%!&!! "
新华书店有语文 数学 英语辅导书各 种
"’! & & "* !
买其中一本有多少种方法
#"$ "
42
书书书第 ７ 章
计数原理
···················································
买两本不同类的书有多少种方法
!!" #
某工厂有三个车间 第一车间有 个小组 第二车间有 个小组 第三车间有
"#! $ $ $ % $
个小组 有一个新工人分配到该工厂工作 有几种不同的安排
& $ $ #
完成一件产品需要三道工序 这三道工序分别由第一 第二 第三车间来完
"’! $ % %
成 第一车间有 个小组 第二车间有 个小组 第三车间有 个小组 每一
! ( $ $ $ % $
个车间的小组都只能完成该车间规定的工序 问完成这件产品有几种不同的
$
分派方案
#
名同学站成两排 前 后 共有多少种不同的排法
!)!’ $ $ %$ #
名同学站成一排 甲站在中间的位置 共有多少种不同的排法
!"!"" $ $ #
从 个不同的文艺节目中选 个编成一个节目单 如果演员甲的独唱不能排为
!!! ’ & $
第一个节目 共有多少种不同的排法
$ #
本不同的书全部送给 人 每人至少 本 有多少种不同的送书方法
!(!& % $ " $ #
已知 的展开式中含 项的系数为
!$! "!#"$!!#%""&%!&#%""’!&$’!!" # !$$
求展开式中含 项的系数的最小值
#! !
已知 的展开式中末三项的
’ ’
!%! !"*!#"’$"+(!!#"($")#(!’!! "!!"*!#"’
’ ( %
($) ($)
二项式系数的和为 判断展开式系数组成的数列 的单调性
’!$ )$)$&$) $
) " ’
并求其最大项
!
从 名男生和 名女生中挑选 人 最多选到 名女生的选法有多少种
!&! ’ & % $ ! #
从 名男生和 名女生中选出 名代表
!,! % $ % !
要求男生 名 女生 名且女生李晶必须在内的选法有多少种
!"" ! $ ( #
要求男生不少于 名的选法有多少种
!!" ! #
名同学站成一排
!#!# !
甲 乙两同学必须相邻的排法共有多少种
!"" % #
甲 乙 丙三个同学必须相邻的排法共有多少种
!!" % % #
43
书书书8
第 章
统计与概率
统计学是研究如何从数据中提取有用信息的
科学 内容包括如何收集和分析数据 基于统计
! !
学的数据处理方法称为统计方法 在科学研究
! "
工农业生产 新产品开发 产品质量的提高乃至
" "
政治 教育 社会科学等各个领域 使用统计方
" " !
法和不使用统计方法获得的结果是大不相同的
!
只要统计方法使用得当 就能够得到事半功倍的
!
效果 这也是统计学能随着科学技术和国民经济
!
的发展而快速发展的重要原因
!
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
随机对照试验
!８"．#1! 随机对照试验
!!
收集数据的方法之一是从总体中进行抽样 另外一个方法是在试
!
!!!"#$%&’
验中得到观测数据 为了能根据试验的数据对试验进行合理的分析
! ! (!)*+,-./0
需要对试验进行合理的安排 123"456789
! :2;<=!>?)*
案例 坏血病的研究 世纪初期 长期在海上航行的水手
@ABCD>E>FG
#! " #!" !
经常患坏血病 坏血病的症状是牙龈肿大出血 皮肤上出现青灰的斑
HI!
! !
点 英国海军部试图考察坏血病的起因 他们怀疑这是因为水手体内
! !
缺少柑橘类水果中的某种成分造成的 当此想法提出时 刚好有 艘
! ! #
军舰要远航 为了调查是否由于水手缺乏柑橘类的水果而导致坏血
! !!!"#$%&’(
病 海军部设计了一次试验 随机地安排了一艘军舰上的水兵每天喝
)*+,+-./01
! $
23456!7.89
柑橘汁 另外 艘军舰不供应柑橘汁
! $ ! :;<=>?@%&’
试验的结果是 航行还没有结束 没有喝柑橘汁的水兵多数得了坏 ()*+ABC"DE
$ !
%&’()*+)*F
血病 而提供柑橘汁的军舰上的水兵没有发现坏血病 最后 提供柑橘
! ! ! GHIJKA+LM
汁的军舰不得不把携带的柑橘汁分给其他的军舰 以帮助他们顺利返航 NO!
! !
PQ+RSTUV
尽管本次试验的计划还可以从各个方面进行改进 但是试验的结
! WX!Y.DEZ[\
果成功地证实了最初的怀疑 ;]+^_!:;<G
!
‘abcdef;gh
在案例 中 我们称喝柑橘汁的水兵为试验组
! ! "%&’%()*%+,-. %&’()*+i!j
称不喝柑橘汁的水兵为对照组 klmn!
/(01’#! "20+,(0./(01’#3
试验组由随机选择出的对象构成 试验组的成员要接受某种特殊
!
的待遇或治疗等 而对照组由那些没有接受这种特殊待遇的对象构
!
成 一个好的试验设计都应当有一个试验组和一个对照组
! !
在案例 中 如果没有对照组 为 艘军舰都提供柑橘汁 就没
! ! ! # !
有水兵患上坏血病 海军部就不能确认他们的最初怀疑 因为不能确
! !
定是否是其他的食品或治疗避免了坏血病
!
为什么试验组要随机抽取呢
%
设想在案例 中 如果安排喜欢喝柑橘汁的水兵在试验组 喜欢
! ! !
喝啤酒的水兵在对照组 就不能确定研究开始前这两组水兵的身体状
!
45
书书书
书书书
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
况是否有差异 水兵身体状况的差异也可能影响是否容易得坏血病
! !
随机选择试验组能够有效地减少个体差异造成的对试验结果的影响
!
随机选择试验对象是英国统计学家费歇尔 的贡献 在
!!"#$%&" # ’(
世纪初 他用此方法致力于农业试验的研究 从此随机选择试验组成
# !
为安排试验的基本原则
!
案例 静脉吻合分流术 在一些肝硬化病例中 许多病人会因
!!! " #
肝出血而导致死亡 历史上有一种称为 静脉吻合分流术 的外科手
! $ %
术用于治疗肝硬化 其原理是运用外科手术的方法使血流改变方向
# !
这种手术花费很大 并且有很大的危险性 值得做这样的手术吗
# ! &
为了解决上述问题 一共进行了三批共 次手术试验 第一批
# )* !
进行了 次无对照组的手术试验 结果如下
+’ ! ’
设计方法 试验次数 显著有效 中等有效 无效
+’ ’, - *
所占比例
-). ’*/0. +/*.
试验说明有 的手术显著有效 的手术中等有效 看
!! -). #’*/0. #
来手术是值得做的
!
第二批共进行了 次手术试验 这批试验有对照组 但是对照
*) # #
组的病人不是随机选取的 医生根据病人的临床诊断情况决定将病人
!
编入试验组做手术或编入对照组不做手术 结果如下
! ’
设计方法 试验次数 显著有效 中等有效 无效
*) *( + ’
所占比例
11/-. ’(. *+/+.
这次试验的结果是 的手术显著有效 的手术中等有
11/-. #’(.
效 的手术无效 这个试验结果也是对 静脉吻合分流术 的
#*+/+. ! $ %
肯定 这次的结果与无对照组的试验结果差别不是很大
! !
再看有随机选取的对照组的第三批试验 这批试验只有 次手
! ,
术 随机选取的方式可以是掷硬币 如果硬币正面朝上就将病人选入
! #
!!!"#$%&’
试验组做手术 否则放入对照组不做手术 这次试验的结果如下
!"#$%&’ "( )&*+$"%, # ! ’
-%+-$"’"./! 0"’1 23 设计方法 试验次数 显著有效 中等有效 无效
"4566#!771686 !
6541 , ( * +
所占比例
(. ’). -).
46
书书书
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
随机对照试验的结果显著地否定了 静脉吻合分流术
! "!
结果显示 没有随机选取对照组的前两批试验过分夸大了 静脉
# !
吻合分流术 的价值 经过认真设计的带有随机选取对照组的试验显
" !
示 静脉吻合分流术 几乎没有什么价值
! " !
为什么会出现如此大的差别呢
$
在无对照组和非随机选取对照组的试验中 试验者根据病人的临
%
床诊断决定是否将他编入试验组进行手术 这样做就出现一种自然的
!
倾向 试验人员更倾向于将那些身体状态较好的病人选入试验组 以
# %
减少手术风险 其结果有利于对手术的肯定评价 这种结果是不真
! %
实的
!
对上述试验的跟踪观测发现 做手术的 个病人中 年后大约
% !" #
有 仍然活着 随机对照组中 没做手术的病人 年后大约也有
$%& % & ’#
的病人仍然活着 这就说明手术基本是无效的 而在非随机对照
$%& ! !
组中 只有 的病人存活期超过 年 这就说明了非随机对照组
% ’!& # %
中的病人健康情况较差 验证了健康情况较好的病人更容易被选入试
%
验组做手术
!
随机安排对照组是十分必要的 否则可能得出错误的结论
! !
我们称随机选取试验组的对照试验为随机对照试验
!
在随机对照试验中 为了得到更真实的结果 有时还需要其他的
% %
手段配合
!
案例 年小儿麻痹症 脊髓灰质炎 袭击了美国 以后的
!!"("$ & ’ %
年间 受害者成千上万 世纪 年代 人们开始发现预防疫
’% % !)% !% %
苗 当时萨凯 培育的疫苗最有希望 他的疫苗在实验室中表现
! &*+,-’ .
良好 安全 产生对脊髓灰质炎病毒的抗体 但是在大规模使用前必
# % !
须进行临床试验 通过试验最后确定疫苗是否有效 只有这样才能达
% !
到保护儿童的目的
!
当时采用了随机对照的研究方案 对每个儿童用类似投掷一枚硬
%
币的方法决定是否将他编入试验组 正面朝上分在试验组 否则分在
# %
对照组 除了试验的设计人员 连医生也不知道哪个儿童分在试验
! %
组 哪个儿童分在对照组
% !
47
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
然后给分在试验组的儿童注射疫苗 给分在对照组的儿童注射生
!
理盐水 让他们认为也被注射了疫苗 得到的结果如下
! ! "
试验人数 试验后的发病率
试验组 万
!" !#!$"""""
对照组 万
!" %$!$"""""
试验结果显示 疫苗将小儿麻痹症的发病率从 降低
!! ! %$#$"""""
到 由于 和 的差别超出了随机性本身所能解释的范
!##$"""""! %$ !#
围 所以宣布疫苗是成功的
! !
我们把对照组中的处理方法称为使用安慰剂 案例 中的安慰剂
! &
是注射生理盐水 给对照组的儿童使用安慰剂是为了避免儿童的心理
!
作用影响试验的结果 尽管可以认为光靠精神作用不能抵抗小儿麻痹
!
症 但是为了确认试验结果的可靠性 使用安慰剂是必要的
! ! !
不让医生知道儿童是来自试验组还是对照组是为了使医生能够作
出更公正的诊断 避免在诊断儿童是否患有小儿麻痹症时受到心理因
!
素的影响
!
在许多场合 心理因素是不能忽视的 有资料显示 在医院中给
! ! !
那些手术后产生剧痛的病人服用由淀粉制成的 止痛片 后 大约有
$ % !
的病人感觉剧痛减轻
$#& !
练 习
某个社会团体的 名理事开会决定是否增加一名新理事甲某 哪种选举方式
$# "
最能体现与会理事们的真实意愿 哪种选举方式有利于甲入选理事会
#!!$"
#!!$!
请同意增选甲为理事的举手
#’$
请不同意增选甲为理事的举手
#($
采用记名投票
#)$
采用无记名投票
#*$
48
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
习题
! !
在评价一种治疗高血压的磁疗手表时 调查了 名刚开始使用这种手表的高
! !""
血压患者 他们中有 人回答磁疗手表对降低高血压有效
! #$ !
能否作出这种磁疗手表对降低高血压的有效率是 的结论
"!# #$% $
设计一种能够公正评价这种磁疗手表的试验方案
"&# !
你的设计中试验组和对照组是随机选取的吗
"’# $
在你的设计中 使用 安慰剂 了吗 安慰剂是什么
"(# ! % & $ $
在对参加试验的人进行高血压的测量时 你让医生知道被测者使用的是磁
"$# !
疗手表还是外观完全相同的普通手表吗
$
概率
８． 2  概率
)*&!
!!
!!
)8*.&2*.!1! 概概率率的的加加法法公公式式
!!!"#$%&’(
学习概率时 我们把一个试验的可能结果称为试验的元素 把该 )*+,-./01!
! !
234567()-.
试验元素构成的集合称为试验的全集 用 表示试验的全集时 称
! ! ! ! /89:/;<!=>
的子集为事件 当两个事件不能同时发生时 称这两个事件互斥 事 ?*@’AB7&’(
! ! ! ) - . / 8 9 : /
件 和事件 互斥的条件是
CB!!
" # ""#$#!
设全集 中有有限个元素 如果 中每个元素发生的可 !!!"#$%&’(
! !"$!! !
)*+!,-./01
中元素数
能性相同 则称 为 发生的概率 简称为 的 23$%&’!"#
! %""#$
"中元素数
" ! "
! "!"#$%&’()*’#&#45
概率 678+
!
在计算事件 的概率时 先计算全集 中元素的个数 然后计
!!!"#$%!&
" ! ! ! ’()*+,-.!"
算事件 中元素的个数 特别要注意 全集 中每个元素发生的可
#$!!"#$%&!$"’&"!
" ! ! !
49
书书书
书书书
书书书
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
能性必须相同
!
对于全集 的事件 表示事
! " !"!"!" !" !" !"!"
! " # ! " #
件 中至少有一个发生
" !"!"!" !
! " #
概率的加法公式 如果 的事件 两两
"" " ! ! !!!"!!
! " "
互斥 则
!
##!!!!"!! $$##!$%##!$%"%##! $&
! " " ! " "
运用概率的加法公式的前提是全集 的事件 两
! " !"!"!"
! " #
两互斥
!
证 集合 两两互斥 于是
" "!"!"!" !
! " #
中元素数
""" #"!"!"!" $
! " #
中元素数 中元素数 中元素数
$" %" %"%" !
! " #
最后得到
"""&#"!"!"!" $
! " #
中元素数
$
#"
!
!"
"
!中 " 元!"素#数 $
!
中元素数 中元素数 中元素数
$
"
!
%"
"
中元素数%"%"
#
!
中元素数 中元素数 中元素数
$ " !中元素数 % " "中元素数 %"% " #中元素数
! ! !
$&#"$%&#"$%"%&#" $!
! " #
例 根据以往的经验 某家庭装修公司每月能够签订 份装修
!" ! ’
合同的概率是 已知 计
( ! ($#’$%&’$%’"$(’!’$$!!!"!"$!
’ ’ "$
算以下概率
!
下月能够签订 份装修合同的概率
#!$ !! %
下月能够签订 份装修合同的概率
#"$ !!!!) !
解 用 表示下月签订 份装修合同
" " ’ !
’
则
#!$ &#" $$( $#!!$%&!!$%’*$$%!+*,%
!! !! "$
两两互斥 因为签订 份装修合同发生 签
#"$" !" !" ! !! !
!! !" !)
订 份装修合同就不发生
!" ""
表示签订的合同在 份之间 计算得到
" !" !" !!!!) !
!! !" !)
50
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
!!!!!" "" "" "
!! !" !#
#!!" "$!!" "$!!" "
!! !" !#
#% $% $%
!! !" !#
#$!!%&’!!%&()$$!"%&’!"%&(*$$!#%&’!#%&(+
"% "% "%
#%&!,)+-%&!+)+-%&!’,)
#%&,&
签订 份装修合同的概率约等于
!!!!# %&,&
用 表示 的对立事件 则 是 的补集
"#!$" " # " " &
例 计算例 中的家庭装修公司下个月至少签订 份装修合同
!! ! ,
的概率
&
解 仍用 表示下月签订 份装修合同 则
! " ’ # "#"#$#"
’ % ! "%
两两互斥 表示至多签订 份装修合同
&"#" "" "" "" "" ( &
% ! " # (
的对立事件 表示至少签订 份装修合同
" "#!$" , #
!!!!""#!!""$!!""$$$!!""
% ! (
#%$%$$$%
% ! (
#$%%&’%%&("%$$!%&’!%&(!)$$$$(%&’(%&(!’
"% "% "%
#%&%%!+&
于是
!!""#!.!!""#%&))*#&
说明该装修公司下月至少能够签订 份装修合同的概率约等于
,
))&*#/&
练 习
某人每天打出 次电话的概率 如下
’ % %
’
’ % ! " # ( , ’ + *
%’ %&%! %&%" %&%+ %&!+ %&", %&", %&!’ %&%’ %&%!
如果每打一个电话的话费是 元 计算
!! %&# # %
明天用 元电话费的概率
!!" %&# &
明天用 元电话费的概率
!"" %&’ &
51
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
明天至少用 元电话费的概率
!!" "#$ #
明天用 元电话费的概率
!%" &#% !
习题
! !
某人的手机在一天内收到 条短信的概率 如下
’! " # $
"
" " ’ & ! % ( $ ) *
#" "#"’ "#"$ "#’$ "#&( "#&( "#’) "#") "#"& "#"’
计算该手机明天收到最多 条短信的概率
!’" ! #
计算该手机明天收到至少 条短信的概率
!&" ! #
计算该手机明天收到的短信在 条之间的概率
!!" !!$ #
计算该手机明天收到的短信数是奇数的概率
!%" !
一批产品有 件 其中含有 件次品 从中随机抽取 件 计算
&! ’" % % % ! ! $
这 件产品都是次品的概率
!’" ! #
这 件产品都是正品的概率
!&" ! #
这 件产品都是次品或都是正品的概率
!!" ! !
8.2.2 条件概率
!!
*#&#&!条件概率
一个班有 名男生 名女生 从班中随机选出一名数学课代
&! %&" !
表时 男生甲被选到的概率是 当老师公布出选举的结果是女生
’
% !
%!
时 甲被选到的概率是零 我们称已知选取的是女生的条件下 男生
% ! %
甲被选到的概率是零 如果老师公布选举的结果是男生 甲被选到的
!"#$%&’(
! %
)*+!,-#.(/
概率是多少呢
01!""#! &
为了讲述条件概率 我们先分析下面的问题
% !
52
书书书
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
问题 掷一枚骰子 已知掷出了奇数 求这个奇数是 的概率
! ! ! ! !
答案是 结论是一目了然的 但是为了探讨更复杂一些的问
""!! !
题 还是需要把问题分析清楚
! !
分析 已知掷出奇数后 试验的可能结果只有 个 它们是点数
! ! ! !
这是新的全集 用 表示这个新的全集
"!!!#! ! "##"!!!#$ !
由于全集已经不是投掷一枚骰子的全集 我们称试验的条件已经
!
改变 称 是新的试验条件下的全集 这里新的试验指投掷一枚骰
! " !
子和已知掷出了奇数
!
中的 个元素处于相等的地位 所以发生的可能性是相同的
" ! ! !
用 表示掷出点数 是 的子集 中元素数 中元素数
$ !!$ " !" #!!$ #"!
所以用 表示已知掷出奇数的条件下 掷出 的概率时 有
%%$""& ! ! !
中元素数 !!!"!#"$%
%%$""&#
$中元素数
#
"
!
&#’!(#"$%
" ! &!) $"!""#%
例 某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中
!!
""#!#*+,-
#
"*+,-
学生运动会 每人参加一个不同的项目 且每人是否获得冠军是等可
! !
能的 已知只有一名女生获得冠军 求高一的女生获得冠军的概率
! ! !
解 用 表示只有一名女生获得冠军 用 表示高一女生获得
! " ! $
冠军 已知 发生的条件下 成为试验的全集 的元素具有等
! " !" !"
可能性 是 的子集 中元素数 中元素数 所以 用
!$ " !" #!!$ #"! !
中元素数
表示要求的概率时 我们称
%%$""& !%%$""&#
$中元素数
#
"
!
" !
是已知事件 发生的条件下 事件 发生的概率
%%$""& " ! $ !
注意 因为 所以有
’ %%"&#""$!%%"#$&#""%!
%%"#$&
%%$""&# !
%%"&
例 在一副扑克的 张 去掉两张王牌后 中任取 张 已知
"! #$ % & " !
抽到草花的条件下 求抽到的是草花 的概率
! # !
解 抽到草花 抽到草花 已知 发生的条件
!"# ( )!$# ( #)! "
下 成为试验的全集 中的元素发生的可能性相同 是 的子 !!!"#$%&’(
" !" !$ " )*"!
集 所以
!
中元素数
%%$""&#
$中元素数
#
"
!
" "!
53
书书书
书书书
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
因为 所以也有
!!""#!"##$$!!"!$"#!##$%
!!"!$"
!!$"""# %
!!""
设 是事件 且 以后总是用 表示在已知
"$$ $ !!""#%$ !!$"""
发生的条件下 发生的条件概率 简称为条件概率 下面是条件
" $ $ %
概率的计算公式
%
条件概率公式 如果 则
! !""##%$
!""!$#
!"$""## %
!""#
条件概率公式有时会带来许多计算的方便 但有时候根据问题的
%
特点可以直接得到结果
%
例 把一副扑克的 张 去掉两张王牌后 随机均分给赵 钱
!$ #$ ! " % %
孙 李四家 赵家得到 张草花 孙家得到 张草花
% $"#& & ’$$#& " ’%
计算
!!" !!$"""(
计算
!$" !!"!$"%
解 四家各有 张牌 已知 发生后 的 张牌已固
$ !!" !" $ " $" !"
定 余下的 张牌中恰有 张草花 在另三家中的分派是等可能的
% "’ ( $ %
问题已经转变成 张牌中有 张草花 将这 张牌随机分给
)"’ ( $ "’
钱 孙 李三家 求孙家得到 张草花的概率 于是
% % $ " %
)")!%
!!$"""# ( "’*( %%+$(,%
)!"
"’
在 张牌中任选 张牌有 种不同的等可能的结果 于
!$" #$ !" )!" %
#$
是 中元素数 中元素数 利用条件概率公式得到
! #)!"$" #)&)( %
#$ !" "’
)&)(
!!"!$"#!!""!!$"""# !" "’&%+$(,%%+%!$%
)!"
#$
练 习
投掷两枚骰子
%
已知一枚是偶数点 求另一枚也是偶数点的概率
!!" $ (
54
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
已知两枚骰子的点数相同 求点数都是 的概率
!!" # " $
已知点数和是 求两枚骰子点数相同的概率
!"" ## !
习题
! !
打扑克的赵 钱 孙 李四家各从一副扑克的 张 去掉两张王牌后 中随机抽取
% % % $! ! "
张 赵家没得到 孙家得到 张 结果精确到小数点后三位
%" #"#& !’#$#& % !’!! "
计算 计算
!%" %!$"""$!!!!!! !!" %!""$"$
计算 计算
!"" %!"#$"$ ! !&" %!"$$"!
8.2.3 事件的独立性
!!
’(!("!事件的独立性
投掷一枚骰子和一枚硬币 骰子的点数和硬币是否正面朝上是独立
#
的 这时我们称投掷一枚骰子的试验和投掷一枚硬币的试验是独立的
! !
用 表示第一个试验的全集 用 表示第二个试验的全集
! ! ! !
! "
如果这两个试验是独立的 就称全集 和 独立
! ! ! "#$%&’&$%&$(#)
! "
理论和试验都证明了以下结论
!
当事件的全集 和 独立 对于 和 有
! ! ! "%! #%! !
! " ! "
$""###%$""#$"##!
这时我们也称事件 独立
"#$ !
例 投掷一枚骰子和一枚硬币 计算骰子出现 或 点 硬币 !!! !"" #$!
!! # ! & # %!""!!""!!
正面朝上的概率
""&’#$#
!
解 用 表示骰子的点数是 或 用 表示硬币正面朝上 则
! " ! &# $ #
独立 且 表示骰子出现 或 点 硬币正面朝上 因此
"#$ # "#$ ! & # # #
55
书书书
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
有
! # #
!!"!#"$!!""!!#"$ % $ &
" ! "
例 同学甲的数学作业得优的概率是 同学乙的语文作业
!" $%&#
得优的概率为 今天同时留了数学和语文作业 计算甲的数学得
$%’& #
优 乙的语文没得优的概率
$ &
解 用 表示甲的数学作业得优 用 表示乙的语文作业没有
" " # #
得优 则
# !!""$$%&#"!!#"$#($%’)$%*&
表示甲的数学作业得优 乙的语文没有得优 独立 所以
"!# $ &"## #
!!"!#"$!!""!!#"$$%&+$%*)$%!,&
全班 名同学同时随机地翻开数学书 用 表示第 名同学翻
,- # " ’
’
开的左面页数在第 页或以下 则事件 是相互独
*$ # "#"#%#"
# ! ,-
立的
&
对于 用 表示第 个试验的全集 如果这
!""!!!"!#! ! ! $ #
!
个试验是相互独立的 就称这些试验的全集 是相互
! ! !! !"!!
" ! #
独立的
$
理论和试验都证明了以下结果
&
如果试验的全集 是相互独立的 则对
"" ! !! !"!! !
" ! #
%#! !%#! !"!%#! !
" " ! ! # #
有
&#%!%!"!%$"&#%$&#%$%"%&#%$$
" ! # " ! #
这时 我们也称事件 是相互独立的
# "#"#%#" &
# ! (
例 高中每个年级三个班的羽毛球水平相当 各年级举办班级
#" #
羽毛球比赛时 计算都是三班得冠军的概率
# &
解 用 表示第 年级的三班获得冠军 则 相互
" " ) # "#"#"
) # ! *
独立 且
#
# !!""$!!""$!!""$ &
# ! * *
事件 表示都是三班得冠军 由于
"$" !" !" # "#"#"
# ! * # ! *
相互独立 所以
#
""""""!!""$!!"!"!""
# ! *
$!!""!!""!!""
# ! *
56
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
!
! !#$#"%"
""
例 一服装店出售标价为 元的夹克 售货员对前来问价的
!" !&# "
顾客以 元推销成功的概率是 如果一小时内先后有两位顾客
!&# #$&"
前来问价 计算服务员对这两位顾客都没有推销成功的概率
! "
解 用 分别表示对第一 第二位顾客没有推销成功 则
" #!# " !
! ’
独立 表示对这两位顾客都没有推销成功 利用
#!# "#!### "
! ’ ! ’
$##$!$##$!!(#$&)#$’
! ’
得到
$##$!$####$!$##$$##$!#$’*#$’)#$#+"
! ’ ! ’
例 李浩的棋艺不如张岚 李浩每局赢张岚的概率只有
"" ! #$+," !!!"#$%&’(
假设他们下棋时各局的输赢是独立的
)*+,-!
"
计算他们的 局棋中李浩至少赢 局的概率
#!$ " ! %
计算他们的 局棋中李浩至少赢 局的概率
#’$ - ! "
解 用 分别表示第 第 第 局李浩输 则
" #!$ #!#!# !! ’! " !
! ’ "
表示李浩连输 局 其对立事件 表示李浩
#!##### " ! #$!!%#
! ’ "
至少赢 局
! "
因为事件 相互独立 并且
#!#!# !
! ’ "
$##$!$##$!$##$!!(#$+,)#$,,!
! ’ "
所以 !!!"#$%&’(
$##$!$##$$##$$##$!#$,,"!#$!--+"
! ’ " )*+,-./0!
于是 说明 局棋中李浩至少赢 局的概
$##$$!!($##$!#$&""-" " !
率还是很大的
"
用 分别表示第 第 第 局李浩输
#’$ #!#!&!# !! ’!&! - !
! ’ -
则 表示李浩连输 局 其对立事件
#!# ## #&## - ! #$!!%#
! ’ -
表示李浩至少赢 局
! "
因为事件 相互独立 并且
#!#!&!# !
! ’ -
$##$!$##$!&!$##$!!(#$+,)#$,,!
! ’ -
所以
$##$!$##$$##$’&’$##$!#$,,-!#$#’%%"
! ’ -
于是
$##$$!!($##$!#$.%’""
说明 局棋中李浩至少赢 局的概率大于
- ! #$.%"
57
书书书
书书书
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
例 幸运抽奖活动中 中奖的比例是 计算
!! ! !"! "
随机抽取 张 没中奖的概率
#!$ ! ! "%
有放回地随机抽取 张 没中奖的概率
##$ #$!$$ ! "%
#
有放回地随机抽取 张 至少中奖 次的概率
#%$ #$!$$ ! ! !
解 用 表示第 次没有抽中
! #!$ % ! !"$&#%$$$&’’!
! !
用 分别表示第 次 第 次 第
##$ %!%!&!% ! ! # !&! !$$
! # !$$
次没有抽中 由于是有放回地随机抽样 所以 相
! ! %!%!&!%
! # !$$
互独立 并且
!
&#%$$$&’’!’$!!#!&!!$$!
’
表示 次都没有抽中
%$%"%"&"% !$$ !
! # !$$
& #%$$& #%"%"&"% $
! # !$$
$& #%$& #%$’&’& #% $
! # !$$
$$&’’!$$#$&%((!
用 表示至少中奖 次 是 的对立事件
#%$ ( ! !( % !
&#($$!)&#%$#!)$&%((#$&(%*!
这个结果和你想象中的结果是否一样呢
(
例 在某幸运抽奖活动中 每张奖券的中奖率为千分之一 计
"! ! !
算有放回地随机抽取 张奖券不能中奖的概率
# !
解 用 表示抽出的第 张奖券不能中奖
! % ’ !
’
对正整数 相互独立 并且
#!%!%!&!% !
! # #
!
&#%$$!)&#%$$$!) $$&’’’!’$!!#!&!#!
’ ’ !$$$
表示购买 张奖券不能中奖
%$%"%"&"% # !
! # #
&#%$$&#%"%"&"%$
! # #
$&#%$&#%$’&’&#%$$$&’’’#
! # #
是抽出 张奖券不能中奖的概率
# !
由上面的公式 可以计算出抽出 张
! +$!!$$!+$$!!$$$!#$$$
奖券不能中奖的概率
"!
#
# +$ !$$ +$$ !$$$ #$$$
" $&’+ $&’$+ $&($( $&%(, $&!%+
#
58
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
可以看出 抽取 张奖券时 仍有 的概率不中奖
! !""" ! #$%&’ !
例 设某试验成功的概率是 现在将该试验独
!! "!""""!!#!
立重复 次 证明 恰好有两次成功的概率为
# ! $ ()")"!*"#!
#
证 用 表示第 次试验成功 则 表示第 次
! # $ ! %&#### !!)
$ ! ! ) #
试验成功 第 次不成功 且
! # ! ’"%#&")"!*"#!
!
表示第 次试验成功 第 次不成功 且
%&##$# !!# ! ) ! ’"%#&
) ! ) # )
")"!*"#!
表示第 次试验成功 第 次不成功 且
%&#$## )!# ! ! ! ’"%#&
# ! ) # #
")"!*"#!
表示 次试验中恰有两次成功 因为
(&% %% %% # ! %!%!
! ) # ! )
两两互斥 所以
% !
#
’"(#&’"%#)’"%#)’"%#&#")"!*"#&()")"!*"#!
! ) # #
练 习
两门高炮同时向一架敌机射击 每门高炮击中飞机的概率都是 计算
! "%&! $
飞机没被击中的概率 飞机被击中一炮的概率
"!# %!!!!! ")# %
飞机被击中两炮的概率
"## !
习题
! !
公共汽车一共要停靠 站 甲 乙两名互不相识的乘客在始发站上车 如果他
!! + ! & !
们在每站下车的概率是相同的 计算
! $
甲在第 站下车 乙在第 站下车的概率
"!# ) & # %
甲 乙都在第 站下车的概率
")# & # %
甲 乙同时在第 站或第 站下车的概率
"## & # , %
59
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
甲 乙在同一站下车的概率
!!" # !
假设每个人的生日在一年的 天中是等可能的 在全校随机选取两名同学
"! #$% ! $
计算以下事件的概率
%
两个同学的生日都在 号
!&" % &
一个的生日在 号 另一个的生日在 号
!"" % $ ’ !
甲 乙二人进行羽毛球比赛 采取三局两胜的规则 如果每局甲胜的概率是
#! # $ !
计算
()$$ %
两局结束时甲获胜的概率
!&" &
甲第一局输 第二局和第三局赢的概率
!"" $ &
甲第一局赢 第二局输 第三局赢的概率
!#" $ $ !
在本教材 例 中 若中奖的概率是万分之一 计算抽出 张奖券不能
!! *)%+ ’ $ ! &(((
中奖的概率和能中奖的概率
!
设某试验成功的概率是 现在将该试验独立重复 次 证明 恰
%! "$"!!($&"! ! $ %
好有 次成功的概率为
" ,"""!&-"""!
!
8.2.4 离散型随机变量及其分布
""
+)")!"离散型随机变量及其分布
一个字母 只能表示一个事件 许多问题中遇到的事件数目很大
# $ $
都用字母表示时就显得很烦琐 于是人们引入了随机变量 随机变量
$ !
的引入大大地节省了符号的使用 也使得问题的表达更加简单明确
$ !
如果用 表示明天的最高气温 就表示明天的最高气温
$ $’$%#((
是 由于 的取值在今天无法确定 所以称 是随机变量
!!!"#$%&’( #(.! $ $ $
)*+,-!!"#$ 随机变量常用字母 表示
!/0123450/60789"! $$&$ ! $ " $) !
.!"/0123,4
例 投掷一枚骰子 用 表示掷出的点数 计算
5’!&’.5’,4 !" $ $ $ %
5’!678+,-9
!&"’!$%%"& """" !""’!!#$#%"!
:!/0231;<=
解 是随机变量 表示掷出的点数是 于是
>?&’1@AB!! " !&"$ $’$%%( %$
"#$1CD;<=>
&
?&’1DB! ’!$%%"% !
$
表示掷出的点数是 或 于是有
!""’!#$#%( ! %$
’!#$#%(%’$%!($’$%%(!
60
书书书
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
!!!!!!!!"""""#!!#"#!$##"#"$"
# # #
!!!!#!!"#!"$!!"#""# $ # %
$ $ %
例 投掷两枚硬币 用 表示掷出的正面数 是随机变量 计算
!! % " %" % &
!#"!!"#&"’ !!!! !’"!!"##"% !!!"!!"#!"#
$%&#’()*+,
解 表示没有硬币正面朝上
#
! !#"#"#&$ %!!"#&"# % -./.$
!
表示只有一个硬币正面朝上 这个事件含有两个元
!’"#"##$ %
素 所以
’
% !!"##"# #&("%
!
像上述例题那样 所有取值可以一一列出的随机变量 称为离散
% %
型随机变量
!)*+,-./.-01)2340-*056."7
离散型随机变量的例子很多 例如某人射击一次可能命中的环数
%
是一个离散型随机变量 它的所有可能取值为 投
" % &%#%(%#&’
掷一枚骰子后上面出现的点数 也是一个离散型随机变量 它的所
& %
有可能取值为 但电灯泡的寿命 的可能取值是任何一
#%’%(%$%
!
个非负实数 而所有非负实数不能一一列出 所以 不是离散型随机
% %
!
变量
%
如果离散型随机变量 的取值是 则
" ’ %’%(%’% #"#’$
# ’ ( )
是事件 用 表示事件 的概率 我们称
% *#!!"#’" #"#’$ %
) ) )
*#!!"#’"%)##%’%(%(
) )
是离散型随机变量 的概率分布
" %
以下用 表示 的概率分布 概率分布 有如下的性质
#*$ " % #*$ &
) )
#%*$&%)##%’%(%(’
)
’%*$*$($*##%
# ’ (
当离散型随机变量 的概率分布 的规律性不够明显时 我
" #*$ %
)
们还用下面的表格来表示 的分布
" %
" ’ ’ ’ (
# ’ %
! * * * (
# ’ %
例 全班有 个同学 某次数学作业的成绩如下
"! !& % &
61
书书书
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
分数
! " # $ % &
人数
! " $ "# #! %
所占比例
! !’!#& !’!(& !’$ !’& !’"
从班中任选一个同学 用 表示这个同学的作业成绩 求 的
! ! ! !
概率分布
"
解
!#"!$!#$!$%!)!!!!#"!$"#$"$%!)!’!#&!
#"!$##$$$%!)!’!(&!!!#"!$$#$"#$%!)!’$!
#"!$%#$#!$%!)!’&! #"!$&#$%$%!)!’""
因此 的概率分布列是
!!
! ! " # $ % &
# ! !’!#& !’!(& !’$ !’& !’"
由上可以看出 随机变量 的分布就是该班作业成绩的分布
!! ! ! "
例 设随机变量 的分布列为
&
!! ! #"!$%#$ !%$"!#!
%"%’"#
其中 为常数 求 的值
"" &#
$!%! & ! # "!" "
# #
解 由离散型随机变量的概率分布的性质可知
& &
! ’ ’
"*# #*$
所以
& & " " " " " " " "#
’ $"! &"+ ’ ( ’ ( ’ ( $"!
$*% %*& # # $ $ % % &
所以
&
&$ "
%
因此
"" &#
!# "!" $#"!$"#’#"!$##
# #
& &
% % &
$ ’ $ "
"*# #*$ ,
练 习
投掷一枚骰子 用 表示掷出的点数 对 计算
"" ! ! ! %$"!#!%!, #"!$%#"
62
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
离散型随机变量 的概率分布列如右表
!! " ! " " # ! $
则 的值为
# "!!# $ # # # #
% & %
# # # #
’! !!!!!!(! !!!!!!)! !!!!!!*!
! % & $
习题
! !
投掷两枚骰子 用 表示掷出的点数之和 计算 和
#! ! " ! $""%&# $""%#"#!
设随机变量 的分布列为 " &# 为常数
!! " $ "% %’&"&%#!!!&!$!+#!’ !
+
求常数 的值
"## ’ $
求 "# ,#的值
"!# $ """ !
#" #"
袋中有 只红球 只黑球 从袋中任取 只球 取到 只红球得 分 取到
&! $ %& ! $ ! # # ! #
只黑球得 分 设得分为随机变量 求 的值
& ! "! $""#%# !
在打靶时 选手甲每次击中目标的概率是 如果他独立重复射击 次 用
$! ! #! $ ! "
表示他击中目标的次数 计算 的分布
! " !
!! -
8
.
.
!
2
.
.
+
5
!
 几几个个常常用用的的分分布布
两点分布
!! !!!""##
如果 只取值 或 概率分布是
" " #!
$""%##%#!$""%"#%#/#!#$""!##!
!!!"#$%&!!
就称 服从两点分布 记作 "#$!’()*!+
" ! "!("#!##! ,-./012345
任何试验 当只考虑成功与否时 就可以用服从两点分布的随机
! !
678"#$%&’())*#34$
变量描述 9:;&<=#$>6
&
78#$!
63
书书书
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
当试验成功
"!! "
!"! 当试验不成功
#"! #
例 某试验成功的概率是 将该试验独立重复 次 用 表
!$ $! # ! !
示 次试验中的成功次数 计算
# ! %#!"$$#
解 用 表示第 次试验成功 则 表示第 次试验不成功
$ & ’ ! &% ’ #
’ ’
事件 相互独立 而且
&!&!&!& ! %#&$"$!%#&%$"!&$#
! % $ # ’ ’
表示后 次试验成功 第 次试验失败 则
("&& ’&’&’& $ ! ! !
! ! % $ #
%#($"%#&% $%#&$%#&$%#&$"$$#!&$$#
! ! % $ #
用 表示第 次试验失败 其余 次试验成功 同样有
( ’ ! $ !
’
%#($"$$#!&$$!’"!!%!$!##
’
现在
%!"$&"(((((((#
! % $ #
因为 两两互斥 所以
(!(!(!( !
! % $ #
$$$$%#!"$$"%#((((((($
! % $ #
"%#($)%#($)%#($)%#($
! % $ #
"#$$#!&$$
"’$$$#!&$$#&$#
#
完全类似地可以计算出
%#!"*$"’*$*#!&$$#&*!*""!!!%!$!##
#
上面的例子可以推广到 次独立重复试验的情况
+ #
二项分布
"# !!""##$
设某试验成功的概率为 将该试验独立重复 次
$!$)#"!!$# + !
用 表示成功的次数 则 有概率分布
! ! ! ’
其中
$$%#!"*$"’*$*,+-*!*""!!!(!+! ,"!&$!
+
这时 我们称 服从二项分布 记作
! ! ! !!(#+!$$#
!!!"#!$!"#$%
这里 称为二项分布的原因是 为二项展开式
&"’(!%&’"#()" ! ’*$*,+-*
+
#$),$+"’"$",+)’!$!,+-!)()’+$+
+ + +
的第 项
*)! #
例 甲每次投资获利的概率是 对他进行 次相互独立
"$ $""()# *
的投资 计算
! ’
有 次获利的概率
#!$ + "
64
书书书
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
有 次获利的概率
!!" " #
至少 次获利的概率
!#" $ !
解 用 表示甲在 次投资中获利的次数 服从二项分布
! " " $"
#!"$%&’"!
$!"%$"%($%&’$!)*%&’""%&#+!
"
$!"%""%("%&’""%&!"!
"
他 次获利的概率约等于
!)" $ %&#+!
次都获利的概率约等于
!!"" %&!"!
表示他至少 次获利 即
!#"%"#$& $ $ %"#$&%%"%$&$%"%"&!
由于事件 和 互斥 所以
%"%$& %"%"& $
$!"#$"%$!"%$"&$!"%"""%&#+,%&!"-%&"$!
因此 至少 次获利的概率约等于
$ $ %&"$!
例 某家庭装修公司和客户洽谈装修协议时 洽谈成功的概率
!! $
是 设一天内有 个客户前来洽谈装修协议 用 表示这天洽谈
%&.! + ! "
成功的客户数 求
$ $!"%$"!
解 服从二项分布 于是
!" #!+$%&."$
$!"%$"%($%&.$!)*%&."+*$"%&)"/!
+
因此 洽谈成功 个客户的概率约等于
$ $ %&)"/!
超几何分布
!! !
一般地 在含有 件次品的 件产品中 任取 件 其中恰有
$ ’ ( $ ) $
件次品 则事件 发生的概率为
" $ %"%*&
(*()+*
$!"%*"% ’ (+’$*%%$)$!$’$,$
()
(
其中 且
,%012%’$)&$ )%($’%($)$’$(&"’!
称分布列
" % ) ’ ,
(%()+% ()()+) (,()+,
$ ’ (+’ ’ (+’ ’ ’ (+’
() () ()
( ( (
为超几何分布列 如果随机变量 的分布列为超几何分布列 就称
! " $
服从超几何分布 记作
" $ "!-!($’$)"!
65
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
例 鱼塘中只有 条鲤鱼和 条草鱼 每条鱼被打捞的可能
!! !" #" !
性相同 捞鱼者一网打捞上来 条鱼 计算
! $ ! "
其中有 条鲤鱼的概率
#%$ % %
其中有 条鲤鱼的概率
##$ # %
其中有 条鲤鱼的概率
#&$ & %
条都是鲤鱼的概率
#$$$ !
解 用 表示被打捞的 条鱼中的鲤鱼条数 服从超几何分布
! " $ !" !
’%’&
#%$##"$%$$ !" #" ""("#&&!
’$
%""
’#’#
##$##"$#$$ !" #" ""(%)&%!
’$
%""
’&’%
#&$##"$&$$ !" #" ""($%*%!
’$
%""
’$’"
#$$##"$$$$ !" #" ""($"&&!
’$
%""
结论表明打捞到多条鲤鱼的概率要大一些 原因是鲤鱼的数目多
!
于草鱼的数目
!
例 在某班的春节联欢活动中 组织了一次幸运抽奖活动 袋
"! ! !
中装有 个除颜色外质地相同的小球 其中 个是红球 个是白
%! ! ! !%"
球 抽奖者从中一次抽出 个小球 抽到 个红球得一等奖 个红
! & ! & !#
球得二等奖 个红球得三等奖 个红球不得奖 分别计算得到一
!% !" !
等奖 二等奖和三等奖的概率
& !
解 从 个小球中抽取 个时 有 种不同的等可能结果 这
! %! & ! ’& !
%!
是元素的总数 用 表示抽到的红球数 则 服从超几何分布
! " ! " !
并且
!
得一等奖 ’& )+
## $$##"$&$$ !$ ""("+!+!
’& !%+
%!
得二等奖 ’#’% #!"
## $$##"$#$$ ! %"$ ""(&$&%!
’& !%+
%!
得三等奖 ’%’# &+"
## $$##"$%$$ ! %"$ ""($$%#!
’& !%+
%!
从中看出 得三等奖的概率最大
! !
66
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
练 习
一副眼镜不慎落地被摔坏的概率是 计算
!! "#$! "
第 次落地被摔坏的概率
#!$ ! %
第 次落地被摔坏的概率
#%$ % %
次落地还没摔坏的概率
#&$’ !
在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏 在一个口袋中装有 个红球和
%! ! !" %"
个白球 这些球除颜色外完全相同 一次从中摸出 个球 至少摸到 个红球
! ! ’ ! &
就中奖 求中奖的概率
! !
习题
! !
对一大批产品的验收方案如下 从中任取 件检验 无次品就接收这批产品
!! " !" ! !
设产品的次品率是 计算产品被接收的概率
!"(! !
某收藏家在拍卖会上决定参加对 件艺术品的竞买 各拍品是否竞买成功是相
%! ’ !
互独立的 如果他成功购得 件艺术品的概率是 计算
! ! "#%! "
成功竞买 件的概率
#!$ % %
成功竞买 件的概率
#%$ ’ %
至少竞买 件成功的概率
#&$ ! !
年级学生会改选时要求各班先选出 名候选人 一班有 名男生 名女生
&! ’ ! %& !%" !
如果每个人被选成候选人的概率相同 计算一班的候选人中有 名是女生的
! &
概率
!
高三 班有 名学生 昨天上语文课时 张老师叫到了其中的 名同学回答
)! #%$ )& ! ! *
问题 今天的语文课张老师又要叫 名同学回答问题 如果今天每个人被叫到
! * !
的可能性相同 计算昨天回答问题的学生中有 名又被叫到的概率
! & !
67
书书书数学文化
···················································
数学文化
!!!
数学期望
数学期望
惠更斯是一个名声和牛顿相当的大科学家 人们熟知他的贡献
!
之一是物理中的单摆公式 他在概率论的早期发展历史上也占有重
!
要的地位 他的主要著作 机遇的规律 在 年出版 在这部
! ! " !"#$ !
著作中 他首先引进了 期望 这个术语 基于这个术语解决了一
# $ % #
些当时感兴趣的博弈问题 他在这部著作中提出了 条命题 第
! !% #
一条命题是
&
如果某人在赌博中以概率 赢 元 以概率 输 元 则
!’& " # !’& # #
他的期望是
"$#
!
&
下面我们看期望是如何定义的
!
68
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
!! !" 8 # . " 2 $ .6! 离 离 散 散 型 型 随 随 机 机 变 变 量 量 的 的 数 数 学 学 期 期 望 望
为说明离散型随机变量的数学期望 先看一个例子
! !
全年级有 个学生 其中有 个同学的身高是
"#%&& ! " %’("
$ $
身高
%#’($ )*$ )*+ )*! % )!, )!*
$
人数
" " " " % " "
$ ) # % #- %&
比例
& "&" "&" "&" % "&" "&"
$ ) # % #- %&
这里共有 个不同的身高
’#)!*.)*$/)0%& !"#"("(%(" #
) # ’
全体同学的身高之和是
%&&! %"(%"(%(%" !
) ) # # ’ ’
从班中任选一个同学 用 表示这个同学的身高 则 有概率
! ) ! )
分布
"
" " "
*#)#)*$$# )!*#)#)*+$# #!%!*#)#)!*$# %&!
" " "
将概率分布列表 得到
!
) )*$ )*+ )*! % )!, )!*
* "&" "&" "&" % "&" "&"
) # % #- %&
可以看出 随机变量 的分布就是全年级同学身高的分布
! ) "
"
+#*#)#%$# $!$#)!#!%!’!
$ $ "
全年级同学的平均身高是
)
!#
"
#%
)
"
)
(%
#
"
#
(%(%
’
"
’
$!
由于 的分布是全年级同学身高的分布 我们把全年级的平均
) !
身高 定义成 的均值 记作 于是
! ) ! ,#)$! !
" " "
,#)$#% )(% #(%(% ’
)" #" ’"
#%+(%+(%(%+ !
) ) # # ’ ’
再看一个例子 设离散型随机变量 有概率分布
! )
) ) )&&
* &"&) &"--
作为 的可能值的平均数 并不能真正体现
)
!! ) ! #)/)&&$#*&"*
#
69
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
的取值的平均 因为 取值 的概率比取值 的概率大得多 所
! " ! !"" ! !
以应当用 表示 的平均取值
!#"$"!%!""#"$&&’&&$"! ! "
定义 当离散型随机变量 有概率分布
! !
#%&"!%’#!$%"!!!$!(!
$ $
就称
) "!#%’#*’#*$*’#
! ! ( ( ( (
为 的数学期望 或均值
! ")*+,-)*+./*0-12-/+*+.34# ")-*4#5
从前面的例子知道 如果 是从某个总体中随机抽取的个体
! ! !!
的数学期望 就是总体均值
""!# !#
为什么称为数学期望呢 设想总体中只有三个个体 一个 一
% ! (!
个 一个 从中任取一个 取到几得几分 用 表示取到的分
6! !(" ! " !
数 你对 的期望是多少呢 你对 的期望就是总体平均 也就是
! ! % ! !
于是 是你对得分的期望
)"!#" !)"!# "
例 甲击中目标的概率是 如果击中 赢 分 否则输
!
!! ! ! !" ! !!
(
分 用 表示他的得分 计算 的概率分布和数学期望
" ! ! ! "
解 的充分必要条件是击中目标 所以
! &!%!"’ !
!
&"!%!"#% %"$7"
(
是 的对立事件 所以
&!%+!!’ &!%!"’ !
&"!%+!!#%!8&"!%!"#%"$7"
只取值 和 于是
! !" 8!!!
)"!#%!"#&"!%!"#*"+!!#,&"!%+!!#
%!"#"$78!!#"$7’8"$7"
于是甲平均输 分 我们也说 甲只能期望赢 分
"$7 " ! +"$7 "
例 在只需回答 是 与 不是 的知识竞赛中 每个选手回
"! ( ) ( ) !
答两个不同的问题 都回答失败 输 分 否则赢 分 用 表
! ! ! ! "$9 " !
示甲的得分 如果甲随机猜测 是 与 不是 计算 的概率分布
! ( ) ( )! !
和数学期望
"
解 的充分必要条件是两次猜错 所以
! &!%+!’ "
70
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
!
!!"#$!"# ##$%&%
"
是 的对立事件 所以
#"##$’$ #"#$!$ %
!!"##$’"#!(!!"#$!"##$)&%
只取值 和 于是
" $! #$’%
&!""#!$!"’!!"#$!"(#$’*!!"##$’"
#$#$%&+#$’*#$)&,(#$#%&%
我们也说甲平均输 分 或说甲只能期望赢 分
#$#%& % $#$#%& %
定理 关于离散型随机变量 的数学期望 有以下公式
! " % &
若 为常数 则
!!" )#*"(+%*%+ % &!*"(+"#*&!""(+’
当 服从两点分布 时
!%" " ,!!%-" %&!""#-’
当 服从二项分布 时
!’" " ,!.%-" %&!""#.-’
当 服从超几何分布 时
1
!"" " /!0%1%." %&!""#. %
0
证 我们只证明公式 和
! !%" !’"%
!%"&!""#!*-(#*!!(-"#-%
当 时
!’" 2##%!%%%(%. %
.)
2-2#2 #.-2$!%
. 2) !.$2") .$!
设 有
3#!(-%4#.$!%
!&!""##+-!-!3.$!(%-%-%3.$%(((.-.-.3#
. . .
#.--# -#3.$!(.--! -!3.$%(((.--.$!-.$!3#
.$! .$! .$!
#.-*-#-#34(-!-!34$!(((-4-43#+
4 4 4
#.-!-(3"4
#.-%
设一试验成功的概率为 将该试验独立重复 次 用 表示成
-% . % "
功的次数 则 有数学期望 是 次独立重复试验中
% " .-%&!""#.- .
平均成功的次数 说明平均成功的次数和 成正比 也和
%&!""#.- . %
成正比 单次试验成功的概率越大 次独立重复试验中成功的平
- % %.
均次数就越多
%
例 甲 乙比赛时 甲每局赢的概率是 乙每局赢的
!! , % -##$&!%
71
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
概率是 甲 乙一共进行了 局比赛 当各局比赛的结果
!"!"#$# ! %! #
是相互独立的时 计算甲平均赢多少局 乙平均赢多少局
" " #
解 用 表示 局中甲赢的局数 则 服从二项分布
! $ %! " $ %#%!"
因此 即甲平均赢 局
!"&%$" "&#$$"%!’!"&%(&"%" &"% #
用 表示 局中乙赢的局数 则 服从二项分布
’ %! " ’ %#%!"!"#$$#
因此 于是乙平均赢 局
"&#’$"%!’!"#$(#"$" #"$ #
例 袋中有 个红球 个白球 从中无放回地任取 个 取
!! ) "* # & "
到几个红球就得几分 问平均得几分
# %
解 用 表示得分数 则 也是取到的红球个数 服从超几
! $ " $ #$
何分布 于是 即平均得
+ )
(#%!")"&$" "&#$$")* "&’ "%"&"
, %!
到 分
%"& #
练 习
投掷 枚骰子 用 表示 朝上的骰子个数 求
%# + " - + " &#-$#
一次单元测验由 道选择题构成 每道选择题有 个选项 其中仅有一个选项
,# ,! " # "
正确 每道题选对得 分 不选或选错不得分 满分 分 学生甲选对任意
# & " " %!! #
一题的概率为 学生乙则在测验中对每道题都从各选项中随机地选择一个
!"$" #
分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值
#
习题
! !
一条大鱼有 条后代小鱼的概率是 这条
%# . /"-./.#%./$)0."."!"%"&")"
. )
大鱼平均有多少条后代小鱼
%
投掷一枚骰子 掷出点数 时就得 分 期望得到几分
,# " 1 1 " %
72
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
!! !8".#2".$7! 离 离 散 散 型 型 随 随 机 机 变 变 量 量 的 的 方 方 差 差
在上节引入介绍数学期望时 我们已经知道 全年级 个同学
! ! %&&
的身高是一个总体 总体均值是
!
’
!!
"
"#
’
"
’
$#
#
"
#
$#$#
%
"
%
$!%!%&&
总体方差是
’
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"
%"#
’
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#
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#
$#$ "#
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’! $#"
%
&
! "#
’
’! $#(
’
$ "#
#
’! $#(
#
$#$ "#
%
’! $#(
%
&
从班中任选一个同学 用 表示这个同学的身高 则
! ) !
"
(!+")!#$! *!*!’!#!#!%&
* * "
我们已经把全年级的平均身高定义成 的数学期望 我们再把
) ,")$!
全年级身高的方差 定义成随机变量 的方差 用 表示 即有
"# ) ! -")$ &
-")$!"#
’
’! $#(
’
$"#
#
’! $#(
#
$#$"#
%
’! $#(
%
&
于是引出离散型随机变量的方差的定义
&
定义 当离散型随机变量 有概率分布
! )
(!+")!#$!.!&!’!#!"
. .
和数学期望 时 就称
!!,")$ !
-")$!"#
’
’! $#(
’
$"#
#
’! $#(
#
$#$"#
"
’! $#(
"
为 的方差 称槡 为 的标准差
) "()*+),-.$! -")$ ) "/0),1)*11.(+)2
通常还用 表示方差 用 表示标准差槡
0+3,$4 "# -")$! " -")$&
的方差描述了随机变量 向它的数学期望集中的程度 方差
) ) !
越小 向数学期望 集中得越好
!) ! &
如果 是从某个总体中通过随机抽样得到的个体 的方差
! !!
就是总体方差 的数学期望 就是总体均值
""!# !!!! #"!# "$
例 根据以往经验 一辆从北京开往天津的长途汽车在无雨天
"! !
赢利 元 小雨天赢利 元 中雨天赢利 元 根据天气预报
#%& ! ’5% ! 6& & !
明天无雨的概率是 有小雨的概率是 有中雨的概率是
&"#! &"%! &"7&
问明天发一辆长途车期望赢利多少元 方差和标准差各是多少
’ ’
73
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
解 用 表示明天发一辆车的赢利 发生的充分必要
! ! "!!#!"#"
条件是明天无雨 发生的充分必要条件是明天有小雨
#!!#$%"" #!!#
发生的充分必要条件是明天有中雨 于是
&#" # #
$$!#!"#%##’!#$$!#$%"%##’"#$$!#&#%##’("
元
%$!%#!"#)#’!*$%")#’"*&#)#’(+$"&’&$ %"
于是期望赢利 元 或说发一辆车平均赢利 元
$"&’& # $"&’& "
方差
&$!%#$!"#,$"&’&%!’#’!*$$%",$"&’&%!’
!#’"*$&#,$"&’&%!’#’(
#"#!-’%&"
标准差 槡 槡
!!!"#$"#%&! !# &$!%# "#!-’%&"(("
定理 对于离散型随机变量 有以下的方差计算公式
! !# &
若 为常数 即
$$% (#)!*+#)#+ # &$)!*+%#)!&$!%’
当 服从两点分布 时
$!% ! ,$$#-% #&$!%#-$$,-%’
当 服从二项分布 时
$"% ! ,$.#-% #&$!%#.-$$,-%’
当 服从超几何分布 时
$.% ! /$0#1#.% #
.1$ 1%02.
&$!%# $, "
0 0 02$
我们只给出两点分布情况下的证明
"
证 因为 所以
! %$!%#-#
&$!%#$$,-%!-*$#,-%!$$,-%
#$$,-%$-2-!*-!%#-$$,-%"
例 某厂一批产品的合格率是 检验单位从中有放回地
!! &-/#
随机抽取 件 计算
$# # &
抽出的 件产品中平均有多少件正品
$$% $# ’
计算抽出的 件产品中正品数的方差和标准差
$!% $# "
解 用 表示抽得的正品数 由于是有放回地随机抽样 所以
! ! # #
服从二项分布
! ,$$###’&-%"
利用二项分布的期望公式得到 因此
$$% %$!%#$#)#’&-+&’-#
平均有 件正品
&’- "
的方差 标准差
$!%! &$!%#$#)#’&-)#’#!+#’$&%# !#
74
书书书
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
槡
!!""!!"###
例 箱苹果中有 箱不合格 现在从中随机抽取 箱检查 计算
!"$!! % # % # $
抽出的 箱中平均有多少箱合格
!$" % %
计算抽出的 箱中合格箱数的方差和标准差
!&" % #
解 用 表示抽到的 箱中的合格箱数 则 服从超几何分布
" " % # "
其中
$!%#&#’"# %($!!#&(’%#’(%#
因此平均有 箱合格
’%
!$")!""(%( (#")%# #")% #
$!!
利用超几何分布的方差计算公式得到
!&"
’% ! ’%" $!!*%
!!""(%( * $* * !!"&&+#
$!! $!! $!!*$
槡
!( !!""!!"#+#
例 甲 乙两名射手在同一条件下射击 所得环数 的
"" & # " #"
$ &
分布列分别是
" , ) + ’ $!
$
+ !"$, !"$# !"#& !"$ !"$+
$
" , ) + ’ $!
&
+ !"$’ !"&# !"$& !"&+ !"$)
&
请根据环数的期望和方差比较这两名射手的射击水平
#
解
")!" "(,(!"$,-)(!"$#-+(!"#&-’(!"$-$!(!"$+
$
(+#
!!" "(!,*+"&*!"$,-!)*+"&*!"$#-!+*+"&*!"#&-!’*
$
+"&*!"$-!$!*+"&*!"$+
($",%
)!" "(,(!"$’-)(!"&#-+(!"$&-’(!"&+-$!(!"$).+#
&
!!" "(!,*+"&*!"$’-!)*+"&*!"&#-!+*+"&*!"$&-!’*
&
+"&*!"&+-!$!*+"&*!"$)
($"’,#
,")!" "()!" "#!!" "#!!" "#
$ & $ &
射手甲与射手乙的平均射击水平没有差异 但射手甲的射击
-" #
75
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
水平稳定性较好 射手乙的射击水平稳定性较差
! !
练 习
随机抛掷一枚质地均匀的骰子 求向上一面的点数 的均值 方差和标准差
!! ! " " !
甲每次投资获利的概率为 用 表示甲在 次相互独立的投资中获利的次
"! #$%! # !#
数 计算 和
! $##$ %##$!
习题
! !
已知随机变量 的分布列如右表
!! " ! " ’" ! ’
求
$#"$!$#""&&$!%#"$!%#""&&$! ( #$!( #$)) #$)#
对一个新产品的开发需要投资 万元 开发成功可以获利 万元 如果开
"! !# ! !### !
发成功的概率是 计算投资的平均收益和标准差
#$*! !
万张体育彩票中只有 个大奖 每个大奖 万元 每张彩票 元钱 购买
’!!# " ! ’ ! ! ! !
张 平均赢利多少元 标准差是多少元
! % %
在某公司的一次投标工作中 中标可以获利 万元 没有中标损失成本费
)! ! !# !
万元 如果中标的概率是 计算
#$#& ! #$)! &
公司的平均赢利 公司赢利的方差 公司赢利的标准差
#!$ ! ’#"$ %#"$’#’$ !
有某地的甲 乙两个单位都愿意聘用你 而你能获得如下信息
&! " ! &
甲单位不同职位月工资 元
"# $ !"## !)## !(## !%##
!
获得相应职位的概率
( #$) #$’ #$" #$!
!
乙单位不同职位月工资 元
"# $ !### !)## !%## "###
"
获得相应职位的概率
( #$) #$’ #$" #$!
"
根据工资待遇的差异情况 你愿意选择哪家单位
! %
76
书书书数学文化
···················································
数学文化
!!!
高斯与正态分布
高斯与正态分布
伟大的天文学家伽利略 可能是第一个提
!!"#$#%&"’()*#’)*+$
出随机误差概念的人 他在 年出版的 关于托勒密和哥白尼
! ’),+ %
两个世界系统的对话 中提到了观测误差 并谈到了观测误差的以
& "
下性质
’
所有的观测都可以有误差 其来源可能归因于观测者 观
!’$ " (
测仪器和观测条件
)
观测误差对称地分布在 的两侧
!+$ - )
小误差比大误差出现得更频繁
!,$ !
这里的观测误差实际上是现在我们所说的随机误差
!
年 高斯 发表了天体力学的名著
’.-/ " !!"011"’222#’.(($
绕日天体运动理论 在这部著作的末尾 他写了一节有关数据组
% &" "
合的问题 实际上涉及的就是随机误差分布的问题 高斯在以后的
" !
研究工作中发现了正态分布 这一发现意义重大 也使正态分布有
! "
了高斯分布的名字
!
高斯是一个伟大的数学家 一生中的重要贡献不胜枚举 德国
" !
在加入欧元区之前 流通使用的 马克纸币上印有高斯的头像和
" ’-
正态分布密度曲线 这就传达了一个信息 在高斯的科学贡献中
" ’ "
对人类文明影响最大者 正态分布也
" !
77
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
正态分布曲线
８． 3  正态分布曲线
!"#!
!!
很早以前 人们不知道圆周率 我们也假设 是未知的 为了研
! " ! #!
究圆的直径和周长的关系 需要对圆的周长进行测量 在测量前 我
! ! !
们用 表示测量值 则 是随机变量
" ! " !
由于各种随机因素的存在 例如测量本身的随机误差等 使得对
! !
直径相同的圆的测量会得到不同的结果 于是 进行大量的独立重复
! !
测量后就得到了大量的测量值 理论和试验证明这些测量值的样本方
!
差会稳定在一个固定的数值 附近
!! !
我们把 槡 叫作随机变量 的标准差 或测量标准差 在
!# $""# " ! !
一些实际问题中 标准差 是已知的 当标准差未知时 可以用多次
! ! ! !
测量值的样本标准差近似
!
根据标准差的性质知道 越小表示测量的精度越高 越大表
!! !!
示测量精度越差 所以 表示的是测量的精度
! ! !
例如 对直径为 的圆的周长进行测量 由于多种偶然因素
! "#$ !
的影响 测量出的数据是有差异的 若记 为测量出的数据 则
! ! " ! "
是一个随机变量 实际问题中需要关心 取值的概率分布 为了确
! " !
定 的概率分布 我们记录了 次测量数据 样本数 把它们进行
" ! %& " #!
分组整理后得如下分组数据表
$
组号 组 限 组频数 组频率 组频率 组距
!! %
" &’("")!’("!&# * *%%& +(+++
! &’("!&!’("!)# , ,%%& "’(’’!
’ &’("!)!’("’&# + +%%& "-(--,
* &’("’&!’("’)# "" ""%%& !*(***
) &’("’)!’("*&# "* "*%%& ’"(""
, &’("*&!’("*)# ") ")%%& ’’(’’!
- &’("*)!’(")&# "! "!%%& !,(,,,
+ &’(")&!’("))# "& "&%%& !!(!!!
% &’("))!’(",&# , ,%%& "’(’’!
"& &’(",&!’(",)# * *%%& +(+++
78
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
以测量出的数据为横坐标 以组频数 组距为纵坐标 就可以得
! " !
到频率直方图 如图
# ! "$!
图
! "
由图 可以看出 上述数据的分布有 中间高 两边低 左
! " ! % ! ! &
右大致对称 的特点 当样本数 越来越大 分组数越来越多 即组
’ ! " ! #
距无限缩小 时 频率直方图的顶边会无限缩小乃至形成一条光滑的
$ !
曲线 且可用如下函数
!
"
#$&"$#
##$$%槡 $&
#!
# #&’!$!(’$
#!!
的图象 如图 来近似表示
# ! #$ !
其中 和 为常数 且
" ! ! !"%!$%
#&’"!#!(!!%(&")"*+(!
此时 我们称 的图象为
! ##$$
正态分布密度曲线 简称正态
!
曲线
!
不同的 和 对应着不同 图
! #
" !
的正态分布密度曲线 图
# ! ($!
图
! (
79
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
从图 与图 可以看出正态分布密度曲线具有如下特点
! " ! # !
曲线位于 轴上方 与 轴不相交
$! " " " #
曲线是单峰的 它关于直线 对称
"! " "#! #
在 处达到最大值
$
#!$$"% "#! 槡 #
"!"
当 一定时 曲线随着 的变化而沿 轴平移
%! " " ! " #
当 一定时 越大 正态曲线越扁平 越小 正态曲线越尖陡
&! ! "" " #" " #
曲线与 轴之间所夹的面积等于
!!!"#$%! ’! " $!
随机变量 落在区间
% $"""&
$ "
其中 中的概率可以通过函数
$ "!"%
$ "
来描述 即 恰好是
$$"% " &$"!%""%
$ "
由 对应曲线 过点 点
$$"% " $""(%"
$
的两条 轴的垂线及 轴所
$""(% " "
"
围成的曲边梯形的面积 图
$ ! %%"
图
即
&$"!%""%## " " $$"%)"# ! %
$ "
"
$
’$"%(’$"%!
" $
此时 我们称随机变量 为服从参数为 和 的正态分布
" % ! ""
简记为
$*+,-./)012,03420+*%" %#)$
!
"""%!
特别当 时称为标准正态分布
!#("""#$ $12.*).,)056)*+,-./
其密度函数记为
)012,03420+*%"
"
$ "
$
$"%#槡 6(" $(*!"!+*%"
"!
其图象如图 所示 简记为
! & " %#
其分布函数记为
)$("$%" %$"%!
现实世界中的很多随机变量遵循
正态分布 如反复测量长度时 其测
! "
量误差通常被认为服从正态分布 某
#
图
一地区同性别同年龄组儿童的身高
! &
’
体重等被近似地认为服从正态分布 某地每年某月份的平均气温 平
# ’
均湿度等也被近似地认为服从正态分布 所以 正态分布广泛存在于
! "
自然现象 生产和生活实际之中 正态分布在概率和统计中占有重要
’ "
80
书书书
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
的地位
!
若 则随机变量 在 的附近取值的概率较大
"!#! " "#!#" " " "
在离 很远处取值的概率较小
" !
具体地说随机变量 取值
"
落在区间 内的概率约为
! "$#" "%## "#$%&"
落在区间 内的概率约为
! "$!#" "%!## ’($)&"
落在区间 内的概率约为
! "$%#" "%%## ’’$*&!
上述结果可用图 表示
# " !
由图 可以看出 正态
# " "
总体几乎总取值于区间
! "$%#"
之内 而在此区间以外
"%%## !
取值的概率只有 通常认
+$++%"
为这种情况在一次试验中几乎
不可能发生
!
图
在实际应用中 通常认为
# "
"
服从于正态分布 的随机变量 只取 之间的
#! " "#!# " ! "$%#" "%%##
值 并简称之为 原则
" %# !
事实上 就是随机变量 的均值 期望 就是随机变量
" " " ! #"#! "
的方差 它们分别反映 取值的平均大小和稳定程度
" " !
通过查标准正态分布表 见附录 可以确定服从标准正态分布的
! ,#
随机变量的有关概率
!
例 若随机变量 查标准正态分布表 求
!! "!#!+",#" " $
!,#&!"!"!,$!(!!#!%!!!!! !!#&!"#,$(!#%
!%#&!+!$(!*!$"!"!!$!%!#%!!! !)#&!""$,$)’#!
解
! !,#&!"",$(!#’$!,$(!#’+$’%(*)!
!!#&!"#,$(!#’,-&!"",$(!#’,-+$’%(*).+$+")!"!
!%#&!+$(*$""!$%#’&!""!$%#$&!""+$(*#’$!!$%#$
$!+$(*#’+$!*%(#!
!)#&!""$,$)’#’&!"%,$)’#’,-&!"",$)’#’,-
$!,$)’#’,-+$’%,#’.+$+"#,,!
设 则有关 取值的概率计算主要依据如下关系式
"!#! " "#!#" " $
81
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
!!"!!""#!
!"$" "
#!!! !""!!$""#!#!!""$""$%
#
其中 的值可以通过查标准正态分布表 见附录 得到
$!!&" ! !" %
例 当 服从正态分布 且数学期望为 和标准差为 时 计
!! ’ $ % " $
算
(!&#’$’"%
解
!)!’$*!%"""#"+!"#%"##"%
!’#%" !&#%"
+!(!&#’$’##!!’#$!!&##! $! #
" "
!!"#$!!!##$()**"+#$(’%!,-$(!,+)+%
练 习
设 查表求 精确到
!% ’$*!$$!"$ ! $($$$!"%
!!"(!$#’#!()$"#!!!!!! !""(!$!(’,#’#$"%
查表计算 精确到
"% ! $($$$!"%!!!",!!""%
习题
! !
设 查表求 精确到
!% ’$*!$$!"$ ! $($$$!"%
!!"(!’$"(*+"#!! !""(!’#$(+"#!! !,"(!$"#’$"()"%
内科医生对某病人进行了血压的测量 用 表示测量的收缩压 单位
!!!"#$%&’( "% $ ’ ! %../0"%
)*+#! 设 服从正态分布 如果病人当时的真实收缩压是
’ % " $
当血压计的测量标准差是 计算
!!" !$ (!%’$"%$!()&"#
当血压计的测量标准差是 计算
!"" !(+$ (!%’$"%$"()%"%
设 查表求 精确到
,% ’$*!"(,$%"$ (!!$’#,"! $($$$!"%
用 表示包装机包装出的袋装食盐的重量 已知 是服从正态分布的随机变量
%% ’ % ’ $
有数学期望 标准差 计算一袋食盐的重量少于 的概率
$(+10$ $($!10% $(%)10 %
82
书书书
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
列联表独立性分析案例
!８"．#4!  列联表独立性分析案例
!!
在许多实际问题中 我们需要考察两种因素的关系 例如 患肺
!! ! ! !
癌与吸烟是否有关 儿童语言能力是否与他们的性别有关
" "
为了分析这些问题 我们需要用问卷调查或现场记录等方式获取
!
一批数据 例如 为了了解患肺癌是否与吸烟有关 就需要调查其他
! ! !
条件都基本相同的 个人 然后将调查结果列成表 的形式 表中
" ! !"# #
表示 是否吸烟 表示 是否患肺癌
# $ %!$ $ %&!
表
!! !"$!!
$ 患肺癌 不患肺癌 总计
#%& #%"&
#
吸烟
#&& ’ ( ’)(
不吸烟
#&#& * + *)+
总计
’)* ()+ ’)()*)+
我们称类似 的表格为列联表 称 为两个因素 称 吸
!"# ’ #!$ ’ $
烟 和 不吸烟 为 的两个水平 称 患肺癌 和 不患肺癌
% $ % # ’ $ % $ %
为 的两个水平
$ !
由于所涉及的两个因素 均有两个水平 所以称表 为
#!$ ! !"#
列联表
#$# !
列联表 的独立性分析就是根据表中的数据分析因素 是
!"# #!$
否相互独立
!
下面我们通过对具体案例的分析学习列联表的独立性分析方法
!
案例 患肺癌与吸烟是否有关
! "
为研究患肺癌是否与吸烟有关 从一批在年龄 生活和工作环境
! (
等方面相仿的男性中分别随机抽取了 名肺癌患者和 名非肺癌患
%& ’&
者 调查他们是否吸烟 调查结果列入表
! ! !"(!
值得指出的是 这里要求被调查对象在年龄 生活和工作环境等
) (
因素方面尽量相同是为了避免这些因素对 是否患肺癌 的影响 因
$ % !
83
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
为不同的年龄段或者不同的生活 工作环境等因素可能也会导致人们
!
易患肺癌 如果调查时不考虑这些因素 即使我们分析的结果是患肺
! "
癌与吸烟有关 也不清楚这种关系反映的是患肺癌与吸烟之间的关系
" "
还是由其他因素引起的关系 因此 只有尽量控制调查对象在其他方
! "
面尽可能一致 才能根据调查数据有效地分析患肺癌与吸烟的相关性
" !
将上述调查数据列成 列联表 并计算出各行各列的和 得
!"! " "
到表
#$%!
表 肺癌与吸烟的调查数据
!! !"# !!
" 患肺癌 未患肺癌 总计
#$$ #$"$
#
吸烟
#%$ %& ’( ()
不吸烟
#%#$ !’ !( )*
总计
*+ )+ ’++
从表 可以得出 在 个吸烟的人中有 人患肺癌 患者占
!! #$% " () %& "
在不吸烟的 人中 有 人患肺癌 患者占
%&%()$,!$!!-& )* " !’ "
吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例
!’%)*$)($*(-!
高出
,!$!!-&)($*(-’!*$(,-!
这种差异似乎已经说明吸烟与患肺癌有很大关系 但仔细想想 由于
! "
这 人是随机选取的 会不会由于随机抽样的误差使得所抽取的
’++ "
名肺癌患者中碰到了较多的吸烟者 而在 名非肺癌患者中碰到
*+ " )+
了较多的不吸烟者 这样也可能导致吸烟者中肺癌患者的比例比不吸
’
烟者中肺癌患者的比例高
!
于是 我们还需进一步用统计方法说明单凭随机抽样的误差还不
"
足以造成如此大的差异
!
在本例中
"(’)*+*,*-’’++"
)’%&"+’’(",’!’"-’!(&
)*+’()",*-’)*")*,’*+"+*-’)+!
为分析 是否独立 相关 先提出假设 独立 无
#"" # $" . (#"" #
+
84
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
关 也就是假设 吸烟 与 患肺癌 独立 无关 这时
!" # $!!% # $"!% $ !# !
与 独立 与 独立 与 独立 与 独立
" "!! " "! "" "!! "" #
于是
#$$!$"!%$$!!$$"!"#$$!! $"!%$$!!!$$"!"
$$!$""!%$$!!$$""!"#$$!! $""!%$$!!!$$""!#
根据概率与频率的关系 知道 的估计值为
’
" $$!$"! & % %
!" (
的估计值为 的估计值为
)
!"#$"$$!! $"! & !!" %
(
%!"%&"$$!$""!
的估计值为
* +
& !""%
(
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!"
%
(
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又 的估计值为 的估计值为
’,*
$$!! &
!
%
(
%!"’("$$!!! & !!%
的估计值为 的估计值为
),+ ’,)
%!"()"$$"! & % %!")"$$""!
( " (
*,+
& ""%
(
%!"(#
因为假设 独立 所以
-". " !!" %%& !" /& ! & " %" !!"" %%& !"" /& !"& " %"
都相应比较小 我们用
!!""%%& !""/& ! & ""%" !!" %%& !" /& !!& ""% "
####" %% (! % !", (! % !!", (! % !"" , (! % !"
& ! & " & !!& " & ! & "" & !!& "" !!!"!"###$%
($’+/*)!%
&!$"%&’()*+#’()
% $’,*!$),+!$’,)!$*,+! $&! *+, ! ,!-./01
表示 的总体大小 当 成立时 取值应该比 23$ ! ,456",!
!!" " !!!" " !!"" " !!" # 0 ! " " %
较小 当 取值较大时 表示假设 不成立
" " % " 0 ! #
在本案例中 经过计算得到 的观测值为
" %
"
&!!$#$*%’+&’*%&!%
######" %% &,"#&#
’(*()*)!*(!
那么 是否太大呢
"
"
%%,"#& &
统计学家已经有明确的结论 如果 列联表中的两个因素
’ %*% -"
是独立的 即在 成立的情况下 且当随机调查的数据
. " 0 " ’"*")" !!!"#$%!!"!
!
都不小于 时 随机事件 发生的概率约为 即 #!$&’()!*$
+ ’ " # " %’)")#’% !"!&" +!,-./01*2
$$
"
%’)")#’!&!"!&# $%!
3*4567%
也就是说 在 成立的情况下 的值大于 的概率非常
" 0 ! " " % )")#’
85
书书书
书书书
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
小 近似于 即在 成立的情况下 对随机变量 进行多次
! !"!#! " ! ! ! $
观测 观测值超过 的频率为
! %"%&’ !"!#!
在本案例中 由调查数据所得到的 这件事发
!
!
$#("&#!%"%&’!
生的概率 这是一个小概率事件
$"
!
$"("&###$"
!
$"%"%&’#$!"!#! !
因此我们有 的把握认为 不成立 即在本案例中发生的原因很
))* " !
!
可能是由于假定 患肺癌与吸烟独立 不对 于是否定 从而
!!!"#$%&’( "
!
$ % ! "
!
!
认为患肺癌与吸烟有关系
)*!
!
值得指出的是 我们在作出上述判断时也有可能犯错误 因为患
! !
肺癌与吸烟无关系时 的值仍有可能超过 但是这件事发生
!
!
$ %"%&’!
的概率不超过 也就是说我们犯错误的概率不会超过
!"!#! !"!#!
上面这种利用随机变量 来确定在多大程度上可以认为 两个
$ $
!
分类变量有关系 的方法称为两个分类变量的独立性检验
% !
利用独立性检验来考察两个分类变量 与 是否有关的具体做
% &
法是 提出假设 与 无关
&"## " &% & ’
!
根据 列联表与公式 计算 的值
"$# $+$ "## ! $ ’
查对临界值 表 作出判断
"&# " ,"-#! !
表
!"#
$" ! $"’ ! #!"’! !"-! !"$’ !"#’ !"#! !"!’ !"!$’!"!#!!"!!’ !"!!#
’ !"-’’!"(!,#"&$&$"!($$"(!%&",-#’"!$-%"%&’(",()#!",$,
!
例如 如果 就有 的把握认为 与
&"## ! $!#!",$,! ))")* $% &
有关
%’
如果 就有 的把握认为 与 有关
"$# ! $!%"%&’! ))* $% & %’
如果 就有 的把握认为 与 有关
"&# ! $!&",-#! )’* $% & %’
如果 就认为没有充分的证据显示 与 有关
! $#&",-#! $% & %!
例 用两种检验方法对某食品做沙门氏菌检验 结果如下 试比
% ! !
较两种方法和阴性结果是否有关系
!
阳性 阴性 合计
荧光抗体法
#%! ’ #%’
常规培养法
$% -, (-
合计
#,% ’& $&)
86
书书书
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
解 提出假设 两种方法与阴性没有关系
! ! ! "
!
由题意可知
"#$"#!"%$$"&$%#"’$&’"#(%$"#$"&(
将它们分别代
’$(&"#(&$"’#"%(’$$)")$#(%(&(’$%)*"
入公式得
)##’*%&$%
! %$ ##(%$#&(’$##(&$#%(’$ """)+"’$"
查表 可知 当 成立时 即当
’+& " ! ! "+# ! %#"!+’%’$"!+!!""
成立时 的概率约为 或 而这里的
! ! " ! %#"!+’%’ !+!!"# !+",$" ! %"
远大于
"")+"’$ "!+’%’"
因此 我们有 的把握认为它们之间有关系
" **+*, "
练 习
某项试验 在 次试验中 成功率只有 进行技术改造后 又进行了
" "!! " "!," "
次试验 试问 若要有 以上的把握认为 技术改造有明显效果
"!! " ! *(+$, % &"
试验的成功率最少应是多少 设
’ # +#
!
%#$$$!+!%$$
习题
! !"
为了考察某种新药预防疾病的作用 进行动物试验得到如下观测数据
" "
患病 未患病 合 计
!
服用药
"$ )$ $!
没服用药
& &# $!
合 计
! "* ’" "!!
请问能有多大把握认为药物有效
’
87
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
一元线性回归案例
!８"．#5!  一元线性回归案例
!!
案例 海牛是一种体型较大的水生哺乳动物 体重可达到
!! ! !
以水草为食 美洲海牛生活在美国的佛罗里达州 在船舶运
!""#$! ! !
输繁忙季节 经常被船的螺旋桨击伤致死 下面是佛罗里达州记录的
! !
年机动船只数目 和被船只撞死的海牛数 的数据
%&!!"%&&" " # !
年 份
! %&!! %&!’ %&!& %&’" %&’% %&’( %&’)
船只数量
" **! *+" *’% *&’ ,%) ,%( ,(+
被撞死的海牛数
# %) (% (* %+ (* (" %,
年 份
! %&’* %&’, %&’+ %&’! %&’’ %&’& %&&"
船只数量
" ,,& ,’, +%* +*, +!, !%% !%&
被撞死的海牛数
# )* )) )) )& *) ," *!
现在问
#
随着机动船的数量的增加 被撞死的海牛数是否会增加
$%% ! &
当机动船增加到 只 被撞死的海牛会是多少
$(% !," ! &
要解决上面的问题先为数据画出散点图 横坐标是 纵坐标是
! "!
见图
#! ’ !!
图 船只数量和被撞死的海牛数的散点图
’ !!
88
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
从数据散点图上看到 有随着 的增加而沿某一直线增加的趋
! #
" "
势 直线确定了 问题 也就解决了 但这条直线应当如何确定呢
$ ! "!# ! $
无论是从抽样调查中得到的成对数据 还是从科学试验 工农业
! %
生产中得到的成对数据 在统计学中都被称为观测数据或样本 数据
! !
的个数被称为样本容量
$
上面案例中的 对观测数据称为样本 由图 的 个点表示
!" ! # $ !" $
样本容量是 的成对观测数据 用
% ! "#!!#!"#!!#!&!
! ! % %
表示 这里 对固定的 和 来自相同的个体或是同一
"#!!# $ ! "!# !
% % " "
次试验的观测数据 对 和 来自不同的个体或
$ "!&!"#!!# "#!!#
" " & &
是不同试验的观测数据
$
对于上述观测数据 我们用 表示数据 用
! ’#( #!#!&!#!
" ! % %
表示数据 用 和 分别表示 和 的
’!( !!!!&!!$ #" !# ’#( ’!(
" ! % % " "
均值 用 表示 的标准差 用 表示 的标准差
$ ’ ’#( ! ’ ’!( $
# " ! "
再引入
#!)#!)&)#!
’ ( ! ! % % % %*#"!#$
#! %
定义 当 我们称
$ "!# ’’!&!
#!
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" "
$$$$+ (槡"(!
#!
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%"#*#"#% %"!*!##%
" "
"(! "(!
%
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"" ’
(槡 "(! ( #!
" % % #%*%#"% #" % % !%*%!#% # ’ # ’ !
" "
"(! "(!
为 和 的相关系数
’#( ’!( !
" "
当 时 我们称 和 正相关
"%# + && ! ’#( ’!( !
#! " "
当 时 我们称 和 负相关
"’# + ’& ! ’#( ’!( !
#! " "
当 时 我们称 和 不相关
""# + (& ! ’#( ’!( $
#! " "
理论上可以证明相关系数 具有以下性质
+ )
#!
总是在区间 中取值
!$+ **!!!+ ,
#!
当 越接近于 时 的线性相关程度越强 且 增加
%$ + ! !#!! ! # !
#!
也倾向于增加 这时数据 分散在
! ! "#!!#!"#!!#!&!"#!!#
! ! % % % %
89
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
一条上升的直线附近
!
当 越接近于 时 的线性相关程度越强 且 增
!! " %" "#"$ " #
#$
加 倾向于减少 这时数据 分散
"$ " ##"$$"##"$$"%"##"$$
" " # # & &
在一条下降的直线附近
!
当 越接近于 时 的线性相关程度越弱
$! " % "#"$ !
#$
图 至图 分别是 和 之间正相关和负相关的举例
& & & ’ &#’ &$’ "
’ ’
其中样本容量都是
(%!
图
& &!" "%
#$
90
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
图
! "!! "#
"#
从图中看出当 时 有随着 的增加而增加的趋势 这
!! ! ##$! !# " ! !!!"#$%&’(
"#
时我们认为 和 是高度正相关的 当 时 有随着 )*!+"!",-!"#!
""# "## % ! "&#$! !# "#
$ $ "# ./01234567
的增加而减少的趋势 这时我们称 和 是高度负相关的
" ! ""# "## % 89:;$
$ $
现在我们来解决本节开始的案例中的两个问题
%
为解决问题 先计算机动船数 和被撞死的海牛数 的
$%%! ""# "##
$ $
相关系数
! %
"#
本案例中 经过计算得到
!
"$’&’($&!#%’)"$*+!
(’!!$&’!(’%%$(&!( ’"("$+’!
" # "#
91
书书书
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
于是相关系数
!"!#$%
! $ !*#!+),%
"# &&#’%())#"’
这说明被撞死的海牛数 和机动船数 高度正相关 因此 只要机
# " % !
动船数增加 被撞死的海牛数就会增加
! %
为了解决问题 需要为数据建立回归直线 设回归直线是
",#! %
&$’#$(")*%
我们可以认为 和 满足以下的关系
# " $
+ +
#$(")*),!+$)!,!%!-%
+ + +
其中的 表示随机误差 我们称上述的模型为一元线性
,!,!%!, %
) , -
回归模型
"-./0122032044.5/6570-#%
解决一元线性回归模型的方法是求出直线 这里的直线 就是
&! &
以前学习的回归直线
%
利用最小二乘法得到的 的最小二乘估计值是
(!*
. !"!#$%
($ "#$ !*#),’!
., &&#’%,
"
*$#"/("#$,!#+$8*#),’(’%"#’!8+)#’%
回归直线是
&$’#$*#),’"/+)#’%
此回归直线的图形如图 所示
& )* %
图 船只数量和被撞死的海牛数的回归直线
& )*$
92
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
当机动船数增加到 条时 被撞死的海牛数的预测值是
!"# !
只
!"##$%&"’!"#()%$"!"&" #$
例 下面是我国 年出口贸易额 百亿美元 和我国
!" %**#$&### %" #
国内生产总值 百亿元人民币 的数据
+,-" #"" # $
年 份
" %**# %**% %**& %**. %**) %**"
% /$&% !$%* 0$)* *$%! %&$%# %)$00
" %0"$)0 &%/$%0 &//$.0 .)/$.) )/!$"* "0)$!0
年 份
" %**/ %**! %**0 %*** &###
% %"$%% %0$&* %0$.! %*$)* &)$*&
" /!0$0" !))$/. !0.$)" 0&#$/0 0*)$)&
试建立 与 之间的回归方程
" % $
解 根据收集的数据作散点图 图
" " 0 %%#$
图 出口贸易额和 数据散点图
0 %%" +,-
从图 可以看出 集中在一条直
0 %% "%!"#"&#%!&!%!%%#
& &
线附近 因此可以用线性回归模型
! "#’%()(*"&#%!&!%!%%#
& & &
来描述 之间的关系 描述了随机误差造成的影响 其中也包
%!" $* !
&
括了观测误差 经计算
$ !
%##%)$#&!"$#"))$).!+#"$/!!+#&)!$/!!+ #%.!&$#*$
% " %"
相关系数
%.!&$#*
, # !#$*!!$
%" "$/!’&)!$/!
93
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
因此 和 是高度正相关的 这说明外贸出口带动了 的
!! " ! !"#
增长 通过计算可得出 的最小二乘估计值分别为
# $!% "
’ %&’$()*
%& !"& !-$(,.!
’$ +(,’$
!
$&""(%!#&+--(-&/-$(,.0%-()%!/+&(*-#
于是 回归直线为 见图
! )"&-$(,.!(+&(*-# . %$$#
图 出口贸易额和 的回归直线
. %$$ !"#
对于 年的出口贸易额 可以用回归直线作出
$))% $ !&$,(,%! $))%
年 的预测值为
!"#
)"&-$(,.0$,(,%/+&(*-1%).%(’’#
例 某地区对本地企业的人均资本 万元 与人均产出 万元
!$ !# $ "# $
进行了一次抽样调查 下表是这次抽查中所得到的各企业的数据
! "
人均资本
!!!"#$%&!’ 万元 & - +(+ ,(+ ’ . * %)(+ %%(+ %-
!# $
()*+,-./01
人均产出
2345601!78
万元 -(%$-(,’.(,.%%()%%&()-%-(-&%’(+)$+(-,$,(,,-+($)
!!9:;<=>?@ "# $
若 与 之间具有近似关系 为常数 试根据
ABCDEFG!HI
#%$ " ! "!$!% #$!% $!
JK/L5MN!OP 表中数据估计 和 的值
QRJK/+,ST! $ % %
估计当企业人均资本为 万元时的人均产出 精确到
UV56MNWX56
#$$ %, # )()%$#
YZMN![\]^_ 分析 根据 所具有的关系可知 此问题不是线性回归问
B‘a!bcdefg $ !!" !
题 不能直接用线性回归方程处理 但由对数性质可知 只要对
hij/L5MN!2
! # ! "!
kflm/WX56Y 的两边取自然对数 就能将其转化为线性关系
ZMN/Tnop! $!% ! #
94
书书书
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
解 在 的两边取自然对数 可得
! !!" !""#$ # "#!""#"% !! !!"!"#$ % #
设 &
$"###
!
!!’"!#&’" #"
&
"#!&!’#"#"&"’#"##&#’#
#!’"#$%&’(
则
!""!"#&%#!
!’"#$!#&’"#$&#
!’""’%$#’(
#’"#$##" # !’"
根据数据计算如下表所示
( #’$%&’(
!%"!"#&%&#!
人均资本 万元
#! " $ % &’& (’& ) !’"#$!#&’"&##’"
人均产出 万元 #$##"#!’"#’$
!! " %’!* %’() +’(+ !!’,! !$’,%
%&’(
#’&"## !’,-+(! !’$+(*- !’),%)& !’+)!+, !’-%&-! !’"!"#&& %#!
!
!’&"#! !’%!&+& !’&%!!( *’!(!,* *’$-++, *’&(+,* !’"#$!#&’" #
&
人均资本 万元
#! " + - !,’& !!’& !% #’"#$##" # !’"
人均产出 万元
#’$%&’(
!! " !%’%$ !)’& *&’%( *(’(( %&’*,
!("!"#$%#$&#
#’&"## *’,)-%% *’!-)** *’$&!$+ *’%%*$& *’($-,( !!’"!#&’"#$&#
!’&"#! *’((-$! *’+(**, $’*$)!! $’*+$!( $’+!!!,
"#!’"#$%&’(
仿照例 可得 的最小二乘估计值分别为
!# "’#$ "’&),’%-(*)#
由 可得
$&!’&())# "’&"#"&),’%-(*) #
"",’(,++#
即 的值分别约为 和
"#$ ,’(,++ !’&())(
由 知
!*" !!"
*!&,’(,++#!’&())(
样本数据及回归曲线的图形如图 所示
+ !$ (
图
+ !$
当 时 万元 故当企业人
#&!( !#*!&,’(,++.!(!’&())"%)’,!! "#
均资本为 万元时 人均产值约为 万元
!( # %)’,! (
95
书书书
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
练 习
下表是从某大学随机抽取的 名女大学生的身高 和体重 的数据
! !!"#" "!$%" #
编号
& ’ ( ) * + , !
身高
! &+* &+* &*, &,- &,* &+* &** &,-
体重
" )! *, *- *) +) +& )( *.
试求出 与 之间的回归方程 并预报一名身高为 的女生的体重
" ! $ &,’"# #
习题
! !!
研究某灌溉渠道水的流速 与水深 之间的关系 测得一组数据如下
&# " ! $ #
水深
!%# &/)- &/*- &/+- &/,- &/!- &/.- ’/-- ’/&-
流速
"%!#&01&" &/,- &/,. &/!! &/.* ’/-( ’/&- ’/&+ ’/’&
画出散点图
!&" ’
求 对 的回归直线方程
!’" " ! ’
预测水深为 时水的流速是多少
!(" &/.*# (
一只红铃虫的产卵数 与温度 有关 现收集了 组观测数据列于下表中
’# " ! # , $
温度
!!2" ’& ’( ’* ’, ’. (’ (*
产卵数 个
"! " , && ’& ’) ++ &&* (’*
试建立 与 之间的回归方程 要求分 和 两种形式进行探讨
" ! #! "$%3&! "$’!’() #"
96
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
假设检验案例
案例 一条新建的交通干线全长 前半段 后半段
!! !"#$! %#$!
在刚刚通车的一个月中 后半段就发生了 起交通事故 而
%#$! ! & !
前半段没有发生交通事故 能否认为后半段发生交通事故的概率比前
!
半段大
"
解 同一起交通事故发生在后半段就不能发生在前半段 就像硬
! !
币掷出反面时就不会出现正面一样 起交通事故的发生是相互独立
!&
的 它们之间没有联系
! !
如果前 后半段发生交通事故的概率相同 则每一起事故发生在
# !
后半段的概率都是 于是这 起交通事故都发生在后半段的概率是
"’%! &
"’%&""’"()%!
这是一个很小的概率 一般不会发生 所以我们认为后半段发生交通
! !
事故的概率比前半段大
!
作出以上结论也是有可能犯错误的 犯错误的概率正是
! "’"()%!
这是因为当前 后半段发生交通事故的概率相同 而 起交通事故又
# ! &
都出现在后半段时 我们才犯错误 也就是说我们犯错误的概率等于
! !
前 后半段发生交通事故的概率相同的条件下 起交通事故都出现
# !&
在后半段时的概率 这一概率正是 于是 我们判断正确的
! "’"()%! !
概率是
!*"’"()%+,-’.%/!
因此我们是以 的把握保证后 比前 更容易发生
,-’.%/ %#$ %#$
!!!"#$%&’(
交通事故
! )!*+,-.!
得到了上述结果后 交通管理部门很快在进入后半段的地点安放
!
了警示牌 前方是事故多发路段 请小心驾驶
$ ! !
案例 一服装店出售标价为 元的夹克 售货员声称对前来
"! !0" !
问价的顾客以 元推销成功的概率是 现在 小时内有
!0" #""’(! ! &
97
书书书
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
位顾客前来问价 服务员对这 位顾客都没有推销成功 能否判定售
! ! !
货员的 不对
"#"#$ "
解 用 分别表示对第 第 第 位顾
! $!$!$!$ %! &!#! !
% & ’ !
客没有推销成功 则 相互独立
! $!$!$!$ !$#$ "$ "
% & ’ ! % &
表示对这 位顾客都没有推销成功 利用
$"$ ! !
’ !
%$$%#%("#$)"#!!&#%!&!’!!
&
得到
%$$%#%$$%%$$%%$$%%$$%#"#!!#"#"&*$!
% & ’ !
这是一个小概率事件 其发生的原因很可能是 不对 所
! "#"#$ !
以应当判定售货员的 不对 作出这个结论也可能犯错误 犯
"#"#$ ! !
错误的概率是 于是判断正确的概率是 因此 我们
&#*$+! ,-#!!+! !
以 的概率保证
,-#!!+ "#"#$!
案例 某地区的山羊患某种疾病的概率是 且每只山羊患
!! "#!!
病与否是相互独立的 现在为了判断一种新的预防药是否有预防作
!
用 随机选取了 只山羊做试验 这 只山羊用药后都没有得这种
! $ ! $
病 问此新药是否有效
! "
解 初看起来 只山羊用药后都没有得病 应当判断新药有效
! !$ ! !
但是细想一下 就会发现即使新药无效 只山羊也可以都不得
! !$
病 为了作出正确的判断 让我们假设新药无效 然后看看事实是否
! ! !
支持这个假设
!
用 表示第 只山羊不得病 则 相互独立
$ ’ ! $!$!#!$ !
’ % & $
表示 只山羊都不得病
$#$"$"#"$ $ !
% & $
假设新药无效 则 于是有
! %$$%#%("#!)"#$!
’
%$$%#%$$"$"#"$%
% & $
#%$$%%$$%&#&%$$%
% & $
#"#$$$"#"!$-!
这个概率很小 一般是不会发生的 它的发生说明我们的假设有问
! !
题 于是我们否定原来的假设 认为新药是有效的
! ! !
否定新药无效也可能犯错误 但是犯错误的概率是 因
! "#"!$-!
为只有在新药无效的条件下 只山羊都不得病 我们才犯错误
!$ ! !
98
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
案例 解决的问题是统计中的假设检验问题 先作一个假设 新
! ! !
药有效 在这个假设下看看实际情况是否支持这个假设 如果在这个
" "
假设下小概率事件发生了 说明实际情况不支持这个假设 于是我们
" "
就否定这个假设
!
实际问题中经常将小于或等于 或 的概率视为小概率
"#"$# "#%$ "
这时否定 假设 时 犯错误的概率不超过 或
% & " "#"$# "#%$!
99
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
!!!!!
小结与复习
随机对照试验 随机选取试验组和对照组是安排试验的基
!! !
本原则 随机对照试验是指随机选取试验组和对照组的试验 我们
! !
把对照组中的处理方法称为使用安慰剂
!
概率
"! !
加法公式 如果 的事件 两两互斥
!!" # ! " $"$%$" $
! " #
则
! $!""""%"" "%$!""&$!""&%&$!" "!
! " # ! " #
条件概率公式 设 是事件 用 表示已知
!"" # "$’ $ $!’#"" "
发生的条件下 发生的条件概率 如果 则有
$’ ! $!""$#$
$!"%’"
$!’#""% !
$!""
事件的独立性 如果事件 是相互独立
!$" # "$"$%$"
! " (
的 则
$
$!"%"%%%""%$!""$!""&%&$!""!
! " ( ! " (
如果随机变量 的取值是 则 是
!%" ) * $*$%$*$ ’)%*(
! " ( +
事件 用 表示事件 的概率 则称
$ ,%$!)%*" ’)%*( $
+ + +
,%$!)%*"$+%!$"$%$(
+ +
是随机变量 的概率分布 的概率分布 还可以用下面的表
) !) ’,(
+
格表示
!
) * * * %
! " $
$ , , , %
! " $
两点分布 对于任一个试验 引入随机变量
!&" ’!!$,"# $
当试验成功
’!$ )
)%& 当试验不成功
(#$ !
则 服从两点分布
) ’!!$,"#
$!)%!"%,$$!)%#"%!’,!
100
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
并且
!!""#$#%!""#$!!"$"&
二项分布 设一试验成功的概率为
!#" ’!(#$"$ $#$!!$#!"&
将该试验独立重复 次 用 表示成功的次数 则 服从二项分
( # " # "
布 即
’!(#$"#
其中
"""")!"#*"#%*$*+(,*#*#$#!#%#(# +#!"$#
(
这时
#
!!""#($#%!""#($!!"$"&
超几何分布 件产品中有 件次品 从
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中随机抽取 件 用 表示这 件中的次品数 则 服从超几何分
( # " ( # "
布 即
-!.#/#("#
%*%(,*
)!"#*"# / .,/#*#$#!#%#0#0#’()&/#(’&
%(
.
这时
#
/ (/! /".,(
!!""#( #%!""# !" &
. . . .,!
数学期望和方差 当随机变量 有概率分布
!*" $ "
$#)!"#2"#1#$#!#%#(#
1 1
就称
!!""#2$32$3%32$
! ! + + ( (
为 的数学期望或均值
" &
用 表示 的数学期望时 称
!#!!"" " #
%!""#!2
!
,! "+$
!
3!2
+
,! "+$
+
3%3!2
(
,! "+$
(
为 的方差 称槡 为 的标准差 我们还用 表示方差
" # %!"" " & "+
用 表示标准差槡
%!""# " %!""&
正态分布 如果用 表示测量误差 则 服从正态分布
!& ! " # " &
列联表 在许多实际问题中 经常需要考察两种因素之间
"& ! #
的关系 列联表的独立性分析方法是检验所述的两个因素是否独立
&
的有效方法
&
回归直线 当 和 的相关系数 的绝对值 较大
#& ! &2’ &5’ 6 #6#
4 4 25 25
101
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
时 可以用一条直线描述数据 和 的关系 这条直线就是回
! "!# "## !
" "
归直线 用
$
%$&#’(!)*
表示这条回归直线时 其中的 可以用下面的公式进行计算
! *!( $
+
(’ !#!*’#!,(!"$
+!
!
用回归直线进行预测 得到了回归直线后 只要 与 高
$ ! "!# "##
" "
度相关 即只要相关系数 对于新的 就可以用回
! #- #$"#$! !!
!#
归直线上的点 作为 的预测值 事实证明 越接
&#’(!)* # $ $#- !# #
近于 预测就越准确 越接近 预测也越好
%! %! !"! $
复 习 题 八
在对一种新的安眠药进行药效评估时 调查了 名开始使用这种药的人 结
%$ ! !" !
果有 人认为新药比常用药更有效
%& $
能否作出新药比常用药更有效的结论
&%’ (
如果不能作出上述结论 应当采用怎样的试验方案
&!’ ! (
如何安排对照组和试验组
&’’ (
本例中是否应当使用安慰剂
&(’ (
早在 多年前 美国通用电器公司成立了由社会学家和公司人事部成员组成
!$ )" !
的研究组 研究组的任务是考察照明程度对生产灯泡的工人的生产率有何影
$
响 研究中发现 增加照明度后产量增加 但是奇怪的是降低照明度后 产量
$ ! $ !
也增加 原因是
$ &%%’
工人们对研究组的研究工作有了反应
&*’
增加照明度确能提高生产率
&+’
102
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
降低照明度确能提高生产率
!!"
某人的手机收到的短信中有 是广告 已知他今天收到了 条短信 用 表
"! ##$ $ $ $ "
示这 条短信中的广告数 计算
$ ! %
!#"#!"$""&! !!%"#!""""&!!""#!"#""&
!&"#!%$"$’"& !’"%!""& !$"&!""!
设某人的手机在一天中收到的短信数 服从下面的分布
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’ ( # % " & ’ $ ) *
(’ (+(# (+($ (+#$ (+%’ (+%’ (+#) (+() (+(% (+(#
计算 计算
!#" %!""&!!!! !%" &!""!
某人每天打出 次电话的概率 如下
’! ’ ( %
’
’ ( # % " & ’ $ ) *
(’ (+(# (+(% (+() (+#) (+%’ (+%’ (+#$ (+($ (+(#
如果每打一个电话的话费是 元 计算他每天平均花多少钱打电话 方差是
(+" $ $
多少
!
一批产品有 件 其中含有 件次品 从中随机抽取 件 计算
$! #(( $ & $ , ! %
这 件产品都是次品的概率
!#" , &
这 件产品都是正品的概率
!%" , &
这 件产品中有 件正品 件次品的概率
!"" , $ ’" &
这 件产品中平均有多少件正品
!&" , &
这 件产品中平均有多少件次品
!’" , !
在一副标准扑克的 张 去掉两张王牌后 中任取五张 计算概率
)! ’% ! " $ %
五张都是草花 两张草花 三张黑桃
!#" &!!!!!!!!!!%" $ &
两张草花 两张黑桃 一张红桃 五张中有两张红桃
!"" $ $ & !&" !
在一副标准扑克的 张 去掉两张王牌后 中任取八张 计算概率
*! ’% ! " $ %
得到两张 得到三张
!#" %& !%" %&
得到两张 和三张 八张牌是同花顺
!"" % -& !&" !
设 查表计算
,! "!)!($#"$ %
!#"#!"#%+%"& !%"#!*#+*#"$%"!
下表是 年美国佛罗里达州 个地区的人命案中对被告的 个宣
#(! #,)$(#,)) %( "%$
判结果 对是否判死刑和被告是否为黑人进行独立性分析 已知
! !! #! " %"
%+)#"$(+#"
103
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
判刑
死刑 非死刑 合计
被告
白人
!" !#! !$%
黑人
!& !#" !$$
合计
’$ ("% ’($
新兴电脑公司有 名产品推销员 其工作年限与年推销金额数据如下表
!!! ) ! "
推销员编号
! ( ’ # * $ & )
工作年限 年
"# $ ’ ( !% * ) # # )
年推销金额 万元
## $ (( !) "* #% &* #* #% &)
求年推销金额 关于工作年限 的相关系数
#!$ # " %
求年推销金额 关于工作年限 的线性回归方程
#($ # " %
分别估计工作年限为 年和 年时的年推销金额
#’$ & !! !
投掷两枚骰子和两枚硬币 计算骰子的点数和是 两枚硬币正面都朝上的
!(! ! )!
概率
!
个同学来自不同的地方
!’!(% !
计算他们的生日都在 月份的概率
#!$ & %
他们中有 个同学的生日在 月份的概率
#($ * & %
他们中平均有多少个同学的生日在 月份
#’$ & &
对于事件 证明
!#! $!%! "&#$!%$’&#$$&#%"$$!
如果 证明
!*! &#$!%$’&#$$&#%$! "&#$!%#$’&#$$&#%#$!
个人同时向一目标射击 每个人击中目标的概率都是 计算
!$!$ ! %+&! "
目标没被击中的概率 目标被击中 次的概率
#!$ % #($ ’ %
目标平均被击中几次 目标被击中次数的标准差
#’$ % ##$ !
公共汽车一共要停靠 站 在每站停车的概率是 平均需要停车多少次
!&! " ! %+"! &
甲 乙二人进行羽毛球比赛 如果每局甲胜的概率是 计算在他们的
!)! ’ ! %+$! !%
局比赛中 甲期望赢多少局 方差是多少
! & &
在投掷两枚硬币时 如果出现两个正面 甲得 分 否则输 分 用 表
!"! ! ! ! ! %+(* ! (
示他的得分 计算 的概率分布和数学期望
! ( !
104
书书书第 ８ 章
统计与概率
·················································
鱼塘中只有 条鲤鱼和 条草鱼 每条鱼被打捞的可能性相同 捞鱼者一
!"! #"" !"" ! !
天打捞上来 条鱼 计算这 条鱼中平均有多少条鲤鱼 方差是多少
$% ! $% ! !
对一个新产品的科研和开发需要投资 万元 开发成功可以获利 万元
!&! %" ! %""" !
如果开发成功的概率是 计算投资的平均收益和标准差
"’(! !
电视台在公布招聘多名节目主持人后 收到了 份符合条件的申请简历 根
!!! ! ) !
据以往的经验 每个符合条件的人员在面试时能够被录用的概率是 设每
! "’(!
个申请者能否被录用是相互独立的 面试这 个申请者时 计算
! ) ! "
个申请者都被录用的概率 只有 个申请者被录用的概率
#&$) % #!$ & !
一个随机抽取的样本包括 名女士和 名男士 女士中约有 是左利手
!)! &&" *" ! *+ !
男士中约有 是左利手 基于这些数据 你认为在样本所代表的总体中
&&+ ! ! !
左利手与性别有关吗 为什么
& &
在彩色显像中 根据以往的经验 形成染料光学密度 与析出银的光学密度
!$! ! ! " #
之间存在关系式 现对 与 同时作 次观测 获得 对数
"$%,&# ’#’!"$! " # &" ! &"
据如下表 试根据表中数据 求出 与 的估计值
! ! % ’ !
编 号
"" & ! ) $ % ( - # * &"
# "’"% "’"( "’"- "’&" "’&$ "’!" "’!% "’)& "’)# "’$)
" "’&" "’&$ "’!) "’)- "’%* "’-* &’"" &’&! &’&* &’!%
每门高炮击中飞机的概率是 要以 的把握击中飞机 需要几门高炮
!%! "’#! **+ ! &
某跳高运动员跳过 的概率是 不计每次试跳消耗的体能 计算
!(! &’#. ($"’#! ! "
他首次试跳成功的概率 第 次试跳才首次成功的概率
#&$ %"""" #!$ ) %
要以 的概率跳过 至少需要试跳多少次
#)$ **+ &’#.! !
某车间为了规定工时定额 需要确定加个某零件所花费的时间 为此作了次
!-! ! !
实验 得到的数据如下
! "
零件的个数 个
## $ ! ) $ %
加工的时间
"#/$ !’% ) $ $’%
求出 关于 的线性回归方程
#&$ " # %
试预测加工 个零件需要多少时间
#!$ &" &
105
书书书附录1
·····················································
附录
·
标准正态分布表
! !"!!! !"!#! !"!$! !"!%! !"!&! !"!’! !"!(! !"!)! !"!*! !"!+! !
!"! !"’!!! !"’!&! !"’!*! !"’#$! !"’#(! !"’#++ !"’$%+ !"’$)+ !"’%#+ !"’%’+!"!
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$"! !"+))$’ !"+)))* !"+)*%# !"+)**$ !"+)+%$ !"+)+*$ !"+*!%! !"+*!)) !"+*#$& !"+*#(+$"!
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$"$ +*(#! +*(&’ +*()+ +*)#% +*)&’ +*))* +**!+ +**&! +**)! +**++$"$
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$"& +$#*!$ +$$!$& +$$$&! +$$&’# +$$(’( +$$*’) +$%!’% +$%$&& +$%&%# +$%(#%$"&
$"’ +$%)+! +$%+(% +$&#%$ +$&$+) +$&&’) +$&(#& +$&)(( +$&+#’ +$’!(! +$’$!#$"’
$"( +$’%%+ +$’&)% +$’(!& +$’)%# +$’*’’ +$’+)’ +$(!+% +$($!) +$(%#+ +$(&$)$"(
$") +$(’%% +$((%( +$()%( +$(*%% +$(+$* +$)!$! +$)##! +$)#+) +$)$*$ +$)%(’$")
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$"+ +$*#%& +$*#+% +$*$’! +$*%!’ +$*%’+ +$*&## +$*&($ +$*’## +$*’’+ +$*(!’$"+
%"! +$*(’! +$*(+& +$*)%( +$*))) +$**#) +$**’( +$**+% +$*+%! +$*+(’ +$*+++%"!
%"# +%!%$& +%!(&( +%!+’) +%#$(! +%#’’% +%#*%( +%$##$ +%$%)* +%$(%( +%$**(%"#
%"$ +%%#$+ +%%%(% +%%’+! +%%*#! +%&!$& +%&$%! +%&&$+ +%&($% +%&*#! +%&++#%"$
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%"* +&$)(’ +&%!’$ +&%%$) +&%’+% +&%*&* +&&!+& +&&%%# +&&’’* +&&))) +&&+**%"*
%"+ +&’#+! +&’%*’ +&’’)% +&’)’% +&’+$( +&(!+$ +&($’% +&(&!( +&(’’& +&((+(%"+
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&"$ +&*((’ +&*)$% +&*))* +&**%$ +&***$ +&*+%# +&*+)* +’!$$( +’!(’’ +’#!((&"$
&"% +’#&(! +’#*%) +’$#++ +’$’&’ +’$*)( +’%#+% +’%&+) +’%)** +’&!(( +’&%%$&"%
&"& +’&’*) +’&*%# +’’!(’ +’’$** +’’’!$ +’’)!( +’’+!$ +’(!*+ +’($(* +’(&%+&"&
&"’ +’((!$ +’()’+ +’(+!* +’)!’# +’)#*) +’)%#* +’)&&$ +’)’(# +’)()’ +’))*&&"’
&"( +’)*** +’)+*) +’*!*# +’*#)$ +’*$’* +’*%&! +’*&#+ +’*&+& +’*’(( +’*(%&&"(
&") +’*(++ +’*)(# +’**$# +’**)) +’*+%# +’*+*% +(!%$! +(!)*+ +(#$%’ +(#((#&")
&"* +($!() +($&’% +($*$$ +(%#)% +(%’!* +(%*$) +(&#%# +(&&$! +(&(+( +(&+’*&"*
&"+ +(’$!* +(’&&( +(’()% +(’**+ +((!+& +(($*+ +((&)’ +(((’$ +((*$# +((+*#&"+
表示 依次类推
" !+$!!+)" !++!!+)"# ,
106
书书书附录2
·····················································
附录
!
数学词汇中英文对照表
按词汇所在页码的先后排序
! "
中文名 英 文 名 页 码
! ! ! !
排列
! !"#$%&’&()* +,
阶乘
-’.&)#(’/ +,
组合
.)$0(*’&()* +1
德 摩尔根
# 2"3)#4’* 56
试验组
"7!"#($"*&’/4#)%! 89
对照组
.)*&#)/4#)%! 89
费歇尔
:(;<"# 86
萨凯
=’/> 8?
样本点
;’$!/")%&.)$" 81
样本空间
;’$!/";!’." 81
独立
(*@"!"*@"*& 99
随机变量
#’*@)$A’#(’0/" 6B
离散型随机变量
@(;.#"&"#’*@)$A’#(’0/" 6+
伯努利
C"#*)%//( 65
二项式
0(*)$(’/ 68
数学期望
$’&<"$’&(.’/"7!".&’&()* ?B
均值
$"’* ?B
方差
A’#(’*." ?5
标准差
;&’*@’#@@"A(’&()* ?5
伽利略
D’/(/") ??
高斯
D’%;; ??
正态分布
*)#$’/@(;&#(0%&()* EB
标准正态分布
;&’*@’#@(F"@*)#$’/@(;&#(0%&()* EB
107
书书书附录2
·····················································
中文名 英 文 名 页 码
! ! ! !
皮尔逊
! !!"#$%&’( )*
线性回归模型
+,(#$%%#-%#&&,’(.’/#+ 01
108
书书书