文档内容
经全国中小学教材审定委员会 2004 年初审通过
普通高中课程标准实验教科书
数数数 学学学
选
修
几
何
证
明
选
讲
湖
南
教
ISBN 978-7-5355-4202-1
育
出
版
社 湖南教育出版社
9787535542021>
定价：5.60元
－
普
通
高
中
课
程
标
准
实
验
教
科
书
数
学
4
1普通高中课程标准实验教科书
数 学
选修 4-1
几 何 证 明 选 讲
湖 南 教 育 出 版 社主 编 张景中 黄楚芳
!! ! !
执行主编 李尚志
!
本册主编 张景中
!
编 委 于 劭 朱华伟 郑志明
!! ! ! ! !
普通高中课程标准实验教科书
数 学
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选修
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几何证明选讲
责任编辑 胡 旺
! !
湖南教育出版社出版发行 长沙市韶山北路 号
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湖南出版中心重印
重庆市新华书店经销
湖南天闻新华印务邵阳有限公司印刷
开 印张 插页 页 字数
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年 月第 版 年 月第 次印刷
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定 价 元
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批准文号 渝发改价格 号 举报电话
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书书书前 言
学一点几何证明
如果我们把数学比作金碧辉煌的宫殿或万紫千红的花园 几何就
!! !
是这宫殿或花园门前的五彩缤纷的花坛和晶莹夺目的喷泉 它以最直
!
接的方式展示出数学的丰富多彩 吸引人们来欣赏数学和了解数学
! !
几何有悠久的历史 在历史上 数学科学首先作为几何学而出
! !
现 早在 多年前 几何已经成为一门结构严谨而自成体系的科
! !"## !
学 在漫长的发展历史中 许多杰出的数学家在几何领域辛勤耕耘
! ! !
留下了丰富的宝藏
!
几何是数学花园中最美丽的部分 它既有令人赏心悦目的优美的
!
图形 又能提供由浅入深的众多的有趣问题让你思考探索 它把数学
! !
的直观和抽象的逻辑推理紧密地联系起来 论证严谨而优雅 命题精
! !
致而美丽 入门不难 魅力无限
! ! !
和数学的其他部分一样 几何最初来自于人类的生活实践 最古
! !
老的几何问题 也是最有实用价值的几何问题 是土地的测量和计
! !
算 和吃饭问题紧密相关 吃饭问题初步解决了 就像建筑好的住
! ! !
房 缝制像样的衣服 制造器皿家具 这就需要画更精确的图样 几
! ! ! !
何作图问题自然提了出来 计算和作图都要有个道理 讲清楚道理就
! !
是证明 古希腊人研究几何最讲究证明 中国古代的几何则讲究计
! !
算 把作图和推理都归结于计算 叫作寓理于算
! ! !
所谓证明 就是要由因求果 弄清楚道理 讲道理要有些规矩
! ! ! !
正是在讨论研究大量几何问题过程中 人类认识到了讲道理的规矩
! !
即逻辑思维的一些基本规律
!
学习几何 其意义主要不在于具体的计算公式和定理 而在于提
! !
高认识事物 探索规律和表达思想的能力 几何思维 是人类理性活
" ! !
动发展过程中不能省略的阶段 在几何证明的过程中 可以生动地体
! !
验到 如何从纷杂的事物中找出关键的线索 如何在变化的数量中发
! !
1
书书书前 言
现不变的关系 如何从平常的事实推导出令人惊叹的结论 如何从直
! !
观的形象提炼出抽象的规律 如何把基本的概念发展成有力的方法
! !
在历史上 许多著名的科学家 如牛顿和爱因斯坦 通过学习几何锻
! ! !
炼了研究和表述的能力 为取得重大科学成就创造了有利的条件
! !
公元前约 年 欧几里得写出了流传千古的 几何原本 把
!"" ! " #!
当时人类所掌握的几何知识熔于一炉 铸成一个空前严整的科学体
!
系 在 几何原本 中 欧几里得从少数显而易见的基本规则出发
! " # ! !
用毋容置疑的演绎推理方法 一步一步地推导出数百条几何定理 这
! !
在人类的科学思想发展历史上 实为一大创举 几何证明的思想和方
! !
法 对人类的科学和文化产生了难以估量的影响
! !
几何是数学思想的摇篮 现代数学中许多重要的概念 方法和思
! $
想 或者来自于几何事实的启发 或者发源于几何问题的探索 许多
! ! !
不同数学领域的概念 能在几何中找到它的原型 在数学史上 由于
! ! !
对某些几何问题的执着的研究 导致了新的数学观念的诞生和新的数
!
学领域的出现 几何是数学的童年 是数学的故乡 熟悉几何 能更
! ! ! !
好地了解其他数学 学好几何 有助于掌握更多的数学
! ! !
几何研究的直接对象是空间形式 世界万物的运动变化都在一定
!
的空间中发生 光的传播路线 电磁感应的规律 物质的结晶形式
! ! ! !
生物分子的双螺旋结构 都和几何有不解之缘 在学习几何中得到加
! !
强的空间想象能力 对于进一步学习其他科学知识大有帮助
! !
如果多浏览一些资料 就会知道几何和人文学科并非无关 几何
! !
与艺术 几何与语言 几何与哲学 几何与政治 上网查一查 找书
! ! ! ! !
读一读 大家议一议 必能眼界大开 必有丰富收获
! ! ! !
现代信息技术的发展 给几何提供了新的用武之地 在计算机科
! !
学技术领域 许多与几何有关的问题有待研究解决 信息技术的发
! !
展 又使几何变得更有趣 也更容易学习了 使用计算机能作出动态
! ! !
的几何图形 随着图形的变动和测量数据的变化 已构建的几何关系
! !
变得极为直观 能够更容易地揭示出蕴藏在特殊图形背后的一般规
!
律 在这由现代技术提供的平台上 你可以检验自己提出的几何猜
! !
想 随心所欲地设计图案和几何变换 使几何的魅力充分地呈现
! !
2
书书书前 言
出来
!
在初中数学课程中 已经学了不少几何知识 在这个专题课程
! !
中 将要温故知新 在整理已学过的知识的基础上 探讨更丰富的几
! ! !
何现象 体验更犀利的思考方法 学习更严谨的表达方式 接触更深
! ! !
刻的数学思想
!
让我们开始吧 祝同学们学得愉快 学习成功
! ! "
作 者
!
年 月
!""# $ !!
3
书书书目 录
第１章 几何证明选讲
１
数学实验 直线交点的奥秘 ２
1郾1 几个基本定理 ４
习题 １ ７
1郾2 相似三角形 ８
习题 ２ １２
1郾3 圆的切线 １２
习题 ３ １６
1郾4 圆周角定理 １６
习题 ４ ２０
1郾5 圆幂定理 ２１
习题 ５ ２４
数学文化 欧几里得 《几何原本》 ２５
第２章 平面和圆柱面的截线
３１
2郾1 平行投影 ３２
习题 ６ ３５
2郾2 平面和圆柱面的截线 ３６
2.3 圆柱面的截面的焦球 ４０
2.4 圆锥曲线的统一定义 ４５
数学文化 绘画和透视 ５０
第３章 平面和圆锥面的截线
５６
3.1 圆锥面和圆锥曲线 ５７
3.2 圆锥截面的焦球 ６３
3.3 圆锥面截线的准线和离心率 ６６
3.4 圆锥面的双曲线截线的探索 ７０
数学文化 从艺术中诞生的科学： 射影几何 ７２
1目 录
课程总结报告参考题
７９
附录 数学词汇中英文对照表
８０
2１
第 章
几何证明选讲
随着几何美妙结构和精美推理的发展
!
数学变成了一门艺术
!
世纪最富独创性的数学成果 来自
!" !
受绘画艺术的激发而产生的灵感 在这一世
!
纪中 科学为数学研究提供了主要的动力
! !
画家们在发展聚焦透视体系的过程中 引入
!
了新的几何思想 而且提出了一系列导致这
!
一研究进入全新方向的问题
!
书书书几何证明选讲
数学实验
!!!!
直线交点的奥秘
实验 任作直线 在 上任取一点 再作直线 在
!! !"! !" #" $%!
上任取一点 继续作出直线 与 的交点 与 的
$% &" "& #% ’!!& #$
交点 与 的交点 如图
(!!% "$ )* !#!*
观察并判断 三点之间有什么关系
$)!(!’ %
实验 从一点 出发作三条射线 在 上任取
"! + +!!+"!+#! +!
一点 在 上任取一点 在 上任取一点 再作直线
$! +" %! +# &* !"
与 的交点 与 的交点 与 的交点 如图
$% ’!!# $& (!"# %& )* !#"*
观察并判断 三点之间有什么关系
$)!(!’ %
随便画几条直线 其中能有什么规律吗
! %
图 图
!!!!!!!!!!!!! !!"
若有条件 最好在计算机屏幕上用具有动态几何作图功能的软件
!
来进行试验 例如使用 超级画板 这样你可以拖动
& ’#$# (! !!"!
诸点 观察发现三个交点在变化中依然保持的关系
#!$!%!& ! *
上面两个实验是定性实验 下面做一个定量的实验 做定量的实
! *
验 用计算机的好处就更明显了
! *
实验 作任意四边形 直线 交于
#! !"#,! !,!"# -!!"!#,
交于 交于 交于 交于 如
.!!#!-. /!",!-. 0!!#!", 1*
图
!#%*
2
书书书第1章 几何证明选讲
测量线段
!""#""!$"#$"
%&"’&"%""’""(&")&"
的长度并计算出比值
!"
($")$ "
#"
拖 动
!$ %& %" (& ($
" " " " " 图
#$ ’& ’" )& )$ !!"
观察这些比值的变化 你发现了什么
("’")"%" " #
如果没有计算机 可以只测量前 条线段及计算前两个比值
$ " # *%
在前两个实验中 会看到 三点总在一直线上 即三点
" +","- "
共线 在实验 中 会发现 个比值两两相等
* " " $ *
为什么随便画几条直线 就有如此看似巧合的有趣现象呢
" #
古代的数学家 是怎样发现这些规律的呢
" #
用我们所学的这一点数学知识 能说明这些规律吗
" #
从实验中看到 仅仅由一些直线和它们的交点构成的几何图形
" "
其中也蕴藏着始料不及的奥秘
*
最初对这类直线图形的奥秘感兴趣的不是数学家 而是
" !%!!$
世纪的艺术家 为了把立体的景物逼真地描绘到平面上 他们努力研
* "
究透视 的数学原理 并且提出了一系列的数学问题
$&’()&’*+,-’% " *
到 世纪 自学成才的大数学家 建筑师吉拉德 笛沙格
!. " & ! $/,(0(1
对透视的数学原理做了深入的研究 创立
2’)0(34’)"!%5!!!$$!%" "
了一门源于艺术的科学 射影几何 学
!!! " # $&(67’*+,-’3’68’+(9%"
射影几何被认为是最美的数学分支之一
*
古人在 多年间
在本专题中 我们将有机会欣赏与射影几何有关的一些漂亮的结 !! !""
" 辛辛苦苦地开发出的科
果 更有趣的是 我们将会发现 由于数学思想的发展 只要在小学 学宝藏 我们经过几个
* " " " !
小时的努力 就能欣赏
所学的几何知识的基础上稍稍前进一小步 就能揭开上述几个实验中 !
" 享用了
!
的奥秘 就能证明射影几何中一些著名的基本定理
" *
3
书书书
书书书几何证明选讲
１．１ 几个基本定理
!!!!
让我们从一个很简单的问题开始
几何的最大魅力 !
１１ !
就在于它往往从平凡简 在 的 边上取一点 连线段 已知
""#$ "# %! $%! "%&!#%!
单的事实出发 经过几
! 又知道 的面积是 能求出 的面积吗 图
步无可置疑的推导 得 "#%$ "#$!! ""%$ " "#%$%
!
出意想不到的有趣的
结果
!
图
"#%
答案是 因为
"!!$$!! &
等高三角形的面积的比等于底之比 图
" "#&$!
图
"#&
图 中当 两点重合 两点也重合时 得到
一个几何定理的简
"#& "!’ !(!$ ! &
!!
单特例常常是更为有用 命题 若点 在直线 上 点 是直线 外任一点
的 让图中不同的点重 !"!! % "# ! $ "# !
!
合是得到特例的常用的
则 见图
方法之一 ) ""%$ & "% !" "#%!$
! ) ""#$ "#
若让 两点重合 两点也重合时 得到
#!( !*!$ ! &
这里用到平行线的
!! 命题 若 则 反之 若
基本性质之一
!
两平行 !"#! "’##$! )
""#$
&)
"’#$
! ! )
""#$
&
线的所有公垂线段相
并且 在直线 同侧 则
等 反过来也成立 ) "’#$ "!’ #$ ! "’##$!
! !
作为练习 请画出命题 的图并说出它成立的道理
! "’! !
4
书书书
书书书
书书书
书书书第1章 几何证明选讲
命题 平行截割定理 两直线分别与 条平行线顺次交于
!"#! ! " !
点 和 则
!" $%
!#"## $#%#&# ’ (
"# %&
分析 线段比可以转化为面积比 而面
! # 想一想 如果多几
积可以通过平行关系过渡 !! !
条平行线 结论如何
( !
表述
证明 如 图 连 "
! "$## !%%"$%"&% 如果 两点重
!!"
则
合 如何证明
#%# ! "
!" ) "!"% ) "$"% $% 图
!! ’ ’ ’ (
"# ) ) %& "$#
""#% ""&%
证毕
(
你能说明上面推导中 步等式成立的理由吗
! &
在图 中 把线段 延长或缩短一点 得到一个新的事实
刚才两点变一点
"$$ # #* # ’ !! !
命题 共边定理 若直线 交于点 则 得到有用的特例
!"$! ! " +,#!" -# 现在一点变 ! 两点
!
发现有力的推广
+- ) "+!" !
!! ’ (
,- )
",!"
分析 想象线段 沿所在直
! !"
线滑动 和 的面积
#"+!" ",!"
不变 把 滑到点 处 问题就解
# ! - #
决了
(
证明 如图 在直线 上
! "$$# !"
取点 使 则有
. -.’!"# ’
图
"$$
+- ) "+-. ) "+!"
!! ’ ’ (
,- ) )
",-. ",!"
证毕
(
要不想作辅助点 可以这样证明
.# ’
!!
+-
’
) "+-"
’
) "+-"( ) "+!"( ) ",!"
!!
共边定理还可以用
,- ) ) ) ) 等比定理证明 请你
",-" "+!" ",!" ",-"
!
思考
’ -" ( ) "+!"( !" ’ ) "+!" ( !
!" ) -" )
",!" ",!"
证毕
(
这个定理中的两个三角形有公共边 叫作一对共边三角形
!"# #
共边定理由此得名
(
5
书书书
书书书
书书书
书书书几何证明选讲
命题 共角定理 若 与 相等或互补 则
!"#! ! " "!"# "$%& #
’
#!"#
!"$"#
( )
’ $%$%&
#$%&
分析 让点 重合 把相等或互补的角放到一起 如图
! "#% # # !%"#
就看出来了
)
图
在几何图形中 有 !%"
!! ! 证明 连接 则下面的推导适合图 两种情形
公共边的三角形很多 ! ! !&# ! "!#"&!$" ’
相等的或互补的角也很
多 所以共边定理和共 ’ #!"# ( ’ #!"#$ ’ #!"& ( "# $ !" ( !"$"# #
! ’ ’ ’ %& $% $%$%&
角定理有很多的用处 #$%& #!"& #$%&
! 证毕
)
上述定理中涉及两个相等或互补的角 共角定理因而得名
# )
命题 射影定理 设 是 斜边 上的高
!"$! ! " #* %&#!"# !" #
则有
’
!!"#*’(!*$"*(!’"!#’(!*$!"(!(""#’("*$!")
证明 如图 根据 直角三角
! !%)# )
形两锐角互为余角 可得
*#
又
"!(""#*#""("!#*#
有 运用共
"!#"("!*#(""*##
角定理
图
’
!%)
由 和 得
!!" "#!*(""#* "!#*("#"*
!#$#*
(
’
##!* (
!#$!*
#
"#$"* ’ "#$#*
#"#*
两端约简得到
’
即
#* !*
( # #*’(!*$"*)
"* #*
暂停一下 想想另外两个等式的推导的思路
# )
即使是依样画葫芦 也该知道从何处下笔
# )
6
书书书
书书书第1章 几何证明选讲
对一对三角形使用两次共角定理 得到的等式中本来有 条线段
! ! ! 从一点 向直线
!! !
为什么能约去 条呢 这是因为所用的两个角必有一条公共边 这个 或平面上引垂线 垂足
" " ! !
叫作 在该直线或平
公共边同在等式两端的分子或分母上出现 一定会约去
!
! ! 面上的射影
"
所以 在三角形中选取两个角使用共角定理 应当考虑到两角的 线段上的点的射影
! !
的集合 叫作线段的
公共边是我们不感兴趣的线段 它将被约去 !
! ! 射影
"
回顾 的证明 由于 在要证的等式中不出现 一般地 点集合中
"##$%##&# ! %" ! !
的点的射影的集合 叫
所以不用 中 的对角 用另外两角 !
!"%# %" ! ! 作该点集合的射影
"
同样理由 为证明第 个等式 不用 中 边的对角 所以 这里证明的
! # ! !%&" &" $ !
关于直角三角形的射影
证明第 个等式 不用 中 边的对角 下面继续证明
$ ! !%&" %" ! % 定理 可以叙述为
! "
由 和 得 直角三角形中
&#’ "%&"$"%"# "%"&$"%#"! !" !
两直角边在斜边上的射
%&#&"
$
’
!%&" $
%"#&"
!
影的乘积
!
等于斜边上
%"#"# ’ %##"# 的高的平方
!%"#
"
直角三角形中
两端约简得到 即
%& %" "" !
# $ ! %"#$%##%&! 一直角边的平方 等于
%" %# !
该边在斜边上的射影与
由 和 得
&$’ "&%"$"&"# "%"&$"&#"! 斜边的乘积
!
你看 用文字叙述
& % " & # # " % # " $ ’ ’ !%&" $ & % # "# #" &" # ! 多口罗唆 ! 用图形和符
!&"# !
号多简单明了
两端约简得到 即 "
%& &"
# $ ! &"#$&##%&!
&" &#
证毕
!
习题
#!
用射影定理推出勾股定理
%! !
用共角定理证明 若 是 中
#! % %# !%&"
的平分线 如图 则有
%&
"&%" & %(%&’! $
%"
&#
!
#"
用共角定理证 明 在 中 若 图
$! % !%&" ! ### %(%&
则
"%&"$"%"&! %&$%"!
7
书书书
书书书
书书书几何证明选讲
１．２ 相似三角形
!!!!
在初中数学中 我们学过相似三角形的概念
当相似比为 时
!! ! ! ! "
相似三角形就成了全等
定义 对应角相等 对应边成比例的三角形 叫作相似三角形
三角形 ! ! ! !
! 与 相似 记作 相似三角形对应边的
""#$ "%&’ ! ""#$#"%&’!
比叫作相似比
!
判定两个三角形相似的条件 常用的有三条
! "
相似三角形判定定理 有两对对应角相等的两个三角形相似
注意 当我们说
!! ! ! # $
与 相 若在 和 中有 则
" 似 !" 或 # 写出 "$%& ""#$ "%&’ $"($%!$#($&! ""#$#
! "!"##
时 就同时约
"$%& ! "%&’!
定了两个三角形的顶点 相似三角形判定定理 有两边成比例且对应夹角相等的两个三
之间的对应关系 与 " #
"! 角形相似
对应 与 对应
$
$ !" % !
与 对应 三顶点对
# & ’ 若在 和 中有 则
应好了 边与边 角与 ""#$ "%&’ $"($%! "# ( "$ ! ""#$#
! #
%& %’
角的对应关系也就确
定了 "%&’!
’
相似三角形判定定理 三边对应成比例的两个三角形相似
# # $
若在 和 中有 则
"# "$ #$
""#$ "%&’ ( ( ! ""#$#"%&’!
%& %’ &’
但是 在中学里没有给出这些判定定理的证明 在欧几里得的几
! !
想 一 想 如 果
! ! ! 何原本或过去某些教材中 证起来还有点费事 用了共角定理 证明
并且 ! ! !
!$
"!""#! " 它们就方便了
$%
!
和
#& !#!$% ##&’ 相似三角形判定定理 的证明 设在 和 中有
&’ ! ! ""#$ "%&’
一定相似吗
" 由于三角形内角和为 可见
$"($%!$#($&! !"#$! $$($’!
对 和 的各个角三次使用共角定理得到
""#$ "%&’ "
)
""#$
"#%"$
!!!!!! (
) %&%%’
"%&’
"#%#$
(
%&%&’
"$%#$
( !
%’%&’
8
书书书
书书书
书书书
书书书第1章 几何证明选讲
将所得的等式分别约简 得到 !" &" 和 !& !" 这证明了 这三个判定定理
! % % ! !!
#$ ’$ #’ #$ 中 最为常用的是定理
!
用它很容易证明直
!!&""!#’$( !!
角三角形的射影定理和
平行截割定理
!
把两个三角形搬到
一起来 在证明共角定
!
理时就用了这个办法
!
图
!"!!
下面 我们用规范清晰的形式写出相似三角形判定定理 的
! "
证明
#
已知
$!%#!%## $ %&
已知
!& !"
$"% % $ %&
#’ #$
边上取点 边上取点 使 图
$#%!& )!!" *! !)%#’!!*%#$$
!"!!%&
边角边公理
$$%!#’$$!!)* $$!%’$#%! %&
共高定理
$%% + !!)" % !) % #’ % #$ % !* % + !!*& %$$"%’$#%! %&
+ !& !& !" !" +
!!&" !!&"
由 两端同减去
$&%+ %+ $ $%%!+ %+ !
!&)* !")* !!)" !!*&
+ %&
!!)*
基本定理
$’%&"&)* $$&%! %&
平行线的同位角相等
$(%#!)*%#!&"$$’%! %&
相似三角形判定定理
$)%!!&""!!)*$$(%!#!%#!! !%&
$!*%!!&""!#’$$$)%’$$%%(
证毕
(
相似三角形判定定理 的证明就简单了 下面也用规范的形式
# (
写出
# 当几何解题的头绪
!!
和步骤较多时 应当采
已知
!& &" !" !
$!% % % $ %& 取这样分步编号的形式
#’ ’$ #$
来叙述
边上取点 边上取点 使
!
$"%!& )!!" *! !)%#’!!*%#$
9
书书书
书书书
书书书几何证明选讲
图
! !"!!#$
!" !" !’ !’
!"# $ $ $ !!!#%!###$
!# %& %( !)
相似三角形判定定理
!$#!!"’"!!#)#!!"#%$!$$!& ##$
和
"’ !" !" "’
!%# $ $ $ #!!$#%!## !!##$
#) !# %& &(
!&##)$&( !%#$
边边边公理
!’#!%&(%!!#)!!&#%!##& #$
!(#!!"’"!%&(!!’#%!$##*
证毕
*
例 用相似三角形知识证明平行截割定理 如图 两直线
!# ! # !"!#&
分别与 条平行线顺次交于点 和 求证
!" %&
" !&"&’ %&&&(& ’ $ *
"’ &(
证明
看起来一目了然
!! ! 作 交直线 于
一步一步说清楚却颇费
!!# ")&%&& ’(
口舌
交直线 于
!
把证明写清楚的基 )& !% #*
平行线内
本功要有 多数情形下
! !##$#!"$$)’" !
不必如此详细 只要写
错角相等
!
的人和看的人都明白 #$
就行 对顶角相等 图
!
!"#$#"!$$)"’! #$ !"!#
相似三角形判定定理
!$#!!"#"!’") !!##%!"#& !#$
相似三角形性质
!" "#
!%# $ !!$#& #$
"’ ")
已知
!&#!%&"& ! #$
四边形 是平行四边形 平行四边形定义
!’# #"&% !!&#%!!#& #$
四边形 是平行四边形 平行四边形定义
!(# ")(& !!!#& #$
平行四边形对边相等
!)#"#$%& !!’#& #$
平行四边形对边相等
!!*#")$&( !!(#& #$
等量代换
!" %&
!!!# $ !!%#%!)#%!!*#& #+
"’ &(
证毕
*
上述证明 如果要简单表述 可以这样写
& & ’
作 交 于 交 于
!!# "#&%&& !% #& ’( )$
10
书书书
书书书第1章 几何证明选讲
平行线性质
!!"!!"#$!%&##!#!"$!#%& ! "$ 证明的关键之处不
!!
相似三角形判定定理 可省略
!""""#!#"&#% !!!"# #"$ !
作出 两点
"!#
"# #! 相似三角形性质 是关键 应用相似三角
!$" $ !!""# "$ !
#& #% 形判定定理是关键 不
!
四边形 四边形 是平
可省略
!%"#!$’(##%$() ! #%)(% !#(’ !
省略之处 一旦被
行四边形
!
"$ 人提出询问 应能回答
!
补充 指出细节 直到
等量代换
"# ’( ! !
!&" $ !!$"%!%"# "* 已知条件 否则 就不
#& () ! !
证毕 叫省略 而是模糊不
!
* 清了
想一想 为什么有些步骤可以从简 有些不可省略 !
# # &
例 用相似三角形知识证明直角
! ! !! 想一想 ! 如何给出
三角形的射影定理 设 是 相似四边形的合理的定
" &+ ’(""#& 义 如何判定两个四边
斜边 上的高 求证 "
"# # ( 形的相似 "
!#"&+!$"+)#+$
!!""&!$"+)"#$
图
!""#&!$#+)"#* $ #’#"
证明
$ !#"
已知
#)$!#&"$!#+&$!"+&$*+)! "$
两角都是 的余角
!)$!+#&$!+&" !!#"# !" "$
相似三角形判定定理
")$"+#&#"+&" !!#"%!!"# #"$
相似三角形性质
&+ #+
$)$ $ !!""# "$
"+ &+
的变形
%)$&+!$"+)#+ !!$" "*
证毕
*
作为练习 请写出 两问的证明 其中 的证明详细写
# !!"%!"" * !!"
出 的证明简略地写出即可
#!"" *
相似三角形对应边上的高 中线和角平分线分别叫作对应高 对
% %
应中线和对应角平分线 一般地 把对应边也算在内 称它们为对应
* # #
线段 我们有
*
相似三角形基本性质 相似三角形的对应线段之比 等于相似
$ #
比 相似三角形面积之比 等于相似比的平方
* # *
11
书书书
书书书
书书书几何证明选讲
作为练习 请写出上述性质的证明
! !
习题
!!
如图 两线段 交于 若
解几何问题要先画 !! !"!"! "##$% &! "&$#&’$&$
!! 求证
出比较准确的图形 %&! %""%&’"$#&!
!
使用动态几何作图 在 中 是 的平
#! #"#$ !"#’"$!""’$%&!#% ""#$
软件在计算机屏幕上画
分线
出可以拖动变化的图 !
形 更便于发现规律 求证
! ! %&!’#"#$$##$%( 图
找到方法 !"!"
! 槡
#$ ’(!
&#’ ’ !
"# #
在 的 边上取一点 连接 如果得到的 个三角形两两相似
$! #"#$ #$ &! "&! $ !
和点 的位置要满足什么条件
#"#$ & )
如图 的高 交于 内一点 求证
"! !"!’!#"#$ "%!#( #"#$ )! %#"#)$
#(%)!
图 图
!"!’!!!!!!!!!!! !"!%!!
如图 是 的高 点 在 之间 在线段 上任取一点
’! !"!%!"% #"#$ ! % #!$ ! "% &!
作直线 交 于 作直线 交 于 求证
#& "$ )! $& "# *! %")%"’"*%"!
１．３ 圆的切线
!!!!
以点 为圆心 作半径为 的圆 再作一条直线 自点 向直
+ ! ,&,%)’ ( -! +
线 作垂线 垂足为 记 叫作点 到直线 的距离
- ! %! .’+%! + - !
让圆心和直线的距离 由大变小 有三种情形 图
. ! & !"!*’%
12
书书书
书书书第1章 几何证明选讲
火车的钢轮在铁轨
!!
上 铁轨好比是钢轮的
!
切线
!
皮带轮和上面拉直
了的一段皮带 也像是
!
圆和它的切线
!
做圆周运动的质
点 它的速度的方向和
!
图 所在位置的圆的切线一
!!!"
致 如果失去了向心
在圆外 即 的情形 这时在直线 上任取一点
!
"!#! $ "!# $ % &$ 力 它将随惯性沿该处
!
总有 所以 在圆外 我们说直线 与 相离
的切线方向飞出去
’&""!#$ & $ % #’ $ !
在圆上 即 的情形 这时在直线 上任取不同于
"##! $ "(# $ % !
的点 总有 可见直线 和 只有一个公共点 而
&$ ’&!"(#$ % #’ !$
直线 上的其他点都在圆外 我们称直线 与 相切 称直线 是
% $ % #’ $ %
的一条切线 点 叫作直线 与 的切点
#’ $ ! % #’ $
在圆内 即 的情形 这时在直线 上有两点 第三种情形 这里
"$#! $ "$# $ % )$* !! !
只是描述而没有证明
满足条件 而 是线段 的中点 线段 上的点 !
’)(’*(#$ ! )* $ )* $ 你可以试着证明它
!
除 之外都在 的内部 而直线 上在线段 之外的点 都
)$* #’ % % )* $
在 的外部 可见直线 和 有两个也只有两个公共点 我们称
#’ $ % #’ $
直线 与 相交 直线 是 的一条割线 点 叫作直线
% #’ $ % #’ $ )$* %
与 的交点
#’ $
概括起来 简述如下
$ &
设 的半径为 点 到直线 的距离为 则
#’ #$ ’ % "$
直线 与 相离
"!# % #’ %"!#%
直线 与 相切
"## % #’ %"(#%
直线 与 相交
"$# % #’ %"$#$
以上三条中 最重要的是 它可以更明确地表述为
$ "##$ &
命题 切线特征定理 直线 是 的切线的充要条件是
!"#& " # % #’ $
它经过 上一点 并且和过点 的半径 垂直
#’ ! ! ’! $
切线特征定理包括了两个方面 圆的切线垂直于过切点的半
&"!#
径 这叫作切线性质定理 经过半径外端并且垂直于这条半径的
$ %"##
直线是圆的切线 这叫作切线的判定定理
$ $
13
书书书
书书书
书书书几何证明选讲
因为过一个点只有一条直线垂直于已知直线 所以过圆心垂直于
!
切线的直线一定过切点 过切点垂直于切线的直线一定过圆心 这是
! !
切线特征定理的两个推论
!
直角三角形是半个
!! 如图 设 为 外一点 如果 是 的切线 是
矩形 斜边是矩形的对 !"!"! " !# ! "$ !# !$
!
角线 矩形的两条对角 切点 则 是以 为斜边的直角三角形 设 是 中点
! ! ""#$ "# ! % "# !
线相等并且互相平分
! 则 可见点 在以 为直径的圆上
所以直角三角形的三个 $%&"%&#%! $ "# !
顶点到斜边的中点的距 这样 只要以 为圆心 为半
! % #%#
离相等
! 径作圆 和 交于两点 则
!!# !% $!’$
都是 的切线 为切
"$!"’ !# !$!’
点
!
由此可见 从圆外一点可以引圆的两
!
条切线 也只能引两条切线 图
! !
!"!"
从点 到切点 或 的距离 也就是线段 的长度 叫
" $ ’ ! "$!"’ !
作点 到 的切线长 由勾股定理得到
" !# ! %
槡 槡
"$& "##(#$#& "##(#’#&"’!
此外 由 可知点 到 的两边等距 可见 是
! #$&#’ # #$"’ ! "#
的角平分线 所以得到了
#$"’ ! %
命题 切线长定理 从圆外一点作圆的两条切线 其切线
注意 !"#$ & ’ !
!! !"!"## 长相等 该点到圆心的连线 平分这两条切线的夹角
"$"#% $ ! !
利用全等三角形
" 记点 到圆心 的距离 圆半径为 则切线长的平方
也能证明切线长定理 " # #"&)! *!
% 为 这个量叫作点 关于圆的幂 点 在圆内时 切线没有
但是 用 勾 股 定
" )#(*#! " ! " !
理 不仅证明了这个定
了意义 但这个量依然存在 点 关于圆的幂为正 为负或为 对
"
理 还 计 算 出 了 切 ! ! " # $!
"
应于 在圆外 圆内或圆上的三种情形
线长
% " # !
在空间 到定点 距离为定长 的所有点组成的集合 叫作以
! # * ! #
为球心 以 为半径的球面或球 记作 简称球
球心和不通过它的 ! * ! +&#!*’! #!
!!
一 条 直 线 确 定 一 个 连接球心到球面上一点的线段叫作该球的一条半径
!
平面
设点 到球心的距离为 当 时 在球外 时
!
在这个平面上考虑 " )! )%* !" $)&* !"
问题 立体几何的问题 在球内 时 在球面上
! $)&* !" !
就变成了平面几何的
想一想 一条直线和一个球面至多有几个公共点
问题 ! (
!
和球面有一个并且只有一个公共点的直线 叫作该球的一条切
!
14
书书书
书书书
书书书
书书书第1章 几何证明选讲
线 图 画出了从球外一
! !!!"
点 到球 的几条切线
" # !
作为练习 比照有关圆的
"
切线的推理 请给出球的切点
"
和球外一点到球的切线长的定
义 并证明下列有关球的切线
"
图
的定理 !!!"
#
命题 球的切线特征定理 直线 是球 的切线的充要条
!"#! $ % $ #
件是 它经过球 上点 并且和过点 的球半径 垂直
" # % % #% !
命题 球的切线长定理 从球外一点作球的若干条切线
!"!$! $ % "
其切线长相等 该点到球心的连线和每条切线的夹角相等
& !
和球面有一个并且只有一个公共点的平面 叫作该球的一个切平
"
面 这个公共点叫作该球和该平面的切点
! !
比照有关圆的切线的推理 容易证明
" #
命题 球的切平面特征定理 平面 是球 的切平面的
!"!!! $ % ! #
充要条件是 它经过球 上一点 并且和过点 的球半径 垂直
" # % % #% !
那么 球的切线和切平面之间有什么关系呢
" ’
如图 平面 是球
!!#$" ! #
的一张切平面 切点为 于 想一想 圆的切线
" &" !
和
!
球的切线
!
有哪些相同
是
的性质 有哪些不同的
#&"!! !
根据立体几何中学过的知 性质
"
识 平面 内的每条直线都垂
" !
直于 特别是 平面 内 图
#&! " ! !!#$
的每条通过点 的直线都垂直于 因而这样的直线都是球 的
& #&" #
切线
!
反过来 若 是球 的过点 的切线 则有 于是
" &" # & " #&"&"" "
在过点 且垂直于 的平面内 即在切平面 内 综上得到
&" & #& " ! ! #
命题 球的切线和切平面之间的关系 球的切平面内的
!"!%! $ %
每一条过切点 的直线 都是球的切线 反过来 球的每一条过点
& " & "
的切线 都在与球相切于点 的切平面内
& " & !
15
书书书
书书书几何证明选讲
习题
!!
如图 三角形 的内切圆和三边 分别切于点
!! !!"!" "#$ #$""$""# %"&"’"
若已知 求 和
#$()""$(*""#(+" #%"$& "’!
图 图
!!"! !!""
如图 若 是圆外切四边形 求证
"! !!""" "#$, " #"#-$,(#$-",!
１．４ 圆周角定理
!!!!
有些几何定理证明起来并不难 关键是发现它
这就是从特殊到一
" !
!!
般的思考方法 不管会 由于几何学历史悠久 我们很难了解到许多定理当初是如何发现
! "
不会有结果 能提出问
!
的 只能想象和推测
题 就有了前进一步的
! " !
可能
容易想到 人们常常是先看到一些特殊的几何事实 再提出更一
!
" "
般的问题 探讨更一般的规律
" !
例如 在 节我们得到共边定理 就是把一个特殊图形中的一
" !#! "
个点分成两个点 从特殊推广到一般 又如 研究了圆的切线 进一
" ! " "
步想到了球的切线
!
切线的特征是垂直于一条半径 也就是垂直于一条直径 直径是圆
" !
的特殊的弦 切线和直径的夹角是直角 和其他的弦的夹角是多少呢
! " $
如图 和 相切于 是圆周上一点 当点 由
!!"$""# ". ,"/ ! / ,
处出发逆时针运动时 切线和弦所成的角 随着圆弧 的增
" ##,/ ,/
16
书书书
书书书第1章 几何证明选讲
长而变大 当 所对的圆心角 达到 时
! "# !"$# !"# !!%"#&$%#
为什么 当 达到 时 这提示我们
" #$! !"$# &’"# !!%"#&!"#! ! 几何证明要画图看
是不是总等于 的一半呢 !!
图 图上总是一种具体
!%"# !"$# # !
这个猜想果然是对的 我们把切线和过切点的弦所成的角叫作弦 情形 就容易忽略其他
!
! 的情形
切角 便有了下面的定理 !
不要忘了想一想图
! %
命题 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆心 上没有画出来的情形
!"!#" " $ !
角的一半
!
证明 如图 要证明
" &&()! !%"#&
&
!"$#!
(
自 向 作垂线 垂足为
"&$ $ "# ! ’’
是等腰三角
"($"$&#$!#$"#
形 已知
" $’ 图
" &&()
等腰三
&
")$!"$’& !"$# ""($!
(
角形性质
$!
切线性质
"$$!%"#(!$"’&!"#" %%"$$"$’
直角三角形两锐角互余
"%$!"$’(!$"’&!"#""&$! $’
&
"*$!%"#&!"$’& !"$# ""$$("%$(")$$!
(
证毕
!
但是 图 画的是 为锐角的情形 如果是钝角呢
! &&() !%"# ! #
仍来看这个图 也是弦切角 它是钝角 这时有
!!)"# ! ! %
""""""!)"#&&’"#*!%"#
&
&&’"#* !"$#
(
)*"#*!"$#
& !
(
上式最后的 恰好是 所对的圆心角的度数 也
")*"#*!"$#$ # ) +" !
就是弦切角 所夹的弧所对圆心角的度数 这说明弦切角定理
!)"# !
普遍成立
!
为了方便 我们引进圆弧的度数的概念
! %
17
书书书
书书书几何证明选讲
定义 圆弧的度数 等于所对的圆心角的度数
! ! !
具体来说 在 中 半圆的度数定义为 不超过半圆的圆
当点在圆弧上运动 ! "" ! !"#$!
!! 弧 的度数 定义为 的度数 超过半圆的圆弧 的度数
时 ! 过该点的切线的方 # " $ ! ##"$ ! # " %$ !
向角时刻在改变 切线 定义为 的度数
!
方向角在一段弧上改变 %&#$&##"$ !
于是 弦切角定理可以简单地表述为
量的总和 正是这段弧 ! #
!
的度数 命题 弦切角定理 弦切角的度数 等于所夹弧的度数
! !"!#! $ % !
的一半
!
从圆周上一点 所作两弦
’ ’#!’$
所成的角 叫作 所含的圆周
##’$! # " ’$
角 或 所对的圆周角 如图 从
! # " $ ! !&’(!
弦切角定理立刻推出
#
命题 圆周角定理 圆周角
我们早已知道 直 !"!$! $ %
!! ! 的度数 等于所对弧度数的一半 图
径 所 对 的 圆 周 角 是 ! !&’(
! !
直角
! 证明 如图 过 作切线 有
! !&’(! ’ %(!
!!!!!!##’$)!"#$&#$’(&##’%
%&#$&’#$’(&’##’%
) !
’
由弦切角定理 等于 的度数 等于 的度
!’#$’( $ " ’ !’##’% # " ’
数 由 减去这两弧的度数 得到 的度数
! %&#$ ! # " $ !
证毕
!
圆周角定理的下述推论是几何推理中十分常用的工具
!
命题 圆周角定理推论 圆周角的度数 等于同弧所对
!"!% $ !% !
的圆心角之半
!
命题 圆周角定理推论 同弧或等弧所对的圆周角
!"!& $ ’%
相等
!
例 设 两点在直线 的同侧 为 的外接
!! ’!* #$ !"" $’#$
圆 求证 当点 在 外时 点 在 内时
! # * "" ##*$%##’$! * ""
点 在 上时 反过来也
##*$&##’$! * "" ##*$) ##’$’
成立
!
证明 如图 射线 与 交于 与 在 同
! !&’)! #* "" * ’ !* ’ ’ #$
18
书书书
书书书
书书书第1章 几何证明选讲
侧 若 在圆上 与 重合 由圆周
! " "" " "
"
角定理有 若 在圆外
"#"$%"#&$# " "
在图上 处 因三角形外角大于内对
" " "
!
角 将有
" "#"
!
$# "#"
"
$% "#&$#
而当点 在圆内时由三角形外角大于内
"
对角有 图
"#"$$"#"
"
$%"#&$! !! !!"#
反过来 若 由上面的推理 不可能在圆上
例 证明中后半部
" "#"$$"#&$" "" !! !
分 用的是穷举排除方
或圆外 只能在圆内 同理可证 小于或等于 时 在圆 !
" # "#"$ "#&$ " 法 也是一种反证法
! !
外或圆上 证毕
! !
命题 四边形内接于圆的充分
!"!#!
必要条件是其对角互补
!
根据圆周角定理 容易推出圆内接四
"
边形对角互补 再应用例 的办法 可以
! ! "
证明反过来也成立 注意 四边形有一双
! "
对角互补 另一双也就互补
" ! 图
! !!"$
作为练习 请写出详细的证明
" !
如图 和 互补等价于 因此得到
!!"$""$ "#’( "$%"#’)"
四边形内接于圆的另一个充分必要条件
$
命题 四边形内接于圆的充分必要条件是其外角等于其内
!"!$!
对角
!
注意 四边形有一个外角等于其内对角 则它所有的外角都等于
" "
其内对角
!
例 若 的直径为 内接于 则
%! %* +"&#$( %*" $(%+%&’#! 圆周角定理是平面
证明 过 作 的直径 则由圆 !!
几 何 最 重 要 的 定 理
! ( %* (,"
周角定理 与 相等或互补 如图 之一
""# "$,( " 根 ! 据等腰三角形的
性质 你可以直接证明
!!"(!
!
又由圆周角定理 直径 所对的圆周 圆周角定理 用圆周角
!
" (, 定理推出弦切角定理
角 为直角 在 中 有 !
",$( ! )*&,$( " $(%
图
! !!"(
,(%&’"$,(%+%&’"#!
证毕
!
19
书书书
书书书
书书书几何证明选讲
例 若两圆交于 过点 的直线分别与两圆交于
!! !!"! !!" #!
和 如图 求证
$ %!&! !""#’ ##%"$&’
图
!""#
证明 如图 由圆内接四边形外角等于内对角的性质 得
! ! !
#%(#"!$(!#$%)#&’
即 与 互补 根据平行线的 同旁内角互补 判定法则
#% #& ! $ % !
得
#%"$&’
证毕
’
习题
!"
自 外一点 作 的两条切线 切点为
!’ $* # $* ! !!"&
连接 和 直接证明
!"!*! *"! #!*"("##!"’
弦切角定理的另一证法
’ ’(
"’ 设 %!"+ 和 %,-. 外接于同一个圆 ! 求证 # / %!"+
/ %,-.
!")"+)+!
( ’
,-)-.)., 图
运动场上跑道的边线转弯处是一段圆弧 你能设计一
!""&
’’ !
些方案来测量圆弧的半径吗
*
圆的两弦 交于 如图 求证 等于 两弧度数和
(’ !"!+0 #! !""&’ ##"#+ " + +!! + 0
的一半
’
20
书书书第1章 几何证明选讲
１．５ 圆幂定理
!!!!
两点的关系用距离来描述 距离小 离得近 距离大 离得远
你可能想到 为什
! " # " ! !! !
点和圆的关系用点到圆的幂 简称圆幂 来描述 点在圆内时圆 么不用 来描述点
$ % ! !"#
和圆的关系呢 为什么
幂为负 点在圆上时圆幂为 点在圆外时圆幂为正 当点在圆外 "
不用切线长本身来描述
" !" !
时 圆幂越大 点离圆越远 点和圆的关系呢
"
" " ! 你想得有道理 古
还记得圆幂是什么吗 点在圆外时 它就是点到圆的切线长的平 $
人可能也这样想过 你
& "
$
方 设 半径为 点 到圆心的距离 则点 到 的切 也可以这样想下去 看
!
! "" #" $ $"%&" $ "" 看能不能挖出来一点
线长的平方等于 这个式子当点 不在 外时也有意义
宝贝
&"’#"" $ "" " $
叫作点 到 的幂 但是 把
! !!"#!
$ "" ! 作为一个几何量来考
一眼看出 这个等式有几何意义吗
虑 确实带来许多有趣
&"’#"%$&(#%$&’#%" & !
的东西 你马上就会知
!
道了
$
图
#’$!
因为 所
如图 作直线 和 交于两点 不难看出 !! !"#$!
#’$!" $" "" )"*! ! 以想到作直线 并不
#$
奇怪
$)%&(#"!!$*%#&’##" %
可见 在图 的情形 有
#&"’#"#%$)($*! #’$!$%% " $)($*%
$+"!
在图 的情形 设想过点 的直线从 的位置转动到
#’$!$%% " $ $)
切线 的位置 乘积 在这个过程中如何变化呢 开始它
$+ " $)($* &
等于圆幂 最后也等于圆幂 中间是变大还是变小
" " &
学数学提问题极为重要 提出上面的问题之后 你会发现回答起
! "
来并不难 用学过的知识足以解决它
" !
如图 过点 的直线与 交于 两点 自 向
#’$#" $ "" )"* ! " $)
21
书书书
书书书
书书书几何证明选讲
作垂线 垂足为 记
" !" #!$%"&#$
根据 等腰三角形底
’"#($#)$*# $
许多有趣的几何事 边上的高平分底边 可得
!! %" (!$)!"
实 证明起来不难 关
! ! 于是
键是发现它
!
从特殊现象出发
! !&(&&)$’&!+(!(’&!,)!(
推测一般的情形 是发
图
!
现 几 何 奥 秘 的 重 要 $’&!+(!(’&!,(!(
!!"!
途径
! $&!#,(!#$
由勾股定理得 代入上式得
&!#$’#,%#"(!#$*#,%#" )
!!&(&&)$’#,*#"
我们意外地发现 乘积 的值竟
" &(&&)
然与 的大小无关
% *
若 在圆内 如图 几乎完全相同
& " !!"#"
的推导 得到
" )
&(&&)$’&!+(!(’)!,&!(
图
$’&!+(!(’(!,&!(
!!"#
$(!#,&!#$*#,’#"
这样 我们用直接计算的办法 得到了一个有趣的定理
只用文字来叙述定
" " )
!!
理 比用具体字母要
! 命题 圆幂定理 过定点的直线与定圆交于两点 则此定
费力 !"#$ ’ ( "
! 点到两交点距离的乘积等于它到此定圆的幂的绝对值
这也是一种锻炼
! "
定理中有一些特殊情形 当定点在圆上时 圆幂为 当定点在
) " %#
圆外并且两交点重合时 定点到交点的距离就是定点到圆的切线长
" "
这些特殊情形 很容易验证定理成立
" "
定理的一般情形 可以分为定点在圆外和在圆内两类 不用勾股
" "
定理来计算 只用几何推理来证明 是另一种风格
" " "
定点在圆内的情形 圆幂定理可以表
"
述为
)
命题 相交弦定理 圆的两弦
!"#! ’ (
相交于 则有
()"-! &" &(&&)$&-&
图
&!"’ !!"""(
证明 圆周角定理 图
! ’!("($"! ’ (# ! !!""
22
书书书
书书书
书书书第1章 几何证明选讲
圆周角定理
!!"!!"!# ! "# 图上只有两条弦
!! !
实际上过点 有无穷
!""
$
"%&# "
&%$%#
"
&#$%#
!!#"%!!"&
共角定理
"# 多条弦 每
!
条弦被
$ "’&! &’$’! &!$’! " !
分成的两段长度乘积都
约简
&% &# 相等
!$" " !!""& "# "
&’ &! 这好比戏台上的几
等式变形
个兵 却代表了千军
!%"&%$&!"&#$&’ !!$"& "(
!
证毕 万马
"
(
定点在圆外的情形 圆幂定理可以表述为
& ’
命题 切割线定理 自圆外一点 作圆的切线 又作
!"## ! " & &#&
圆的割线与圆交于 则有 图
%&!& &%$&!"&#!(! #("$("
证明 同弧所
# !#"!%"!&#! ! 注意 图上的一条
!! !
对的圆周角和弦切角相等 割线 代表了过点
"# ! !
的无穷多条割线
显然 "
!!"!!&#"!#&% ! "(
!"""!&#$"#&% !!#"%!!"&
相似三角形判定定理
"(
图
&% &# 相似三角形 #("$
!$" " !!""&
&# &!
对应边成比例
"(
的变形
!%"&%$&!"&#! !!$" "(
证毕
(
想一想 怎样从圆幂定理推出上面两个定理 反过来 又如何从
& ) &
这两个定理推出圆幂定理
)
作为练习 请用相似三角形性质证
&
明相交弦定理 再用共角定理证明切割
&
线定理
(
例 两圆相交于 两点 在
!# )&* #
直线 上任取两圆外的点 自 向
)* && &
两圆作切线 如图 求
&%&&!& #("%&
证
’&%"&!( 图
#("%
证明 由切割线定理 或圆幂定理
# ! "&
####&%!"&)$&*&
23
书书书
书书书
书书书几何证明选讲
!!!!!"!#!$!!%"
故得
!!!!!&!#!"!"
所以
!!!!!&#!"’
证毕
’
例 两线段 交于点 已
!! &""() !’
知 求证
!&!!"#!(!!)" $&"""
四点共圆
(") ’
要证明一个点具有 证明 如图 过 三点
! 某种 ! 几何性质 可以先 ! "##$" &"""(
! 作圆与直线 交于 由相交弦定理得
作出另一个有这种性质
(! *"
的点 再证明两个点重 将此等式与已知的
! 图
合 这种方法叫作几何
!&!!"#!(!!*’
"##$
!
推理的同一法 条件 相比 得到 即 这表明
!*
! !&!!"#!(!!) " "% " !)#!*"
!)
两点重合 即 在 三点确定的圆上
)"* " ) &"""( ’
证毕
’
习题
!"
半径为 的圆的圆心 到弦 距离为 用多种方法推出计算弦 长度的
"’ + , &" -" &"
公式
’
圆的两弦 的延长线交于点 用共角定理和相似三角形两种方法证
!’ &""() !%
明
$!&!!"#!(!!)’
两线段 的延长线交于点 已知 求证
#’ &""() !’ !&!!"#!(!!)" $&"""
四点共圆
(") ’
用不同的方法证明例 的结论 提示 用相似三角形
&’ ! ’& $ ’’
24
书书书
书书书数学文化
数学文化
!!!
欧几里!得《!几!何!原本》
欧几里得 约前 前 生于雅典 古希腊几何
!!"#$%&" ’’(# )*+$" "
学的集大成者 约在公元前 年 欧几里得潜心研究 整理当时人
" ’(( " %
类所掌握的几何知识 写出最负盛名的著作 几何原本
" ! " !!"!#!$%&
几何原本 既是几何学的逻辑表现形式 又构成了
’()!’#!%*+$"& ’ "
一个时代的数学史 从几条经过精心选择的公理出发 欧几里得演绎
, "
出了所有古典时期希腊大师们已掌握的最重要的结论 近 条定
" +((
理 公理 编排顺序 表达的方式 一些所偏爱的课题的完成 这些
% % % % "
都是欧几里得的贡献
,
通过中学阶段的学习 我们对欧几里得 几何原本 中的大部分
" & ’
内容已很熟悉了 现在 我们关心的是欧几里得 几何原本 的
, " & ’
结构
,
我们知道 几何学研究点 线 平面 角 圆 三角形等等 对
" % % % % % ,
于欧几里得和希腊人来说 在这部著作中 欧几里得当时所给出的这
" "
些术语 并不表示物质实体本身 而是从物质实体中抽象出来的概
" "
念 事实上 来源于物质实体的数学抽象 仅仅只反映了物质实体的
, " "
少量性质 拉紧的绳子可看作数学上的直线 而绳子的颜色 制成绳
, " %
子的材料 却不是直线的性质 为了使抽象术语的含义更精确 欧几
" , "
里得首先给这些术语下了定义 他将直线定义为两端保持平直的线
, "
很显然 这一概念是从拉紧的弦 木匠的水平尺抽象而来的 他说
" % , (
点 就是不包含任何部分的东西 按类似的方法 他定义了三角形
" , " %
圆 多边形等等
% ,
欧几里得在对所要研究的概念给出定义后 就开始确立关于这些
"
概念的事实或定理 为了进行这一演绎过程 他需要有前提 如同亚
, " "
25
书书书数学文化
里士多德指出的那样 并不是所有的东西都能被证明 否则证明的
!" #
过程将会永无止境 证明必须从某个地方起步 用以起步的这些东西
! #
是能得到认可的 但却不是不可证明的 这些就是所有科学的第一普
# !
遍的原理 被人们称之为公理 或常识
# # !$
在公理的选择方面 欧几里得显示出了伟大的洞察力和判断力
# !
欧几里得为几何学寻求了一套足够的 而且能被普遍接受的公理系
%
统 而且 由于希腊人的几何研究是其研究真理的主要部分 因此这
! # #
些公理必须是无可置疑的 绝对真实的
% !
欧几里得提出的公理 表述了点 线和其他几何图形的性质 而
# % #
且这些性质为其相对应的实物所具有 很明显 所讨论的这些性质确
! #
实非常适用于物质实体 因此人们都愿意接受这些公理 并把它们作
# #
为进一步推理的基础 欧几里得选择的公理所具有的非凡优点 就在
! #
于尽管这些公理可被人立刻接受 但一点也不流于肤浅 因为它们导
# #
出了深刻的推论 而且 他所选择的公理非常有限 总共才 条
! # & !" ’#
却推演出了整个几何学系统的结构
!
为了对欧几里得的选择的明智性加深认识 让我们来回顾几条公
#
理 他断言 连接任意两点可作一条直线 过给定点和给定的中
! !" $("
心可以作一个圆 整体大于其任何一个部分 显然 这些都无懈
$(" $! #
可击 而且能被所有的人接受
# !
挑选出了几何学研究所涉及的概念 选择好了关于这些概念的基
#
本公理之后 欧几里得开始着手建立定理 结论 当然 证明的方法
# % ! #
是严格的演绎法
!
从公理出发 一些简单的定理立刻就能得到证明 这些定理就成
# #
了那些更深奥的定理的基石 这样 整个一座精美的大厦就严密地建
# #
立起来了 的确 许多学生不禁感慨万分 这么多看似复杂的定理
! # ! #
竟能从少数几个自明的公理推导出来 真是不可思议
# )
下一步 看看欧几里得关于物体的大小 形状的基本性质的研究
# %
内容 他首先关注的是 在什么条件下 两个物体的大小 形状相
! # # %
同 也就是在什么条件下这些物体是全等的 例如 假设一位测量员
# ! #
测量两块地 形状为三角形 他怎么确定这两块地是否相等呢 他必
# # *
26
书书书数学文化
须测量每条边 每个角 甚至两块地的面积后 才能判断它们是否相
! " "
等吗 要是这样 就用不着欧几里得的定理了 例如 如果已知两个
# " ! "
三角形中的对应边相等 那么这两个三角形就在所有各方面都相等
" !
这一事实似乎不过是一件微不足道的小问题 但是读者会看到 如果
" "
问在什么条件下 两个四边形 即两个具有四条边的图形全等 情形
" " "
就不完全一样了 当然 这样的问题以及相关的问题 适用于所有各
! " "
种几何图形
!
欧几里得接着问道 如果图形不相等 那么它们之间彼此又有什
$ "
么重要的关系呢 它们之间又有哪些共同的几何性质呢 他主要考虑
# #
的是形状关系 大小不等 但形状相同的图形 即相似形 有许多共
! ! " "
同的几何性质 例如 对三角形来说 相似意味着 一个三角形的角
! " " "
与另一个三角形相对应的角相等 从这个确定的性质出发 就可以得
! "
出结 论 任 意 两 条 对 应 边 的 比 是 常 数 这 样 如 果 和
$ ! " !"#$
是相似三角形 图 则 等于 而且 如果在
"# #$
!"%#%$% % !&"#’" ! "
"%#% #%$%
这两个三角形中 两条对应边的比是 则两者面积之比是
" &" &$!
图 两个相似三角形
!!"#"
如果图形形状和大小都不相同 那么它们之间还存在什么关系
"
呢 当然 它们可能有相同的面积 用几何学术语说 就是等积的
# " " " !
或者它们可以内接于同一个圆中 它们之间可能的关系和彼此间相关
!
的问题不胜枚举 欧几里得选择了其中最基本的关系
! !
对于所有研究的概念 欧几里得不仅将其应用于由直线构成的图
"
形 而且也应用于圆和球 他对于这些图形的浓厚兴趣耐人寻味 因
" ! !
为在希腊人看来 圆和球是最完美的图形
" !
从美学欣赏的观点出发 另一类有吸引力的图形同样使他们着
"
迷 在三角形中 等边三角形尤其引人注意 因为它的所有边在长度
! " "
27
书书书数学文化
上都相等 所有的角的大小都相等 同理 在四边形中 正方形最富
! ! ! !
有吸引力 在具有五边 六边和多边的平面图形中 以能够作成具有
! " !
相同的边和角的图形最富有吸引力 这样的图形称为正多边形 人们
! !
对它们作过详细的研究 立体图形也有类似的情况 立体封闭的表面
! !
能够由正多边形形成 任何一面只能由同一种多边形构成 例如 一
! ! !
个立方体的表面就由沿边相联的六个正方形组成 一个多面体 如果
! !
有像立方体这种类型的表面 则称之为正多面体
! !
与正多面体有关的第一个问题是 有多少种不同类型的正多面
!
图 种正多面体
!!"#!$
体 经过严格的推理 欧几里得证明了 存在且只存在 种正多面
# ! ! $
体 证明过程在这里就不再重复了 图 中的 种图形就是这些正
! ! !$"# $
多面体 柏拉图非常推崇这些图形 他甚至认为 神也会运用这些图
! ! !
形 于是 他详细阐述了某个希腊学派的思想 该学派宣称 所有的
! ! ! !
28
书书书数学文化
物质都由土 气 火和水四种元素构成 柏拉图则更进一步认为 火
! ! ! "
元素是四面体 气元素是八面体 水元素是二十面体 土元素是立方
" " "
体 最后一种形状 十二面体 被神保留下来作为宇宙本身的形状
! ### " !
希腊人还仔细研究了另外一类曲线 我们都熟悉圆锥状图形 例
! "
如冰淇淋就呈圆锥形 如果有两个非常长的圆锥体 如图 所示
! " !#"#
放置 则可得到数学家称为圆锥表面的图形 或者有时简称为圆锥
" "
体 这个圆锥表面由两部分构成 它们从 点向两方无限延伸 如
! " " !
果圆锥表面被一个平面所切 仅仅是一个像桌面一样光滑 没有厚度
$ !
而且可以向所有方向延伸的表面 那么相切所产生的曲线 其形状
%" "
取决于平面相对于圆锥的位置 当平面完全切过圆锥的某处时 横断
! "
面的曲线是椭圆 图 中 或者是一个圆 图 中
$ !#"# #$%%! $ !#"#
如果切割的平面倾斜 切过圆锥的两部分 那么横断面的曲
&’(%& " "
线由两部分组成 称为一组双曲线 图 中 最
" $ !#"# )*+"),*,+,%&
后 如果切面与圆锥的任意一条线如 平行 则横断面的曲线就
" -"-, "
是一条抛物线 图 中
$ !#"# ./0%!
欧几里得以类似的方法 将有关圆锥曲线的基本事实加以归纳收
"
集 并整理成书 但这部书失传了 在欧几里得稍后不久 另一位著
" " ! "
图 圆锥表面和由其相切平面所成的圆锥曲线
!!"#!
29
书书书数学文化
图 圆锥曲线
!!"#!
名的数学家阿波罗尼奥斯又写了关于圆锥曲线的一部著作 对欧几里
!
得的学说进行了深化 扩充 他也因为该书而著称于世 就像欧几里
" ! !
得因为其 几何原本 流芳百世一样 在这个古典时期 还有一些学
# $ ! !
者写成了许多其他的数学著作 可惜只有少部分幸存 根据现有的书
! !
籍和残篇来判断 完全可以断定 这个时代是一个富有巨大创造力
! ! "
对数学有着强烈兴趣的时代 是历史上无与伦比的光辉灿烂的时代
! !
欧几里得几何的创立 对人类的贡献不仅仅在于产生了一些有用
!
的 美妙的定理 更主要的是它孕育出了一种理性精神 人类任何其
" ! !
他的创造 都不可能像欧几里得的几百条证明那样 显示出这么多的
! !
知识都是仅仅靠推理而推导出来的 这些大量深奥的演绎结果 使得
! !
希腊人和以后的文明了解到理性的力量 从而增强了他们利用这种才
!
能获得成功的信心 受这一成就的鼓舞 西方人把理性运用于其他领
! !
域 神学家 逻辑学家 哲学家 政治家和所有真理的追求者 都纷
! " " " !
纷仿效欧几里得几何的形式和推演过程
!
甚至在希腊人中间 数学也被看作是所有科学的标准 亚里士多
! !
德特别强调 每一门科学都必须像欧几里得的几何学一样 通过一些
! !
适用于这门科学的有效方法 确立几条基本原理 从这几条基本原理
! !
中 以演绎的形式推导出真理 在柏拉图学院的门口 写有这样的箴
! ! !
言 不懂数学者不得入内 这典型地反映了他们对待数学的态度
%& ’! !
欧几里得几何学的重要性 远远超出了作为逻辑实践和推理模式
!
本身的价值 以前 数学只不过是推动其他领域进步的工具 随着几
! ! !
何学美妙结构和精美推理的发展 数学变成了一门艺术 希腊人就是
! !
这样欣赏数学的 算术 几何 天文学对他们来说 就是音乐之于精
! " " !
神 思维之于艺术
" !
30
书书书２
第 章
平面和圆柱面的截线
欧几里得独具慧眼 一览无余地欣
!
赏着美 他很幸运 尽管只那么一次
! ! !
而且还是远远地 依然闻到了镶嵌在宝
!
石上的檀香散发出的浓郁的香味
!
圣 文森特 米莱
!" " " #!#$%&’()*$+,$’-*..%/$
书书书几何证明选讲
２．１ 平行投影
!!!!
把立体的东西画在平面上 是既有趣又有用的工作 绘画 建
! ! "
筑 考古 机械制图 计算机图形学里 都关心这件事
" " " ! !
物体在光线的照射下 就会在地面或墙壁上出现影子 人们根据
! !
这种现象加以抽象的研究 总结其中的规律 提出用投影的方法来表
! !
达物体 射影几何的建立 就源于古代艺术和建筑的需求
! ! !
在工程应用中 将投射线通过物体 向选定的面投射 并在该面
! ! !
上得到图形的方法称为投影法 常用的投影法有中心投影法 图
! # !$"
和平行投影法 图 中心投影法是投射线汇交一点的投
##% # !$"#$%%!
影法 投影中心位于有限远处 平行投影法是投射线相互平行的投
# %&
影法 投射中心位于无限远处
# %!
从右面的图上看
!!
到 四面体在平面上的
!
投影可能是四边形 也
!
可能是三角形
!
它会不会是其他的
形状呢 图
" !$"
由于平行投影下物体的大小和投影的大小关系更为密切 所以工
!
程中多采用平行投影
!
本章主要涉及平行投影 下一章再来讨论
#%#&#’’(’%&)*(+,-).%!
中心投影
#+(.,&#’%&)*(+,-).%!
在数学中 如何定义平行投影呢
! ’
定义 设空间有一个点集 一个平面 和一条不平行于平面
! "! ! !
32
书书书
书书书第2章 平面和圆柱面的截线
的直线 经过 中每一点 作平行于 或与 重合的直线交平面
!! " #! ! ! 想一想 如果不用
!! !
于点 这样就确定了一个由 到 的映射 称此映射为 映射的概念 你能够把
! $! " ! $%!"##! !
平行投影说清楚吗
由 确定的点集 到平面 的平行投影 "
! " ! &
平面 叫作投影平面 叫作 的投影 直线 叫作投
! !$%!"## # ! !
影线
&
若直线 垂直于平面 映射 叫作正投影
! !! $%!"## &
若直线 不垂直于平面 映射 叫作斜投影
! !! $%!"## &
点集 在映射 下的像 叫作 在平面 上的投影
" $%!"## ! " ! &
平行投影基本定理 不平行于投影线的线段 在平面上的投影仍
! !
平行于投影线的线
为线段 线段上的点分线段的比保持不变 端点仍为端点
& ! & ! 段 ! 它 的 投 影 又 如
!
证明 如图 是线段 上任
何呢
! !$!!’ () "
一点 而 分别是 在平
! *!+!, (!)!’
面 上的平行投影 要证明的是 在线段
! & ,
上 并且
(’ *,
*+ ! % &
)’ +,
作出投影线 因
(*!’,!)+! (*"
故 确定一平面 于
)+! (!)!*!+
"
%
是线段 在平面 上 故 在平面 图
() " ! ’ " !$! 解决立体几何的问
上 由 也在平面 上 于是 在平面 和平面 !!
题 常常要应用平面几
% ’,"(*!, " % *!+!, ! " !
何的知识 这就先要证
的交线上 即三点共线
!
! & 明有关的点和线在同一
由于 和 在同一平面上 故可以应用平行截
平面上
*!+!, (!)!’ !
!
这一点容易被忽
割定理推出 于是由 在 之间可知 在 之间
(’ *, 略 而且常常不知道如
% ! ’ (!) , *!+ & !
)’ +,
何表述 需要在平凡中
证毕 !
注意下功夫
&
!
直线或线段若平行于投影线 其投影成为一点 这叫作退化
! &
现象
&
为了暂时避免讨论退化情形 我们下面专门考察不和投影线平行
!
的平面 到平面 的平行投影 这样的投影是平面 到平面 的一对
" ! & " !
一的映射 称为平面 到平面 的平行投影变换
! " ! ""#$%&’(#)$"*(%#!
称 为变换的原平面 为变换的投影平面或像平面 两平面相交
" !! &
时 其交线叫作变换的基线
! &
33
书书书
书书书
书书书
书书书几何证明选讲
根据平行投影定义和上述平行投影基本定理 可以推出
! "
平行投影变换的基本性质
线段的投影仍为线段
!! #
线段中心的投影为投影的中点
"! #
平行四边形的投影仍为平行四边形
#! #
平行线段的投影仍为平行线段
$! #
平行或共线线段的比等于线段投影的比
%! #
若原平面和像平面平行 则线段和它的投影长度相等
&! ! #
若两平面相交 则平行于基线的线段和它的投影长度相等
’! ! #
两个多边形的面积比 等于其投影的面积比
(! ! !
概括地说 在平行投影变换下 线段变为线段 平行线变为平行
! ! !
线 平行或共线的线段比不变 面积比不变
! ! !
上述性质的 由平行投影基本定理直接推出
!!" !
由 结合 平行四边形的对角线相互平分 和 对角线相互平分
" $ % $
的四边形是平行四边形 可以推出
%! #!
由 结合平行投影基本定理 可推出 和
层层剥笋 步步为 # ! $ %!
!! ! 根据 平行四边形对边相等 可推出
营 是几何学推理的
! $ % &!
风格
关于 的推导 如图
!
’ ! "&#!
设 在原平面 上并且平行
"# !
于基线 自 分别向基线
# "!#
引 垂 线 垂 足 为 则
! $!%!
设 的投影为
"#&$%# "#
注意到 的投影为
’(! $% $%!
于是 平行于 并且
’(
’( $%!
$%
故 图
& "# ! ’(&"#! "&#
$%
性质 作为练习 放在后面讨论
( ! !
在正投影的情形 也就是投影线垂直于像平面时 称这样的投影
! !
变换为正投影变换 正投影变换除了具有上面所述的性质外 还有自
! !
己的特殊性质
"
34
书书书
书书书第2章 平面和圆柱面的截线
正投影变换的性质 若正投
! 动手画出空间几何
!!
影变换的原平面和像平面相交 图形的直观图 既要有
" !
推理的素养 又要有空
则垂直于基线的直线的像仍垂直 !
间直观的想象力 这一
!
于基线 节提供了不少机会让你
!
画图 一定要试一试
证明 如图 是原平 ! !
! !!""" 画好一幅自己看得
面 上一点 自 向基线 引 明白的立体几何直观
! " " #$ 图
!!" 图 是一件愉快的事
垂线 垂足为 向像平面 引 ! !
" %" "
垂线 垂足为 由于 的像仍为 故线段 的像为 要证
" &" % %" "% &%#
明的是
&%"#$!
由 平面 故 又已知 于是 平
"&" "" "&"#$# "%"#$" #$"
面 所以 证毕
"&%" #$"&%! !
习题
!!
写出平行投影变换性质 的证明并画出对应的直观图
#! $"""%"& !
阅读下面的思路分析 探讨平行投影变换性质 的证明方法
!! " ’ !
关于性质 的思路分析 如果原平面平行于像平面 由性质 可知多边形和它
’ $ " &
的投影全等 面积相等 所以只要考察两平面相交的情形
" ! !
过多边形的诸顶点 作平行于基线的直线 将多边形分割成若干个底边平行于
想一想 曲线包围
" "
!! !
基线的梯形或三角形 而梯形和三角形都可以看成半个平行四边形 因此 只 的面积和它的投影面积
! " "
的比 又该如何确定
要证明底边平行于基线的平行四边形的面积与它的投影的面积的比是仅与这个 ! "
平行投影变换有关的常数就够了 不妨设所考虑的平行四边形和它的投影的底
!
边就在基线上 由性质 平行四边形和它的投影有相等的底 它们的面积的
# (" "
比等于高的比 这也就是点和它的投影到基线的距离之比
" !
在图 上添加 的投影 注意 这时 不是 的投影了 连接 则投
!!" " ’ % " & " &" &’"
影线的方向由 和 所确定 再设 也为已知 自
#&"’(# #%&’($ ! #"%&(% " ’
向基线 引垂线 垂足为 不难求出 这就是点和它的投影到基线的距
"%
#$ " )" "
&)
离之比 也就是平面 上的多边形和它在平面 上的投影的面积之比
" ! " !
35
书书书
书书书
书书书几何证明选讲
２．２ 平面和圆柱面的截线
!!!!
我们早就知道 线动成面
! !
一般说来 平行于定直线并沿定曲线移动的直线形成的曲面称为
!
柱面 定曲线称为柱面的准线 动直线称为柱面的母线
! ! !
若柱面的准线为圆 并且母线垂直于圆所在的平面 这样的柱面
! !
就叫作圆柱面 过准线圆心并平行于母线的直线叫作圆柱面的轴线
! !
准线圆的半径 也叫作圆柱面的半径
" !
图 分别画出了圆柱面和某个一般柱面的部分形象
!""##$%#$$ !
图
!""
很多几何事实 我
２２ !
们 能 看 出 来 能 猜 矩形 以 边为轴旋转一周 直线 就形成了圆柱面
!
出来 #$%& #$ ! %& !
! 我们用一个不平行于圆柱面 的母线的平面 来截割 所得交
看出来猜出来 就
! ! " !!
提出了问题 为什么会
线 叫作平面 和圆柱面 的截线
"
是这样 ’ " ! #%&#’()*&(#+$!
#
设圆柱面 的准线 所在的平面为 且 的母线垂直于
当使用严谨推理的
! "( #! ! #!
手段证明 修正或否定
$ 如果把母线看成投影线 截线 就是 在平面 上的投影 反过
了直观的印象和猜测 ! ’ "( " !
时 我们对事物的认识 来 也可以说 是截线 在平面 上的投影 由于母线垂直于平面
! ! "( ’ # !
就更深了一层 从感性
! 所以 还是截线 在平面 上的正投影
认 识 上 升 到 了 理 性 #! "( ’ # !
认识 截线 是一条什么曲线呢
! ’ &
36
书书书
书书书第2章 平面和圆柱面的截线
如果平面 垂直于圆柱面的轴线 叫作圆柱面的正截面 容易
! ! ! ! 这里的推理可以应
!!
想到 用上节关于平行投影变
"
换的性质直接完成 也
命题 圆柱面的两个正截面在母线上截得的线段相等 正截 !
!"#! # 可以从头做起
!
面截圆柱面的截线是圆 其半径等于圆柱面的半径 从头做起的好处
! ! !
是让我们多练习几次基
这是因为 同垂直于母线的两平面平行 应用平行四边形的性质
! ! 本的方法
!
和平行投影的性质 请参看图 来完成上述命题的证明
! !$"%#& !
下面设平面 和圆柱面的轴线相交成锐角 这时称 为圆柱面的
!
! !
斜截面 过轴线并垂直于 的平面叫作斜截面 的轴面 斜截面的轴
! ! ! !
面的下面的性质 今后将发挥重要的作用
! !
命题 圆柱面的斜截面的轴面 垂直于斜截面和正截面的交线
!"!! ! !
作为练习 请写出上述命题的证明
! !
如图 圆柱面的准线 所在的平面为 不妨设斜截
! "%$&! "" "!
面 也经过点 所以斜截面 与正截面 的交线也过点 这条交
! "! ! " "!
线和圆柱面的交点记为 则 是 的直径
#!$! #$ "" !
设 的轴面交 于 交 的截线于 则 分别是
! "" %! ! &! "&!"%
在平面 上的垂线 因而 正是平面 所成的二
#$ ! !" ! #&"% "! !
面角
!
图
!$"
设 是 和圆柱面的截线上不同于 的任一点 过 作平
’ ! #!$ ! ’
行于 的轴面的平面交 于 交 于 则在 中
! #$ (! "" )! %&$’() !
37
书书书
书书书几何证明选讲
也是平面 所成的二面角 记此二面角为 则有
#"
!!"# !! " ! # ! $
!"
也就是说 对截线上任意不同于 的点 到 的距
如果你没有学过关
!!
!"#! ! ! %!& !!! %&
于二面角的知识 也可 离和它在平面 上的正投影到 的距离的比是一个常数 这是一个
!
以直接证明 的 ! %& ’
"!"# 关键的结论
大小与点 的位置无
! ’
现在 我们再在纸面上画出平面截割圆柱面的截线 看看它的真
关 即比值 与点
! #" ! ! !
!"
的位置无关 因为根据 面目
$ ’
平行投影变换的性质有
设想在图 中 让截线固定在平面 上 再让平面 带着
即
$"%#&$ !
"
!
"
!" #" #"
’ ! ’ 这条固定的截线旋转一个角度 转到与平面 重合的位置 这时
%& (& !"
# ! ! ’ !
为定值 这就
(& " #! 直线 和 重合 点
%& !" #" ! !
是我们所要的结论
$ 在线 段 的 延 长 线 上
"# !
这里
(
!"$(#"! ($ ’
!"##
这样 就有了在纸上
!
画出截线的办法 先作出
%
和它的一条直径
") %&!
在 上任取一点 自
图
") #! # $"’
向 引垂线 垂足为 再在 的延长线上取点 使得
%& ! "! "# !! !"$
则 是截线上的一个点 如图
(#"! ! ! $"’’
过 作垂直于 的另一条直径 同上法作出截线和直线
) %& *+!
的交点 则 是截线上离直线 最远的点 而
*+ ,!-! ,!- %& ’ %!&
是截线上离直线 最远的点
*+ ’
由圆的对称性容易推出 该截线有 两条对称轴 所以
! %&!*+ ’
只要画出它的四分之一 例如图 中 这段曲线
! $"’ &!- ’
这样作图 就是把 上的所有点沿垂直于 的方向向外移
! ") %&
动 使它到 的距离扩大到原来的 倍 简单地说 就是把圆周沿
! %& ( ’ !
与 垂直的方向扩大到 倍 就得到了圆柱面的截线
%& ( ! ’
取直线 分别为 轴建立直角坐标系 如图 则
*+!%& .!/ # $"’$!
上的点 的坐标 满足圆方程
") # #0!1$
是圆柱面的半径
0$21$$3$ #3$)% $’
设截线上的点 的坐标为 由 和 得到
! #.!/$! !"$(#" !"#%&
38
书书书
书书书第2章 平面和圆柱面的截线
#
!" !!!%"&’
$
代入上述圆方程 整理后得到 这是椭圆的标准方
#! &!
! ) ""!
"$(#! (!
程 椭圆的半长轴和半短轴分别为 和
’ $( (’
于是 我们得到了如下定理
! ’
圆柱面截线定理 不平行于圆柱面母线的平面截割圆柱面 其截
! !
线是一个椭圆 椭圆的半短轴等于圆柱面的半径 椭圆的半长轴等
’ (!
于 这里 是截割平面与圆柱面母线所成角的余角 特别地
(
! ! ’ !
#$%!
截割平面垂直于母线时 此椭圆是半径为 的圆
! ( ’
既然圆按比例沿一个方向放大成为椭圆 自然会想到 把一个圆
! !
沿着一条直径的法方向按一定的比例压缩 是不是也能得到椭圆呢
! $
确实不错 如图 以 为圆心的两圆半径分别为 和
! !%&! * ( +"$(
在大圆上任取一点 半径 与小圆交于 自 向大
"$""#! ,! *, -’ ,
圆的一条直径 引垂线 垂足为 自 向 引垂线 垂足为
./ ! 0! - ,0 !
想一想 当点 在大圆上运动时 点 的轨迹是不是椭圆
1’ ! , ! 1 $
若 已 知
! ! ! !
如何计算
""#$! %&
和
%$"
根据计算结果 能
!
写出 点 的 轨 迹 方
%
程吗
"
图
!%&
如图 过 作垂直于 的半径 延长 交 于
!%&! * ./ *2! 1- *2 3!
这就容易看出
&
为什么
#*3-$#,0* " $#’
因此
!!
39
书书书
书书书几何证明选讲
!" %& %’ ( !
$ $ $ $ !
#" #" %# ) *
!& %" %# )
$ $ $ $*"
’& ’& %’ (
前一等式表明 的轨迹可由大圆沿 的法方向按比例
!! +, !#*
均匀压缩而得 后一等式表明 同一个轨迹可由小圆沿 方向按比
" ! +,
例 均匀放大而得
*-! .
图 提供了比图 更方便的作出圆柱面的截线的方法
$#% $#& .
作为练习 用圆规 直尺在纸上画出半径分别为 和 的
! $ ’() %()
同心圆 仿图 取点 的 个不同位置作出对应的点 连
! $#% # %!!* !!
成椭圆
.
圆柱的斜截面和正截面如图 所示
$ + .
图
$#+
你能在上面的直观图上 找出斜截面的轴面吗
! %
２．３ 圆柱面的截面的焦球
!!!!
仍设圆柱面的准线为 半径为
"%! (.
40
书书书第2章 平面和圆柱面的截线
以轴线上任一点 为圆心 以 为半径作球 此球与圆柱面的公
! ! " "
共点是以 为圆心 为半径的 它也就是过 并垂直于母线的
! !" !!# !
平面截割圆柱面所得的截线 它是一条准线
" #
因为 上的每个点都在圆柱面上并且到球心 的距离等于球半
!! !
径 所以都是球面和圆柱面的公共点 另一方面 圆柱面上的其他
"" # "
点 到 的连接线段总是某条母线的斜线 而斜线比垂线长 故
$ ! " " $
到球心 的距离大于 在球外
! ""$ #
这样的球 叫作圆柱面的内切球 圆柱面的每条母线 都是其内
" # "
切球的切线
#
设平面 截割圆柱面 与平面 相切的圆柱面的内切球叫作截割
"
! !
平面 的焦球 显然 平面 的两侧各有一个焦球 若平面 垂直于
! # " ! # !
母线 两焦球与平面 的切点是同一个点 即截线圆的圆心 而当平
" ! " #
面斜截圆柱面时 有趣的情形出现了 两个焦球与平面 的切点恰好
" $
!
是截线椭圆的两个焦点 焦球的命名 就是由此而来
# " #
要证明这个有趣的事实非常容易 观察图 想想切线的性
# !%"#"
质 便清楚了
" #
图
""" !%"#
如图 平面 和它的两个焦球 分别相切于 设
!%"#"
!
%"& ’"(#
41
书书书几何证明选讲
是截线上的任一点 过 点的母线和两个焦球分别相切于
! ! ! "!#$
因为点 在平面 上 故 分别是两个焦球的切线 同时
! ! ! !%!!& $ !
分别也是这两个焦球的切线
!"!!# $
由切线长定理 点到球的所有切线长度相等 可知
! ! "
!%’!"!!&’!#$
因而
!%(!&’!"(!#’"#’)*$
这表明动点 到两定点 的距离之和等于定长 根据椭
! %!& )*$
圆的基本定义 这从另一个角度证明了截线是椭圆 同时证明了这两
! !
个切点是椭圆的焦点
$
例 已知圆柱面的半径 截割平面 与母线所成的角
!! +’!! ! "’
求此截割平面的两个焦球球心的距离
!"#! $
解法一 由图 和上面的论述可知两个焦球球心的距离等于
! $#%"
截线椭圆的长轴 而 与长轴 的比等于平面 与准线平面 夹角
$ $+ $, ! #
的余弦 因为母线垂直于准线平面 故截割平面 与母线所成的角
$ !
$ !
与 互为余角 可得
" $ !
$+
$’&"#!!$,’ ’%$$
’()&"#
解法二 自两焦球球心 向平面
! *!)
分别引垂足 则 在
!
"!#! *!"!)!#
同一平面上 为什么 如图 两焦
% &’$ $#%%!
球与平面 的交线为两个半径为 的
*")# +
圆 公切线 和连心线 交于 易
! "# )* %!
知 且由已知条件
%)’%*! ""%*’
于是 两球球心距
!"#! %*’$"*’$+’&!
离
*)’$%*’%$$
我们已经从两个方面考察了平面斜截
圆柱面得到的截线的性质 下面从第三个
$
方面来考察 将会有新的收获
! $
图
如图 平面 斜截圆柱面 并且
$#%$!
!
! ! $#%%
42
书书书第2章 平面和圆柱面的截线
和焦球 相切于 过 作圆柱面的正截面 和平面 交于直线
! "! ! ! " #$
自 向 引垂线 垂足为 过 作平面 则平面 垂直
! # " %" %"""! #" #
于直线 因而垂直于平面 和 故平行于母线 又因为 过焦球
#" " !" ! #
球心 所以 过圆柱面的轴线 从而就是 的轴面
!" # " " $
图
!#"!
由作图知轴面 与斜截面 交于直线 与 切于 又
# " %""%" !! "!
设线段 与圆柱面交于 过 的母线与平面 交于 则 也
%! &" & " ’" ’
是直线 和母线 的交点
%" &’ $
现在进入主题 设 是斜截面 截圆柱面所得的截线上任一点
$ ( " "
过 作圆柱面的正截面 交母线 于 交直线 于 再自
( $ &’ )" %’ *" (
向直线 引垂线 垂足为 则由平面 平面 直线 平面
# " +! !" ", #" ""
平面 平面 平面 知 由 得
$,*(" !# " " *(#%+$ *%$%+ *%#
于是四边形 为矩形 推出
(+" (+%* " (+,*%$
另一方面 设过 的母线与平面 交于 则 与焦球 切于
" ( ! -" (- !
由切线长定理得
-" (",(-,)&$
但是 观察轴面上由诸点 和有关的线段构
" %"&"’"""*")
成的图形 立刻发现有 因而 于是
" %&#)*" %)*’&%&%’"
从而有
)& ’& (" ’&
, " , $
*% ’% (+ ’%
这证明了 对于截线上任一点 到焦点 的距离与它到直线
" ("( "
43
书书书几何证明选讲
的距离之比是一个常数
"#
! %
"$
注意到 故 可见这个常数小于
"#!#$! "#""$! !%
直线 和圆柱面的这条椭圆截线有特定的关系 它叫作这个椭
! !
圆的准线
%
至此 我们得到了平面斜截圆柱面所得截线 的三个特征 也
! ! !
就是椭圆的三个特征 并且知道了与这些特征有关的一些几何元素和
!
几何量
"
将圆柱的准线圆按适当比例 沿一定方向均匀放大可
!
!% &’
"#$"
以得到截线 准线圆的半径 和 分别为此截线椭圆的短半轴和
!! ( &(
长半轴
#
上的点到某两定点的距离的和等于定值 这两定点叫作此
%%! !
截线椭圆的焦点 此定值就是椭圆的长轴长
! #
上的点到一个焦点的距离与它到某条定直线距离的比等于
&%!
某个小于 的定值 此定直线叫作椭圆的准线 此定值叫作椭圆的离
! ! !
心率
%
这三条性质中的每一条 都可以作为椭圆的定义 而且从其中任
! %
一条性质可以推出其余的两条
%
作为练习 自己动手尝试在纸上画出图 中的所有的点和直
! %$!%
线 列出作图步骤 根据作图步骤和推理找出你能够找到的直线和直
! !
线 直线和平面以及平面和平面之间的平行关系和垂直关系 并回
% %
答 若平面 和圆柱面母线所成的角为 截线椭圆的离心率是
"
#
&’(!
多少
&
44
书书书第2章 平面和圆柱面的截线
２．４ 圆锥曲线的统一定义
!!!!
在几何研究中 以至于数学的研究中 人们常常从特殊情形受到
! !
启发 发现更一般的规律
! !
同样是椭圆的特征性质 它们在几何上的意义有所不同
! !
把椭圆仅仅看成是圆沿一个方向均匀扩大或均匀压缩的结果 这
!
一事实所包含的几何意义就比较单纯 没有给我们留下联想和推广的
!
空间
!
把椭圆看成是到两定点距离之和为定值的动点的轨迹 就会启发
!
我们 从和想到差 试问到两定点距离之差为定值的动点的轨迹是什
! !
么曲线
"
一旦提出了有意义的问题 推导论证常常并不困难 用解析几何
! !
的方法 容易导出到两定点距离之差为定值的动点的轨迹的曲线方
!
程 并且能够画出它的图象
! !
推出它的基本性质 根据它的
!
形象 给这种曲线起个名字叫
!
双曲线
!
在现实生活中 人们有不
!
少机会看到或用到椭圆 但
只看样子 你能说
! 图 !! !
是 双曲线是不常看到的图 ! !#"# 出这两种曲线有什么共
!
同之处吗
象 即使看见 也不容易想到它和椭圆有密切的联系 正是数学推理 "
! ! !
的结果 揭示出隐藏在现象背后事物之间的内在联系 使我们从感性
! !
认识提高到理性认识
!
当发现了椭圆又是到定点和定直线距离之比为一个小于 的正常
"
数的动点的轨迹时 我们的认识更深入了一步 椭圆的这条性质提供
! !
了更大的联想空间 如果这个常数大于 或等于 又能得到什么曲
$ " "!
线呢
"
探讨的结果 得出了二次曲线的统一定义
! $
45
书书书
书书书几何证明选讲
圆锥曲线的统一定义 平面内 动点 到定点 的距离和它到
! ! ! "
一条定直线的距离之比是常数 当 时 点 的轨迹是椭
#! !"#"" ! !
圆 当 时 点 的轨迹是双曲线 当 时 点 的轨迹是
" ##" ! ! " #$" ! !
抛物线 其中定点 为其焦点 定直线是相应的准线
% " ! %
我们曾经用两个同心圆来构图 作出椭圆上的点 根据上述的统
! "
一定义 不难用一种构图作出这三种曲线
! %
图
##"$
如图 取矩形 的一边 所在直线为准线 在
##"$! &’() &’ ! &)
上取定点 为焦点 在线段 上取点 过 作 的垂线与直线
" ! &" *! * &)
交于 直线 交于 以 为圆心 为半径作圆与
’" +! (+!&) ," " !",
直线 交于 两点 则当矩形的边 固定而边长 变化时
() -!. ! &’ ’( !
点 在一条离心率 的圆锥曲线上 对应的焦点和准线如上
*"
-!. #$ %
&*
所述 分别是点 和直线
! " &’%
只要注意到图中有 因而 另一方面有
"+ *"
&’$*+! $ "
+’ &*
因而 又因 故得
", "+
%+’(&%+",! $ ! "-$".$",!
’( +’
"- ". ", "+ *"
$ $ $ $ $#%
’( ’( ’( +’ &*
在图 中 轨迹是椭圆
##"$ !*""&*!#""! %
在图 中 轨迹是双曲线
##"% !*"#&*!##"! %
46
书书书第2章 平面和圆柱面的截线
图
! !!"#
在图 中 轨迹是抛物线
!!"$ "!"#$!"%#"" &
图
!!"$
如果在纸上作图 让 的长度多取几个值 描点连线 可以画
" ’( " "
出曲线的大体模样
&
如果有条件 使用动态几何作图软件来画图 拖动图中的点
" " ("
可以看到点 在轨迹上运动
)"* &
选择 两点进行跟踪 可以看到 在运动中留下的踪
)"* " )"*
迹 类似图中所示 改变点 的位置来调节离心率 踪迹的曲线类
" & ! %"
型将作相应的变化
&
想一想 为了尽可能多地作出轨迹上的点 在三个图中点 的
" " (
变化范围有什么不同
#
47
书书书几何证明选讲
在这三个图中 是把线段 的长度作为自变量 随着
! !" !#!$ !"
的变化而运动 各画出曲线的一半 能不能选择另一个量作为自变
! %
量 让它驱动一个点来画出全部的曲线图象呢
! "
如图 让 作为自变量 记焦点到准线的距离
!#"#! !&!#’( !
离心率 待定的长度 则动点 到准线 的
+’
)’&*! &,! ’#&" ! # )!
)+
距离为
$
)-&)’.’#$%&!&*."$%&!!
但是由 可得 代入上式后解出
’# &, )-& ’# & "! $
)- , ,
* ,*
"& & %
" "’,$%&!
/$%&!
,
图
!#"#
如果把 看作极坐标系的极点 射线 看作极轴 这个等式就
’ ! ’( !
成了圆锥曲线在极坐标系中的标准方程
%
根据上述方程 在 到 之间取若干个 的值 计算出对应的
! ( !! ! ! "
值来 可以画出对应于离心率 的圆锥曲线图象来
+’
! &, %
)+
想一想 如果计算出遇到 的情形 对应的点该如何作出
! ""( ! "
如果遇到分母为 又说明什么呢
(! "
利用直线和圆的作图 有很多方法构成动点轨迹来画圆锥曲线
! %
48
书书书第2章 平面和圆柱面的截线
如图 在定圆 上运动 是圆内一定点 的中垂线和
!!"#"! !" "# "!#
交于 想一想 的轨迹是什么曲线 如果点 在圆外 它又
!" $" "$ # # "
是什么曲线呢
#
图
!!"#""""
49
书书书数学文化
数学文化
!!!
绘画!和!透!视
中世纪的绘画多半是为教堂画装饰物 主要是通过描绘的图像来
!
表现基督教教义和思想 到这个时期快要结束时 画家们也和欧洲其
! !
他思想家一样 开始对自然界感兴趣 开始探索和真实地描绘自然
! !
界 画家们复兴了生机盎然的世界中壮丽的 令人愉悦的本质 重新
! " !
描绘出美丽的画卷 这种美丽的画卷被证明是物质世界的幸福之所
!
在 是满足自然需要的不可剥夺的权利 是由大地 空气 河流 海
! ! " " "
洋所带来的欢乐
!
在描绘现实世界的问题中 由于几个方面的原因使得文艺复兴时
!
期的画家们对数学产生了兴趣 第一个原因在任何时期都起作用 那
! !
就是艺术家们追求逼真的绘画创造 除去颜色和创作意图 那么画家
! !
在画布上所画的东西就是位于一定空间的几何形体了 处理这些理想
!
化物体所使用的语言 它们所拥有的理想的比例 描绘它们位于空间
! !
中相互位置的关系 都需要利用欧氏几何 才能使这几方面有机地结
! !
合起来
!
文艺复兴时期的艺术家们转向数学 不仅是因为他们试图逼真地
!
再现自然界 而且因为他们受复兴的希腊哲学的影响 他们完全熟悉
! !
而且满脑子都充满了这样的信念 数学是真实的现实世界的本质 宇
# !
宙是有秩序的 而且能按照几何方式明确地理性化 因此 像希腊哲
! ! !
学家一样 他们认为要透过现象认识本质 即他们需要在画布上真实
! !
地展示其题材的现实性 他们最后所要解决的问题就必定归结到与一
!
定的数学内容相关 艺术家试图发现其作品中数学本质的最有趣的论
!
据 可以在达 芬奇对比例的研究中找到 在这一研究中 他试图使
! $ ! !
理想人物的结构适应理想的图形 正方形和圆
%%% !
50
书书书数学文化
全然为了精确地绘画而利用数学 与数学是现实的本质这种哲学
!
观念 仅仅是文艺复兴时期的艺术家寻求利用数学的两个原因 除此
! !
还有另外的原因 中世纪晚期和文艺复兴时期的艺术家 也是他们那
! !
个时代的建筑师和工程师 因此他们必然地爱好数学 商人 世俗王
! ! "
侯 教会人士把所有的建筑问题都交给艺术家 艺术家设计 建造教
" ! "
堂 医院 皇宫 修道院 桥梁 堡垒 水闸 运河 城墙 战争器
" " " " " " " " "
械 在达 芬奇的笔记中 可以找到大量的诸如此类设计的图纸 他
! # ! !
自己曾服务于米兰城的统治者拉多瓦 斯福尔扎
! $!"#"$%&"’(")*+%!
不仅作为一位建筑师 雕刻家 画家 而且还作为一名工程师 军事
" " ! "
工程建造技师和战争武器专家为其服务 艺术家甚至还被人邀请去解
!
决炮兵部队中炮弹运行的问题 在那个时期 解决这类问题需要有高
! !
深的数学知识 文艺复兴时期的艺术家是最优秀的实用数学家 而且
! !
在 世纪 他们也是最博学 多才多艺的理论数学家
,- ! " !
激发文艺复兴时期艺术家数学天才的那些特殊问题 就是如何在
!
二维的画布上描绘现实中的三维景物 通过创立一整套全新的数学透
!
视理论体系 艺术家们解决了这一问题 随之他们创立了一种全新的
! !
绘画风格
!
世纪和 世纪早期几乎所有的绘画大师 都试图将他们绘画
,- ,. !
中的数学原理与数学和谐 实用透视学的特殊性质和主要目的结合起
"
来 西纽雷利 布拉曼特 米开朗琪罗
! $’%/0")122%%" $3)+4+051%"
拉斐尔 以及许多其他人对数学都有着
$6%&712+0/12"%" $8+97+12%!
浓厚的兴趣 而且力图将数学应用于艺术 他们精心创作了难度极
! !
大 风格迥异的艺术品 利用高超而惊人的技巧发展 掌握了缩距
" ! "
法 甚至将这些技法的处理置于情感和激情的表现之上 所有这些
! ! !
都是为了在他们的作品中展示科学因素 这些大师们意识到 艺术创
! !
作尽管利用的是独特的想象 但也应受规律制约
! !
这些艺术家们所发展的数学体系的基本原理 可以通过阿尔贝
!
蒂 达 芬奇 丢勒所使用的术语得到解释 这些人把艺术家的画布
" # " !
想象为一块玻璃屏板 通过它 艺术家能看到所要画的景物 就如同
! ! !
我们能够通过窗户看见户外的景物一样 从一只认为是固定不动的眼
!
51
书书书数学文化
睛出发 设想光线能投射到景物中的每一点 这样的一束光线称为射
! !
影 线 在这些光线穿过玻璃屏板 画面 之处都标出
"!"#$%&’(#)# ! " #
一个点子 这样的点集称为一个截影 或称截面或截
! "&"#***%&’(#)#"
景 这一截景给眼睛的印象 与景物自身产生的效果是一样的 然
#! ! !
后 艺术家们断言 写实主义绘画 作画逼真的问题 就是将眼睛
! ! $$$ !
看景物时投射在插入其间的玻璃屏板上物体的大小 位置及其相互关
%
系 在画布上表现出来 事实上 阿尔贝蒂就曾明确地宣称 一幅画
! ! ! !
就是投射线的一个截景
!
图 丢勒 为坐着的男人画像
+!,-! "
这条原则可以通过丢勒的几幅木刻作品而得到说明 第一幅木刻
!
图 显示了艺术家在一块刻有小方格的玻璃屏板或纸上绘画
" +$,-#
时 将一只眼睛固定地看着某处 而从眼睛射向景物的光线则交于屏
! !
板 或纸 上的某些点 第二幅木刻 图 显示 艺术家在即
" # ! " +$+.# !
使眼睛与屏板严重偏离的情况下 也能准确地画出图像 在这幅木刻
! !
中 眼睛牢牢地盯住景物中的一个点 在该点上有一根系在墙上的细
! !
绳子 第三幅木刻 本书章头图 显示的是如何在屏板之外绘画
! " # !
由于画布不透明和不可穿透 因此对于一位希望描绘出仅仅在他
!
的想象中才能存在的景物的艺术家来说 他就不能简单地通过描点的
!
52
书书书数学文化
方式来画出丢勒的 截景 他必须有指导自己绘画的规则 这样
! "! ! #
那些专注于研究透视的学者 就从投影线和截景原理中获得了一系列
#
定理 其中包括聚焦透视体系的大部分内容 这个体系被自文艺复兴
# !
以来的几乎所有艺术家采用
!
图 丢勒 画罐
!!!"! "
数学透视学的基本定理和规则是什么呢 假设画布处于通常的垂
$
直位置 从眼睛到画布的所有垂线 或者到画布的延长部分的垂线
! # #
都相交于画布上的一点 该点称为主没影点
# %#$%&’%#()*(&%+,%&-
这就是不久将出现这个术语的原因 经过主没影点的水平
#.%&/&% &!
线称为地平线 这是因为如果观察者通过画布看外面的空间 这条地
# #
平线将对应于真正的地平线 这些概念在图 中可以看到 这幅
! !’!0 !
图显示的是一个人所观察到的大厅过道 这个人的眼睛位于点 没
! " %
画出 处于与本页纸垂直且通过点 的垂线上 点就是主没影
&# # !#
点 而线段 就是水平线
# $#$ !
! 0
图 按照聚焦透视体系所画出的过道
!!!0!
第一条基本定理是 景物中所有与画布所在平面垂直的水平线
# #
53
书书书数学文化
在画布上画出时都必须相交于主没影点 这样 诸如像
! ! ""#!$$#!
和其他线段 图 都相交于 所有实际上平行的线 应该
%%# " !#!"$ &! !
画作相交 这看起来似乎是不对的 但是 这却是人眼观看平行线的
! ! !
实际情况 如大家所熟知的两条无限伸长的铁轨看起来相交在一起的
!
情况就是一例 也许 现在我们清楚了为什么将 点称为没影点
! ! & !
在现实的景物中没有一个与之相对应的点 因为现实中平行线自身绝
!
不会相交
!
一幅画应该是投影线的一个截景 从这条一般的原理出发 可以
! !
推导出另一条定理 任何与画布所在平面不垂直的平行线束 画出来
% !
时应该与其垂直的平行线相交成一定的角度 以便收敛于地平线上的
!
一点 收敛的点取决于这些平行线与画布所在平面的角度 在这些水
! !
平平行线中 有两条非常重要 如图 中的 和 在实际
! ! !#!" "’# $(!
景象中 它们是平行的 而且与画布所在平面成 相交于点
! ! #$%! % !
"
该点称为对角没影点 的长度必须等
"&’()*+(,-(+’./’+)0*’+1$2&%
"
于 的长度 从眼睛到主没影点的距离 类似地 如 和
)& ### ! ! ’"# *+
这样的水平平行线 在实际景象中与画布成 角 那么画出来也必
! "3$% !
须相交于图 中的第二个对角点 而且 必须等于 随
!#!" % ! &% )&!
! !
着观察者后退 实际景物中上升或下降的平行线被画出来时 也必须
! !
相交于相应的地平线的上方或下方的点 这个点将位于从眼睛发出的
!
平行于所讨论的穿过画布的那条线上
!
从投影线和截景的一般原理出发 可以写出第三条定理 景物中
! %
与画布所占平面平行的平行水平线 画出来时也将是水平平行的 而
! !
那些与画布所在平面垂直的平行线画出来也应是垂直平行的 用眼睛
!
观看 所有的平行线都是收敛的 所以这个第三条定理初看起来就与
! !
视觉不协调了
!
在创立聚焦透视体系很久以前 艺术家们就已经认识到 远处的
! !
物体画出来时应该缩小 但是 在确定缩小的比例方面 他们面临着
! ! !
巨大的困难 新体系提供了所需要的定理 这些定理也可以从绘画是
! !
投影线的截景的一般原理中推导出来 在图 所画出的正方形楼
! !#!"
板的情形中 适当地处理对角线如 和 就得到
! "’#!’"#!$( *+!
54
书书书数学文化
了正确的缩小方法
!
有一点在讨论中已经暗示过了 而且这一点对于外行看一幅根据
!
聚焦体系而创造的画 也是十分重要的 那就是 艺术家眼睛的位置
! ! !
与画的创作密不可分 当观察者的眼睛位于主没影点的水平线上 而
! !
且位于从主没影点到两个对角没影点的等距离点的正前方时 从这样
!
的位置观察画面 则可达到最佳效果 实际上 如果画能挂在适合观
! ! !
察者的高度而又能上下移动的位置上 效果也是很好的
! !
55
书书书３
第 章
平面和圆锥面的截线
大自然这部书 在永恒的意识中记录了
!
大自然的思想 在无所不在的圣殿中绘出了
"
大自然的真实形象 大自然美丽的画卷充斥
"
着巨大的全宇宙
!
康柏内拉
!" #!"#$%&$’())$$
书书书第3章 平面和圆锥面的截线
３．１ 圆锥面和圆锥曲线
!!!!
在点光源的照射下 空间的物体在平面上留下的影子 是中心投
! !
影的概念在现实生活中的原型 我们用眼睛看东西或用照相机拍照片
!
时 如果把瞳孔或镜头看作一个点 从物体上反射出的光线经过瞳孔
! !
或镜头在视网膜上或感光底片上成像的情形 也近似于中心投影
! !
中心投影下物体投影到平面上的像的大小 和物体的位置远近有
!
密切的关系 就像我们看到或照相机拍到的景物一样 因此 中心投
! ! !
影和画家的写生 和空中摄影测量大有关系
! !
正如平行投影和柱面有关 中心投影和锥面有关
! !
本书中不打算讨论一般的中心投影 只研究中心投影下圆在平面
!
上的投影的性质 也就是平面截割圆锥面的截线的性质
! !
锥面的一般定义如下
"
定义 设空间有一条定曲线 和不在 上的一定点 动点 和柱面的定义对比
! ! ! "! # !!
一下 柱面是由一些相
在 上运动时 直线 上的点的轨迹 叫作以 为顶点 以 为
!
! ! "# ! " ! ! 互平行的直线上的点组
准线的锥面 每条直线 都叫作此锥面的母线 如图
成的曲面 而锥面是由
! "# ! ! "##$! "
一些经过同一点的直线
最早被人们做了详细研究的锥面是圆锥面
" 上的点组成的曲面
定义 若锥面的准线为一圆 锥面的顶点在过圆心且垂直于圆所 !
! !
在平面的直线上 则此锥面叫作圆锥面 如图
! ! ! "#$$!
##$!!!!!图!!!!!! #$$
!%"
57
书书书
书书书几何证明选讲
过圆锥面的顶点和它的准线圆的圆心的直线 叫作此圆锥面的
!
轴线
!
也就是说 在通过圆心且垂直于圆所在的平面的直线上取一点作
!
为顶点 从此顶点向圆周上每点作直线 所有这些直线上的点组成了
! !
一个圆锥面 当顶点在圆心时 此圆锥面即圆所在的平面 这时称它
! ! !
退化为平面 以下若不特别说明 所提到的圆锥面都是非退化的
! ! !
用母线来组成圆锥面 不过是组成圆锥面的方法之一
! !
想一想 还有什么别的方法 也能生成圆锥面
! ! "
例如 圆锥面可以看成是一条和轴线相交的直线以轴线为旋转轴
!
旋转一周所形成的曲面
!
由此可见有
#
命题 圆锥面的轴线和每条母线所成的锐角相等 轴线上任
!"#! !
一点到每条母线的距离相等
!
和圆柱面情形类似 如果平面 垂直于圆锥面的轴线 叫作圆
! !
! !
锥面的正截面 容易想到
! #
命题 圆锥面顶点到正截面之间所截的母线上的线段相等
!"$! $
正截面截圆锥的截线是圆 其半径等于 这里 是圆锥面顶点
! "!"#"! "
到正截面的距离 是圆锥面的半顶角
!" !
若平面 不和圆柱面的轴线垂直 称 为圆柱面的斜截面 过轴
! !
! !
线并垂直于 的平面叫作 的轴面 类似圆柱面的情形有
! ! ! #
命题 圆锥面的斜截面的轴面 垂直于斜截面和正截面的
!"!! !
值得思考的是 为 交线
!! ! !
什么要提出用平面来截
作为练习 请证明上述两个命题
割圆锥面的问题 古代 ! !
"
数学家是从实际问题出
发提出了这样的问题
用平面 来截割圆锥面 得到的截线是什么样子的曲线呢
呢 还是在纯几何的研 ! "
! !
究中提出了这样的问 若平面 包含圆锥面的轴线 则平面 包含准线圆的圆心 因
题呢 !
!
!
#!
" 而包含其一条直径 也就包含了经过这条直径两端的母线 和
你能不能发挥自己 $%! &$
的想象 提出猜想 这时平面 和其他的母线只能交于顶点 而不会有第二个公共
当然 ! 如果能查 " 到 &%! ! &
! 点 为什么 得到的截线就是两条母线 这是圆锥面的轴截面
有关的资料 就更值得 % &! ! !
!
高兴了 如图 叫作圆锥面的顶角 它的半角 即
! $’%!"$&% ! % "$&#&
58
书书书
书书书第3章 平面和圆锥面的截线
的大小 叫作圆锥面的半顶角 半顶角是刻画一个圆锥面的几何性质
! !
的唯一的参数
!
一般地 当平面 经过顶点 时
! ! " !
有三种情形
#
和轴线成的角大于半顶角
$#% ! "
时 它和圆锥面的每条母线都交于顶
!
点 这 时 得 到 的 截 线 退 化 成 一
! & ’
个点
!
和轴线成的角等于半顶点
$"% ! "
时 作为截线的两条母线重合为一
! !
和轴线成的角小于半顶角
$!% ! "
时 截线是两条母线
! !
有趣的事情 都发生在截割平面
! #
不经过顶点的情形 和上面的情形对
!
图
应 也可以分三种情形 !""
! #
和轴线成的角大于半顶角 时 上述情形 中有一个平面
#!# " ! $#%
平行于 可见平面 和圆锥面的每条母线都交于一点 这时得到
! #! # !
的截线是封闭曲线 如图
! !"!!
如果平面 垂直于轴线 想一想截线是哪种曲线 你一定想到了
# ! (
是圆
!
图 图
!"! !"$
当平面 不垂直于轴线时 截线是椭圆 这个事实并不明显 古
# ! ! !
代的不少数学家开始只想到平面和圆柱面的截线是椭圆
!
59
书书书几何证明选讲
平面 和轴线成的角等于半顶角 时 上述情形 中有一个
!! ! " ! "!#
平面 平行于 因而平面 不可能和平面 所包含的那一条母线相
# !! ! #
交 但和其余的每条母线都交于一点 这时得到的截线不是封闭曲
! !
线 如图 后面将会证明它是抛物线
! "$#! !
平面 和轴线成的角小于半顶角 时 上述情形 中有一个
"! ! " ! ""#
平面 平行于 因而平面 不可能和平面 所包含的那两条母线相
# !! ! #
交 但和其余的每条母线都交于一点 这时得到的截线是两支不封闭
! !
的曲线 如图 后面将会证明它是双曲线
! "$$! !
这是我们把椭圆 抛物线和
%
双曲线统称为圆锥曲线的由来
!
上述事实不是一眼能够看出
来的 古代数学家为此花了很大
!
的力气 今天 我们站在前人的
! !
肩膀上 几个小时就能够掌握前
!
人上百年才得到的知识
!
在证明这些事实之前 建议
!
大家设计一些实验来观察圆锥面
和平面的截线的形状和性质
!
实验的方式可以是多种多样
的 可以制作实物模型 可以用
! !
光线投影 可以在计算机屏幕上
!
画动态立体图形 图
! "$$
但是 实验不可能证明出截线到底是哪种曲线 最后还是推理解
! !
决问题
!
圆锥的斜截面和它的轴面
!!"
观察图 中的直观图 找出斜截面的轴面 以及斜截面和轴线
"$% ! !
所成的角 为什么说这个角大于圆锥顶角的一半
! &
60
书书书第3章 平面和圆锥面的截线
图
!!"
圆锥的斜截面和它的轴面
!!"
观察 中的直观图 在斜截面的轴面上 找出和斜截面平行的
!!# " "
母线
!
图
!!#
圆锥的斜截面和它的轴面
!""
斜截面斜到什么程度 才能得到图 截线
" !!$ #
61
书书书几何证明选讲
你能在斜截面的轴面上 作出斜截面和轴线的交角 并说明它比
! !
圆锥面的半顶角要小吗
"
图
!#"
从上面的讨论和观察 我们不难理解下面的定理
! $
命题 圆锥面截线定理 设圆锥面的半顶角为 平面
!"#! % & !! "
不经过圆锥面的顶点 且和圆锥面的轴线交角为 当 与轴线平行
! %
# "
时 记 则
! #!#&!
平面 与圆锥面的截线为椭圆
%$& #"!!
"
’
平面 与圆锥面的截线为抛物线
%%& #!!!
"
’
平面 与圆锥面的截线为双曲线
%!& ##!! " "
这个有趣的定理是公元前约 年的古希腊数学家蒙爱启玛斯等
&##
发现的 那时他们用垂直于圆锥面的一条母线的平面来截圆锥面 当
" !
圆锥面的顶角为锐角 直角或钝角时 分别得到椭圆 抛物线或双曲
( ! (
线 多年后 古希腊数学家阿波罗尼奥斯才指出只要从不同的角
"$## !
度用平面截一个圆锥面 就能产生这三种曲线 古人 多年的探索
! " $##
历程 我们将在几个课时里来欣赏体验
! "
62
书书书第3章 平面和圆锥面的截线
３．２ 圆锥截面的焦球
!!!!
在研究平面截割圆柱面的截线性质时 截割平面的焦球起了重要
!
的作用
!
自然会想到 焦球也能够帮我们发现圆锥面和平面的截线的
!
性质
!
圆柱面的截割平面的焦球满足两个条件 首先它是圆柱面的内切
!
球 其次它要和截割平面相切
! !
在圆锥面轴线上取不同于顶点的任一点 由命题 到每
"! !"#!"
一条母线的距离相等 以 为球心 此距离为半径作球 则球 和
! " ! ! "
每条母线相切 称它为圆锥面的内切球
! !
和截割平面 相切的内切球 叫作 的焦球
! ! ! !
观察图 你发现了
!"$!
什么
#
图上画出了圆锥面的
截割平面 和与它分别切
!
于 的两个焦球
#!$ !
在平面 和圆锥面的
!
截线上任取一点 它与
%!
两切点的连线 分
%#!%$
别是两焦球的切线
!
另一方面 过点 的
! %
母线 分别和两焦球切 图
&%
!"$
于
’!(!
和 和 有什么关系
%# %’!%$ %( #
当 的位置改变时 长度会变吗
% !’( #
对照上节的图 到图 所画的三种情形 可以判断图 所
!"! !"% ! !"$
画的是 的情形
""# !
63
书书书几何证明选讲
对比 节的图 有类似的推理 如图 由切线长定
!"# ! $%! " ##&!
理 点到球的所有切线长度相等 可知
! !
!!!!!!!"#!$!!%#!&$
因而
!!!!!!!"’!%#!$’!&#$&#($)(&$
由切线长定理 和 的长度当 的位置改变时保持不变 因而
!($ (& ! !
的长度也保持不变 这表明 当截面 和圆锥面的轴线所成角
$& * ! ! "
大于圆锥面的半顶角 时 截线上的动点 到两定点 的距离
# ! ! "!%
之和等于定长 根据椭圆的定义 这证明了截线是椭圆 同时证明了
* ! !
两焦球和截面的两个切点是椭圆的焦点
*
圆锥面截线定理 命题 情形 得证
% #"’& %$& *
我们似乎一眼就看出了这个证明
*
这是不是太容易了呢
’
你能够对这个证明提出疑问吗
’
例如 焦球是不是一定有呢
! ’
如果没有焦球 这个证明就不成立了
! *
可以设想 在平面 上方先作圆锥面的较小的内切球 逐渐放大
! !
!
直到碰上平面 就成了焦球
! ! *
类似地 在平面 下方先作圆锥面
!
!
的较大的内切球 逐渐缩小直到碰上平
!
面 就成了另一个焦球
! ! *
这样的说明很直观 对我们自己很
!
有说服力 但不能算是几何的证明
! *
要用几何证明来确认圆锥面的截割
平面当 时确有这样的两个焦球
""# !
最有效的办法是给出焦球的构造方法
*
这是一个空间作图的问题
*
解决空间作图问题的主要思路 是
!
把它化为平面作图问题 图
##$%
*
图 画出了斜截面 的轴面 上的几何图形 是轴面和斜
##$% ! $ "+,
64
书书书第3章 平面和圆锥面的截线
截面 的交线 是圆锥面的顶点 和 是轴面所包含的两条
! !! !!" !#
母线 是轴线和平面 的交点
!$ ! %
在 中作 的角平分线和轴线交于 再作其外角的
!!"# "!"# &"
角平分线和轴线交于 容易想到 分别是斜截面 的两个焦
’! "&"’
!
球球心
%
为了证明 是焦球的球心 自 分别向 和 作垂线 垂足
& " & "# "! "
分别为 因 在 的平分线上 故
(")" & "!"# " &(*&)%
以 为球心过点 作球 要证明的是球 和平面 相切 并且
& ( " & ! "
和每条母线都相切
%
由于圆锥面的轴线上的点到每条母线等距 故 到每条母线的
" &
距离都相等 并等于球半径 如 这证明了球 和每条母
" " &(*&)" &
线都相切
%
要证明球 和平面 相切 只要证明 和平面 垂直 由于
& ! " &( ! %
垂直于平面 和平面 的交线 而平面 和平面 垂直 所
&( " ! "#" " ! "
以 垂直于平面 这证明了球 和平面 相切
&( !% & ! %
同理可以证明 自点 向直线 引垂线 垂足为 再以
" ’ "# " +" ’
为球心过 作球 则球 也是截面 的焦球 是此焦球和 的
+ " ’ ! "+ !
切点
%
如果要问 斜截面 的轴面是如何作出来的呢
" #
!
只要自圆锥面的顶点 向平面 引垂线 垂足为 则轴线和
! ! " ," ,
所确定的平面就是平面 的轴面 证明留作练习
! % %
注意 在图 中 必须有 即斜截面 和轴
" !$"# " ""$!#"$!#" !
线的交角大于圆锥面的半顶角 想一想 如果 还
% " ""$!*"$!#"
能作出两个焦球吗 如果 第二个焦球在什么位置
# ""$!$"$!#" #
例 已知圆锥面的半顶角为 截割平面 与圆锥轴线所成的
% "$%" !
角等于 平面 与轴线的交点到圆锥面顶点的距离为 求
&$%"
!
-" %
截割平面的两焦球的半径
&"’ !
两焦球球心到圆锥面顶点的距离
&’’ !
平面 和圆锥面的截线椭圆的长短轴长度
&!’ ! %
分析 如图 是截割平面 的轴面 由题设
% !$"" ! " ""!$*
65
书书书几何证明选讲
推 知
!!"#$ "#$" !%#" $ %#$"
用正弦定理可以求出
!"%#$"&’$"
长度 再用正弦定理求出
%" " "&""’
和两焦球的半径
&("’)*
知道了 和 的圆心距离
"& "’ &’
和两圆半径 用勾股定理或三角函数可
"
以算出外公切线 即所求的椭圆的
)("
长轴 也可以求出内公切线 即椭
# +,"
圆两焦点的距离 进一步用勾股定理可
#
求出椭圆的短轴
*
作为练习 请根据上述分析 用其 图
" " !!""
他方法写出求解过程
*
３．３ 圆锥面截线的准线和离心率
####
上一节我们把研究圆柱面截线的双球法推广到了圆锥面
*
在研究圆柱面的截线性质时 我们还从一个焦球出发 引出了截
" "
线椭圆的准线和离心率 这样的研究方法能不能推广到圆锥面呢
" $
回过头观察 节的图 图中的焦球和圆柱面切于它的大
&(! &!"&"
圆 大圆所在的平面 和截割平面 交于直线 正是截线椭圆的
" ! " -"-
准线 有趣的推理就是从这两个平面的交线展开的
" *
直观地看 图 中圆锥面和焦球的公共点也组成一个圆 这个
" !!) "
圆所在的平面和截割平面的交线是不是截线椭圆的准线呢
$
讨论这个问题的前提 是下列命题成立
" %
命题 圆锥面的内切球和圆锥面的公共点组成一个圆 这个
!"## "
圆所在的平面垂直于圆锥面的轴线
*
我们把命题 的证明放在后面 先避开它推出我们所关心的
!(# "
结果
%
命题 圆锥面截线的准线定理 设圆锥面的斜截面 的焦
!"$# & ’ "
66
书书书第3章 平面和圆锥面的截线
球中心和圆锥面顶点在平面 的同侧 焦球切平面 于点 的轴
!
!
!
!!
!
面 所含的一条母线和焦球切于 过 作圆锥面的正截面 与 交
" "# " # !
于直线 则 和圆锥面的截线上的任一点 到点 的距离与到直
$! ! % !
线 的距离之比为定值
$ #
分析 比照 节中的图 作出图 就会发现 那里的推
! !"# !"$! #"$!! !
理现在基本有效 为了避免机械的重复 这里用不同的风格写出证明
! ! #
证明 如图 设圆锥面顶点为
! #"$!! &#
轴面 和直线 交于 由命题 平面
#$$ " $ ’ # #"#!$" "$%
直线 和 交于 都在平面 上 想一想
#!$ ’! &" ( #’!!&" " ! !
会不会平行
&$%
母线 和焦球 切于
##$ %& ) *%
过 作圆锥面的正截面 和 交于 和 交于
#%$ % $ &" +! ’! ,%
到直线 的垂足为
#&$% $ -#
注意 要证明的 为定值
%!
! #
%-
图
#"$!
观察三角形
平面 是 和正截面 的交线 命题 !! !"#
#’$%," "##%$!%, ! $ ! #"#$% 的边角和轴线的关系 !
在 上 直线垂直于平面的性质 若已知半顶角
#($%,"’, ##’$!’, " ! $% 截 面 和 轴 " 线 !$ 交 % 角 &
同垂直于轴线 垂直于同一直线的平面 !!
你能够用
#)$##$##%$!#!$ !
"#%$&" !
三 角 函 数 表 示 定 值
平行
$%
吗
平行平面性质 "! "
#*$-’#%, ##)$’#&$’#$$’#%$! $% "#
67
书书书
书书书几何证明选讲
平行线处处等距
!!""!"#$% !!#"#!$"#!%"$ "%
已知焦球切 于 点到球的切线等长
!!!"!&#!’ !!&"$
!
&$ "%
命题
!!’"()#(! !!("$ &)’"%
已知 是 和焦球的切点 点到球的切
!!&"(*#(’ !!&"$ * (* $
线等长
"%
!!(")*#!’#!& !!!’"#!!&"#!!!""%
平行平面性质
!!$"*%!$) !!*"#!!"#!("$ "%
平行截割定理
)* +*
!!+" # !!!$"#!’"$ "%
$% +%
!& +*
!!%" # !!!+"#!!("#!!""",
!" +%
证毕
,
图
&&!&
图 画出了命题 中的情形 即 的情形
&&!& &)( !’"! "## ",
在图上 和 分别是哪两个角
$#
"
’
前面关于图 的推理 是否依然有效
&&!’ $ ’
是哪种三角形
"%*+ ’
上面看到 不用命题 命题 的表述中要提到斜截面的轴
$ &)$$ &)+
面 有拖泥带水之感
$ ,
现在 我们给出命题 的证明
$ &)$ ,
68
书书书第3章 平面和圆锥面的截线
命题 圆锥面的内切球和圆锥面的公共点组成一个圆 这个
!"#! !
圆所在的平面垂直于圆锥面的轴线
!
证明 如图 以 你能给出更简单的
! !""#! !!
证明吗
为顶点的圆锥面的一个 !
" 用命题 试试
!"# !
内切球球心为 设 是
#! $
球面和圆锥面的一个公共
点 过 向轴线 引垂
! $ "#
足 过 作垂直于
%! % "#
的平面 只要证明球
!! #
和圆锥面的任一公共点
&
在平面 上
! !
是母线 和
#"$$ "$ 图
!""#
球 的切点 已知
# # $%
是母线 和球 的切点 已知
#$$& "& # # $%
点到球的切线等长
#!$"$’"& ##"$&#$$! $%
显然
##$"%’"% # $%
已知 是轴线 命题
#%$"$"%’"&"% # %" ! !&"$%
边角边
#’$#"%$$#"%& ##!$&##$&#%$! $%
#($"$%"’"&%" ##’$$%
已知
#)$$%%"# # $%
#*$&%%"# ##($&#)$$%
在平面 上 平面 过 且垂直于
#"+$& ! ##*$! ! % "#$!
证毕
!
有了命题 你能够把命题 表述得更为简洁吗
!&%! !&’ ’
把命题 结论中的定值和 两角联系起来 你能把命题
!&’ "! # ! !&’
表述得更为明确吗
’
69
书书书
书书书几何证明选讲
３．４ 圆锥面的双曲线截线的探索
!!!!
在圆锥面截线定理 命题 中 情形 即 的情形
! !"#" # !!"# !"" #
前面尚未论证
!
观察图 你发现了什么
!$$%# %
图
!$$%
和图 对比来考虑 那里的推理哪些仍然有效 哪些要调整
!$& # % %
为什么两个焦球到截面 的同侧来了
%
#
可不可以想象 在平面上放两个球 两球之间有一个点光源
# # "#
在光的照射下 两球在平面上的影子的边缘 就是我们感兴趣的
# #
截线
%
的位置在何处 才能使两球的影子的边缘 成为一个双曲线的
" # #
两支 为什么
% %
请比照 节的推理 尝试给出命题 中情形 的证明
!"’ # !"# !!" !
继续减小截面 和轴线的交角 得到图
# # !$$(!
在图 中 逐渐减小截面 和轴线的交角 当 和右面的母
!$$’ # # # #
线平行时 就成了图
# !$$!!
观察图 对照命题 的证明 那里的推理 是否仍然有
!$$(# !"( # #
效
%
在图 和 中 有何不同
!$$’&!$$! !$$( ###$% %
70
书书书第3章 平面和圆锥面的截线
图
!!"#
图 中 只看到双曲线截线的一支 另一支在哪里 你能够
!!"# " " #
把这个图画得更完全一些吗
#
71
书书书数学文化
数学文化
!!!
从艺术中诞!生!的!科!学!：射影几何
世纪最富独创性的数学成果 来自受绘画艺术的激发而产生
!" !
的灵感 在这一世纪中 科学为数学研究提供了主要的动力 画家们
! ! !
在发展聚焦透视体系的过程中 引入了新的几何思想 而且提出了一
! !
系列导致这一研究进入全新方向的问题 通过这一方式 艺术家们
! !
偿还 了他们利用数学方法 思想而 拖欠 数学的 债务
" # $ " # " #!
在透视学研究中产生的第一个思想是 人所触觉到的世界与人所
!
看到的世界 这二者有一定的区别 相应地 应该有两种几何学 一
! ! ! !
种是触觉几何学 一种是视觉几何学 欧氏几何是触觉几何学 因为
! ! !
它与我们的触觉一致 但与我们的视觉却并非总是一致 例如 欧几
! ! !
里得对恒不相交的直线 诸如平行线 的研究 这样的直线只有用手
% & !
接触才会存在 而用眼去看却绝不存在 我们绝不可能看到平行线
! ! !
!!
笔直的铁轨延伸到远处后 我们会看到它们的确相交了
! !
有许多其他的理由表明 欧氏几何是一门触觉几何 例如 它研
! ! !
究全等图形 即两个上下叠合的图形 叠合是一种用手完成的动作
! ! !
欧氏几何的定理中也常常涉及测量 这又是另一种由手完成的行动
! !
欧几里得的几何世界是有限的 这个世界实际上就是进入我们感官的
!
世界 这样人们所考虑的就不是整条直线 而认为直线是一条能够向
! !
两个方向充分延长的线段 因此 从一个给定的图形出发 就不会试
! ! !
图去考虑无穷远处的图形
!
由于欧几里得几何能够被十分合理地认为它所研究的是由触觉产
生的问题 所以这门几何就为视觉几何留下了广阔的研究余地 以此
! !
为目的 在透视学的研究中提出了第二个重要的思想 聚焦透视体系
! !
中的基本思想 是投影和截景体系 投影线就是一束从眼睛出发 到
! ! !
72
书书书数学文化
一个物体或景物各点形成的一束光线 截景就是用一块放置于眼睛与
!
被观察物体之间的玻璃屏板与投影相截所形成的图形 尽管玻璃屏板
!
上截景的大小 形状 会随着屏板放置的位置 角度的变化而变化
" # " #
但是每一个截景对眼睛产生的视觉印象 图 与物体本身对眼
$ !%"#&#
睛产生的视觉印象 则是一样的
# !
图 同一个投影的两个不同截景
!!"#!
这一事实提出了几个重大的数学问题 假设我们考虑同一个投影
!
的两个不同截景 既然它们在眼睛中产生的视觉印象相同 那么它们
! #
就应该有相同的几何性质 这样一来 截景的相同性质是什么呢 还
! # ’
有 物体原形和由该原形所确定的截景有什么共同的性质 最后 如
# ’ #
果两个不同的观察者观察同一个景物 那么就会形成两个不同的投影
#
图 如果每个投影形成一个截景 那么就应该有两个截景
$ !%"$&! # #
考虑到这些截景是由同一个景物所产生的 那么这些截景就应该有相
#
同的几何性质 这些相同的几何性质是什么呢
! ’
通过透视学的研究 数学家们还开辟了另一个研究方向 我们知
# !
道 艺术家不能画出与物体本身一模一样的作品 取而代之的是 他
# ! #
们在画布上必须将平行线画成收敛于一点 为了考虑眼睛的确有视觉
!
假象的存在 他们必须引入前缩法和其他技术 为了实现这一表现手
# !
法 艺术家们需要一些能帮助他们确定线段的位置 其他哪些线段必
# "
73
书书书数学文化
图 同一景物的两个不同投影的截景
!!"#!
须与已知的任意线段相交的一系列定理 因此 数学家以此为动机去
! !
研究直线 曲线相交的定理
" !
第一个探索由艺术家在透视学研究中提出的这些问题的大数学
家 是自学成才而闻名于世的建筑师 工程师吉拉德 笛沙格
! " !
他从事这方面研究的动力 是为了
#$%&’&()*+’&,-*+!"./!$"001%! !
帮助他那些在工程 绘画和建筑方面的同事 我坦率地承认 他写
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道 我绝不对物理或几何的学习或研究抱有兴趣 除非能通过它们
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获得有助于目前需要的某种知识 能增加生活的幸福与便利 能有
(( !
助于健康和施展某种技艺 我看到好在一部分艺术根植于几何 其
(( !
他还有如建筑上切割石块 制作日晷 特别是透视法 他头一步工
! ! !’
作是收集 编辑整理许多有用的定理 通过写信和传单传播他所获得
" !
的成果 后来 他写了一本论透视的小册子 但几乎没引起人们的
! ! !
注意
!
笛沙格从他的初步工作开始 向高深的富有创造性的数学研究迈
!
进 他在射影几何基础方面做出的主要贡献 囊括于他 年的著
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作 试论锥面截一平面所得结果的初稿 之中 但像他为艺人们所做
) * !
出的贡献一样 没有引起人们的注意 这部书所有的复制本都失传
! !
了 尽管当时有人欣赏他的著作 但大多数人持轻视和嘲弄的态度
! ! !
在探索了多年建筑学 工程方面的问题以后 笛沙格又回到了他原先
" !
所涉猎的学术领域 他的两位同时代人 拉伊尔
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和 帕斯卡 在这门学科快要被长时间埋
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74
书书书数学文化
没之前 研究了笛沙格的工作 并且将笛沙格的初步工作大大向前推
! !
进了 幸运的是 拉伊尔将笛沙格的著作抄录了一份复本 年
! ! !!""
后 一个偶然的机会人们发现了这一手抄本 这个手抄本告诉了我们
! !
笛沙格所做出的贡献
!
笛沙格的新几何使人最惊奇的事实 尽管这不是最重要的
""" """
就是 这种新几何中不包括平行线 就如同平行线在画布上必须相交
! !
于一点一样 空间 欧几里得意义上 中的平行线 笛沙格也要求它
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们相交于一点 该点位于无穷远处 但却被假定存在着 该点对应于
! ! !
真实空间中画在画布上的平行线相交的那一点 增加了 无穷远点
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这一概念 表明与欧氏几何不矛盾 但却是对欧氏几何的重大扩充
! ! !
它符合人们的眼睛所看到的内容
!
射影几何中的基本定理 这条定理现在在所有数学中都很重要
"""
是由笛沙格提出的 并以他的名字命名 这是数学家对由透视学
""" ! !
提出的问题所作的回报
!
假设眼睛位于点 从 点看一个 图 我们知
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道 从 点到三角形边上各点的线形成一个射影 这一射影的一个
! " !
截景含有一个 其中 对应于 对应于 对应于
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和 称为从 点看去的透视图 笛沙格定理断言
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笛沙格定理 对于从一点透视出来的两个三角形 它们之间的对
" !
应边 与 与 以及 与 或它们的延长线 相
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交的三个交点 必定在同一条直线上
! !
特别针对我们所讨论的图形 笛沙格定理告诉我们 如果延长
! ’
边与 边 它们将相交于 点 延长 与 边 它们将
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相交于 点 延长 与 边 它们将相交于 点 那么
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将在同一直线上 笛沙格定理对两个三角形在同一平面或不在
(!) !
同一平面上的两种情形都成立
!
在射影几何中具有同样典型意义的又一定理 由法国著名的早慧
!
思想家帕斯卡在他 岁时给出了证明 帕斯卡将这一定理附在一篇
$& !
关于圆锥曲线的论文中 这篇论文非常出色 以致笛卡儿不相信它出
! !
自一位如此年轻的人之手 帕斯卡定理 像笛沙格定理一样 论述的
! ! !
75
书书书数学文化
图 笛沙格定理
!!"#!
是一个几何图形的任何射影的截景所共有的性质 用更精确的数学化
!
语言来说 这个定理论述的是一个几何图形在射影和截面取景下的不
!
变性
!
帕斯卡曾经这样说 画任意内接于一个圆的六边形 内接点分别
" !
为 图 将一对对应边延长 例如将
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和 延长 使它们相交于 点 延长另一对对应边使它们相交于
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点 延长第三对对应边使它们相交于 点 然后 帕斯卡说
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将总是位于同一条直线上
)!* !
帕斯卡定理 若一六边形内接于一圆 则每两条对应边相交而得
! !
的三点在同一直线上
!
甚至人们熟悉的数学内容也受到了射影几何概念的启发 就像我
!
们在第二 三章中看到的那样 圆 椭圆 抛物线和双曲线是锥面的
& ! & &
截面 截景 如果我们想象眼睛位于 点 即锥面的顶点 再设想
# %! + ! !
截面 截景 表面的直线 如 是从 到圆 的光线 那么这
# % ! +" + "#$ !
些直线就形成了一个投影 而且用各种不同的平面与这一投影相截所
!
形成的截面 截景 就会形成圆 抛物线 椭圆和双曲线 通过把
# %! & & !
一个闪光信号灯的光线聚集在一个由金属丝绕成的圆圈上 然后观察
!
金属圈在一块纸板上所形成的斜影 读者就可以检验上述结论的正确
!
76
书书书数学文化
图 帕斯卡定理
!!"#!
性 当纸板转动时 截面 截景 将发生变化 从而给出各种圆锥曲
! ! " # !
线截面 截景 由于四种圆锥曲线都能由一个圆锥的截面 截景
" #! " #
得到 而且由于帕斯卡定理论述的是关于圆在投射和截面取景下的不
!
变性 因此 显而易见帕斯卡定理对所有圆锥曲线都适用
! ! !
我们将考虑另一个射影几何定理 帕斯卡定理告诉我们的是有关
!
内接于一个圆内的六边形的内容 布利安桑
!!"#" "$%&%’()*+,-.+#
在 世纪早期为射影几何的复兴做出了贡献 发现了一个著名的定
/0 !
理 该定理描述的是外切于一个圆的六边形的性质 该定理 图
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叙述如下
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布利安桑定理 如果一个六边形外切于一个圆 则对应顶点的连
! !
线 三条 相交于一点
" # !
如我们所期望的那样 布利安桑定理不仅对圆适用 而且对任何
! !
圆锥曲线也都适用
!
笛沙格定理 帕斯卡定理和布利安桑定理是射影几何中业已证明
&
了的一类定理的代表 我们可以这样来刻画射影几何中所有这些定理
!
的特征 它们集中表现了投影和截面取景 射影和截景 的思想 论
% " # !
述了同一个物体的相同射影或不同射影的截景所形成的几何图形的
性质
!
77
书书书数学文化
图 布利安桑定理
7!"#!
射影几何能够被用于解决一些实际问题 由于人们已经在这门学
!
科的内部发现了潜在的乐趣 由于它的美 由于它的优雅 由于它在
! ! !
发现定理中带来的直觉的自由 以及为了它所需要的证明而作出的严
!
密的演绎推理 所有这些 给这门学科提供了充足的养料 但由于人
! ! !
们偏爱应用数学 射影几何曾在短时间里遭到冷遇 直到 世纪它
! ! #$
又东山再起 后来证明射影几何是许多新几何学的源泉 也许正是由
! !
于绘画 使这门学科的思想变得丰富多彩 绚丽多姿 因而由笛沙格
! " !
创造的这门 诞生于艺术的科学 成了今天最美的数学分支之一
# $! !
78
书书书课程总结报告参考题
一 知识的总结
! "
本专题学了哪些几何概念和几何命题 按照你认为的最适合
!! #
的顺序和分组表述这些概念和命题
!
这些概念和命题之间有何联系 前面的的概念和命题有哪些
"! !
在后面被直接或间接地应用了
#
本专题的表述和推理过程中 用到了哪些以前学过的几何命
#! $
题和概念
#
你觉得数学证明有用吗 有趣吗 有力量吗 哪些命题不证
$! # # #
明也能看出来 哪些命题不证明就很难想到
# #
二 知识和能力的拓展
! "
通过查阅书刊和网上资料 用计算机作图测量 提出问题独立思
$ $
考 对专题中的某些内容和应用作进一步的探讨 例如
$ ! "
了解平行投影 中心投影的性质和应用
!! ! !
了解圆锥曲线更多的性质 作图方法和实际应用
"! ! !
用平面几何方法证明椭圆的不同定义的等价性
#! !
了解圆锥曲线研究的历史
$! !
三 学习本专题的感受和体会
! !
79
书书书附 录
附 录
!
数学词汇中英文对照表
按词汇所在页码的先后排序
! "
中文名 英 文 名 页 码
! !! ! ! !
透视
! !"#$!"%&’(" )
射影几何 学
! ! " !#*+"%&’(","*-"&#. )
几何原本
! "/"-"0&$*1,"*-"&#. 23
平行投影
! !4#4//"/!#*+"%&’*0 )2
中心投影
! %"0/!#*+"%&’*0 )2
变换
! ($1*#-4&’*0 ))
截线
! ($("#$4/ )5
射影
! !#*+"%&’*0 32
截影
! %#*$$$"%&’*0 32
主没影点
! !#’0%’!4/(40’$6’0,!*’0& 3)
对角没影点
! 7’4,*04/(40’$6’0,!*’0& 38
80
书书书
