经全国中小学教材审定委员会 2005 年初审通过
普通高中课程标准实验教科书
数数数 学学学
选
修
不
等
式
选
讲
湖
南
教
育
出
版
社 湖南教育出版社
(cid:13523)(cid:14406)(cid:2372)(cid:2059)(cid:1147)(cid:2709)
－
普
通
高
中
课
程
标
准
实
验
教
科
书
数
学
4
5普通高中课程标准实验教科书
数 学
选 修 4-5
不等式选讲主 编张景中黄楚芳
!! ! !
执行主编李尚志
!
本册主编朱华伟
!
编 委钱展望郑志明
!! ! !
查建国
普通高中课程标准实验教科书
数学
!
选修
! "
不等式选讲
责任编辑甘哲
! !
湖南教育出版社出版长沙市韶山北路 号
" !!# #
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350627!0!24 ! !"! !270000
年月第版 年月第 次印刷
700" 4 2 !7025 1 7!
89:;513 1 "#"" !40! #
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书书书前言
!
探寻现实生活中的不等关系
自来水管的横截面为什么总是圆的而不是方的
! "
圆柱体容器的容积一定时怎样的圆柱体容器用料最省
! "
表面积一定时怎样的长方体容积最大
! "
晚上在灯下做功课时怎样选择灯的高度才能使桌子边缘处
! !
最亮
"
亲爱的同学们这类问题在现实生活中随处可见它们都与不
! !
等式有关可以利用不等式来解决
! !
不等式是数学的重要内容是研究数量的大小关系的必备知识
! !
是我们进一步学习数学和其他学科的基础和工具
!
在本专题中我们将回顾和复习不等式的基本性质和基本不等
!
式介绍一些重要不等式绝对值不等式平均值不等式柯西不
! # $ $
等式排序不等式贝努利不等式和证明不等式的基本方法比
$ $ % #
较法分析法综合法反证法放缩法 以及数学归纳法和它的
$ $ $ $ %!
简单应用
!
同学们通过本专题的学习不仅要掌握不等式涉及的基本知识
!
和基本技能还要主动地探寻现实生活中存在的不等关系逐步形
! !
成和努力增强数学应用意识走进数学应用的天地
! &
书书书目录
第!章
!
基本不等式和证明不等式的基本方法
"!
数学实验 的近似值
!!
""
实数可以比较大小
!!!#!! "$
习题
!! !! "%
比较法证不等式
!!!#"! "&
习题
!! !" "’
基本不等式
!!!#(! "’
习题
!! !# "!"
基本不等式实际应用举例
!!!#)! "!(
习题
!! !$ "!)
阅读与思考算术平均数与几何平均数
!
"!%
分析法与综合法
!!!#$! "!*
习题
!! !% ""!
反证法和放缩法
!!!#%! """
习题
!! !& "")
第"章
!
绝对值不等式
""$
含有绝对值的不等式
!!"#!! ""%
习题
!! !’ ""*
解含绝对值的不等式举例
!!"#"! ""’
习题
!! !( "("
阅读与思考距离的性质
!
"((
第#章
!
数学归纳法与不等式证明
"(%
数学归纳法
!!(#!! "(&
习题
!! !) ")+
!!!!!
书书书目录
数学归纳法证不等式
!!(#"! ")+
习题
!! !!* ")(
第$章
!
平均值不等式
"))
三个正数的平均值不等式
!!)#!! ")$
习题
!! !!! ")&
三个正数平均值不等式的实际应用举例
!!)#"! ")&
习题
!! !!" ")’
阅读与思考 个正数的平均值不等式
!!
"$+
数学建模洗衣服的数学
!
"$"
第%章
!
三个重要不等式
"$&
柯西不等式
!!$#!! "$*
习题
!! !!# "%!
排序不等式
!!$#"! "%!
习题
!! !!$ "%%
贝努利不等式
!!$#(! "%&
数学建模增设汽油中转站
!
"%’
课程总结报告参考题
"&"
数学词汇中英文对照表
附录
!! "&(
!!!!"１
第 章
基本不等式和证明不等式的基本方法
比较法、 分析法、 综合法、 反证
法、 放缩法是证明不等式的基本方
法， 本章将复习不等式的基本性质和
基本不等式， 通过一些简单问题学习
证明不等式的基本方法．不等式选讲
数学实验
!的近似值
我国古代著名数学家祖冲之用 作为的近似值如果要找比
"##
!! ! !
$$"
更接近的分数而且想让分母尽可能地小怎么办呢
"##
! ! ! "
$$"
这个问题的数学表达就是
! #
找一对正整数 使满足
$ !!"!
比 更接近 也就是
" "##
%$& !!
! $$"
" "##
!% " %! ’
! $$"
要求尽可能小
%!& ! #(
这就看到要把问题说清楚要用不等式来表达
! ! #
可以想到取一个一个分数来试验找到一个满足上述条件的
! !
就可以了
#
分母为的正分数很多要有限制若 不用考虑若
" "
! ! # #"! ’
! !
也不用考虑用不等式估计分子的范围
$"&!! # " #
由 得
"
%"! "%"!’
!
由 得
"
""&!! """&!!#
!
这又用到不等式 的基本性质
!’()*+,-’./" #
对于 由开始一个比一个大的来试用计算机搜索可以找
!! " ! !
到一个分数看看分母有多大
! #
用手算或计算器算太慢了使用 超级画板的程序工作
! $010 (
区要方便得多
#
!!!!!第章基本不等式和证明不等式的基本方法
把下列程序键入 超级画板的程序工作区 ! !
$010 ( #
"##
23 ’
$$"
4’3"&$5$#6!7#"#8696’
:32%4’’
&%";$55"#"9"&)%$$";;;;;;;;;;;;;;&"
,32’
<=>%43"’4"$;;;’4341$&
*
<=>%*3<-==>%4’%4’%:&&’*"<-==>%4’%4’1:&&1$’*3*1$&
!!!!!!!*
!!!!!!!’<%%*)4%4’&?!"%2%4’&?!&
!!!!!!!!!!!*,3*)4’+
!!!!!!!)-@)*,’+
!!!!!!!+
+
把光标放在最后的花括弧左边按住 键单击 程序开始运
! A.>- B(.)>!
行不久结果出现
# ! #
&"##)$$""
这表明分母不超过 的所有分数中最接近的是
"##
! $;;; ! ! #
$$"
注意程序中有一行
<=>%43"’4"$;;;’4341$&C
这一行中的改成 改成 再运行结果仍是
"##
" $;;;!$;;; !;;;! ! #
$$"
可见分母不超过 的所有分数中最接近的仍是
"##
! !;;; ! ! #
$$"
耐心地做下去你会看到分母不超过 的分数中最接
! ! $7;;; !
近的仍是
"##
! #
$$"
下面再做把这一行改成
!
<=>%43$7;;;’4"$79;;’4341$&!
!!!!"不等式选讲
你会找到一个分母为 的分数算一算就知道它确实比 更接
"##
$77;5 !
$$"
近
!#
在 之间有没有比 更接近的分数呢只要
"##
$7;;;#$77;5 ! ! !
$$"
把这一行改成
#
<=>%43$7;;;’4"$77;5’4341$&C
运行一下就知道了没有
# #
我们找到了比 更接近的分数是
"## #!$7"
! #
$$" $77;5
实际上如果多用点不等式知识工作量可以小得多能大大
! ! !
简化计算甚至得到更漂亮的结果
! #
!!!!5第章基本不等式和证明不等式的基本方法
! !
!"!!实数可以比较大小
我们知道实数集与数轴上的点集是一一对应的在数轴上不
# #
同的两点中右边的点所表示的实数比左边的点表示的实数大如
# #
图 所示点 表示实数 点
$ $ # $ %# &
表示实数 点 在点 右边那么
’# $ & #
从图 中我们还可以看到
%%’# $ $ # $
图
如果 那么 是正数反 $ $
%%’# %%’ % !
之 是正数则
#%%’ # %%’#
类似地如果 那么 是负数如果 那么
# %"’# %%’ % %3’# %%’3
它们的逆命题也都正确
;# #
这里表明了
%%’(%%’%;%
%3’(%%’3;%
%"’(%%’";#
由此可见实数可以比较大小要比较两个实数的大小可通
# # #
过考察它们的差与的大小关系来完成
; #
例 比较 与 的大小
!! !%%$"!%15" %!1"% #
解
!!!%%$"!%15"%!%!1"%"
3!%!1"%%5"%!%!1"%"
3%5";#
D!!%%$"!%15""!%!1"%"#
例 比较 与 的大小
#! (!1" "( #
解
!!!(!1""%"(
3(!%"(1"
! ""! "
3(% 1 %;#
! 5
D!!(!1""%"(#
!!!!#不等式选讲
例 甲乙两人同时同地出发沿同一路线走到同一地点甲
$! & # #
有一半时间以速度行走另一半时间以速度行走乙有一半路程
% # ’ %
以速度行走另一半路程以速度行走如果 问甲乙两人
% # ’ & %)’# &
谁先到达指定地点
#
解设从出发地点至指定地点的路程是 甲乙走完这段路程
! )# &
所用的时间分别为 依题意有
*#*# #
$ !
* *
$%1 $’3)#
! !
) )
1 3*#
!% !’ !
从而
!)
)!%1’"于是
*3 #*3 #
$ %1’ ! !%’
!) )!%1’"
*%*3 %
$ ! %1’ !%’
)’5%’%!%1’"!(
3
!!%1’"%’
)!%%’"!
3% #
!%’!%1’"
其中 都是正数且 于是 即
)#%#’ # %)’# *%*";#
$ !
*"*#
$ !
从而知甲比乙先到达指定地点
#
习题
!!
已知 比较 与 的大小
$& ();# !(!1$"! (51(!1$ #
设 比较下列各式的大小
!& %)’# $
与
!$"%!!%1$"1’!!’1$" %!%!1’"1’!’!1%"%
与
!!"%"1’" %!’1%’!#
设 比较 %!%’! 与 %%’ 的大小
"& %%’%;# #
%!1’! %1’
若 求证 (!1+1$ +1$
5& +$$# $ 槡 $ 槡#
(!1+ +
!!!!7第章基本不等式和证明不等式的基本方法
某收购站分两个等级收购小麦一等小麦每千克为元二等小麦每千克为 ! !
#& # % # ’!’"
元现有一等小麦 二等小麦 若以两种价格的平均数收购对被
%" # (EF# ,EF# #
收购者是否公平合理
)
!"#!比较法证不等式
一个不等式实际上表示的就是不等式两边的大小比较从上一
#
节我们知道两实数大小的比较可通过考察两数的差与的大小关系
;
来实现因此我们要证明一个不等式也就可以如同进行实数大小
# #
比较一样采用作差变形确定符号的方式进行我们将这种方
# & & #
法称之为比较法
!G=H4,>’@=(H).I=:"#
以下我们利用比较法证明不等式的基本性质
#
性质 若 则
!! %%’#+*%# %1+%’1+#
证明
!J!!%1+"%!’1+"3%%’#
又由 知
%%’# %%’%;#
D!%1+%’1+#
性质 若 则
#! %%’#’%+# %%+#
证明
!J!%%’#’%+#
D!%%’%;#’%+%;#
D!%%+3!%%’"1!’%+"%;#
D!%%+#
性质 若 则
$! %%’#+%-# %1+%’1-#
证明请同学们自己完成 根据性质可得
!! ! #" !! 5# $
性质 若 则 若 则 %
&! !$" %%’#+%;# %+%’+% ’%;# ’ %$
若 则
(%%’#
!!" %%’#+";# %+"’+# 这里为我们提供了
证明 比较法证明不等式的另
! !$"%+%’+3!%%’"+#
一种方式作商注意
因 故 与 同号 $ !
+%;# %+%’+ %%’ # 变形与比
’%;*" # $
较大小
J!%%’#!D!%%’%;# #
D!%+%’+%;#
!!!!9不等式选讲
D!%+%’+#
证明请同学们自己完成
!!"! #"
性质 若 则
’! %%’%;#+%-%;# %+%’-#
证明请同学们自己完成
!! ! #"
性质 若 则
(! %%’%;#.*) #.$!#
1
槡槡
!$"%.%’.%!! !!". %% . ’#
证明
!!$"%.%’.3!%%’"!%.%$1%.%!’1+1%’.%!1’.%$"# $
因 故中第二个括号内各项和为正数
%%;#’%;# $ #%.%’.
与 同号
%%’ #
J!%%’#!D!%%’%;#
D!%.%’.%;#
即
!%.%’.#
用 代替中的 由知槡槡与 同号
!!" %. $#’. $ $ %#’# $ . %% . ’ %%’ #
因此槡槡
. .
%%’#
比较法是证明不等式最基本的方法下面我们利用比较法来证
#
明不等式
#
例 求证
"
!! $(!1 %!(C
!
证明
! ""
!J!(!1 %!(
!
$
3(!%!(1$1
!
$ $
3!(%$"!1 $ %;#
! !
"
D!(!1 %!(C
!
例 已知 求证
#! %#’*%# $
!!!!!%51’5%%"’1%’"C
证明
!!!!%51’5"%!%"’1%’""
3!%5%%"’"1!’5%%’""
3%"!%%’"%’"!%%’"
!!!!8第章基本不等式和证明不等式的基本方法
! !
3!%%’"!%"%’""
3!%%’"!!%!1%’1’!"
’! $ "! " (
3!%%’"! %1 ’ 1 ’! $;#
! 5
D!%51’5$%"’1%’"#
习题
!#
用 号填空
$& ,%-&,"- $
如果 那么
!$" %%’# %% %’%
如果 那么
$ $
!!" %"’";# !! %
% ’
如果 那么
+ +
!"" %%’%+%;# !! %
% ’
如果 那么
$ $
!5" ;"%"’"$#.*) # % !!;#
1 %. ’.
求证
!& $
如果 那么
!$" %%’#/%0#+%;# 0%%+"/%’+%
如果 那么
!!" %%’%;#+"-";# %+"’-#
求证
"& $%!1"’!$!’!%1’"#
求证
5%
5& $ #$#
51%!
已知 都是正数且 求证
#& %#’#1 # %"’# $
%11 %
!!!!!!!!!! % #
’11 ’
已知 求证
7& %%’%+# $%!’1’!+1+!%%%’!1’+!1+%!#
已知 且满足 求 的范围
9& 0!("3%(!1’(# %$#0!$"#!#%!#0!!"#5# 0!"" #
!"$!基本不等式
现在我们用比较法来证明不等式
!!!!6不等式选讲
%1’ 槡
$ %’!!%#’*% "# $
! 1
证明
!J!%%;#’%;#
%1’ 槡
D!!! % %’
!
$ 槡槡
3 !%1’%!%.’"
!
图
这里是运 $ 用 ! 比较法结合 $ 槡槡
3 !%%’"!$;#
几 ! 何 ! 图形给出的另一证法 !
$
如图 $ !# 正方形 $&23 中 # D %1’ $ 槡 %’!! 当且仅当 %3’ 时取等号 "#
4
+$&2
14
+$56
%4矩形 $&75$;# !
即 % ’ 槡槡 我们将 称为两个正数 的算术平均
! ! 1 ! $%.’# %1’ %#’ !,>’.IH).’GH),("
由此得出 !
$#
数槡则称之为 的几何平均 数
对实数 有 # %’ %#’ !F)=H).>’GH),(" #
(# (!$ 式告诉我们两个正数的算术平均数不小于几何平均数当
这是配方法的基础
;# # $ # #
在运用比较法证明不等 且仅当这两个正数相等时等号成立
式的过程中常为我们 #
#
利用可以很快地写出一些不等式
提供了赖以确定符号的
$ $
关键理由
#
%!1’!
$%’#
几何平均数这 !
, -
个名词的来源可以从下
%!1’!$!%’# %
述简单的几何事实中得
到解释如图 %!1’!3,%,!1,’,!$!,%,,’,#
# $ "!,"
中表示长与宽的长度分
别为 的矩形图
%!1’!%%’$%’
%#’ # 等等
表示的则是与
$ "!K" #
矩形具有相同面积的正 同学们还可以作进一步的探索
方形那么它的边长就 #
# 不等式 我们称之为基本不等式 现
是 的几何平均数
%#’ # $#% !K,@’G’()*+,-’.’)@"#
在我们可以从 这两个不等式出发利用不等式的基本性质
# $#% #
得到一连串的不等式例如
# $
由得
$& %
!! !,"!!! !!K"
图
$ " %!1’!1!%’$!%’1!%’#
即
!%1’"!$5%’#
将
!& !!!!!!!!%!1’!$!%’#
’!1+!$!’+#
$!!!;第章基本不等式和证明不等式的基本方法
! !
+!1%!$!+%
相加再除以 即得
# !#
%!1’!1+!$%’1’+1+%#
当 时
"& %%;#’%; #
槡
’ % ’ %
!$" 1 $! . 3!%
% ’ % ’
槡
!$ $" 槡 $
!!"!%1’" 1 $! %’.! 35#
% ’ %’
上面这些不等式的证明实际上也可以看作是发现过程从某种
#
意义上讲当我们经历从已知条件出发以不等式的基本性质基
# # &
本不等式为依据进行思考探求以至获取不等式的过程其实也就
& #
是对不等式给予证明
#
例设 是正数求证
! %#’ # $
!%’ 槡
!$" # %’%
%1’
槡
%1’ %!1’!
!!" # #
! !
证明 为正数
! !$"!J!%#’ #
槡
D!%1’$! %’#
$ $
D! # 槡#
%1’ ! %’
!%’ !%’ 槡
D! # 槡3 %’#
%1’ ! %’
!!"!J!!%1’"!3%!1’!1!%’#!!%!1’!"#
!%1’"! %!1’!
D! # #
! !
槡
%1’ %!1’!
D! # #
! !
根据基本不等式及例题可知对于两个正数 有
$ $ %#’#
槡
!%’ 槡 %1’ %!1’!
# %’# # # &
%1’ ! !
$!!!$不等式选讲
在图 中 为圆心
$ 5 #8 #
69"6:"68"6;# ’
图
$ 5
设
!
6<3%#6=3’#!%%’"#
则 %1’ 槡
!! !683 #!!6:3 %’#
!
槡
!%’ %!1’!
!!693 #!!6;3 #
%1’ !
即不取等号时的情形
!!’ & #
习题
!$
已知 为正数求证
$& %#’#+ # $
!$"!%1’"!’1+"!+1%"$8%’+%
槡 槡 槡
!!"%1’1+$ %’1 ’+1 +%#
已知 及 都是正数求证
!& %#’#+ (#,#> # $
’1+ +1% %1’
!! (!1 ,!1 >!$!!(,1,>1>("#
% ’ +
求证 %!1!
"& $槡 $!#
%!1$
求证
5& $%!1’!1#$!!!%1’"#
已知 求证
#& %!1%!1+1%!3$#(!1(!1+1(!3$# $
$ ! . $ ! .
%$($1%!(!1+1%.(.#$#
已知 求证
7& %#’#+*% #%1’1+3$# $
1
$
%!1’!1+!$ #
"
已知 求 的最小值
9& !%1"’3!# 5%18’ #
$!!!!第章基本不等式和证明不等式的基本方法
! !
求函数 的最小值并求出取得最小值时的值
5
8& 0!("3(!1 # ( #
(!1$
已知 且 为正整数求证
6& (%;# ()$#. # $
!$1(."!$1(".%!.1$(.#!!!
若正数 满足 求 的最大值
$;& (#, 7(1#,3"7# (, #
槡
求 7 (!1$ 的最大值
$$& ,3 #
(!15
已知 为正数求证 %! ’! +!
$!& %#’#+ # $ 1 1 $%1’1+#
’ + %
!"&!基本不等式实际应用举例
例 一家皮鞋零售店平均每天售出皮鞋双已知每双皮鞋
!! # " #
的批发价 元运费元零售价 元一双皮鞋在商店保存一
57 # $ # $;; #
天的费用为 元订货一次的组织费用为 元批发的包装为
;&!8 # !;; #
每箱 双以整箱批发问这家皮鞋店应采用何种订货策略可使
$8 # # #
获利最大
)
解设每次订货双那么天订货一次一次的订货费用为
(
! ( # #
"
元
!;;1!571$"(! "#
平均库存量为双在一个订货周期中保存费用为
(
# #
!
元
( (
.;&!8. ! "#
! "
所以每天的总费用
!! #
!;;1!571$"(1;&!8(!L7
?3
(
"
元
7;;
3 1;&$5(1$5$! "#
(
根据基本不等式可得
!!
槡
7;;
?$! M;&$5(1$5$
(
$!!!"不等式选讲
元
3$#6&"" ! "#
等号当且仅当 即 时取得
7;;
3;&$5(# (37#&57# #
(
由于批发是整箱的所以分别计算箱和箱即 和
# " 5 ! (3#5 9!"
的结果
#
当 时
(3#5 #?3$#6&79$%
当 时
(39! #?3$#6&5$"#
所以每次批发箱每 天批发一次可获利最大
5 # !5 # #
例 机动车过大桥为了安全同一股道上的两辆车的间距不
#! # #
得小于 其中是车速 为平均车身长度 为比例系数经
@AB!# B #A #@ #
测定车速为 安全车距为
$ 7;EH/I# $&55A#
规定怎样的车速可使同一股道上的车流量最大 车流量即
!$" ) !
单位时间内通过的车辆数
#"
设过桥的车辆平均车身长度为 求同一股道上每小时的
!!" #H#
最大车流量
#
解设安全车距为 车流量为辆 则 由
! -H# , /I# -3@AB!# B3
得 车速为 若车速为 时
$
7;EH/I#-3$&55A# @3 # B# $;;;B #
!#;;
车流量为 所以
$;;;B
#
-1A
$;;;B $;;;B $;;; !#;;;
,3 3 3 # # $
-1A @AB!1A !B $" A
A 1
!#;; B
当且仅当
B $
3 #
!#;; B
即 时式等号成立此时车流量最大
!! B3#;EH/I $ # #
当 时每小时的最大车流量为 辆
A3#H # #;;; #
习题
!&
一段长为的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园问这个矩形的长宽各为多少
$& C # &
$!!!5第章基本不等式和证明不等式的基本方法
时菜园的面积最大最大面积是多少 ! !
# ) )
有一座被毁坏的房屋留有一堵旧墙长 现准备在原地重新建屋平面图
!& # $!H# #
形为矩形面积为 工程条件是
# $$!H!# $
修 旧墙的费用是造 新墙费用的
!$" $H $H !#N%
拆去 旧墙用来造 新墙的费用是造 新墙费用的
!!" $H $H $H #;N#
问应如何利用旧墙才能使建屋造价最低
$ )
地产汽油 地的汽油需从地运入汽车从地运汽油往地往返的油
"&$ #& $ # $ & #
耗正好等于其满载汽油的吨数故无法将汽油直接运至地为解决问题在
# & # #
途中设一油库中间站先由往返于 间的汽车将汽油运至地再由往
2 # $#2 2 #
返于 间的汽车将汽油运至地问站设在何处时运油率最大最大
2#& & # 2 # )
为多少 运油率 地收到的汽油量 地运出的汽油量
) ’ 3!& "L!$ "(
$!!!#不等式选讲
阅读与思考
算术平均数与几何平均数
设与是两个非负实数 记
!! % ’ !%%’!
%1’ 槡
%3 !!’3 %’!
$ ! $
则 必定也是非负数且
%!’ !
$ $
%1% 槡
%" 3%!!’% ’,’3’!
$ ! $
根据基本不等式 可知 再记
$! %%’!
$ $
%1’ 槡
%3 $ $!!’3 %’!
! ! ! $ $
引进 重复上面步骤同理有
%!’! ! !
! !
%%%%%!!’%’%’
$ ! ! $
及
%%’!
! !
继续进行下去一般地我们可用递推公式
! !
% 1’ 槡
%3 .%$ .%$!!’3 % ’ $
. ! .%$.%$
定义
%!’#
. .
进行到第步时得到数 及 它
@ ! %!%!-!% ’!’!-!’!
$ ! @ $ ! @
们满足
%%%%%%-%%%’%’ %-%’%’%’#
$ ! @ @ @%$ ! $
例如当 把前面几个 与 表示在数轴上如图
! %35!’3$! % ’ %
D D
可以看到在所有的这些数当中 最小而最大并且所
$ #&! ! !’ % !
有的 小于所有的
’ %#
D D
图
$ #
!
$!!!7第章基本不等式和证明不等式的基本方法
设想我们用递推公式定义越来越多的与 这样定义的每一 ! !
$ % ’!
对 都夹在前一对 之间于是看来有理由认为这些
%!’ % !’ # !
D D D%$ D%$
随着增大而减小但始终大于每一个 而趋近于某个固定的数
% . ! ’
. D
值 类似地这些 随增大而增大但始终小于每一个 而
$’ ! ’ . ! %!
. D
趋近于某个固定的数值 实际上 就是无穷数列 的极限
&# !$ *%+ !
.
则是无穷数列 的极限
& *’+ #
.
此外还有
!
%1’ 槡 %1’ 槡
% %’ 3 . .% %’" . .% ’’
.1$ .1$ ! .. ! ..
$
3 %%%’&!
! . .
这表明差 随增大而迅速变小数列 具有相同
! %%%’& . ! *%+!*’+
. . . .
极限即 而且 只依赖于我们开始时所取的两个数
! $3&! $%&& %!’!
也就是说 是 的函数大数学家高斯曾指出这个函数不
$%&& %!’ # !
只是一个满足好奇心的玩艺而且在数学上具有独特地位它可以
! !
用来建立一个叫作椭圆函数论的数学分支
$ ( #
$!!!9不等式选讲
!"’!分析法与综合法
数学实验
让我们动手计算一些数的平方根并求出前后相应项平方根的差
# $
. $ ! " 5 # 7 9 8 6 $;
槡
. $ $&5$$&9" ! !&!5!&5#!&7#!&8" " "&$7
槡槡
.% .%$ $ ;&5$;&"!;&!9;&!5;&!$;&!;;&$8;&$9;&$7
不难看出随着的增大槡槡 越来越小换言之
# . #.% .%$ #
槡槡 槡 槡
.% .%$" .%$% .%!# $
上式对于 是否总成立还有待于证明直接证明不是很便利为
.$! # #
此我们改变一下思考的方式
$
欲证 只需证
$#
槡槡 槡
.1 .%!"! .%$#
又只需证
!!
槡槡 槡
!.1 .%!"!"5!.%$"!#
即证
!!
槡槡
.. .%!".%$# %
为此只需证
!!
.!.%!""!.%$"!#
即
!! .!%!.".!%!.1$# &
式一定成立因此不等式成立
!!& # $ #
上述证明是从欲证的不等式出发执果索因 层层推求
# , - , -#
使结论成立的充分条件直至能够肯定这些充分条件已经具备为止
# #
进而断言原不等式成立我们把这种方法称之为分析法
# !,(,-/@’@
H).I=:"C
对同一个不等式的证明即使都采用分析法具体的途径却可
# #
能不一样对于式我们也可以这样考虑
# $ $
$!!!8第章基本不等式和证明不等式的基本方法
欲证式只需证 ! !
$ #
槡槡 槡槡 槡 槡 槡 槡
!.% .%$"!.1 .%$" !.%$% .%!"!.%$1 .%!"
槡槡 " 槡 槡 #
!.1 .%$" !.%$1 .%!"
即
$ $
!! 槡槡 "槡 槡 #
.1 .%$ .%$1 .%!
为此只需证
#
槡槡 槡 槡
.1 .%$% .%$1 .%!# ’
式成立十分明显因此式获证
!!’ # $ #
例 已知 是两个不相等的正数求证
!! %#’ # $
!%1’"!%"1’""%!%!1’!"!# (
证法 欲证
!! !%1’"!%"1’""%!%!1’!"! ! "
-
只需证
%51’51%"’1%’"%%51!%!’!1’5 ! "
-
只需证
%"’1%’"%!%!’! ! "
!!!!!!!!-! !%%;#’%;"
只需证
%!1’!%!%’# ! ")
是基本不等式在 时的情形因此式成立从而式成立
) %)’ # ) # ( #
例证法中所表达的是自上而下的运用分析法的思考过程的图
$ $
示以后遇到类似情形不再说明
! "#
基于上述分析法的证明我们还可以给出例的如下证明
# $ $
证法
#!!!!!%!1’!%!%’ )
.%"’1%’"%!%!’! !%%;#’%;"
.%51’51%"’1%’"%%51!%!’!1’5
.!%1’"!%"1’""%!%!1’!"!#
上述证明的思考角度可以说与分析法正好相反它从已知的基
#
本不等式出发利用不等式的基本性质导出欲证不等式 这种
) # (#
证明方法称为综合法 所谓综合法就是由因导
!@/(.I)@’@H).I=:"# , -
果 从题设条件出发利用已知定义公理定理等逐步推进
, -# # & & #
证得所要求证的结论的方法
#
$!!!6不等式选讲
例 求证槡槡槡槡
#! $ !1 9" "1 7#
分析因综合法不太容易想到解决这类问题的途径所以用分
! #
析法探求证明途径
#
证法 分析法
!! #
槡槡槡槡
!!!!!! !1 9" "1 7
槡槡 槡槡
/!!1 9"!"!"1 7"!
槡 槡
/61! $5"61! $8
槡 槡
/ $5" $8
/$5"$8#
最后一个不等式成立故原不等式成立
# #
基于上述分析法的证明我们还可以给出例的综合法证明
# ! #
证法 综合法
#! #
!!!!!!!$5"$8
槡 槡
. $5" $8
槡 槡
.61! $5"61! $8
槡槡 槡槡
.!!1 9"!"!"1 7"!#
因为槡槡 槡槡
! !1 9%;# "1 7%;#
所以槡槡槡槡
! !1 9" "1 7#
在上例中我们很难想到从 入手用综合法比较困
# ,$5"$8- #
难因此先用分析法探索证明的途径然后用综合法的形式写出证明
# #
过程这是解决数学问题的一种重要思想方法
# #
有时也将分析法综合法结合起来就好像有两个人走迷宫
& # #
一个人从迷宫的入口走向出口另一个人从迷宫出口走向入口争
# #
取在某处相会实际上一个不等式的证明的成功往往是分析与综
# #
合两种方法交替运用的结果
#
例 已知 求证
$! ;"%"$#(!1,3;# $
$
-=F!%(1%,"#-=F!1 # *
% % 8
!!!!;第章基本不等式和证明不等式的基本方法
分析与证明 ! !
!! !*(-=F!%(1%,"#-=F!!.% $ 8"!!!!!!!!
% %
-!!;"%"$"
!!!!!%(1%,$!.% $ 8
-
%(1%,
$
!!!!! $%8!
!
基本不等式
- ! %"
槡
!!!!! %(.%,$% $ 8
-
(1, $
!!!!! #
! 8
-
$
!!!!!(1,# # +
5
J!(!1,3;#
D!(1,3(%(!3(!$%("#
根据基本不等式有
#
’(1!$%("(! $
(!$%("# 3 #
! 5
式成立从而式也成立
D!+ # * #
习题
!’
分别用分析法与综合法证明基本不等式
$& #
分别用分析法与综合法证明
!& #
已知 求证槡槡槡
%%’%;# $%%’" %%’#
已知 求证
"& %%;#’%;# $
槡槡
%! ’! 槡槡
1 $%1’#
’ %
已知 求证
5& %%;#’%;# $
$ ’ %
%’1 1 1 $5#
%’ % ’
!!!!$不等式选讲
设 是三角形的三边 求证
#& %#’#+ #1%;# $
% ’ +
1 % #
%11 ’11 +11
证明通过水管放水当流速相同时如果水管截面指横截面下同的周
7& $ # # ! # "
长相等那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大
# #
!"(!反证法和放缩法
运用反证法 证不等式的思路是
!>):+G.’=(.=,K@+>:.’./" $
先假设所要证的不等式不成立也就是说不等式的反面成立
# #
以此为出发点结合已知条件进行推理论证最后推出和已知条
# # #
件或已知不等式相矛盾的结果从而断定假设错误因而确定要证
# #
的不等式成立
#
例 设 求证
!! %"1’"3!# $%1’#!#
证明假设 不成立则有
! %1’#! #
!%1’%!
.%%!%’
.%"%8%$!’17’!%’"
.%"1’"%7’!%$!’1837!’%$"!1!#
因为 所以 这与已知条件
7!’%$"!1!$!# %"1’"%!# %"1’"3!
矛盾所以原不等式成立
# #
例 已知 为实数
#! %#’#+ #%1’1+%;#%’1’+1%+%;#
求证
%’+%;# $%%;#’%;#+%;#
分析由 能很容易地推出题设条件
! %%;#’%;#+%; %1’1+%
但这个推理不可逆从后三式中任何一
;#%’1’+1%+%;#%’+%;# #
个都不能直接得出 的结果所以不能用分析法证
%%;#’%;#+%; #
明由此联想到若否定了要证的结论假设 的正负就
# # # %#’#+ & #
能方便地讨论 和 的正负因此可用反证
%1’1+#%’1’+1%+ %’+ & #
法进行证明
#
!!!!!第章基本不等式和证明不等式的基本方法
证明假设 不同时都为正数不妨先考虑 的情形 ! !
! %#’#+ # %#; #
那么有 和 两种可能
%3; %"; #
当 时 与已知 相矛盾
!$" %3; #%’+3;# %’+%; %
当 时
!!" %"; #
J!%’+%;#!D!’+";#
又
J!%1’1+%;#
D!’1+%%%%;#
D!%’1’+1%+3%!’1+"1’+";#
这与已知 矛盾
%’1’+1%+%; #
综上所述知 成立
%%; #
同理可证 成立原命题得证
’%;#+%; # #
应用反证法证明数学命题实际上是用证明逆否命题成立来代
#
替证明原命题成立有的题目从命题的已知条件出发不易推理或运
#
算而从结论的反面着手相反地容易推理论证这就可尝试用
# # & #
反证法来证如例 用反证法证明不等式须注意一点就是否定
! !"# #
了原命题的不等关系后所得的数量关系一般不止一种情形因为
# !
的反面是 而不单是 在证明时切勿遗漏
,%- ,#-# ,"-"# #
放缩法是不等式证明的基本方法在不等式证明中几乎无处不
#
在它的依据是不等式的基本性质 若 则 一
# $, %%’#’%+# %%+#-
般可考虑利用添项舍项已知不等式及函数的单调性等将欲证不
& &
等式的左边或右边进行放大或缩小
#
例 求证
$! $-=F"%!-=F!#
! "
证明
!J!-=F
!
"3-=F !"""3-=F
8
!9%-=F
6
!9#
而
!!-=F!3-=F53-=F$7"-=F!9#
" " 6 6
D!-=F"%!-=F!#
! "
例 设 是正数求证
&! %#%#+#% # $
$ ! .
% % % $
! 1 " 1+1 . " #
!%1%"! !%1%1%"! !%1%1+1%"! %
$ ! $ ! " $ ! . $
!!!!"不等式选讲
证明左边
% %
!! ! " ! 1 " 1+1
%!%1%" !%1%"!%1%1%"
$ $ ! $ ! $ ! "
%
.
!
!%1%1+1% "!%1%1+1%"
$ ! .%$ $ ! .
分母减小分式的值放大
!!!!!!!!! # "
!$ $ " ! $ $ "
3 % 1 % 1+1
% %1% %1% %1%1%
$ $ ! $ ! $ ! "
! $ $ "
! %
%1%1+1% %1%1+1%
$ ! .%$ $ ! .
右边
$ $ $
3 % " 3 #
放缩法的难点在于 % %1%1+1% %
!! $ $ ! . $
要适度要做到恰到好 即得证
#
#
处并非易事
# 贯穿全题的主要思想是放缩大胆地放大或缩小必须合情合
# !
理 谨慎地添或减是放缩法的基本策略
"# #
习题
!(
用反证法证明
! !
为正整数且 则槡 槡
$&%$’%;#. # .$!# . %$ . ’#
若 为正数且 则 和 至少有一个成立
$1, $1(
!& (#, # (1,%!# "! "! #
( ,
若对任意正数总有 则
"& ! %#’%!# %#’#
若 则三个乘积 不能都大于
$
5& ;"%#’#+"$# !$%%"’#!$%’"+#!$%+"% #
5
用放缩法证明
!
$ $ $ $
#& 1 1+1 "$% #.3!#"#5#+#
!! "! .! .
正数 满足 及 求证
7& %#’#+ %$’$+ %1’1+#$# $
%!1"’!1#+!#$#
!!!!5２
第 章
绝对值不等式
在不等式的应用中， 经常涉及重量、 面
积、 体积等， 也涉及某些数学对象 （如实数、
向量） 的大小或者绝对值．它们都是通过非负
数来度量的．
本章将回顾绝对值的概念和性质， 讨论
绝对值不等式及其几何意义．不等式选讲
#"!!含有绝对值的不等式
表示数轴上坐
!!,%,
标为的点与原点之间
%
的距离如图 我们知道
# ! $#
1%#!!!%%;"#
图
!
表
$
示数轴上
,%,30;#!!!%3;"#
,%%’,
坐标为的点与坐标为
%
2%%#!!%";"#
的点之间的距离如
因此有
’ #
图 !! #
! !#
%,%,#%#,%,# $
同样地
图 !! %,’,#’#,’,# %
! !
两个重要性质 相加得
$ $#%
!$",%’,3,%,,’,%
%!,%,1,’,"#%1’#,%,1,’,#
% ,%,
3 # 即
’ ,’,
!! !! ,%1’,#,%,1,’,# &
!!",%,",’,(%!
显而易见 同号或有一个为时 式等号成立
"’!# #%#’ ; #& #
不等式的几何意义
由可得
& $
我们分 和 !! &
%’%; %’
两种情况讨论
"; # ,%,3,!%1’"%’,#,%1’,1,%’,#
当 时如图
%’%; # ! 即
易得 !! ,%,%,’,#,%1’,# ’
"#
请同学们考虑等号何时成立
,%1’,3,%,1,’,# ! )"
综合 我们得到有关绝对值 的重要不等式
&#’ !,K@=-+.)O,-+)"
图
,%,%,’,#,%1’,#,%,1,’,#
! "
当 时若 例 已知 求证
%’
如
";
图
# %%
坐
!! ,(," ! #,,," ! # $
5 !
;#’";# ! 5#
标为的点在原点的右
边坐 % 标为的点在原 ,!(1,,"!#
# ’ 证明
点的左边易得
#
!J,!(1,,#,!(,1,,,3!,(,1,,,#
,%1’,",%,1,’,# 及
! !
!!,(," #,,," #
5 !
图
! 5
若 如图 ! !
易
%"
得
;#’%;# D!!,!(1,,"!.
5
1
!
3!#
! ## 例 已知 求证
,%1’,",%,1,’,#
#! 0!("3(!%(1+#,(%%,"$# $
,0!("%0!%","!!,%,1$"#
图
! #
!!!!7第章绝对值不等式
证明 " !
!!,0!("%0!%",
!!!3,!(!%(1+"%!%!%%1+",
!!!3,!(%%"!(1%%$",
!!!3,(%%,.,(1%%$,#
J!!,(%%,"$#
D!!,0!("%0!%",",(1%%$,#
J!!,(1%%$,3,!(%%"1!%%$,
#,(%%,1,!%,1,%$,
#$1!,%,1$
3!!,%,1$"#
D!!,0!("%0!%","!!,%,1$"#
例 已知为不等于的实数求证
$! ( ; # $
$
(1 $!#
(
证明 与同号
$
!J!( #
(
$ $
!!!D!(1 3,(,1 #
( (
根据基本不等式有
!! #
槡
$ $ $
(1 3(1 $! ,(,. 3!#
( ( ,(,
例 已知 求证
&! ,%,"$#,’,"$# $
%1’
"$#
$1%’
证明
%1’
"$
$1%’
-
,%1’,",$1%’,
-
!%1’"!"!$1%’"!
-
%!1!%’1’!"$1!%’1%!’!
!!!!9不等式选讲
-
%!1’!"$1%!’!
-
%!’!%%!%’!1$%;
-
!%!%$"!’!%$"%;#
由 知 故 于是自下
,%,"$#,’,"$ %!"$#’!"$# !%!%$"!’!%$"%;# #
至上即可推得 成立
%1’
"$ #
$1%’
利用绝对值不等式可以很漂亮地解决第章数学实验中提出的
# $
问题
#
根据 可得
"##
!3"&$5$#6!7#"#869+ %! ";&;;;;;;!7799#
$$"
如果有个分数比 更接近 一定会有
" "##
!#
! $$"
"## "
% "!M;&;;;;;;!7799#
$$" !
也就是
,"##!%$$"",
"!M;&;;;;;;!7799#
$$"!
因为不等于 所以 不是 但它是正整数应
" "##
!! # ,""#!%$$"", ;# #
! $$"
大于或等于 所以
$#
$
"!M;&;;;;;;!7799#
$$"!
如此简单初等的推
由此推出
!!
理得到这样好的成绩 !!
#
可谓鸡刀宰牛
# $
数学问题的解决 !% %$7#87#
# $$"M!M;&;;;;;;!7799
常有出乎意料之外又
, # 这表明若分数比 更接近 其分母一定大于
在情理之中 - 的情形 # # ! " " $ # $ # " !# ! $7#87#
习题
!*
设 求证
! !
$& !%;#,(%%," #,,%%," # $
5 7
!!!!8第章绝对值不等式
" !
,!(1",%!%%"’,"!#
已知 求证
! !
!& ,$%%," #,&%’," # $
! !
!$",!$1&"%!%1’","!%
!!",!$%&"%!%%’","!#
已知 求证
"& ,(%%,"!#,(%%,"!#,(%%,"!# $
$ ! "
(1(
!$",$ !%%,"!%
!
(1(1(
!!",$ ! "%%,"!#
"
求证
5& $
!$",(%%,1,(%’,$,%%’,%
!!",(%%,%,(%’,#,%%’,#
若 为实数 求证
#& "# # #+%;# $
! $"
,"1#,!#!$1+",",!1 $1 ,#,!#
+
求证 %!%’!
7& $ $,%,%,’,#
%
#"#!解含绝对值的不等式举例
解含绝对值的不等式主要依据绝对值的定义几何意义及不等式
&
的基本性质
&
例 解不等式
!!
$#,"%!(,"##
解原不等式可化为
!
$#,!(%","##
即 1,!(%",$$# $
!! 0
2,!(%","## %
由得
!! $ !(%"$$#
或
!! !(%"#%$#
解得 或
!! ($! (#$#
!!!!6不等式选讲
由得
!! % %#"!(%""##
解得
!! %$"("5#
综上所述原不等式的解集为
# !%$#$(3’!#5"#
我们可将原不等式变为
$ " #
#(% " #
! ! !
如图 根据绝对值在数轴上的表示可知不等式的解集为
! 7#
!%$#$(3’!#5"#
图
! 7
例 解不等式 !
!! #!
,!(1$,1,!(%",$5#
分析 的零点分别为 它们在区间
$ "
!!(1$#!(%" % # #
! !
内的符号如图 所示于是
! $" ! $ "" !" "
%P#% # % # # #1P ! 9 #
! ! ! !
可根据绝对值的定义分段讨论
#
图
! 9
解 当 时原不等式可变为
$
!!$" (#% #
!
%!!(1$"%!!(%""$5#
解得
$
!! (#% #
!
当 时原不等式可变为
$ "
!!" % "(" #
! !
!!(1$"%!!(%""$5#
"!!!;第章绝对值不等式
即 " !
!! ;.($;#
此不等式恒成立故此时
$ "
# % "(" #
! !
当 时原不等式可变为
"
!"" ($ #
!
!!(1$"1!!(%""$5#
解得
"
!! ($ #
!
综上所述原不等式的解集为
# %#
可能有同学对最后获取的结果一点也不感到意外这是因为他们
#
从另外一个角度看到
!!!!!,!(1$,1,!(%",
! $ " "
!!!!3! (1 1 %(
! !
! $" !" "
!!!!$! (1 1 %(
! !
!!!!35#
这是一个恒成立的不等式与的取值无关
# ( *
例 解不等式
$!
,!(!%$,%(#
解设 分别
! ,3,!(!%$,#,3(#
$ !
作出两个函数的图象如图
! ! 8"#
槡 槡
与轴交点为
! !
, ( % #; # #; #
$ ! !
槡
在区间 内 与
!
;# #, 3$%!(!
! $ 图
! 8
的图象的交点的横坐标为 !!!
$ !
,3( (3 %
! !
槡
在区间 内 与 的图象的交点的横坐标为
!
#1P #,3!(!%$ ,3(
! $ !
由图 可知不等式的解集为
! $"
(3$# ! # %P# 3!$#1P"#
!
"!!!$不等式选讲
习题
!+
解下列不等式
$& $
!$",!(1$,$(%
!!",8%#(,""(%
!"",(%",%,!(1$,"5#
解关于的不等式
!& ( ,(%",1,!(1$,%%#
若不等式 的解集为 求实数的取值范围
"& ,(%5,1,(%",%% %# % #
某环形公路旁有一中二中三中四中五中按顺序排列的五所中学各校分
5& & & & & #
别有电脑 台现在要使各校电脑的台数相等问各校应分别调
$##9#$$#"#$5 # #
出几台电脑给邻校才能使调动的总次数最少
# )
"!!!!第章绝对值不等式
" !
阅读与思考
距离的性质
!
欧氏距离
!!!"
大家所熟悉的平面上两点 与 之间的距离称
<%(!,& =%(!,&
$ $ ! !
为欧氏距离记作 由公式
! -%<=&!
!
槡
-%<=&3 %(%(&!1%,%,&! $
! ! $ ! $
给出
#
下面列举距离函数的性质
&
两点间的距离只依赖于这两个点的相对位置即只依赖于它
%$& !
们坐标的差 及 这个性质称为平移不变性即当这两个
(%( ,%,# %
! $ ! $
点沿同一方向移动同样的距离时它们之间的距离不变
! &&
从点 到点 的距离等于从点 到点 的距离这可以通
%!& < = = < &
过在中验证
$
-%<=&3-%=<&
! !
看出来性质 通常称为距离函数的对称性
& %!& &
距离函数满足三角形不等式
%"& $
-%<;&#-%<=&1-%=;&# %
! ! !
这里为三角形上另一点若记 则
; ! ;%(!,&!
" "
槡 槡 槡
!! %(%(&!1%,%,&!1 %(%(&!1%,%,&!$ %(%(&!1%,%,&!&
$ ! $ ! ! " ! " $ " $ "
不等式通常称为平面三角不等式
& #
任意两点 与 间的距离是非负的即
%5& < = &
-%<=&$;’
!
当且仅当 与 两点重合时等号成立这个性质常常称为距离函
< = ! !
数的正性这一点由定义立即可得
’ $ &
如果 点坐标为 点坐标为 其中为一
%#& < %(!,&!= %%(!%,&! %
"!!!"不等式选讲
非负常数那么
!
-%8=&3%-%8<&’
! !
这里表示原点 这个性质称为距离函数的齐次性它成立是
8 %;!;&! !
因为
槡 槡
!!!!-%8=&3 %%(&!1%%,&!3 %!%(!1,!&
!
槡
3% (!1,!3%-%8<&#
!
欧氏距离还有另一个性质
#
若 平面绕原点旋转某个角度则两点间的欧氏距离保
%7& (8, !
持不变这个性质称为旋转不变性
# &
城市街区距离
#"
还可以定义许多其他有用而且有趣的非欧距离为了能称之
$ ( &
为距离 的一个函数必须具有我们刚刚对熟知的距离所验
$ (!<!= $
证过的性质 到性质 唯有欧氏距离 具有全部的条性质
%$& %#&& - 7 &
!
作为一个例子可以考虑用城里两地 与 之
! <%(!,& =%(!,&
$ $ ! !
间道路的实际长度来虚构一个城市街区距离 假定所有的街道或
$ (&
者是严格南北向的或者是严格东西向的而且没有空地可以穿行
! ! !
如图
! 6&
图 城市街区距离
! 6!
从 到 的任何道路无一例外地!只能由水平段落及竖直段落组成
< = !
这样我们所要通过的距离 就由从 到 的这条道路的所有
-%<=& < =
$
水平距离与竖直距离之和组成因此我们定义城市街区距离为
# !
-%<=&3,(%(,1,,%,,# ’
$ $ ! $ !
严格说来这式子有时不能表示城市街区距离图 就是一例那
! ! ! $; #
里的 两地位于相同的两条南北向或东西向街道之间这时
<!= % & # !
"!!!5第章绝对值不等式
行人在其行程中被迫要往回走于是实际经过 " !
!
的距离比式右边的值要大些但是如果街
’ # !
区非常小也就是说街道之间靠得很近那么
! !
就相当精确了更确切地说如果仅限于沿
’ # ! 图 城市街区距离
! $;!
着东南西北这四个主要方向行走而不必
. . . !
走回头路那么新的距离函数就是从到所要经过的最小距离
! ’ < = #
因此城市街区距离毕竟为我们提供了定义新的非欧距离的实际
! $ (
背景
#
下面我们来看看由所定义的 是否具有距离所要求的
’ - %$&#
$
条性质
%#& #
因为表达式中只包含坐标的差所以新的距离当然是平移不
’ !
变的因而具有性质
! %$&#
因为 所以 是对称的这样也就具有性质
-%<=&3-%=<&! - !
$ $ $
%!&#
为了建立三角形不等式
-%<;&#-%<=&1-%=;&!
$ $ $
设 的坐标分别为 则
<!=!; %(!,&!%(!,&!%(!,&!
$ $ ! ! " "
-%<;&3,(%(,1,,%,,
$ $ " $ "
3,(%(1(%(,1,,%,1,%,,!
$ ! ! " $ ! ! "
-%<;&#,(%(,1,,%,,1,(%(,1,,%,,
$ $ ! $ ! ! " ! "
3-%<=&1-%=;&#
$ $
因而具有性质
%"&#
城市街区距离当然也满足性质 因为任何实数的绝对值总是
%5&!
非负的除非 与 重合否则它总是正的
# < = ! #
性质 很容易验证事实上对于 有
%#& ! ! %$;!
,%(,1,%,,3%%,(,1,,,&#
"!!!#３
第 章
数学归纳法与不等式证明
数学归纳法是证明关于正整数
的有关命题的重要方法． 本章学习数
学归纳法和它的简单应用．第章数学归纳法与不等式证明
# !
$"!!数学归纳法
对于基本不等式
%1’ 槡
$ %’#
!
如果令
%1% %1%
%3 $ !#!’3 " 5#
! !
其中 都是非负实数那么我们便得到
%!E3$#!#"#5" #
E
%1% %1%
$ !1 " 5 槡
! ! %1% %1%
$
$ !. " 5#
! ! !
槡
即
%1%1%1% %1% %1%
$ ! " 5
$
$ !. " 5#
$
5 ! !
再运用基本不等式得
!! #
%1% 槡
$ ! $ %%#
! $ !
%1% 槡
" 5 $ %%#
! " 5
代入 便进一步得到不等式
$#
槡
% $ 1% ! 1% " 1% 5 $ 槡 %%. 槡 %%3 槡 5 %%%%#
5 $ ! " 5 $ ! " 5
等号当且仅当 时成立
!! %3%3%3% #
$ ! " 5
这又是一个有趣的结果
*
一个自然的想法是对于任意的个非负实数
$ 8 ’!E3$#!#+#
E
下面不等式
8"#
’ $ 1’ ! 1+1’ 8 $ 槡 8 ’’+’
8 $ ! 8
是否也成立不妨动手试一试
) #
如果我们继续下去显然可以对的所有方幂
# ! $!$#!!#!"#!5#
建立起相应的不等式
+
"!!!9不等式选讲
% $ 1% ! ! 1 . +1% !. $ ! 槡 . % $ % ! +% !. # %
这里 都是非负实数
%!E3$#!#+#!." #
E
不过这是一个由特殊到一般的过程不等式还有待于严格证
# # %
明这项工作可运用数学归纳法 来完成
# !H,.I)H,.’G,-’(:+G.’=(" #
何谓数学归纳法
)
大概每个人都遇到过多米诺现象推倒头一块骨牌它会推倒
, -$ #
第二块再推倒第三块 直到所有骨牌全都倒下我们把骨牌想象
# #+# #
为一系列无穷多个编了号的命题 假定我们能够证明
$<#<#<#+# $
$ ! "
奠基最初的一个命题正确
!$"! " %
过渡由每一个命题的正确性都可以推出它的下一个命题的
!!"! "
正确性
#
那么我们便证明了这一列所有命题的正确性事实上我们已会
# #
推倒头一块骨牌即证明最初的一个命题成立所谓奠基 而过
, -# ! , -"# ,
渡则意味着每一块骨牌在倒下时都将推倒下一块骨牌这样一来
- , -# #
我们并不需要特别强调应推倒哪一块骨牌事实上只要头一块一旦
# #
倒下那么行列中的任何一块骨牌都或迟或早必然要倒下
# #
上述事例启发我们在证明一个与正整数有关的命题时可采用
$ #
下面两个步骤
$
证明 时命题成立
!$" .3$ %
证明如果 时命题成立那么 时命题也成立
!!" $ .3@ # .3@1$ #
我们有 作依据根据 知 时命题成立再根据
!$"&!!" # !$" .3$ # !!"
知 时命题成立又由 时命题成立依据 知
.3$1$3! # .3! # !!" .3
时命题成立这样延续下去就可以知道对任何正整数命
!1$3" # # .
题都成立
#
这种证明方法就叫作数学归纳法
#
例 已知为正整数求证
!! . # $
!!!!$1"1#1+1!!.%$"3.!#
证明 当 时左边 右边 等式成立
!!$" .3$ # 3$# 3$# %
假设当 时等式成立即
!!" .3@ # #
"!!!8第章数学归纳法与不等式证明
# !
$1"1#1+1!!@%$"3@!#
那么
!! !!!!!$1"1#1+1!!@%$"1’!!@1$"%$(
3@!1’!!@1$"%$(
3@!1!@1$
3!@1$"!#
这表明 时等式也成立
!! .3@1$ #
根据 和 可知等式对任何正整数都成立
!$" !!"# . #
在上面的证明中 证明 时等式成立这一步称为归纳奠基
#, .3$ - %
由 时等式成立推出 时等式也成立 这一步称为归
, .3@ # .3@1$ -#
纳递推而假设 时等式成立成为归纳假设数学归纳法的实
# , .3@ - #
施中上述二步缺一不可而没有用到归纳假设的证明也就不会是数学
#
归纳法
#
例 已知为正整数求证
#! . # $
’.!.1$"(!
$"1!"1""1+1."3 #
!
证明 当 时左边 右边 ’$!$1$"(! 等
!!$" .3$ # 3$"3$# 3 3$#
!
式成立
%
假设 时等式成立即
!!" .3@ #
’@!@1$"(!
$"1!"1""1+1@"3 #
!
那么
!! !!!!$"1!"1""1+1@"1!@1$""
’@!@1$"(!
!!!!!3 1!@1$""
!
’@! (
!!!!!3!@1$"! 1!@1$"
5
!@1!"!
!!!!!3!@1$"!
5
’!@1$"!@1!"(!
!!!!!3 #
!
这表明 时等式成立
!! .3@1$ #
根据 和 可知等式对任何正整数都成立
!$" !!" . #
"!!!6不等式选讲
习题
!,
已知为正整数求证
$& . # $
.!.1$"
$1!1"1+1.3 #
!
已知为正整数求证
!& . # $
$ $ $ .
1 1+1 3 #
$.! !." .!.1$".1$
已知为正整数求证
"& . # $
.!.1$"
$!%!!1"!%5!1+1!%$".%$.!3!%$".%$ #
!
$"#!数学归纳法证不等式
数学归纳法也是不等式证明的重要方法
#
例 已知为不小于的正整数求证
!! . " # $!.%!.1$#
分析依题意所要证明的结论只要求对于不小于的正整数
! # " .
成立因此我们可将奠基步中的 改为
# # ,.3$- ,.3"-#
时不等式成立是十分明显的
.3" #
关键在于递推步根据归纳假设有
# #
!@%!@1$# $
而欲证不等式为
!@1$%!!@1$"1$#
即证
!.!@%!!@1$"1!# %
比较 只需证
!! $#%#
!@$!#
这显然成立
!! #
证明 时左边 右边 不等
!!$".3" # 3!"38# 3!M"1$39#
5!!!;第章数学归纳法与不等式证明
式成立 ! !
!
假设 时不等式成立就是
!#" "$# #
##"##%"!
那么
!! ##%"$##%##"!##%""%#$#!#%""%"!
这表明 时不等式也成立
!! "$#%" !
根据 知对于一切不小于的正整数不等式成立
!""#!#" & " !
例 已知为正整数求证
!! " # $
槡 槡 槡 !"%""#
"%#% #%&%&% "!"%""# !
#
分析 时左边槡右边 不等式成立
!"$" # $ ## $## !
记左边和式为 根据归纳假设有
$# #
"
!#%""#
$# !
# #
而 槡 槡 槡
!! !!!!$$ "%#% #%&%&% #!#%""#
#
槡 槡 槡 槡
!!!$ $ "%#% #%&%&% #!#%""% !#%""!#%#"!
#%"
有 槡
!! !!!!$ $$% !#%""!#%#"!
#%" #
因此 !#%""# 槡
!! !!!$ # % !#%""!#%#"!
#%" #
欲证 ’!#%""%"(# !#%#"#
!! !!!$ # $ #
#%" # #
只需证 !#%""# 槡 !#%#"#
!! !! % !#%""!#%#"# #
# #
即证 槡 !#%#"# !#%""#
!! !!! !#%""!#%#"# ’ #
# #
也就是证槡
##%&
!! ! !#%""!#%#"# !
#
最后一个不等式可由基本不等式得到
!
证明 时左边槡右边!"%""# 不等式成立
!!"""$" # $## $ $## !
#
假设 时不等式成立就是
!#" "$# #
槡 槡 槡 !#%""#
"%#% #%&%&% #!#%""# !
#
又由基本不等式可得
!!
!!!!"
书书书不等式选讲
槡 !@1$"1!@1!" !@1"
!@1$"!@1!"" 3 #
! !
所以
!!
槡 槡 槡 槡
$.!1 !."1+1 @!@1$"1 !@1$"!@1!""
!@1$"! !@1" @!15@15 !@1!"!
1 3 3 #
! ! ! !
这表明当 时不等式也成立
!! .3@1$ #
根据 可知对任何正整数不等式成立
!$"#!!"# . #
从例 例中可以看出运用数学归纳法证明不等式的两个步
$& ! #
骤实际上是分别证明两个不等式尤其是第二步一方面需要我们充
# #
分利用归纳假设提供的便利 另一方面还需要结合运用比较法综
, -# &
合法分析法等其他不等式的证明方法
& #
现在让我们运用数学归纳法证明 节中提出的不等式 我们
"&$ %#
将不等式的幂指数作为归纳对象
% . #
证明 当 时不等式即为基本不等式显然成立
!!$" .3$ # % # #
假设 时不等式成立则
!!" .3@ #
!!! % $ 1% ! ! 1 @ +1% !@ $ ! 槡 @ % $ % ! +% !@ #
!!! % !@1$ 1% !@1
!
!
@
1+1% !@1$ $ ! 槡 @ % !@1$ % !@1! +% !@1$#
于是
!!
% $ 1% ! 1+1% !@1% !@1$ 1% !@1! 1+1% !@1$
!!!
!@1$
% $ 1% ! 1+1% !@ 1 % !@1$ 1% !@1! 1+1% !@1$
!@ !@
!!3
!
槡 槡
!@ % $ % ! +% !@1!@ % !@1$ % !@1! +% !@1$
!!$
!
槡
!!$ !@1$ % $ % ! +% !@% !@1$ % !@1! +% !@1$#
即 时不等式成立
!! .3@1$ #
根据 知不等式对任何正整数成立
!$"#!!" . #
从上面证明过程中可以看出当且仅当 时等
% $ 3% ! 3+3% !@1$
5!!!!第章数学归纳法与不等式证明
号成立 # !
#
习题
!!-
设 为实数证明
$& (#(#+#( # $
$ ! .
,(1(1+1(,#,(,1,(,1+1,(,#
$ ! . $ ! .
证明对于任意正整数有
!& $ .
,@’(.(,#.,@’((,#
试证对任意正整数 有
"& $ .%$#
$ $ $ 槡
槡1槡1+1槡%.#
$ ! .
试证对任意正整数 有
5& $ .%$#
$ $ $ $
1 1+1 % #
.1$ .1! !. !
已知 为不小于的正整数求证
#& %#’%;#%)’#. ! # $
%.1’. !%1’".
% #
! !
5!!!"４
第 章
平均值不等式
平均值不等式是应用广泛的
不等式．
在日常生活中， 我们经常遇
到如何使材料最省、 面积最大、
容积最大等问题， 可以借助平均
值不等式来处理．第章平均值不等式
$ !
&"!!三个正数的平均值不等式
在 节中我们已经知道如果 为正数那么
$&" # %#’ #
%1’ 槡
$ %’#
!
当且仅当 时等号成立在第章中我们又知道了对于任意有
%3’ # " # !.
% $ 1% ! 1+1% ! . $ ! 槡 . %%+%.#
!. $ ! !
当且仅当 时等号成立又一次的成功鼓舞着我们作
%3%3+3%. #
$ ! !
进一步的思考对于任意三个正数 是否也有
# %#’#+#
%1’1+ 槡 "
$ %’+ $
"
成立呢请同学们随意选取三个正数组成一组做实验
) #
无论是怎样的三个正数计算的结果均表明不等式是成立的
# $ #
当且仅当三数相等时才取等号
#
接下来我们证明不等式
# $#
为了避免根号用 代替 于是式变为
# %"#’"#+" %#’#+# $
%"1’"1+"
$%’+# %
"
式等价于
!!% !!!%"1’"1+"$"%’+# &
而
!!%"1’"1+"%"%’+3!%1’1+"!%!1’!1+!%%’%’+%+%"
$
3 !%1’1+"’!%%’"!1!’%+"!1!+%%"!(
!
$;#
且 为正数因此有
%#’#+ # #
%"1’"1+"%"%’+$;#
式获证不等式 成立从上述推导过程中还不难看出当且
& # $#% #
仅当 时等号成立
%3’3+ #
对于三个正数 我们把 称作它们的算术平均数
%1’1+
%#’#+# #
"
5!!!#不等式选讲
把槡称作它们的几何平均数不等式表明三个正数的算术平均
" %’+ # $
数不小于几何平均数当且仅当三正数相等时两种平均数相等我
# #
们简称不等式为三个正数的平均值不等式
$ #
例 已知 为正数求证
!! %#’#+ # $
!$ $ $"
!%1’1+" 1 1 $6#
% ’ +
证明因 为正数根据三个正数的平均值不等式可知
! %#’#+ # #
槡
%1’1+$" " %’+#
槡
"
$ $ $ $
1 1 $" #
% ’ + %’+
上述两不等式的右边都大于 两式相乘得
!! ;#
槡
!%1’1+" !$ 1 $ 1 $" $" 槡 " %’+." " $ 36#
% ’ + %’+
当且仅当 时等号成立
%3’3+ # #
例 已知 都是正数且 求证
#! %#%#+#% # %%+%3$# $
$ ! . $ ! .
!!1%"!!1%"+!!1%"$".#
$ ! .
证明因 是正数根据三个正数的平均值不等式有
! % # #
$
槡
"
!1%3$1$1%$" %%;#
$ $ $
同理 槡
!! !1%$" " %%; !E3!#"#+#."#
E E
将上述各不等式的两边分别相乘即得
!!
槡 槡 槡 槡
!!!1%"!!1%"+!!1%"$!" " %"!" " %"+!" " %"3".." %%+%#
$ ! . $ ! . $! .
J!%%+%3$#
$ ! .
D!!!1%"!!1%"+!!1%"$".#
$ ! .
当且仅当 时等号成立
!! %3%3+3%3$ # #
$ ! .
槡
例 求证 槡 ! "
!! $! $( $%"(# #
!9
证明首先考虑到不等式有意义需 即
$
! # $%"($;# (# #
"
若 及 不等式左边不大于 显然不等式成立
$
(#; (3 # ;# #
"
若 则根据三个正数的平均值不等式有
$
;"(" # #
"
5!!!7第章平均值不等式
$ !
槡
!!!!!( $%"("!3(!!$%"("
5 " "
3 . (. (.!$%"("
6 ! !
5
4"
(1
" (1!$%"("6 "
# ! !
6
5 " 7
5
3 #
!5"
槡
槡 ! "
!!D ( $%"(# #
!9
当且仅当 时等号成立
!
(3 # #
6
习题
!!!
已知 为正数求证
% ’ +
$& %#’#+ # $ 1 1 $"#
’ + %
已知 为正数求证!$ $ $"
!& %#’#+ # $ 1 1 !%1’1+"!$!9#
%! ’! +!
若实数 满足 求证
"& (#, (,%;#(!,3!# $(,1(!$"#
若 求证
$ $
5& ;"(" # $(!!$%!("# #
! !9
&"#!三个正数平均值不等式的实际应用举例
例 无论是工业设备还是家庭生活用具圆柱形的容器不少
!! #
见你是否留心了多数圆柱形容器不是细细长长的也不是扁扁的
# # #
而是高和底面直径大致相等你是否想过这是为什么当然高和
# ) #
底面直径大致相等的圆柱形看上去比较匀称这是一条理由但更
# #
主要的原因似乎不在这里我们知道容器的容积往往是一定的
# # #
但表面积却随着形状而改变这就意味着同样容积的圆柱形容器有
#
的用料较省而有的则费料如果仅从成本角度考虑自然应制造用
# #
5!!!9不等式选讲
料最省的那种究竟怎样的圆柱形容器用料最省呢
! !
解如图 设容器的高为 底面半径
! ! #" ""
为 表面积为 容积为 这时为定值于
#" $" %" % !
是有
%$!#%" "
及
$$%!#%&%!#"! #
根据三个数的平均值不等式由得
!! " #
图
!!!!!$$%!#%&!#"&!#" ! #
槡
"’
’#%!#%$%#!#"$%#!#"$
槡
$’ ’ %!#!#%"$%! $
将代入得
!! " $
槡
’
$"’ %!%
%"
%
当且仅当
!! %#%$#"$#""
即
!! "$%#!
也就是高和底面直径相等时 等号成立此时圆柱的表面积
!! $"% " "
槡
’
$$’ %!%%
槡 槡
最小容器用料最省同时可算得 ’ ’
% !%
" " #$ ""$ !
%! !
例 如图 有一张边长为 的正方形硬纸板我们可
!! ! %" &() !
以将它的四角分别剪去一个相同的小正方形再将四周沿虚线折起
"
构成一个没有盖的纸盒如图 自然我们希望知道剪去多大
" ! ’! "
的小正方形使得纸盒的容积最大
!
图 图
! % ! ’
解设剪去的
!
小正方形边长为 那么所得
!
盒子的容积是
! ’()"
%$’#&*%’$#&*%’$! &
!!!!"
书书书第章平均值不等式
为了消去变量 稍作变形 $ !
!! (#
$
H3 .5(!%%!("!%%!("#
5
这时 三个数的和为常数于是根据三个数的
!! 5(#%%!(#%%!( #
平均值不等式有
#
$!5(1!%%!("1!%%!("""
!!!!!!!H#
5 "
$!!%""
3 #
5 "
为使有最大值须上述不等式的等号成立因此有
!! H # # #
5(3%%!(3%%!(# )
这就要求 即可剪去四角上边长为的小正方形再做成的
% %
!! (3 #
7 7
无盖纸盒容积最大
#
上面两个例子代表了一种解决实际问题的数学模型要注意
# #
的是用这种方法解决问题时一定要检验等号是否成立并确定
# # #
等号成立的条件
#
习题
!!#
某工厂需制造一批容积一定的长方体铁皮箱问怎样才能用料最省
$& # )
木梁的强度与梁宽成正比与梁高的平方成正比从圆柱形的木材截取横截面
!& # #
是矩形的木梁问如何去截能使木梁的强度最大
# )
如图 在一张半径是的圆桌的正中央上空挂一
"& 5 5# ;
盏电灯大家知道灯挂得太高了桌子边缘处的亮
# # #
度就小挂得太低桌子的边缘处仍然是不亮的从
% # #
物理学知道桌子边缘一点处的照度和的正弦成
# 7 $
正比而和这一点到光源的距离的平方成反比
# #
即
@’($
!! !!73@ #
G!
这里是一个和灯光强度有关的常数那么究竟
!! @ #
应该怎样选择灯的高度才能使桌子边缘处最亮 图
# ) 5 5
5!!!6不等式选讲
阅读与思考
个正数的平均值不等式
.
我们知道对两个正数 有
!! %!’!
%1’ 槡
$ %’!
!
当且仅当 时等号成立在上一节我们又知道了对于三个正数
%3’ # #
有
%!’!+
%1’1+ $ 槡 " %’+!
"
当且仅当 时等号成立实际上我们已运用数学归纳法证
%3’3+ # !
明了对于 个正数 有
# !. % $ !% ! !-!% !. !
% $ 1% !
!
1
.
-1% !. $! 槡 . %
$
%
!
-% !.#
如果说前面的成功已给了我们极大的鼓舞那么现在我们渴望乘
! !
胜追击对于任意个正数 是否又有不等式
# . %!%!-!%!
$ ! .
%1%1-1% 槡
$ ! . $ . %%-% $
. $ ! .
成立这是一个非常优美的不等式获取它的证明无疑是大家十分
" !
乐意接受的挑战
/
为方便起见记
!
%1%1-1%
$3 $ ! .!
. .
槡
:3 . %%-%!
. $ ! .
于是即
$ $$:# %
. .
这是个与正整数有关的命题运用数学归纳法证明如下
!! . ! #
证明 时不等式即基本不等式显然成立
! %$&.3! ! #
假设 时不等式成立那么因
%!& .3@ ! !
#!!!;第章平均值不等式
$ !
%1%1-1%1%
$ 3 $ ! @ @1$!
@1$ @1$
%1%1-1%1% 3%@1$&$ !
$ ! @ @1$ @1$
而
%@1$&$ 1%@%$&$ 3!@$ !
@1$ @1$ @1$
所以 %1%1-1%1% 1%@%$&$
!!!!$ 3 $ ! @ @1$ @1$
@1$ !@
%1%1-1% % 1%@%$&$
$ ! @1 @1$ @1$
@ @
3 # &
!
根据归纳假设及基本不等式由得
!! ! &
槡 槡
@ %%-%1 @ % $@%$
!!!!!!$ $ $ ! @ @1$ @1$
@1$ !
槡 槡 槡
$ @ %%-%,@ % $@%$!
$ ! @ @1$ @1$
所以
!!!!$!@ $%%-%% $@%$#
@1$ $ ! @@1$ @1$
化简得
!! !!!$@1$$%%-%% #
@1$ $ ! @@1$
进而有 槡
!! !!!$ $ @1$ %%-%% #
@1$ $ ! @@1$
根据 不等式对任意正整数 成立
%$&!%!&! .%.$!& #
从上面的证明过程中可以看出当且仅当 时等
! %3%3-3%
$ ! .
号成立
#
#!!!$不等式选讲
数学建模
洗衣服的数学
我们爱清洁衣服脏了要洗
!! ! #
我们要节约用水希望用一定量的水把衣服尽量洗干净
! #
这就提出了数学问题本来嘛当你用数学家的眼光看周围事
# !
物的时候处处都能提出数学问题
! #
但是数学家不喜欢含含糊糊的问题先要把问题理清楚把
! ! !
现实世界的问题化为纯数学的问题这叫作建立数学模型
! #
现在衣物已打好了肥皂揉搓得很充分了再拧一拧当然不
! ! !
可能把水完全拧干设衣服上还残留含有污物的水 用
! $EF# !;EF
清水来漂洗怎样才能漂得更干净
! "
如果把衣服一下放到 清水里那么连同衣服上那 水
!;EF ! $EF !
一共 水污物均匀分布在这 水里拧干后衣服上还有
!$EF # !$EF ! !
所以污物残存量是原来的
$
$EF! #
!$
通常你不会这么办你会把 水分两次用比如第一次用
# !;EF !
使污物减少到 再用 污物又减少到的 即
$ $ $
#EF! ! $#EF! !
7 7 $7
分两次洗效果好多了
$ $
3 ! ! #
7M$7 67
同样分两次洗也可以每次用 每次都使污物减少到原有
! $;EF!
量的 两次可以达到 的效果
$ $
! /
$$ $!$
要是不怕麻烦分四次洗呢每次 水第一次使污物减少
! " #EF #
到原有的 四次之后污物减少到原有的 效果更佳
$ $ $
! ! 3 ! /
7 75 $!67
但是这样是不是达到最佳效果了呢
! "
#!!!!第章平均值不等式
进一步问如果衣服上残存水量是 或 洗衣用水量 $ !
! $&#EF !EF!
是 那么又该怎么洗呢
"9EF! "
你会想到用字母代替数了这样能使问题一般化设衣服充分
! #
拧干之后残存水量 其中含污物 漂洗用的清水
IEF! ! 1F! $EF#
;
我们把 水分成 次使用每次用量是
$EF . ! %!%!-!
$ !
经过次漂洗后衣服上还有多少污物呢
%%EF&! . ! "
.
第一次把带有 污物和 水的衣服放到 水中充
! 1F IEF %EF !
; $
分搓洗使 污物溶解或均匀悬浮于 水中
! 1F %I1%&EF #
; $
把污水倒掉衣服拧干的时候衣服上还残留多少污物呢由
! ! "
于 污物均匀分布于 水中所以衣服上残留的污物
1F %I1%&EF !
; $
量 与残留的水量 成正比
1 I #
$
1 I
$3 ! $
1 I1%
; $
故
I 1
131, 3 ; # %
$ ; I1% ! %"
$ $1 $
I
类似分析可知漂洗两次以后衣服上污物量 为
!! ! 1
!
1 1
13 $ 3 ; # &
! % ! %"! %"
$1 ! $1 $ $1 !
I I I
而次洗涤之后衣服上残存污物量 为
!! . 1
.
1
13 ; # ’
. ! %"! %" ! %"
$1 $ $1 ! - $1 .
I I I
有了这个公式也就是建立了数学模型下一步的问题是
! # #
是不是把水分得越匀洗得越干净
%$& ! "
是不是洗的次数越多越干净
%!& "
先考虑第一个问题对固定的洗涤次数如何选取
# . %!%!-!
$ !
才能使 最小也就是使的右端的分母最大
%! 1 " ’ "
. .
这个分母是个数之积这个个数之和是
. # .
! %" ! %" ! %" $
$1 $ 1 $1 ! 1-1 $1 . 3.1 # (
I I I I
#!!!"不等式选讲
于是问题化为当个数之和为一定值 时 个数的
$
# . 43.1 !.
I
乘积何时最大
"
利用平均值不等式
#
. 槡 ++-+# $ %+1+1-1+&! )
$! . . $ ! .
得到 ! %"! %" ! %" ! $".
$1 $ $1 ! - $1 . # $1 # *
I I I .I
这就告诉我们每次用水量相等的时候洗得最干净而残存
!! ! ! !
污物的量是
1
; # +
! $".
$1
.I
这就肯定地回答了刚才的问题
!! %$&#
是不是分成 次要比次洗得更干净呢确实是的又可以
.1$ . " #
用平均值不等式来证明对 个正数 用平均值
# .1$ +!+!-!+
$ ! .1$
不等式这里取
!
$
+3+3-3+3$1 !!2 3$# ,
$ ! . .I .1$
把它们代入便得
!! )
! $" .1$
! $". 1 .$1 1$ 9
$1 M$#0 .I 8 -./
.I
2 .1$ :
! $ ".1$
!!!!! 3 $1 #
%.1$&I
这表明把水分成 次洗要比分成次洗好一些
!! ! .1$ ! . #
那么如果洗上很多很多次那么是不是能用一定量的水把衣
! !
服洗得要多干净就有多干净呢
"
不会的仍然可以用平均值不等式证明考虑 个正数
# # .1@ +!
$
这里是一个比大的正数再令
$
+!-!+!+ !-!+ ! @ # ’3
! . .1$ .1@ I
取
$
$% !
@I
$
!!!+3+3-3+3$1 !+ 3-3+ 3’#
$ ! . .I .1$ .1@
#!!!5第章平均值不等式
于是把它们代入平均值不等式以后得到 $ !
!! ! )
! $" .1@
! $". 1 .$1 1@’ 9
$1 ,’.#0 .I 8 3$! -.0
.@
2 .1@ :
也就是
!!
1 @ 9@
! $". $
$1 # 3 $ # -.1
.@ ’. @%
2 I:
因为取是任一个大于的整数时不等式都对所以不妨
$
@ ! -.1 !
I
取个使变得清楚一些具体地用 表示不小于 的最小整
!$
@ -.1 ! ! $’
I
数取 则因 可知 于是由便得
!$ @
# @3$’! @$ ! #!! -.1
I $
@%
I
! $".
$1
#!$’
# -.2
.I
例如当 时 的右边是 当 时
$ $
!! ! 3$ !$’3!!-.2 5’ 3"&# !$’
I I
右边是 当 时 的右边是
$
39!-.2 $!8’ 3$&9 !$’35!-.2 $7#
I
总之 越大洗得越干净这是我们意料之中的事但有个
$
! ! ! #
I
限度按可知用 水洗又设衣服拧干后仍有 水则
# -.2 ! !;EF ! $EF !
不论怎么洗污物不会比原有的 更少
$
! /
!5;
从上面分析的过程看出用数学方法研究实际问题常常是这
! !
样做
#
选择有实际意义的问题
$& ’
建立数学模型把实际问题化成数学问题
!& ! ’
找寻适当的数学工具来解决问题 这里用的工具是平均
"& 000 $
值不等式
(’
把数学上的答案拿到实际中去运用检验
5& . #
其实数学模型和实际情形常常有不一致之处比如我们假
! # !
设在每天漂洗的时候污物能均匀分布在水里这就很难办到另
! ! #
#!!!#不等式选讲
外我们只考虑到节约用水还没有考虑到节约宝贵的时间多洗
! ! #
几次固然省水可又多用了时间怎么办算出来 越大越好
! ! " !. !
但洗的次数太多衣服又会洗破所以实际上分三四次漂洗也就
! # !
足够了如果把时间耗费衣服磨损再考虑进去那就是一个新的
# . !
更复杂的数学模型了
#
#!!!7５
第 章
三个重要不等式
柯西不等式、 排序不等式、 贝努
利不等式都是很重要的不等式， 在许
多领域中都能看到它们的影子． 本章将
讨论这三个重要不等式的背景、 证明
和简单应用．不等式选讲
’"!!柯西不等式
任取四个实数 以它们为坐标可以构造两向量
;
%#%#’#’# "
$ ! $ !
其中
;
3!%
$
#%
!
"# #3!’
$
#’
!
"#
为非零实数如
%#%#’#’ #
$ ! $ !
图 所示 的夹角满足
; ;
# $ #"# # $
; ;
!!G=@$3
".
##
; ;
,"<#,
即
%’1%’
!!!G=@$3槡 $ $ 槡 ! ! # 图
%!1%! ’!1’! # $
$ ! $ !
由 可以得出不等式 !
!! G=@!$#$
!%’1%’"!
G=@!$3 $ $ ! ! #$#
!%!1%!"!’!1’!"
$ ! $ !
即
!%’1%’"!#!%!1%!"!’!1’!"# $
$ $ ! ! $ ! $ !
其中等号成立的条件是 即 或 也就是说与
; ;
证明柯西不等式 G=@!$3$# $3; !# " #
!! $
平行坐标 与 成比例其中一个是另一个的实数倍即
!% $ ’ $证 1% 明! ’ ! "! 我 # 们 !% 将 ! $ 1 同 % 一 ! ! " 长 !’! $方 1 形 ’! ! "# # !% $ #% ! " !’ $ #’ ! " # #
!! $! 时等号成立
进行不同的分割与勾股定理证 %3%’!D3$#!" #
! D D
明有类似之处如图 函数的性质往往是我们证明不等式的重要依据以下我们利用
"# # !# #
二次函数性质证明式
$ #
我们知道二次函数
0!("3!%!1%!"(!1!!%’1%’"(1!’!1’!" %
$ ! $ $ ! ! $ !
的判别式
!,"
!!!!335!%’1%’"!%5!%!1%!"!’!1’!"
$ $ ! ! $ ! $ !
35’!%’1%’"!%!%!1%!"!’!1’!"(#
$ $ ! ! $ ! $ !
欲证式即证明 这对二次函数 来说也就是
!! $ # 3#;# 0!(" #
!K"
图 0!("$;
# !
恒成立事实确实如此这是因为对任意实数 有
4图 !," 阴影3,% $,,% !,1,’ $,,’ !,# # * (#
#!!!8第章三个重要不等式
% !
!!!!0!("3!%!(!1!%’(1’!"1!%!(!1!%’(1’!"
$ $ $ $ ! ! ! !
3!%
$
(1’
$
"!1!%
!
(1’
!
"!$;# 4图 !K" 阴影
当且仅当 时等号成立 $ $
’3%% !D3$#!" # 3 ! ,% $,,% !,1 ! ,’ $,,’ !,1
D D
上述方法不仅新颖而且显而易见可将不等式推广到一般情形
$ $
# $ $ ! ! ,’ $,,’ !,1 ! ,% $,,% !,
设有非零实数组 及 则
%#%#+#% ’#’#+#’# 3 从 , 而 % $图 ,,% !, 与 1, 图 ’ $,,’ 中!, 非 # 阴影部
$ ! . $ ! .
!," !K"
分面积也相等
!!!% $ ’ $ 1% ! ’ ! 1+1% . ’ . "!#!%! $ 1%! ! 1+1% . !"!’! $ 1’! ! 1+1’ . !"# & 即 C
当且仅当 时等号成立
’ D 3%% D !D3$#!#+#." #
!!,%
槡
$,,’ $,1,% !,,’ !,
证明 设二次函数 3 ,% $,!1,% !,!.
’! 槡
于是
,’ $,!1,’ !,!.@’($#
!!0%(&3%%!1%!1-1%!&(!1!%%’1%’1-1%’&(1 !,% $ ’ $ 1% ! ’ !,#
$ ! . $$ !! ..
,% $,,’ $,1,% !,,’ !,#
!%’!1’!1-1’!&! 槡 槡
因
$ ! .
即
,% $,!1,% !,!. ,’ $,!1,’ !,!#
%!
$
1%!
!
1-1%
.
!%;! !!%
$
’
$
1%
!
’
!
"!#
且对任意实数 !%!1%!"!’!1’!"#
证$明! 如$图! 很明显
(
!! !! # "#
0%(&3%%(1’&!1%%(1’&!1-1%%(1’&!$;! ’ 4图 !G"#4图 !:" #
$ $ ! ! . .
故其判别式
5%%’1%’1-1%’&!%5%%!1%!1-1%!&%’!1’!1-1’!&#;#
$$ !! .. $ ! . $ ! .
化简即得式
& #
从可看出当且仅当
!G"
’ !
’ ’ ’
(3% $3% !3-3% .!
% % %
$ ! .
也就是 时等号成立
’3%% %D3$!!!-!.& #
D D
不等式 称为柯西不等式 它有着广泛
$#& !A,+GI/’()*+,-’./"#
!:"
的应用 图
# 即 # "
例 用柯西不等式证明 !!,% $,1,’ !,"!,% !,1,’ $,"#
!! $ !$ $ "
!
!
,% $,,% !,1
!
,’ $,,’ !, 1
%’1’+1+-1-%#%!1’!1+!1-!# 槡 槡
%!1%!. ’!1’!#
证明取两组数 展开$ 整!理得$ !
! # $
%#’#+#-%
,%
槡
$,,’ $,1,
槡
% !,,’ !,#
%!1%!. ’!1’!#
$ ! $ !
’#+#-#%#
D!,% $ ’ $ 1% ! ’ !,#
则由柯西不等式有
,% $ ’ $,1,% ! ’ !,#
槡 槡
%!1%!. ’!1’!#
即 $ ! $ !
此证明不作教学要求我们用仿宋体字排出
!!%
$
’
$
1%
!
’
!
"!#
’ # C !%!1%!"!’!1’!"#
$ ! $ !
#!!!6不等式选讲
!%’1’+1+-1-%"!#!%!1’!1+!1-!"!’!1+!1-!1%!"#
即
!%’1’+1+-1-%"!#!%!1’!1+!1-!"!#
J!%!1’!1+!1-!$;#
D!%’1’+1+-1-%#%!1’!1+!1-!#
例 已知 都是实数求证
#! %#%#+#% # $
$ ! .
!%1%1+1%"!#.!%!1%!1+1%!"#
$ ! . $ ! .
证明对于两组数
! $
!!!$#$#+#$%
!!!%#%#+#%#
$ ! .
运用柯西不等式有
#
!$.%1$.%1+1$.%"!#!$!1$!1+1$!"!%!1%!1+1%!"#
$ ! . $ ! .
化简即得欲证之不等式当且仅当 时等号成立
!! # %3%3+3% #
$ ! .
例 已知 为实数且满足 求证
$! (#, # "(!1!,!#7# $
槡
!(1,# $$#
证明根据柯西不等式有
! #
! 槡 $ 槡 ! ’! ! $ !( 槡 槡
槡. "(1槡. !, # 槡1 槡!’!"("!1!!,"!(#
" ! " !
化简有
!! #
$$
!!(1,"!# !"(!1!,!"#
7
J!"(!1!,!#7#
D!!!(1,"!#$$#
槡
D!!(1,# $$#
例 证明柯西不等式的向量形式
!! &! $
设 为平面上的两个向量则
; ;
"#
#
#
; ; ; ;
,",,#,$,". #,# (
证明如图 设 的夹角为 则
; ;
! # $#"# # $#
; ;
".
#
G=@$3 #
; ;
,",,#,
7!!!;第章三个重要不等式
由 得 % !
,G=@$,#$
; ;
,". #,
#$#
; ;
,",,#,
; ; ; ;
D!,",,#,$,". #,#
等号成立当且仅当 即 或 也就是说向量
; ;
,G=@$,3$# $3; &# "# #
共线
#
若取 则即为柯西不等式
; ;
"3!%
$
#%
!
"# #3!’
$
#’
!
"# ( $#
习题
!!$
已知 求证
$& %!1%!1+1%!3$#(!1(!1+1(!3$# $
$ ! . $ ! .
%(1%(1+1%(#$#
$ $ ! ! ..
已知 为正数 求证
!& (#,#> #(1,1>3$# $
$
!!(!1,!1>!$ #
"
已知 求证
"& %!1’!3$# $,%G=@"1’@’(",#$#
已知 求证
5& ($;!D3$#!#+#."# $
D
槡
!(1(1+1("!("1("1+1(""$(!1(!1+1(!#
$ ! . $ ! . $ ! .
设 为正实数运用柯西不等式证明
#& %#%#+#% # $
$ ! .
槡
%!1%!1+1%! %1%1+1% .
$ ! .$ $ ! .$ #
. . $ $ $
1 1+1
% % %
$ ! .
已知实数 满足
7& %#’#+#-
%1’1+1-3"#
%!1!’!1"+!17-!3##
求证
$$#%#!#
’"#!排序不等式
某班同学举行新年谜语竞猜比赛需要购买价格不同的奖品
# 5
7!!!$不等式选讲
件 件及件现在选购超市中单价为元 元和元的奖品
&# 7 # $ &! " #
问最少要花多少钱最多要花多少钱
) )
不妨先猜一猜凭直觉可以想到最便宜单价元的奖品买最
# # ! $ "
多的件数件 最贵单价元的奖品买最少的件数 件 应是
!7 "# ! " " !5 "#
花钱最少的于是我们猜测最少花
#
元
$M71!M#1"M53!8 ! "#
最便宜单价元的奖品买最少的件数件 最贵单价元
先用具体数字反复 ! $ " !5 "# ! " "
!! 的奖品买最多的件数件 于是最多花
实验而后引出定理
# # !7 "#
这是数学家在探索新定
元
理时经常使用的方法 $M51!M#1"M73"! ! "#
#
为了证明上述猜测把所有情形列举出来可以得到种组合
# # 7 $
$M51!M#1"M73"!#!$M51!M71"M#3"$#
$M#1!M51"M73"$#!$M#1!M71"M53!6#
$M71!M51"M#3!6#!$M71!M#1"M53!8#
比较得 最大
$$M51!M#1"M73"! #$M71!M#1"M53!8
最小
#
让我们进一步考虑两个三元数组
0%#%#%1# 0’#’#’1#
$ ! " $ ! "
是否也有类似的结论也就是说设有两组从小到大排列的数
# #
%#%#%#
$ ! "
’#’#’#
$ ! "
那么 乱序和 同序和
!!%’1%’1%’! "#%’1%’1%’! "# $
$* !* "* $$ !! ""
$ ! " 反序和 乱序和
!!!!%’1%’1%’! "#%’1%’1%’! " %
$ " ! ! " $ $* !* "*
是否成立这里 $ ! "
) 0*#*#*130$#!#"1#
$ ! "
我们先证不等式
$#
若 只需证
!$" ’3’#
* "
"
式告诉我们对
!!& # % $ ’ ! 1% ! ’ $ #% $ ’ $ 1% ! ’ ! # &
于两个二元数组 因为
计算
0%
$两
#
!% $ #% ! #’ $ #’ ! #
%1#0’#’1# 所以
两!配对乘$积!之和不同
# !% ! %% $ $;#’ ! %’ $ $;#
序所得的和不大于同序 将上面两式相乘可得
所得的和 !!
#
!%%%"!’%’"$;#
! $ ! $
即
!! %’1%’#%’1%’#
$ ! ! $ $ $ ! !
7!!!!第章三个重要不等式
若 则分两步进行首先设 或 % !
!!" ’ )’# # # ’3’ !D3$ !"#
* " * "
" D
交换与位置根据可知
’ ’ # &
* *
D "
%’1%’ 3%’1%’ #%’ 1%’#
D* "* D" "* D* " "
D " " "
因此下一步只需证明
!! #
%’ 1%’ #%’1%’#
D* E* $ $ ! !
" E
其中 上式正是式因
!! 0%#%130%#%1#0’#’130’#’1# & #
D E $ ! * * $ !
" E
此式成立
$ #
回顾上述做法就好比将一群刚入学的小朋友按由矮到高进行
#
排队有经验的老师总是先只要求小朋友们随意地站成一列这容
# !
易做到 然后再由老师将不合要求的某两个人的位置对换这样一
"# #
步步地经过若干次调整即可使队伍达到要求整个过程既容易进行
#
又井井有条
#
现在再证不等式
%#
因为
!’#’#’#
$ ! "
所以
!%’#%’#%’#
" ! $
根据有
$
%!%’"1%!%’"1%!%’"#%!%’"1%!%’"1%!%’"#
$ * ! * " * $ " ! ! " $
$ ! "
故
%’1%’1%’#%’1%’1%’#
$ " ! ! " $ $* !* "*
$ ! "
不难想到运用上面的方法同样可以证明对于两个元数
# # $ .
组 如果
0%#%#+#%1#0’#’#+#’1#
$ ! . $ ! .
%#%#+#%#
$ ! .
’#’#+#’#
$ ! .
那么有
!! !%’1%’1+1%’ #%’1%’1+1%’# ’
$* !* .* $ $ ! ! ..
$ ! .
!!!!!!%’1%’ 1+1%’#%’1%’1+1%’ # (
$. !.%$ .$ $* !* .*
$ ! .
这里
!! 0*#*#+#*130$#!#+#.1#
$ ! .
事实上若 那么根据又有
# ’3’!*"."# # $
* . D
D
%’1%’1+1%’1+1%’ #
$* !* D* .*
$ ! D .
%’1%’1+1%’ 1+1%’#
$* !* D* ..
$ ! .
又若 那么根据又有
!! ’3’ !*".%$"# # $
* .%$ E
E
7!!!"不等式选讲
%’1%’1+1%’ 1+1%’ #
$* !* E* .*
$ ! E .
%’1%’1+1%’ 1+1% ’ 1%’#
$* !* E* .%$.%$ ..
继续下去即$可得! 式 .%$
!! # ’ #
因
’#’#+#’#
$ ! .
故
%’#%’ #+#%’#
. .%$ $
根据我们又有
!! &
%!%’"1%!%’"1+1%!%’"#
$ * ! * . *
$ ! .
%!%’"1%!%’ "1+1%!%’"#
$ . ! .%$ . .
两边同除以 即得式
!! %$# ( #
综合 我们得到以下重要不等式
’#(# $
设有两组数 满足
%#%#+#%%’#’#+#’
$ ! . $ ! .
!!!!!!!!%#%#+#%#
$ ! .
!!!!!!!!’#’#+#’#
$ ! .
则有
!!
反序和
!!!!!%’1%’ 1+1%’#!!!! "
$. !.%$ .$
乱序和
!!!!!%’1%’1+1%’ # ! "
$* !* .*
$ ! . 同序和
!!!!!%’1%’1+1%’# ! "
$ $ ! ! ..
其中
!! 0*#*#+#*130$#!#+#.1#
$ ! .
上述不等式即为排序不等式也可简述为
#
反序和乱序和同序和
!!!!!! # # #
例 已知 为正数求证
!! %#’#+ # $
’!+!1+!%!1%!’!
$%’+#
%1’1+
证明根据所证不等式中 的地位的对称性不妨设
! %#’#+ , - #
则
%$’$+#
$ $ $
# # #!’+#+%#%’#
% ’ +
由排序不等式同序和乱序和
$ $
得
’+ +% %’ ’+ +% %’
!! 1 1 $ 1 1 #
% ’ + + % ’
即两边同乘 得
!! %’+%;#
7!!!5第章三个重要不等式
% !
’!+!1+!%!1%!’!$%’+!%1’1+"#
又
!!!!!%1’1+%;#
所以
’!+!1+!%!1%!’!
!!!! $%’+#
%1’1+
例 设集合 求证
#! 0%#%#+#%13 0$#!#+#.1# $
$ ! .
$ ! .%$ % % %
!!!! 1 1+1 # $1 !1+1 .%$#
! " . % % %
! " .
证明将 自小到大排序不妨设为
! %#%#+#% #
$ ! .%$
!!!!!!$#+"+"+"+ #.#
$ ! .%$
又将 自小到大排序有
%#%#+#% #
! " .
!!!!!!$#’"’"+"’ #.#
$ ! .%$
由此可得
!!
$ $ $ $
!!!!!!$$ % %+% $ #
’ ’ ’ .
$ ! .%$
根据排序不等式有
#
% % %
!
$1 !1+1 .%$
% % %
! " .
$ $ $
$+. 1+. 1+1+ .
$ ’ ! ’ .%$ ’
$ ! .%$
$ $ $
$$. 1!. 1+1!.%$".
! " .
$ ! .%$
3 1 1+1 #
! " .
与上一节运用柯西不等式相类似运用排序不等式首先在于能
#
根据需要确定两组数 与
%#%#+#% ’#’#+#’#
$ ! . $ ! .
例 设有 人各拿一个提桶同到水龙头前打水设水龙头注
$! $; #
满第 个人的提桶需时 假定这些 各
D!D3$#!#+#$;" ? H’(# ?
D D
不相同问
# $
当只有一个水龙头可用时应如何安排这 个人的次序使他
# $; #
们的总的花费时间包括个人自己接水所花的时间最少这时间
! " )
等于多少 需证明你的论断
) ! #"
解假若水桶按 顺序打水那么总共所需时间为
! D#D#+#D #
$ ! $;
7!!!#不等式选讲
!!0!*"3? 1!? 1? "1+1!? 1? 1+1? "
D D D D D D
$ $ ! $ ! $;
3$;? 16? 1+1!? 1? #
D D D D
$ ! 6 $;
不妨设 那么根据排序不等式有
?"?"+"? # # #
$ ! $;
!!!!!!0!*"$$;?16?1+1? #
$ ! $;
所花最少时间为 按照注满提桶花时少的
$;?16?1+1? #
$ ! $;
在前面的原则安排这 个人的次序
$; #
探究题当有两个水龙头可用时应如何安排这 个人的次序
! # $; #
使他们的总的花费时间为最少这时间等于多少 需证明你的
) ) !
论断
#"
习题
!!&
设 为实数用排序不等式证明
$& %#%#+#% # $
$ ! .
%+1%+1+1%+#%!1%!1+1%!#
$$ !! .. $ ! .
其中 为 的任一排列
+#+#+#+ %#%#+#% #
$ ! . $ ! .
设 为正整数组 的某一排列则
!& +#+#+#+ %#%#+#% #
$ ! . $ ! .
% % %
$1 !1+1 .$.#
+ + +
$ ! .
设 为正数 求证
"& ( !D3$#!#+#."# $
D
(# (# (# (#
$1 !1+1 .%$1 .$(#%"1(#%"1+1(#%"#
(" (" (" (" $ ! .
! " . $
已知 为两两不等的正整数求证
5& %#%#% # $
$ ! "
% % $ $
%1 !1 "$$1 1 #
$ !! "! ! "
已知 为两两不等的正整数求证对于任意正整数 不等式
#& %#%#+#% # $ .#
$ ! .
成立
% % % $ $
%1 !1 "1+1 .$$1 1+1 #
$ !! "! .! ! .
证明车比雪夫不等式若
7& $
%#%#+#%#
$ ! .
’#’#+#’#
$ ! .
则 %’1%’1+1%’ %1%1+1% ’1’1+1’
! $$ !! ..$ $ ! .. $ ! .#
. . .
7!!!7第章三个重要不等式
% !
’"$!贝努利不等式
我们已学过二项式定理根据二项式定理易知当 为
# # (%;#.
正整数时有
#
!$1(".$$1.(# $
其实当 时不等式仍然成立这一点我们不难用数
# (%%$ # $ #
学归纳法给予证明
#
时不等式显然成立
!$".3$ # $ #
假设 时不等式成立因 可得 则
!!" .3@ $ # (%%$# (1$%;#
!!!!!!$1("@1$3!$1("@!$1("
$!$1@("!$1("
3$1!@1$"(1@(!
$$1!@1$"(#
时不等式也成立
!!.3@1$ $ #
根据 可知对任何正整数 当 时不等式
!$"#!!" .# (%%$ # $
成立
#
我们称不等式
!$1(".$$1.(!(%%$" %
为贝努利不等式
!Q)>(=+--’’()*+,-’./"#
例已知 为大于的正整数
! %%+%-%’%;#%1’3+1-#. $ #
求证
$
%.1’.%+.1-.#
证明设 则 于是
! %3+1’#’3-%’# (%;#
!!%.1’."%!+.1-."
3!+1’".1!-%’".%!+.1-."
! ’". ! ’".
3+.$1 1-.$% %!+.1-."# &
+ -
根据贝努利不等式有
#
7!!!9不等式选讲
! ’". ’
$1 $$1.. # ’
+ +
! ’". ’
$% $$%.. # (
- -
由 可得
&#’#(
!!%.1’."%!+.1-."
! ’" ! ’"
$+.$1.. 1-.$%.. %!+.1-."
+ -
3!+.%$%-.%$".’
%;#
!!D!%.1’.%+.1-.#
7!!!8第章三个重要不等式
% !
数学建模
增设汽油中转站
地生产汽油 地需要汽油一辆满载汽油的 型运油汽车往
!!$ !& ! )
返 至地刚好耗尽其所运汽油因此需要在 两地间增设一
$ & # ! $!&
些汽油中转站
#
地获油量
若规定运油率 那么欲使运油率达到 途
3
&地运出油量!
% ";N!
$
中需设多少个中转站
"
设从 地到 地顺次增设个中转站 到
$ & . 2!2!-!2!2 2
$ ! . D D1$
且 的路程为 且
%D3;!$!!!-!.! 23$!2 3&& ) !
; .1$ D1$
)1)1-1) 3$#
$ ! .1$
又设型运油车满载时所运油量为 则该车每单位路程的耗油
) $!
量为 因为汽车往返一次所有路程为 恰好耗油
$
% !! $&#
!
再设从 地运出单位汽油可保证有油运至地由汽车的运
$ % % & &!
油量为可知相当于辆汽车从 地出发运油至 从而 处所获
$ ! % $ 2! 2
$ $
油量为
$
!!!!,3%%%,!), 3%%$%)&#
$ $ ! $
又相当于有 辆汽车从 处出发运油至 从而 处
%%$%)& 2 2! 2
$ $ ! !
所获油量
$
!!!!, 3%%$%)&%%%$%)&,!),
! $ $ ! !
3%%$%)&%$%)&#
$ !
依次类推可得地所获油量为
!! ! &
, 3%%$%)&%$%)&-%$%) &#
.1$ $ ! .1$
从而运油率
!!
7!!!6不等式选讲
%%$%)&%$%)&-%$%) &
!!!!%3 $ ! .1$
%
3%$%)&%$%)&-%$%) &
$ ! .1$
’%$%)&1%$%)&1-1%$%) &(.1$
# $ ! .1$
.1$
!. ".1$ ! $"%%.1$&
3 3 $1 #
.1$ .
当且仅当 时取等号
.
)3)3-3) 3 #
$ ! .1$ .1$
所以最大运油率为 ! $"%%.1$&
! % 3 $1
H,R . #
设 $ ! $"%%.1$& 则
! 3 $1 !
( .
.
! $ ".1!
$1
( .1$
!!!!!!
.1$3
( ! $".1$
. $1
.
! $ ".1!
$1
.1$ .1$
3 ,
! $".1! .
$1
.
’.%.1!&(.1! .1$
3 ,
%.1$&! .
4 $ 6 .1!
.1$
3 $ ,
$1 .
5 .%.1!&7
$ .1$
3 , # $
’ $ (.1! .
$1
.%.1!&
根据贝努利不等式有
!
’ $ (.1! $ .1$
!! $1 %$1%.1!&, 3 # %
.%.1!& .%.1!& .
由 可得
$!%
( $ .1$
.1$ " , 3$#
( .1$ .
.
.
所以
$ $
% #
( (
.1$ .
9!!!;第章三个重要不等式
% !
表明数列 是递增数列从而 随的增大而增大
0$1
!! ! % . #
( H,R
.
时
$
.3$ !% 3 "";N’
H,R 5
时 !""%" 8
.3! !% 3 3 "";N’
H,R ! !9
时 !5"%5 8$
.3" !% 3 3 %";N#
H,R " !#7
所以至少应设置个运油中转站
! " #
9!!!$课程总结报告参考题
================
完成一个学习总结报告在班上交流报告应包括以下三方面
# #
的内容
$
知识的总结对本专题所介绍的不等式中蕴涵的数学思想
!$" #
方法和数学背景进行总结
#
拓展通过查阅资料调查研究访问求教合作交流
!!" # & & & &
独立思考进一步探讨不等式的应用
# #
自己对不等式学习的感受
!"" #
9!!!!附录
附录 !
!
数学词汇中英文对照表
===============
按词汇所在页码先后排序
! "
中文名 英文名 页码
!!!!!!!!! ! ! !!!!!!!!! !
不等式
’()*+,-’./ !
比较法
G=H4,>’@=(H).I=: 9
算术平均
,>’.IH).’GH),( $;
几何平均
F)=H).>’GH),( $;
基本不等式
K,@’G’()*+,-’.’)@ $;
分析法
,(,-/@’@H).I=: $8
综合法
@/(.I)@’@H).I=: $6
反证法
>):+G.’=(.=,K@+>:.’./ !!
绝对值
,K@=-+.)O,-+) !7
数学归纳法
H,.I)H,.’G,-’(:+G.’=( "8
柯西不等式
A,+GI/’()*+,-’./ #6
贝努利不等式
Q)>(=+--’’()*+,-’./ 79
9!!!"
