文档内容
经全国中小学教材审定委员会 2005 年初审通过
普通高中课程标准实验教科书
数数数 学学学
选
修
不
等
式
选
讲
湖
南
教
育
出
版
社 湖南教育出版社
(cid:13523)(cid:14406)(cid:2372)(cid:2059)(cid:1147)(cid:2709)
－
普
通
高
中
课
程
标
准
实
验
教
科
书
数
学
4
5普通高中课程标准实验教科书
数 学
选 修 4-5
不等式选讲主 编张景中黄楚芳
!! ! !
执行主编李尚志
!
本册主编朱华伟
!
编 委钱展望郑志明
!! ! !
查建国
普通高中课程标准实验教科书
数学
!
选修
! "
不等式选讲
责任编辑甘哲
! !
湖南教育出版社出版长沙市韶山北路 号
" !!# #
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!$%&’()*!*+%,-(./
客服电话
!01#2 3"!34515
湖南出版中心重印
重庆市新华书店经销
湖南天闻新华印务有限公司印刷
开印张 字数
350627!0!24 ! !"! !270000
年月第版 年月第 次印刷
700" 4 2 !7025 1 7!
89:;513 1 "#"" !40! #
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! !!<10
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! $7025%5!4 & !27#"3
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#01#2 33#33534!01#2 33#335331
书书书前言
!
探寻现实生活中的不等关系
自来水管的横截面为什么总是圆的而不是方的
! "
圆柱体容器的容积一定时怎样的圆柱体容器用料最省
! "
表面积一定时怎样的长方体容积最大
! "
晚上在灯下做功课时怎样选择灯的高度才能使桌子边缘处
! !
最亮
"
亲爱的同学们这类问题在现实生活中随处可见它们都与不
! !
等式有关可以利用不等式来解决
! !
不等式是数学的重要内容是研究数量的大小关系的必备知识
! !
是我们进一步学习数学和其他学科的基础和工具
!
在本专题中我们将回顾和复习不等式的基本性质和基本不等
!
式介绍一些重要不等式绝对值不等式平均值不等式柯西不
! # $ $
等式排序不等式贝努利不等式和证明不等式的基本方法比
$ $ % #
较法分析法综合法反证法放缩法 以及数学归纳法和它的
$ $ $ $ %!
简单应用
!
同学们通过本专题的学习不仅要掌握不等式涉及的基本知识
!
和基本技能还要主动地探寻现实生活中存在的不等关系逐步形
! !
成和努力增强数学应用意识走进数学应用的天地
! &
书书书目录
第!章
!
基本不等式和证明不等式的基本方法
"!
数学实验 的近似值
!!
""
实数可以比较大小
!!!#!! "$
习题
!! !! "%
比较法证不等式
!!!#"! "&
习题
!! !" "’
基本不等式
!!!#(! "’
习题
!! !# "!"
基本不等式实际应用举例
!!!#)! "!(
习题
!! !$ "!)
阅读与思考算术平均数与几何平均数
!
"!%
分析法与综合法
!!!#$! "!*
习题
!! !% ""!
反证法和放缩法
!!!#%! """
习题
!! !& "")
第"章
!
绝对值不等式
""$
含有绝对值的不等式
!!"#!! ""%
习题
!! !’ ""*
解含绝对值的不等式举例
!!"#"! ""’
习题
!! !( "("
阅读与思考距离的性质
!
"((
第#章
!
数学归纳法与不等式证明
"(%
数学归纳法
!!(#!! "(&
习题
!! !) ")+
!!!!!
书书书目录
数学归纳法证不等式
!!(#"! ")+
习题
!! !!* ")(
第$章
!
平均值不等式
"))
三个正数的平均值不等式
!!)#!! ")$
习题
!! !!! ")&
三个正数平均值不等式的实际应用举例
!!)#"! ")&
习题
!! !!" ")’
阅读与思考 个正数的平均值不等式
!!
"$+
数学建模洗衣服的数学
!
"$"
第%章
!
三个重要不等式
"$&
柯西不等式
!!$#!! "$*
习题
!! !!# "%!
排序不等式
!!$#"! "%!
习题
!! !!$ "%%
贝努利不等式
!!$#(! "%&
数学建模增设汽油中转站
!
"%’
课程总结报告参考题
"&"
数学词汇中英文对照表
附录
!! "&(
!!!!"１
第 章
基本不等式和证明不等式的基本方法
比较法、 分析法、 综合法、 反证
法、 放缩法是证明不等式的基本方
法， 本章将复习不等式的基本性质和
基本不等式， 通过一些简单问题学习
证明不等式的基本方法．不等式选讲
数学实验
!的近似值
我国古代著名数学家祖冲之用 作为的近似值如果要找比
"##
!! ! !
$$"
更接近的分数而且想让分母尽可能地小怎么办呢
"##
! ! ! "
$$"
这个问题的数学表达就是
! #
找一对正整数 使满足
$ !!"!
比 更接近 也就是
" "##
%$& !!
! $$"
" "##
!% " %! ’
! $$"
要求尽可能小
%!& ! #(
这就看到要把问题说清楚要用不等式来表达
! ! #
可以想到取一个一个分数来试验找到一个满足上述条件的
! !
就可以了
#
分母为的正分数很多要有限制若 不用考虑若
" "
! ! # #"! ’
! !
也不用考虑用不等式估计分子的范围
$"&!! # " #
由 得
"
%"! "%"!’
!
由 得
"
""&!! """&!!#
!
这又用到不等式 的基本性质
!’()*+,-’./" #
对于 由开始一个比一个大的来试用计算机搜索可以找
!! " ! !
到一个分数看看分母有多大
! #
用手算或计算器算太慢了使用 超级画板的程序工作
! $010 (
区要方便得多
#
!!!!!第章基本不等式和证明不等式的基本方法
把下列程序键入 超级画板的程序工作区 ! !
$010 ( #
"##
23 ’
$$"
4’3"&$5$#6!7#"#8696’
:32%4’’
&%";$55"#"9"&)%$$";;;;;;;;;;;;;;&"
,32’
<=>%43"’4"$;;;’4341$&
*
<=>%*3<-==>%4’%4’%:&&’*"<-==>%4’%4’1:&&1$’*3*1$&
!!!!!!!*
!!!!!!!’<%%*)4%4’&?!"%2%4’&?!&
!!!!!!!!!!!*,3*)4’+
!!!!!!!)-@)*,’+
!!!!!!!+
+
把光标放在最后的花括弧左边按住 键单击 程序开始运
! A.>- B(.)>!
行不久结果出现
# ! #
&"##)$$""
这表明分母不超过 的所有分数中最接近的是
"##
! $;;; ! ! #
$$"
注意程序中有一行
<=>%43"’4"$;;;’4341$&C
这一行中的改成 改成 再运行结果仍是
"##
" $;;;!$;;; !;;;! ! #
$$"
可见分母不超过 的所有分数中最接近的仍是
"##
! !;;; ! ! #
$$"
耐心地做下去你会看到分母不超过 的分数中最接
! ! $7;;; !
近的仍是
"##
! #
$$"
下面再做把这一行改成
!
<=>%43$7;;;’4"$79;;’4341$&!
!!!!"不等式选讲
你会找到一个分母为 的分数算一算就知道它确实比 更接
"##
$77;5 !
$$"
近
!#
在 之间有没有比 更接近的分数呢只要
"##
$7;;;#$77;5 ! ! !
$$"
把这一行改成
#
<=>%43$7;;;’4"$77;5’4341$&C
运行一下就知道了没有
# #
我们找到了比 更接近的分数是
"## #!$7"
! #
$$" $77;5
实际上如果多用点不等式知识工作量可以小得多能大大
! ! !
简化计算甚至得到更漂亮的结果
! #
!!!!5第章基本不等式和证明不等式的基本方法
! !
!"!!实数可以比较大小
我们知道实数集与数轴上的点集是一一对应的在数轴上不
# #
同的两点中右边的点所表示的实数比左边的点表示的实数大如
# #
图 所示点 表示实数 点
$ $ # $ %# &
表示实数 点 在点 右边那么
’# $ & #
从图 中我们还可以看到
%%’# $ $ # $
图
如果 那么 是正数反 $ $
%%’# %%’ % !
之 是正数则
#%%’ # %%’#
类似地如果 那么 是负数如果 那么
# %"’# %%’ % %3’# %%’3
它们的逆命题也都正确
;# #
这里表明了
%%’(%%’%;%
%3’(%%’3;%
%"’(%%’";#
由此可见实数可以比较大小要比较两个实数的大小可通
# # #
过考察它们的差与的大小关系来完成
; #
例 比较 与 的大小
!! !%%$"!%15" %!1"% #
解
!!!%%$"!%15"%!%!1"%"
3!%!1"%%5"%!%!1"%"
3%5";#
D!!%%$"!%15""!%!1"%"#
例 比较 与 的大小
#! (!1" "( #
解
!!!(!1""%"(
3(!%"(1"
! ""! "
3(% 1 %;#
! 5
D!!(!1""%"(#
!!!!#不等式选讲
例 甲乙两人同时同地出发沿同一路线走到同一地点甲
$! & # #
有一半时间以速度行走另一半时间以速度行走乙有一半路程
% # ’ %
以速度行走另一半路程以速度行走如果 问甲乙两人
% # ’ & %)’# &
谁先到达指定地点
#
解设从出发地点至指定地点的路程是 甲乙走完这段路程
! )# &
所用的时间分别为 依题意有
*#*# #
$ !
* *
$%1 $’3)#
! !
) )
1 3*#
!% !’ !
从而
!)
)!%1’"于是
*3 #*3 #
$ %1’ ! !%’
!) )!%1’"
*%*3 %
$ ! %1’ !%’
)’5%’%!%1’"!(
3
!!%1’"%’
)!%%’"!
3% #
!%’!%1’"
其中 都是正数且 于是 即
)#%#’ # %)’# *%*";#
$ !
*"*#
$ !
从而知甲比乙先到达指定地点
#
习题
!!
已知 比较 与 的大小
$& ();# !(!1$"! (51(!1$ #
设 比较下列各式的大小
!& %)’# $
与
!$"%!!%1$"1’!!’1$" %!%!1’"1’!’!1%"%
与
!!"%"1’" %!’1%’!#
设 比较 %!%’! 与 %%’ 的大小
"& %%’%;# #
%!1’! %1’
若 求证 (!1+1$ +1$
5& +$$# $ 槡 $ 槡#
(!1+ +
!!!!7第章基本不等式和证明不等式的基本方法
某收购站分两个等级收购小麦一等小麦每千克为元二等小麦每千克为 ! !
#& # % # ’!’"
元现有一等小麦 二等小麦 若以两种价格的平均数收购对被
%" # (EF# ,EF# #
收购者是否公平合理
)
!"#!比较法证不等式
一个不等式实际上表示的就是不等式两边的大小比较从上一
#
节我们知道两实数大小的比较可通过考察两数的差与的大小关系
;
来实现因此我们要证明一个不等式也就可以如同进行实数大小
# #
比较一样采用作差变形确定符号的方式进行我们将这种方
# & & #
法称之为比较法
!G=H4,>’@=(H).I=:"#
以下我们利用比较法证明不等式的基本性质
#
性质 若 则
!! %%’#+*%# %1+%’1+#
证明
!J!!%1+"%!’1+"3%%’#
又由 知
%%’# %%’%;#
D!%1+%’1+#
性质 若 则
#! %%’#’%+# %%+#
证明
!J!%%’#’%+#
D!%%’%;#’%+%;#
D!%%+3!%%’"1!’%+"%;#
D!%%+#
性质 若 则
$! %%’#+%-# %1+%’1-#
证明请同学们自己完成 根据性质可得
!! ! #" !! 5# $
性质 若 则 若 则 %
&! !$" %%’#+%;# %+%’+% ’%;# ’ %$
若 则
(%%’#
!!" %%’#+";# %+"’+# 这里为我们提供了
证明 比较法证明不等式的另
! !$"%+%’+3!%%’"+#
一种方式作商注意
因 故 与 同号 $ !
+%;# %+%’+ %%’ # 变形与比
’%;*" # $
较大小
J!%%’#!D!%%’%;# #
D!%+%’+%;#
!!!!9不等式选讲
D!%+%’+#
证明请同学们自己完成
!!"! #"
性质 若 则
’! %%’%;#+%-%;# %+%’-#
证明请同学们自己完成
!! ! #"
性质 若 则
(! %%’%;#.*) #.$!#
1
槡槡
!$"%.%’.%!! !!". %% . ’#
证明
!!$"%.%’.3!%%’"!%.%$1%.%!’1+1%’.%!1’.%$"# $
因 故中第二个括号内各项和为正数
%%;#’%;# $ #%.%’.
与 同号
%%’ #
J!%%’#!D!%%’%;#
D!%.%’.%;#
即
!%.%’.#
用 代替中的 由知槡槡与 同号
!!" %. $#’. $ $ %#’# $ . %% . ’ %%’ #
因此槡槡
. .
%%’#
比较法是证明不等式最基本的方法下面我们利用比较法来证
#
明不等式
#
例 求证
"
!! $(!1 %!(C
!
证明
! ""
!J!(!1 %!(
!
$
3(!%!(1$1
!
$ $
3!(%$"!1 $ %;#
! !
"
D!(!1 %!(C
!
例 已知 求证
#! %#’*%# $
!!!!!%51’5%%"’1%’"C
证明
!!!!%51’5"%!%"’1%’""
3!%5%%"’"1!’5%%’""
3%"!%%’"%’"!%%’"
!!!!8第章基本不等式和证明不等式的基本方法
! !
3!%%’"!%"%’""
3!%%’"!!%!1%’1’!"
’! $ "! " (
3!%%’"! %1 ’ 1 ’! $;#
! 5
D!%51’5$%"’1%’"#
习题
!#
用 号填空
$& ,%-&,"- $
如果 那么
!$" %%’# %% %’%
如果 那么
$ $
!!" %"’";# !! %
% ’
如果 那么
+ +
!"" %%’%+%;# !! %
% ’
如果 那么
$ $
!5" ;"%"’"$#.*) # % !!;#
1 %. ’.
求证
!& $
如果 那么
!$" %%’#/%0#+%;# 0%%+"/%’+%
如果 那么
!!" %%’%;#+"-";# %+"’-#
求证
"& $%!1"’!$!’!%1’"#
求证
5%
5& $ #$#
51%!
已知 都是正数且 求证
#& %#’#1 # %"’# $
%11 %
!!!!!!!!!! % #
’11 ’
已知 求证
7& %%’%+# $%!’1’!+1+!%%%’!1’+!1+%!#
已知 且满足 求 的范围
9& 0!("3%(!1’(# %$#0!$"#!#%!#0!!"#5# 0!"" #
!"$!基本不等式
现在我们用比较法来证明不等式
!!!!6不等式选讲
%1’ 槡
$ %’!!%#’*% "# $
! 1
证明
!J!%%;#’%;#
%1’ 槡
D!!! % %’
!
$ 槡槡
3 !%1’%!%.’"
!
图
这里是运 $ 用 ! 比较法结合 $ 槡槡
3 !%%’"!$;#
几 ! 何 ! 图形给出的另一证法 !
$
如图 $ !# 正方形 $&23 中 # D %1’ $ 槡 %’!! 当且仅当 %3’ 时取等号 "#
4
+$&2
14
+$56
%4矩形 $&75$;# !
即 % ’ 槡槡 我们将 称为两个正数 的算术平均
! ! 1 ! $%.’# %1’ %#’ !,>’.IH).’GH),("
由此得出 !
$#
数槡则称之为 的几何平均 数
对实数 有 # %’ %#’ !F)=H).>’GH),(" #
(# (!$ 式告诉我们两个正数的算术平均数不小于几何平均数当
这是配方法的基础
;# # $ # #
在运用比较法证明不等 且仅当这两个正数相等时等号成立
式的过程中常为我们 #
#
利用可以很快地写出一些不等式
提供了赖以确定符号的
$ $
关键理由
#
%!1’!
$%’#
几何平均数这 !
, -
个名词的来源可以从下
%!1’!$!%’# %
述简单的几何事实中得
到解释如图 %!1’!3,%,!1,’,!$!,%,,’,#
# $ "!,"
中表示长与宽的长度分
别为 的矩形图
%!1’!%%’$%’
%#’ # 等等
表示的则是与
$ "!K" #
矩形具有相同面积的正 同学们还可以作进一步的探索
方形那么它的边长就 #
# 不等式 我们称之为基本不等式 现
是 的几何平均数
%#’ # $#% !K,@’G’()*+,-’.’)@"#
在我们可以从 这两个不等式出发利用不等式的基本性质
# $#% #
得到一连串的不等式例如
# $
由得
$& %
!! !,"!!! !!K"
图
$ " %!1’!1!%’$!%’1!%’#
即
!%1’"!$5%’#
将
!& !!!!!!!!%!1’!$!%’#
’!1+!$!’+#
$!!!;第章基本不等式和证明不等式的基本方法
! !
+!1%!$!+%
相加再除以 即得
# !#
%!1’!1+!$%’1’+1+%#
当 时
"& %%;#’%; #
槡
’ % ’ %
!$" 1 $! . 3!%
% ’ % ’
槡
!$ $" 槡 $
!!"!%1’" 1 $! %’.! 35#
% ’ %’
上面这些不等式的证明实际上也可以看作是发现过程从某种
#
意义上讲当我们经历从已知条件出发以不等式的基本性质基
# # &
本不等式为依据进行思考探求以至获取不等式的过程其实也就
& #
是对不等式给予证明
#
例设 是正数求证
! %#’ # $
!%’ 槡
!$" # %’%
%1’
槡
%1’ %!1’!
!!" # #
! !
证明 为正数
! !$"!J!%#’ #
槡
D!%1’$! %’#
$ $
D! # 槡#
%1’ ! %’
!%’ !%’ 槡
D! # 槡3 %’#
%1’ ! %’
!!"!J!!%1’"!3%!1’!1!%’#!!%!1’!"#
!%1’"! %!1’!
D! # #
! !
槡
%1’ %!1’!
D! # #
! !
根据基本不等式及例题可知对于两个正数 有
$ $ %#’#
槡
!%’ 槡 %1’ %!1’!
# %’# # # &
%1’ ! !
$!!!$不等式选讲
在图 中 为圆心
$ 5 #8 #
69"6:"68"6;# ’
图
$ 5
设
!
6<3%#6=3’#!%%’"#
则 %1’ 槡
!! !683 #!!6:3 %’#
!
槡
!%’ %!1’!
!!693 #!!6;3 #
%1’ !
即不取等号时的情形
!!’ & #
习题
!$
已知 为正数求证
$& %#’#+ # $
!$"!%1’"!’1+"!+1%"$8%’+%
槡 槡 槡
!!"%1’1+$ %’1 ’+1 +%#
已知 及 都是正数求证
!& %#’#+ (#,#> # $
’1+ +1% %1’
!! (!1 ,!1 >!$!!(,1,>1>("#
% ’ +
求证 %!1!
"& $槡 $!#
%!1$
求证
5& $%!1’!1#$!!!%1’"#
已知 求证
#& %!1%!1+1%!3$#(!1(!1+1(!3$# $
$ ! . $ ! .
%$($1%!(!1+1%.(.#$#
已知 求证
7& %#’#+*% #%1’1+3$# $
1
$
%!1’!1+!$ #
"
已知 求 的最小值
9& !%1"’3!# 5%18’ #
$!!!!第章基本不等式和证明不等式的基本方法
! !
求函数 的最小值并求出取得最小值时的值
5
8& 0!("3(!1 # ( #
(!1$
已知 且 为正整数求证
6& (%;# ()$#. # $
!$1(."!$1(".%!.1$(.#!!!
若正数 满足 求 的最大值
$;& (#, 7(1#,3"7# (, #
槡
求 7 (!1$ 的最大值
$$& ,3 #
(!15
已知 为正数求证 %! ’! +!
$!& %#’#+ # $ 1 1 $%1’1+#
’ + %
!"&!基本不等式实际应用举例
例 一家皮鞋零售店平均每天售出皮鞋双已知每双皮鞋
!! # " #
的批发价 元运费元零售价 元一双皮鞋在商店保存一
57 # $ # $;; #
天的费用为 元订货一次的组织费用为 元批发的包装为
;&!8 # !;; #
每箱 双以整箱批发问这家皮鞋店应采用何种订货策略可使
$8 # # #
获利最大
)
解设每次订货双那么天订货一次一次的订货费用为
(
! ( # #
"
元
!;;1!571$"(! "#
平均库存量为双在一个订货周期中保存费用为
(
# #
!
元
( (
.;&!8. ! "#
! "
所以每天的总费用
!! #
!;;1!571$"(1;&!8(!L7
?3
(
"
元
7;;
3 1;&$5(1$5$! "#
(
根据基本不等式可得
!!
槡
7;;
?$! M;&$5(1$5$
(
$!!!"不等式选讲
元
3$#6&"" ! "#
等号当且仅当 即 时取得
7;;
3;&$5(# (37#&57# #
(
由于批发是整箱的所以分别计算箱和箱即 和
# " 5 ! (3#5 9!"
的结果
#
当 时
(3#5 #?3$#6&79$%
当 时
(39! #?3$#6&5$"#
所以每次批发箱每 天批发一次可获利最大
5 # !5 # #
例 机动车过大桥为了安全同一股道上的两辆车的间距不
#! # #
得小于 其中是车速 为平均车身长度 为比例系数经
@AB!# B #A #@ #
测定车速为 安全车距为
$ 7;EH/I# $&55A#
规定怎样的车速可使同一股道上的车流量最大 车流量即
!$" ) !
单位时间内通过的车辆数
#"
设过桥的车辆平均车身长度为 求同一股道上每小时的
!!" #H#
最大车流量
#
解设安全车距为 车流量为辆 则 由
! -H# , /I# -3@AB!# B3
得 车速为 若车速为 时
$
7;EH/I#-3$&55A# @3 # B# $;;;B #
!#;;
车流量为 所以
$;;;B
#
-1A
$;;;B $;;;B $;;; !#;;;
,3 3 3 # # $
-1A @AB!1A !B $" A
A 1
!#;; B
当且仅当
B $
3 #
!#;; B
即 时式等号成立此时车流量最大
!! B3#;EH/I $ # #
当 时每小时的最大车流量为 辆
A3#H # #;;; #
习题
!&
一段长为的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园问这个矩形的长宽各为多少
$& C # &
$!!!5第章基本不等式和证明不等式的基本方法
时菜园的面积最大最大面积是多少 ! !
# ) )
有一座被毁坏的房屋留有一堵旧墙长 现准备在原地重新建屋平面图
!& # $!H# #
形为矩形面积为 工程条件是
# $$!H!# $
修 旧墙的费用是造 新墙费用的
!$" $H $H !#N%
拆去 旧墙用来造 新墙的费用是造 新墙费用的
!!" $H $H $H #;N#
问应如何利用旧墙才能使建屋造价最低
$ )
地产汽油 地的汽油需从地运入汽车从地运汽油往地往返的油
"&$ #& $ # $ & #
耗正好等于其满载汽油的吨数故无法将汽油直接运至地为解决问题在
# & # #
途中设一油库中间站先由往返于 间的汽车将汽油运至地再由往
2 # $#2 2 #
返于 间的汽车将汽油运至地问站设在何处时运油率最大最大
2#& & # 2 # )
为多少 运油率 地收到的汽油量 地运出的汽油量
) ’ 3!& "L!$ "(
$!!!#不等式选讲
阅读与思考
算术平均数与几何平均数
设与是两个非负实数 记
!! % ’ !%%’!
%1’ 槡
%3 !!’3 %’!
$ ! $
则 必定也是非负数且
%!’ !
$ $
%1% 槡
%" 3%!!’% ’,’3’!
$ ! $
根据基本不等式 可知 再记
$! %%’!
$ $
%1’ 槡
%3 $ $!!’3 %’!
! ! ! $ $
引进 重复上面步骤同理有
%!’! ! !
! !
%%%%%!!’%’%’
$ ! ! $
及
%%’!
! !
继续进行下去一般地我们可用递推公式
! !
% 1’ 槡
%3 .%$ .%$!!’3 % ’ $
. ! .%$.%$
定义
%!’#
. .
进行到第步时得到数 及 它
@ ! %!%!-!% ’!’!-!’!
$ ! @ $ ! @
们满足
%%%%%%-%%%’%’ %-%’%’%’#
$ ! @ @ @%$ ! $
例如当 把前面几个 与 表示在数轴上如图
! %35!’3$! % ’ %
D D
可以看到在所有的这些数当中 最小而最大并且所
$ #&! ! !’ % !
有的 小于所有的
’ %#
D D
图
$ #
!
$!!!7第章基本不等式和证明不等式的基本方法
设想我们用递推公式定义越来越多的与 这样定义的每一 ! !
$ % ’!
对 都夹在前一对 之间于是看来有理由认为这些
%!’ % !’ # !
D D D%$ D%$
随着增大而减小但始终大于每一个 而趋近于某个固定的数
% . ! ’
. D
值 类似地这些 随增大而增大但始终小于每一个 而
$’ ! ’ . ! %!
. D
趋近于某个固定的数值 实际上 就是无穷数列 的极限
&# !$ *%+ !
.
则是无穷数列 的极限
& *’+ #
.
此外还有
!
%1’ 槡 %1’ 槡
% %’ 3 . .% %’" . .% ’’
.1$ .1$ ! .. ! ..
$
3 %%%’&!
! . .
这表明差 随增大而迅速变小数列 具有相同
! %%%’& . ! *%+!*’+
. . . .
极限即 而且 只依赖于我们开始时所取的两个数
! $3&! $%&& %!’!
也就是说 是 的函数大数学家高斯曾指出这个函数不
$%&& %!’ # !
只是一个满足好奇心的玩艺而且在数学上具有独特地位它可以
! !
用来建立一个叫作椭圆函数论的数学分支
$ ( #
$!!!9不等式选讲
!"’!分析法与综合法
数学实验
让我们动手计算一些数的平方根并求出前后相应项平方根的差
# $
. $ ! " 5 # 7 9 8 6 $;
槡
. $ $&5$$&9" ! !&!5!&5#!&7#!&8" " "&$7
槡槡
.% .%$ $ ;&5$;&"!;&!9;&!5;&!$;&!;;&$8;&$9;&$7
不难看出随着的增大槡槡 越来越小换言之
# . #.% .%$ #
槡槡 槡 槡
.% .%$" .%$% .%!# $
上式对于 是否总成立还有待于证明直接证明不是很便利为
.$! # #
此我们改变一下思考的方式
$
欲证 只需证
$#
槡槡 槡
.1 .%!"! .%$#
又只需证
!!
槡槡 槡
!.1 .%!"!"5!.%$"!#
即证
!!
槡槡
.. .%!".%$# %
为此只需证
!!
.!.%!""!.%$"!#
即
!! .!%!.".!%!.1$# &
式一定成立因此不等式成立
!!& # $ #
上述证明是从欲证的不等式出发执果索因 层层推求
# , - , -#
使结论成立的充分条件直至能够肯定这些充分条件已经具备为止
# #
进而断言原不等式成立我们把这种方法称之为分析法
# !,(,-/@’@
H).I=:"C
对同一个不等式的证明即使都采用分析法具体的途径却可
# #
能不一样对于式我们也可以这样考虑
# $ $
$!!!8第章基本不等式和证明不等式的基本方法
欲证式只需证 ! !
$ #
槡槡 槡槡 槡 槡 槡 槡
!.% .%$"!.1 .%$" !.%$% .%!"!.%$1 .%!"
槡槡 " 槡 槡 #
!.1 .%$" !.%$1 .%!"
即
$ $
!! 槡槡 "槡 槡 #
.1 .%$ .%$1 .%!
为此只需证
#
槡槡 槡 槡
.1 .%$% .%$1 .%!# ’
式成立十分明显因此式获证
!!’ # $ #
例 已知 是两个不相等的正数求证
!! %#’ # $
!%1’"!%"1’""%!%!1’!"!# (
证法 欲证
!! !%1’"!%"1’""%!%!1’!"! ! "
-
只需证
%51’51%"’1%’"%%51!%!’!1’5 ! "
-
只需证
%"’1%’"%!%!’! ! "
!!!!!!!!-! !%%;#’%;"
只需证
%!1’!%!%’# ! ")
是基本不等式在 时的情形因此式成立从而式成立
) %)’ # ) # ( #
例证法中所表达的是自上而下的运用分析法的思考过程的图
$ $
示以后遇到类似情形不再说明
! "#
基于上述分析法的证明我们还可以给出例的如下证明
# $ $
证法
#!!!!!%!1’!%!%’ )
.%"’1%’"%!%!’! !%%;#’%;"
.%51’51%"’1%’"%%51!%!’!1’5
.!%1’"!%"1’""%!%!1’!"!#
上述证明的思考角度可以说与分析法正好相反它从已知的基
#
本不等式出发利用不等式的基本性质导出欲证不等式 这种
) # (#
证明方法称为综合法 所谓综合法就是由因导
!@/(.I)@’@H).I=:"# , -
果 从题设条件出发利用已知定义公理定理等逐步推进
, -# # & & #
证得所要求证的结论的方法
#
$!!!6不等式选讲
例 求证槡槡槡槡
#! $ !1 9" "1 7#
分析因综合法不太容易想到解决这类问题的途径所以用分
! #
析法探求证明途径
#
证法 分析法
!! #
槡槡槡槡
!!!!!! !1 9" "1 7
槡槡 槡槡
/!!1 9"!"!"1 7"!
槡 槡
/61! $5"61! $8
槡 槡
/ $5" $8
/$5"$8#
最后一个不等式成立故原不等式成立
# #
基于上述分析法的证明我们还可以给出例的综合法证明
# ! #
证法 综合法
#! #
!!!!!!!$5"$8
槡 槡
. $5" $8
槡 槡
.61! $5"61! $8
槡槡 槡槡
.!!1 9"!"!"1 7"!#
因为槡槡 槡槡
! !1 9%;# "1 7%;#
所以槡槡槡槡
! !1 9" "1 7#
在上例中我们很难想到从 入手用综合法比较困
# ,$5"$8- #
难因此先用分析法探索证明的途径然后用综合法的形式写出证明
# #
过程这是解决数学问题的一种重要思想方法
# #
有时也将分析法综合法结合起来就好像有两个人走迷宫
& # #
一个人从迷宫的入口走向出口另一个人从迷宫出口走向入口争
# #
取在某处相会实际上一个不等式的证明的成功往往是分析与综
# #
合两种方法交替运用的结果
#
例 已知 求证
$! ;"%"$#(!1,3;# $
$
-=F!%(1%,"#-=F!1 # *
% % 8
!!!!;第章基本不等式和证明不等式的基本方法
分析与证明 ! !
!! !*(-=F!%(1%,"#-=F!!.% $ 8"!!!!!!!!
% %
-!!;"%"$"
!!!!!%(1%,$!.% $ 8
-
%(1%,
$
!!!!! $%8!
!
基本不等式
- ! %"
槡
!!!!! %(.%,$% $ 8
-
(1, $
!!!!! #
! 8
-
$
!!!!!(1,# # +
5
J!(!1,3;#
D!(1,3(%(!3(!$%("#
根据基本不等式有
#
’(1!$%("(! $
(!$%("# 3 #
! 5
式成立从而式也成立
D!+ # * #
习题
!’
分别用分析法与综合法证明基本不等式
$& #
分别用分析法与综合法证明
!& #
已知 求证槡槡槡
%%’%;# $%%’" %%’#
已知 求证
"& %%;#’%;# $
槡槡
%! ’! 槡槡
1 $%1’#
’ %
已知 求证
5& %%;#’%;# $
$ ’ %
%’1 1 1 $5#
%’ % ’
!!!!$不等式选讲
设 是三角形的三边 求证
#& %#’#+ #1%;# $
% ’ +
1 % #
%11 ’11 +11
证明通过水管放水当流速相同时如果水管截面指横截面下同的周
7& $ # # ! # "
长相等那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大
# #
!"(!反证法和放缩法
运用反证法 证不等式的思路是
!>):+G.’=(.=,K@+>:.’./" $
先假设所要证的不等式不成立也就是说不等式的反面成立
# #
以此为出发点结合已知条件进行推理论证最后推出和已知条
# # #
件或已知不等式相矛盾的结果从而断定假设错误因而确定要证
# #
的不等式成立
#
例 设 求证
!! %"1’"3!# $%1’#!#
证明假设 不成立则有
! %1’#! #
!%1’%!
.%%!%’
.%"%8%$!’17’!%’"
.%"1’"%7’!%$!’1837!’%$"!1!#
因为 所以 这与已知条件
7!’%$"!1!$!# %"1’"%!# %"1’"3!
矛盾所以原不等式成立
# #
例 已知 为实数
#! %#’#+ #%1’1+%;#%’1’+1%+%;#
求证
%’+%;# $%%;#’%;#+%;#
分析由 能很容易地推出题设条件
! %%;#’%;#+%; %1’1+%
但这个推理不可逆从后三式中任何一
;#%’1’+1%+%;#%’+%;# #
个都不能直接得出 的结果所以不能用分析法证
%%;#’%;#+%; #
明由此联想到若否定了要证的结论假设 的正负就
# # # %#’#+ & #
能方便地讨论 和 的正负因此可用反证
%1’1+#%’1’+1%+ %’+ & #
法进行证明
#
!!!!!第章基本不等式和证明不等式的基本方法
证明假设 不同时都为正数不妨先考虑 的情形 ! !
! %#’#+ # %#; #
那么有 和 两种可能
%3; %"; #
当 时 与已知 相矛盾
!$" %3; #%’+3;# %’+%; %
当 时
!!" %"; #
J!%’+%;#!D!’+";#
又
J!%1’1+%;#
D!’1+%%%%;#
D!%’1’+1%+3%!’1+"1’+";#
这与已知 矛盾
%’1’+1%+%; #
综上所述知 成立
%%; #
同理可证 成立原命题得证
’%;#+%; # #
应用反证法证明数学命题实际上是用证明逆否命题成立来代
#
替证明原命题成立有的题目从命题的已知条件出发不易推理或运
#
算而从结论的反面着手相反地容易推理论证这就可尝试用
# # & #
反证法来证如例 用反证法证明不等式须注意一点就是否定
! !"# #
了原命题的不等关系后所得的数量关系一般不止一种情形因为
# !
的反面是 而不单是 在证明时切勿遗漏
,%- ,#-# ,"-"# #
放缩法是不等式证明的基本方法在不等式证明中几乎无处不
#
在它的依据是不等式的基本性质 若 则 一
# $, %%’#’%+# %%+#-
般可考虑利用添项舍项已知不等式及函数的单调性等将欲证不
& &
等式的左边或右边进行放大或缩小
#
例 求证
$! $-=F"%!-=F!#
! "
证明
!J!-=F
!
"3-=F !"""3-=F
8
!9%-=F
6
!9#
而
!!-=F!3-=F53-=F$7"-=F!9#
" " 6 6
D!-=F"%!-=F!#
! "
例 设 是正数求证
&! %#%#+#% # $
$ ! .
% % % $
! 1 " 1+1 . " #
!%1%"! !%1%1%"! !%1%1+1%"! %
$ ! $ ! " $ ! . $
!!!!"不等式选讲
证明左边
% %
!! ! " ! 1 " 1+1
%!%1%" !%1%"!%1%1%"
$ $ ! $ ! $ ! "
%
.
!
!%1%1+1% "!%1%1+1%"
$ ! .%$ $ ! .
分母减小分式的值放大
!!!!!!!!! # "
!$ $ " ! $ $ "
3 % 1 % 1+1
% %1% %1% %1%1%
$ $ ! $ ! $ ! "
! $ $ "
! %
%1%1+1% %1%1+1%
$ ! .%$ $ ! .
右边
$ $ $
3 % " 3 #
放缩法的难点在于 % %1%1+1% %
!! $ $ ! . $
要适度要做到恰到好 即得证
#
#
处并非易事
# 贯穿全题的主要思想是放缩大胆地放大或缩小必须合情合
# !
理 谨慎地添或减是放缩法的基本策略
"# #
习题
!(
用反证法证明
! !
为正整数且 则槡 槡
$&%$’%;#. # .$!# . %$ . ’#
若 为正数且 则 和 至少有一个成立
$1, $1(
!& (#, # (1,%!# "! "! #
( ,
若对任意正数总有 则
"& ! %#’%!# %#’#
若 则三个乘积 不能都大于
$
5& ;"%#’#+"$# !$%%"’#!$%’"+#!$%+"% #
5
用放缩法证明
!
$ $ $ $
#& 1 1+1 "$% #.3!#"#5#+#
!! "! .! .
正数 满足 及 求证
7& %#’#+ %$’$+ %1’1+#$# $
%!1"’!1#+!#$#
!!!!5２
第 章
绝对值不等式
在不等式的应用中， 经常涉及重量、 面
积、 体积等， 也涉及某些数学对象 （如实数、
向量） 的大小或者绝对值．它们都是通过非负
数来度量的．
本章将回顾绝对值的概念和性质， 讨论
绝对值不等式及其几何意义．不等式选讲
#"!!含有绝对值的不等式
表示数轴上坐
!!,%,
标为的点与原点之间
%
的距离如图 我们知道
# ! $#
1%#!!!%%;"#
图
!
表
$
示数轴上
,%,30;#!!!%3;"#
,%%’,
坐标为的点与坐标为
%
2%%#!!%";"#
的点之间的距离如
因此有
’ #
图 !! #
! !#
%,%,#%#,%,# $
同样地
图 !! %,’,#’#,’,# %
! !
两个重要性质 相加得
$ $#%
!$",%’,3,%,,’,%
%!,%,1,’,"#%1’#,%,1,’,#
% ,%,
3 # 即
’ ,’,
!! !! ,%1’,#,%,1,’,# &
!!",%,",’,(%!
显而易见 同号或有一个为时 式等号成立
"’!# #%#’ ; #& #
不等式的几何意义
由可得
& $
我们分 和 !! &
%’%; %’
两种情况讨论
"; # ,%,3,!%1’"%’,#,%1’,1,%’,#
当 时如图
%’%; # ! 即
易得 !! ,%,%,’,#,%1’,# ’
"#
请同学们考虑等号何时成立
,%1’,3,%,1,’,# ! )"
综合 我们得到有关绝对值 的重要不等式
&#’ !,K@=-+.)O,-+)"
图
,%,%,’,#,%1’,#,%,1,’,#
! "
当 时若 例 已知 求证
%’
如
";
图
# %%
坐
!! ,(," ! #,,," ! # $
5 !
;#’";# ! 5#
标为的点在原点的右
边坐 % 标为的点在原 ,!(1,,"!#
# ’ 证明
点的左边易得
#
!J,!(1,,#,!(,1,,,3!,(,1,,,#
,%1’,",%,1,’,# 及
! !
!!,(," #,,," #
5 !
图
! 5
若 如图 ! !
易
%"
得
;#’%;# D!!,!(1,,"!.
5
1
!
3!#
! ## 例 已知 求证
,%1’,",%,1,’,#
#! 0!("3(!%(1+#,(%%,"$# $
,0!("%0!%","!!,%,1$"#
图
! #
!!!!7第章绝对值不等式
证明 " !
!!,0!("%0!%",
!!!3,!(!%(1+"%!%!%%1+",
!!!3,!(%%"!(1%%$",
!!!3,(%%,.,(1%%$,#
J!!,(%%,"$#
D!!,0!("%0!%",",(1%%$,#
J!!,(1%%$,3,!(%%"1!%%$,
#,(%%,1,!%,1,%$,
#$1!,%,1$
3!!,%,1$"#
D!!,0!("%0!%","!!,%,1$"#
例 已知为不等于的实数求证
$! ( ; # $
$
(1 $!#
(
证明 与同号
$
!J!( #
(
$ $
!!!D!(1 3,(,1 #
( (
根据基本不等式有
!! #
槡
$ $ $
(1 3(1 $! ,(,. 3!#
( ( ,(,
例 已知 求证
&! ,%,"$#,’,"$# $
%1’
"$#
$1%’
证明
%1’
"$
$1%’
-
,%1’,",$1%’,
-
!%1’"!"!$1%’"!
-
%!1!%’1’!"$1!%’1%!’!
!!!!9不等式选讲
-
%!1’!"$1%!’!
-
%!’!%%!%’!1$%;
-
!%!%$"!’!%$"%;#
由 知 故 于是自下
,%,"$#,’,"$ %!"$#’!"$# !%!%$"!’!%$"%;# #
至上即可推得 成立
%1’
"$ #
$1%’
利用绝对值不等式可以很漂亮地解决第章数学实验中提出的
# $
问题
#
根据 可得
"##
!3"&$5$#6!7#"#869+ %! ";&;;;;;;!7799#
$$"
如果有个分数比 更接近 一定会有
" "##
!#
! $$"
"## "
% "!M;&;;;;;;!7799#
$$" !
也就是
,"##!%$$"",
"!M;&;;;;;;!7799#
$$"!
因为不等于 所以 不是 但它是正整数应
" "##
!! # ,""#!%$$"", ;# #
! $$"
大于或等于 所以
$#
$
"!M;&;;;;;;!7799#
$$"!
如此简单初等的推
由此推出
!!
理得到这样好的成绩 !!
#
可谓鸡刀宰牛
# $
数学问题的解决 !% %$7#87#
# $$"M!M;&;;;;;;!7799
常有出乎意料之外又
, # 这表明若分数比 更接近 其分母一定大于
在情理之中 - 的情形 # # ! " " $ # $ # " !# ! $7#87#
习题
!*
设 求证
! !
$& !%;#,(%%," #,,%%," # $
5 7
!!!!8第章绝对值不等式
" !
,!(1",%!%%"’,"!#
已知 求证
! !
!& ,$%%," #,&%’," # $
! !
!$",!$1&"%!%1’","!%
!!",!$%&"%!%%’","!#
已知 求证
"& ,(%%,"!#,(%%,"!#,(%%,"!# $
$ ! "
(1(
!$",$ !%%,"!%
!
(1(1(
!!",$ ! "%%,"!#
"
求证
5& $
!$",(%%,1,(%’,$,%%’,%
!!",(%%,%,(%’,#,%%’,#
若 为实数 求证
#& "# # #+%;# $
! $"
,"1#,!#!$1+",",!1 $1 ,#,!#
+
求证 %!%’!
7& $ $,%,%,’,#
%
#"#!解含绝对值的不等式举例
解含绝对值的不等式主要依据绝对值的定义几何意义及不等式
&
的基本性质
&
例 解不等式
!!
$#,"%!(,"##
解原不等式可化为
!
$#,!(%","##
即 1,!(%",$$# $
!! 0
2,!(%","## %
由得
!! $ !(%"$$#
或
!! !(%"#%$#
解得 或
!! ($! (#$#
!!!!6不等式选讲
由得
!! % %#"!(%""##
解得
!! %$"("5#
综上所述原不等式的解集为
# !%$#$(3’!#5"#
我们可将原不等式变为
$ " #
#(% " #
! ! !
如图 根据绝对值在数轴上的表示可知不等式的解集为
! 7#
!%$#$(3’!#5"#
图
! 7
例 解不等式 !
!! #!
,!(1$,1,!(%",$5#
分析 的零点分别为 它们在区间
$ "
!!(1$#!(%" % # #
! !
内的符号如图 所示于是
! $" ! $ "" !" "
%P#% # % # # #1P ! 9 #
! ! ! !
可根据绝对值的定义分段讨论
#
图
! 9
解 当 时原不等式可变为
$
!!$" (#% #
!
%!!(1$"%!!(%""$5#
解得
$
!! (#% #
!
当 时原不等式可变为
$ "
!!" % "(" #
! !
!!(1$"%!!(%""$5#
"!!!;第章绝对值不等式
即 " !
!! ;.($;#
此不等式恒成立故此时
$ "
# % "(" #
! !
当 时原不等式可变为
"
!"" ($ #
!
!!(1$"1!!(%""$5#
解得
"
!! ($ #
!
综上所述原不等式的解集为
# %#
可能有同学对最后获取的结果一点也不感到意外这是因为他们
#
从另外一个角度看到
!!!!!,!(1$,1,!(%",
! $ " "
!!!!3! (1 1 %(
! !
! $" !" "
!!!!$! (1 1 %(
! !
!!!!35#
这是一个恒成立的不等式与的取值无关
# ( *
例 解不等式
$!
,!(!%$,%(#
解设 分别
! ,3,!(!%$,#,3(#
$ !
作出两个函数的图象如图
! ! 8"#
槡 槡
与轴交点为
! !
, ( % #; # #; #
$ ! !
槡
在区间 内 与
!
;# #, 3$%!(!
! $ 图
! 8
的图象的交点的横坐标为 !!!
$ !
,3( (3 %
! !
槡
在区间 内 与 的图象的交点的横坐标为
!
#1P #,3!(!%$ ,3(
! $ !
由图 可知不等式的解集为
! $"
(3$# ! # %P# 3!$#1P"#
!
"!!!$不等式选讲
习题
!+
解下列不等式
$& $
!$",!(1$,$(%
!!",8%#(,""(%
!"",(%",%,!(1$,"5#
解关于的不等式
!& ( ,(%",1,!(1$,%%#
若不等式 的解集为 求实数的取值范围
"& ,(%5,1,(%",%% %# % #
某环形公路旁有一中二中三中四中五中按顺序排列的五所中学各校分
5& & & & & #
别有电脑 台现在要使各校电脑的台数相等问各校应分别调
$##9#$$#"#$5 # #
出几台电脑给邻校才能使调动的总次数最少
# )
"!!!!第章绝对值不等式
" !
阅读与思考
距离的性质
!
欧氏距离
!!!"
大家所熟悉的平面上两点 与 之间的距离称
<%(!,& =%(!,&
$ $ ! !
为欧氏距离记作 由公式
! -%<=&!
!
槡
-%<=&3 %(%(&!1%,%,&! $
! ! $ ! $
给出
#
下面列举距离函数的性质
&
两点间的距离只依赖于这两个点的相对位置即只依赖于它
%$& !
们坐标的差 及 这个性质称为平移不变性即当这两个
(%( ,%,# %
! $ ! $
点沿同一方向移动同样的距离时它们之间的距离不变
! &&
从点 到点 的距离等于从点 到点 的距离这可以通
%!& < = = < &
过在中验证
$
-%<=&3-%=<&
! !
看出来性质 通常称为距离函数的对称性
& %!& &
距离函数满足三角形不等式
%"& $
-%<;&#-%<=&1-%=;&# %
! ! !
这里为三角形上另一点若记 则
; ! ;%(!,&!
" "
槡 槡 槡
!! %(%(&!1%,%,&!1 %(%(&!1%,%,&!$ %(%(&!1%,%,&!&
$ ! $ ! ! " ! " $ " $ "
不等式通常称为平面三角不等式
& #
任意两点 与 间的距离是非负的即
%5& < = &
-%<=&$;’
!
当且仅当 与 两点重合时等号成立这个性质常常称为距离函
< = ! !
数的正性这一点由定义立即可得
’ $ &
如果 点坐标为 点坐标为 其中为一
%#& < %(!,&!= %%(!%,&! %
"!!!"不等式选讲
非负常数那么
!
-%8=&3%-%8<&’
! !
这里表示原点 这个性质称为距离函数的齐次性它成立是
8 %;!;&! !
因为
槡 槡
!!!!-%8=&3 %%(&!1%%,&!3 %!%(!1,!&
!
槡
3% (!1,!3%-%8<&#
!
欧氏距离还有另一个性质
#
若 平面绕原点旋转某个角度则两点间的欧氏距离保
%7& (8, !
持不变这个性质称为旋转不变性
# &
城市街区距离
#"
还可以定义许多其他有用而且有趣的非欧距离为了能称之
$ ( &
为距离 的一个函数必须具有我们刚刚对熟知的距离所验
$ (! #(1,1>3$# $
$
!!(!1,!1>!$ #
"
已知 求证
"& %!1’!3$# $,%G=@"1’@’(",#$#
已知 求证
5& ($;!D3$#!#+#."# $
D
槡
!(1(1+1("!("1("1+1(""$(!1(!1+1(!#
$ ! . $ ! . $ ! .
设 为正实数运用柯西不等式证明
#& %#%#+#% # $
$ ! .
槡
%!1%!1+1%! %1%1+1% .
$ ! .$ $ ! .$ #
. . $ $ $
1 1+1
% % %
$ ! .
已知实数 满足
7& %#’#+#-
%1’1+1-3"#
%!1!’!1"+!17-!3##
求证
$$#%#!#
’"#!排序不等式
某班同学举行新年谜语竞猜比赛需要购买价格不同的奖品
# 5
7!!!$不等式选讲
件 件及件现在选购超市中单价为元 元和元的奖品
&# 7 # $ &! " #
问最少要花多少钱最多要花多少钱
) )
不妨先猜一猜凭直觉可以想到最便宜单价元的奖品买最
# # ! $ "
多的件数件 最贵单价元的奖品买最少的件数 件 应是
!7 "# ! " " !5 "#
花钱最少的于是我们猜测最少花
#
元
$M71!M#1"M53!8 ! "#
最便宜单价元的奖品买最少的件数件 最贵单价元
先用具体数字反复 ! $ " !5 "# ! " "
!! 的奖品买最多的件数件 于是最多花
实验而后引出定理
# # !7 "#
这是数学家在探索新定
元
理时经常使用的方法 $M51!M#1"M73"! ! "#
#
为了证明上述猜测把所有情形列举出来可以得到种组合
# # 7 $
$M51!M#1"M73"!#!$M51!M71"M#3"$#
$M#1!M51"M73"$#!$M#1!M71"M53!6#
$M71!M51"M#3!6#!$M71!M#1"M53!8#
比较得 最大
$$M51!M#1"M73"! #$M71!M#1"M53!8
最小
#
让我们进一步考虑两个三元数组
0%#%#%1# 0’#’#’1#
$ ! " $ ! "
是否也有类似的结论也就是说设有两组从小到大排列的数
# #
%#%#%#
$ ! "
’#’#’#
$ ! "
那么 乱序和 同序和
!!%’1%’1%’! "#%’1%’1%’! "# $
$* !* "* $$ !! ""
$ ! " 反序和 乱序和
!!!!%’1%’1%’! "#%’1%’1%’! " %
$ " ! ! " $ $* !* "*
是否成立这里 $ ! "
) 0*#*#*130$#!#"1#
$ ! "
我们先证不等式
$#
若 只需证
!$" ’3’#
* "
"
式告诉我们对
!!& # % $ ’ ! 1% ! ’ $ #% $ ’ $ 1% ! ’ ! # &
于两个二元数组 因为
计算
0%
$两
#
!% $ #% ! #’ $ #’ ! #
%1#0’#’1# 所以
两!配对乘$积!之和不同
# !% ! %% $ $;#’ ! %’ $ $;#
序所得的和不大于同序 将上面两式相乘可得
所得的和 !!
#
!%%%"!’%’"$;#
! $ ! $
即
!! %’1%’#%’1%’#
$ ! ! $ $ $ ! !
7!!!!第章三个重要不等式
若 则分两步进行首先设 或 % !
!!" ’ )’# # # ’3’ !D3$ !"#
* " * "
" D
交换与位置根据可知
’ ’ # &
* *
D "
%’1%’ 3%’1%’ #%’ 1%’#
D* "* D" "* D* " "
D " " "
因此下一步只需证明
!! #
%’ 1%’ #%’1%’#
D* E* $ $ ! !
" E
其中 上式正是式因
!! 0%#%130%#%1#0’#’130’#’1# & #
D E $ ! * * $ !
" E
此式成立
$ #
回顾上述做法就好比将一群刚入学的小朋友按由矮到高进行
#
排队有经验的老师总是先只要求小朋友们随意地站成一列这容
# !
易做到 然后再由老师将不合要求的某两个人的位置对换这样一
"# #
步步地经过若干次调整即可使队伍达到要求整个过程既容易进行
#
又井井有条
#
现在再证不等式
%#
因为
!’#’#’#
$ ! "
所以
!%’#%’#%’#
" ! $
根据有
$
%!%’"1%!%’"1%!%’"#%!%’"1%!%’"1%!%’"#
$ * ! * " * $ " ! ! " $
$ ! "
故
%’1%’1%’#%’1%’1%’#
$ " ! ! " $ $* !* "*
$ ! "
不难想到运用上面的方法同样可以证明对于两个元数
# # $ .
组 如果
0%#%#+#%1#0’#’#+#’1#
$ ! . $ ! .
%#%#+#%#
$ ! .
’#’#+#’#
$ ! .
那么有
!! !%’1%’1+1%’ #%’1%’1+1%’# ’
$* !* .* $ $ ! ! ..
$ ! .
!!!!!!%’1%’ 1+1%’#%’1%’1+1%’ # (
$. !.%$ .$ $* !* .*
$ ! .
这里
!! 0*#*#+#*130$#!#+#.1#
$ ! .
事实上若 那么根据又有
# ’3’!*"."# # $
* . D
D
%’1%’1+1%’1+1%’ #
$* !* D* .*
$ ! D .
%’1%’1+1%’ 1+1%’#
$* !* D* ..
$ ! .
又若 那么根据又有
!! ’3’ !*".%$"# # $
* .%$ E
E
7!!!"不等式选讲
%’1%’1+1%’ 1+1%’ #
$* !* E* .*
$ ! E .
%’1%’1+1%’ 1+1% ’ 1%’#
$* !* E* .%$.%$ ..
继续下去即$可得! 式 .%$
!! # ’ #
因
’#’#+#’#
$ ! .
故
%’#%’ #+#%’#
. .%$ $
根据我们又有
!! &
%!%’"1%!%’"1+1%!%’"#
$ * ! * . *
$ ! .
%!%’"1%!%’ "1+1%!%’"#
$ . ! .%$ . .
两边同除以 即得式
!! %$# ( #
综合 我们得到以下重要不等式
’#(# $
设有两组数 满足
%#%#+#%%’#’#+#’
$ ! . $ ! .
!!!!!!!!%#%#+#%#
$ ! .
!!!!!!!!’#’#+#’#
$ ! .
则有
!!
反序和
!!!!!%’1%’ 1+1%’#!!!! "
$. !.%$ .$
乱序和
!!!!!%’1%’1+1%’ # ! "
$* !* .*
$ ! . 同序和
!!!!!%’1%’1+1%’# ! "
$ $ ! ! ..
其中
!! 0*#*#+#*130$#!#+#.1#
$ ! .
上述不等式即为排序不等式也可简述为
#
反序和乱序和同序和
!!!!!! # # #
例 已知 为正数求证
!! %#’#+ # $
’!+!1+!%!1%!’!
$%’+#
%1’1+
证明根据所证不等式中 的地位的对称性不妨设
! %#’#+ , - #
则
%$’$+#
$ $ $
# # #!’+#+%#%’#
% ’ +
由排序不等式同序和乱序和
$ $
得
’+ +% %’ ’+ +% %’
!! 1 1 $ 1 1 #
% ’ + + % ’
即两边同乘 得
!! %’+%;#
7!!!5第章三个重要不等式
% !
’!+!1+!%!1%!’!$%’+!%1’1+"#
又
!!!!!%1’1+%;#
所以
’!+!1+!%!1%!’!
!!!! $%’+#
%1’1+
例 设集合 求证
#! 0%#%#+#%13 0$#!#+#.1# $
$ ! .
$ ! .%$ % % %
!!!! 1 1+1 # $1 !1+1 .%$#
! " . % % %
! " .
证明将 自小到大排序不妨设为
! %#%#+#% #
$ ! .%$
!!!!!!$#+"+"+"+ #.#
$ ! .%$
又将 自小到大排序有
%#%#+#% #
! " .
!!!!!!$#’"’"+"’ #.#
$ ! .%$
由此可得
!!
$ $ $ $
!!!!!!$$ % %+% $ #
’ ’ ’ .
$ ! .%$
根据排序不等式有
#
% % %
!
$1 !1+1 .%$
% % %
! " .
$ $ $
$+. 1+. 1+1+ .
$ ’ ! ’ .%$ ’
$ ! .%$
$ $ $
$$. 1!. 1+1!.%$".
! " .
$ ! .%$
3 1 1+1 #
! " .
与上一节运用柯西不等式相类似运用排序不等式首先在于能
#
根据需要确定两组数 与
%#%#+#% ’#’#+#’#
$ ! . $ ! .
例 设有 人各拿一个提桶同到水龙头前打水设水龙头注
$! $; #
满第 个人的提桶需时 假定这些 各
D!D3$#!#+#$;" ? H’(# ?
D D
不相同问
# $
当只有一个水龙头可用时应如何安排这 个人的次序使他
# $; #
们的总的花费时间包括个人自己接水所花的时间最少这时间
! " )
等于多少 需证明你的论断
) ! #"
解假若水桶按 顺序打水那么总共所需时间为
! D#D#+#D #
$ ! $;
7!!!#不等式选讲
!!0!*"3? 1!? 1? "1+1!? 1? 1+1? "
D D D D D D
$ $ ! $ ! $;
3$;? 16? 1+1!? 1? #
D D D D
$ ! 6 $;
不妨设 那么根据排序不等式有
?"?"+"? # # #
$ ! $;
!!!!!!0!*"$$;?16?1+1? #
$ ! $;
所花最少时间为 按照注满提桶花时少的
$;?16?1+1? #
$ ! $;
在前面的原则安排这 个人的次序
$; #
探究题当有两个水龙头可用时应如何安排这 个人的次序
! # $; #
使他们的总的花费时间为最少这时间等于多少 需证明你的
) ) !
论断
#"
习题
!!&
设 为实数用排序不等式证明
$& %#%#+#% # $
$ ! .
%+1%+1+1%+#%!1%!1+1%!#
$$ !! .. $ ! .
其中 为 的任一排列
+#+#+#+ %#%#+#% #
$ ! . $ ! .
设 为正整数组 的某一排列则
!& +#+#+#+ %#%#+#% #
$ ! . $ ! .
% % %
$1 !1+1 .$.#
+ + +
$ ! .
设 为正数 求证
"& ( !D3$#!#+#."# $
D
(# (# (# (#
$1 !1+1 .%$1 .$(#%"1(#%"1+1(#%"#
(" (" (" (" $ ! .
! " . $
已知 为两两不等的正整数求证
5& %#%#% # $
$ ! "
% % $ $
%1 !1 "$$1 1 #
$ !! "! ! "
已知 为两两不等的正整数求证对于任意正整数 不等式
#& %#%#+#% # $ .#
$ ! .
成立
% % % $ $
%1 !1 "1+1 .$$1 1+1 #
$ !! "! .! ! .
证明车比雪夫不等式若
7& $
%#%#+#%#
$ ! .
’#’#+#’#
$ ! .
则 %’1%’1+1%’ %1%1+1% ’1’1+1’
! $$ !! ..$ $ ! .. $ ! .#
. . .
7!!!7第章三个重要不等式
% !
’"$!贝努利不等式
我们已学过二项式定理根据二项式定理易知当 为
# # (%;#.
正整数时有
#
!$1(".$$1.(# $
其实当 时不等式仍然成立这一点我们不难用数
# (%%$ # $ #
学归纳法给予证明
#
时不等式显然成立
!$".3$ # $ #
假设 时不等式成立因 可得 则
!!" .3@ $ # (%%$# (1$%;#
!!!!!!$1("@1$3!$1("@!$1("
$!$1@("!$1("
3$1!@1$"(1@(!
$$1!@1$"(#
时不等式也成立
!!.3@1$ $ #
根据 可知对任何正整数 当 时不等式
!$"#!!" .# (%%$ # $
成立
#
我们称不等式
!$1(".$$1.(!(%%$" %
为贝努利不等式
!Q)>(=+--’’()*+,-’./"#
例已知 为大于的正整数
! %%+%-%’%;#%1’3+1-#. $ #
求证
$
%.1’.%+.1-.#
证明设 则 于是
! %3+1’#’3-%’# (%;#
!!%.1’."%!+.1-."
3!+1’".1!-%’".%!+.1-."
! ’". ! ’".
3+.$1 1-.$% %!+.1-."# &
+ -
根据贝努利不等式有
#
7!!!9不等式选讲
! ’". ’
$1 $$1.. # ’
+ +
! ’". ’
$% $$%.. # (
- -
由 可得
&#’#(
!!%.1’."%!+.1-."
! ’" ! ’"
$+.$1.. 1-.$%.. %!+.1-."
+ -
3!+.%$%-.%$".’
%;#
!!D!%.1’.%+.1-.#
7!!!8第章三个重要不等式
% !
数学建模
增设汽油中转站
地生产汽油 地需要汽油一辆满载汽油的 型运油汽车往
!!$ !& ! )
返 至地刚好耗尽其所运汽油因此需要在 两地间增设一
$ & # ! $!&
些汽油中转站
#
地获油量
若规定运油率 那么欲使运油率达到 途
3
&地运出油量!
% ";N!
$
中需设多少个中转站
"
设从 地到 地顺次增设个中转站 到
$ & . 2!2!-!2!2 2
$ ! . D D1$
且 的路程为 且
%D3;!$!!!-!.! 23$!2 3&& ) !
; .1$ D1$
)1)1-1) 3$#
$ ! .1$
又设型运油车满载时所运油量为 则该车每单位路程的耗油
) $!
量为 因为汽车往返一次所有路程为 恰好耗油
$
% !! $&#
!
再设从 地运出单位汽油可保证有油运至地由汽车的运
$ % % & &!
油量为可知相当于辆汽车从 地出发运油至 从而 处所获
$ ! % $ 2! 2
$ $
油量为
$
!!!!,3%%%,!), 3%%$%)&#
$ $ ! $
又相当于有 辆汽车从 处出发运油至 从而 处
%%$%)& 2 2! 2
$ $ ! !
所获油量
$
!!!!, 3%%$%)&%%%$%)&,!),
! $ $ ! !
3%%$%)&%$%)&#
$ !
依次类推可得地所获油量为
!! ! &
, 3%%$%)&%$%)&-%$%) &#
.1$ $ ! .1$
从而运油率
!!
7!!!6不等式选讲
%%$%)&%$%)&-%$%) &
!!!!%3 $ ! .1$
%
3%$%)&%$%)&-%$%) &
$ ! .1$
’%$%)&1%$%)&1-1%$%) &(.1$
# $ ! .1$
.1$
!. ".1$ ! $"%%.1$&
3 3 $1 #
.1$ .
当且仅当 时取等号
.
)3)3-3) 3 #
$ ! .1$ .1$
所以最大运油率为 ! $"%%.1$&
! % 3 $1
H,R . #
设 $ ! $"%%.1$& 则
! 3 $1 !
( .
.
! $ ".1!
$1
( .1$
!!!!!!
.1$3
( ! $".1$
. $1
.
! $ ".1!
$1
.1$ .1$
3 ,
! $".1! .
$1
.
’.%.1!&(.1! .1$
3 ,
%.1$&! .
4 $ 6 .1!
.1$
3 $ ,
$1 .
5 .%.1!&7
$ .1$
3 , # $
’ $ (.1! .
$1
.%.1!&
根据贝努利不等式有
!
’ $ (.1! $ .1$
!! $1 %$1%.1!&, 3 # %
.%.1!& .%.1!& .
由 可得
$!%
( $ .1$
.1$ " , 3$#
( .1$ .
.
.
所以
$ $
% #
( (
.1$ .
9!!!;第章三个重要不等式
% !
表明数列 是递增数列从而 随的增大而增大
0$1
!! ! % . #
( H,R
.
时
$
.3$ !% 3 "";N’
H,R 5
时 !""%" 8
.3! !% 3 3 "";N’
H,R ! !9
时 !5"%5 8$
.3" !% 3 3 %";N#
H,R " !#7
所以至少应设置个运油中转站
! " #
9!!!$课程总结报告参考题
================
完成一个学习总结报告在班上交流报告应包括以下三方面
# #
的内容
$
知识的总结对本专题所介绍的不等式中蕴涵的数学思想
!$" #
方法和数学背景进行总结
#
拓展通过查阅资料调查研究访问求教合作交流
!!" # & & & &
独立思考进一步探讨不等式的应用
# #
自己对不等式学习的感受
!"" #
9!!!!附录
附录 !
!
数学词汇中英文对照表
===============
按词汇所在页码先后排序
! "
中文名 英文名 页码
!!!!!!!!! ! ! !!!!!!!!! !
不等式
’()*+,-’./ !
比较法
G=H4,>’@=(H).I=: 9
算术平均
,>’.IH).’GH),( $;
几何平均
F)=H).>’GH),( $;
基本不等式
K,@’G’()*+,-’.’)@ $;
分析法
,(,-/@’@H).I=: $8
综合法
@/(.I)@’@H).I=: $6
反证法
>):+G.’=(.=,K@+>:.’./ !!
绝对值
,K@=-+.)O,-+) !7
数学归纳法
H,.I)H,.’G,-’(:+G.’=( "8
柯西不等式
A,+GI/’()*+,-’./ #6
贝努利不等式
Q)>(=+--’’()*+,-’./ 79
9!!!"
