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2026 届高三上学期 10 月学情调研
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为 ，方差为 ，
则（ ）
A. B.
C. D.
4. 的展开式中 的系数为（ ）
A. 12 B. 60 C. 160 D. 240
5. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为
，值域为 的“同族函数”包含的函数个数为（ ）
A. 3 B. 8 C. 9 D. 27
6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，若
是偶函数，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
7. 若函数 有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为 的小球在该容器内自由运动，则小
球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（ ）
.
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的有（ ）
.
A 已知随机变量 ，则
B. 数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4
C. 若事件A与B互斥，且 ， ，则
D. 样本数据 ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ，则 ， ，…， 的平均数为
，方差为
10. 在直三棱柱 中， ， ， ， 分别为棱 和 的中
点， 为棱 上的动点，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A.
B. 该三棱柱的体积为4
C. 过 ， ， 三点截该三棱柱的截面面积为
D. 直线 与平面 所成角的正切值的最大值为
11. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. ，使得
B. 函数 的图象是一个中心对称图形
C. 曲线 有且只有一条斜率为 的切线
D. 存在实数 ， ，使得函数 的定义域 ，值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量 ，且 ，则 __________.
13. 已知 ，则 _________
14. 数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．
请你从“对称性”的角度完成下面概率问题：已知有 ， ， ， ， ， ， ， 八名运动员参加比
赛，按照下图进行单败淘汰制（赢者晋级下一轮，败者被淘汰）.其中 在图示中①的位置， 在图示中⑤
的位置，其余运动员抽签决定自己第一轮的比赛位置.已知 与除 以外的运动员比赛胜率为 ， 与除
以外的运动员比赛胜率为 ，除此以外其余场次比赛（包括 间的比赛）每位运动员胜率都为 ，则
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学科网（北京）股份有限公司运动员 夺得冠军的概率为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ，当 时， 的极小值为 ，当 时， 有极
大值．
（1）求函数 ；
（2）存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
16. 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ， ．
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ， 是 上的点，且 ，求 的长．
17. 盒中有3个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.
（1）若从盒中不放回地随机取3次，每次取1个球，记 为取到的红球的个数，求 的分布列和数学期
望；
（2）若从盒中每次随机取1个球，取出后将原球放回，再加入3个同色球，求在第2次取到红球的情况下，
第3次取到白球的概率.
18. 如图所示的多面体是由一个直三棱柱 与一个四棱锥 拼接而成的，四边形
为直角梯形， ， ， ， ， 分别为 的中点.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值.
.
19 已知函数 ， ．
的
（1）当 时，求函数 在 处 切线方程；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）若方程 有两个不同的实数根，求实数 的取值范围．
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