文档内容
呼和浩特市 2023—2024 学年第一学期高三年级学业质量监测
理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上.
本试卷满分150分，考试时长120分钟.
2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的
1.已知复数 的共轭复数是 ，满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
3.已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A.2 B.4 C. D.
4.已知一个正三棱柱的三视图如下图所示，则该三棱柱的体积为（ ）
A. B.12 C. D.16
学科网（北京）股份有限公司5.俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为 ，下雨的
概率为 ，既刮风又下雨的概率为 .记事件 为“8月份某天刮风”，事件 为“8月份某天下雨”，则
（ ）
A. B. C. D.
6.在斜三角形 中，若 ，则 （ ）
A.1 B. C. D.2
7.直线 （ ）截圆 所得弦长的最小值是（ ）
A.2 B. C.4 D.6
8.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
9.在 中， 为 的角平分线， 在线段 上，若 ， ，则 （
）
A. B. C.2 D.
10.小明将 与等边 摆成如图所示的四面体，其中 ， ，若 平面 ，
则四面体 外接球的表面积为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
11.过抛物线 的焦点 作一条直线 交抛物线于 、 两点，且 ，若抛物线的准线与 轴交
于点 ，则 点到直线 的距离为（ ）
A. B. C. D.
12.若向量 ， ，则以 、 为邻边的平行四边形的面积 可以用 、 的外积 表
示出来，即 .已知在平面直角坐标系中， 、 ，
，则 面积的最大值为（ ）
A.1 B. C.2 D.3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中常数项为______.
14.将函数 （ ）的图象向右平移 个单位后，所得到的函数图象关于 轴对称，
则 ______.
学科网（北京）股份有限公司15.已知双曲线 ： （ ， ）的左右焦点分別为 、 ，过 的直线 与双曲线 交
于 、 两点（ 在第一象限， 在第四象限），若 ，则该双曲线的离心率为
______.
16.已知函数 ，当 时， 恒成立.则实数 的取值范围是
______.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个
学生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）2023年秋末冬初，某市发生了一次流感聅病，某医疗团队为研究本地的流感疾病与当地居民生
活习惯（良好、不够良好）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100人（称为病例组），同时在未患
该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
良好 不够良好
病例组 25 75
对照组 45 55
（1）分别估计病例组和对照组中生活习惯为良好的概率；
（2）能否有99%的把握认为感染此次流感疾病与生活习惯有关？
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
18.（12分）已知正方体 的棱长为2， 为 的中点， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
学科网（北京）股份有限公司19.（12分）已知正项数列 满足： .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
20.（12分）已知椭圆 的方程为 （ ），离心率为 ，点 在椭圆上.其左右顶
点分别为 、 ，左右焦点分别为 、 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 过 轴上的定点 （ 点不与 、 重合），且交椭圆 于 、 两点（ ， ），
当满足 时，求 点的坐标.
21.（12分）已知函数 .
（1）求 在 处的切线方程；
（2）若 ，且 ，求证： .
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ ），曲线 的参数方程为
（ 为参数）.
（1）求曲线 的普通方程；
（2）若 ， ，在曲线 上任取一点 ，求 的面积.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
学科网（北京）股份有限公司已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）将函数 的图象与直线 围成图形的面积记为 ，若正数 、 、 满足 ，求证：
.
2024 高三理科数学
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D C A B D C C B C B A
二、填空题
13.80 14. 15. 16.
三、解答题
17.（1）由调查数据，病例组为生活习惯为良好的频率 ，
因此病例组为生活习惯为良好的概率的估计值为0.25；
对照组为生活习惯为良好的频率
因此对照组为生活习惯为良好的概率的估计值为0.45.
（2）
由于 ，
故有99%的把我说患有该疾病与生活习惯有关.
18.（1）证明：取 中点 ，连接 、 、
∵ 、 为中点，∴
学科网（北京）股份有限公司又∵ ，∴四边形 为平行四边形
∴
又∵ 平面 ， 平面
∴ 平面
（2）解：以 点为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，
建立空间直角坐标系，则 ， ，
设 平面 ，则
设 平面 ，
，
∴平面 与平面 夹角的余弦值为
19.解：（1）当 时， ，∴
当 时， ，∴
时，符合上式，∴
（2）
∴
学科网（北京）股份有限公司20.解：（1）由题知 ，又 ，
所以 ， ，故椭圆的标准方程为
（2）设直线 的方程为 ， ， ，
， ，
联立 ，得 ，
由韦达定理，得 ，
由题得， （*）
∵ ，∴ ，
∴
，解得
故直线 的方程为 ，经过 轴上的定点 .
21.（1）解： ， ，
，
故 在 处的切线方程为
学科网（北京）股份有限公司（2）证明： （ ）
，
∵
∴ ，
（ ）
下证： （ ）
令
∵ ，∴
又 ，
∴ ，即 .
22.解：（1） 的参数方程为 （ ），
可得 的普通方程为
（2） 的普通方程为 ，
直线 的斜率为 ，
学科网（北京）股份有限公司直线 的方程为： ，即 .
则 上任意一点 到直线 的距离 ，
易得 ，
所以， .
23.解：（1）由 可得 ，
即 ，解得 .
所以不等式的解集为 .
（2） ，
由图可知： ，
则 （当且仅当 时，等号成立）
即 ，即 .
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