文档内容
2023—2024 学年度第一学期高三质量检测
数学试题
2024.01
本试卷共4页.满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本
试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 ，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.“ ”是“直线 与直线 垂直”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 为椭圆 上位于第一象限内的一
点，若 ， （ 为坐标原点），则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，已知圆锥 的母线长为 ， 是底面圆 的直径，且 ，点 是弧 的中点， 是
的中点，则异面直线 与 所成角的大小为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
6.定义在 上的函数 和 的图象关于 轴对称，且函数 是奇函数，则函数
图象的对称中心为（ ）
A. B. C. D.
7.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8.已知正三棱锥 的底面边长为 ， 为棱 的中点，若 ，则三棱锥 的外
接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题中正确的是（ ）
A.若 ，则
B.若 且 ，则
C.若 ， ，且 ，则 的最小值为
D.若 ，则 的最小值为4
10.已知函数 的最小正周期为 ，且函数 的图象关于直线
对称，则下列说法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A.函数 的图象关于点 对称
B.函数 在区间 内单调递减
C.函数 在区间 内有恰有两个零点
D.函数 的图象向右平移 个单位长度可以得到函数 的图象
11.已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， ，数列 的前 项
和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过左焦点 的直线与双曲线 的左支相交于
两点（ 在第二象限），点 与 关于坐标原点对称，点 的坐标为 ），则下列结论正确的
是（ ）
A.记直线 、 的斜率分別为 、 ，则
B.若 ，则
C. 的最小值为6
D. 的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知指数函数 的图象经过点 ，则 __________.
14.已知平面向量 满足 ， ， ，则向量 夹角的余弦值为__________.
学科网（北京）股份有限公司15.已知圆 ，过点 作两条与圆 相切的直线，切点分别为 ，则 __________.
16.若函数 恰有两个不同的零点，则实数 的取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题满分10分）
在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的最小值.
18.（本题满分12分）
已知数列 为公差大于0的等差数列，其前 项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前100项和 .
19.（本题满分12分）
如图，已知三棱柱 各棱长均为2， 分別是线段 ， 的中点， 平面 .
（1）求证：平面 平而 ；
（2）求平面 与平面 夹角的大小.
20.（本题满分12分）
如图，点 是圆心角为 ，半径为1的扇形圆弧 上的一动点（与 不重合）， 在线段 上且
，记 ，线段 ， 及圆弧 的长度之和为 .
学科网（北京）股份有限公司（1）求函数 关于 的解析式；
（2）求 为何值时，函数 取得最大值.
21.（本题满分12分）
已知抛物线 的焦点到 的准线的距离为1.
（1）求抛物线 的方程；
（2）若经过定点 的直线 与抛物线 交于 两点， 为弦 的中点，过 作与 轴垂直的直
线与抛物线 交于点 ，当 时，求直线 的方程.
22.（本题满分12分）
已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若实数 满足 ，证明： ；
（3）证明：当 时， .
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数学试题参考答案及评分标准
说明：（1）此评分标准仅供参考：
（2）学生解法若与此评分标准中的解法不同，请酌情给分。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.C 2.A 3.A 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.AC 10.ABD 11.ACD 12.BD
12.提示：设 ， ，
由于 两点均在双曲线的左支上，所以 ， ，
对于A：设 ， ，
则，
均在双曲线上， ，所以
所以， ，A错误.
对于B：由 知，
由对称性得， 且
计算可得， ，B正确
对于
当 ， ， 三点共线时，
此时， ，与 矛盾，故C错误
对于
学科网（北京）股份有限公司又， ，所以，
结合， 得， 的取值范围是 ，故D正确.
综上，正确答案为：BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.4 14. 15. 16. 或
16.提示：
令 ，则 或
记 ， ， 在 上单调递增；在 上单调递减
最大值为 .
当 时， 只有一个零点， ，显然不合题意
要使 恰好有两个零点，则方程 只有一个实根，另一个零点为 .
故 的取值范围为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
解：（1）
由正弦定理得：
，又 ， ，
学科网（北京）股份有限公司，
（2） ，
由余弦定理得：
当且仅当 时等号成立.
即 的最小值为 .
18.（12分）
解：（1）设数列 的公差为
因为 ，
所以
解得 或 （舍去）
所以， ，即 .
（2）由（1）得
当 ， 时， ，所以 ；
当 ， 时， ，所以 ；
当 ， 时， ，所以 ；
当 ， 时， ，所以 ；
学科网（北京）股份有限公司.
19.（12分）
（1）证明： 平面 ， 平面 ，
， 为 的中点，
， 平面 ，
在平行四边形 中， ，
四边形 为菱形，
又 分别为 ， 的中点，
， 平面 ， 平面
平面 平面
（2）由（1）可知， ， ， 两两相互垂直，故建立以 为坐标原点，以 ， ， 所在直
线分别为 轴， 轴， 轴的如图所示的空间直角坐标系
由三棱柱的所有棱长均为2得， ， ，
， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为
则 ，
学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
所以，平面 的一个法向量为
由（1）知 平面
所以，平面 的一个法向量为
设平面 与平面 的夹角为
则 ，
所以，平面 与平面 的夹角为 .
20.（12分）
解：（1）在 中，由题可知 ， ， ，
由正弦定理得，
所以， .
在扇形 中，记弧 的长度为 ，则
所以，
所以， ，
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）得， ，
令 ，得
当 时， ， 单调递增
当 时， ， 单调递减
所以，当 时， 取最大值，且最大值为 .
21.（12分）
解：（1）因为抛物线C的焦点到C的准线的距离为1，
所以，
所以，抛物线 的方程为 .
（2）由题意可得，直线 存在斜率，又直线 过 ，
故设直线 的方程为 ，
由 ，消去 并整理得 ，
，所以直线 与抛物线 恒有两个交点.
设 ， ，则 ， ，
所以， ， .
因为， 为弦 的中点，过 作 轴垂直的直线与抛物线 交于点 ，
所以， ，
所以， 的坐标为
学科网（北京）股份有限公司所以， ，
因为
所以，
即
整理得
解得
所以，直线 的方程为 或 .
22.（12分）
解：（1） 的定义域为 ，
由 ，得 ，由 得 ；
所以 的单调递增区间为 ； 的单调递减区间为 .
（2）证明： ，
要证明 ，即证明：
即证明： ，即证：
又由（1）可知， 的单调递增区间为 ，
， 原命题成立.
学科网（北京）股份有限公司（3）要证明 ，
即证明
由（1）可知， 在 处取得最大值，
， ， （等号在 时成立）
下面证明： ，即证明：
令 ，
令 ，得 ， ，得
所以 的单调递增区间为 ； 的单调递减区间为 .
（等号在 时成立）
综上： （等号不能同时成立）.
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