文档内容
2023~2024 学年第一学期高三年级期末学业诊断
数学试卷
（考试时间：上午8:00—10:00）
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.圆 的圆心坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州等城市成功举办.杭州亚运会期间，甲、乙等4名志愿
者要到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若
甲不去游泳场地，则不同的安排方法种数为（ ）
A.18 B.24 C.32 D.36
5.已知 ， ，且 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
6.如图是函数 的部分图象，则 的解析式为（ ）
A. B.C. D.
7.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 为 上异于长轴端点的任意一点，
的角平分线交线段 于点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8.若实数 ， ， 满足 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知数列 中， ， ，数列 的前 项和为 ，则下列结论正确的是（
）
A. 是等比数列 B.
C. D.
10.已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的图象关于点 对称
C. 在区间 上单调递增
D.将 的图象先向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度后得到的函数图象关于原点对称11.已知函数 ，若方程 有四个不同的实数解 ， ， ， ，且满足
，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12.在棱长为1的正方体 中， 为线段 的中点，点 和 分别满足 ，
，其中 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A.当 时，三棱锥 的体积为定值
B.当 时，四棱锥 的外接球的表面积是
C.当 时，不存在 使得
D. 的最小值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.双曲线 的渐近线方程为______.
14. 的展开式中常数项为______.
15.已知非零向量 ， 夹角为 ，则 的最小值为______.
16.已知实数 ， 分别满足 ， ，其中 是自然对数的底数，则 ______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）
已知在等差数列 中， ， ， 是数列 的前 项和，且满足 .（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
18.（本小题12分）
在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，点 在线段 上， ， ，
的面积为 .
（1）当 ，且 时，求 ；
（2）当 ，且 时，求 的周长.
19.（本小题12分）
“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱
垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥 中，四边形 是边长为3的正方形， ，
， .
（1）证明：四棱锥 是一个“阳马”；
（2）已知点 在线段 上，且 ，若二面角 的余弦值为 ，求直线 与底
面 所成角的正切值.
20.（本小题12分）
为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.
某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选
择米饭套餐的概率为 ；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为 .已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为 .
（1）求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第 天选择米饭套餐的概率为 ，
（i）证明： 为等比数列；
（ii）证明：当 时， .
21.（本小题12分）
已知抛物线 的准线与 轴相交于点 ，过抛物线 焦点 的直线与 相交于 ， 两
点， 面积的最小值为4.
（1）求抛物线 的方程；
（2）若过点 的动直线 交 于 ， 两点，试问抛物线 上是否存在定点 ，使得对任意的直线
，都有 .若存在，求出点 的坐标；若不存在，则说明理由.
22.（本小题12分）
已知函数 ， .
（1）当 时，求 的最小值；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 取得的最大整数值.2023-2024学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷
参考答案及评分标准
一.单项选择题：C B A B C C A A
二.多项选择题：9.BD 10.AC 11.ACD 12.ABD
三.填空题：13. 14.25 15. 16.
四.解答题：
17.解：（1）设 的公差为 ，由题意得
；
当 时，则 ， ，
当 时，则 ， ， ，
是以1为首项，3为公比的等比数列， ；
（2）由（1）得 ，
，①
，②
①－②得 ，
.
18.解：（1）由题意得 ，
， ， ，
， ，
， ， ；
（2）由题意得 ， ，，
， ，
， ，
， ， ，
， ，
， 的周长为 .
19.（1）证明： 四边形 是正方形， ，
， ， 平面 ， ，
同理可证 ， ， 平面 ，
四棱锥 是一个“阳马”；
（2）由（1）得 平面 ， ，
， ， ，
以点 为原点， ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得 ， ， ， ， ，
， ，
设 是平面 的一个法向量，则令 ，则 ， ，
设 是平面 的一个法向量，则
令 ，则 ， ，
， ，
， ，
平面 ， 直线 与底面 所成角的正切值为 .
20.解：（1）设 “第 天选择米饭套餐” ，则 “第 天选择面食套餐”，
根据题意 ， ，号 ， ，
由全概率公式，得
；
（2）（i）设 “第 天选择米饭套餐” ，
则 ， ， ， ，
由全概率公式，得 ，
即 ， ，
， 是以 为首项， 为公比的等比数列；（ii）由（i）可得 ，
当 为大于1的奇数时， ；
当 为正偶数时， .
21.解：（1）由题意得 ， ，
设直线 的方程为 ， ， ，
由 得 ，
， ，
，
面积 ，
当 时， 取最小值 ， ，
抛物线 的方程为 ；
（2）由（1）得抛物线 ，假设存在定点 ，
设直线 的方程为 ， ， ，则 ， ，
由 得 ，
， ，
， ，，
， ，
当 时，即 时， 恒成立， 存在定点 .
22.解：（1）当 时， ， ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
在 处取得最小值 ；
（2）①当 时，则 ，显然成立；
②当 时，原不等式等价于 ，
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 ， 在 上单调递增，
， ，
， ，即 ， ，
当 时， ， ， 在 上单调递减，
当 时， ， ， 在 上单调递增，
在 处取得最小值为 ，
，且 ，综上，实数 的最大整数值为3.
注：以上各题其它解法请酌情赋分.
