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长沙市一中 2024届高三月考试卷(五)
数学试卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合. 𝐴 = {2,3,4},𝐵 = 𝑥|𝑥²−3𝑥 + 𝑡 = 0 若 A∩B={2},则 A∪B=
A. {2,3,4} B. {1,2,3,4} C. {-1,2,3,4} D. {2,3,4,5}
2.已知复数 𝑧 = 3−𝑖 + (1 + 𝑎𝑖)²(𝑎 ∈ 𝑅))在复平面内对应的点在坐标轴上，则|z|的值不可
能是
15
A. 3 𝐵. C.4 D. 5
4
3.函数 𝑓(𝑥) = 𝑎ˣ−𝑎(𝑎⟩0,且 a≠1)的图象可能是
4.已知 α，β，γ是空间中三个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列结
论错误的是
A.若 m⊥α,n⊥β,m⊥n,则 α⊥β B.若 𝑚 ⊥ 𝛼,𝑛 ⊥ 𝛽,𝛼‖𝛽,则 𝑚‖𝑛
C.若 α∥β,β∥γ,则 α∥γ D.若 𝑚 ∥ 𝛼,𝑛 ∥ 𝛽,𝑚‖𝑛;,则 𝛼‖𝛽
𝜆
5.已知数列 𝑎ₙ中, 𝑎 = 𝑛 + ,则 “0 < 𝜆 < 2ⁿ是“数列 𝑎ₙ是递增数列”的
𝑛 𝑛
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
, ,
6.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为 2m ，渠深OC
为 1.5 m，水面 EF 距 AB 为 0.5m ，则截面图中水面宽 EF 的长度约为
( 2 ≈ 1.414 3 ≈ 1.732 6 ≈ 2.449),
A.0.816 m B.1.33 m C. 1.50 m D. 1.63 m
7.函数 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥(𝑎⟩0,𝑏 > 0,𝜔 > 0)的一个对称中心为 − 𝜋 0 ,且f'(x)的一
6
𝜋 𝑏
条对称轴为 𝑥 = ,当 ω取得最小值时， =
3 𝑎
3 , 3
𝐴. 3 𝐵. 𝐶.− 3 𝐷.−
3 3
8.已知 (𝑥−1)(2−𝑥) < 𝑙𝑛𝑥 < 𝑥(𝑥−1)对 ∀𝑥 ∈ (12))恒成立，且x越接近于1，它们的值
5 3 5
也 越 接 近 . 如 ， 取 𝑥 = 时 ， 有 < ln5−2ln2 < ,计 算 可 得 ：
4 16 16
384 366
1.5735 < 𝑙𝑛5 < 1.6985.则 ln5 的 近 似 值 为 ( 附 ： 𝑙𝑛2 ≈ 0.693, ≈ 0.025,
1252 1252
≈ 0.023)
A.1.60 B. 1.61 C. 1.62 D. 1.63
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求. 全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分.
9.某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全
体学生的身高信息，按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，在各层中
按比例分配样本，总样本是为 180，经计算得到男生样本的均值为 170，方差为 19，
女生样本的均值为 161，方差为 28，则下列说法中正确的是
A.男生样本容是为 100 B.抽取的样本的均值为 165.5
C.抽取的样本的均值为 166 D. 抽取的样本的方差为 43
10.下列说法正确的是
A.经过点(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线只有一条
B.经过点(2，3)且与原点距离等于 1的直线有两条
C.过点(2,3)且与圆 (𝑥−2)² + (𝑦−1)² = 4相切的直线只有一条
D.过点(2,3)且与圆 (𝑥−2)² + (𝑦−1)² = 4相切的圆只有一个
11.四棱雉P-ABCD的底面为正方形,PA与底面垂直,PA=2,AB=1,动点M在线段 PC上,则
A.不存在点 M,使得 AC⊥BM B. MB+MD的最小值为 30
3
C.四棱锥P-ABCD的外接球表面积为6π D.点M到直线AB的距离的最小值为 2 5
5
12.将数列 𝑎ₙ中的所有项排成如下数阵：𝑎₁
𝑎₂𝑎₃𝑎₁
𝑎₅𝑎₆𝑎₇𝑎₅𝑎₉
……
已知从第2行开始每一行比上一行多两项，第1列数a₁，a₂，a₅，…成等差数列，且
𝑎₂ = 2,𝑎₁₀ = 8,从第2行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以2为公比的等
比数列，则
𝐴.𝑎₁ = −1 B. a₂₆位于第 5行第 9列
𝐶.𝑎2 = (3𝑛−4) ⋅ 4𝑛−1 D.若 𝑎ₙ = 80,，则𝑎ₙ位于第 3行第 5列或第 8行第 3列
𝑛
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
3 𝑥3,𝑥 ≥ 0,
13.已知函数 f(x)是奇函数，且 𝑓(𝑥) = 则 g(-8)的值为
𝑔(𝑥),𝑥 < 0,
14.向量a，b，c在正方形网格(每个小正方形的边长为1)中的位置如图所示，若向量b
+λc与 a共线，则 a-λb与 c夹角的余弦值为
6
15. 设 2𝑥3− 1 = 𝑎 𝑥𝑚 0 + 𝑎 𝑥𝑚 1 + 𝑎 𝑥𝑚 2 +⋯ + 𝑎 𝑥𝑚 6,则 ∑6 𝑚 =
0 1 2 6 𝑖=0 𝑖
𝑥
𝑥2 𝑦2
16.已知 M 为椭圆: + = 1(𝑎⟩𝑏 > 0)上一点，F₁，F₂为左、右焦点，设
𝑎2 𝑏2
𝛼−𝛽 𝛼 𝛽
∠𝑀𝐹₁𝐹₂ = 𝛼,∠𝑀𝐹₂𝐹₁ = 𝛽,若 cos = 2cos ,则该椭圆的离心率 𝑒 =
2 2
四、解答题：本题共 6小题，共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.全民健身创精彩，健康成长蟩未来. 为此某校每年定期开展体育艺术节活动，活
动期间举办乒乓球比赛. 假设甲乙两人进行一场比赛，在每一局比赛中，都不会
出现平局，甲获胜的概率为 𝑝(0 < 𝑝 < 1).
(1)若比赛采用五局三胜制，且 𝑝 = 0.5,则求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；
1
(2)若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且 𝑝 > ,试分析哪种赛制下甲获
2
胜的概率更大? 并说明理由.
18.在△ABC中,AB=3,AC=2,D为 BC边上一点,且 AD平分∠BAC.
𝐴𝐷
(1)若 BC=3,求 ;
𝐶𝐷
11
(2)若 cos𝐴 = ,求线段 AD的长.
14
19.如图，点 C在以 AB为直径的圆 O上，PA垂直于圆 O所在平面，G为△AOC的重
心.
(1)求证:平面 OPG⊥平面 PAC;
(2)若 PA=AC=1,AB=2,求二面角 A-OP-G的余弦值.
20.设数列 𝑎ₙ满足：对任意正整数 n，有 𝑎 +2𝑎 +4𝑎 +⋯ + 2𝑛−1𝑎 = 𝑛.
1 2 3 𝑛
(1)求数列 𝑎ₙ的通项公式；
(2)若抽去数列 𝑎ₙ中的第 1项，第 4项，第 7项，…，第 3n-2项，余下的项顺序不
变，组成一个新数列 𝑐ₙ,记数列 𝑐ₙ的前 n 项和为 𝑇ₙ.已知对于任意的正整数 n，
𝑇₂ₙ ≥ 𝜆𝑇₂ₙ₊₁恒成立，求 λ的最大值.
1
21.已知函数 𝑓(𝑥) = 𝑎ln𝑥−𝑥 + (𝑎 ∈ 𝑅)
𝑥
(1)是否存在实数 a，使得 x=1 为函数 f(x)的极小值点. 若存在，求 a 的值；若不存在，
请说明理由；
(2)若 f(x)图象上总存在关于点(1，0)对称的两点，求 a的取值范围.
1
22.已知双曲线C的虚轴长为2，其中一条浙近线方程为 𝑦 = 𝑥. 且M，N分别是双曲线
2
的左、右顶点.(1)求双曲线 C的方程；
(2)设过点 G(4，0)的动直线l交双曲线C右支于 A，B两点，若直线AM，BN的斜率
分别为 𝑘₁,𝑘₂.
𝑘
①试探究 k₁与 k₂的比值 1是否为定值. 若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说
𝑘
2
明理由；
𝜋 1 𝜋
②设 ∠𝐴𝑁𝐺 = 𝛼,∠𝐵𝑁𝐺 = 𝛽,0 < 𝛽 < ,若 tan𝜃 = ,𝛼 = 𝛽−𝜃(0 < 𝜃 < ),求 △ 𝐵𝐺𝑁的面
2 7 2
积.
